Wprowadzenie do podręcznika o metodzie elementów skończonych

Wprowadzenie do podręcznika o

metodzie elementów skończonych

Autorzy:

Maciej Paszynski

Wprowadzenie do podręcznika o metodzie elementów skończonych

Wprowadzenie do podręcznika o metodzie elementów skończonych

Autor: Maciej Paszynski

Podręcznik ten przedstawia obszerne wprowadzenie do metody elementów skończonych, z uwzględnieniem metod analizy izogeometrycznej.

Rozdziały uzupełnione są o przykładowe kody MATLABa (możliwe do uruchomienia w darmowej wersji Octave). Autorem tekstu jest prof. dr hab. Maciej Paszyński.

Autorami kodów MATLABa są dr inż. Marcin Łoś oraz dr inż. Maciej Woźniak z Katedry Informatyki z mojego zespołu Algorytmów i Systemów Adaptacyjnych.

Chciałbym bardzo podziękować Panom Maćkowi i Marcinowi za zaawansowane implementacje w MATLABie.

Chciałbym również bardzo podziękować mojej żonie, dr hab. Annie Paszyńskiej z Uniwersytetu Jagiellońskiego za pomoc w przygotowaniu wielu rysunków do podręcznika.

Chciałbym bardzo serdecznie podziękować recenzentom, prof. Maciejowi Pietrzykowi i prof. Krzysztofowi Banasiowi za bardzo wnikliwe przeczytanie książki i szczegółowe recenzje, których uwzględnienie znacznie podniosło poziom podręcznika. Podręcznik mój adresowany jest dla studentów studiów technicznych i informatycznych, i z tego względu koncentruje się na aspektach praktycznych i implementacyjnych poszczególnych zagadnień związanych z metodą elementów skończonych. Podręcznik mój natomiast nie porusza zagadnień matematycznej teorii zbieżności metody elementów skończonych. Czytelników których interesują matematyczne podstawy metody elementów skończonych zachęcam do przeczytania rozdziału

"Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych". Czytelników bardziej zainteresowanych aspektami

implementacyjnymi i ogólnym wprowadzeniem do metody elementów skończonych zachęcam do pominięcia tego rozdzaiłu przy pierwszym czytaniu i rozpoczęcia lektury od rozdziału "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy".

Podręcznik ten opisuję zarówno klasyczną metodę elementów skończonych oraz izogeometryczną metodę elementów skończonych. Pierwsze prace naukowe na temat metody elementów skończonych pochodzą z roku 1940 od Richarda Couranta (profesor matematyki, urodzony w Lublińcu w Polsce w roku 1888 na ówczesnym terytorium niemieckim, wyemigrował do USA) i Alexandra Hrennikoffa (profesor inżynierii lądowej, urodzony w Rosji, wyemigrował do Kanady), oraz Feng Kanga w Chinach w roku 1950 [1][2][3]. Metoda ta nabrała impetu w latach 1960-1970 dzięki pracy Olgierda Ziemkiewicza (profesor inżynierii lądowej, żyjącą w Wielkiej Brytanii, o Polskich korzeniach) [4]. W ostatnich latach rosnącą popularnością cieszy się

izogeometryczna metoda elementów skończonych, propagowana przez zespół prof. T. J. R. Hughes'a, stosująca funkcje bazowe z rodziny B-spline, cechujące się ciągłością wyższego stopnia [5]. Równolegle do metod analizy izogeometrycznej rozwijane są metody adaptacyjne, korzystające z klasycznej metody elementów skończonych, stosujące hierarchiczne funkcje bazowe. Algorytmy adaptacyjne pozwalające na eksponencjalną zbieżność dokładności rozwiązania względem rozmiaru siatki obliczeniowej, rozwijane są przez grupę prof. Leszka Demkowicza (polski matematyk i profesor mechaniki, pracujący na Uniwersytecie Teksańskim w Austin) [6][7]. Obserwuje się również próby łączenia metod adaptacyjnych z analizą izogeometryczną, poprzez tworzenie nowych rodzin wielomianów, możliwych do definiowania na siatkach adaptacyjnych, umożliwiających mieszanie wielomianów z rodziny B-spline różnego stopnia [8].

Klasyczna metoda elementów skończonych na siatkach regularnych jest szczególnym przypadkiem izogeometrycznej metody elementów skończonych.

Jedyna różnica, polega na tym, iż funkcje bazowe używane w klasycznej metodzie elementów skończonych są wielomianami stopnia p o ciągłości we wnętrzu elementów, natomiast na granicy elementów skończonych są one klasy . Izogeometryczna metoda elementów skończonych uogólnia funkcje bazowe na wielomiany stopnia p które mogą być klasy na całym obszarze obliczeniowym. Mogą one być również klasy tylko we wnętrzach elementów oraz klasy na granicy elementów. W szczególności funkcje B-spline używane w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych definiowane są przez tzw. wektory węzłów. Poprzez powtórzenie węzłów na granicy elementów uzyskuje się funkcje B-spline równoważne klasycznym wielomianom Lagrange'a.

Izogeometryczna metoda elementów skończonych stosowana jest zazwyczaj na siatkach będących obrazem regularnych (kwadratowych lub sześciennych) grup elementów, natomiast klasyczna metoda elementów skończonych może używać elementów kwadratowych lub trójkątnych w 2D, oraz sześciennych, czworościennych, pryzm i piramid w 3D. Istnieją natomiast nowoczesne metody definiowania funkcji B-spline na elementach trójkątnych i czworościennych, i wówczas ta równoważność (fakt iż izogeometryczna metoda elementów skończonych zwiększa ciągłość funkcji bazowych) jest zachowana.

Klasyczna metoda elementów skończonych aproksymuje pola skalarne i wektorowe występujące w obliczeniach inżynierskich w sposób kawałkami ciągły, a izogeometryczna metoda elementów skończonych w sposób globalnie ciągły. Istnieją oczywiście problemyobliczeniowe dla których metoda izogeometryczna daje lepsze przybliżenie, oraz problemy obliczeniowe dla których klaszyczna metoda elementów skończonych daje lepsze przybliżenia.

Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o klasycznej metodzie elementów skończonych? 1. Wprowadzenie definicji elementu skończonego i klasycznych funkcji bazowych, takich jak wielomiany Lagrange'a oraz

hierarchiczne wielomiany stosowane na przykład w adaptacyjnej metodzie elementów skończonych. Definicje te powinny obejmować przynajmniej elementy prostokątne i trójkątne w dwóch wymiarach.

2. Wprowadzenie algorytmów generacji siatek obliczeniowych, w szczególności zbudowanych z trójkątów i czworościanów,

C

hp

C

_C

C

oraz algorytmów adaptacji siatek obliczeniowych

3. Przedstawienie szeregu przykładowych problemów prostych w formie silnej i w formie słabej

4. Przedstawienie algorytmów generacji układów równań, macierzy lewej strony (w przypadku niektórych problemów nazywanej macierzą sztywności) i wektora prawej strony

5. Przedstawienie algorytmów solwerów stosowanych do rozwiązywania układów równań 6. Przedstawienie przykładowych problemów obliczeniowych z wynikami

7. Przedstawienie metod stabilizacji dla problemów trudnych obliczeniowo, np. metody Discountinuous Galerkin (DG) lub metody Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)

Ad.1) Definicje formalne klasycznej metody elementów skończonych opisane zostały w modułach rozdziału "Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych".

Książka zawiera również szereg nieformalnych definicj. W szczególności elementy trójkątne opisane zostały w rozdziale "Siatki nieregularne"; wielomiany Lagrange'a na elementach prostokątnych i sześciennych zdefiniowane zostały poprzez powtórzenie węzłów w wektorze węzłów definiujących funkcje bazowe B-spline (pamiętając że wielomany Lagrange'a zawierają się w funkcjach B-spline) w rozdziale "Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych"

Ad.2) Algorytmy generacji siatek są obszernie opisane w rozdziale "Przetwarzanie siatek obliczeniowych",

Ad.3) Formy słabe i formy silne nie zależą od sposobu dyskretyzacji. W rozdziale "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod" podanych jest szereg sformułowań wariacyjnych niezależnych od tego czy używamy metody klasycznej czy izogeometrycznej. Mamy w szczególności równania transportu ciepła, równania konwekcji-dyfuzji, problem Stokesa, oraz równania problemu liniowej sprężystości.

Rozdziały te zawierają również dyskretyzację zazwyczaj wykonaną z pomocą izogeometrycznej metody elementów skończonych, jednakże w części ogólnej dotyczącej sformułowań silnych i wariacyjnych są one niezależne od metody dyskretyzacji.

Ad.4) Zagadnienie generacji układów równań wynikających z dyskretyzacji klasyczną metodą elementów skończonych zostało zilustrowane w rozdziale "Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych" dla przypadku

dwuwymiarowego. Odpowiednie algorytmy dla klasycznej metody elementów skończonych umieszczono w rozdziale "Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych". Umieszczono tam również przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych.

Ad.5) Algorytmy solwerów opisane są w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", w modułach "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner". Ad.6) W rozdziale "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod", w module "Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych" podany jest przykład sformułowania słabego i silnego dla dwuwymiarowego problemu transportu ciepła z wykorzystaniem klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg algorytmów dotyczących generacji układu równań. W rozdziale "Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych" umieszczono przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg przydatnych algorytmów.

Ad.7) Metoda stabilizacji DG zostala opisana w rozdziale "Metody Stabilizacji" w module "Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody Discontinuous Galerkin (DG)". W module "Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji" opisano metodę Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) która działa zarówno dla klasycznej jak i izogeometrycznej metody metody elementów skończonych

Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o izogemetrycznej metodzie elementów skończonych? 1. Wprowadzenie funkcji bazowych B-spline definiowanych na grupie (patchu) elementów. Definicje te powinny obejmować

sposób definicji funkcji za pomocą wektora węzłów

2. Wprowadzenie do algorytmów mapowania obiektów geometrycznych przez patche elementów w systemach CAD, mapowania patchów elementów na obiekty geometryczne, oraz algorytmów adaptacji patchów elementów 3. Przedstawienie szeregu przykładowych problemów prostych w formie silnej i w formie słabej

4. Przedstawienie algorytmów generacji układów równań, macierzy lewej strony (w przypadku niektórych problemów nazywanej macierzą sztywności) i wektora prawej strony

5. Przedstawienie algorytmów solwerów stosowanych do rozwiązywania układów równań 6. Przedstawienie przykładowych problemów obliczeniowych z wynikami

7. Przedstawienie metod stabilizacji dla problemów trudnych obliczeniowo, np. metody minimalizacji reziduum, metody SUPG Ad.1) Ten apekt został szczegółowo opisany w rozdziale "Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych", moduły "Liniowe funkcje bazowe", "Funkcje bazowe wyższego stopnia rzędu Ck w 1D", "Ulepszona analiza izogeometryczna w 1D", "Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 2D", "Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 3D" Ad.2) Aspekt obliczeń adaptacyjnych w metodzie izogeometrycznej jest pokrótce opisany w rozdziale "Przetwarzanie siatek obliczeniowych" moduł "Analiza izogeometryczna na siatkach adaptacyjnych". Aspekt mapowania obiektów CAD na grupy elementów został w podręczniku pominięty ze względu na swoją obszerność i przynależność do pokrewnej (ale innej) tematyki związanej z modelowaniem geometrii w systemach informatycznych.

Ad.3) Zagadnienie to zilustrowane zostało w rozdziale "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy" moduły "Aproksymacja za pomocą funkcji bazowych B-spline", "Wyprowadzenie układu równań liniowych", "Wygenerowanie układu

równań linowych za pomocą obliczeń analitycznych", "Rozwiązanie układu równań linowych", "Interpretacja rozwiązania". Ad.4) Algorytmy te zostały opisane w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", moduły "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner". Wszystkie te algorytmy jako takie są niezależne od faktu czy używamy klasycznej czy izogeometrycznej metody elementów skończonych. Dodatkowo moduły "Algorytm solwera iteracyjnego" oraz "Wybór solwera w zależności od rodzaju problemu" dotyczą przypadku izogeometrycznej metody elementów skończonych.

Ad.5) Algorytmy solwerów opisane są w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", w modułach "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner". Ad.6) W rozdziale "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy" i "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod" znajdują się obszerne przyklady obliczeniowe dla izogeometrycznej metody elementów skończonych. Ad.7) Metoda stabilizacji izogeometrycznej metody elementów skończonych zostala opisana w rozdziale "Metody Stabilizacji" w modułach "Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody minimalizacji reziduum" , oraz "Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji za pomocą metody Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)".

Dodatkowo podręcznik zawiera rozdział opisujący rozszerzenie metody elementów skończonych na problemy niestacjonarne (modelujące stan systemów zmieniający się w czasie) oraz wspomniany wcześniej rozdział wprowadzający do matematycznych podstaw metody elementów skończonych.

Wszelkie uwagi oraz pytania dotyczące treści książki proszę kierować na adres maciej.paszynski@agh.edu.pl

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2020-05-11 19:20:43

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=83dbcba900a0e131df4bc40d298255fa

Bibliografia

Bibliografia

1. Alexander Hrennikoff: Solution of problems of elasticity by the framework method, Journal of Applied Mechanics, USA 1941, dostęp:18.10.2019

2. R. Courant: Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of the American Mathematical Society, USA 1943, dostęp:18.10.2019

3. Peter Lax: Feng Kand, SIAM News, SIAM 1993, dostęp:18.10.2019

4. Olgierd Zienkiewicz: The birth of the finite element method and of computational mechanics, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Wiley 2004, dostęp:18.10.2019

5. J. Austin Cottrell, T. J. R. Hughes,Yuri Bazilevs: Isogeometric Analysis: Toward Integration of CAD and FEA, John Wiley & Sons, Computational and Numerical Methods 2009, dostęp:18.10.2019

6. Leszek Demkowicz: Computing with hp-Adaptive Finite Elements, Vol. I. One and Two Dimensional Elliptic and Maxwell Problems, Taylor & Francis, CRC Press 2006, dostęp:18.10.2019

7. Leszek Demkowicz, Jason Kurtz, David Pardo, Maciej Paszyński, Waldemar Rachowicz, Adam Zdunek A.: Computing with hp-Adaptive Finite Elements, Vol. II.Frontiers: Three Dimensional Elliptic and Maxwell Problems with Applications, Taylor & Francis, CRC Press 2007, dostęp:18.10.2019

8. Kjetil Andre Johannessen, Trond Kvamsdal, Tor Dokken: Isogeometric analysis using LR B-splines, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Norwegian University of Science and Technology 2014, dostęp:18.10.2019