14

(1)

1

Jak opisać świat w małej skali?

Podstawy mechaniki kwantowej

(2)

2

Promieniowanie elektromagnetyczne

10-12 ₁₀-10 ₁₀-8 _{4 x 10}-7

Gamma rays

X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves FM Shortwave AM 4 x 10-7 Wavelength in meters 5 x 10-7 _{6 x 10}-7 _{7 x 10}-7 7 x 10-7 ₁₀-4 ₁₀-2 ₁ ₁₀₂ ₁₀4 Vi si bl e gamma X ultrafiolet widzialne

podczerwień mikrofale radiowe

(3)

3 1 second λ₁ ν₁ = 4 cycles/second = 4 hertz ν₂ = 8 cycles/second = 8 hertz λ₂ λ₃ ν₃ = 16 cycles/second = 16 hertz

mała długość fali duża częstość duża długość fali mała częstość

(4)

1 second λ₁ ν₁ = 4 cycles/second = 4 hertz ν₂ = 8 cycles/second = 8 hertz λ₂ λ₃ ν₃ = 16 cycles/second = 16 hertz

Promieniowanie elektromagnetyczne

[ ]

s

m

T

c

=

λ

=

λ

⋅

ν

[

Hz

]

T

s

=

1

ν

λ− długość fali, m

ν − częstość, 1/s

Τ− okres, s

c – prędkość światła, m/s

(5)

5

Przykład 1 Wyznaczenie częstości światła z długości fali

Jaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego promieniowania wynosi 1.00 µm?

pamiętając, że λ ⋅ ν = c i przeliczając długość fali na

metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych jednostkach, długość fali wynosi:

λ = 1.00 µm ⋅

10

-6

= 1.00⋅10

-6

_m

1µm

ν = = 3.00⋅10

3.00⋅10

8

m/s

14 1

_/s

1.00⋅10

-6

_m

3.00⋅10

14

_Hz

Promieniowanie elektromagnetyczne

⇒

=

λ

ν

c

(6)

1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale

czarnego

2. Efekt fotoelektryczny

3. Efekt Comptona

4. Widma atomowe

5. Okresowość

Fakty eksperymentalne

(7)

7

Fakty eksperymentalne

1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego

ν

h

E

=

Max Planck 1900

s

J

h

=

6 .

626 ⋅

10

−34

⋅

kwanty energii

http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/Blackbody/frame.html

(8)

Fakty eksperymentalne

2. Efekt fotoelektryczny

Albert Einstein 1905

m

_e

– masa elektronu

v – prędkość

ν – częstość

Φ – praca wyjścia

bilans energii

hν

e

Φ

+

=

Φ

+

=

2 2 1 . .

v

e el wyjscia praca el kinetyczna kwantu

m

h

E

ν

(9)

9

Przykład 2 Wyznaczenie energii fotonów

Jaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5.2⋅1014 _Hz?

Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodnie z równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię,

a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energię na mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ = 103 _{J, 1Hz = 1/s).}

E = hν = (6.63⋅10

-34

J⋅s) ⋅ (5.2⋅10

14 1

/s) = 6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10

-20

_J

(6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10

-20

J) ⋅ (6.022⋅10

23

/mol) ⋅ (1 kJ/10

3

J) = 2.1⋅10

2

_kJ/mol

(10)

10

równanie de Broglie’a

λ

h

p

=

Fakty eksperymentalne

3. Efekt Comptona

zasada zachowania pędu

p

_i

p

_s

θ

p

_e

p

_i

e

s

i

p

r

=

r

+

r

p s i

h

λ

=

+

λ

θ

λ

cos

=

s i

θ

cos

=

i s

p

r

(

θ

)

λ

_i

=

_e

1 −

cos

(11)

11

Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością 2.2⋅106 _{m/s. Jaka jest długość fali de Broglie’a elektronu?}

Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystać

musimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda).

m

_e

= 9.109 ⋅ 10

-28

g = 9.109 ⋅ 10

-31

_kg

6.63⋅10

-34

J⋅s

(9.109⋅10

-31

kg) ⋅ (2.2⋅10

6

_m/s)

λ = = 3.3 ⋅ 10

-10

_m

1J = 1kg ⋅ m

2

_/s

2

_{; 330 pm}

Przykład 3 Obliczenie długości fali obiektu

Fakty eksperymentalne

e e e

m

h

υ

λ

⋅

=

Fala de Broglie

(12)

12

Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm?

Równanie m

υ

= h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali.

m

_e

=9

⋅

10

-31

_kg

Przykład 3 Obliczenie masy fotonu

Fakty eksperymentalne

kg

s

m

Js

m

c

h

m

f f 37 8 7 -34

-10

4

10

3

10

5

10

6.63

₋

⋅

=

⋅

=

⋅

=

λ

(13)

13 07_97 Prism Slit Continuous spectrum Electric arc (white light source) (a) Prism Slit Detector (photographic plate) Hydrogen gas (b) High voltage 410 nm434 nm 486 nm 656 nm Detector (photographic plate) Arc VI BGYO_R + -+

-Fakty eksperymentalne

4. Widma atomowe

2

1

2

1

2 2

⎟

>

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

n

R

_o

λ

(14)

14

Fakty eksperymentalne

5. Okresowość

02_29 1 H 3 Li 11 Na 19 K 37 Rb 55 Cs 87 Fr 4 Be 12 Mg 20 Ca 38 Sr 56 Ba 88 Ra 21 Sc 39 Y 57 La* 89 Ac† 22 Ti 40 Zr 72 Hf 104 Unq 23 V 41 Nb 73 Ta 105 Unp 24 Cr 42 Mo 74 W 106 Unh 25 Mn 43 Tc 75 Re 107 Uns 26 Fe 44 Ru 76 Os 108 Uno 27 Co 45 Rh 77 Ir 109

Une Uun110 Uuu111

28 Ni 46 Pd 78 Pt 29 Cu 47 Ag 79 Au 30 Zn 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 Cd 80 Hg 31 Ga 49 In 81 Tl 5 B 13 Al 32 Ge 50 Sn 82 Pb 6 C 14 Si 33 As 51 Sb 83 Bi 7 N 15 P 34 Se 52 Te 84 Po 8 O 16 S 9 F 17 Cl 35 Br 53 I 85 At 10 Ne 18 Ar 36 Kr 54 Xe 86 Rn 2 He 58 Ce 90 59 Pr 91 60 Nd 92 61 Pm 93 62 Sm 94 63 Eu 95 64 Gd 96 65 Tb 97 66 Dy 98 67 Ho 99 68 Er 100 69 Tm 101 70 Yb 102 71 Lu 103 1A 2A Transition metals 3A 4A 5A 6A 7A 8A 1 2 13 14 15 16 17 18 A lka li m et a ls Alkaline

earth metals Halogens Noble gases

*Lanthanides

(15)

15

1. Kwantowanie energii

2. Dualizm

korpuskularno-falowy

3. Nieoznaczoność położenia i pędu (Heisenberga)

(16)

16

dyfrakcja

interferencja

dyfrakcja

interferencja

falowe

promieniowanie katodowe

promieniowanie beta

efekt Comptona

efekt fotoelektryczny

korpuskularne

elektrony

światło

własności

Dualizm korpuskularno-falowy

http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld1_E Przykład: proces fotograficzny

Które efekty dominują i dlaczego?

Fala de Broglie’a

e

m

h

υ

λ

⋅

=

(17)

17

(18)

Zgodnie z relacją de Broglie’a cząstka o określonej

prędkości jest falą, której długość określa równanie:

e

m

h

υ

λ

⋅

=

Gdzie zatem znajduje się elektron?

Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie.

Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Elektrony

Dualizm korpuskularno-falowy

(19)

19

energia

masa

pęd

h

h -- stała Plancka = 6.62 stała Plancka = 6.62 .. 1010--3434 JJ..ss

ν

ν –– częstość, sczęstość, s--11

λ

λ -- długość fali, mdługość fali, m

c

c –– prędkość światła 3prędkość światła 3..101088 m/s m/s

λ

ν

h

c

h

p

_f

=

ν

h

E

_f

=

2 c

h

m

_f

=

ν

Światło

cechy fali i cząstki

(20)

jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej położenia

gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej

prędkości

tzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości

h

p

x

⋅

∆

≥

∆

Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa?

nie, w opisie makroskopowym świata falowe właściwości materii nie odgrywają praktycznie roli i można je zaniedbać

(21)

21

Kwantowy opis atomu

1. Kwantowanie energii

interpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała

doskonale czarnego

ν

h

E

=

2. Dualizm korpuskularno-falowy

każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o

długości:

p

h

=

λ

3. Zasada nieoznaczoności

nie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki

h

p

x

⋅

∆

≥

(22)

22

5. Gęstość prawdopodobieństwa

można natomiast ustalić prawdopodobieństwo P

przebywania cząstki w określonej objętości dV.

Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako

gęstość prawdopodobieństwa Ψ

2

_:

dV

P

=

2

ψ

gdzie

Ψ oznacza funkcję falową.

Kwantowy opis atomu

4. Równanie Schrödingera

funkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe:

ψ

E

(23)

23

Co to jest funkcja falowa?

x

y

z

P – prawdopodobieństwo

Ψ– funkcja falowa

ρ – gęstość prawdopodobieństwa

)

,

(

)

,

(

x

y

z

t

x

y

z

dV

P

_ρ

ρ

=

≈

Definicje

1

2 2

=

∫

ψ

ρ

ψ

(24)

Definicje

Co to jest operator w matematyce?

dowolna operacja matematyczna, jak na przykład:

sin

dx

d

×

+

f

g

f

G

ˆ

=

⋅

Co to jest zagadnienie własne?

jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f

otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g:

wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G

^

Kwantowy opis atomu

(25)

25

V

T

H

ˆ

=

ˆ

+

ˆ

Równanie Schrödingera

m – masa cząstki h – stała Plancka

zasada zachowania energii

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

2 2₂ 2₂ 2₂

2 dz

d

dy

d

dx

d

m

h

r

e

Z

0 2

4 πε

⋅

−

Z – ładunek jądra E – ładunek elektronu

energia przyciągania ładunków (Coulomba) jądro-elektron, elektron-elektron, jądro-jądro energia kinetyczna

elektronów i jąder

ε₀– stała dielektryczna próżni r – promień

operator energii potencjalnej operator energii kinetycznej

Energia w atomie - bilans

(26)

Równanie Schrödingera

2 2 2

2 ˆ

dx

d

m

h

H

=

−

jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x

to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

2 2₂ 2₂ 2₂

2 ˆ

dz

d

dy

d

dx

d

m

h

H

a w trzech wymiarach x, y, z:

m – masa cząstki

h – stała Plancka

Mechanika kwantowa

(27)

27

Równanie Schrödingera

Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje

falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności

rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E

wyznaczonymi doświadczalnie.

Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje

falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności

rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E

wyznaczonymi doświadczalnie.

(28)

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

x

x=0

x=L

)

(

)

(

2

2 2 2

x

E

x

dx

d

m

h

_ψ

₌

_ψ

−

równanie Schrödingera ma postać:

(29)

29

)

Ψ(

Ψ

2

2 x

E

dx

d

m

h

₌

−

E

–

energia cząstki

A, B

– stałe całkowania

kx

B

kx

A

x

)

sin

cos

Ψ(

=

+

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

rozwiązanie równania ma postać ogólną:

gdzie

π

2 h

=

h

2 1

)

2 (

h

mE

k

=

i

Mechanika kwantowa

(30)

30

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla:

x=0 to

Ψ

=0

i

x=L to

Ψ

=0

bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła.

Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy:

Ψ

(x=0)=Asin (k

⋅

0)+Bcos(k

⋅

0)=0

zauważmy, że:

sinkx=0 i coskx=1

wówczas

B=0

Podstawiając x=L do równania ogólnego otrzymamy:

Ψ

(x=L)=Asin (k

⋅

L)=0

wówczas

A=0 lub sin (k

⋅

L)=0

jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x)= 0 dla 0 < x< L)

(31)

31

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

Zatem dalej:

sin (k

⋅

L)=0

wtedy i tylko wtedy, gdy

k=n

⋅π

i n

jest liczbą naturalną

Podstawmy do wzoru na

k

Z tego otrzymamy wzór na energię E

π

2 π

3 π

...

2 ,

1 )

2 (

2 1

=

mE

n

k

π

h

...

2

1

8

2

2 ,

n

mL

h

n

E

=

Energia cząstki jest kwantowana,

a jej wartość zależy od liczby

kwantowej

n

(32)

32

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

...

2

1

8

2 2 2

,

n

mL

h

n

E

=

Mechanika kwantowa

1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 n n2 E

poziomy energetyczne cząstki

0

(33)

33

dla stanu podstawowego

n

= 1

dla stanu wzbudzonego

n

> 1

można wykazać, że z warunku

określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego

∫

Ψ

=

L

dx

x

0 2

₍

₎

₁

L

x

n

L

x

n

π

sin

2 )

(

2 1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Ψ

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

Mechanika kwantowa

(34)

34

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

Mechanika kwantowa

funkcja falowa i energia

L

x

n

L

x

n

π

sin

2 )

(

2 1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Ψ

2 2 2

8mL

h

n

E

=

x=0 x=L 1 2 3 1 4 9 n n2 E 0

ψ

(35)

35

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

Mechanika kwantowa

funkcja falowa

L

x

n

L

x

n

π

sin

2 )

(

2 1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Ψ

2 2 2

8mL

h

n

E

=

2 2

sin

2 )

(

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Ψ

L

x

n

L

x

n

π

gęstość prawdopodobieństwa

i energia

ψ

x=0 x=L 1 2 3 1 4 9 n n2 E 0

ψ

2