1
O.3 POLARYZACJA ŚWIATŁA.
Opracowanie: Danuta Szot-Gawlik Dorota Wierzuchowska
I. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest zapoznanie z różnymi sposobami polaryzacji światła, własnościami światła spolaryzowanego oraz doświadczalnymi metodami wyznaczenia stopnia jego polaryzacji.
II. Wymagania do kolokwium:
1. Rozwój poglądów na temat natury światła 2. Równania Maxwella
3. Światło jako fala elektromagnetyczna 4. Dualizm korpuskularno falowy
5. Polaryzacja fal, rodzaje polaryzacji 6. Sposoby polaryzacji światła 7. Skręcenie płaszczyzny polaryzacji 8. Prawo Malusa
III. Literatura zalecana:
[1] II pracownia fizyczna (praca zbiorowa), Wydawnictwo Naukowe AP w Krakowie (2000) [2] D.Holliday, R.Resnick, J.Walker, Podstawy fizyki, PWN 2003 i nast.
[3] Sz. Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna cz. IV – Optyka, PWN 1983 [4] H. Szydłowski, Pracownia Fizyczna wspomagana komputerem [5] E. Hecht, Optyka, PWN 2012
2
IV. Wstęp teoretyczny:
1. Fale świetlne.
Od drugiej połowy XIX wieku światło opisywane jest jako fala elektromagnetyczna (EM), czyli za rozchodzące się zarówno w próżni jak i w ośrodkach materialnych zmienne pole elektryczne E i magnetyczne H. Pola te wiążą równania Maxwella, które możemy zapisać w postaci
całkowej:
∮ 𝑩 · 𝑑𝑺 = 0 magnetyczne prawo Gaussa (1a)
∮ 𝑫 ∙ 𝑑𝑺 = ∫ 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 elektryczne prawo Gaussa (1b)
∮ 𝑯 ∙ 𝑑𝒍 = ∫ 𝒋 ∙ 𝑑𝑺 +𝑑𝑡𝑑 ∫ 𝑫 ∙ 𝑑𝑺 prawo Ampere’a (1c)
∮ 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = −𝑑𝑡𝑑 ∫ 𝑩 ∙ 𝑑𝑺 prawo indukcji Faradaya (1d)
Równania te otrzymujemy po zastosowaniu twierdzenia Stokesa i Ostrogradskiego-Gaussa do równań Maxwella zapisanych w równoważnej postaci różniczkowej:
𝑑𝑖𝑣𝑩 = 0 (2.a)
𝑑𝑖𝑣𝑫 = 𝜌 (2.b)
𝑟𝑜𝑡𝑯 =𝜕𝑫
𝜕𝑡 + 𝒋 (2.c)
𝑟𝑜𝑡𝑬 = −𝜕𝑩
𝜕𝑡 (2.d)
gdzie:
D – wektor indukcji elektrycznej, J – prąd przesunięcia,
B – wektor indukcji magnetycznej,
– gęstość ładunków elektrycznych, Γ – kontur ograniczający powierzchnię ∑ ∑ – powierzchnia ograniczająca objętość V
Dodatkowo wektory H, B, E i D związane są zależnościami:
D=o E B= oH gdzie:
,o – przenikalność elektryczna ośrodka i próżni,
,o – przenikalność magnetyczna ośrodka i próżni.
𝛴
𝛤 𝑉
𝛤 𝛴 𝛴
𝛤 𝛴
3
0 = 8,8410 –12 C2/Nm2 , 0 = 4
π
10-7 Wb/AmRównania Maxwella w postaci różniczkowej można zapisać również używając innej postaci zapisu dywergencji i rotacji, z zastosowaniem operatora Hamiltona 𝛁 (nabla), symbolicznego wektora, którego postać we współrzędnych prostokątnych jest następująca:
𝛁 = 𝑑
𝑑𝑥𝒊 + 𝑑
𝑑𝑦𝒋 + 𝑑 𝑑𝑧𝒌
Z równań Maxwella w postaci różniczkowej (3a-3d) można wyprowadzić równanie fal elektromagnetycznych w jednorodnych ośrodkach neutralnych i nieprzewodzących (=0, j=0, oraz i). Przy takich warunkach równania Maxwella przyjmują postać:
𝛁 ·B = 0 (3a)
𝛁 ·D = 0 (3b)
𝛁xH = o𝝏𝑬
𝜕𝑡 (3c)
𝛁xE =- o𝝏𝑯
𝜕𝑡 (3d)
Różniczkując względem czasu równanie (3c) otrzymujemy:
𝛁 x 𝝏𝑯
𝜕𝑡 = o𝜕2
𝜕𝑡2𝑬 (4)
Z zależności (3d) wyliczmy 𝝏𝑯𝜕𝑡 i podstawiamy do równania (4), otrzymując 𝛁 x (𝛁 x E) = -o o 𝜕2
𝜕𝑡2𝑬 (5)
Korzystając z tożsamości 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑐) ∙ 𝑏 − (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 , powyższe równanie można zapisać w postaci:
𝛁·(𝛁·E) -(𝛁·𝛁)·E =-o o 𝜕2
𝜕𝑡2𝑬 (6)
Ponieważ 𝛁·E = 0 więc 𝛁·(𝛁·E)=0 a stąd 𝛁 x (𝛁 x E) = – 𝛁𝟐𝐄
Operator 𝛁·𝛁 =𝛁𝟐= ∆ nazywamy laplasjanem. Ostatecznie więc równanie (5) można zapisać w postaci:
𝛁𝟐E = o o
𝜕2
𝜕𝑡2𝑬 (7)
Gdyby rozpocząć od różniczkowania względem czasu równania (3d) i postępować dalej podobnie stwierdzilibyśmy, że wektor B spełnia również równanie:
𝛁𝟐B = o o 𝜕2
𝜕𝑡2𝑩 (8)
→ → → → → → → → →
4 Są to klasyczne równania falowe, które w współrzędnych prostokątnych (x,y,z), dla ≠1 i ≠1 (ośrodek dielektryczny) mają postać:
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
E x
E y
E z
E t E
x
E y
E z
E t E
x
E y
E z
E t
x x x x
y y y y
z z z z
o o
o o
o o
,
,
,
(9)
gdzie Ei to kartezjańskie składowe wektora E(i= x,y,z). Jeżeli założymy, że pole E oscyluje w kierunku osi Y, a drgania rozchodzą wzdłuż osi X to otrzymujemy:
E E
E x
E t
x
z
y y
0 0
2 2
2 2
, ,
.
(10)
Analogicznie otrzymujemy:
2
2
2
2
H x
H t
z z
o o
. (11)
Przez porównanie równań (7) i (8) do znanego z mechaniki równania falowego
2
2 2
2
2
1
x v t
, (12)
widać, że są to także równania falowe dla funkcji Ex i Hy, opisujących falę elektromagnetyczną, dla których
1 1
v2 o o v
o o
, (13)
gdzie v - prędkość światła w ośrodku dielektrycznym.
W próżni = = 1 i wtedy prędkość światła w niej wynosi:
v c m
o o s
1 3 108
.
5 Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Drgania wektorów 𝐸⃗ 𝑖 𝐵⃗ odbywają się w kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Również wektory 𝐸⃗ 𝑖 𝐵⃗ są względem siebie zawsze skierowane prostopadle. Wektory te na ogół drgają w zmiennych w czasie kierunkach, pozostając stale pod kątem prostym względem siebie oraz względem kierunku rozchodzenia się fal. Prędkość fal elektromagnetycznych w próżni jest niezależna od częstości i równa prędkości światła w próżni c. Natężenia pola elektrycznego i magnetycznego zmieniają się w czasie sinusoidalnie, z tą samą częstością i w próżni są zgodne w fazie.
W przypadku granicznym, gdy fala elektromagnetyczna ma małą częstość lub/i rozchodzi się w ośrodku o dużej przewodności drgania elektryczne i magnetyczne są przesunięte w fazie o kąt /4. W przypadku światła (duża częstość, dodatkowo ośrodek przezroczysty, dielektryk np.
szkło ma małą przewodność) przesunięcie w fazie możemy zaniedbać.
2. Polaryzacja światła.
Składowe elektryczne i magnetyczne fal elektromagnetycznych są poprzeczne w stosunku do kierunku ich rozchodzenia się, czyli do wektora falowego K. W przestrzeni trójwymiarowej zmiany pól elektrycznego i magnetycznego zachodzą w płaszczyźnie prostopadłej do K, a każde drganie rozłożyć można na składowe w dwóch prostopadłych kierunkach. Możemy mieć więc różne amplitudy pól w każdym z poprzecznych kierunków oraz różne możliwe wzajemne ich fazy. Określony stosunek amplitud i faz dwu niezależnych poprzecznych pól zwany jest stanem polaryzacji lub wprost polaryzacją. Przy oddziaływaniu fal elektromagnetycznych z materią często się zdarza, że fale o różnej polaryzacji nie oddziałują w ten sam sposób z danym materiałem. We wszystkich takich przypadkach anizotropowych oddziaływań polaryzacja promieniowania elektromagnetycznego zostaje zmieniona. Fakt ten ma wiele ważnych następstw. Badanie wpływu dobrze znanych materiałów na wiązkę padającego światła o nieznanej polaryzacji pozwala na określenie tej polaryzacji. Odwrotnie - mierząc zmianę znanej polaryzacji, wywołaną oddziaływaniem z nieznanym materiałem, można określić jego anizotropię.
W ruchach falowych ma miejsce wychylenie pewnej wielkości fizycznej z jej położenia równowagi zależne od położenia i czasu. Można je opisywać na przykład przy pomocy pewnego wektora (x,y,z,t). Zwykle badamy fale płaskie, dla których ma postać (z,t) i ustalamy OZ jako równoległą do wersora k. Dla fal płaskich rozchodzących się wzdłuż osi Z możemy wychylenie wyrazić w postaci: [2]
(z,t) = i x (z,t) + j y (z,t) + k z (z,t) .
Dla płaskich fal elektromagnetycznych (z,t) oznacza poprzeczne pole elektryczne E(z,t).
Drugą interesującą w fizycznym sensie wielkością jest poprzeczne pole magnetyczne B (z,t),
6 które jest związane z E (z,t) równaniami Maxwella. Wektory E i B są zawsze poprzeczne w stosunku do osi Z (zapis (z,t) oznacza, że fala płaska nie zależy od x i y). Upraszcza się więc zapis fali poprzecznej do:
(z,t) = i x (z,t) + j y (z,t) .
2.1 Polaryzacja liniowa.
Jeżeli w wypadku fal poprzecznych, drgania odbywają się wzdłuż ustalonej prostej prostopadłej do wektora k, mówimy że fale są spolaryzowane liniowo. Wzdłuż wersorów i oraz j mamy dwa niezależne kierunki poprzeczne. Weźmy pod uwagę ustaloną wartość z.
Drgania wektora charakteryzującego składową elektryczną fali świetlnej mogą mieć wówczas jedną z dwu postaci:
(z,t) = i E 1cos t , (14)
(z,t) = j E 2cos t (15)
gdzie stałą fazową przyjęliśmy za równą 0. W ogólności może istnieć liniowo spolaryzowane drganie wzdłuż prostej, która nie jest równoległa ani do wersora i ani do wersora j. Drgania takie można przedstawić jako superpozycję dwu niezależnych, liniowo spolaryzowanych drgań, danych równaniami (14) i (15), gdzie składowe x i y tej superpozycji mają tę samą stałą fazową (z dokładnością do ):
(z,t) = i E 1cost + j E 2cost, (16) (z,t) = (i E 1+ j E 2) cost. (17) Wektor i E1 + j E2 ma wartość bezwzględną i kierunek niezależne od czasu. Dlatego (z,t) z równania (17) przedstawia drgania wzdłuż ustalonej prostej. Amplituda E drgania dana jest wzorem:
E E1 E
2 2 2
.
Kierunek (z,t) (dla polaryzacji liniowej) jest zawsze zgodny z kierunkiem +e, gdzie e jest wektorem jednostkowym określonym przez:
e= E i j E
E E
1 2
.
Drgania (z,t) dla liniowo spolaryzowanej fali (przy ustalonym z) przedstawia rysunek 1.
7 E2
E1
y
x
Rys.1 Polaryzacja liniowa. Przemieszczenie dla ustalonego z wyrażone wzorami (16) i (17) oscyluje harmonicznie wzdłuż odcinka oznaczonego strzałkami.
2.2 Polaryzacja kołowa.
Jeżeli ewolucja fali poprzecznej polega na ruchu kołowym składowej elektrycznej E to falę nazywamy spolaryzowaną kołowo. Kierunek polaryzacji w kierunku +k definiujemy za pomocą reguły śruby prawoskrętnej. Drgania spolaryzowane wzdłuż +k można wyrazić w postaci superpozycji drgania liniowo spolaryzowanego wzdłuż i oraz drgania liniowo spolaryzowanego wzdłuż j o takiej samej amplitudzie.
Przyjmując układ osi X, Y, Z za układ prawoskrętny, (zdefiniowany tak, że i j = k), widzimy, że przy polaryzacji kołowej +k, drganie wzdłuż i wyprzedza drganie wzdłuż j o 90o. Dla pewnej wartości z napisać możemy:
(z,t) = i Ecost + j Ecos(t - 2) = i Ecost + j Esint . (18)
Podobnie przy polaryzacji kołowej lewoskrętnej -k drganie wzdłuż i pozostaje w tyle za drganiem wzdłuż j o 90o.
(z,t) = i Ecos t + j Esin(t + 2) = i Ecost - j Esint . (19)
8 2.3 Polaryzacja eliptyczna.
W ustalonym punkcie z = 0 ogólna postać poprzecznie spolaryzowanych drgań to:
(z,t) = iE 1 cos(t + 1) + jE 2 cos(t + 2).
W zapisie tym mieszczą się wcześniej omówione przypadki, bo zgodnie z [3]:
jeżeli 2 równa się 1
, lub 1
, mamy polaryzację liniową,
jeżeli 2 1 2
oraz E1 = E2, mamy polaryzację kołową prawoskrętną,
jeżeli 2 1 2
oraz E1 = E2 mamy polaryzację kołową lewoskrętną.
Niech wzdłuż osi Z rozchodzą się dwie fale płaskie, których wektory elektryczne dane są przez:
E1 iE1cos(tkz), (20
E2 iE2cos(t kz ), (21)
gdzie jest przesunięciem fazowym między nimi. Złożenie (superpozycję)
E = E 1 + E 2 tych fal można rozpatrywać jako jedną falę płaską o bardziej złożonej polaryzacji.
Wektor elektryczny pola sumarycznego E ma w płaszczyźnie z = 0 składowe:
ExE1cost,
Ey E2cos( t ) .
Należy sprawdzić jak zachowuje się ten wektor w czasie. Uwzględniając że:
Ex
E t
1
cos
,
Ey
E t t
2
cos cossin sin , otrzymujemy:
9
E E
E E
E E E E
x y x y
2
12 2
22
1 2
2 2
cossin
. (22)
Równanie (22) jest równaniem elipsy, której osie tworzą pewien kąt z osiami X oraz Y. Jest to miejsce geometryczne punktów, w których znajduje się koniec wektora E w różnych chwilach czasu. Wektor E obraca się w płaszczyźnie z = constans w czasie t2
odpowiednio zmieniając swoją wielkość. Taka fala elektromagnetyczna jest falą o polaryzacji eliptycznej.
Płaszczyzna polaryzacji takiej fali obraca się w sposób ciągły w przestrzeni, przy czym kierunek obrotu zależy od znaku kąta .
Na rysunku 2 przedstawiono zmiany polaryzacji wynikające ze względnej różnicy faz 1 2 (linie ze strzałkami i elipsy obrazują ruch końca wektora E w płaszczyźnie XY).
Rys 2
3. Wytwarzanie spolaryzowanych fal świetlnych.
3.1 Polaryzowanie przez odbicie.
Dla dowolnego kąta padania kąty padania i załamania promienia świetlnego
1 i 2 związane są prawem Snelliusa:
n1sin1n2sin2. (23)
Promienie padający i odbity tworzą z normalną takie same kąty (prawo zwierciadlanego odbicia), leżące w jednej płaszczyźnie.
10 n2
n1
ośrodek 1 ośrodek 2
Rys. 3. Polaryzacja przez odbicie. n1, n2 - współczynniki załamania światła odpowiednio w ośrodku 1 i 2.
Polaryzację przez odbicie można wytłumaczyć korzystając z następującego modelu. Światło padające pobudza atomy materiału, na który pada do drgań i reemisja wywołana tymi drganiami jest właśnie światłem odbitym. Jeśli 1 + 2 = 90o wówczas drgania, które leżą w płaszczyźnie padania nie mają składowych poprzecznych do kierunku obserwacji (wynika to z poprzeczności fali EM) i dlatego nie mogą być emitowane w tym kierunku. Tak więc światło odbite gdy 1 + 2 = 90o jest całkowicie spolaryzowane prostopadle do płaszczyzny padania.
Po uwzględnieniu prawa Snelliusa (23) mamy:
n1sin 1 = n2 sin (90o – 1) = n2 cos 2, (24) lub
tg 1 = n n
2
1
,
(25)
przy czym założyliśmy, że promień pada z ośrodka 1 i załamuje się w ośrodku 2.
Równanie (25) można zapisać również jako:
tg 1 = n. (26)
11 gdzie : n n
2 n
1 jest współczynnikiem załamania ośrodka 2 względem pierwszego, a 1 jest kątem Brewstera określającym maksymalną polaryzację przy odbiciu. Ponieważ współczynnik załamania światła jest funkcją długości fali, wobec tego i kąt Brewstera zależy od długości fali.
3.2 Polaryzacja przez rozproszenie
Jeżeli wiązkę światła przepuszczamy przez ośrodek rozpraszający (rys. 4), wówczas wiązka ta ulega rozproszeniu przez ziarenka zawiesiny znajdującej się w tym ośrodku.
Rys 4. Przejście światła przez ośrodek rozpraszający.
Każda z tych drobin staje się źródłem nowych fal rozchodzących się we wszystkich kierunkach o drganiach z kierunkiem narzuconym przez falę padającą, tzn. w płaszczyźnie prostopadłej do promienia. Drobina rozpraszająca zachowuje się jak oscylator naśladujący drgania poprzecznej fali padającej. Jeśli zatem obserwujemy światło wysyłane w kierunku OC lub OD prostopadłym do wiązki padającej, to okaże się ono światłem spolaryzowanym całkowicie w płaszczyźnie drgań promienia padającego nawet wtedy, gdy promień pierwotny biegnący w kierunku poziomym AB jest niespolaryzowany. W innych kierunkach niż prostopadłe do AB światło rozproszone powinno wykazywać polaryzację częściową. W rzeczywistości, z powodu wielokrotnego rozproszenia trudno jest zaobserwować całkowitą polaryzację nawet pod kątem prostym względem wiązki padającej.
3.3 Polaryzacja przez podwójne załamanie
12 Podczas przechodzenia światła przez liczne kryształy przezroczyste, z wyjątkiem kryształów należących do układu kryształów regularnych tzn. izotropowych, obserwuje się zjawisko nazywane podwójnym załamaniem światła (dwójłomnością). Zjawisko to polega na tym, że padający na kryształ promień rozdziela się wewnątrz kryształu na dwa promienie, rozchodzące się w ogólności z różnymi prędkościami i w różnych kierunkach.
Kryształy wykazujące podwójne załamanie światła dzielą się na kryształy jednoosiowe i dwuosiowe. W kryształach jednoosiowych jeden z załamanych promieni podlega zwykłemu prawu załamania, nazywamy go promieniem zwyczajnym i oznaczamy literą o. W przypadku drugiego promienia, zwanego nadzwyczajnym i oznaczanego literą e, stosunek sinusa kąta padania i kąta załamania nie pozostaje stały przy zmianie kąta padania. Przykładami kryształów jednoosiowych są turmalin, szpat islandzki, kwarc. W kryształach dwuosiowych np.
mice, obydwa promienie są promieniami nadzwyczajnymi i ich współczynniki załamania zależą od kierunku rozchodzenia się w krysztale.
W kryształach jednoosiowych istnieje jeden taki kierunek, wzdłuż którego promień zwyczajny i nadzwyczajny rozchodzą się z jednakową prędkością nie rozdzielając się. Kierunek ten nazywany jest osią optyczną kryształu. Badanie promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego pokazuje, że oba promienie są całkowicie spolaryzowane w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych. Płaszczyzna drgań promienia zwyczajnego jest prostopadła do przecięcia głównego kryształu (tzn. zawierającego oś optyczną), natomiast promienia nadzwyczajnego leży w płaszczyźnie pokrywającej się z przecięciem głównym. Po wyjściu z kryształu oba promienie różnią się tylko kierunkami polaryzacji, dlatego też pojęcia promień “zwyczajny”
i“nadzwyczajny” mają sens tylko wewnątrz kryształu.
W niektórych kryształach jeden z promieni jest pochłaniany silniej od drugiego. Zjawisko to nazywamy dichroizmem. Przykładem może być kryształ turmalinu, w którym promień nadzwyczajny jest całkowicie pochłaniany już na odcinku 1 mm. Własność tę wykorzystuje się do uzyskiwania światła spolaryzowanego i konstrukcji polaryzatorów.
4. Odbicie i załamanie światła na powierzchni ciał przeźroczystych. Wzory Fresnela.
W tym paragrafie rozważymy, jak zachowują się fale padające pod kątem na granicę dwóch idealnych dielektryków [4]. Pierwszym rozpatrywanym przypadkiem będzie wiązka promieni równoległych, spolaryzowanych w płaszczyźnie padania, drugim zaś wiązka spolaryzowana w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny padania. Następnie podamy wzory w przypadku ogólnym, to znaczy gdy wiązka padająca jest spolaryzowana w płaszczyźnie tworzącej kąt z płaszczyzną padania.
Załóżmy, że płaszczyzną graniczną ośrodków 1 i 2 jest płaszczyzna XY, zaś wiązka promieni pada na płaszczyznę ZX (płaszczyzna rys.4.1). Oś Z wybieramy tak, aby środowisko do którego światło wchodzi było po stronie dodatnich wartości z.
W tych warunkach składowe Ex i Ez wektora pola elektrycznego E prostopadłego do płaszczyzny padania są równe zero. Zatem mamy:
13
( )p ( )yp ( )sin ( )
pp
E E E
c t r
1 , (27)
gdzie:
pp
E( ) – amplituda drgań padających, prostopadłych do płaszczyzny padania.
r – odległość danego punktu środowiska od tej powierzchni fali dla której przyjmujemy fazę początkową równą zero.
c1,c2 – prędkości rozchodzenia się fali w ośrodkach 1 i 2.
Faza drgań we wszystkich punktach osi Y ma wartość jednakową, a zatem zapisujemy wektor fali padającej jako:
( ) ( )sin ( cos cos
p )
p
p p p
E E t x z
c
1 . (28)
Rys 5. Polaryzowanie przez odbicie i załamanie.
Na granicy ośrodków wiązka padająca dzieli się na dwie części, odbitą i załamaną o amplitudach wyrażonych wzorami:
( ) ( )
sin ( cos cos cos
o )
p
o o o o
E E t x y z
c
1 , (29)
( ) ( )
sin ( cos cos cos
z )
p
z z z z
E E t x y z
c
2 , (30)
gdzie:
14 Ep( )0 ,Ep( )z
– amplitudy drgań w promieniach odbitym i załamanym ; znak „p” oznacza, że mamy do czynienia ze światłem spolaryzowanym w płaszczyźnie padania.
Z warunku równości składowych stycznych pola elektrycznego na granicy dwóch ośrodków mamy:
pp p
po o
pz z z
E
c E o
c E
c
t x
t x y
t x y
( ) ( )
( )
sin ( cos
) sin ( cos cos
)
sin ( cos cos
).
1 1
2 (31)
Równość ta musi być spełniona dla każdego t, czyli:
cos p cos o cos z
c c c
1 1 2
(32)
coso = cosz = 0 (33)
Promienie odbity i załamany tworzą z osią Y kąt prosty, a więc tak jak promień padający leżą w płaszczyźnie padania.
Ponadto:
p o
p z
c c
, cos
cos 1,
2
(34,35) lub
cos
cos p , .
z
c c
n n
n
1
2 2 1
2 1
. (36)
Wektor H prostopadły do kierunku promienia, oraz do wektora E leży w płaszcz. padania. Gdy Ep(p)ma kierunek dodatnich wartości y to wektor H tworzy z osią X kąt ( - 1), a więc składowa styczna Hx jest równa:
xp
pp
pp
H H
c E
c
t x z
t x z
( ) ( )
( )
sin ( cos cos
)
cos sin ( cos cos
) .
1 1
1
1 1 1
1 (37)
15
Natomiast
x o
p
H Eo t x z
c
( ) ( )
cos sin ( cos cos
)
1
1 1
1 , (38)
x z
p
H E z t x z
c
( ) ( )
cos sin ( cos cos
)
2 2
2 2
2
. (39)
Z warunku ciągłości pola H na granicy ośrodków mamy:
( 1 ( )p 1 ( )) cos1 2 ( )cos2
p
p o
p
E E Ez , (40)
z tego otrzymujemy amplitudy drgań odbitych i załamanych w funkcji amplitudy drgań padających:
p o
p
E p
n
n
( ) E( )
cos cos cos cos
1
2
1
2
, (41)
p o
p
E( ) sin( )E( )p
sin( )
1 2
1 2
, (42)
p z
p
E( ) cos sin E( )p
sin( )
2 1 2
1 2
. (43)
Zatem w przypadku przechodzenia zaburzeń ze środowiska optycznie rzadszego do optycznie gęstszego (n > 1) amplitudy drgań odbitego i padającego mają bez względu na wartość kąta padania 1, znaki przeciwne gdyż kąt 1 jest zawsze większy od kąta 2.
Kierunki wektorów są takie jak na rysunku 6.
16
Hp
y
x -z
z
kp
Eo Ho
ko Ep
Rys. 6. Kierunki drgań dla promienia odbitego i padajacego przy przechodzeniu światła z ośrodka optycznie rzadszego do gęstszego.
Przekrój poprzeczny wiązki odbitej i jej prędkość rozchodzenia się są odpowiednio równe przekrojowi i prędkości wiązki padającej wobec czego stosunek natężeń światła odbitego do padającego jest równy stosunkowi kwadratów odpowiednich amplitud,
po pp
I I
Epo Epp
( ) ( )
( ) ( )
sin ( )
sin ( )
2
2
2 1 2
2 1 2
. (44)
Natomiast wiązka załamana ma inny przekrój poprzeczny i inną prędkość rozchodzenia się.
Stosunek natężeń światła załamanego i padającego opisuje wzór:
pz pp
I I
Epz Epp
c c
Epz Epp
( ) ( )
( ) ( )
cos cos
( ) ( )
sin cos sin cos
2
2 2 1
2 1
2
2
1 2
2 1
, (45)
skąd po podstawieniu wartości ze wzoru (43) otrzymujemy:
pz pp
I I
( ) ( )
cos sin
sin ( )
sin cos sin cos
sin sin
sin ( )
4 2 1 2 2 2 2
2 2 1
1 2
2 1
1 2
2 2 1
. (46)
Nazwijmy stosunek natężeń światła odbitego i padającego współczynnikiem odbicia a stosunek natężeń światła przechodzącego przez środowisko drugie oraz padającego
17 współczynnikiem transmisji. Gdy promienie padają prostopadle na powierzchnię rozdziału mamy:
cos cos
1
2
1
,
a więc wzór (4.14a) przyjmuje postać
p o
p
E n p
n E
( ) ( )
1
1 . (47)
Stosunek natężeń światła odbitego i padającego, będzie równy:
p o
p p
I I
po E
pp E
n n
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
1 1
. (48)
Przyjmując zaś we wzorze (46) cos1 = cos2 =1 oraz sin1 1 = nsin2 n2 znajdujemy transmisję środowiska drugiego wyrażoną wzorem:
p o
p p
I I
n n
( )
( ) ( )
4
12. (49)
Niech teraz wiązka promieni równoległych, padających na powierzchnię rozdziału, będzie spolaryzowana w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny padania. Wektor elektryczny prostopadły do promienia będzie leżał w płaszczyźnie, którą przyjmiemy za płaszczyznę padania. Jego składowe styczne do powierzchni rozdziału będą odpowiednio równe:
x p
r
E Ep t x z
c
( ) ( )
cos sin ( sin cos
)
1
1 1
1
, (50)
x z
r
E Ep t x z
c
( ) ( )
cos sin ( sin cos
)
2
2 2
2
, (51)
x o
r
E Ep t x z
c
( ) ( )
cos sin ( sin cos
)
2
2 2
1
, (52)
gdzie "r" oznacza drgania równoległe do płaszczyzny padania.
Składowe styczne wektora H prostopadłego do płaszczyzny padania wyrażą się wzorami:
18
y p
r
H Ep t x z
c
( ) ( )
sin ( sin cos
)
1
1 1
1
, (53)
y o
r
H Eo t x z
c
( ) ( )
sin ( sin cos
)
1
1 1
1
, (54)
y z
r
H Ez t x z
c
( ) ( )
sin ( sin cos
)
1
1 1
2
. (55)
Z twierdzenia o równości składowych stycznych po obu stronach powierzchni granicznej ośrodków otrzymujemy:
r p
r o
r
E( )cos1E( )cos1E( )z cos2,
1 1 2
r
p
r o
r
E( ) E( ) E( )z
, (56)
a stąd
p o
r
E p
n n
( ) E( )
cos cos cos cos
1
2
1
2
1 1
, (57)
oraz
r z
r
E p
n
( ) E( )
cos cos
2
2
1
. (58)
Podstawiając
n sin sin
1
2
mamy:
ro
rp
rp
rp
E E E
tg
tg E
( ) ( ) ( )
( )
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin( ) cos( )
sin( ) cos( )
( )
( ) ,
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
(59)
r z
r p
r
E( ) sin cos E( ) E( )p
sin cos sin cos
sin cos
sin( ) cos( )
2 2 1 2
1 1 2 2
2 1
1 2 1 2
. (60)
19 Amplituda drgania odbitego jest równa zeru przy 1+2 = 90o (konsekwencja poprzeczności fal EM – patrz rozdział 3.1). Wtedy mamy:
n sin tg sin
sin cos
1
2
1
2
1
kąt 1 = Br jest zatem zgodnie z prawem Brewstera, kątem całkowitej polaryzacji. Padające pod tym kątem promienie spolaryzowane w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny padania wcale się nie odbijają.
Jeżeli środowisko drugie jest optycznie gęstsze od środowiska pierwszego (n > 1) a kąt 1
mniejszy od szczególnego kąta Br wektor odbity E(0) jest po tej samej stronie co wektor padający (patrząc w kierunku rozchodzenia się światła).
Rys. 7 Polaryzacja przy odbiciu.
Ze stopniowym wzrostem 1 amplituda Er(o) stopniowo maleje aby przy 1 = g stać się równą zeru; wtedy też tg (1 + 2) = tg 90o przechodzi od wartości + do -, znak Er(o) zmienia się na przeciwny do znaku Er(p); wektor E(o) leży po przeciwnej stronie promienia padającego. Przy prostopadłym padaniu wiązki (1 + 2 = 0) mamy:
cos1 = cos2 =1, sin1 sin2 n2, tak więc:
r o
r
E n p
n E
( ) ( )
1
1 , (61)
r z
r
E p
n E
( ) ( )
2
1 , (62)
a co za tym idzie
20
r o
r p
I I
n n
( )
( )
( )
( )
2
2
1
1 , 63)
r z
r p
I I
n n
( )
( ) ( )
4
1 2, (64)
Wzory (63) i (64) są identyczne ze wzorami (48) i (49) co nie jest zaskakujące, gdyż dla 1= 0 za płaszczyznę padania możemy brać dowolną płaszczyznę przechodzącą przez oś Z. Znika tym samym różnica między promieniami spolaryzowanymi w płaszczyźnie padania i promieniami spolaryzowanymi w płaszczyźnie do niej prostopadłej.
Rozumując analogicznie jak w przypadku wyprowadzania wzorów (44) i (46) możemy napisać wzory:
r o
r p
I I
tg tg
( )
( )
( )
( )
2
1 2
2
1 2
, (65)
rz rp
I I
( ) ( )
sin sin
sin ( ) cos ( )
2 1 2 2
2 2 1 2
2 1
. (66)
Wzory (44), (46), (65), (66) wiążące natężenia promieni padających, odbitych i załamanych o polaryzacjach równoległych i prostopadłych wyprowadzone zostały przez Augustina Fresnela w 1823 r.
V. Wykonanie ćwiczenia:
V. 1 Wyznaczanie kąta Brewstera
1. Półkole szklane umieszczamy na blacie w taki sposób, aby jego środek pokrywał się ze środkiem kątomierza.
2. Równoległą wiązkę światła z oświetlacza kierujemy pod kątem około 35o na środek półkola szklanego.
3. W tor wiązki odbitej wstawiamy analizator.
4. Patrząc przez analizator obracamy nim szukając położenia, w którym światło przechodzące jest najmniej widoczne.
5. Czynność tą powtarzamy kilka razy, zmieniając za każdym razem kąt padania wiązki na półkole szklane.
6. Wiązkę światła z oświetlacza kierujemy ponownie pod kątem około 35o na środek półkola szklanego.
21 7. Ramię na którym umieszczona jest fotodioda, ustawiamy tak, aby wiązka światła odbita od półkola szklanego padała na białą, pionową linię umieszczoną na fotodiodzie.
8. Między fotodiodę a półkole szklane wstawiamy analizator, tak aby jego powierzchnia przylegała do ramienia, w którym umieszczona jest fotodioda.
9. Woltomierz ustawiamy na zakres 200 mV.
10. Obracając analizatorem szukamy położenia, w którym woltomierz będzie wskazywał najmniejsza wartość napięcia.
11. Zwiększając kąt padania wiązki na półkole szklane o kilka stopni (np. 5o ), powtarzamy czynności z pkt. 7-10, do momentu znalezienia takiego kata padania, dla którego woltomierz wskaże wartość najbardziej zbliżoną do zera
12. Wyniki pomiarów zapisujemy w Tabeli I.
13. Wiązkę światła z oświetlacza kierujemy pod kątem Brewstera (znalezionym w postępowaniu według punktów 1-12) na półkole szklane. Odczytujemy kąt między promieniem odbitym i załamanym.
14. Wyznaczamy kąt Brewstera dla płytki szklanej.
Lp. Kąt padania [ o]
Wskazania woltomierza U [mV]
Natężenie prądu płynacego przez fotodiodę
I [A]
1 2 3 4 5 6
… Tabela I
15. Natężenia prądu płynącego przez fotodiodę wyznaczamy z następującej zależności:
𝐼 =𝑈
𝑅 = 𝑈
10−7Ω (1)
Wynika ona z konstrukcji zastosowanego przetwornika prąd – napięcie.
22 Rys. 1. Schemat ideowy przetwornika prąd-napięcie.
V.2 Polaryzowanie przez wielokrotne załamanie
1. Do uchwytów znajdującego się na okrągłym blacie wkładamy jedną cienką płytkę szklaną i delikatnie dokręcamy śruby mocujące.
2. Wiązkę światła z oswietlacza kierujemy na szklaną płytkę pod kątem Brewstera.
3. Fotodiodę ustawiamy tak, aby wiązka przechodząca przez szklaną płytkę padała na białą, pionową linię umieszczoną na fotodiodzie.
4. Między płytkę szklaną a fotodiodę wstawiamy analizator tak, aby jego powierzchnia przylegała do ramienia, w krórym umieszczona jest fotodioda.
5. Woltomierz ustawiamy na zakres 2V.
6. Obracając analizatorem szukamy położenia, w którym woltomierz bęzie wskazywał największą wartość napięcia (Umax), oraz takiego położenia, w którym wartość napięcia będzie najmniejsza (Umin).
7. Pomiary wykonujemy dla jednej, dwóch, czterech oraz ośmiu płytek, postępując według pkt. 3-6.
8. Do uchwytów wkładamy jedną grubą płytkę i wykonujemy pomiary według pkt. 2-6.
9. Pomiary wykonujemy dla jednej i dwóch płytek grubych.
10. Wyniki pomrów zapisujemy w Tabeli II.
Lp. Płytki Umax [V] Umin [V] Imax [A] Imin [A]
1 1 cienka płytka 2 2 cienkie płytki 3 4 cienkie płytki 4 8 cienkich płytek 5 1 gruba płytka 6 2 grube płytki Tabela II
11. Wartość natężenia prądu wyznaczamy z zależności (1).
12. Ponieważ prąd płynacy przez fotodę (I) jest proporcjonalny do natężenia światła (i) padającego na fotodiodę stopień polaryzacji sprawdzamy korzystając za zleżności (2):
𝑃 =𝑖𝑚𝑎𝑥−𝑖𝑚𝑖𝑛
𝑖𝑚𝑎𝑥+𝑖𝑚𝑖𝑛= 𝐼𝑚𝑎𝑥−𝐼𝑚𝑖𝑛
𝐼𝑚𝑎𝑥+𝐼𝑚𝑖𝑛 (2)
gdzie:
23 P – stopień polaryzacji
Imin – minimalne natężenie prądu płynącego przez fotodiodę Imax – maksymalne natężenie prądu płynącego przez fotodiodę.
13. Stopień polaryzacji dla płytek cienkich porównujemy ze stopniem polaryzacji dla płytek grubych według Tabeli III
P P
1 płytka cienka 1 płytka gruba 2 płytki cienkie 2 płytki grube 4 płytki cienkie 1 płytka gruba 8 Płytek cienkich 2 płytki grube Tabela III
V.3 Polaryzowanie przez rozproszenie
1. Za pomocą analizatora badamy czy światło oświetlacza jest spolaryzowane.
2. Do akwarium wlewamy wodę (ok. 4 l tzn. ½ objętości akwarium).
3. Wiązkę światła z oświetlacza kierujemy na akwarium tak, aby część tej wiązki przechodziła przez wodę, część przez powietrze.
4. Obserwujemy otrzymany obraz na ekranie (biała ściana).
5. Obserwujemy bieg wiązki w akwarium. Ustawiamy analizator w tor wiązki przechodzącej, a następnie kręcąc nim obserwujemy, czy jest ona spolaryzowana.
6. Stopniowo wlewamy śmietankę w proszku rozpuszczoną w wodzie (ok. 3 krople na 2 l wody) i równocześnie obserwujemy barwę światła docierającego do ekranu poprzez zawiesinę oraz barwę światła rozproszonego.
7. Po uzyskaniu wyraźnych różnic w zabarwieniu obniżamy oświetlacz tak, aby strumień światła biegł całkowicie zanurzony w wodzie.
8. Z różnych kierunków, przez analizator obserwujemy światło rozproszone na zawiesinie badając jego polaryzację. W szczególności obserwację przeprowadzamy w dwóch prostopadłych wzajemnie kierunkach Z i Y, prostopadłych również do pierwotnego kierunku światła z oświetlacza X.
24
Rys. 2 Bieg promienia w akwarium.
9.Na podstawie obserwacji z pkt. 8 wnioskujemy jaki jest kierunek polaryzacji dla promieni Z i Y.
V.4 Polaryzacja eliptyczna
1. Pomiędzy dwa skrzyżowane polaroidy, oświetlone światłem białym, wstawiamy obiekty fazowe różnej grubości.
2. Na ekranie obserwujemy dla jakich długości fali płytka jest ćwierćfalówką, tzn opóźniającą fazę o 90o
3. Obracając przeźrocze o 90o obserwujemy na ekranie zmiany barw.
V.5 Sprawdzenie prawa Malusa.
1. Równoległą wiązkę światła z oświetlacza kierujemy tak, aby padała na białą, pionową linię umieszczoną na fotodiodzie.
2. Ustawiamy woltomierz na zakres 200 mV.
3. Między oświetlacz i fotodiodę (nie zmieniając ich położenia) wstawiamy dwa polaryzatory w taki sposób, aby wiązka przechodziła przez ich środki.
4. Osie polaryzatorów ostawiamy pod kątem 0o w stosunku do siebie i odczytujemy wskazania miernika (Umax).
5. Osie polaryzatorów ostawiamy pod kątem 90o w stosunku do siebie i odczytujemy wskazania miernika (Umin).
6. Postępowanie powtarzamy dla kątów 15o, 30o, 45o, 60o, 75o i 90o. 7. Wyniki pomiarów umieszczamy w Tabeli IV.
Lp. kąt cos cos2 U [mV] 𝑈 − 𝑈𝑚𝑖𝑛
𝑈𝑚𝑎𝑥− 𝑈𝑚𝑖𝑛
1 0o
2 15o
3 30o
4 45o
5 60o
6 75o
7 90o
Tabela IV
𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑈−𝑈𝑚𝑖𝑛
𝑈𝑚𝑎𝑥−𝑈𝑚𝑖𝑛 = 𝐼−𝐼𝑚𝑖𝑛
𝐼𝑚𝑎𝑥−𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝑖−𝑖𝑚𝑖𝑛
𝑖𝑚𝑎𝑥−𝑖𝑚𝑖𝑛 (3)
gdzie:
25 – kąt między osiami polaryzatorów
I – wartość prądu wyznaczonego dla danego kąta Imax – wartość prądu dla kąta = 0o
Imin – wartość prądu dla kąta = 90o
Ponieważ nie jest możliwe uzyskanie całkowitego zaciemnienia w pomieszczeniu, w którym wykonywane jest ćwiczenie, przez fotodiodę płynie prąd Imin nawet gdy osie polaryzatorów są skrzyżowane i natężenie światła przechodzącego przez polaryzator i analizator wynosi 0. Imin
należy więc każdorazowo odejmować od wyniku pomiaru.
V.6 Polaryzowanie światła przy użyciu kryształu dwójłomnego.
1. Na kartce białego papieru rysujemy niewielki znak np. ↑ i kładziemy na niej kryształ dwójłomny.
2. Obserwujemy znak obracając kryształ wokół osi pionowej.
3. Przez analizator obserwujemy powstały obraz (w sprawozdaniu wyjaśnić obserwowane zjawisko).
V.7 Skręcenie płaszczyzny polaryzacji.
1. Wiązkę światła z oświetlacza kierujemy na dwa polaryzatory ustawione w niewielkiej odległości od siebie (Rys. 3).
Rys. 3 Schemat układu do badania skręcenia płaszczyzny polaryzacji
2. Osie polaryzatorów ustawiamy pod kątem 90o w stosunku do siebie.
3. Pomiędzy polaryzatory wstawiamy obiekty skręcające płaszczyznę polaryzacji.
4. Obracając obiekt obserwujemy zmiany barw światła przechodzącego.
5. Doświadczenie przeprowadzamy dla kilku różnych obiektów (w sprawozdaniu wyjaśnić obserwowane zjawisko).
26
VI. Bibliografia:
[1] I. W. Sawielew, Wykłady z fizyki, PWN, Warszawa 1994.
[2] F. Crawford, Fale, PWN, Warszawa 1975.
[3] J. Petykiewicz, Optyka falowa, PWN, Warszawa 1986.
[4] W. Grotowski, Optyka, Łódzkie Wydawnictwo Naukowe, Łódź 1968.
[5] H. Piekara, Nowe oblicza optyki, PWN, Warszawa 1968.
