Wykad 10 Analiza wymiarowa

ANALIZA WYMIAROWA

ANALIZA WYMIAROWA

1. Analiza wymiarowa Elementy przestrzeni wymiarowej

np. (5 kg), (7,8 m/s2), (15 m3/s), (100 kPa),…..

Elementy przestrzeni wymiarowej są wymiarowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy:

A₁, A₂, …, A_n – elementy przestrzeni wymiarowej a₁, a₂, …, a_n – bezwymiarowe wykładniki

Przykład 1: Sprawdzić czy elementy

są wymiarowo niezależne

Przykład 2: Sprawdzić czy elementy

są wymiarowo niezależne

Elementy są wymiarowo niezależne.

Elementy są wymiarowo zależne.





Przykład 3: Sprawdzić czy elementy

są wymiarowo niezależne

Elementy są wymiarowo niezależne.

Przykład 4: Sprawdzić czy elementy

są wymiarowo niezależne

Przestrzeń wymiarowa ma n jednostek jeżeli istnieje w niej

n wymiarowo niezależnych wymiarowo elementów.

Każdy zbiór elementów wymiarowo niezależnych A₁, A₂, A₃,…., A_n tworzy bazę.

Każdy element przestrzeni można zapisać jako kombinację elementów bazy:



Jak sprawdzić czy elementy tworzą bazę (są wymiarowo niezależne)?

Jeśli znamy zbiór

o który wiemy, że tworzy bazę (jest wymiarowo niezależny) to zbiór

generowany jest poprzez bazę X ma postać

13 1 11 12 23 2 21 22 31 32 33 3 1 2 3 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 n n n m m m mn a a a a n a a a a n a a a a n a a a a m m n

B

X

X

X

X

B

X

X

X

X

B

X

X

X

X

B

X

X

X

X

















 









 









 









 











to zbiór B tworzy bazę (jest wymiarowo niezależny). Jeśli spełniony jest warunek

Przykład 5: Sprawdzić czy elementy są wymiarowo niezależne



1 ,1

,1



X



m kg s

Czyli zbiór B jest wymiarowo niezależny (tworzy bazę). 2

N Pa

m  

Przykład 6: Sprawdzić czy elementy są wymiarowo niezależne 3 1 m , 2 m , 5 B s s s       

X





1 ,1

m kg s

,1



Funkcja wymiarowa jest to funkcja określona na zbiorze

elementów wymiarowych.

gdzie Z, Z₁, Z₂, …, Z_m – elementy przestrzeni wymiarowej

1 2

( ,

,

)

Z



f Z Z

_

Z

Przykład 7: Wyznaczyć funkcję wymiarową określającą spadek

ciśnienia przypadający na jednostkę długości przewodu o

Sprawdzamy czy argumenty funkcji są wymiarowo niezależne (tworzą bazę)

czyli argumenty funkcji są bazą i mogą wygenerować elementy przestrzeni wymiarowej w tym wartość funkcji.

Wartość funkcji wymiarowej zapisujemy jako kombinację elementów wymiarowo niezależnych (bazy) w postaci

Rozwiązaniem układu równań jest a₁ = -1

a₂ = 1 a₃ = 2 Czyli funkcja wymiarowa ma postać

to otrzymujemy wzór Darciego-Weisbacha

Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie

Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie ))

1 2 2 3

( , ,

,

,

)

Z

 

Y Y

_

Y A A

_

A

Dana jest funkcja wymiarowa w postaci:

Y₁,Y₂, …, Y_m – elementy wymiarowo niezależne (baza) Z, A₂, A₃, …., A_r – elementy wymiarowo zależne.

Dla funkcji wymiarowo niezmienniczej i jednorodnej argumenty zależne wyrażają się wzorem

1

2,3, ,

A



Y

j

r







_





to funkcja Φ ma postać 1

1, 2,3, ,

A

j

r

Y













Z

Y







F - siła oporu kuli, N=m kg/s2

d - średnica kuli, m

u - prędkość przepływu płynu, m/s

ρ – gęstość płynu, kg/m3

μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms)

Przykład 8:

Kula o średnicy d opływana jest przez płyn o gęstości ρ i kinematycznym współczynniku lepkości μ z prędkością u. Wyznaczyć równanie na silę oporu kuli F.

d u

Wybieramy zbiór 3 elementów i sprawdzamy czy tworzy bazę. Wybrano {ρ, u, d}.

1 _{a11 a12 a13}

F

u d















 

 



Funkcja wymiarowa ma postać:



( , u, , )

F



f



d



2 _{a21 a22 a23}

u d

















 

 



2 2 F u d f u d       _{ }   ponieważ Re ud ud     2 2 4 ₁ 4 2 C d A A  d A      stąd 2 1 1 2 Re u F C A  f _ _  

Przykład 9:

p/l - spadek ciśnienia na jednostkę długości, Pa/m=kg/(m2_s2₎

d - średnica przewodu, m

v – średnia prędkość przepływu płynu, m/s

ρ – gęstość płynu, kg/m3

μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms)

k – chropowatość bezwzględna, m

m kg s

ρ -3 1

0

u

1

0 -1

d

1

0

0

Wybieramy zbiór 3 elementów i sprawdzamy czy tworzy bazę. Wybrano {ρ, v, d}.

1 _{11 12 13}

/

v

p l

d

















 

 



2 _{21 22 23}

v

_d

















 

 



3 _{31 32 33}

v

k

d















 

 



2 , v v p d k f l d d            2 1 v , Re l p f d       _{ }   2 1 v , Re p l h f g  d g       _{  }   ostatecznie

PODOBIEŃSTWO MODELOWE

Najczęściej występujące siły oddziaływujące w przepływie płynu

•_{siły grawitacji,} •_{siły ciśnieniowe,} •_{siły lepkości,}

•_{siły napięcia powierzchniowego,} •_{siły bezwładności,}

1. Liczba Reynoldsa

Jeśli ściśliwość płynu może zostać pominięta i nie występuje w przepływie powierzchnia swobodna (np. przepływ w rurze,

samolot w powietrzu, zanurzona łódź podwodna) to pod uwagę można brać tylko siły lepkości i bezwładności.

Wybrane liczby podobieństwa dotyczące przepływu płynu

Wybrane liczby podobieństwa dotyczące przepływu płynu

sila bezladnosci sila lepkosci 

Liczba Reynoldsa stosowana jest jako podstawowe kryterium stateczności ruchu płynów (przepływ laminarny, turbulentny).

2. Liczba Froude’a

Jeśli o przepływie decyduje siła grawitacji.

sila bezwladnosci

sila grawitacji 

3. Liczba Webbera

Liczbę Webera wykorzystuje przy przepływach wielofazowych (co najmniej dwufazowymi, gdy jeden płyn graniczy z innym płynem), szczególnie gdy powierzchnia rozdziału faz jest silnie zakrzywiona (np. kropla płynu, poruszająca się w innym

płynie).

sila bezwladnosci

4. Liczba Macha

Jeśli płyn płynie z dużą prędkością lub ciało stałe porusza się z dużą prędkością w płynie pozostającym w spoczynku

dominująca jest ściśliwość płynu.

Liczba Macha przedstawia stosunek prędkości przepływu płynu w danym miejscu do prędkości dźwięku w tym płynie w tym samym miejscu

lub

stosunek prędkości obiektu poruszającego się w płynie do prędkości dźwięku w tym płynie niezakłóconym ruchem obiektu, czyli formalnie – w nieskończoności.

Przepływ jest

• _{nieściśliwy (wpływ ściśliwości można pominąć) : Ma << 1} • _{poddźwiękowy: Ma < 1} • _{dźwiękowy: Ma = 1} • _{okołodźwiękowy: 0,8 < Ma < 1,2} • _{naddźwiękowy: Ma > 1} • _{hiperdźwiękowy: Ma >> 1} sila bezwladnosci sila sprezystosci 

v – prędkość przepływu lub obiektu

a – prędkość dźwięku w płynie w danym miejscu lub w nieskończoności.

Przykład 10:

W kanale wentylacyjnym o średnicy 600 mm przepływa powietrze z prędkością 2,2 m/s. Do badania kanału użyto stanowiska

laboratoryjnego z przewodem o średnicy 100 mm i przepływającą wodą. Jaka powinna być prędkość przepływu wody aby zjawiska były dynamicznie podobne? Współczynniki kinematycznej lepkości powietrza i wody wynoszą odpowiednio _p=14,9 10-6 m2/s oraz

_w=1,14 10-6 m2/s.

1,14 600

2, 2

1,01

14,9 100

D

m

u

u

d

s















Przykład 11:

Zbudowano model rzeczywistego przelewu mierniczego. Określić zależności pomiędzy skalą liniową a skalą przepływu.

2 2 o o l u m m

h

u

h

u















_

_







,

q



u A

q



u A

q

q





x y

x y









 