T o m X L V I-X L V II, zeszy t 1 -1 9 9 8 -1 9 9 9 BOŻENA CZERNECKA Lublin IN T U IC JO N IS T Y C Z N A L O G IK A Z D A Ń A IN N E R A C H U N K I Z D A N IO W E W U J Ę C IU N IE K T Ó R Y C H A U T O R Ó W
W literaturze logicznej nierzadko m ożna spotkać opinie, iż spośród syste mów logicznych różnych od klasycznego rachunku logicznego logika intuicjo- nistyczna stanowi najbardziej atrakcyjny przedm iot badań. Ponadto mówi się, że przy bliższym poznaniu w ydaje się ona system em dość naturalnym , ale w jakim ś trudnym do sprecyzow ania sensie.
„Logika intuicjonistyczna nie jest tak swojska, wygodna, prosta i piękna, jak nasza logika - pisze W. V. O. Quine - brak jej przejrzystości [...], jej spójnikom zdaniow ym chce się przypisać jakiś intuicyjny sens [...], jednak te w yjaśnienia okazują się m ętne” 1. Am erykański logik zauważa, że z tej przyczyny w badaniach nad logiką intuicjonistyczną dom inuje tendencja do pom ijania refleksji nad jej natu rą i przechodzenia w prost do form alnych ba dań, dotyczących głów nie w łasności system u aksjom atycznego intuicjonis- tycznej logiki zdań sporządzonego przez ucznia twórcy intuicjonizm u A renda Heytinga. To drugie zadanie w ydaje się bowiem łatw iejsze, biorąc pod uwagę wyspecjalizow any aparat form alny w spółczesnej logiki i m atem atyki.
Celem niniejszego artykułu będzie próba odpowiedzi na pytanie, czym jest logika intuicjonistyczna, dokładniej mówiąc: jaki jest jej status w stosunku do innych rachunków zdaniow ych, w szczególności do klasycznej logiki zdań. U dzielenie odpow iedzi na pow yższe pytanie może być dokonane przy wyko rzystaniu prac niektórych, bardziej znanych logików w spółczesnych zajm ują
cych się w prost bądź przy okazji innych zagadnień interesującą nas tu proble m atyką. O czyw iście praca ta nie m a aspiracji do system atycznego w yłożenia w szystkich poglądów w tej sprawie.
Logika intuicjonistyczna, zapoczątkow ana przez holenderskiego m atem a tyka Luitzena E. J. Brouwera, jest niew ątpliw ie przykładem logiki niekla- sycznej, ale sam term in „logika nieklasyczna” byw a różnie rozum iany2. S. H aack3 w yróżnia system y form alne, które są alternatyw ne w sensie m oc nym albo w sensie słabym w stosunku do logiki klasycznej. System y alterna tyw ne w sensie m ocnym jako konkurencyjne względem logiki klasycznej chcą j ą zastąpić we w szystkich lub tylko niektórych jej zastosow aniach. A lterna tyw ność w sensie słabym zazw yczaj nie pociąga za sobą ryw alizacji z logiką klasyczną, lecz jej dopełnienie (rozszerzenie). System y alternatyw ne w stosun ku do klasycznego, to - m ówiąc językiem H aack - system y dewiacyjne. System jest dew iacją innego system u, jeżeli posługuje się tym samym słow ni kiem , lecz m a inne praw a (poprawne inferencje). „Logika dew iacyjna” jest dew iacją system u logiki klasycznej. Dany system m oże być zarówno rozsze rzeniem , jak i dew iacją logiki klasycznej, kiedy dołącza on now e słow nictwo, a więc także nowe praw a i rów nocześnie różni się od logiki klasycznej pod w zględem praw dotyczących w yłącznie w spólnego słownika.
W śród logików dość pow szechne jest przekonanie, iż do system ów dew ia cyjnych należą logiki w ielow artościow e, w liczając do nich m .in. logikę in- tuicjonistyczną albo staw iając j ą obok nich. System y te bowiem przy w spól nym słow niku z logiką klasyczną nie m ają pew nych jej praw, takich jak np. prawo w yłączonego środka. W ydaje się jednak, iż spraw a pow yższa, czyli zagadnienie stosunku logiki intuicjonistycznej do klasycznej, ew entualna ich konkurencyjność, w ym aga bardziej szczegółow ej analizy. D latego najpierw zajm iem y się zagadnieniem relacji logiki intuicjonistycznej do logik wielo- w artościow ych, aby w końcow ej partii ustosunkow ać się do wyżej postaw io nej kw estii.
W literaturze filozoficzno-logicznej m ożna spotkać stw ierdzenia typu: „inną postacią logiki t r ó j w a r t o ś c i o w e j jest logika
intuicjo-2 W literaturze polskiej utrzymuje się pow szechnie, iż wyznacznikami klasyczności danego systemu są ekstensjonalność wszystkich występujących w nim funktorów oraz zasada dwu- w artościowości. W myśl tego określenia do logiki klasycznej zalicza się klasyczny rachunek logiczny, prototetykę, ontologię Leśniew skiego i sylogistykę Arystotelesa. Zob. L. B o r- k o w s k i, W prowadzenie do logiki i teorii m nogości, Lublin 1991, s. 200.
nistyczna, stw orzona przez m atem atyków holenderskich L. E. J. Brouwera i A. H eytinga”4 albo „H eyting podjął zasadniczą ideę Brouwera i opracow ał system n i e d w u w a r t o ś c i o w e g o [podkr. - B. Cz.] rachunku zdań”5, albo też „wartość poznaw cza logik w i e l o w a r t o ś c i o - w y c h [podkr. - B. Cz.] [...] jest niew ielka, jeśli pom inąć logikę intuicjo- nistyczną”6.
Nie bez znaczenia w ydaje się rów nież fakt, iż jednym z pierw szych, którzy na gruncie polskim zajęli się logiką intuicjonistyczną, był J. Łukasiew icz, tw órca pierw szych niedw uw artościow ych rachunków zdań. W swojej pracy O intuicjonistycznym rachunku zdań polski logik pisze: „W ydaje mi się, że wśród znanych dotąd w i e l o w a r t o ś c i o w y c h [podkr. - B. Cz.] system ów logiki rachunek intuicjonistyczny jest najbardziej intuicyjny i naj elegantszy”7. Przede w szystkim stw orzona przez Łukasiew icza logika trój w artościow a z trzecią, obok praw dy i fałszu, w artością logiczną byw a często punktem odniesienia dla analiz czynionych w zw iązku z logiką Heytinga (Zaw irski). Stw ierdza się bow iem , iż w logice intuicjonistycznej praw o w yłą czonego środka (a także inne odpow iedniki praw logiki klasycznej), podobnie jak w logice Łukasiew icza, nie jest ani praw dziw e, ani fałszyw e, lecz ma w łaśnie trzecią w artość8.
H istorycznie rzecz ujm ując, po sform alizow aniu przez H eytinga intuicjo- nistycznego rachunku zdań poszukiw ano odpow iedzi na pytanie: Czy intuicjo- nistyczna logika zdaniow a jest logiką trójw artościow ą (jak chciał Czeżowski), czy m oże jakąś inną postacią logiki w ielow artościow ej? Innym i słowy, pyta no: Ilow artościow y jest intuicjonistyczny rachunek zdań? Jaka jest jego ade kw atna m atryca? Do pow yższych m ożna jeszcze dołączyć (rzadko stawiane, lecz w ażne z naszego punktu w idzenia) następujące pytania: Jak należy inter pretow ać wartości logiczne m atrycy tej logiki, w szczególności jak i jest status ontyczny sem antycznych korelatów tych w artości? Jeśli faktycznie w logice intuicjonistycznej zostaje uchylona zasada dw uw artościow ości, to czy klasycz
4 Zob. T. C z e ż o w s k i , Logika, Warszawa 1968, s. 76.
5 Zob. T. K o t a r b i ń s k i , W ykłady z dziejów logiki, Warszawa 1985, s. 123. 6 Zob. W. P o g o r z e l s k i , Elem entarny słownik logiki form alnej, Białystok 1989, s. 383 (hasło: Logiki w ielow artościow ej.
7 Zob. J. Ł u k a s i e w i c z , O intuicjonistycznym rachunku zdań, [w:] t e n ż e , Z zagadnień logiki i filo zo fii, pod red. J. Słupeckiego, Warszawa 1961, s. 267.
8 Z. Z a w i r s k i , G eneza i ro zw ó j logiki intuicjonistycznej, „Kwartalnik Filozoficzny”, 16(1939), z. 2-4, s. 199-202.
ny podział zdań na praw dziw e i fałszyw e zostaje wzbogacony i ew entualnie o jakie now e w artości wzbogacony, czy też zm ienione zostają klasyczne pojęcia prawdy i fałszu, a tym samym w prowadza się nowy podział zdań?
Zasadne będzie więc w tym m iejscu prześledzenie m otywów, które skła niały pewnych autorów do uznaw ania logiki B rouw era-H eytinga za jed n ą z postaci logiki w ielow artościow ej. Intuicjoniści utrzym ują, że klasyczna logika jest w pewnym sensie niepopraw na i nie m ożna jej „popraw ić” przez odrzuce nie niektórych klasycznych praw . Niezgodność sięga znacznie głębiej, a wiąże się ona z radykalnie odm iennym spojrzeniem na naturę i status samej logiki.
U narodzin intuicjonizm u leżała chęć zaradzenia groźbie sprzeczności w m atematyce. Przed taką bowiem groźbą stanęła ona u progu XX w. Odkryte przez B. R ussella i innych uczonych antynom ie podw ażyły system wiedzy m atem atycznej zbudow any przez G. Cantora. Brouwer zaproponow ał w zw iąz ku z tym środki bardzo radykalne, które doprowadziły w efekcie do gruntow nej przebudow y całej m atem atyki. Przede wszystkim m atem atyka intuicjoni- styczna odrzuca w szelkie niekonstruktyw ne środki dowodow e, tj. sposoby dow odzenia nie podające konstrukcji postulow anych obiektów. W stosow aniu dowodów nie w prost B rouw er w idział źródło błędów m atem atyki klasycznej. Tw ierdzenia m atem atyki intuicjonistycznej to zdania stw ierdzające, że została wykonana pew na konstrukcja m yślow a9.
Odrzucenie dow odów niekonstruktyw nych m usiało prow adzić w konsek wencji do odrzucenia logiki klasycznej, która do takich dowodów upraw niała. Podważyć należało przede wszystkim praw o w yłączonego środka i prawo podwójnego przeczenia jako im plikacja CNNpp. Ponadto, w edług intuicjonis- tów, logika nie stanow i podstaw y ani punktu w yjścia m atem atyki10. Co w ię cej, Brouw er głosi, że to logika opiera się na m atem atyce, jest więc wtórna w stosunku do niej - m oże ona zawierać tw ierdzenia m atem atyczne o naj wyższym stopniu ogólności11.
9 L. E. J. B r o u w e r, Consciousness, Philosophy and M athem atics, [w:] Proceedings
o f the Tenth International C ongress o f Philosophy 1948, ed. E. W. Beth, H. J. Pos, J. H. A.
Hollak, Amsterdam 1949, s. 1235-1249. Zdaniem Quine’a konstruktywizm w matematyce nie toleruje metod, które nie pozwalają na stwierdzenie istnienia pew nego rodzaju przedmiotów bez okazania, w jaki sposób można taki przedmiot znaleźć. „Znaleźć” znaczy „obliczyć” w przypadku liczby lub „skonstruować” w przypadku figury geometrycznej czy zbioru. Por. Q u i n e, dz. cyt., s. 130.
10 Por. A. H e y t i n g, Intuitionism: An Introduction, Amsterdam 1966, s. 6.
11 Zob. L. E. J. B r o u w e r, On the Foundations o f M athematics, [w:] C ollected Works, vol. I: Philosophy and Foundations o f M athem atics, ed. A. Heyting, A m sterdam -O xford-N ew York 1975, s. 72-74.
O biekt dociekań, który odkrył Brouwer, w ym aga więc innego typu logiki niż logika klasyczna i dlatego - zdaniem H eytinga - pow stała logika intuicjo- nistyczna. W edle intuicjonistów zasada w yłączonego środka nie jest w tej ostatniej praw dziw a. W jednym ze swoich artykułów na ten tem at Heyting posługuje się taką oto argum entacją. Rozważm y w ypow iedź (A): każda liczba w iększa niż 1 jest bądź liczbą pierw szą, bądź sum ą dwóch liczb pierw szych, bądź sum ą trzech liczb pierw szych. Nie wiem y, czy to prawda, choć we w szystkich zbadanych przypadkach tak się okazało. Nazwijmy więc liczbą w yjątkow ą liczbę, która nie spełnia w ypow iedzi (A), i zapytajm y, czy taka liczba istnieje. Niech pow iedzenie, że istnieje liczba x taka, iż P(x), znaczy, że m oże się taką liczbę obliczyć, może się j ą efektyw nie wskazać. N atom iast negacja zdania p niech znaczy, że ze zdania p w yprow adziło się sprzeczność. Przy obecnym stanie wiedzy nie potrafim y ani efektyw nie wskazać choć jednej liczby w yjątkow ej, ani też wyprow adzić sprzeczności z przypuszczenia, że się taką liczbę w skazało. W obec tego nie m am y praw a ani tw ierdzić, że istnieje liczba w yjątkow a, ani temu zaprzeczać, a zatem prawo w yłączonego środka nie obow iązuje. Nie znaczy to jednak, że jest ono fałszywe, w p rze ciw nym bow iem razie pociągałoby za sobą sp rzeczność12. Czyli tw ierdzenie, że zasada w yłączonego środka jest fałszem , jest także fałszem , co w yraża praw o NNApNp, które Brouw er nazywa praw em „absurdalności absurdalności w yłączonego środka”. Z. Zawirski, kom entując poglądy intuicjonistów , stw ier dza, iż w pew nym sensie m ożna mówić, że zasada w yłączonego środka ma jakby trzecią wartość logiczną, a tym samym że mamy do czynienia z logiką trójw artościow ą.
Uw aża się pow szechnie, że o w artościow ości system u stanowi adekw atna m atryca. M atrycą jest algebra (czyli układ uporządkow any, złożony z danego zbioru elem entów oraz funkcji określonych na tym zbiorze, których w artości też do tego zbioru należą) poszerzona o zbiór elem entów w yróżnionych. M atrycę nazyw a się «-w artościow ą, gdy zbiór jej elem entów jest «-elem ento wy. „Dokonując charakterystyki m atrycow ej danego systemu rachunku zdań przyporządkow ujem y funktorom w nim w ystępującym określone funkcje m atrycy, scharakteryzow ane zw ykle za pom ocą tzw. tabelek m atrycow ych [...] Jeśli zm iennym zdaniow ym danego w yrażenia przyporządkow ujem y określone w artości m atrycy, to - z uwagi na przyporządkow anie funktorom w nim w ystępującym określonych funkcji m atrycy - w yrażeniu temu jest przypo
rządkow ana określona wartość matrycy. T autologią danej m atrycy jest w yra żenie, którem u przy każdym przyporządkow aniu jego zmiennym zdaniow ym w artości m atrycy jest przyporządkow ana wartość wyróżniona. M atryca jest adekw atna dla danego system u, gdy zbiór tez tego system u jest identyczny ze zbiorem tautologii tej m atrycy. System jest «-w artościow y, gdy liczba « jest najm niejszą tak ą liczbą, że istnieje m atryca «-w artościow a adekw atna dla tego system u” 13. M ówiąc o logikach w ielow artościow ych, m a się na m yśli takie «-w artościow e logiki, gdzie n > 2.
Faktem jest, iż przy końcu swojej pracy D ie form alen R egeln der intuitio- nistischen L o g ik 14 po zaprezentow aniu aksjom atycznego system u logiki in- tuicjonistycznej H eyting użył m atryc trójw artościow ych, aby w ykazać, że zasada w yłączonego środka nie da się w jeg o system ie dow ieść. W zbiorze w artości m atryc znajdują się: „1”, „0” i trzecia w artość, pośrednia, którą um ownie będziem y oznaczać przez „2” 15; w artością w yróżnioną jest „1”. M atryce H eytinga zaw ierają w sobie w ypadki ustalone przez m atryce logiki dw uw artościow ej, czyli dla kom binacji 11, 10, 01 i 00 m atryce te są iden tyczne. Ponadto m am y pięć nowych par: 12, 21, 22, 20, 02. W system ie H eytinga nie m ożna w yznaczyć funktorów pierw otnych, gdyż żaden ze spój ników nie jest definiow alny za pom ocą pozostałych, dlatego zachodzi potrze ba podania tabelek dla w szystkich spójników zdaniotw órczych od argum entów zdaniow ych. Oto m atryce dla funktorów negacji, im plikacji, koniunkcji i alternatywy: p Np 1 0 2 0 0 1 Cpq 1 2 0 1 1 2 0 2 1 1 0 0 1 1 1
13 L. B o r k o w s k i , Kilka uwag o zasadzie dw uw artościow ości i logikach w ielo
w artościow ych, [w:] t e n ż e , Studia logiczne, Lublin 1990, s. 471.
14 „Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der W issenschaften”. Physikalisch-M athe matische Klasse, 1930, s. 42-56.
15 D o sprawy interpretacji semantycznej wartości logicznych intuicjonistycznej logiki zdań jeszcze wrócimy.
Kpq 1 2 0 1 1 2 0 2 2 2 0 0 0 0 0 Apq 1 2 0 1 1 1 1 2 1 2 2 0 1 2 0
Używ ając pow yższych m atryc jako środka do badania, jak ie w yrażenia otrzym ują wartość w yróżnioną w tym system ie, m ożna łatw o w ykazać, iż niektóre odpow iedniki praw logiki klasycznej, w tym zasada w yłączonego środka, przyjm ują dla w artości 2 trzecią wartość: ApNp = A2N2 = A20 = 2, podobnie m ocna zasada podw ójnego przeczenia: CNNpp = CNN22 = CN02 = = C12 = 2.
Interesujące wydaje się porów nanie powyższych m atryc z m atrycam i logiki trójw artościow ej Łukasiew icza. D la funktorów koniunkcji i alternatyw y m atry ce w yglądają zupełnie tak samo, różnice ujaw niają się dopiero przy negacji i im plikacji16. Za Łukasiew iczem trzecią w artość będziem y nazywać „m ożli w ością” i oznaczać przez 1/2. Oto tab elk i17:
P Np 1 0 1/2 1/2 0 1 Cpq 1 1/2 0 1 1 1/2 0 1/2 1 1 1/2 0 1 1 1
16 Zdaję sobie sprawę z tego, iż użycie takich samych sym boli na oznaczenie analogicz nych funktorów w logice Heytinga i w logice Łukasiewicza może być mylące, niemniej pozo staję przy tej tradycyjnej już sym bolice, wyraźnie jednak zaznaczając, że ten sam formalny zapis nie musi znaczyć tego sam ego w obydwu logikach.
17 Por. J. L u k a s i e w i c z , U w agi filozoficzn e o w ielow artościow ych system ach
N egacja m ożliw ości jest u Łukasiew icza też m ożliw ością, a nie fałszem - jak u H eytinga. W artość im plikacji w przypadku, gdy wartość poprzednika jest „m niejsza” 18 lub rów na w artości następnika, w ynosi „1” w obu m atry cach, w przypadku zaś, gdy poprzednik ma wartość w yższą od następnika, m atryce się różnią; Łukasiew icz oblicza w artość im plikacji wzorem:
Cpq = 1 - p + q, u H eytinga zaś Cpq = q (gdy p > q). Zatem zarów no m a tryca Łukasiew icza, jak i H etinga spełniają tzw. postulat norm alności m atry cy, tzn. w arunek, aby im plikacja nie m iała w artości „1” wtedy, gdy następnik m a w artość m niejszą od poprzednika. Postulat norm alności nie w skazuje jednak, ja k ą w artość trzeba nadać im plikacji w przypadkach, gdy poprzednik wynosi „1”, a następnik ma trzecią wartość oraz gdy poprzednik m a trzecią w artość, a następnik „0”. Łukasiew icz w obu przypadkach przyjm uje wartość
1/2, natom iast H eyting taką, jak ą ma następnik im plikacji.
W artość, którą oznaczyliśm y przez „2” i którą intuicjoniści nazyw ają w ar tością pośrednią albo trzecią w artością, nie jest tym samym, co „m ożliw ość” Łukasiew icza. O znacza ona bowiem w artości tych zdań, które nie są fałszy we, lecz których praw dziw ości nie m ożna udow odnić. Są to więc zdania nierozstrzygalne na podstaw ie dekretu intuicjonistów , żądającego, aby z każ dym zdaniem w iązać nierozdzielnie refleksję nad sposobem dojścia do uzna nia tego zdan ia19. M ożna pow iedzieć niezbyt precyzyjnie, że zdania o trze ciej w artości to jakby „zdania praw dziw e gorszego gatunku” lub zdania „zbli żone do praw dy”, czyli m ające tylko pewien stopień upraw om ocnienia20.
Na pow yższe stw ierdzenie naprow adzają m atryce intuicjonistycznej negacji oraz im plikacji. W artość negacji każdego zdania o w artości innej niż „0” w ynosi „0”, w artość zaś NO = 1, a zatem m ożna w nosić, że wartość pośred nia jest bliższa praw dy niż fałszu. Ponadto każda im plikacja o fałszywym następniku jest fałszyw a, co może być wyrazem zasady, iż nie m ożna uznać przejścia od zdania praw dziw ego naw et najsłabiej uzasadnionego (o najm niej szym stopniu upraw om ocnienia) do zdania fałszyw ego21. Podobnych w łas
18 Najm niejszą wartością jest 0, następnie 2 (w matrycy Heytinga lub 1/2 u Łukasiewicza), wartością największą jest 1.
19 Por. A. G r z e g o r c z y k , N ieklasyczne rachunki zdań a m etodologiczne schem aty
badania naukowego i definicje p o jęć asertywnych, „Studia L ogica”, 20(1967) 119.
20 Por. Z a w i r s k i, art. cyt., s. 209.
21 C zeżow ski (dz. cyt., s. 77), analizując kierunki konstruktywistyczne (intuicjonizm i empiryzm), pisze: „Intuicjonizm przyjmuje, że jeśli przedmiot niesprzeczny, to nieprawda, że nie istnieje; jednakże odrzuca zdanie, że jeżeli nieprawda, że coś nie istnieje, to ow o coś istnieje. W ykazanie niesprzeczności definicji pozwala nam przeto odrzucić twierdzenie, że
ności nie m ają analogiczne m atryce Łukasiew icza. N adto zastępując „2” przez „1” w m atrycy trójw artościow ej H eytinga otrzym ujem y m atrycę logiki dwu- w artościow ej, czego rów nież nie m ożna pow iedzieć o m atrycy Łukasiew icza.
Cpq i i 0 i i i 0 i i i 0 0 i i 1 (u Heytinga) Cpq i i 0 i i i 0 i i i 1 0 i i 1 (u Łukasiewicza)
W tym drugim przypadku po utożsam ieniu „m ożliw ości” z „1” otrzym uje my w artościow anie niezgodne z logiką klasyczną, m ianow icie CIO = 1.
Gdyby wyżej przedstaw iona trójw artościow a m atryca skonstruow ana przez H eytinga dla logiki intuicjonistycznej okazała się adekw atna, nie m ielibyśm y powodów, aby traktow ać tę logikę inaczej niż logikę Łukasiew icza w aspek cie liczby w artości logicznych. Bardzo szybko okazało się jednak, że tak nie jest. Szczegółow e badania w ykazały, że m atryca H eytinga jest tylko przybli żoną m atrycą system u tw ierdzeń opartych na założeniach intuicjonizm u. W praw dzie w szystkie tezy intuicjonistycznej logiki zdań otrzym ują wartość w yróżnioną według tej m atrycy, lecz istnieją form uły spełniające m atrycę, a nie w ynikające z aksjom atów tej logiki, a więc nie będące tezam i. Przykła
przedmiot nie istnieje. Jeżeli jednak nie potrafimy przedmiotu skonstruować, pozostaje istnienie jego niejako w stanie zawieszenia. Intuicjonizm rozróżnia przeto dwa przypadki, które empi- ryzm matematyczny traktuje jednakowo. Dla empiryzmu przedmiot nie istnieje, jeżeli nie został skonstruowany, zarówno w przypadku sprzeczności, jak niesprzeczności definicji. Dla intuicjo nizmu nie istnieje przedmiot sprzeczny, natomiast przedmiot niesprzeczny, jeżeli nie może być skonstruowany, jest niezdeterminowany w tym sensie, że nieprawdą jest zarówno, że nie istnieje, jak też, że istnieje. Zarazem zaś ow o niezdeterminowanie jest jakby bliższe istnienia niż nieistnienia wobec tego, że m oże przejść w istnienie (przez skonstruowanie przedmiotu), lecz nie m oże przejść w nieistnienie, bo nie istnieją tylko przedmioty, których definicje zaw ie rają sprzeczność”.
dem m oże być form uła CCNN ppApN p, która nie da się w yprow adzić z aksjo m atów , natom iast spełnia p odaną przez H eytinga m atrycę: CCNN 22A2N 2 = CCN02A 20 = CC 122 = C22 = 1 (podobnie form uła A CpqCqp = A C22C22 = = A l l = 1). Skonstruow ano w ięc m atryce 5-w artościow e, będące dokład niejszym przybliżeniem intuicjonizm u (np. ostatnia form uła nie jest już w nich praw dziw a), ale i tak zbiór w yrażeń praw dziw ych w edług m atryc był obszerniejszy od inferencji logiki intuicjonistycznej.
W 1932 r. Kurt Godeł udow odnił tw ierdzenie głoszące, iż żadna m atryca o skończonej liczbie w artości logicznych nie m oże być adekw atna dla syste mu H eytinga. Dowód G ódla przebiega następująco (podajem y go za Zawir- skim 22):
Utw órzm y alternatyw ę złożoną z sam ych rów now ażności zachodzących pom iędzy zmiennym i zdaniowymi:
( P i = P 2) v ( P i = P 3) v ( P i s P4> v - v ( P i s Pn) v (P2 = P3) v (P2 s P 4) v - V (Pn-l = Pn)
K ażda m atryca zawierająca m niej niż n w artości, w której spełniają się aksjo m aty H eytinga, będzie tę form ułę spełniać. Spróbujm y bowiem nadać każdej zm iennej inną wartość, a poniew aż w artości tych jest z założenia m niej niż zm iennych, zatem przynajm niej w jednej rów now ażności zm ienne otrzym ają tę sam ą wartość, czyli co najm niej jed n a rów now ażność będzie praw dziw a, a praw dziw ość choćby jednego składnika alternatyw y spraw ia, że cała alter natyw a otrzym uje wartość w yróżnioną rów ną jedynce (odnośne praw o logiki dw uw artościow ej jest w ażne także w logice H eytinga).
Teraz należy w ykazać, że pow yższa form uła jest niezależna od aksjom a tów, a więc nie da się w tym system ie udow odnić. Dowód niezależności przeprow adza się zwykle m etodą interpretacji. Chcąc więc uzyskać niezależ ność naszej form uły od aksjom atów H eytinga, szukam y takiej interpretacji zm iennych, dla których aksjom aty b ęd ą spełnione, a form uła nie. Godeł poda je tak ą tabelę interpretacyjną: m a ona k wartości: 1, 2, 3, ..., k; w artością w yróżnioną jest 1. Cpq = 1 dla p > q, zaś Cpq = q dla p < q; Np = k dla p i k , zaś Nk = 1; alternatyw a przybierze wartość składnika m niejszego, a więc min. (p, q), natom iast koniunkcja w artość czynnika w iększego, a więc max. (p, q). D la takiego w artościow ania aksjom aty spełniają się, natom iast
nasza form uła będzie się spełniać tylko w tedy, gdy liczba zm iennych zdanio wych pn jest w iększa niż k, w przypadku zaś gdy liczba ta rów na się k lub jest m niejsza od k, nasza form uła spełniać się nie będzie, a więc jest od
aksjom atów niezależna.
„Zatem m atryca adekw atna logiki H eytinga m usi być nieskończenie wielo- w artościow a, praw a logiki H eytinga spełniają się dla nieskończonego ciągu matryc z ciągle rosnącą ilością w artości”23. Zdaniem Zaw irskiego Gódel wykazał nie tylko to, że żadna skończona m atryca nie m oże być adekw atna dla system u H eytinga, ale że m iędzy system em klasycznego rachunku zdań a system em intuicjonistycznej logiki zdań leży nieskończenie w iele systemów, czyli, innymi słowy, system H eytinga jest zaw arty w system ach zaw ierających się w logice klasycznej24. C ałkow icie odm iennie tę zależność ujm uje Łuka- siewicz (1952), w edle którego to w łaśnie intuicjonistyczny rachunek zdań zawiera jako sw oją część w łaściw ą klasyczny rachunek zdań25. Abstrahując od popraw ności argum entacji za jednym lub drugim stanow iskiem , warto się zastanow ić, czy alternatywa: zaw ężenie lub rozszerzenie (oczyw iście logiki klasycznej) postaw iona przed logiką intuicjonistyczną jest zasadna. Relacja rozszerzenia (i podobnie zawężenia) w ym aga, aby w obydwu system ach te same zapisy form alne były identycznie rozum iane. Podkreśla się bowiem , iż prawo logiki to nie tyle jego form alny zapis, lecz treść praw a, która jest uza leżniona od sensu, jaki przypisuje się stałym logicznym w nim występującym . W rezultacie w ydaje się, że kiedy pew na form uła, np. ApNp, jest logicznie praw dziw a w jednym system ie, a w innym nie, to form uły te, choć typogra ficznie takie same, m ają różne znaczenia w różnych system ach. Zatem to, co stw ierdza form uła A pN p, jest praw dziw e w logice klasycznej, lecz to, co stw ierdza ta sam a form uła, nie jest praw dziw e w logice intuicjonistycznej.
Zapytajm y wobec tego, co stw ierdza form uła ApNp (oraz inne form uły) w klasycznym rachunku zdań, a co w rachunku intuicjonistycznym . Problem ten m ożna uogólnić i zapytać, jak i sens m ają funktory jednej i drugiej logiki
23 Tamże.
24 Zob. tamże, s. 206. Zawirski nie jest odosobniony w takim ujęciu odnośnego problemu, wręcz przeciwnie: w iele pobieżnych om ówień logiki intuicjonistycznej, trzymając się faktu, iż odpadają w niej niektóre klasyczne prawa, np. prawo w yłączonego środka, traktuje logikę intuicjonistyczną jako ograniczenie klasycznej.
25 Łukasiewicz (O intuicjonistycznym rachunku zdań , s. 261-263) nie uwzględnia faktu, iż do w ygłoszenia tej tezy niezbędna jest definicja 63: F8NTpNq8Cpq. Ten sposób definiow a nia Łukasiewicz przejmuje z prototetyki Leśniew skiego. Jednakże wydaje się, że wprowadzenie tej definicji jest nieuprawnione, gdyż łam ie ona postulat nietwórczości.
zdań. S. M ajdański26 ponadto zw raca uw agę na fakt, iż z rozum ieniem (i liczbą) funktorów logiki zdań w iąże się zarówno interpretacja w artości logicznych, jak i ich liczba, a zatem rozw ażenie tej ważnej kw estii powinno rzucić w ięcej św iatła na problem dotyczący rozum ienia (i liczby) w artości logicznych intuicjonistycznej Jogiki zdań.
Znaczenie funktorów - zdaniem S. H aack27 - m ożna uważać za w yw o dzące się po części z aksjom atów /reguł system u, w którym w ystępują (i z je go sem antyki form alnej), a także częściow o z nieform alnych odczytań spój ników (i nieform alnych w yjaśnień sem antyki form alnej). Odnośnie do tego pierw szego warto zauważyć, że funktory w logice intuicjonistycznej nie są w zajem nie definiow alne, natom iast w klasycznej są, a zatem m ożna ju ż w no sić, że funktory w obu logikach będą inaczej rozum iane. Rozw ażm y więc pozytyw nie, ja k są rozum iane stałe logiczne w intuicjonistycznym rachunku zdań, a ja k w klasycznym .
Oddajmy na chw ilę głos twórcom intuicjonizm u. A. H eyting pisze, iż „każde zdanie m atem atyczne ma postać: «dokonałem konstrukcji o następują cych własnościach: ...». Tę postać zachow ują cztery spójniki logiczne”28 oraz: „[...] zdanie m atem atyczne w yraża pew ne oczekiw anie. Na przykład zdanie: «Stała Eulera W jest w ym ierna» wyraża oczekiw anie, że potrafim y znaleźć dw ie liczby całkow ite a i b takie, że W = a/b”29. H eyting odróżnia zdania i asercje. A sercja jest uznaniem zdania, np. asercja: „W jest w ym ier n e” oznaczałaby, że faktycznie znaleziono w ym agane liczby. N atom iast zda nie: „W nie jest w ym ierne” oznacza oczekiw anie, że z założenia o wymier- ności W m ożna wyprowadzić sprzeczność. Tak więc, w edług H eytinga, nega cja zdania jest czym ś pozytyw nym , gdyż odsyła zaw sze do procedury dow o dowej, prow adzącej do sprzeczności, naw et jeśli zdanie w yjściow e nie suge ruje żadnej procedury dow odow ej30. Dow odem zdania p jest jego konstruk cja. „Zatem Np m ożna uznać w tedy i tylko wtedy, gdy dysponujem y kon strukcją, która z założenia, że dokonano konstrukcji p, wyprow adza sprzecz ność”31. Podobnie form uła ApNp oznacza oczekiw anie na m atem atyczną
26 Logika: czy- ilo- i ja k w artościow a?, „Summarium”, 1975, nr 4 (24), s. 51. 27 Philosophy o f L ogics, Cambridge University Press 197B, s. 230.
28 Elem enty intuicjonizmu, [w:] Filozofia matematyki. A ntologia tekstów, tł. [z jęz. ang.] B. Baran, red. J. M isiek, Kraków 1986, s. 93.
29 Intuicjonistyczne p o d sta w y m atem atyki, tamże, s. 33. 30 Por. tamże.
konstrukcję, tj. na podanie m etody, za pom ocą której m ożna dla dowolnego zdania dowieść samo to zdanie lub jego negację32. A. H eyting wprost stw ier dza: „Nie jestem zdolny nadać zrozum iałego sensu tw ierdzeniu, że istnieje jakiś przedm iot m atem atyczny, jeślib y nie mógł być skonstruow any”33. „W rozw ażaniu m yślowych konstrukcji m atem atycznych «istnieć» musi być synonim em «być skonstruow anym » [...] Tw ierdzenie m atem atyczne jest stw ierdzeniem , że została w ykonana pew na konstrukcja m atem atyczna. Jasne, że przed wykonaniem konstrukcji nie m a jeszcze tw ierdzenia”34. Z kolei prawa logiki intuicjonistycznej to najogólniejsze praw a m atem atyki intuicjoni- stycznej - otrzym uje się je na drodze uogólniania uniw ersalnie popraw nych m etod konstrukcji arytm etycznych.
E. J. Lem m on, opierając się na uw agach tw órców intuicjonizm u odnośnie do rozum ienia stałych logicznych intuicjonistycznej logiki zdań, daje taką oto ich charakterystykę:
(1) „ . . . a ...” - „jest tak, że ... i ...”;
(2) „... v ...” - „można wykazać, że jest tak, iż ..., lub m ożna wykazać, że jest tak, iż ...”;
(3) „... —» ...” - „m ożna wykazać, że jeżeli m ożna wykazać, iż jest tak, że ..., to m ożna wykazać, iż jest tak, że ...”;
(4) „~ ...” - „m ożna wykazać, że założenie, iż ..., prow adzi do sprzeczno ści” (lub „m ożna w ykazać, że nie jest tak, iż m ożna wykazać, że ...”), przy czym w yrażenie „m ożna w ykazać, że ...” rozum ie się jako „istnieje efektyw na procedura w ykazania, że ...”35
32 Por. t e n ż e , Intuicjonistyczne p o d sta w y m atem atyki, s. 34.
33 Some Remarks on Intuitionism, [w:] C onstructivity in M athematics, ed. A. Heyting, Amsterdam 1959, s. 69. Por. także: Intuitionism [...], s. 2 n.
34 H e y t i n g, Intuitionism [...], s. 2 n. W kwestii przedmiotu matematyki intuicjonizm pozostaje zatem w radykalnej opozycji do platońskiego realizmu, w myśl którego istnieje niezależna od podmiotu poznającego dziedzina przedmiotowa, którą matematyka jedynie odkry wa i opisuje. Por. I. D ą m b s k a, Idee Kantow skie w neointuicjonizm ie Brouwera, (Acta Universitatis W ratislaviensis, No. 290), W rocław 1976, s. 9.
35 Por. E. J. L e m m o n, G. P. H e n d e r s o n, Is There Only One C orrect System
o f M odal Logic?, „The Aristotelian Society”, 33(1959) 27. Podobną do tej interpretacji jest
interpretacja dowodowa Heytinga, którą przytaczają np. W. M arciszewski, W. Pogorzelski (dz. cyt., s. 289), R. Murawski {Filozofia m atematyki. Z arys dziejów , Warszawa 1995, s. 109 n.). W edług M arciszewskiego „(1) dowodem formuły A a B jest para d j, d2 taka, że d , jest dow o dem formuły A, zaś d2 - dowodem formuły B; (2) dowodem formuły A v B jest konstrukcja polegająca na tym, że wybiera się jedną z formuł A, B oraz dostarcza dowodu wybranej formuły; (3) dowód d formuły A —> B jest konstrukcją, która każdemu (wykonanemu) dow odo wi e formuły A przyporządkowuje procedurę dow odow ą d(e) przekształcającą e w dowód dla
W św ietle pow yższych uwag staje się jasne, jak ie praw o w yłączonego środka odrzucają intuicjoniści. Z pew nością nie jego w ersję klasyczną, która mówi, że każdy sąd p jest albo praw dziw y, albo fałszyw y, czyli albo p jest praw dziw e, albo jego negacja, lecz raczej taką oto jego postać: „Istnieje efektyw na procedura wykazania, że p , albo istnieje efektyw na procedura w ykazania, że N p”. O czyw iście ta druga form uła m oże m ieć, i faktycznie ma, fałszyw e podstaw ienia.
Ogólny wniosek, jaki m ożna wyprow adzić z pow yższego rozum ow ania, jest następujący: w edług intuicjonistów zdanie reprezentuje nie sam stan rzeczy, ale stan rzeczy jako poznany (skonstruow any) (teza Brouwera: esse = construere).
D la porów nania scharakteryzujem y teraz pokrótce sposób rozum ienia funk- torów w logice klasycznej. „Przyjm ujem y, że świat jest jakiś bez w zględu na to, czy mamy m ożliw ość się o tym przekonać, czy nie. «Platon był w Indiach lub nie był w Indiach» uznajem y za praw dę, chociaż nie m ożem y się przeko nać o praw dziw ości zdań składow ych w ystępujących w tym zdaniu złożo n ym ”36. K. A jdukiew icz, odpow iadając na pytanie, czego dotyczy zdanie alternatyw ne, mówi, iż „dotyczy ono [...] pew nego obiektyw nego stanu rze czy, a nie dotyczy wcale naszej wiedzy o nim. Ten zaś obiektyw ny stan rzeczy nie zm ienił się wcale przez to, że zm ieniła się nasza w iedza o nim. Jeżeli zaś stan rzeczy, którego pew ne zdanie dotyczy, nie ulega zm ianie, to nie m oże też owo zdanie, które z tego stanu rzeczy zdaje spraw ę, z prawdy przem ienić się w fałsz. W obec tego, jeżeli dana alternatyw a była praw dą przed stw ierdzeniem , który z jej członów jest praw dziw y, to nie przestała być praw dą rów nież po stw ierdzeniu tego”37. Krótko m ówiąc, wypow iadając zdanie alternatyw ne, stw ierdzam y pew ien obiektyw ny stan rzeczy, na który nie m a wpływu nasz stan wiedzy o tym stanie rzeczy.
A. G rzegorczyk w yróżnia klasyczny i relatyw istyczny sposób uznaw ania tw ierdzeń, który charakteryzuje odpow iednio logikę klasyczną oraz intuicjo- nistyczną. Uznaw anie klasyczne jest niestopniow alne i absolutne, czyli nie zrelatyw izow ane do warunków uznaw ania. „W klasycznej koncepcji zdania
B; (4) dowód formuły ~A jest dowodem na to, że z A wynika sprzeczność”. Zob. M ata Ency
klopedia Logiki, pod red. W . M arciszewskiego, W rocław 1988, s. 108 (hasło: Logika intuicjo- nistyczna).
36 Zob. G r z e g o r c z y k , art. cyt., s. 118.
37 O kres warunkowy a im plikacja m aterialna, [w:] t e n ż e , Język i poznanie, t. II, Warszawa 1985, s. 252 n.
uznanego zdania uznane utożsam ia się ze zdaniam i praw dziw ym i, a stąd odróżnia się tylko zdania uznane (za praw dziw e) i odrzucone (jako fałszywe). Przy tym jeśli uznajem y pew ne zdanie za praw dziw e, to czynim y to bez względu na okoliczności tow arzyszące uznawaniu. Zdanie uznane dziś za praw dziw e uw ażam y, że pow inno być uznane za praw dziw e przez każdego i w każdym czasie, bez w zględu na to, czy dotyczy zdarzeń przeszłych, przy szłych czy obecnych, stw ierdzalnych czy niestw ierdzalnych”38. Natom iast podstaw ą relatyw istycznych koncepcji uznaw ania jest „przyjęcie, że m oje uznawanie tw ierdzeń jest czynnością psychiczną, która zależy od w arun ków ”39.
Zdaniem M. D um m etta w pierw szym przypadku „asercja jest praw dziw a lub fałszyw a niezależnie od m oich m ożliw ości jej uzasadnienia. Podczas gdy z przeciw staw nego punktu w idzenia rozw ażam y ją w kategoriach moich m o żliwości jej uzasadnienia wypow iadanego tw ierdzenia. To w łaśnie mam na m yśli m ówiąc, że idea asercji wytycza niejako drogę do idei praw dy”40.
Stanowisko klasyczne zakłada adekw acyjną (klasyczną) teorię prawdy, w myśl której praw dziw ość jest zgodnością (adeąuatio) m iędzy treścią danego poznania a określoną stroną jego przedm iotu, tą w łaśnie, którą poznanie ujmuje. Zdanie je s t praw dziw e lub fałszyw e na m ocy rzeczyw istości, która istnieje niezależnie od podm iotu poznającego, a więc zdanie m oże być praw dziwe, naw et jeśli nie mamy żadnych środków , by się o tym przekonać. Przy relatyw istycznym sposobie uznaw ania zm ienia się rozum ienie prawdy: praw dziwość zdania m oże polegać jedynie na spełnianiu pew nych kryteriów . Intui- cjonista zdaje się więc utrzym ywać, że zdanie m atem atyczne m oże być praw dziw e tylko na m ocy rzeczyw istego uzasadnienia, tj. na m ocy dowodu, który jest nam rzeczyw iście znany. Istotę praw dziw ości intuicjoniści w idzą nie w stosunku zdania do rzeczyw istości, lecz w jego stosunku do rezultatu okre ślonych zabiegów poznaw czych.
W róćm y teraz do zagadnienia interpretacji wartości logicznych intuicjonis- tycznej logiki zdań, w szczególności tych w artości, które w ystępują w m atry
38 A. G r z e g o r c z y k , K lasyczne, relatyw istyczne i konstruktywistyczne sposoby
uznawania tw ierdzeń, „Studia Logica”, 27(1971) 154.
39 Tamże, s. 156. Grzegorczyk zaznacza jednak, iż ta zależność nie musi być rozumiana jako ułom ność, ale jako konieczna ostrożność dyktowana w zględam i m etodologicznym i.
40 A ntyrealistyczne spojrzenie na język, m yśl, logikę i historię filo zo fii analitycznej. Z M ichaelem D um m ettem rozm awia F abrice Pataut, „Kwartalnik F ilozoficzny”, 26(1998),
cy podanej przez H eytinga oraz w m atrycach będących jej m odyfikacjam i. Pow iedzm y też w yraźnie, że sami intuicjoniści tą kw estią w ogóle się nie zajm ują41. Logika intuicjonistyczna została skonstruow ana bez naw iązyw ania do koncepcji zdania o w artości logicznej różnej od praw dy i fałszu.
Przypom nijm y, że H eyting obok w artości „1” i „0” przyjm ow ał trzecią wartość logiczną, któ rą oznaczyliśm y przez „2” . W św ietle pow yższych usta leń m ożna pow iedzieć, że zdanie w perspektyw ie intuicjonizm u nie w yraża samego stanu rzeczy, ale zaw sze stan rzeczy jako poznany. W ydaje się więc, iż wartość „1” może być interpretow ana jako „jest praw dziw e i w iadom o, że jest praw dziw e”, albo zam iast o praw dziw ości lepiej mówić o byciu uzasad nionym (udowodnionym , skonstruow anym )42: „znany jest nam dowód (m eto da konstrukcji)”. „0” zaś m ożna interpretow ać jako „jest fałszywe i w iadom o, że jest fałszyw e”, lub „wiemy, że nie istnieje dowód (m etoda konstrukcji)” (założenie o istnieniu dow odu/m etody konstrukcji prow adzi do sprzeczności). W artość „2” m atrycy H eytinga, w ydaje się, m oże być odczytyw ana niezbyt precyzyjnie jako „jest zbliżone do praw dy” lub „jest praw dziw e o jakim ś stopniu uzasadnienia”, czyli „nie znamy dow odu/m etody konstrukcji, ale to, że taki dowód istnieje, nie prow adzi do sprzeczności”, przy czym w artość ta jest bliższa „1” niż „0”, gdyż „2” m oże przejść w „1” poprzez podanie m eto
dy konstrukcji (nigdy zaś „2” nie m oże przejść w „0”).
Jak ju ż wyżej w spom nieliśm y, dokładniejszym i przybliżeniam i system u tw ierdzeń dających się w yprow adzić z aksjom atów intuicjonistycznej logiki zdań są m atryce cztero-, pięcio- itd. wartościow e. Jak w tych m atrycach są rozum iane wartości pośrednie (m iędzy „0” a „1”)? W następujących po sobie m atrycach w artości nie w yróżnione stale przyrastają o jedną, a same m atryce są generow ane przez funkcję / o następujących własnościach: (1) gdy argu m ent funkcji / ma w artość w yróżnioną, to w artością / jest now a wartość logiczna, której w poprzedniej m atrycy nie było; (2) gdy argum entem / jest w artość nie w yróżniona w poprzedniej m atrycy, to wartość funkcji / jest rów na tej poprzedniej w artości nie w yróżnionej.
S. Jaśkow ski w ykazał, że „im dalej posuw am y się w szeregu nowych w artości, tym bardziej zbliżam y się do praw dy”43. Gdy bowiem zastąpim y
41 Jedynie pewne sugestie na ten temat można znaleźć w artykule Brouwera The E ffect
o f Intuitionism on C lassical A lgebra o f Logic, [w:] C ollected Works [...], s. 551-554.
42 W semantyce intuicjonistycznej warunki prawdziwości zastąpione są (aktualną) dow odliw ością, uzasadnialnością, usprawiedliwioną stwierdzalnością itp.
wartość najbliższą „1” przez „1” w m atrycy im plikacji i negacji intuicjo- nistycznej, to z odpow iednich m atryc k-w artościow ych otrzym am y m atryce k - 1-w artościow e (zastąpienie „2” przez „1” w m atrycy trójw artościow ej, jak to w cześniej w ykazaliśm y, daje w wyniku zw ykłą m atrycę logiki dw uw artoś- ciow ej). N atom iast zastąpienie w artości najbliższej „0” przez „0” lub którejś z wartości pośredniej przez w artość sąsiednią burzy wzajem ne stosunki po przedniej m atrycy. Tak więc w artości pośrednie przyjm ują zdania praw dziw e o jakim ś stopniu uzasadnienia, przy czym wartości te są uporządkow ane w e dług w zrastającego stopnia uzasadnienia jako „zbliżające się do praw dy”44.
Zupełnie odm iennie przedstaw ia się spraw a w artości logicznych w klasycz nym rachunku zdań. Na jego gruncie „wartość logiczna zdania zależy w yłącz nie od jego zgodności lub też niezgodności z rzeczyw istością, a w cale nie od tego, czy ludzie p otrafią czy też nie p otrafią tej zgodności teraz lub kiedykol wiek ustalić”45. D zieje się tak dlatego, że relacja m iędzy zdaniem a stanem rzeczy w nim stw ierdzanym jest taka, iż m ożliw ość (czy też niem ożliw ość) poznania tego stanu rzeczy nie m a wpływu na wartość logiczną owego zda nia. Zgodnie z klasyczną koncepcją prawdy albo zachodzi adeąuatio - zgod ność poznania z rzeczyw istością (wartość praw dy), albo nie zachodzi owa zgodność (w artość fałszu). Praw dziw ość w sensie klasycznym , w przeciw ień stw ie do „praw dziw ości” rozum ianej intuicjonistycznie, jest niestopniow alna, niezm ienna, niezależna od tego, kto i w jakich okolicznościach uznaje dane zdanie46.
Sum ując rezultaty pow yższych rozw ażań nad interpretacją w artości logicz nych w intuicjonistycznej logice zdań, m ożna pow iedzieć, iż żadnej z nich (wartości) nie należy interpretow ać jako klasycznie rozum ianej praw dziw ości.
N atom iast w zw iązku z k w estią liczby wartości logicznych intuicjonis tycznej logiki zdań m ają m iejsce pew ne nieporozum ienia. L. B orkow ski w y jaśnia, że „charakterystyka m atrycow a system u jest taką jego charakterystyką algebraiczną, przy której w artości m atrycy nie m uszą być interpretow ane sem antycznie”47. M ożna zatem traktow ać charakterystykę m atrycow ą syste mu czysto form alnie, syntaktycznie. Źródło nieporozum ień tkwi często w utożsam ieniu pojęcia spełniania w m atrycy i pojęcia praw dziw ości w m odelu
44 Tamże, s. 206-211.
45 E. G r o d z i ń s k i, Filozoficzne p o d sta w y logiki w ielow artościow ej, Warszawa 1989, s. 17.
46 Por. A. B. S t ę p i e ń, W stęp do filo zo fii, Lublin 1989, s. 126. 47 Art. cyt., s. 471.
(utożsam ienie tych pojęć jest m ożliw e w klasycznym rachunku zdań, jako że tam te w arunki pokryw ają się i dlatego wartości m atrycy m ożna interpretow ać sem antycznie jako praw dziw ość i fałszywość). Tak więc, zdaniem B orkow skiego, budow anie system u, dla którego nie istnieje adekw atna m atryca dwu- w artościow a, nie m usi być zw iązane z odrzuceniem zasady dw uw artościo- wości i z przyjęciem , że podział zdań na praw dziw e i fałszyw e nie jest zupełny48.
O dnośnie do liczby w artości logicznych w logice intuicjonistycznej warto jeszcze zauw ażyć, że ow ą w ielość w artości z ilości należałoby raczej p rze nieść na w arunki uznaw ania49. W artości pośrednie bow iem w ystępujące w matrycy H eytinga (i jej m odyfikacjach) m ożna chyba rozum ieć nie jako nowe wartości sem antyczne, obok praw dy i fałszu, lecz jako w arianty epistem olo- giczne praw dy (ew entualnie fałszu).
Logikę klasyczną i logikę intuicjonistyczną D um m ett sytuuje na osi sporu: realizm - antyrealizm . Jego zdaniem źródłem antyrealizm u jest przede wszystkim intuicjonistyczną (konstruktyw istyczna) filozofia m atem atyki. „Spór m iędzy realistam i i antyrealistam i dotyczy nie klasy bytów , czy też klasy term inów , ale raczej klasy zdań - np. zdań o św iecie fizycznym , o zdarzeniach, procesach i stanach psychicznych, zdań m atem atycznych, zdań w czasie przyszłym , zdań w czasie przeszłym itd. Tego typu klasę zdań będę od tej pory nazyw ał «klasą sporną». W m oim ujęciu realizm to przekonanie, że zdania klasy spornej m ają obiektyw ną wartość logiczną, niezależnie od tego, w jak i sposób m oglibyśm y j ą poznać; są one praw dziw e lub fałszyw e na m ocy rzeczyw istości, która istnieje od nas niezależnie. A ntyrealista prze ciw staw ia tem u stanow isku pogląd, w edług którego znaczenie zdań klasy spornej m oże być zrozum iane jedynie w zw iązku z czym ś, co uznalibyśm y za uzasadnienie tych zdań. Innym i słowy, według realisty nie istnieje b ez pośredni zw iązek m iędzy znaczeniem zdań należących do klasy spornej a czym ś, co m ogłoby stanow ić ich uzasadnienie. Z naczenie zdań klasy spor nej dane jest poprzez to, w jak i sposób stany rzeczy, istniejące niezależnie od tego, czy potrafim y je stw ierdzić, w yznaczają ich w artość logiczną. A nty realista przeciw nie, uw aża w łaśnie, że jest taki bezpośredni związek; pow o duje on, że zdanie klasy spornej m oże być praw dziw e tylko dzięki czem uś,
48 Por. tamże, s. 472 n. Tę samą myśl wyraża Haack (P hiłosophy o f Logics, s. 213). 49 Por. G r z e g o r c z y k , K lasyczne, relatyw istyczne [...], s. 157.
co m ogłoby nam być w iadom e i co uznalibyśm y za uzasadnienie jego praw dziw ości”50.
Postaw a realistyczna, zdaniem D um m etta, w iąże się z akceptacją, dla zdań danej klasy, zasady dw uw artościow ości, głoszącej, że każde zdanie o określo nym znaczeniu jest zdecydow anie albo praw dziw e, albo fałszyw e (niezależnie od tego, czy znamy jego w artość logiczną lub naw et jesteśm y w stanie ją poznać)51. Intuicjoniści natom iast odrzucają zasadę dw uw artościow ości. W edle nich zdanie jest praw dziw e, jeśli m ożna podać konstrukcję stanow iącą jego dowód. Zdanie jest fałszyw e tylko w tedy, gdy wyprow adzono sprzecz ność z założenia, że konstrukcja stanow iąca jego dow ód została doprow adzo na do końca. Zdania praw dziw e to zdania udow odnione, zdania fałszyw e zaś to zdania obalone. W m atem atyce znane są przykłady zdań w intuicjonis- tycznym rozum ieniu ani praw dziw ych, ani fałszyw ych, gdyż ani nie udow od nionych, ani nie obalonych. Jest zatem rzeczą oczyw istą, że intuicjoniści zm ieniają pojęcie praw dy (i konsekw entnie fałszu) w stosunku do jego kla sycznego rozum ienia. W artość prawdy przysługuje tylko tym zdaniom , o których w iadom o, że są praw dziw e (okazał to dowód), analogicznie wartość fałszu m ożna przypisać tylko tym zdaniom , o których wiadomo, że są fałszy we. Tym, co czyni dane zdanie praw dziw ym lub fałszywym , jest nasza zdol ność rozpoznania tego.
W e w cześniejszych rozw ażaniach doszliśm y do wniosku, że - wedle in- tuicjonistów - zdanie jest praw dziw e tylko w tedy, gdy istnieje konstrukcja stanow iąca jego dowód. D um m ett zauw aża, że „istnieje” intuicjoniści także interpretują konstruktyw nie i z tej racji nie m ożna pow iedzieć o dowolnym zdaniu m atem atycznym o określonym znaczeniu, iż istnieje albo nie istnieje konstrukcja, która jest jego dowodem , a zatem iż jest ono praw dziw e lub fałszyw e. Tego rodzaju sem antyka, zdaniem D um m etta, wiąże się w oczy w isty sposób z odrzuceniem zasady dw uw artościow ości, a zarazem stanow i istotę stanow iska antyrealistycznego.
50 M. D u m m e t t, Realism, [w:] t e n ż e , Truth and O ther Enigmas, London 1978, s. 145-165 - tł. poi. T. Placek, P. Turnau, R ealizm , „Principia”, 6(1992) 6 n.
51 Początkowo Dummett przyjmował zasadę w yłączonego środka jako decydującą o byciu realistą w odniesieniu do zdań danej klasy, w późniejszym okresie jej miejsce zajęła ogólniej sza i silniejsza zasada dw uwartościowości. Zasada dw uwartościow ości nie decyduje jeszcze o tym, czy ktoś jest realistą czy nie; jest ona tylko warunkiem koniecznym, ale niewystarcza jącym realizmu. Spór m iędzy realizmem a antyrealizmem toczy się ostatecznie na terenie teorii znaczenia. Por. T. S z u b k a, M ichael Dum mett i antyrealizm , [w:] F ilozofow ać dziś. Z badań
Spór m iędzy realizm em a antyrealizm em m ożna opisać za G rzegorczykiem jako w ybór pew nego nastaw ienia badawczego: „Rachunek klasyczny jest uzasadniony w rozw ażaniach o ontologicznym nastaw ieniu, czyli w rozw aża niach, w których chcem y bezpośrednio odpow iadać na pytanie: «jaki jest świat?» bez względu na to, czy jest przez kogoś poznaw any i jak jest pozna w any”52. W tej perspektyw ie badaw czej naukotw órcze pytanie zdaje się przy bierać następującą postać: „dlaczego coś je s t takie, jak ie je st? ” Przyjm uje się tu, że refleksja ogólnoontologiczna (m etafizyczna) jest w cześniejsza logicznie od m etodologicznej czy teoriopoznaw czej i stąd jest od tej drugiej niezależna. N atom iast intuicjoniści, jak to ju ż stw ierdziliśm y, w iążą z każdym zdaniem refleksję nad sposobem dojścia do uznania tego zdania, czyli - m ówiąc językiem G rzegorczyka - przyjm ują m etodologiczne nastaw ienie badawcze. W tym nastaw ieniu naukotw órczem u pytaniu m ożna nadać taką postać: „Czy wiem y, jak wykazać, że coś jest takie, jakie jest? ” W grę w chodzi tu, jak się w ydaje, nie tylko stan rzeczy, ale także sposób dojścia do uznania tego stanu rzeczy.
Zbierając poszczególne uwagi na tem at statusu logiki intuicjonistycznej, jej relacji do logiki klasycznej oraz logik w ielow artościow ych, dałoby się je zam knąć najkrócej w następujących tezach:
1) logika intuicjonistyczna w yrosła w innym paradygm acie upraw iania nauki aniżeli logika klasyczna, m ianow icie takim, w którym uw zględnia się m ożliw ości poznaw cze podm iotu poznającego;
2) z przyjęciem innej postawy badaw czej w iążą się różnice w rozum ieniu stałych logicznych w obydwu logikach;
3) z kolei różnica znaczeń funktorów klasycznego rachunku zdań i in- tuicjonistycznego rachunku zdań z konieczności w yklucza rzeczyw istą konku rencyjność tych systemów: obydw a system y nie w ydają się w tym sensie ryw alizow ać m iędzy sobą, bo każdy z nich dotyczy czego innego53;
4) żadnej z w artości logicznych rachunku intuicjonistycznego nie m ożna interpretow ać jako klasycznie rozum ianej praw dziw ości albo falszywości;
5) w ielość w artości w m atrycach logiki intuicjonistycznej należałoby z ilości przenieść na warunki uznaw ania, a wtedy byłyby to jakieś w arianty epistem ologiczne praw dziw ości lub falszywości;
52 Zob. N ieklasyczne rachunki [...], s. 118. Zob. także: S. K i c z u k, Zagadnienie obo-
w iązyw alności klasycznego rachunku zdań, „Roczniki F ilozoficzne”, 36(1988), z. 1, s. 5 4 n.
6) w artości m atryc logiki intuicjonistycznej nie należy traktow ać jako w artości sem antycznych w tym sensie, że dotyczą one stosunku zdania do rzeczyw istości; w artości te m ogą, co najw yżej, w yznaczać inny podział zdań, np. ze w zględu na stopień upraw om ocnienia (uzasadnienia).
THE INTUITIONISTIC PROPOSITIONAL LOGIC VERSUS OTHER PROPOSITION AL CALCULI ACCORDING TO SOME AUTHORS
S u m m a r y
The paper addresses two principal questions o f philosophical nature connected with the intuitionistic propositional logic. The first deals with the relationship between that logic and the many-valued systems; now, the second concentrates on the relationship between the intuitionistic propositional calculus and the classical propositional calculus. As regards the first issue, the number as w ell as the way to understand the logical values o f the intuitionistic propositional logic have been subjected to analyses. The proposition-making functors in both logics have been discussed. Finally, som e differences in the scientific attitude have been pointed out, the attitude that is connected with classical logic and intuitionistic logic.
