Hogere Elasticiteitstheorie: Bezwijkanalyse van portalen, platen ens schalen

C o l l e g e •^=HOGEEE E L A S T I C I T E I T S T H E O R I E = - 1953 - 1954 n . k , v a n P r o f . D r I r J.P.Mazure G r o n d o n d e r s t e i l i n g e n s 1 . E v e n r e d i g h e i d v a n s p a n n i n g e n e n v o r m v e r a n d e r i n g e n (Wet v a n H o o k e ) , 2. H o m o g e n i t e i t e n i s o t r o p i e v a n h e t m a t e r i a a l , 3. K l e i n e v o r m v e r a n d e r i n g e n ( ' l i n e a i r e t h e o r i e ' ) . Te h e s c h o u w e n ; 1 . B e t r e k k i n g e n t u s s e n s p a n n i n g e n ( v o o r v / a a r d e n v a n e v e n w i c h t ) , 2. B e t r e k k i n g e n t u s s e n

vormveranderingen

( v o o r w a a r d e n v a n

samenhangT,

3. A f h a n k e l i j k h e i d v a n s p a n n i n g e n e n v o r m v e r a n d e r i n g e n (v/et v a n H o o k e j . A V o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t . V o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t l e e r d e n r e e d s t . a . v . de s p a n n i n g s — '-toe s t a n d i n e l k p u n t de g e l i j k h e i d v a n s c h u i f s p a n n i n g s c o m p o — n e n t e n l o o d r e c h t op de g e m e e n s c h a p p e l i j k e r i h h e i n t w e e o n d e r -l i n g -l o o d r e c h t e v -l a k k e n , h e n e v e n s h e t v i n d e n v a n de s p a n n i n g op e e n w i l l e k e u r i g v l a k j e d o o r h e t p u n t ( z i e s p a n n i n g s l e e r ) . Bus i s de s p a n n i n g s t o e s t a n d v o o r t e s t e l l e n d o o r e e n t e n s o r (6 k e n g e t a l l e n ) . Een t e n s o r i s een b i j z o n d e r g e v a l v a n e e n a f — f i n o r ( 9 k e n g e t a l l e n ) . I n de b e t r e k k i n g e n , w a a r d o o r - d e s p a n n i n g s — v e c t o r p op e e n v l a k j e i s a f t e l e i d e n u i t de r i c h t i n g s c o s i n u s s e n n 5 n v a n de n o r m a a l op d a t v l a k j e ; X y z Px = a X X ^ x +• _a x y n y ^X2 n z = a y x ^ x

+

a y y n y

+

a y z n z Pz = a z x n X

+

a z y n y

+

a zz n z p — w o r d t ; a = a I a = a °, a = a . x y y x ' y z z y ' z x x z De d r i e a n d e r e e v e n w i c h t s v o or'waarden, d i e k u n n e n w o r d e n o p g e -s t e l d v o o r e e n k u b u -s v o l g e n -s de coördinaat—a-s-sen l e r e n n i e t -s t . a . v . de s p a n n i n g s t e n s o r i n e e n p u n t , d o c h v/el t . a . v ^ d e v a r i -a t i e v -a n de t e n s o r -a l s f u n c t i e v -a n de p l -a -a t s . S p a n n i n g s t e n s o r b v . v o o r g e s t e l d d o o r s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n op d r i e o n d e r l i n g l o o d r e c h t e v l a k k e n . W o r d t e e n r e c h t h o e k i g p a r a l l e l o p i p e d u m v o l g e n s d e z e v l a k k e n beschouv/d e n h e t e v e n w i c h t v a n k r a c h t e n v o l g e n s de d r i e n o r m a l e n o p g e m a a k t , d a n v i n d t men de g e z o c h t e b e t r e k k i n g e n .

-2' T e k e n k e u z e t v o o r e e n iuulous i n h e t ' p o s i t i e v e ' o c t a n t w e r k e n op de z i j v l a k k e n , d i e s a m e n v a l l e n met de coördinaat—assen, a l l e p o s i t i e v e s p a n n i n g e n v o l g e n s de r i c h t i n g d e r n e g a -t i e v e a s s e n . _ ^. V o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t ; ( j ^ e n z . ; c o m p o n e n t e n v a n de m a s s a -k r a c h t p e r v o l u m e — e e n h e i d ) X ^ x

+

z

+

b z

+

0 Z ^ X

+

+

"DZ

+

0 . ( 1 ^ x

+

^ ^ x

₊

^ ^ z •Dz

+

h =

0. ^ B V o o r w a a r d e n v a n s a m e n h a n g . 1. I n v o e r e n v a n de v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n . H e t e e n v o u d i g s t a f t e l e i d e n d o o r i n t e v o e r e n de v e r p l a a t — s i n g s c o m p o n e n t e n v a n e l k p u n t v o l g e n s de a s s e n ; u , v , w. Samenhang i s v e r z e k e r d , m i t s u , v , w c o n t i n u e f u n c t i e s z i j n . E e r s t a l g e m e e n de s p e c i f i e k e l e n g t e v e r a n d e r i n g v a n e e n l i j n s t u k AL e n de h o e k v e r a n d e r i n g Y12 t u s s e n t w e e o n d e r l i n g l o o d r e c h t e l i j n s t u k k e n AL^ e n ALg u i t d r u k k e n i n u , v , w. a ) e-^i B e n k t w e e p u n t e n P , Q. P ( x , y , z ) Q ( x + A x , y + A y , z + A z ) AL = Y (Ax)=^ + ( A y ) ^ + (Az)^'. R i c h t i n g s c o s i n u s s e n v a n de l i j n P Q ; c o s a = ^ cosj3 = ^ Az c o s y = ^ . Na v o r m v e r a n d e r i n g ; P ( x + U p , y + V p , z+v/p) Q ( X + A X + U Q , y + A y + v ^ , z + A z + w ^ ) w a a r b i j ; N i e u w e l e n g t e AL' = A L ( l + z-^) = = \fÜx~+ UQ - U p ) 2 + ( A y + VQ - V p ) 2 + (Az + WQ - Wp)^.' ( b ) Na I c w a d r a t e r e n v o l g t ;

(AL)=^ + 2(AL)^£-^ + (AL)2£^^ = ( A x ) ^ + 2 . A X ( U Q - U p ) + (UQ - U p ) ^ + +(Ay)« + 2 . A y ( v Q - V p ) + (VQ - V p ) ^ + ( A z ) ^ + 2 . A Z ( W Q - Wp) +

+

(WQ

- W p ) %

i s k l e i n , e v e n a l s de g r o o t h e d e n ^ • ^ • ^ , - Wp

^ • - j ^ — . I n e e n ' l i n e a i r e ' t h e o r i e w o r d t a a n v a a r d , d a t men de k w a d r a t e n v a n deze g r o o t h e d e n mag v e r w a a r l o z e n . Dan h l i j f t o v e r ;

Na s u b s t i t u t i e v a n ( a ) i n ( c ) e n h e t i n v o e r e n v a n de r i c h t i n g s — c o s i n u s s e n v a n de l i j n v i n d t men;

e-^ = c o s a ( ^ c o s a + ^ cospi + ^ cos^f.) + O r b v r "öv \ + c o s p i - ^ c o s a + ^ c o s p + ^ cos^p) + /bw 5w ^ bw N r. + c o s ^ j y ( ' ^ c o s a + cospi + ^ cos-jj) o f ; + ( | | + |ï)oosPoosï + ( g + | | ) o o s y c o s a , b ) Yi2-1wee l i j n s t u k k e n ! H o e k e n m e t de a s s e n r e s p . a^, P-^, e n

a 2

, p

2 , y 2 .

Wegens l o o d r e c h t e s t a n d g e l d t ;

COSttiCOSag + COSPiCOSPg + COSyiCOS^f^g = O.

D o o r de v o r m v e r a n d e r i n g v e r a n d e r e n de b e i d e r i c h t i n g e n . I n d i e n de t o e s t a n d n a de v e r v o r m i n g m e t a c c e n t e n w o r d t a a n g e g e v e n , g e l d t ; Ax + u ^ — UT3 (1 + £.x.)cosa' = c o s a + ~ c o s a + c o s p + c o s v ( e )

h o x oy oz

D o o r c y c l i s c h e p e r m u t a t i e v i n d t men d e r g e l i j k e u i t d r u k k i n g e n v o o r cos|3' e n c o s i f ' , e n d e z e u i t d r u k k i n g e n k a n men z o w e l o p -s c h r i j v e n v o o r h e t l i j n -s t u k ALj. a l -s v o o r h e t l i j n -s t u k AL^. De h o e k t u s s e n de b e i d e l i j n s t u k k e n , r _ Y 12 > de v e r v o r m i n g w o r d t g e g e v e n d o o r ;

C 0 S ( ^ —

Y12) =

COStti'COSag'

+

COSPI'COSPE'

+ COSyi'COSy^'

( f ) A a n g e z i e n de v e r v o r m i n g e n k l e i n z i j n , k a n men s c h r i j v e n ;

c o s ( J - Y12) = s i n Y i 2 =

Yi2-Dus g e l d t ;

(1

+ £ i ) ( l + e2)Ti2

= ( 1 + £ i ) c o s a i

^ ( l + £2)cosa2' +

+ (1

+ £ i ) c o s p i ' ( l + £2)cosp2' +

+ (1 + £ 3 _ ) c 0 S ^ i ' ( l + £ 2 ) 0 0 3 ^ 2 ' . ( g )

4 -V o o r de e e r s t e t e r m v a n h e t r e c h t e r l i d k a n men v o l g e n s ( e ) s c h r i j v e n ; (cosa-i_ + ~ cosa-L + ~ c o s p i + ^ c o s y i ) ( c o s a 2 + ^ c o s t t g +

+ 1 ^ cosp2 + ^ cos^J.

A a n g e z i e n ^ e n z . k l e i n e g r o o t h e d e n z i j n ( o r d e v a n e ) k a n n e n de k w a d r a t e n e n d u h h e l e p r o d u c t e n v a n d e z e g r o o t h e d e n w o r d e n v e r -w a a r l o o s d . De u i t d r u k k i n g -w o r d t d a n ; c o s a i c o s t t a + 2 ^ c o s a i c o s t t g + ^ ( c o s a i c o s ^ g + costtgCOsjSi) +

+ ^(cosaiCOSipa + cosa2COSO-L). ( h )

V o o r de a n d e r e t e r m e n v a n h e t r e c h t e r l i d v a n ( g ) v i n d t men d o o r c y c l i s c h - p e r m u t e r e n o v e r e e n k o m s t i g e u i t d r u k k i n g e n . D o o r s u b s t i t u t i e i n ( g ) o n t s t a a t ;

( 1 + £ i ) ( l + £2)712 = COsa-jCOSag + COSpiCOsPa + COSyiCOSVg +

+ 2

^ COSaiCOStta +

2 ^ COSPiCOSPg + 2

C0SviC0Sy2 +

+ + | ~ ) ( c o s a ^ c o s P a + c o s a g C O s P i ) +

+ (-5^+ ^ ) (c0sPiC0SV2 + COSPgCOSyi) +

/ bw b u \ / \

+ + ( c o s y i c o s a g + cos(f)2COsa-L j .

G-ezien de k l e i n h e i d v a n e n Sgs l^an men, n u de t e r m e n v a n de h o o g s t e o r d e i n h e t r e c h t e r l i d t e g e n e l k a a r w e g v a l l e n , d e z e g r o o t h e d e n i n h e t l i n k e r l i d v e r w a a r l o z e n . Dus; .. • , r Y12 = 2 c o s a i c o s a g + 2 ^J™ c o s P i C O s p g + 2 ||- c o s y i c o s y g + + ( ^ + ^ ) (cosa-LCOSp2 + c o s a a c o s p i ) + + + I J ) (COSPICOSH,2 + c o s p g C O S y i ) + + + $ ^ ) ( c o s y i c o s a g + c o s y 2 C o s a i ,

_{• bx "Sz"}

2' V o r m v e r a n d e r i n g s c o m p o n e n t e n i n v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n . Ook de v o r m v e r a n d e r i n g s t o e s t a n d i n e e n p u n t k a n w o r d e n v/eer— g e g e v e n d o o r e e n t e n s o r . De c o m p o n e n t e n d a a r v a n t . o . v . de coördinaat—assen z i j n w e e r t e g e v e n d o o r ;

^x ' V ' ' ^xy ^z ' ' ^zx ^ V '

- 5 " De w a a r d e n h i e r v a n , u i t g e d r u k t i n de v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n u , V e n w z i j n a f t e l e i d e n u i t (2) e n ( 3 ) . V o o r de w a a r d e n a5 (3 e n 4. d i e n t d a n — a l n a a r de s t a n d v a n z a k e n •- 0 ° o f 9 0 ° t e w o r d e n g e s u b s t i t u e e r d . D i t l e v e r t ; v o o r a = 0 ° ^ P = y =

9 0 ° ;

£ X "bu ~ b x v o o r a = f —

9 0 ° ;

p = 0 ° ; _{- -öy} b v ( D ) v o o r a = _{P =}

9 0 ° ;

y = 0 ° ; bw ~ b z -( k ) v o o r

_*2

_{= P2}

_{= y i} =

9 0 ° ;

b v "OZ

+

"bw "by ( 1 ) v o o r

_«2

= 0 ° ; P l = p. = y

2

- =

9 0 ° ;

_Y "bw ~ b x

+

b u b z (m) v o o r

_P2

_{= P l =}

9 0 ° ;

T _{' z} b u

+

b v ( n ) (4) D a t de 6 c o m p o n e n t e n v a n de v o r m v e r a n d e r i n g s t e n s o r z i j n u i t t e d r u k k e n i n de diff.quotiënten v a n de 3 v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n , w i j s t u i t j , d a t e r ( d i f f e r e n t i a a l — ) b e t r e k k i n g e n t u s s e n de v o r m — v e r a n d e r i n g s c o m p o n e n t e n b e s t a a n , d i e i m p l i c i e t d o o r ( 4 ) z i j n g e g e v e n . N.B; D o o r s u b s t i t u t i e v a n ( 4 ) i n ( 3 ) e n ( 2 ) v i n d t men de v o r m — v e r a n d e r i n g s g r o o t h e d e n v o l g e n s w i l l e k e u r i g e r i c h t i n g u i t -g e d r u k t i n de v o r m v e r a n d e r i n -g s c o m p o n e n t e n v o l -g e n s de a s s e n .

3. B e t r e kking_en_ _ t u s s e n

(L^^ J^o

i w v e j ? a n d e r j j i g_^^^ one n t _ e j i SXP.^I'F33I'A^^ v a n s a m e n l i a n g ) . Deze v e r k r i j g t men d o o r u i t de 6 v e r g e l i j k i n g e n (4) u , v e n v/ t e e l i m i n e r e n . D i t k a n n i e t algebraïsch, w a n t de 6 v o r m v e r a n d e r i n g s g r o o t h e d e n z i j n u i t g e d r u k t i n 3 x 3 = 9 e e r s t e a f g e l e i d e n d e r 3 v e r p l a a t -s i n g -s c o m p o n e n t e n . D o o r e e n m a a l differentiëren k a n men 6 x 3 v e r g e l i j k i n g e n k r i j g e n , w a a r i n de 6 x 3 e e r s t e a f g e l e i d e n d e r v o r m v e r a n d e r i n g s g r o o t h e d e n z i j n u i t g e d r u k t i n 3 x 6 = 18 t w e e d e a f g e l e i d e n d e r v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n . Ook u i t d i t s t e l z i j n de v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n n i e t op algebraïsche w i j z e t e e l i m i n e r e n . D o o r nogTuaals t e differentiëren z i j n 36 v e r g e l i j k i n g e n a f t e l e i d e n , w a a r i n de 6 x 6 = 36 t w e e d e a f g e l e i d e n d e r v o r m v e r a n d e r i n g s -g r o o t h e d e n z i j n u i t -g e d r u k t i n de 3 x 10 = 30 d e r d e a f g e l e i d e n d e r v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n . H i e r u i t z i j n d o o r algebraïsche e l i m i n a t i e d e r v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n 5 b e t r e k k i n g e n t u s s e n de t w e e d e a f g e l e i d e n d e r v o r m v e r a n d e r i n g s g r o o t h e d e n a f t e l e i d e n .

( E r z i j n n l ; 3 e e r s t e a f g e l e i d e n , t w ; 6 t w e e d e a f g e l e i d e n , t w ; b i ' b y ' bz • b)^ b)^ b x ^ ' b y ^ ' b z ^ ' b ^ b ^ b ^ 10 d e r d e a f g e l e i d e n . t w ;

bxby ' bybz ' özbx

^2 ;öf_^ b^ b"

bP" ' ^ y ^ ' b z ^ ' bx^by

"0=5

b^ b^

•bxbp" ' ^y^bz ' bybz^ '

, cl . -A- , c. .bz^bx ' bzbx^ ' '^x^ybz

Deze

6

b e t r e k k i n g e n v i n d t men a l s volgt';

b M n )

bxby

b M i )

by^

b-(.1 V.o„

bx- '°

ö^(m)

bzbx

ö-(k)

bx^

b - ( i ) - ^ ^

bz- °

^ ^ ( 1 )

bybz

0^(3)

^ z ^

V ( k ) < > ^

- b ^ d )

bx^

, ^^(m)

"bx^öy

^ "b-(n)

"bxbz

< ( s ) b ^ ( l )

~öybx *

by-+ b-(n)

bybz

( t )

^ ^ ( 1 )

bzbx

, b-(m)

b)zby

b^Cn)

bz-"ExEj b y - ^x"-b-£ X Z '

b-e

by5z~" ° bybz

b x b (•

(0)

( p ) (q.) bY X + ÖY w y

+

bY, bz^ bY X 2 b ( k ) -~5xby Özöx b y ^ b x b-e z "bxby bY^ 'bz^ •) A ( ' ^ x ^ N.B; De 6 v e r g e l i j k i n g e n ( 5 ) z i j n algebraïsch o n a f h a n k e l i j k ; men i s d e r h a l v e e e r s t z e k e r , d a t e e n v o r m v e r a n d e r i n g s — t o e s t a n d a a n de v o o r w a a r d e n v a n s a m e n h a n g v o l d o e t , i n d i e n de u i t d r u k k i n g e n v o o r de v . v . a . c o m p o n e n t e n i d e n -t i e k a a n a l l e 6 v e r g e l i j k i n g e n v o l d o e n . A n a l y t i s c h z i j n de v e r g e l i j k i n g e n n i e t o n a f h a n k e l i j k ; e r b e s t a a n 3 b e t r e k k i n g e n t u s s e n b v ; = t ) - ( r ) ^ , ^ - ( 0 ) , - b - ( p ) -b)-(q) ( c v c l ) . -Dybz - "bz- b y - "bx- ^ c y c j . . ; . E r i s d u s ' g e e n s p r a k e v a n , d a t u i t de 6 d i f f . v e r g . ( 5 ) de 6 a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e n k u n n e n w o r d e n o p g e l o s t ; i n d i t o p z i c h t komen de 6 v e r g e l i j k i n g e n s l e c h t s o v e r -e -e n m -e t d r i -e b -e t r -e k k i n g -e n t u s s -e n d-e v o r m v -e r a n d -e r i n g s — c o m p o n e n t e n .

B e t r e k k i n g e n t u s s e n s p a n n i n g e n e n v o r m v e r a n d e r i n g e n . Be s p a n n i n g s t e n s o r ( 6 c o m p o n e n t e n ) i s d o o r de d r i e v o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t n i e t b e p a a l d . Be v . v . a . t e n s o r ( 6 c o m p o n e n t e n ) i s d o o r de v o o r v / a a r d e n v a n s a m e n h a n g n i e t b e p a a l d . Be b e l a s t i n g s t o e s t a n d ( s p a n n i n g s — + v . v . a . t e n s o r ) h e e f t 12 c o m p o n e n t e n e n i s b e p a a l d d o o r ; 3 v o o r w a a r d e n v a n e v e n v / i c h t , 3 ( o n a f h a n k e l i j k e ) v o o r w a a r d e n v a n s a m e n h a n g , 6 b e t r e k k i n g e n t u s s e n s p a n n i n g e n e n v o r m v e r a n d e r i n g e n . ( B e s g e w e n s t k a n men de b e l a s t i n g s t o e s t a n d b e p a a l d d e n k e n d o o r de s p . & v . v . a . t e n s o r m e t de v e r p l a a t s i n g s v e c t o r , d u s 15 c o m p o n e n -t e n , b e p a a l d d o o r s 3 v o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t , 6 b e t r e k k i n g e n t u s s e n v o r m v e r a n d e r i n g e n e n v e r p l a a t s i n g e n , 6 b e t r e k k i n g e n t u s s e n s p a n n i n g e n e n v o r m v e r a n d e r i n g e n ) , Be b e t r e k k i n g e n t u s s e n s p a n n i n g e n e n v o r m v e r a n d e r i n g e n z i j n e s s e n t i e e l v a n e m p i r i s c h e a a r d . H i e r w o r d t u i t g e g a a n v a n e e n geïdealiseerd b e e l d ; de w e t v a n H o o k e , d i e i n z i j n a l g e m e n e vorm' s t e l t , d a t de v . v . a . c o m p o n e n t e n homogene l i n e a i r e f u n c t i e s z i j n v a n de s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n . I n a l g e m e n e g e d a a n t e z o u d e z e b e t r e k k i n g n o g 36 coëfficiënten k u n n e n b e v a t t e n ; £ = X ^ l l ^ x

+

^12°y

+

^ 1 3 ^ z + _{^ 1 5 V ^16-^} £ = J ^21°x

+

^22°y

+

^Z = ^ 3 1 ^ x

+

^ 3 2 ^

+

T x = ^ 4 1 ^ x

+

+

^ 4 3 ^ z + ^45'^y ^ ^ 4 6 ^ ^ 5 1 ^ x

+

^52°y

+

^ 5 1 ^ x ^52°y

+

^6l°x

+

% 2 V

+

V e r e e n v o u d i g i n g t r e e d t op; 1° d o o r d a t m e t a r b e i d s b e s c h o u v / i n g e n k a n w o r d e n b e w e z e n ( o p a n a l o g e w i j z e a l s b i j h e t b e w i j s v a n de s t e l l i n g v a n M a x v / e l l ) , d a t B1,2 = ^zi e n z . B a a r m e d e v e r m i n d e r t h e t a a n -t a l coëfficiën-ten -t o -t 2 1 .

2 ° op g r o n d v a n de o n d e r s t e l d e i s o t r o p i e v a n h e t m a t e r i a a l . D a a r u i t v o l g t , d a t de h o o f d a s s e n v a n de s p a n n i n g s t e n s o r o o k de h o o f d a s s e n z i j n v a n de v o r m v e r a n d e r i n g s t e n s o r , e n d a t de v o l l e d i g e s a m e n h a n g t u s s e n s p a n n i n g e n v o r m v e r a n d e r i n g i s u i t t e d r u k k e n i n b e t r e k -k i n g e n t u s s e n de h o o f d s p a n n i n g e n ^x j ^z ^ Ö3 e n de h o o f d r e -k -k e n Wegens M a x w e l l v / o r d t d i t ;

E l = B i i O i + Bigög + B15O3

£ 5

=

Bl;3ÖL + B 2 3 O 2

+ BsgOg.

Y/egens de i s o t r o p i e m o e t B u = Bgg = Bgs z i j n , e n w e g e n s de m e t i s o t r o p i e g e p a a r d g a a n d e s y m m e t r i e t . o . v . de h o o f d a s s e n m o e t B12 = Bas = B23 z i j n . B o o r t e s t e l l e n s B ^ = ^ e n B-Lg = — ^ v i n d t mens -1 -1 •z = + - M.Ö3

)

-1 ;3 = -pC-iaOi - ^ög + 03 ) . ( 6 ) ( z i e s p a n n i n g s l e e r ) D i t g e l d t t . o . v . de hoofdassen... T . o . v . 3 v / i l l e k e u r i g e a s s e n 'OS, OY, OZ m e t h o e k e n t . o . v . de h o o f d a s s e n , , , a , , vi/,^ e n a , P„ , ^„ k a n men d i t a l s v o l g t a f l e i d e n ; y y z z ' z

Cl, = 0iCOS-a.^ + 02COS-p^ + OsCOS-y^

x x x x

0 y = 0 i c o s - a y + 02COS-py + OsCOS-^y

0 = 0 i c o s - a ^ + 02cos-p„ + O g c o s - y ^

Z 2 z z

V o l g e n s ( 2 ) m e t g e b r u i k m a k i n g v a n (4.) g e l d t ;

£^ = £iCOS-a^ + £2C0S-p.^ + £3C0S-y + YlaCOStt COSp + + YgsCOSP^COSy^ + Y ö i c o s y ^ c o s a ^ .

D a a r t . o . v . de h o o f d - a s s e n Y12 = Y23 = Y s i = O w o r d t d i t ;

£ = E i c o s - a ^ + Egcos-p.^ + £3C0s-y = ( v o l g o n s 6 ) ( a ) X -A. -K -X.

= ^ ( o i c o s - a > < ^ — liOgCos-a,^ — p-OsCOs-a^ —

— laoicos-p^'+ 02cos-p^ - j-i-OsCOs-p^ —

— laOiCOS-y^ — iJ,02COS-y,^ + OgCOS-y ) =

X u\. jL

^x l^^x ~ ^^j ~ ^ ^ z ^ c y c l . ) . ( 7 ^ ) ( w e g e n s de o r t h o g o n a l i t e i t s v o o r v / a a r d e , d a t

V e r d e r g e l d t v o l g e n s (3) niet g e l D r u i k m a k i n g v a n (4) en v a n h e t f e i t , d a t = YZS = Y s i = O i s s

Y^v-Tr

-

2 e i C o s a coscc +

2£2C0s(3

cosB _ + 2s3C0Sy c o s y . ( h ) x y X y X y • x y De c o r r e s p o n d e r e n d e s c h u i f s p a n n i n g k a n men a l s v o l g t b e p a l e n ? De t o t a l e s p a n n i n g op h e t Y Z ~ v l a k p h e e f t a l s c o m p o n e n t e n v o l g e n s de h o o f d a s s e n ; P l = Ö i C O S a ^ , p2 = ÖgCOSp^^ , p3 = 0 3 C 0 S y ^ . De c o m p o n e n t e v a n d e z e s p a n n i n g v o l g e n s de Y — a s , d u s de s c h u i f -s p a n n i n g -s c o m p o n e n t e w o r d t ; = p i C O S t t y + p g C O S p y + p j C O S y ^ =

T = Oicosa c o s a + OgCosp^cosp + Ogcosy w ( c )

x j Jl ^ j;.. ^ J^ J

D o o r (6) i n ( b ) t e s u b s t i t u e r e n v i n d t men;

Y^^^ = '5T(öiCOsa^cosa^^ • jaOg c o s a ^ c o s a , ^ — iJOs c o s a c o s a -x y Ui X y X y -x ^

[j,aiCosp.^cos|3 + Ogcosp^^cosp^^ }j,C3Cosp cosB

-X J -X J ^ — j i a i C O S y COSy -- IJ-ÖgCOSy COSy + OgCOSy COSy ) . ( d )

D a a r de X~as en de Y — a s l o o d r e c h t op e l k a a r s t a a n , g e l d t ; c o s a c o s a + cos|3 cos(3 + cosv„cosy = O,

w a a r m e d e ( d ) o v e r g a a t i n ; T x y 1 | _ ( ^ + ^i)CiCOsa^^cosay + ( I + j j , ) o ^ c o s p ^ c o s P y + + ( 1 + iJ,)ö3C0Sy COSy • J en d u s v o l g e n s ( c ) ; Y - + 1-^) T - I T f e n c v c l ) (7'°) T x y - — " S ^ x y - G- ^ x y ^ ' ^ U i t ( 7 ^ ) e n (7''^) k a n men o m g e k e e r d de s p a n n i n g e n u i t d r u k k e n i n de v o r m v e r a n d e r i n g e n . H e t b l i j k t d a n d o e l t r e f f e n d om i n t e v o e r e n ; e + £ + £ = ( v o l g e n s a ) £ i ( c o s - a + c o s - a + c o s - a ) + X y z X y z

+ £2(cos-|3.^

+ cos-p^^ + c o s - p ) + X y z + £ 3 ( c O S - y ^ + C0S-4.y + COS-^^) = £ + + £ = £1 + £2 + £3 = ( d e s p e c i f i e k e v o l u m e v e r — a n d e r i n g ) (8) D a a r m e d e i s a f t e l e i d e n ; T - = - 2 [ r + ^ x j ^^"^ °y°i-^ = GY-J^ ( e n c y c l . ) . ] ( 9 )

D. G;r_on_d.v;erg'elijkingen d.er_ hpEere_ e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e . U i t de a f g e l e i d e v e r g e l i j k i n g e n ( l ) , (4) e n (9) k a n men de s p a n n i n g e n e l i m i n e r e n e n d a a r u i t 3 " b e t r e k k i n g e n k r i j g e n t u s s e n de v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n . D o o r s u b s t i t u t i e v a n ( 4 ) i n (9) k a n men de s p a n n i n g e n u i t -d r u k k e n i n -de v e r p l a a t s i n g s c o m p o n e n t e n . S t e l t men -d a a r " b i j 5 i n o v e r e e n s t e m m i n g m e t ( 8) s "^"•"^ + ^ + ^w _ "Sx 'hj ïïi" " V

( 8 ^ )

dan v i n d t men; O. X , "ÖVL ^ x - ^ 1 bïï + b y ( 1 0 ) D a a r u i t i s o.a. a f t e l e i d e n ; X bx bz ~ ^-z 2G G G i L be

1

- 2|i "bx V

^ b - u

X ' "bxbz

+

b - u b z

-b - u ^ -b - v

by- 'bxbj \ ' D i t s u b s t i t u e r e n d i n de eèrste v e r g e l i j k i n g v a n ( I ) v i n d t men; V ^ - 2\x ox + G

b - u

b - u , b - u

• 5 ^ + ^ +

+ G b _{x'^ bxóy b x b z .} b b b -"Voor de d i f f e r e n t i a a l o p e r a t o r v a n L a p l a c e + + h e t t e k e n \7- ( n a b l a k w a d r a a t ) i n v o e r e n d e Tvaak v i n d t men h i e r v o o r h e t t e k e n t g e b r u i k t , d o c h d i t k a n v e r w a r r i n g g e v e n m e t e e n k l e i n e a a n g r o e i i n g A ] , be w o r d t d i t : 1 2GM. - - V - 2\x ^ x ~ + Gv-u + G -srr- + D, ^ - v

0 o f

1 V

+ \7

-U + X 0. 1 "-''2[i öx • " - • G E v e n z o de c y c l i s c h e v e r g e l i j k i n g e n ; 1

ba

V 1 _2n

_"Sy"

öe. + j v T ^ + p = v . 0^ ^ w + ^ = 0. ( 1 1 ) B e t r e k k i n g e n t u s s e n de s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n k a n men op v e l e r -l e i m a n i e r e n a f -l e i d e n e n i n v e -l e r -l e i v o r m b r e n g e n .

1

1 1 -I n de e e r s t e p l a a t s h e e f t men de d r i e e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n . V o o r t s v o l g t d o o r s u b s t i t u t i e v a n ( 4 ) i n ( 7 ^ ) s l x = E^°x ~ ^"^-r - t ^ ^ ^ ) - (en- c y c l . ) Dus u i t

( 8 ^ ) ;

^ v = 1 2ix 1 ^^x ^ V ^ ( a ) ( h ) D o o r de u i t d r u k k i n g e n v o o r de s c h u i f s p a n n i n g e n i n ( I O ) t w e e m a a l t e differentiëren e n d a n ( a ) t e s u b s t i t u e r e n v i n d t men; •b-T. X "bybz G G 1 "b = V

^ y b z - ^ '5y^^_

b^w b-a.

₀

-0

bz' X b-ö ? j 2 ( 1 + | i ) bz-/b-c. \ b y ^ -I-b-o b-a X b - c + b-a JL b-a + b - a y b - c

+

z , z ( c ) ( e n c y c l . ) Ook d i t z i j n d r i e b e t r e k k i n g e n t u s s e n de s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n , d i e m e t de e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n h e t v o l l e d i g e v e r b a n d u i t d r u k k e n . Omdat ( c ) w e i n i g o v e r z i c h t e l i j k i s , k a n men de e e r s t e e v e n w i c h t s — v o o r v / a a r d e ( I ) n a a r x differentiëren, e n d a a r i n de u i t d r u k k i n g e n ^ ^ ^ ^ u i t ( c ) s u b s t i t u e r e n . Men v i n d t d a n ; X ^ x =

4-1 2XT+ [xJ b-ö b - a b - o o f ; X b-a + X

+

b j 35r X 5y' = 0. •b-o,

\3x^

+ ^ y ^

+

b M ö , .

+ ö,. + ö „ ) X

_{- . 2 ( 1}

_{. . ) ^ = 0}

'X • "y ' ' z "bx' ( e n c y c l . ) . ( d ) T e l t men de d r i e v e r g e l i j k i n g e n ( d ) b i j e l k a a r o p , d a n v o l g t ; ( 1 - 2 ^ i ) ( v ^ 0 ^ + v - ö y + \7-a^) + v - ( ö ^ + V + °z^ ^ o f ; 1 + M-V - ( o ^ + O ^ a^) + / b j ^ b j 'y ' z ' 1 - M, 1 "bx "by ""^ ^ z / I n d i e n de m a s s a k r a c h t h e t z i j a f w e z i g , h e t z i j c o n s t a n t i s , w o r d t d i t v e r e e n v o u d i g d t o t ; _ ^ . a-Z _{= O .} O ( 1 2 ) (°x + °y ^ °z^ = O- (12^^)

D o o r i-i X ( 1 2 ^ ) op t e t e l l e n T o i j ( d ) , v i n d t men ( " b i j c o n s t a n t e m a s s a k r a c h t ) i ( 1 + ii)v^a^ +

"bx-e n d o o r c y c l i s c h p "bx-e r m u t "bx-e r "bx-e n ? ( 1 + ^ i ) v - C y + (1 + \x)v^a^ + /Ll ^ X y ^ ^ ( ö + o + a ) = 0, = 0, _{( 1 3 ^ )} X ^ z ^ 0, Men k a n n o g d r i e a n d e r e b e t r e k k i n g e n a f l e i d e n , d i e i n v o r m nauw b i j ( 1 3 ) a a n s l u i t e n . P a s d a a r t o e de o p e r a t i e y t o e op de u i t -d r u k k i n g v o o r T i n ( 1 0 ) e n s u b s t i t u e e r v o o r y - v e n V^w -de u i t ( l l ) v o l g e n d e w a a r d e n . Men v i n d t d a n a l s r e s u l t a a t ( b i j c o n s t a n t e m a s s a k r a c h t ) ; X G , b ^ z ^ - v + G •by «7 w 1 -2G "^^S - 2\x b y b z ( e ) M e t b e h u l p v a n ( b ) w o r d t d i t ; E X o f s (1 + t i ) v - T ^ + "bybz b - ( a ^ + + a) X b y b z D o o r c y c l i s c h p e r m u t e r e n s ( 1 + ix)v^T^^ +

= 0.

7 b z b x - = O, b - ( a + a + a ) O, ( 1 3 ^ ) " I n d i e n n i e t — c o n s t a n t e m a s s a k r a c h t e n o p t r e d e n , komen e r i n a l l e v e r g e l i j k i n g e n ( 1 3 ) n o g t e r m e n b i j m e t de a f g e l e i d e n v a n j 3y X G e b r u i k d e r d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e d e r h o g e r e e l a s t i c i t e i t s -t h e o r i e . a ) D i r e c t e o p l o s s i n g e n v a n r m o g e l i j k ; i n b i j z o n d e r e g d e r v e r g e l i j k i n g e n l e i d e n b ) U i t d r u . k k i n g e n z o e k e n , d i e en n a g a a n , b i j w e l k e r a n d c ) C o n t r o l e r e n o f e n i n h o e v g e v o n d e n o p l o s s i n g e n v o i d t o e n o d i g z i j n . d) B e p a l e n v a n o n b e p a a l d e co t a s t o f b e n a d e r e n d e r w i j s a n d v / a a r d e p r o b l e m e n ( s l e c h t s z e l d e n e v a l l e n , d i e t o t v e r e e n v o u d i g i n g a a n de d i f f . v e r g e l i j k i n g e n v o l d o e n v o o r w a a r d e n z e p a s s e n . e r r e op a n d e r e ( b e n a d e r e n d e ) w i j z e n oen en w e l k e r a n d v o o r w a a r d e n d a a r -a f f i c i e n t e n , v o o r k o m e n d e i n op de g e v o n d e n o p l o s s i n g s s c h e m a ' s .

1 3 -A. T o e t s i n g v a n de op e l e m e n t a i r e w i j z e g e v o n d e n r e s u l t a t e n . 1 . L e n g t e v e r a n d e r i n g . X — a s v o l g e n s s t a a f — a s . G e v o n d e n r e s u l t a a t ; - a = a i a = a = T = T = T = 0, X o ' y z X y z ' °o '"^^0 ^ x " F " ' V " ~ " ' V = V " ^ 2 = O-C o n t r o l e ; V o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c l i t k l o p p e n , m i t s j = j = j = 0. X y z V o o r w a a r d e n v a n s a m e n h a n g k l o p p e n . De v e r p l a a t s i n g e n w o r d e n ( o o r s p r o n g i n z w a a r t e p u n t e i n d d o o r s n e d e ) ; O O O u = X ; V = ^ y ; w = - z. R a n d v o o r w a a r d e n ; s p a n n i n g s v e r d e l i n g o v e r e i n d d o o r s n e d e n g e l i j k -m a t i g . Z i j d e l i n g s e c o n t r a c t i e i n e i n d d o o r s n e d e n n i e t v e r h i n d e r d . I s h i e r a a n n i e t v o l d a a n , d a n t r e d e n s t o r i n g s g e h i e d e n op, d i e z i c h e c h t e , r v o l g e n s h e t p r i n c i p e v a n de S a i n t V e n a n t n i e t v e r v a n h e t g e s t o o r d e u i t e i n d e u i t s t r e k k e n . ' 2 Z u i v e r e h u i g i n g ( c o n s t a n t mom.ent). — ' " -Z — a s v o l g e n s s t a a f — a s ; Y— en -Z—as v o l g e n s h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n . C o n s t a n t moment m e t k r a c h t l i j n v o l g e n s de Y — a s . G e v o n d e n r e s u l t a a t ; a = + a y i a =• a = x = x = T = 0, X ' y z X y z ' C o n t r o l e ; A a n de v o o r v / a a r d e n v a n e v e n w i c h t w o r d t v o l d a a n , m i t s e r g e e n m a s s a k r a c h t e n z i j n . ( o v / o r d t n i e t n a a r y g e d i f f e r e n t i — ëerd; d u s a l l e diff.quotiënten w o r d e n n u l ) . Ook a a n de b e t r e k k i n g e n ( 1 3 ) t u s s e n de s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n i s v o l d a a n , e v e n a l s a a n de v o o r w a a r d e n v a n samenhang. U i t de v e r v o r m i n g s c o m p o n e n t e n z i j n h i j b e p a a l d e k e u z e v a n h e t a s s e n s t e l s e l de v e r p l a a t s i n g e n a f t e l e i d e n ^ _ a j _ d u s u - ^ ( a ) _{^ - Ë^- . a u s u - g k a ;} ir 1.3+ ~öv Liay "DV "bu a x , V o o r V g e l d t ; - - = » ü ^ e n ^ = - ^ = - ^ ; d u s ir -1 .^.j- "bw ti'ay "bw "öu n O _ "bv _ , Vo.orjL.„geldtt = ™ Ë : ^ ; = - — . = O ; ^ = - ^ ^ = - 0 ; d u s V/ =..^.-ü|I2V.'" ( c )

1 4 -( a ) b e v e s t i g t de o n d e r s t e l l i n g v a n B e r n o u l l i . I n ( b ) g e e f t de e e r s t e t e r m de v e r v o r m i n g v a n de s t a a f — a s ( p a r a -b o o l ) ; de t w e e d e t e r m g e e f t , e v e n a l s ( c ) , de i n v l o e d v a n de d w a r s e o n t r a c t i e . i^o.^ - . .-^ v.x i Be r a n d v o o r w a a r d e n z i j n , d a t de s p a n n i n g i n de e i n d d o o r s n e d e n o o k w o r d t g e g e v e n d o o r 0^= o.J, en d a t de v e r p l a a t s i n g e n v en w i n de e i n d d o o r s n e d e n k u n n e n o p t r e d e n . ^'^ <^|^-VYV '-<5, \ f Be r e s u l t a n t e v a n de s p a n n i n g e n op de e i n d v l a k k e n i s s K = a ƒ y d P = O, -M^ = a / y z d B = O, J = a y y - d B = c x l , M Buss a = Y . 3. A f s c h u i v i n g met b u i g i n g . X—as s s t a a f — a s . Y e n Z—as s h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n v a n de d o o r -snede . C o n s t a n t e d w a r s k r a c h t B v o l g e n s de Y—as. R e c h t h o e k i g e d o o r s n e d e . O o r s p r o n g i n z w p t d o o r s n e d e , w a a r h e t moment = O i s . ^ G e v o n d e n r e s u l t a a t s = ^ = ^ ^ ^ \ f ^ C y = c^ = °-- °-- ^ ^z °-- F T ^ ^ ^ ^ - 12 B X y ^ _ ^ _ 12 \i D X j ^x ~ E b h^

V

- ^z - ' E b h^ ^x ~ ^ ^ 2 - 2 G b h ^ ' h - ^• C o n t r o l e s V o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t ( z o n d e r m a s s a k r a c h t e n ) . 'M ^ 1 2 ^ ^ _ , ,,,3 ° ^ °y ° ^ t e r m e n z i j n n u l . Van de v e r g e l i j k i n g e n ( 1 3 ) komen a l l e e n i n de l a a t s t e v e r g e l i j -k i n g t e r m e n v o o r , d i e n i e t = O z i j n . ^ ' ^ z 12 B "^'°x 12 B z - ^ y - ~ h h^ • b x b y ~ b h^ " B u s de v e r g e l i j k i n g v\rordts Be v e r g e l i j k i n g k l o p t d u s n i e t , m.a.w. de e l e m e n t a i r e o p l o s s i n g i s n i e t e x a c t j u i s t . B i t b l i j k t o o k u i t de l a a t s t e v o o r w a a r d e v a n s a m e n h a n g - _ 2 4 J X B / r 0) '^•öx-by ~ E b h^ ^ b z - ^ , , . , n , H ö ^ d-oj^ ojoj- i f K'V 2 y ! I 't' I 1 .- I Ü •.. OAJJl t ~ nM ,

4. Wr i n g i n g jyan__e en c i r k e l v o r n i i g e s t a a f .

-15-Y e r k r e g e n r e s u l t a t e n ; u = 0; V = -k" z X | w. = k y e = £ = : £ = c f = ö = a = T = 0 . ' x y z x y z x ^ A a n de v o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t e n s a m e n h a n g i s v o l d a a n , ( a l l e t e r m e n i n de e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n v e r d w i j n e n ) . De r a n d v o o r w a a r d e n z i j n , d a t a a n de u i t e i n d e n w r i n g e n d e mo-m e n t e n w e r k e n . V o o r e l k e a n d e r e d o o r s n e d e — b e g r e n z i n g d a n e e n c i r k e l v o r m i g e , i s e r i n de d o o r s n e d e e e n s c h u i f s p a n n i n g s c o m p o — n e n t e JL de r a n d , m.a.w. o o k op de b u i t e n o m t r e k v a n de s t a a f m o e t e n s c h u i f s p a n n i n g e n w e r k e n . I s d i t n i e t h e t g e v a l , d a n k a n de g e g e v e n o p l o s s i n g ( m e t u = O, d u s v l a k - b l i j v e n d e n o r m a l e d o o r s n e d e n ) n i e t v o l d o e n . B. B i r e c t e b e h a n d e l i n g v a n e e n s l e c h t s a a n de u i t e i n d e n b e l a s t e s t a a f . 4. A l g e m e e n . I n de e i n d d o o r s n e d e n , T e n O n d e r s t e l l i n g ; a^^ = o = T X y z y z 2 = 0. ( a ) U i t de e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n l e i d t men a f s "ba b T "b-O b-T b^T e n a u s i ^ = - ^ - ^ = O. ( b ) U i t de v e r g e l i j k i n g e n v o o r s v^Cy , y^cf^ e n V - T ^ ( z i e b i z 1 2 ) v o l g t s = O, ( c )

-by

~D-c

_X = O, ( d ) ^ U i t ( b ) ~ ^ ^ ( e ) v o l g t , d a t a v a n de g e d a a n t e m o e t z i j n ; = ( A y + Bz + C ) x + A'y + B'z + C'.

E l k g e v a l k a n w o r d e n o p g e b o u w d g e d a c h t u i t ; f ) a l l e e n B O g ) a l l e e n k ^ O a = X a ) a l l e coëfficiënten n u l ; = O -> w r i n g i n g , C' -» z u i v e r e l e n g t e v e r a n d e r i n g = B'z -> z u i v e r e b u i g i n g om Y — a s , c_ = A'y - ^ z u i v e r e b u i g i n g om Z—as, b ) a l l e e n C' 7^ O c ) a l l e e n B' ^ O d ) a l l e e n / O e ) a l l e e n C ^ O X X X = Cx ^ l i n e a i r t o e n e m e n d e n o r -m a l e k r a c h t , = B z x > l i n e a i r t o e n e m e n d e b u i g i n g ( c o n s t a n t e d w a r s -k r a c h t ) om Y — a s , = A y x - > i d e m om Z—as. b , ' c , d a l b e h a n d e l d ; e V i r e i n i g b e l a n g r i j k . W r i n g i n g v a n w i l l e k e u r i g e , p r i s m a t i s c h e s t a a f . ^ x = °y = '^z = ^ x = ^ x = V = "z = O' B u s a l l e e n T ^ e n T , b e n e v e n s y =. x i G en y = x s & . y z ' 7 7 ' z z Be v o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t voorden d a a r m e d e ; = 0. ( 1 4 ) "bT^ - bT bT b z "by ^ x = O, ( a ) V o l g e n s ( a ) i s de s p a n n i n g s v e r d e l i n g i n e l k e d o o r s n e d e d e z e l f d e , Be t w e e l a a t s t e v o o r w a a r d e n v a n s a m e n h a n g ( 5 s en 5 t ) l e v e r e n n a v e r m e n i g ^ ; - u l d i g i n g m e t G-; r "ÖT ^T

"bz L^by

B a a r v o l g e n s ( a ) o o k g e l d t ; = O ( b )

^ L "by

m o e t g e l d e n ; = O, ^T, bT. = c o n s t a n t . ( 1 5 ) "öz "by ( 1 4 ) e n ( 1 5 ) g e v e n de b e i d e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n v o o r x e n T _ . 7

-17-V o o r de v e r p l a a t s i n g e n g e l d t s — = = — = — ^ _ Q b x b y " "bz ~ ~bz "by ~

+

bw , b u ^ v

bx

^ + b y ^ - I T = è ^ z " ( c ) ( d ) De l a a t s t e n a a r y , de v o o r l a a t s t e n a a r z differentiëren e n o p t e l l e n g e e f t ( v o l g e n s 14-): ^ - u , ^ ^ u ^ z ^ = O V o o r t s v o l g t u i t ( c ) e n ( d ) bw O

b-w

= O 'b-w

by^ ~ ^ '

bx-w =

Iryx + k^x + kgy + k .

( 1 6 ) = O m.a.w. w i s v a n de g e d a a n t e ; d u s V k ' z x + k ^ x + k^z + k^, V o o r V g e l d t e e n d e r g e l i j k b e w i j s V o l g e n s ( c ) m o e t k' = — k e n k^ = — k ^ . De c o n s t a n t e t e r m e n s t e l l e n e e n t r a n s l a t i e v a n de s t a a f v o o r , de t e r m e n w = kgy e n V = —kgZ e e n r o t a t i e , b e i d e z o n d e r v o r m v e r a n d e r i n g . De o v e r b l i j -v e n d e t e r m e n k u n n e n w o r d e n g e s c h r e -v e n a l s w = a x( y + k ^ ) e n V = — a x ( z + k ^ ) , e n s t e l l e n v o o r e e n w r i n g i n g om h e t p u n t y + i - i 5 z+k^,. M e t d i t w r i n g i n g s c e n t r u m a l s o o r s p r o n g i n h e t Y Z — v l a k w o r d t duss

w = k y X,

V = — k z X. De b e l a s t i n g s t o e s t a n d , w a a r v a n i s u i t g e g a a n , l e i d t d u s i n d e r d a a d t o t z u i v e r e w r i n g i n g . k i s d a a r b i j g e l i j k a a n de s p e c i f i e k e w r i n g i n g s h o e k V o o r i n t e g r a t i e v a n ( 1 4 ) e n ( 1 5 ) k a n men tv\ree w e g e n i n s l a a n . Men k a n èr n a a r s t r e v e n , de d i f f . v e r g . ( 1 6 ) i n u op t e l o s s e n ; de s p a n n i n g e n v o l g e n d a n u i t ( d ) , i n d i e n men ( e ) s u b s t i t u e e r t , n i s T y = G 4. G k y , T ^ = G | | - G k z . ( 1 7 ) H e t i n v o e r e n v a n de r a n d v o o r w a a r d e n h i j de o p l o s s i n g v a n ( 1 6 ) i s e c h t e r v r i j m o e i l i j k . D o e l t r e f f e n d e r s v o e r e e n s p a n n i n g s — f u n c t i e 0 i n , w a a r v o o r g e l d t s oy z oz T = 7 ( 1 8 )

- 1 1 Aan ( l ) i s a u t o m a t i s c h ' v o l d a a n . Op g r o n d v a n ( 1 7 ) k a n , w o r d e n g e s c h r e v e n s bT ( 1 5 . Na i n v o e r i n g v a n ( l 8 ) ( 1 5 a • \ • 4 b y = bz = = -2 G k

d a :

Dus e e n . d i f f . v e r g . i n i n p l a a t s - v a n t w e e i n T en T . - • De r a n d v o o r w a a r d e l u i d t , d a t l a n g s de r a n d v a n de d o o r s n e d e

I

de s c h u i f s p a n n i n g v o l g e n s de r a n d i s g e r i c h t . Dus ( z i e f i g u u r ) ; T o f v o l g e n s ( 1 8 ) ;

^ + M M

= O b y d s b z d s Dus; 1 ^ = O, m.a.w.: d s ' 0-T y = d y ; dz ( f ) 0 i s c o n s t a n t o v e r de o m t r e k van__de d o o r s n e d e , A l s e'en o p l o s s i n g v a n ( 1 9 ) — ( 2 0 ) i s g e v o n d e n , l e v e r t ( l 8 ) de s c h u i f s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n . Om de r e s u l t a n t e n h i e r v a n t e b e p a l e n , g e b r u i k m a k e n v a n de s t e l l i n g v a n G a u s s o v e r de o m z e t t i n g v a n een o p p e r v l a k t e — i n t e g r a a l b i n n e n e e n g e s l o t e n kromme i n e e n l i j n — i n t e g r a a l o v e r d e z e kromme. •

I

0-D

• M d P = ^ M a x a y = / f g d s . ( 2 1 )

-s

I n t e g r e e r i n s t r o k e n / / Z—as M e t i n t e g r a t i e r i c h t i n g v o l g e n s de p i j l g e l d t r e c h t s v a n A e n C; | ^ p o s i t i e f ; n U. O l i n k s e r v a n ^ n e g a t i e f . D u s ; + f. r ~ b f e v e n z o g e l d t ; | ^ d F = 1 ds

* a f

d s R e s u l t a n t e s c h u i f s p a n n i n g e n ; a ) i n Y r i c h t i n g ; dP = ( v o l g e n s 2 0 )

ƒ .

^ l ï d s = g d . = O.

b ) E v e n z o D = 0 . z c ) Moment otn o o r s p r o n g ( w r i n g i n g s c e n t r u m ) ; De ^ « ^ 4 6 t e r m v a n h e t r e c h t e r l i d w o r d t v o l g e n s G a u s s , i n d i e n de c o n s t a n t e w a a r d e v a n 0 o v e r de r a n d = 0^ w o r d t g e s t e l d ; E v e n z o ; A J & dF = 0 ¥.

J

by ^ 0

Dus; T =-2 iZf^E f 2yj2f dF = -9::^^:=^^^^^• ( 2 2 ) O p l o s s i n g e n d o o r ; -r 2.J C c ^ - ^ Ö M ^ . e x a c t e o p l o s s i n g v a n ( 1 9 ) e n (20);. s l e c h t s i n e n k e l e g e v a l l e n m o g e l i j k ; m e e s t a l v o l g e n s E, b . ( b i z 1 2 ) Vb.1 ^ = - 1 G k ( y - + Z - ) . V o l d o e t a a n ( 1 9 ) . 0 i s c o n s t a n t op c i r k e l s om de o o r s p r o n g ; d u s c i r k e l -v o r m i g e d o o r s n e d e .

=

+G

k y ; T „

=-.G

k Z ; T =

G

k r . y ^ z V o l g e n s ( 1 7 ) w o r d t < ~ = ^ = O, d u s v l a k k e n o r m a l e Vb. 2 = -G k ( ^ 2 y^ + , z ^ ) . V o l d o e t a a n (19^ 0 c o n s t a n t v o o r r r + c o n s t a n t , d u s op e l l i p s e n . V e r g e l i j k i n g g e e f t w r i n g i n g v a n e l l i p t i s c h e d o o r s n e d e . T y = + 2 G k ^ £ ^ ; ^ z = - 2 ^ ^ i ^ ^ T V ( 2 3 ) ( s p a n n i n g e n v o l g e n s k o r t e a s g r o t e r d a n v o l g e n s l a n g e

as).d>-W-2. c i ^s|!<x\Tr.ivvg^C'k-» J - kovt-öi «s.S ^ ' ^ V l * <^^-<=«3 hst".'. I n d i e n de r a n d w o r d t g e g e v e n d o o r ~ T + ^ = 1 ? ^^"^ w r i n g e n d moment w o r d e n b e r e k e n d d o o r v e r d e l i n g v a n opp. i n c o n c e n t r i s c h e e l l i p s e n . ^ + b ^ = ^-H e t o p p . v a n d e z e e l l i p s i s rt a b 6; de o p p . t u s s e n t w e e o p -v o l g e n d e e l l i p s e n ; TT a b dö .

-20-De b i j d r a g e v a n d e z e opp. t o t de i n t e g r a a l J {0^^ — 0Jö.F b e d r a a g t - G- k ^^^l^iS - D . T u a b d b =-G K

J^I\A^

- 4 ) . d ó . Dus

/ ( ^ ^ - ^ ; d P = - / a k ^ ^ ( 4 - l

Dus v o l g e n s ( 2 2 ) ; Tua^b^ } d 6 = ^ & k ^ T = G k a- + b- ( 2 4 ) H e t ' w r i n g i n g s t r a a g h e i d s m o m e n t ' I ^ t e definiëren d o o r ; d 9 _ T dx ~ GI., ( 2 5 ) w

bedraagt dus voor de e l l i p t i s c h e doorsnede

= a - T b - • (""^^^ ^® c i r k e l ^ n R)

V o l g e n s ( 1 7 ) e n ( 2 3 ) g e l d t s G G b u b y - aa + b - b-G y . o f l l 2 G k z a ^ + b' + G z K o f b u

= k y

= k

z ( 2 4 ^ ) a- - b' a- + b = a- b = d u s ; u = -^-^-^ ^2 y z. (Ook v o o r e e n d o o r s n e d e v a n g e l i j k z i j d i g d r i e h o e k i g e v o r m i s h e t v r a a g s t u k e x a c t op t e l o s s e n . Z i e l i t . ) h ) B e n a d e r e n d e o p l o s s i n g e n d o o r g e b r u i k t e m a k e n v a n analogieën, h l ) Be h y d r a u l i s c h e h y d r o l o g i e . 1

0-V. y C o r r e l a t i e s c h u i f s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n T e n T m e t s n e l h e i d s c o m p o n e n t e n v^^ e n z

y

y V . V o o r e e n o n s a m e n d r u k b a r e v l o e i s t o f z g e l d t ; •bv. ~Dv

"by "^ "bz

= O d u s o v e r e e n k o m e n d m e t ( 1 4 ) . L a n g s r a n d o o k de v o o r w a a r d e , d a t s t r o o m l i j n l a n g s de r a n d v a l t , A l s o o k ( 1 5 ) g e l d t , d.w.z., d a t de r o t a t i e v a n de v l o e i s t o f

-^^z

s t r o m i n g — e e n c o n s t a n t e w a a r d e h e e f t , i s de a n a l o g i e v o l k o m e n .

-21-U i t d e z e a n a l o g i e b l i j k t ;

/

1 d a t b i j i n s p r i n g e n d e h o e k e n en s c h e r p e o v e r g a n g e n h o g e s c h u i f s p a n n i n g e n o p t r e d e n , 2 ° d a t b i j h o l l e d o o r s n e d e n met b e t r e k k e l i j k d u n n e w a n d e e n • _ c o n s t a n t e s c h u i f s p a n n i n g s s t r o o m o p t r e e d t z o d a t T . b = c o n s t a n t . H e t o v e r g e b r a c h t e w r i n g e n d moment i s dan T = A T b d s . a = T b T a ds = = T b T 2 P b 2.^0PP' ( f ) w a a r i n P de o p p e r v l a k t e b i n n e n de h a r t l i j n v a n de wand i s . O v e r de d i k t e b v a n de w a n d z a l de s c h u i f s p a n n i n g s l e c h t s w e i n i g variëren; d e z e v a r i a t i e k a n w o r d e n v e r w a a r l o o s d . Pe g r o o t s t e s c h u i f s p a n n i n g t r e e d t op, w a a r de w a n d d i k t e m i n i m a a l i s ( b e h o u d e n s de i n v l o e d v a n n i e t a f g e r o n d e k n i k k e n , s p o n n i n g e n i n de w a n d e d . ) . b g ) De z e e p v l i e s a n a l o g i e , Een o p e n i n g v a n de v o r m v a n de d o o r s n e d e i s g e s l o t e n d o o r e e n d u n membraan ( z e e p v l i e s ) , w a a r i n a a n v a n k e l i j k e e n g r o t e a l z i j d i g e t r e k k r a c h t Q p e r e e n h e i d v a n l e n g t e h e e r s t . A a n ee''n z i j d s w o r d t een k l e i n e o v e r d r u k p a a n g e -b r a c h t . V f e l k e v o r m z a l h e t mem-braan v e r t o n e n ? U i t w i j k i n g u i t e v e n w i c h t s s t a n d h ( k l e i n ) . Ook de h e l l i n g e n i n Y- en Z r i c h t i n g z i j n k l e i n ; ~ en . Op e l e m e n t j e d y dz w e r k e n 4 s p a n k r a c h t e n Q en de o v e r d r u k p. E v e n w i c h t i n X j r i c h t i n g ; dy b ^ + + ^ ^ ^ ^ + dz cUi b y + Q ^ b T + + p d y dz = O

of;

b ^ b y - b z^^ L a n g s de r a n d g e l d t ; h = 0. Dus de c o r r e l a t i e h ^ 0' i s v o l k o m e n , V e p d e r g e l d e n de c o r r e l a t i e s ; ^ h . ^ ^ ^ h ( 1 9 ^ ) m i t s 2 G k. T y - oy ' z T = 2 / ( 4 - 0 J d P

T5Z •

2 f ( h - h ) d P = 4-2 V. 'volume t u s s e n membraan e n n u l -v l a k ) .

„ 2 2 -T o e p a s s i n g op e e n c i r k e l s a l z i j d i g e s y m m e t r i e , d u s h a l l e e n f u n c t i e v a n r . E v e n w i c h t v a n c e n t r a l e d e e l v a n h e t memhraans, § 2 TT r = p T: r - . § = ^ ^ r . V o l g e n s a n a l o g i e ; T = G- k r . T^ - ^ 2 ƒ h dP = 2 ^ ft Tl r d r ( P - - r - ) = f § o f s T = I G k F.^ , d u s I ^ = ™ ( b e k e n d e r e s u l -•, - } , 1 I —( ft -• t a t e n ) . T o e p a s s i n g op een s m a l l e , r e c h t h o e k i g e d o o r s n e d e s o v e r h e t g r o o t s t e d e e l v a n de l e n g t e z a l h e t membraan c y l i n d e r v o r m i g z i j n d.w.z. I I = 0. P u s ; 1 ^ = - g o f h = ^ y ( b - y ) h = ^ max

O Q

j ^ , /dh\ _ p b ' ^ d y V a x " 2 Q • H e t v o l u m e z a l i e t s k l e i n e r z i j n d a n 2 h h 1 - 1 £_bll Ko^oJ^.. Du SS T ^ E j S l l o f T ~ ; i f . i ^ ; I „ ~ l l > ' l - (26) ^ m a x ^ H °^ "max = ^ ^ r = i r i = i ^ (27) max I

b-1

V o o r s a m e n v o e g i n g e n v a n s m a l l e r e c h t h o e k e n ; I ^ ^ z l b ^ l . ( 2 6 ^ ) T o e p a s s i n g op m e e r v o u d i g s a m e n h a n g e n d e d o o r s n e d e ; z e e p v l i e s n u t e s p a n n e n t u s s e n t w e e r a n d e n , d i e op v e r s c h i l l e n d e — d o c h e l k op z i c h z e l f op c o n s t a n t i e - h o o g t e l i g g e n . B i j k l e i n e v^and— d i k t e w o r d t h e t v l i e s n a g e n o e g r e c h t , d u s s c h u i f s p a n n i n g v o l g e n s n o r m a a l b i j n a c o n s t a n t . H e t o p p e r v l a k , d u s h e t w r i n g e n d moment b i j b e p a a l d e h e l l i n g ( s c h u i f s p a n n i n g ) w o r d t v e e l g r o t e r . P -r •^max

V = P h ^ . T 2 P

h^. ( h )

-23-E v e n y \ f i c h t v e r t i c a l e k r a c h t e n ; p P = ^ Q d s ^ - ^ ( i ) U i t U ) e n (fe-); T = 2 P T h , \

of

T = . ( f ) V o o r t s u i t ( i ) £ p = ƒ | ü 2 £ P- = 2 P h ds Q - " ^"m / h C o r r e l a t i e ; 4 & k P- = T ^ ~ o f k = ™ Z _ J L . o f G 4 P-B i j c o n s t a n t e d i k t e h e n m e t P-B = o m t r e k ; T o e p a s s i n g op g e s l o t e n e n o p e n r i n g .

Qesloten

r i n g s I = 4

Tr'(E

- » b ) ' b ^.4 TI-EHE

-

2 b ) b

"W JJ JJ Open r i n g ; I ^ = - - 2 TI E-h^ = - j T: E h^ . ^ • • B e n a d e r e n d e o p l o s s i n g e n d o o r a n d e r e m e t h o d e n , h v . r e e k s o n t w i k -k e l i n g o f o n b e p a a l d e coè'fficienten. V o o r c o m p a c t e d o o r s n e d e n b l i j k t m e t g r o t e b e n a d e r i n g t e g e i d e n ; -P w a a r i n 1 ^ h e t p o l a i r e t r a a g h e i d s m o m e n t t . o . v . h e t z w a a r t e p u n t v o o r s t e l t . V o o r e e n r e c h t h o e k i s 1 ^ = b h ^ T2 v o o r e e n s m a l l e r e c h t h o e k v i n d t men u i t ( 2 8 ) ; 0 , 3 0 b ^ h ( e x a c t ; n a d . e r t t o t 0,33 b^'h); v o o r e e n c i r k e l 1,55 ( e x a c t 1,57 R * ) ; v o o r e e n v i e r k a n t 0,15 a^.

2 4 -6. B i i i g i n g m e t c o n s t a n t e a f s c h u i v i i i g v a n e e n p r i s m a t i s c h e s t a a f . Be a l g e m e n e u i t d r u k k i n g v o o r u i t ƒ 4 w o r d t ; c ^ = + A . y . x = Geen w r i n g i n g . Geen m a s s a k r a c h t e n . o = a = T ^ = 0. y z X V o r m v e r a n d e r i n g s g r o o t h e d e n ; e^, E y _ £^ _ Be v o o r w a a r d e n v a n e v e n w i c h t l e r e n ; b y ^ b z I b 5 r = « ^ = 0 .

(C)

Be t w e e l a a t s t e v o o r w a a r d e n v a n s a m e n h a n g ( n a v e r m e n i g v u l d i g i n g met

G);

bT bT ^ "bT bT T., b (_J_ Z^ _ 9 n i i i B _ Jl B / N b F ^ b y - - - 2 G - Ë T - - - T T T ' B o v e n d i e n l e r e n ( b ) e n ( c ) , d a t "ÖT bT U i t ( d ) , ( e ) e n ( f ) v o l g t ; 'ZL^U-^--- r ^ ^

S ^ - ^ - iï^

O- ^ 2 9 ) U i t ( a ) = O.

( 3 0 )

^ V o o r B = O w ® r d e n d i t de v e r g e l i j k i n g e n v o o r w r i n g i n g ( 1 4 ) e n ( 1 5 ) w a a r b i j de c©ns'tante i n ( 2 9 ) e v e n r e d i g b l e e k a a n ^de s p e c i f i e k e w r i n g i n g s h o e k . I n d i e n h e t d w a r s k r a c h t c e n t r u m i n h e t z w a a r t e p u n t v a l t 5 k a n d e z e c o n s t a n t e = O w o r d e n g e s t e l d . " Aan ( 2 9 ) en. ( 3 0 ) w o r d t v o l d a a n d o o r t e s t e l l e n ; w a a r h i j v o o r ^ m o e t g e l d e n ; + ^ = O ( 3 2 ) ^ y ^ b z - • Be r a n d v o o r w a a r d e n w o r d e n ; ^ ; = -T y d y = -T^dz ( f )

= 6 ( A

1) ? ta=

- H

u x . V--^ ^ ' - 2 5 " D o o r i n t e g r a t i e l a n g s de r a n d t t i s s e n t w e e p u n t e n P en Q g e l d t s D o o r v e r g e l i j k i n g v a n ( 3 2 ) m e t ( 1 9 ^ ) b l i j k t , d a t v o o r ^- d e ^ z e e p — v l i e s a n a l o g i e g e l d t m e t g e l i j k e d r u k a a n w e e r s z i j d e n , doch. g e s p a n n e n o v e r de r a n d , d i e n i e t op c o n s t a n t e h o o g t e l i g t . . ^ B i j de r e c h t h o e k ABCB g e l d t , d a t y o v e r e l k d e r z i j d e n AC e n BB c o n s t a n t b l i j f t . H e t v e r s c h i l t u s s e n ^jj^^ e n ^r-^-^ b e d r a a g t ; " C ^B D-b- 3D

2 n r T T 7 " h ^ " 2h •

H e t v e r l o o p v a n l a n g s AB e n CB i s n i e t l i n e a i r ( t e r m m e t z ^ ) ; d a a r d o o r v l i e s g e e n p l a t v l a k t x i s s e n AC e n BB. V o o r h > b z a l v l i e s l a n g s EP n a g e n o e g r e c h t z i j n . H e l l i n g

^ _ ^B ~ ^A _

IX B.b 3D ^ bz ~ b ~ 2{ii + 1 ) h^ 2.b.h* Dus l a n g s EP; ^ j i D.h ^ 3

B B.O- , 6M-

B . Z » _ z " 2 T Ï Ï + T T T T ^ 2.b.h 2T~ ^ pi + 1 F n P " ~

- 2.b.h +

ji +

1 b 7 h ^ > ^ 12 ^ ^' ^33^

V o o r v i e r k a n t e d o o r s n e d e e n | i = 0,3 z o u d i t g e v e n ; i n E e n P; = 1,15 . I I = 1,73 I i n 0; = 0,92 . | | = 1,38 |. I n g e v a l h « b z a l h e t z e e p v l i e s b i j b e n a d e r i n g i n a l l e d o o r -s n e d e n / / Z a -s d e z e l f d e g e d a a n t e h e b b e n a l -s l a n g -s de r a n d e n AB

A

l i

B

e n

CB.

' t V o l g e n s ( g ) m e t y = ± 1 h e n = 0; =. u j v o x g e n s i,g; meT, y = + -5- n e n . I . 2^ . D .3 ö ^ - ^ ^ r h ) - _ 2 L. B . z 3 3 D. z r - ^ ( l i + 1 j FTh^ ^ ™ b . h ^ ^ - !i + 1 b T h ^ ~ TbTh ^ = 6[i D. z - _ 3-D bz [i + 1

b.h=^ e b . h

b-^/

^ 12M-

D

.z

^ _ b ^ £ ^,„ -by- - ' oz- | i +

1

b . h ^ b y

^ =

-5y l i

^ _

12|i

D . z y , P C ^ \ p ( z ) = O, w a n t v o o r y = O m o e t = O z i j n ( s y m m e t r i e t . o . v . Z a s )

y n + 1 -bTh^ y^^^. ji + 1 h- h- ^^3^^)

T - - ^- z^ , 3B _ 6D.y- 6 j i D^z^_

z

ji +

1

hTÏ?" zbh h . h^ ji +

1

bTh^

T - 3D _ 6D.y- » . - 3 D_ z

- ^ b h

~TA^

Z ^ ^ ^ - 2 bh •

-26-I -26-I -26-I Y l a k k e _ b e l a s t i n g g e v a l l e n . Iw A l gemeen. I n v o e r i n g v a n e e n spajinj.n£sfunctie. Te o i i d e r s o h e i d e n s ^'^ v l a k k e s p a n n i n g s t o e s t a n d ; d u n n e s c h i j f , w a a r o p k r a c h t e n i n h e t v l a k v a n de s c h i j f v^rerken, " b l a k k e v o r m v e r a n d e r i n g s t o e s t a n d ; l a n g e c y l i n d e r ; a l l e k r a c h t e n l o o d r e c h t a s e n g e l i j k m a t i g o v e r de l e n g t e v e r d e e l d . ^ | De n o r m a a l op h e t v l a k , r e s p . de a s v a n de c y l i n d e r ; Z—as. V o o r w a a r d e n ; A ) ö_ = T „ = T.. = O ( a ) 0. ( h ) A ) O = T = T z X y ^ z X y Van de m a s s a k r a c h t e n j e n j ( j = 0 h i j d e f i n i t i e ) vi/ordt o n d e r -X y z s t e l d , d a t z i j e e n p o t e n t i a a l -Tv. h e z i t t e n , d u s ; y ^ y -•^x b x E e r s t g e v a l A; Twee r e s t e r e n d e e v e n w i c h t s v e r g e l i j k i n g e n ; b o b F bT, X bT Z + 4-by

+ d

X

+

3.

= O

=

O,

( 2 9 ) I n v o e r e n ; s p a n n i n g s f u n c t i e v a n A i r e y 0, w a a r b i j + Sl _ b-!2f '^x = ^ y T = Z ( 3 0 ) b-0

^5Eby

( I n 0 a l l e e n t e r m e n v a n t w e e d e g r a a d e n h o g e r v a n b e l a n g ) . S p a n n i n g e n , d i e a l d u s v a n e e n s p a n n i n g s f u n c t i e z i j n a f g e l e i d , v o l d o e n a a n de e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n ( 2 9 ) (Ga n a ) . Be s p a n n i n g s -f u n c t i e z e l v e m o e t v o l d o e n a a n de v o o r w a a r d e n v a n samenhang. A f l e i d e n h i e r v a n op d i r e c t e w i j z e ; 1 'X 1^-x b u •bx V = Ê^-^^x ^ y ) = W >^z G ^ z ~ b y b x • ( d ) ( e ) ( f ) J ( 3 1 ) Be d r i e s p a n n i n g e n z i j n u i t g e d r u k t i n de e e r s t e a f g e l e i d e n v a n t w e e v e r p l a a t s i n g e n , d u s b e s t a a t e'en b e t r e k k i n g t u s s e n de t w e e d e a f g e l e i d e n v a n de s p a n n i n g e n . (Ga d i t n a v o l g e n s r e d e n e r i r g a l s i ^ i 1 , 3 ) .

^-D o o r t e nemen; v a n samenhang; h - ( d ) ^ b - ( e ) _ b - ( f ) X b-e + _bx'

b-Y

z b x b y bX' = O, b x b y

" 2 7

-v i n d t men a l s -v o o r w a a r d e

(32)

D o o r de v o r m v e r a n d e r i n g e n u i t t e d r u k k e n i n de s p a n n i n g e n w o r d t d i t ; b - 0 . x b - o b - a b - ö ^

_{1 ^ = 2 ( 1 .}

_j

_.

₎

_^

_{. ( g )}

"bxby . V u l t "üit ( 2 9 ) k a n men t w e e u i t d r u k k i n g e n a f l e i d e n v o o r men h e t g e m i d d e l d e h i e r v a n i n i n h e t r e c h t e r l i d v a n ( g ) , d a n w o r d t d i t ;

2(1 +

[i) b - T = - ( 1

+ n)

b-0

X "b-o b x b y D i t i n v u l l e n d e i n ( g ) k o m t e r ;

+ _{-by =} ^--A. b-.a _{bx^ by=} ( h )

b-0^

b-0

+ _bx= + _{b b y - ^ ^ ^ ^ b x - b y - ^} o f ; ^bx- b y - 'X ' y ' X • • r-. V j j j - ; . • D o o r ( 3 0 ) i n (33) t e s u b s t i t u e r e n v i n d t men de v e r g e l i j k i n g i n

(33)

bx~ ' b y ' ^ b x b 0 ^ b -b y _^ 5/b-Jl. , b-./LN _ ^ , N.b--ru , b-Jl-N

, - ^ ) . ^ , - ^ ) ( ^ - . . 1 ^ )

= O,

b x - • b y - ' ^ ' ^ ' ^bx"- ( 3 4 ) Ook t e s c h r i j v e n ; + ( 1 -M.)v-Jl_ = 0. B i j ' g e e n o f g e l i j k m a t i g e m a s s a k r a c h t e n w o r d t d i t ; - _C)J o f u i t g e s c h r e v e n ; b 4 0 ~b*(

+ 2

^ ^ 4 -b x - -b y - 0. b x ^ ' ^ b x - b y - ' bj' Be s c h i j f d i k t e v e r a n d e r t v o l g e n s ;

^ (0,. +

0.J = ^ ( e ^ + e^ ) .

S = - E X _y X (34^") ( 3 5 ) ( 3 5 ^ ) ( i ) G e v a l B. e = 0 , d u s ; _{= • ' ^ ( ^ x + ^y^} A l l e a f g e l e i d e n n a a r z z i j n = 0. • (29) b l i j f t g e l d e n , e v e n a l s ( 3 0 ) , d o c h ( 3 1 ) w o r d t ; e X

1

= 1

(1 •

- U - ) 0

-e y

1

- j + U -

)0

y ' z

1

~ G T = Z b u _^ b v b y b x y

-)0

y ; Ö U b x ^ v ^ b y ( d ) ( 3 1 0

-28-De v o o r w a a r d e v a n s a m e n h a n g ( 3 2 ) h l i j f t o n v e r a n d e r d , d o c h s u b s t i t u t i e v a n de s p a n n i n g e n l e i d t n u t o t s l:)-0 b - c ^ - o ^ - a ( 1 - 11') 5 ^ - (M- + M-M

> ^ +

( 1

- t

^M

- (li + j i - ' ^

~bj' by> ( g ' ) = 2 ( 1

+ j i )

•bx^

Z

bxby

S u b s t i t u t i e v a n ( h ) i n ( g ' ) l e i d t t o t s ( 1 - ^ O _by^ X ,+ ( 1 ..!, \^ y ^ +

y

( 1 - ^ 0 ^ + ( 1 - ^ ^ ) ^ ^ b ^ b y ^ ^

( 3 3 ' )

S u b s t i t u t i e v a n ( 3 0 ) g e e f t s v^0 + 2V-XL = T-~rjj; V^-ZV o f v^jzf + v^-n_ = 0.

_(34-')

B i j g e e n o f g e l i j k m a t i g e m a s s a k r a c h t e n g e l d e n ( 3 5 ) e n (35 ) o n v e r a n d e r d . 2. T o e p a s s i n g op s m a l l e k r a a g b a l k .

y

^1 ^

O h -X Oy = O - 6 P . y ( h - y ) De b r e e d t e z e e r k l e i n o f z e e r g r o o t ( l u i f e l ) a ) ^ , „ P ( 3 h . y - ^ - 2 ^ ^ ^ "^z W ( 3 6 ) v o l d o e t a a n ( 3 5 ) - ( C o n t r o l e e r d i t ) . (Ga n a , d a t a a n de r a n d v o o r w a a r d e n v o o r y = 0 , y = h e n x = 0 i s v o l d a a n ) . ' ' i , ,\'Z ~ i De n o r m a l e — e n s c h u i f s p a n n i n g e n g e d r a g e n z i c h v o l g e n s de e l e m e n t a i r e t h e o r i e . O T T T r n i M ? M n i i i i i iiMMil> h ) = | r ( x y ^ l y ^ | x y h + l y ^ h -1

50.

- ' Tü

5-'

" 2^^ j — - | y ^ h - + ^ y ^ h = ) .

₍₃₇₎

0 v o l d o e t a a n ( 3 5 ) . b x ^ - O ; 2 ^ ^ r 5 y i 2 4 y - I 2 h ;

5y

- 2 4 y + 1 2 h ) .

-29 = g;r(2y^ - 3 y ^ l i ) =-g: r ( 6 x y - - 6 x y h ) . V o o r y = 0; = = 0| v o o r y = = 0, o ^ = - C L ; v o o r X = Os T^ = 0, = | 5 - ( - 4 y " + 6y-kL - l ^ y h - + = a^. R e s u l t e r e n d e n o r m a l e k r a c h t op x = Os^a^dy/v/ —h'' + 2h^ — |-h^ + -^h* = 0 = 0 R e s u l t e r e n d moment op x = 0; /cr y d y = — •I'h^ + — 4h^ + T n h ^ © ' 0

5 5

p I u Dus de s p a n n i n g e n op h e t e i n d v l a k h e h h e n g e e n r e s u l t a n t e e n op k o r t e a f s t a n d d u s ( p r i n c i p e v a n S a i n t V e n a n t ) g e e n i n v l o e d . De max. w a a r d e v a n h e d r a a g t s l e c h t s •^q.. (Ga h e t v e r l o o p o v e r de h o o g t e n a ) . Ook i n de o v e r i g e d o o r s n e d e n ( x ^ O) h l i j f t a^ g e s u p e r p o n e e r d op de ' n o r m a l e ' h u i g s p a n n i n g e n , e n h e w e r k t e e n r e l a t i e f a f n e m e n d e a f w i j k i n g v a n de w e t v a n N a v i e r . - ^ q X- ^ . „ ^ x =

1

^3

(^ - 2 y ) + O De u i t d r u k k i n g v o o r de s c h u i f s p a n n i n g k a n w o r d e n g e s c h r e v e n ; T = y ( h - y ) , d u s g e h e e l v o l g e n s de e l e m e n t a i r e t h e o r i e A a n w i j z i n g e n i n z a k e h e t ' v i n d e n ' v a n de o p l o s s i n g . H e t l i j k t n i e t o n w a a r s c h i j n l i j k , d a t de s c h u i f s p a n n i n g s v e r d e — l i n g i n e l k e d o o r s n e d e i d e n t i e k i s ; de s c h u i f s p a n n i n g e n z i j n d a n e v e n r e d i g m e t x , d u s ; w a a r i n e e n f u n c t i e v a n y i s . I n t e g r e e r ( a ) e e r s t n a a r x ; b y - 2 - ^ i - ^ ^ 0 = x^JYidy + y Y . d y + S. ( h ) Dus; R a n d v o o r w a a r d e ; v o o r y = 0 - ^ a = O, o n a f h a n k e l i j k v a n x . Dus d-X m o e t o n a f h a n k e l i j k v a n X z i j n , m.a.w. , , ^ . X = C i X ^ ' ( l a g e r e t e r m e n n i e t v a n h e l a n g ) . ( c ) = O g e e f t n u ; _2 ^ _ 1 X- ^ + ^ = O ( d ) 2 d y 2 ^ dy^ w a t a l l e e n m o g e l i j k i s , i n d i e n ; d^Y d y

₃

1. -= O . ( e ) d Y ^ ^ d - Y ^ ( f ) d y d j ^ • ^"^-^

Y l k w a d r a t i s c h i n y. -T w o r d t = 0 v o o r y = 0 e n y = h , d u s ; Y l = C g. y ( h - y ) . _{( g )} d'Y, d j F " ( h , i ) D a a r u i t s ^ r r * ^ = 2. C g( h - 2 y ) o f : = C^hy- --'^^7^ + C^j + C, De s p a n n i n g s c o m p o n e n t e n w o r d e n nus ^ - 0 1 dY. , dY, X "by- - TT X' dy

+

dy _ ^ x - ( h - 2 y ) + C^h y- - I C,y^ + C^y + C, • ƒ ^ I ' ^ y + 1 ^ = - 1 ^ h y - + ^ y^ + 2 C i b x - " h x b y = x . Y i = C, x. y ( h - y ) . Nu r a n d v o o r w a a r d e n n a g a a n , T k o m t a l u i t , V o o r y = O V o o r y = h : Os a 7 h: a 7 Os a Os X

3

en C C l = 0-. O 0. D i t h l i j k t n i e t v o l l e d i g t e h e r e i k e n , d o c h C^h^ 1 + j ) = -q. Of C, h ^ v a n de r e s t e r e n d e s p a n n i n g e n v e r d w i j n e n . Zo k o m t men t o t ( 3 7 ) . S p a n n i n g s f u n c t i e v a n A i r e y i n poolcoördinaten. b x PQ - i2fp PR ^E' , - 0^ ) v o l g t s b x b r 1 r b a s i n a o f s

( 3 8 ^ )

r N

b0i b0 .

1

b0

E v e n z o ( g a n a ) s ^ = ^ s m a + - ^ c o s a .

( 3 8 ^ )

H i e r u i t s b - ^ b x - b x c o s a - 1 since = b -b r r "oa -2- cos"*a + - 1 - . , ^ s i n a — b r - I A r - b a 1 ^ = 1 T b r "brba esO::a£!C r b a h r 1 b-( s m a c o s a b r ^-^^^ - F b ^ s i n a - c o s a s i n a b - 0 b r - c o s - a - I ^ ? b r m si^^«^osa + 1 , 0 s i n - a + 1 s i n a + + _{r - W} 2 b ^ s i n a c o s a .

( 3 9 ^ )

3 1 -Op o v e r e e n k o m s t i g e w i j z e ; s i n a c o s a + 1 ^ c o s - a — s i n - a r - b a - s x n a c o s a r b r s i n a c o s a b0 c o s - g — s i n - a ba r ^ ( 3 9 ^ ) 0 - 0 - i S i r 3 i n a c o s a . 1 . 0 c o s - a . 1 | | , c o s - a ( 3 9 ^ ) + ( 3 9 ' ' ) l e v e r t ; b-2 b ^ r - W s i n a c o s a ( 3 9 ^ ) r - b a - 1 _{r b r} Dé v e r g e l i j k i n g v o o r de s p a n n i n g s f u n c t i e i n poolcoördinaten w o r d t d u s :

b - ' ^

1 b 1 b- 1 b r - r b r r-ba=

"b-0 ^ 1 ^ ^ 1 b-izf'

ïïP"

r

b r r-ba-

= 0.

(40)

A n d e r e a f l e i d i n g ; V o o r l i e t r e c h t h o e k i g e a s s e n s t e l s e l ^ ti g e l d t d e z e l f d e v e r g e l i j k i n g a l s v o o r h e t a s s e n s t e l s e l XY. b( R- - ^ - ^R' ^ PR ^ OP.tngR'OP " E R ^ ^ Ö F _ ^ 1 d u t r b a - b r r De t w e e d e t e r m r e c h t s i s v a n l a g e r o r d e , d o c h h e e f t i n v l o e d h i j h e t b e p a l e n v a n »

~b-0 _ 1

bTi- r^bia"^' r ^ r "

Dus; +

b-

+ 1 ^ + ^ r£ • r,2 - -^p-z • r b r ' r-"ba-Op d e z e m a n i e r b l i j k t t e v e n s ; a , X

W

1

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, 1

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= (""t,. =^ b # = F - ^ F W

^ ^a = = ) _{^ r}

V

( 4 1 )

- r „ J

_

L

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^ ) = _

1 + 1 ^

-32-4 . • S p a n n i n g s o o n c e n t r a t i e d o o r e e n r o n d g a t . S t e l r - - 2 R - l n r ( r - -

EQ

c.os2a V o l d o e t a a n d i f f . v e r g e l i j k i n g , immerss ^ = 1 a b r 2 O

•

R

2 p4

r - ™ - - ( r - £^)cos2a b r ^ b-1 + E^ ( 1 + ^ ) c o s 2 a b a -Dus; 2 % = O ( r - - E-) r ^ r E ) -s i n 2 a c o s 2 a .

b-0 + 1

b0

^ 1_ b-0 b r - r b r r - b a - ^ 0 ( 4 2 ) 1 + 1 + p2 V' E^ ( 1 - | l ) c o s 2 a + [ 2 - 4E ^ 2E* ( 1 + ^ ) c o s 2 a + 1 c o s 2 a 4E-^ 2 C 0 s 2 a

= c.

1 ~ ~z c o s 2 a

V^0

=

O 12E= c o s 2 a + 4E^ c o s 2 a + 8E^ c o s 2 a = 0. V o o r t s ; ^ r ~ r - b a - r b r ^) + 2 ÖQC0s2a — ^ ~r— ^— 1 + S - ( 1 + ~ I) c o s 2 a ( 4 3 ) ' 3 ^ b b r : E-) s i n 2 a = a ^ s i n 2 a , 2E- ^ 3E^ D u s v o o r r = co; öp = 2 '^0^'' c o s 2 a ) = 0 ^ ( 1 — c o s 2 a ) J> ^ i g = - % ^ i ^ 2 a . d.w.z. h o o f d s p a n n i n g e n . P l = P2 = O ( v o l g e n s Z a s ) ( v o l g e n s Y a s ) E n v o o r r = E; 0 = 0 r 0+- = 0 ^ ( 1 - 2 c o s 2 a ) . li O D u s r = E i s e e n v r i j e r a n d . ^ t max ^^o p u n t e n x = O, y = + E ) A a n w i j z i n g e n i n z a k e h e t ' v i n d e n ' v a n de o p l o s s i n g . Z o n d e r g a t g e l d t ; 0^ = 0^; 0^ = O, m.a.w. _{^0=^2%^' o f} 1 i i n p 0 o l c o b r d i n a t e n ; 0^ = ^ a ^ r - s i n - a = j c ^ r - ( 1 — c o s 2 a )