Propellberegning etter potensialteorien

SKIPSMODEL L TA NKEN

NOR GES TEKNISKE HÖGSKOL E - TRONO HEIM

PROPEL L BEREGNING

E T TER PO TENS/A LTEOR/EN

AV

HARALD AA. WALDERHAUG

SKIP SMODELLTA NKENS MEDDELEL SE NR.58

NOVEMBER 1959

Innhold: side Innledning 1 FROFILDATA 1.1. Definisjorier 1 1.2. Profilmotstand i 1.3. Lift ₅ 1.4. Trykkfordeiing 10 PROPELLTEORI

2.1. Löfteflater med endelig lengde 10

2.2. Propelibladet soni löfteflate 12

2.3. Den optimale, frigâende propell 13

2.4. Optimal medströmspropell 15 2.5. Korreksjoner 16 2.6. Styrke 18 2.7. Vekt og svingmoment ₁₉ KONSTRUKSJON 3.1. Konstruksjonsbetingelser 20 3.2. Optimal diameter 20 3.3. Beregningseksempel 22 3.4. Flat trykkside 23 3.5. Praktiske profiltykkelser 23 Litteratur 23

PROPELLBEREC2 ING

etter potensialteorien

Av

Harald Aa. Walde rhaug

Skipsrnodelitankens meddelelse nr. 58, November 1959

INNLEDNING

Ved en propeilberegning kan vi gâ f rem pa fiere mâter, vi kan f.eks. benytte ose

av data fra tankprövde propeilserier, vi kan f oreta en beregning ved hjelp av

induksjons-rnetoden eher vi kan benytte ass av de hastighetspotensialer sam er beregnet av

Goldstein-Tachmindji.

Den förste metoden er grundig beskrevet bl.a. i boken "Resistance, Propulsion

and Steering of Shipst1, av W.P.A. van Lammeren, J.G. König og L. Troost.

Den andre

metoden er beskrevet pâ norsk av C.D. Lövstad i Skipsmodelltankens meddeielse nr. 41:

"Moderat belastede propeller med vilkàrlig sirkulasjonsfordeling".

Den sigte metoden, sam

skai beskrives her, bygger pá den utledning av hastighetspotensialet son er foretatt av

Goldstein for propeller hvor bossdiameteren settes uk null.

Nylig har Tachmimdji ogsâ

funnet potensialet for propeller med endelig bossdiameter, og vi har gjengitt hans data i

form av diagrammer.

Det var opprinnelig meningen a fremlegge disse kurvene sammen med en summarisk

beskrivelse av beregningsrnetoden, men vi har funnet at det er behov for en litt bredere

beskrivelse av grurinlaget for beregningsmetoden sannen med e

kart utredning orn

forskjel-lige profildata.

1. PROFILDATA

1.1. Definisjoner.

Endel av de definisjoner vi trenger ved behandlingen av hydrofoils vii

frengá av Fig. 1.

Vi ser der bl.a. hvordan et sâkait NACA-.profil skai konstrueres eksakt

(NACA star for den arnerikanske National Advisory Committee for Aeronautics).

Sentruni for ledende kant radius finnes ved â trekke en linje gjennoni endpunktet

av korden med canne helning son tangenten tih middelhinjen ved x'/i = 0,005. Egentlig

skulle linjen trekkes sani tangent til middeihinjen ved endepunktet av korden (x'/i = 0),

men eiden helningen av rniddehhinjen gar mot uendelig nâr x' gar mot null, er en shik

fremgangsmáte umulig.

Den praktiske utvei â trekke linjen paralleli med tangenten til

middellinjen ved x'/l = 0,005 er mulig f ordi middellinjens helning f örst ved meget smâ

x'-verdier begynner

öke vesentlig.

For profil med krumning vil ledende kamt stikke litt

f rem foran kordens endepunkt, men det er sa lite at vi vil se bort fra det og regne prof

i-lets lengde uk kordelengden 1.

Vanhigvis bestemmes et profil ved at krumningen og tykkelsen först beregnes.

Deretter tegnes kruniningslinjen, og profilet kan tegnes opp etter at vi vinkelrett og til

begge eider av krurnninslinjen har avsatt like lange avetander, Y

(se Fig. 1).

Derme

fremgangsmáten er noksa tungvint, og i praksis kan vi, orn det ikk

stilles for store krav

tu

nöyaktigheten, tillate ose A tegne opp profilet sorn viet med stipiede linjer, moe sam

förer tu at profilets krumning vil öke, spesielt ved ledende kant og for tykke profil.

Orn vi tihlater en slik unöyaktighet, kan vi benytte ose av Fig. 31 nâr vi skai tegne op

profilene.

Profilene er da tenkt plasert oppâ en stigningsflate coni viet i figuren.

Nar

trykksiden er tegnet app, kan sugesiden lett finnes ved A avsette de riktige tykkelser fra

trykkeiden.

Denne tykkelsesfordehing er ogsâ gitt i Fig. 31.

Dersom profilet skai tegues

app nöyaktig, rnA tykkelsestabeilen i Fig. 31 benyttes sannen med krunningstabelien i samme

figur, og slik at kruniningslinjen tegues app og tykkelsene avsettes corn forkiart tidligere.

1.2. Profilmotstand.

Denne bestâr av to komponenter, nemlig forminotstanden og

friksjons-motstanden, og for â anskueliggjöre forholdene ved et hydrofoil skai vi först betrakte to

spesialtilfelle.

Soro förste tilfelle velger vi en flat plate plasert corn vist i Fig. 2,

og vmskeströrnmen over en shik plate kan anta to former, nemlig laminer ng turbulent

ström-fling.

I begge tilfelle vil det innerste vskeskikt klynge seg fast tu

platen; det kan

vises eksperimenteit.

Ved lamirimr strörnning vii sá vskeskiktene utover fra platen gli

over hverandre omtrent son kortene i en kortstokk, og etterhvert som avstanden fra platen

öker, vil skiktenes hastighet i forhold tu

platen öke.

I Fig. 2 er dette antydet ved

kurvene over hastighetsfordelingen i grenseskiktet.

Grenseskiktet er definert corn den del

av vmsken utenfor platen hvor vi har en mindre hastighet enn den frie vskehastighet y,

dvs. grenseskiktet har tykkelsen 6

som viet i Fig. 2.

Larnmnnr strömning er behandlet bl.a. av H. Blasius, son for en flat plate har

funnet f ölgende friksjonskoeffisient:

hvor Ie Teynolds' tall definert son:

he v'i

ned = vnskens kinematiske viskositet, og i = platens lengde slier utstre1ing i

ström-retningen.

Dersorn Reynolds' tall for en flat plate blir s stort son en million eller mer,

skjer det en forandring i strörnningen rundt platen. I stedet for den jevne og "velordnede"

larninrströmning, fâr vi en meget uregelmessig, hvirvlende strömning med en sterk blanding

av vskeskiktene, den sâkalte turbulente strömning.

For en slk ströingstype bar

H. Schlichting gitt en fornel son for Reynolds' tall mellon 10° og l0 gir

tilfredsstil-lende verdier for friksjonsrnotstanden. Formelen lyder:

(2)

- log10Re' *

0,4

I Fig. ₃ bar vi vist friksjonskoeffisienten for en flat plate beregnt etter formel (1) og

(2) for forskjellige Reynolds' tall. Den stiplede linjen ved Re 10° antyder overgangen

fra laminer til turbulent strömning, 0g vi merker oes den sterke ö1ingen i friksjons-koeffisienten.

.

For en flat plate plasert i strömretningen son beskrevet ovenfor, kan vi regne at

vi har ren friksjonsmotstand. For â anskueliggjöre formmotstanden velger vi â betrakte en

sylinder i en parallelletrömming son vint i Fig.

4.

Vi kan da mâle motstanden D og

beregne motstandskoeffisienten

Cr)

v2d

Pâ en basis av Reynolds' tall definert som v.d/.ì fâr vi en kurve som vist i Fig.

5,

hvor

vi ved forskjellige punkter pá motstandskurven ved skisser har antydet det aktuelle

ström-ningsbilde. Nâr vi kjenner trykkfordelingen rundt sylinderen, kan vi beregne f

ormmot-standen son resultanttrykket mot sylinderen i strömretningen. Den er viet son kurve B i.

Fig.

_5,

og son kurre C er vist friksjonsmotstanden mot sylinderen. Friksjonsniotstanden

er lik totalmotstanden minus formrnotstanden.

Vi legger merke tu at en vesensforskjell i strömningen langs en flat plate og

rundt en sirkulr sylinder ligger i at det ved punktene S pâ sylincteren

(separasjons-punktene) skjer en avlösning i strömningen, dvs. vskepartiklene fölger ikke lenger

sylin-deroverfiaten, men tvinsut i hovedströmmen. Det dannes hvìrvler som rives lös

avveks-lende fra övre og medre side av sylinderen, og bak sylinderen dannes derved en serie

hvirvler i et bestemt rnönster, Karmans hvirvelgate.

For et symmetrisk hydrofoil plasert med lengdeaksen i strömretmingen vil f

rik-sions- og forrnrnotstanden vere av samme störrelsesçrderi, son vist i Fig.

6.

For andre

profilformer enn Joukowski-profilet vil forholdet mellon fonnmotstanden og totalmotstan-den vnre floe annerledes, og dessuten vil Reynolds' taU ha stor betydning.

Det er rimelig at formrnotstanden, son dei ogsâ fremgâr av Fig. b, vil vare forhoidsvis större for tykke ann for tynne profil; vi forutsetter nâ syrnmetriske profil

Uten angrepsvinkel tu vaskeströmmen. Men profilets form bar ogsâ innflytelse pâ

frik-sjonsmotstanden, floe son vil fremgâ av fölgende betraktning. W. Tollniien har vist at

S-formede hastighetsprofil i grenseskiktet vil ha en sterk teridens til â skape en turbu-lent strörnning, og alike S-fortnede hastighetsprofil oppstâr dersom trykket langs

hydro-foiloverflaten vokeer i strörnningsretningen. 0m vi vil ha laminar strömning over et

hydrofoil, mà vi altsâ sörge for at trykket synker i strömningsretningen, og dette er

gjennomfört ved de sâkalte laminare hydrofoil hvor trkkfordelingen kan vare son antydet

i Fig.

7.

For et hydrofoil kan vi pâ denne mâte oppna laminar strömning over endel av

overflaten seiv for ganske höye Reynolds' tall, og en flat plate med turbulent strönning

vil tildels ha höyere motstandskoeffisient enn et hydrofoil. Vi bar vist dette i Fig. ö,

hvor et hydrofoil med 0° angrepsvinkel tildels ligger under turbulentlinjen for en flat

plato. Ved

6°

angrepevinkel er forholdet nindre gunstig, og vi bar i Fig. ₉ vist

mot-standskoeffisienten son funksjon av angrepsvinkelen. Arsaken til stigningen i

notstands-koeffisienten med ökende angrepevimkel er den tiltagende avlösnin av vaskeströmmen fra

hydrofoilets sugeside, son vint i Fig. 10. Avlösningen oppstâr mar trykket stiger langs

hydrofoilets overflate i strömningsretningen. Skjernatisk foregâr det soro vist i Fige li,

hvor vi bar vist endel hastighetsprofil over et grenseskikt med trykkstigning i

ström-retningen. Ved pimktet S er vmskeströmmen ved legemets overflate stoppet belt app, og

derved skjer dot en oppstuing som ivinger from en avlösriing i strömningen. Ved en

tur-bulent strömnirlg skjer dei en meget kraftigero utveksling av bevegelsesmengde mellom

vnskepartiklene, og derved trekkes de indre vaskepartiklene med i strönlretningen, og

oppstuingen og domed avlösningen forhindres oller flyttes nedover i strömretningen.

L. Prandtl har gitt en elegant illustrasjon av dette i forsök med en kule i en

parai-iellströmnin. Son vint i Fig. 12 vil avlösningspunktet ligge ca. 80° bak kulens

dors-ningspunkt nar strönningen er 1aminr over forreste del av kulen. Ved â plasere en tynn

streng ruridt kulen, frenbringes en turbulent strörnning bak strengen, og

avlösningspunk-tot flyttes derved bakover. Resultatet er en reduksjon i kulens totalmotstand til tross

for at strengen i sog selv representerer et motstandstillegg.

Med hensyn tu en beregning av profilrnotstanden kan vi henvise tiien artikkel

av E. Truckenbrodt: "Die Berechnung des Profilwiderstandes aus der vorgegebenen Prof

il-form" i Ingenieur Archiv, vol. 21, 1953,

pp. 176-186,

men siden profilmotetanden i

praksis som regel mâles i vindtunneler eher i kavitanjonstunneler, skal vi ikke her

Folgende

kant

(F K.)

e-iddellin

Lengde

Maks. tykkelse:

Krumni

Fig. 2

Fig. i

Ledende

kan t

(L.K.)

Fig. 4

3-L

LOftekratt, lift

7

Propelltrykk,

thrust

I

Mots tand

wr Tangensialhastighet

'= Framgangshastighet

2Ç Resultan thas tighet

ur Indusert hastighet

Ø StignThgs vinkel

Fram gangs viri kel

Ar Hydrodynamisk

stighings vinkel

Korreksjor, p. gr' a. krumri'ngs variasjon

cçr Idee/I

_{angrepsvinkel}

x: Korreksjon

_{p. gria. fríksjon}

0.0 10 0.00 8 0.005

0.004

Cß _QQQ3 OJO 02 0.0015 0.001 10 3.0 O

i

Fig.3

2

3

4lOgR5

Fig. 5

10'

I

_

0.12

L 0.10

It:

cIQ-0.06 ' 0.04 Q02

00

J0UK0WSKI Profil

(R=41Q5)

Ql

Q2 0.3

t/l

Fig. 6

Turbulent fat .lat

log Re

Fig. 8 Fig. 10 QA 0.5

Fig. 7

amias R =031.106

uuuaamamsrnamuu

_{R.A.F 34 U..UMN}

IRUURRRRUIIVAUII

IURUURRRR!

R =451 10 10

20

a i grader

Fig. Q

s

Fig. 11 Fig. 12

Totalu *

Fr/ksj.

Form V11

d

1.'3. Lift. Dersom vi stikker en roterende sylinder ned i en vskeströrn, vil det virke en

sidekraft pâ sylinderen. Det :an anskueliggjöres sorn i Fig. 13, livor vi överst har

hastig-hetsfordelingen rundt sylinderen, og i midten hastighastig-hetsfordelingen i den jevne

vmske-strörrimen. Vi noterer at liten avstand mellon strömlinjene vil si det samrne son ator has-tighet; rotasjonshastigheten rundt sylinderen er altsâ störst like ved sylinderveggen.

Nederst i Fig. 13 har vi sâ vist summen av de to hastighetsfordelingene ovenfor. Vi ser

nâ at hastigheten er störst pâ oversiden av sylinderen. Anvender vi Bernoullis ligning

(som i vârt tilfelle sier at summen av hastighets- og trykkhöyden er konstant), finner vi at trykket er minst pâ sylinderens övre halvdel, og fölgelig mâ det virke en sidekraft, L, son vist i figuren.

Kombinasjonen av en roterende og en rettlinjet strömning kan ogsâ forklare löfte-kraften pâ et hydrofoil, men nâ settes ikke vsken i rotaajon pâ grunn av roterende sylin-der, men pâ grunn av hydrofoilets spesielle form.

Dersom vsken begynner â strömme over et hydrofoil, vil strörnningsbildet i den

förste begynnelse bli son vist överst i Fig.

14,

hvor en vskepartikkel har löpt like lang

vei pâ oversiden son pâ undersiden av profilet fra D til S.

En slik strörnning kan imidlertid ikke vedvare, idet vmsken if ölge all erfaring ikke vil strömme rundt profilets folgende kant, men forlate den fOlgende kant jevnt og

pent. For â kunne flytte avlösningspunktet fra S til fOlgende kant, mA det eksistere en

sirkulasjon rundt profilet, son antydet i midten i Fig. 14. Ved â surnmere de to

strOm-ningabildene, fArvi sA det aktuelle strönmingsbilde son vist nederat i Fig.

14,

og det

resulterer i en löftekraft, L.

Vi kan gi et mer nöyaktig bilde av mekanismen pA f Olgende mâte: ved meget smâ

has-tigheter (idet vskeströmmen starter) vil strömningen bu son vist överst i Fig. 14. Idet

hastigheten öker, vil vi imidlertid fA meget store viskositetskrefter ved den folgende kant

pA grunn av den höye hastighetsgradient vi har der. Dermed vil det dannes en hvirvel, son

vist överst i Fig.

15,

og mAr hvirvelen har vokst tilstrekkelig, rives den med av strömmen.

NA rnA inidlertid sirkulasjonen rundt en lukket kurve i vmsken vmre konstant, og tegner vi

en kurve son vist nederst i Fig.

15,

blir konkluajonen at hvirvelen som damnes ved den

folgende kant, skaper en motsatt rettet og like sterk sirkulasjon rundt profilet.

Den midiere styrke av sirkulasjonen rundt et profil er bestent av styrken av de

hvirvler son Loriot profilet idet bevegelsen startet. Imidlertid vil det io ogsâ senere

avlöses hvirvler fra profilet, avvekslende fra Ovre og nedre side, i form av en Karnaans

hvirvelgate, og resultatet mA bu at sirkulasjonen pendler on en middelverdi, aitsâ

r' = 211 (K ± k)

livor K er sirkuiasjonens midlere styrke og k er styrken av hvirvelgaten. Vanligvis er

hvirvelgaten etter et prof il meget liten, og sirkulasjonen rundt profilet er praktisk talt konstant, men nâr angrepsvinkelen blir overkritisk og profilet liar en utstrakt

ay-lösning fra sugesiden, vil svingningene bli av betydning.

PA grunnlag av Joukowskis hypotese at vskeströmmen skal forlate folgende kant jevnt og glatt, lar sirkulasjonens störrelse seg beregne, enten ut fra en konform trans-fornasjon av profilet, eller ved â erstatte profilet med et hvirvelskikt langa dets

mid-dellinje. Störrelsen av sirkulasjonen bestemt PA grunnlag av Joukowskis hypotese, er ikke

helt nöyaktig, idet det ikke blir tatt h.ensyn til innflytelsen av grenseskiktets t'kkelse

rundt profilet. Vanligvis vil grenseskiktet vare tykkest pA profilets sugeside (pa grunn

av en ugunstig trykkgradient), og det resulterer i at sirkulasjonen blir rnindre enn beregningen viser.

NAr sirkulasjoens störrelse er funnet, kan löftkraften lett beregnes av

Kutta-Joukowskis by.

Kutta-Joukowskis by. Det komplekse potensial for en strömning rundt et f lyprof il kan,

stor avsEana fra profilet, skrives

w=vz + i-j-logz +----

B

livor z er den komplekse störrelse

X +

iy. Av Fig. 16 ser vi at vi kan skrive

resultant-kreftene mot bue-elenentet

6s, son

5 X =

-p6y

5Y =

p.6x

Resultantkreftene mot profilet kan skrives son

Y + iX =p(cosoc- i sin)ds

£

-2i

j1pe

dz

idet vi merker oss at dz = dse . Uteifor profilet liar vi en potensialbevegelse og kan

fölgelig skrive

og dessuten

Innsatt i (2) gir det Blasius' setriing:

(3)

Y+iX=-Siden integranden er holomorf utenfor C

, f âr

utenfor C, o

vi velger da en integrasjonsvei

tillate oss a benytte det komplekse potencial

t

r.2

Y+iX=-(v2- '22

_'J

_4hz

-6-dw

--

_qe

C

vi sarnme resultat

rneget lant borte

gitt med ?i.

Vi

v1

Cr

og ved hjelp av Cauchys residuumsetning finner vi av dette:

for alle integrasjonsveier

fra profilet, hvor vi kan

fâr da

2vB .

)dz

Ttz3

z

1=0

=

r.

Vanuigvis betegnes Y corn lift eher iöftekraften,og vi kan skrive Kutta-Joukowskis by:

L =

vr.

Vi legger spesielt merke tu

at löftekraften stâr vinkebrett tu

retningen av den frie

vskeströmning.

Son nevrit kunne sirkulasjonens störrelse bestemrnes fra

Joukowskis hypotese f.eks.

ved â erstatte profilet med et hvirvelskikt.

I tillegg til betingelsen at vskeströmrnen

skai foriate fölgende kant jevnt og glatt, kommer da den betingeise at

vertikalhastig-beten indusert av hvirvelskiktet skai vere like stor og motsatt rettet

vertikalkompomenten

av den frie vskehastighet.

Dette er en konsekvens av at hvirvelskiktet nödvendigvis

mâ

voere en strönuinje, slik at det ikke er noen hastighetskomponent tvers pâ skiktet.

Der-son skiktet, eller profilet, regnes uendelig tynt, vil vi Der-son regel

fa en uendelig

hastig-bet rundt ledende kaìit, og i praksis stemmer dette med den erfaring at

hastigheten rundt

ledende kant bhir större io tynnere profilnesen er.

Dersom demningspunktet forari pâ

pro-filet (D i Fig. 14) flyttes helt frem tu

ledende kant, unngâr vi den uendelige

hastig-beten.

Den bestetnte angrepsvinkel corn skal til for â oppnâ dette,

kalles den ideelle

angrepgvinkel, og ved ideell angrepsvinkel bar vi det vi kan

kalle stötfritt innlöp tu

profile t.

For et rettliniet hvirvelskikt, dvs. tilsvarende et symmetrisk hydrofoil, vil

de to betingelsene nevrit ovenfor vmre tilfredsstilt dersom hvirvelskiktet har en

styrke-f orde ling

k(8) =

cotg

Koordinatsystemet 0g definisjonen av de forskjellige störrelser

fremg&r av Fig. 17.

Et tynt, svakt krummet hydrofoil vil vi kunne erstatte med et

hvirvelskikt med

styrkefordelingen

k(e) = ---(A0cotg -ç---

Z

in ne),

og herav kan vi uteri vanskelighet beregne profilets

liftkoeffisient

C

=21t(A

L o

og mornentkoeffisienten orn lederJe kant

LK

2-A1)

(A

4.

0L

Et positivt moment vil tibstrebe en ökning i angrepsvinkelen.

Ved hielp av betingelsen at

hviryelskiktet skai vere en strönlinje, finner vi

A0=

lt

= -f f -j--- cos nO dO

(n = 1, 2,

3 ...

o

og herav kan CL og 0M

beregnes.

Angrepsvinkelen

er mâlt ut fra profilets korde, og

vi ser av (7) og (9) at vi

kan finne en bestent angrepsvinkel 3orn reduserer liften tu

null,

7

Fig. 17

(RK.)

Fig. 14

Fig. 18

Fig. 15

Fig. 16

=

8-Bere gn!ng av teoretisk nullifilinje.

X

Lign. (lOa)

¡ntegreres

grafisk fra

111

Q95.

Iii

den herved beregnede

_°L

adderes:

dy

L=O°964YO.95

dx10

hVor y

er middellinjens ordinat ved

= Q95

og

middel/injens

helning

ved

1.0

X

Ligr,.

(13a)

integreres

grafisk

fra

-e-- -

0.05

tiE

TIE

den herved

beregnede

c

adderes:

+ o.467y005 t 0.0472

---

# 0.04 72

I

dy

dx,0

er

_2Ç. C

J(J

.tfXÌ

J3C

I1X

--0125

2.901

113.15

0250

2.091

39.73

13.84

0500

1.537

Q75Q 1.306

7403

1000

1.179

4.716

15 1.049

2.447

20

Q995

1.492

25

0.980

Q980

30

0.992

0.662

4Q

1.083

0.271

50

1.273

0

.60

1.624

-Q271

70

2.315

-0.662

.80

3.979

-1.492

90

1Q61

-4716

95

29.21

-13.84

100

-Midde 11/nIe

K or de

«Lo

_-

(cos

e -

1) d

En linje trukket gjennom folgende kant ned helnirig uk OCL.O , kalles nulliftlinjen, og

angrepsvinkler mâlt ut fra nullinjeri kalles absolutte angrepsvinkler, a se Fig. 18.

Absolutt angrepsvinkel blir

+ -ji-- f

---

(cas

e -

1) dO

og vi Immer ved hjelp av den absolutte angrepsvinkel et spesielt enkelt uttrykk for

lift-koeff i sienten

Vi har tidligere nevnt at vi ved eri ideeli angrepsvinkel oppnâr endelig hastighet

ved ledende kant.

Dette betinger at hvirvelstyrken er 11k null ved ledende kant, og ved â

betrakte (6), ser vi at dette vil vere tilfelie dersom A0 = 0.

Ved â betrakte (9) ser vi

da at vi kan finne den ideelle angrepsvinkel

oc.

=-j_5 .-e

Avstand fra ledende kant tu

trykksentret, dye. det punkt hvor vi kan tenke ose at den

resulterende lift angriper, finnes son:

CMC

=_

LK CL A

-A

e

Ttc

2

(10 a)

le

-9

CL = 2Tta

CL

Nomentet orn et punkt 25% av korden bak ledende kant finnes corn:

CMc/4

4- (A2 - A1)

=

j'

-fi-- (cos 2

e -

co

e)de

Det punkt hvoroni rnornentkoeffisienten er uavhengig av angrepsvinkelen, kalles det

aero--dynarniske punkt (A.?.) eller focus.

Son vi ser, ligger A.?. for et uendelig tynt og svakt

krummet (eller rett) profil c/4 bak ledende kant.

For et profil med endelig tykkeise vil

ogsâ A.?. ligge omtrent c/4 bak ledende kant.

Ligningene (10) og (13) kan gis folgende form:

i

f

(DC)

L.oJc le

e

lo

(13a)

o(.

_i

Je 3e

ff (X)dX

_e o

hvor de to funksjonene f1 og f3 kan skrives:

i

lT (1-

_{e Vc}

(i

-2x

1

f()=

C

-

1-3e

2fl[(

_ej

3/2

Herav kan

og

beregnes for et tynt profil.

Vi legger merke til at for et tynt

profil kan nIiftvink1en og den ideelle angrepsvinkel beregnes ut fra middellinjens form.

(Det sarnme gjelder for CM)

Videre ser vi at bade nuiliftvinkelen og den ideelle

angreps-vinkel er direkte proporsjonal med roiddellinjens ordìnater, dvs. at vi ut fra en kjent

middellirije med kjent

_Lo

og

kan finne nye middellinjer med andre

O

ved â multiplisere middeilinjens ordinater,

_L=o og

med den canne faktor.

Dette er

en folge av at problemet er linearisert i starten, og frengangsaâten kan bare benyttes ved

forholdsvis snâ krumriinger av tniddellinjen.

0m vi dessuten erstatter et prof ii med dets

middellinje, vil betingelsen for at vi skai kurine beriytte de resultatene corn er nevnt

oven-for, vere at pro!ilet er tynt.

10

-1.4. Trykkforde1inen. P grunn av sirkuiasjonen vil vskeströrnmen ha större hastighet pâ

oversiden cnn p undersiden av et hydrofoil. Ved benytte Bernoullis ligning vil vi da

finne at trykket blir mindre cnn det opprinnelige vsketrykket p oversiden av hydrofoilet

og större p. undersiden. Resultatet blir en lift son beskrevet tidligere.

For praktiske formal kan vi tenke oes trykket over og under hydrofoilet sannen-satt av fOlgende komponenter:

En komponent corn skyldes hydrofoilets endelige tykkeise. En komponent son skyldes middeliinjens krumning.

En komponent son skyldes forskjellen mellon ideeF. ang:psvinke1 og virkelig angrepsvinkel.

För vi gâr videre, skai vi definere folgende störrelser:

p0 = statisk trykk i den uforstyrrede vskeströrn,

= darnptrykk i vsken,

pl = trykk ved overflaten av hydrofoilet,

y = uforstyrret voeskehastighet,

-°

2 - kavitasjonstallet.

For beregning av propelien vil vi anta at kavitasjonen starter nâr det lokale trykk pá

hydrofoiloverflaten, p1 , er lik darnptrykket, d Det kritiske kavitasjonstall blir derf or:

po-pl

krit - i 2

0m vi definerer folgende hastigheter:

= hastigheten pâ overflaten av et symmetrisk hydrofoil uteri angrepsvimkel,

forandring i y pâ grunn av middellinjens krunning,

= forandring i y p& grunn av endelig arigrepsvinkel,

ser vi at vi kan skrive Bernoullis ligning:

2

ir'

v' 2

+ Po = OV (-v-- ±

- + Pl

Herav firmer vi det kritiske kavitasjonstall:

o-

_krit.

=(..LLLT'

y - y

v 2

- y

Ved smâ verdier av hydrofoilets tykkelse, krunning og angrepsvinkel, kan vi regie med en linear sammenheng mellom disse störrelser og de hastighetsforhold son er definert ovenfor.

For et hydrofoil i en vskeströmming foretas kavitasjonsundersökeisen ved at

0

beregnes, idet p forutsettes kjent. Deretter veles hydrofoilets forhold slik at

krit ide ri da antar at kavitasjon ikke vil oppstâ.

I praksis vil vi selvfölgelig forlange en viss sikkerhetsmargin avhengig av driftsforholdene.

2. PROPELLTEORI

2.1. Löfteflater ared endelig lengde. Vi har hittil betraktet et to-dirnensjomalt hydrofoil,

eher, hya sors blir det canine, en uendelig lang löfteflate. 0m yi nâ gâr over tu

betrak-te det tre-dirnems.jonale tilfelle, chier löfbetrak-teflabetrak-ten med endelig lengde, vil vi finne en

situasjon som vist i Fig. 19, Pâ grunn av trykkforskjellen mellom flatens over- og

under-side, vil trykket forplante seg rundt ytterkanten av flaten son vist överst i Fig. 19.

Betrakter yi löfteflaten ovenfra, vil yi se et bilde corn vist nederst i Fig. 19, hvor

strOm-hinjene wider flaten er stiplet og over flaten heltrukrie. Pâ grumn av at vsken strömmer

rundt ytterkamten av löfteflaten og ödelegger trykkforskjellem her, kan vi ikke fá noen

höftekraft (eller sirkulasjon) ved endene av höfteflatem. Fordehingen av löftekraft (eher

sirkuiasion) hangs löfteflaten blir corn yist i Fig. 20 överst, og dersorn vi setter

ende-plater pa löfteflaten for

â

hindre ysken i â strömme rundt kanten, kan vi fâ en

sirkula-sjonsfordehing corn vist nederst i Fig. 20.

Alle hyirylene sors damnes etter löfteflaten, son antydet i Fig. 19, vil roeget

hurtig ruhe seg opp og danne en enkel, kraftig hvirvel ved hver ende av löfteflaten. For

propeilberegningen vil vi imidlertid regie son orn hvirvelflaten bak bladet ikke ruller seg

opp, og det kan vises at en shik idealisering ikke bringer noen nevneverdig feil inni

beregningen. La oes sâ undersöke hyilken innflytelse et slikt hvirvelskikt utöver pa

vskeströmningen ved löftefhaten. Midt pá Fig. 13 har vi skissert strömhirijene rundt en

hvirveh. ijersom vi plaserer to rnotsatt roterende hyirvler ved siden av hverandre,

71 12 71

-drives riedover med hastigheten y, og vice verEa.

Resultatet er at de to hvirvlene drives

sannen nedover med hastigheten y.

La ose s& betrakte Fig. 22, hvor vi har skissert et

hvirve1sikt bak en löfteflate.

1-!virvelskiktet vil indusere en nedoverrettet hastighet

un

et stykke bak löftefiaten og hastigheten

u/2 ved löfteflaten.

Vi kan siutte det siete av

folgende betraktning.

Vi tenker oes först

hvirvelskiktet utfyilt med et tilsvarende skikt

foran löfteflaten.

Pâ den mâten fâr vi et uende1i

1ant hvirvelskikt, hvor den induserte

hastighet over alt er ui-i.

Ved selve löfteflaten vii haïvparten av U

stamme fra skiktet

foran löfteflaten og den andre haivparten fra skiktet bak.

Fjerner vi si hvirvelskiktet

forai-i löfteflaten, fâr vi de resulterende, induserte hastiheter son nevnt ticiligere.

ked

hensyn til fordelingen av u

pâ tvers av hvirvelskiktet, s her L. Prandtl vist at den er

konstant dersom sirkulasjonsfordelingen langs löfteflaten er elliptisk.

I sâ fall vil altsâ

hvirvelskiktet forskyves nedover i vmsken son en fast flate.

I Fig. 24 har V

vist et snitt gjennom en löfteflate plasert i en ströraning med

riastighet y.

Pá grurin av den induserte hastihet un/2 v1 resu1tanthastiheten ved

profilet

dreies en vinkel Ei

,

og siden liften star vinkelrett pa resultanthastigeten,

vil den

dreies akterover canne vinkel.

Derved oppst&r en komponent av liften i strönmningsretningen,

den virker son en mnotstandskraft og kailes den induserte motstand

(drag), D.

Indusert

hastighet og indusert motstand er altsà ulöselig kiyttet til den tredimensjonale

löfteflate

og oppstâr pâ grunn av variasjon i sirkulasjonen

langs löfteflaten.

Vi ser av Fig. 2

at

den induserte motstandskoeffisient blir:

CDi-

C.

IFig. 22 har vi slâtt en sirkel orn enden av hvirvelskiktet, og det er antydet at total

sirkulasjon innenfor sirkelen er uk sirkuiasjonen rundt vingen ved avstanden x fra

ytter-kanten.

Dette resultatet vil frerrikosimne pá folgende mâte:

Fivirveiskiktet er bygget opp av et stort antall hvirve1trder soin starter ved selve

löfteflaten.

Siden sirkulasjonen rundt en hvirveltrâd er konstant, kan vi tenke oes

syste-met oppbygget soin vist i Fig. 22 a, hvor hvirveltrâden danner en

sammenhengende krets soin

gr gjermom löfteflaten, hvor den danner en dei av den bundne

löfteflate, og er lukket lanft

bak löfteflaten, hvor den damner avlösningshvirveien vist i Fig.

15.

Dersom nâ variasjonen

i sirkulasjon rundt iöfteflaten mellon snittene x og x + dx er

uk dr, vii vi mmcc at vi

kan uttrykke total sirkulasjon rundt den nevnte, inntegnede sirkel

pâ folgende rnte:

fl =f

r

=r-r0

og dersom

= O, vil resultatet bu

soin vist pâ. Fig. 22.

2.2. Propellbladet soro löftefiate.

La ose betrakte hvirvelsystemnet dannet av en propell.

For det förste dannes en hvirvelfiate av selve propellbiadet

(den bundne hvirvel) 0g

dess-uten damnes bak hvert blad en skrueformet hvirvelflate oppbyget av

de utallige

hvirvel-strenger son forlater propeilòladet (de fric

hvirvler).

Vi ma starte med

anta at disse

hvirvelstrengene son tilsammen damner de fric hvirveiflatene, her

forskjellig stigning for

hver radius utover, 0g dessuten at stigmingen for hver enkelt

hvirvelstreng varierer etter

son de glir akterover i

ropel1strönnen.

ed andre ord, stigningen for de generelle, fric

hvirvelflater varierer bade radielt 0g aksielt.

Dessuten rn& vi anta at em hvirvelstreng

soin starter ved en bestemt radius pâ propellbladet,

vil trekkes inn mot en moindre radius

nâr den glir bakover i propellströmmen, dye. vi mnâ regiie med en viss

kontraksjon av

propell-strömmnen.

\Tidere mà vi ta hensyn tu

at det vil oppstâ et visst undertrykk i

propellströna-roen pá grunn av rotasjonen.

_{Skal vi gjennornföre en propeliberegning og ta alle de hensyn som er nevnt ovenfor,}

vil vi stöte pâ meget store vanskeligheter. For praktisk bruk kan vi imidlertid nöye oes

med et enklere system, som vi skai beskrive i Oct fölgende.

La oes först betrakt.e virkningen av propellströmmnens kontrakejon ng

undertrykket

corn oppstûr i propeliströnmen pá grumn av sentrifugalkraften.

Den tangensielle komonent

av den induserte hastighet. förer tu

en rotaejon av propellströmmnen, dye.

det oppstar en

sentrifugalkraft son reduserer trykket i propeliströmmen i forhold tu trykket utenfor.

Oct forer igjen ned seg at mer yann suges gjennon propellflaten, og

derrned öker

aksial-hastigheten i propellströmmen.

Fropelitrykket, T, gir vannströmmen gjennom propeliflaten

en öket bevegelsesmengde, og siden nassen corn pr.

tidsenhet passerer et tverrsnitt av

propellströmmnen forain propellen er lik massen soro pr. tidserihet passerer

et tverrsmitt bak

propellen, sâ fölger det at vi rnâ ha en större hastighet

i propelletrönmen bak propellen

cnn loran.

Vi kan skrive

T

m(v2-v)

hvor T er propelltrykket, y er hastigheten loran og y2

hastigheten bak propellen, 0g

mo

er vannmassen soro pr. tidsenhet strömmer gjennorn

propellflaten.

Benytter vi ose av

konti-nuitetsiigningen, ser vi at propellströrnmen rni ha et mindre tverrsnitt bak propeilen cnn

forant dvs. propelltrykket er alltid forbundet

med en kontraksjon av propeilströmmen.

La

oss sa betrakte et vskeelemnent i propeiiströtnmnen.

Elementet forlater propeilfiaten ved en

bestemt radius ng med en yiss rotasjonshastighet orn

propelletrörnmens akse.

Pl grunn av

kon-traksjonen trekkes elernentet innover not en moindre radius, ng eiden elementets

bevegelses-mengdemornent skai vinre konstant, ml tangensialhastigheten

öke.

Men siden elementets

kine-tiske emergi skal vinre uforandret, rol aksialhastigheten avta.

Vi ser altsâ at kontraksjonen

ng rotasjonen a

propellströrnmen motvirker hverandre, ng for svakt og middeis belastede

propeller hvor bIde kontraksjonen og rotasjonen er av forboldsvis

beskjeden störreise, vil vi

anta at de to virkningene opphever hverandre.

For propeller med stor belastning

(slepebât-propeller) kan vi il:ke foreta en siik f orenkling.

13

-Pá grunri av at kontraksjonen og rotasjonen har motsatt virkning pá aksialhastìgheten

i propeilströmmen, kan vi for svakt og rnoderat belastede propeller forenkle det bildet vi

startet med av hvirvelskiktene bak propelien.

Vi kan for disse propellene regne meca at

hvirvelskiktene kan ha radielt varierende, men konstant aksieli stigning, og dessuten at eri

hvirvelstreng vil beholde sin avstand fra aksen nâr den glir bakover i propeliströmmen.

Den neste forenkling er at vi skai erstatte propeilbiadet med en hvirvellinje i

stedet for eri hvirvelflate.

Det förer til at vi vel kan beregne avböyningen av vannströmmen

gjennom propeliflaten, men at krumningen av vannströmmen over propelibiadet ikke kan firmes.

La oss sá betrakte et spesielt tilfelle, nemuig

2.'. Den optimale, frigâende propeil.

Dvs. en propell sorn arbeider med minimum energitap i

et homogent hastighetsfeit.

Av Fig. i ser vi at virkriingsgraden for et element av propelibladet kan skrives:

d T. .v

- dF&)r

Dersoca vi öker sirkulasjonen rundt elementet med 61

, vil trykkraften öke

med

6(d T) og

tangensiaikraften med ¿(d Fi).

Dermed öker propeilens energiforbruk med 6(d Fi)Wr, mens

nyttig arbeide öker med 6 (d Tj)va.

0m vi n

betrakter forhoidet

(d T1) Va

(d F1)Wr

sâ ser vi at vi kan forbedre propellens virkningsgrad dersom K varierer langs radien.

Vi

kan jo da öke sirkulasjonen der hvor K er störst og redusere den hvor K er minst.

Med andre

ord: betingelsen for minimum energitap blir at forholdet K er konstant langs radien.

En ökning i sirkulasjonen r rmdt et bladelement vil ogsâ före tu

en forandring

i tillöpshastigheten tu

elementet, Vr, men dersom vi forenkler problemet ved â se bort fra

derme forandring, sâ ser vi av Fig. i at vi kan skrive:

¿ (dT) =6(dL)cos p

=rvrdr cosp

=

6rc»r

_-

)dr

og tilsvarende:

(d F)

(dL) sin

= çrvr dr sinj

=or (v+-_)dr

Herav firmer vi:

K

(r

-) va

tg

(Va+

)Wr

tg13

Betingelsen son col stilles for at en friglende propeil skai ha minimum energitap, blir altsá:

tg 3

- konstant

tg f3i

Virkningsgraden for et bladelement er:

Y),

L'

dT Va

d F1 W r

?r(wr

-r (Va +

=

tg13

tg (3

dr Va

14

-og for en optimal, frigendepropell f gir vi alts. den

ideeUevitkxiinsgrad:

tgÇ3

F7- =17' -

_L1 1

- konstant .

Herav fölger at den hydrodynamiske stigning (2ltr tgß) er konstant, eher med

andre ord at hvirvelskiktet bak propellen forskyves son en f at skrueflate med konstant

S t i gning.

For en shik hvirvelflate kan det bevises at den induserte hastighet, u/2, i hvert

punkt langs radien stâr vinkeirett til skrueflaten, son allerede antydet i Fig. 1.

Herav

fölger at vi kan skrive:

U

ucos2(3

.

ut = u.cos (1.sin(3

Vi vet at hastigheten U

er indusert av det skrueformede hvirvelskiict.

Utenfor

selve skiktet vil vi regne med at vi har en potensialbevegelse, ogdessuten merker vi oss at

den induserte hastighet gâr mot null nâr vi fjerner oss fra hvirvelskiktet.

Vi bar med andre

ord en potensialbevegelse med kjente grensebetingelser.

Det er da kjent at det samme

has-tighetsfelt kan tenkes frembrakt av en annen ârsak enn akkurat et hvirvelskikt dersom vi

bare

passer pâ at grensebetingelsene oppfylles.

F.eks. kan hastighetsfeltet frembringes orn vi

tenker oss en fast skrueflate (f.eks. av bhikk) son forshyves aksielt gjennom vannet.

Av

Fig. 25 ser vi at orn vi forskyver skiktet med hastighet u/2, sâ vil en partikkel

i A etter en

tidsenhet va3re komrnet tu

B. «

I stedet for â beregne den induserte hastighet ved hjelpav to.trßavarts by,, kan

vi alt.sâ beregne den ved först â finne hastighetspotensialet ifeltet rundten stiv,

skrue-f omet skrue-flate son skrue-forskyves med hastighet u/2.

Dette potensial bie f örst beregnet av

Goldstein for null bossdiarneter, og er nyiìg beregnet av Tachrnindji or en propeil rneà

ende-hg bossdiarneter.

Derson vi krysser et hvirvelskikt, finner det sted et sprang i den induserte

hastig-het, og den tilsvarende potensialforskjell pá de to sider av skiktet er lik skiktets

sirku-lasjon,

For en hvirvel med sirkulasjon

fl

har vi:

=r= 21trv

hvor y er tangensiaihastigheten ved radien r.

Vi tenker oss nâ at vi langt bak en propell shâr en sirkel orn

propeilstrâlen med

radius r.

Innenfor denne sirkelen befinner det seg z enkelthvirvelskikt, hvor z er

propel-lens antail biad, se Fig. 26, son er tegnet for en 4-bladet propell.

Hver av

hvirvel-skiktene har styrken r som er uk sirkulasjonen.rundt. propeilbiadet ved radien r (smi.

Fig. 22).

Tangensialhastigheten rundt denne sirkelen blir gjennonsnittllg

uk (ut)m, dvs.

den er störst ved hvert hvirvelskikt, og mjnst mellon skiktene.

Dersom vi hadde uendelig

mange propeliblad, ville (ut)m

bli 11k ut-, hvor uer den induserte tangensiaihastighet

ved

hvirvelskiktet. Men med et endelig antahiblad blir:

(Ut)m

KbUt

hvor Kb kan kalles Goldstein-Tachnind.isfaktor

Sirkulasjonen rundt sirkelenéd radius rskxlnâ vre 11k summen av

sirkulasjonen

rundt de enkeite hvirvelskikt innenforsirkelen, eller:

z

= Kb 2Ttr u

Ved â beregne hastighetspotensialet 4, og ved â benytte

aet tidligere gitte uttry.kk

for u

,

kan K

beregnes.

Fesultatet er vist i Fig.35A og Fig.35B for 3-, 4-, 5- og

6-blader,

propel med bssdiameterforhold hik 0,175, son kan benrttes soro standard forhold for vanlig

propellberegning.

For större bossdiamnetre er Kb gitt i Fig. 36A,

3GB, 36C og 36D.

Vi har tidligere sett at vi kan skrive:

u dT1 fl

(r - ---)dr

dF1 =

fl (V

+ --)dr

hvor dT1 og dF. betyr et bladelements trykkraft og notstand i en ideell

vske (uten

frik-sjon).

Ved hjlp av disse uttrykkene og de tidligere uttrykk for

T71 U

, U

og Kb kan

vi finne fölgende uttrykk for den ideelle trykkoeffisient:

1

t

T1

8(l_)

J

Kb 3

8(u_)2

Kb

(+x2)2d

CTI =

çit R2.v

!7u

2

dx +

2

Ql

_o

15

-I1ed de ligninger og kurver son er gitt, er det meget enkelt â beregne tigningen for

en frigâende optimalpropell. ned hensyn tu biadbredden kan vi benytte ose av utrykket for

lift koeff i sienten

L CL _{1 2} .?l Vr

rr

1 2 .?1 Vr

2r

i Vr Ved hjelp av de tidligere ligninger kan vi nâ skrive:

c i

4TtD x

Ksin1 tg(pj-)

L

For â bestemrae bladbredden ná vi ved siden av betingeisen med hensyn tu propellens

trykk-kraft ogsâ betinge at propellen skai arbeide uten kavitasjon.

2.. Optimal medströmspropell. _{Langt bak en frigâende, optimal propell fant vi at}

hvirvel-skiktene dannet skrueflater med konstant stigning uk _{va+ u.} Resuitatet er i cg for seg

bare hva vi mâtte yente, idet det gir minst mulig tap av kinetisk energi tu vannet bak

propeilen. Vi skai gã ut fra at den samme betingelse gjelder langt baR en medströmspropell

(dvs. propeli bak skrog), med andre ord at hvirvelskiktene danner skrueflater med konstant

stigning uk Va+

U

Vi skai videre gá ut fra den vanhige antagelse at medströmmen bak skipet bestâr av

3 komponenter, nerolig den son skyldes potensialet, w , den son skyldes friksjonen, Wf _{, cg}

tu

slutt den son skyides bölgesystemet. Vi kan med od tiinrrnelse slöyfe den siste

komponenten, cg dersom vi antyder forholdene ved en ekvivaient, frigâende propell med umerkede störrelser, og forhoidene ved en bestemt radius, r, pâ en medströmspropell ned merkede störrelser, kan vi skrive:

W = W + Wf

w'

Langt bak skipet er potensialmedstíönimen forsvunnet, og der kan vi notere betingelsen orn

konstant stigning pâ hvirvelskiktene pâ folgende mâte:

Va +.

Wp +

=V +V

+U

= y + k = konstant,

euer:

U - V Wf = U' - V. W

= k

Videre kan vi skrive:

CA)r u tg(3 tgI3j =

_wr

2u

T7Wr

0g herav: y' + a 2 tg( = tg va +

V. W.

2

VWt

a 2 ₂ tg f.

tg3

=

1- W' k

VWf

W

-V +-V

++

+

cl-W

-1)

_{a a 2 2} 2 V.W Va a 2 2

+L

V.Wf a 2 ¿ = W? i) + (

1+

W-Wf

For enkeltskrueskip er potensialrnedströmmen ontrent konstant over propelifiaten, dvs.:

W - w= w

+ W. - W -= Wf - W]. og det gir: tg =

_tg(1

+ t ¡

1

-w'

i -

1)j

L 171

Det bar voert akrevet meget orn optirnalbetingelsene for rnedstrdrnspropeiler, og ovenstâende

formel representerer bare ett av de mange forsiag. Irnidlertid representerer formelen ator

stigning ved propeliroten, hvilket vil si at vi kan benytte forholdsvis tynne bladtykkelser

der, 0g det vil igjen si at lift/dragforholdet forbedres, foruten at propellens vekt,

sving-moment og pris reduseres og materialegenakapene ved bladroten forbedres. Det har for övrig

vist seg at propellvirkningsgraden er lite fölsom for variasjoner i stigningsforiöpet.

Ved hjelp av f ormelen for tg /' kan stigningsforlöpet. for medströmspropellen

beregnes, idet. vi gâr ut fra virkningsgraden for en frigâende propell son gir det samme

propelltrykk. Det rnâ kontrolleres at rnedströmspropellen virkelig gir det önskede trykk, og

orn- nödvendig má tg ¡' justeres etter en silk kontroil.

Beregningen av en optimal rnedströrnspropeli vil nâ fremgâ av beregningsskjeenaet son

er gitt cenere.

2.5. Korreksjoner. Vi skai först betrakte de korreksjoner corn mâ innföres fordi

vmske-strornmen over propelibladet har en viss indusert kruinning. I Fig. 27 bar vi överst skissert

et profil corn befinner seg i en rettlinjet strömning og hvor den geornetriske kruxnning av

traddellinjen, fg er uk den effektive, _e Middellinjen nâ imidlertid betraktes on et

snitt gjennom et hvirvelskikt, og pâ grunn av skiktet.s sirkulasjon vil vskeströmmen forbi

profilet boyes son skissert nederst pà Fig. 27. 0m vi son en förste tilnrinelse regner son

orn vskeströmmen avböyes med konstant

krumning

uk krunmingen rnidt p& profilkorden, vil vi,

for â

oppnâ en effektiv krumning, 1'e' mâtte innf öre en

vesentlig

större geometrisk

krurnning,

g

_{Ludwieg ng Ginzel har beregnet krurnningen}

midt pá korden for det tilfelle at

sirku-lasjonen langa middellinjen er konstant, og denne kruinningen er innfört som korreksjon silk

sam antydet pâ Fig. 27. Det eraits& ikke tatt hensyn

tu

at

krumningen

varierer langa

middellinjen. Krunningen som er beregnet pâ denne mäten, viser seg i det vesentligste â

avhenge av f orholdene ved det aktuelle biad. Innflytelsen fra de övrige propeilbiad 0g fra

de frie hvirvelskikt son forlater bladene, er liten. Krurm-iingen avhenger, foruten av

sirkulasjonsfordeljngen langs korden, ogsâ av den radielle sirkulasjonsfordeling, av bladets

form og av frerngangskoeffisienten. Ludwieg-Ginzels krumningskorreksjon er gitt pâ Fig. 37

Av Fig. 27 ser vi imidlertid at krumningskorreksjonen son bestemt ovenf or, ikke vii

vere tilstrekkelig, dersom vskeströmmens krunming varierer langs korden. Vi har f.eks.

skissert en vskeström med ökende krunining i strömningsretningen, og i dette tiifelle riiâ

profiler, gis et tilleg,g

tu

stìgningsvinkelen for at den tilstrekkelige lift skal

kunne

oppnas. Beregningen av denne tilleggsvinkel er meget arbeidskrevende, men Lerbs har funnet

en tilnrrnet formel son for praktisk bruk er tulstrekkelig nöyaktig:

ut

tgfj

=

tg1(1 +

2ltr.n

hvor er den korreigerte, hydrodynarniskestigningsvinkel, c er en konstant 11k 0,5 for

vanlige propeller og uk 0,75 for destroyerpropeller

o.l., u

er indusert

tangensialhastig-het.

Den neste korreksjon son mâ innföres, skyldes friksjonen i vmsken. Vi tar den i

betraktning pà to steder i beregningen. For detförste mâ vi ta hensyn til friksjonen ved

fastleggelsen av den trykkoeffisienten som danner utgangspunktet for beregningen, 0g av

Fig. 2ö ser vi at vi

kan

akrive:

dT

dT1 - dD s1nj

= dT

_-

L dL

sinI3 dT1

= dT

-

L smp1

_cos1

Fig. 25

Fig. 27

Fig. 29

-17-dD

Fig. 26

Fig.28

Vekt:

G=z[735Jtdr4t4OQO{d_dj

kg

Svingmcrn: 'L

GO2=zf735ftIrdr

Z = Anfall blad

= Spes. vekt i

kg/dm3

k Konstant = 735

for NASA 16

t r Bladtykke/se

_{¡ çm}

I

= Bladlengde

f m

I4ddog r

i m

kgm2

Cet gir oes:

_dT.

-i

18

-i -

tgf3

E angir forhoidet

dD/dL

0g vii variere lange radien, men det har viet seg at tilstrekkeiig

nöyaktighetoppnâs med f ölgende uttrykk for den totale trykkoeffisient:

CT dT

hvor

= x.tg/'

,

og hvor vi da mâ anta en midiere verdi at

produktet E'A1.

For vanlige,

glatte propelloverfiater kan vi regne ned:

CT

1,03 CT

I tillegg tu

reduksjonen i trykkoeffisienten son behandiet foran,

vii friksjonen medföre en

forandring i selve profildataene, det viser seg i det alt vesentlige son en

forandring i

null-iiftvinkeien.

Denne kan bestemrnes pâ folgende mâte (se Fig. 29):

211

CL

_-

_57'3

aitsâ:

= C

-.

°

_21t

Li

i

For middeliinjer som er undersökt av NACA, er ¿X.

oppgitt for CL1 = 1,0, og orn vi betegrier

diese verdiene med subskript 1, fâs:

-

57,3

ol

₂₁₁

ii

Nâ skai vi ha

for en annen verdi av CLI enn akkurat 1,o

,

og det gir oes:

= c

(

o L

_2Tr

ii

I en vske med friksjon er

forskjeliig fra den son er gitt ovenfor, la oes si at den er

,

og det förer tu at stigningsvinkeien for propellen

mâ korrigeres med störrelsen:

- i)

- CL

-11)(rn - i)

211

Störreisen

n

kan bare finnes ved mâlinger pâ prof il, og er sannen

med

gitt for noen

middeilinjer i folgende tabell:

Vi legger merke tu

at korrekajonen ved middeliinjen

NACA

a=0,8 blir meget liten.

2.6. Styrke.

Etter at thrustfordelingen langs propelibladet er

beregnet, kan vi ogsâ beregne

de spenningene son oppstâr og dermod den nödvendige

tykkelse av bladet.

Ifölge undersökeisen

son er utf Ort av J.W. Cohen, kan vi ved en slik beregning benytte oss av motstandsmomentet av

syiindersnitt, dvs. de profilene vi könner frem tu

ved den hydrodynamiske beregningen.

Dersorn vi skulls gjennomí'öre en beregning son

aritydet ovenfor for hvert

propeli-projekt, ville det kreve uforholdsnessig mye arbeide.

Vi kan imidiertid forsvare â beregne

thrustfordeiingen for en serie propeller, og sâ benytte en

rniddelverdi av diese fordelingene

sorn standard ved styrkeberegningen.

Dette har vi gjort, og resuitatet kan gis i

form av et

böyemornent orn en akee paralleli med stigningslinjen

ved den aktuelle radius,

AHK TD

Nz

hvor

K og KTX

er konstanter for bestemneise av

mornentet henholdsvis pá grunn av

dreie-moment og thrust.

Motstandsmomentet av propelibladet kan ved den aktuelle

radius skrives pâ

f ornen

_{W = kt.i}

Mi.ddeilinje

_il

n NACA

a=l

NACA ao,8

Sirkelbue

0

1,54

O

0,74

1,05

19

-hvor k er en konstant. _{Videre vil vi ved â betrakte endel propeller se at vi kan finne et}

ti1nrmet uttrykk for en optimal propelis virkningsgrad, nemlig:

0,85 (1

_?i5?5

_V)

a

cg orn vibenytter oss av folgende uttrykk for thrusten:

AHK.12 75 1,02

T'-'

0,5144 _Va

vil vi kunne utiede folgende uttrykk for spenningen i biadet pá grunn av thrust cg dreie-moment:

K ARK

ksNz t21.

Konstanten K1 finnes i Fig.

_39,

cg konstanten k kam settes

tu

_{ca. 10 ved 0,2R, 10,5 ved}

0,4R og 12 ved 0,6R.

Vi ma irnidlertid ogsâ ta hensyn

tu

sentrifugaikraftens innflytelse cg orn vi

benytter folgende ti1nrnede uttrykk tor vekten av propelibladet utenlor 0, R

A

G"-'k1 0,2

5e

vii vi ved 0,2 R kunne skrive bOyemornentet orn profilets nöytrale _{akse paralleli med}

stig-ningslinjen:

(1II

4)2

g

k2 &R

R tg

cosi

hvor r er bladets tyngdepunkt, G det aksielle kast og _{stigningsvinkelen ved 0,2 R.}

g

Orn vi betegner arealet av profilet ved 0,2 R ned 0,735 ti

vil vi kunne utléde den totale strekkspenning ved 0,2 R pâ grunn av sentrifugalkraft cg sent rifugalmoment:

a

K2D2 ()[K3

kst0,2

+

hvor k3 kan settes

_tu

_{mellon IO og 12 cg K2 cg K3 finnes av Fig.}

39 . Pá tilsvarende mâte

utledes sentrifugaispenningen ved 0,4 R cg

0,6

R, se Fig. 39

.

Den totale spenning blir

dermed

Det er vanlig â beregne propelien slik at den radielle spenningsfordeling er konstant. Imidiertid vii niateriaiegenskapene pâ gninn av godstykkelsen cg avkjOlingsforhoidene etter

stöpning, vere dârligst ved de indre sekjonene, cg et biadbrudd skjer _{derfor son regel inne}

ved bosset. Det riktigste ville f Oigelig vere â tillate höyere spenninger ved de ytre

sek-sjoner enn ved bladroten.

Beregningen ovenfor gir oss de statiske spenninger i biadet, men det er ikke tvui orn

at dot er de dynamiske pâkjenningene sorn er kritisk. _{En nöyaktig beregning av disse bar}

imidlertid liten hensikt sa longe vi ikke kjenner propeilmaterialets motstamdsevne not

korro-sjonsutmatning. I praksis gjennornföres en statisk beregning son vist ovenfor, og det blir sâ

en erfaringssak â bedOnne orn speriningene kan tillates. Det er uten videre kiart at en

pro-peli scm arbeider i et hornogent medstrdmsfeit cg soin drives av et rnaskineri med konstant dreiemornent, kan belastes relativt sterkt.

For fulistendighets skyld skai nevnes at en dynarnisk beregning er gjennomfort av van Manen pâ grunnlag av teoretiske arbeider av R. Timman, og dot viste sog at thrusten under on

omdreining varierte med onitrent ± _50% pâ grunn av variasjoner i medströrnsfcrdelingen. Tar

vi dessuten i betraktning spenningskonsentrasjoner ved _{overgangen neuem blad cg boss,}

ujevn-heter i biades overfiate o.i., kam det ikke anbefales _{benytte hoyere bruksspenninger omm2}

ca. 420 kg/crn'(stâi,brcnse).Siepebât, trâier#..350 kg/cm .Destroyer,notorbât"900-llOO kg/cm

Vi mâ understreke at den rnetcden for styrkeberegning scm er vist her, _{strengt tatt}

bare gjelder for en propell under optimale arbeidsbetingelser. _{Videro er dot bl.a. benyttet}

et tilnmrmet uttrvkk for virkningsgraden, sâ metoden má anvendes med kritikk.

2.7. Vekt svingmonent. Vekt cg svingmcment av propell og boss kan beregnes otter föigende

fermier (se Fig. 30 ): R

17 G = z

f

f dr +1(db2

_{- dk2)lb} R d

+d

2 2

_ffr2

1t

2. b k GD

''4

dr _dk / b 2 / rb

hvor f _{er aroalet av et sylindersnitt ved radien r, db og dk er midiere diameter av}

hen-holdsvis boss og akseitapp, cg 1b er bossets iengde. Vi bemerker at bossets andei av

sving-momentet er sâ liten at vi kan benytte rniddeiverdien av _{db cg dk scm svingdiameter uten at}

20

-. KONSTRUKSJON

P3.1. Konstruksjonsbetingelser.

La oss anta at vi skai konstruere prapelien for et

hurtig-gâende skip og at hovedrnotorens ytelse og omdreiriingstall er appgitt

tu

henholdsvis

12500 BHK cg 115 RPM.

Fra modellforsök kjenner vi akselhestekraftkurven for modellen kjört

med en noenlunde passende propellrnadell cg med

tilsvarende gjennomsnittlige präveturs- og

serviceforhold.

De oppgitte rnotordata, 12500 BHK og 115 RPM, er motorens maksimalytelse og

kan ikke legges tu

grunn for propellkonstruksjonen.

La ass gâ ut fra at propellen skai

konstrueres far â absorbere 90% av maksimaiytelsen, det

gir oss:

Ytelse

=

12500.0,9 = 11250 BHK

Omdreiningstali

=

1l5J6T'= 111 RPM

Ytelsen rnâ videre reduseres med friksjonstapene i

thrustlager, aksellager og hylse, la ass

regrie ned tilsammen

3%,

slik at propeilhestekraften blir:

11250.0,97 = 10910

PHK

La ass sâ anta at vi fra mcdellforsökskurvene tilsvarende serviceforhold leser av at

10910 HK gir en skipshastighet pâ

18,3

knop.

Videre vil vi finne en medströmsfaktor

w = 0,245, cg vi bar dermed flak data tu

â kurtne begynne pâ propeliberegriingen.

Ofte vil vi bare kjenne slepehestekraftkurven fra modelifcrsök, cg isâfali mâ vi

ansia medströmsfaktar, thrustreduksjonsfaktor cg

relativ rotasjonsvirkningsgrad.

Videre mâ

vi pâ basis av en antatt servicehasthet beregne

prcpellvirkningsgraden ved hjelp av f.eks.

Troost's kurver scm vist i avsnitt

3.2,

cg dermed kan vi sâ finne servicehastigheten

ved

gitt ytelse, cg denne hastighet bär selvfälgelig

stemme med den vi valgte son utgangspu.nkt

ved beregning av prapellvirkningsgraden.

Hvis ikke, mâ vi gjäre et nytt forsäk.

FOr prapeliberegningen begynner, bär vi mâle app rnedsträmsfcrdelingen bak skrcget,

cg orn vi ikke kan fâ dette gjart, mâ vi stätte ass

tu

erfaringsdata fra lignende skip. Vi

kan f.eks. veige midiere nedsträrnsfaktor uk:

w

0,5 CB - 0,05

hvcr C3 er skipets blckkoeffisient, cg den radielie

rnedströmsfordeling kan vi beregne ved

hjeip ay Fig. 32.

Thrustreduksjansfaktaren kan ansiâs tu

og relativ ratasjonsvirkningsgrad tu

n

_rei

-i3O2

'.2. Optimal diameter.

Fär vi begynner den detaijerte beregningav

propellen, rnâ vi kjenne

den optimale diameter og dessutem den rnaksirnale diameter vi kan fá plass tu

i

prapeli-brönnen, cg det er agsâ nyttig â ha en idé am

stigningsforhcid, virkningsgrad cg nodvendig

biadareai.

Det er da grelest â benytte data fra

tankprövde propeilserier, f.eks. Trocst's

serie.

For â benytte Troost's kurver, mâ vi beregne folgende störreiser:

p = prcpeilhestekrefter a

76 kgrn/sek i ferskvann, cg fer vârt eksempei

fra avsnitt

3.1 blir det:

p = 10910

-;j.-

_1,25

- 10500

idet spesifikkvekt av sjävann er satt uk 1,025.

Iavsnitt

3.1

fant vi at arndreiningstaliet burde settes

tu

,ii pr. min

men for

ikke a risikere at prcpellen skai bu

far tung, äker vi det med ca. 1% tu

112 Rh. Trocst*s

kurve: gjelder irnidiertid for modellfcrsäk, og

pá grunn av skalaeffekten niâ vi redusere

omdreiningstailet med ca. 2% tu

110 RPM.

Beregningsgangen biir nâ folgende:

v(l -

w) = 18,3 (1 - 0,245) =

13,8

knop.

NV

ii2VlOOO

- 16,2

V'

-

l3,825

Vi antar at propeilens bladtali er fastsatt

forelöpig â benytte

B

-

diagrammet far B.4,70.

bak skrcg er mindre enR far en

frigâende propeil, cg

pâ ca. 4% (for et fyldig skip mâtte vi redusere mer,

finne

pá forhând, f.eks.

tu

4, og vi velger

Den optimale diameter for prcpeiien

orn vi antar en reduksjon i diameteren

f.eks. 6-7%), sâ vil vi med B

= 16,2

21

-=151

= o,G

P0/D = 1,01 Herav finner vi D

-S

N = 151

l,8

- 18,6' = 5,65 n - 112

For B.4-serien er stigningen redusert 20% ved bladroteri mens den utenfor ca. 0,5R er konstant.

Den midiere stigning vil da vere ca.

_1,5%

mindre eim rnaksinalstigningen, altsâ

P/Dl,0l

0,985-.- 0,995

Vi bör n. gjöre et oversiag over hviiket bladareal vi trenger, og vi kan da benytte Fig.

_33.

Her er p -p, uk atmosfretrykket pluss vasketrykket ved akselsentret minus darnptrykket, og med avstndn mellon akeelsenter og vannflate uk 5,17 meter og atmosfretrykk minus

damp-trykk uk 10100 kg/rn2 , far vi

od

= 10100 + 10255,i7 = 15400 kg/n2

idet spes1fkk vekt av ejövann er satt 11k 1025 kg/rn3. Vi bar ikke tatt hensyn tu

bölge-höyden ved propellen, idet den ekstra vannsöylen den representerer bör behoides son reserve

i tilfelle propellen belastes sterkere enn antatt. Med

2 2TtN

07

y0,7 = ( D) + v = (m/s)2,

fr vi

p-

o d 15400 = 0,498 2

?Vo,7

l04,5591

og av Fig.

₃₃

finnes T/{A(v,7)] =

0,2.

Thrusten finnervi av uttrykket: PHK 2o751?rei T Va

lO9l00,E75l02

_{- 74000 kg} 7,1

og dermed finnes det projiserte bladareal:

A-

T

P _0,2

74000 2

= 11,95 m

0,2 _104,5591

0m vi benytter full motorytelse og tar med bölgehöyden over propellen, fâr vi ontrent samrne areal.

Det ekspanderte areal finnes orntrentlig av folgende formel:

A p A e 1,067 - 0,229P/D 11,95 =

14,25

n2 1,067 - 0,229 0,995

og med proelldiameter p

5,55

meter gir det et bladarealsforhold pá

0m vi starter med â benytte

_2.455,

forer det tu en gunstig diameter

pá 5,64

m, dvs.

at variasjonen er sâ liten at vi kan beholde D

5,65

m.

Idet den optimale propelldiameter herved er funnet, kan propellberegningen

gjennom-fOres son vist

i 3.3.

3.. Beregninseksempel. Pâ grunnlag av data gitt

i 3.1

og

.3.2

beregnes folgende störrelser:

T CT -i

øAv

_oa

740001,0

₌

_1,146

52,25.25,2.7,12

T.

_i

-

0,652

-

22

-V a Ti nD AQ 2

7,1

1T1,855,66

)'S

9,42

_-

_0,2865

TtnD

ltl,855,56

12± (fra Fig.

34)

=

0,725

Arealet A0

= --

D.

Selve propellberegningen kan sA gjennomföres son antydet i skjerna pA side

24,

idet fOlgende bemerkes:

1 - w' er funnet ved hjelp av mAlinger.

Etter punkt 18 foretar vi en kontroll for â finne on den valgte gir korrekt

thrust. Kontrollen gjennoaföres sam vist pâ skjemaet, og tg korrigeres sam vist,

idet en forandrin i tg. pA 1% gir en tilsvarende forandring i CTS pA ca. 5%. Vi mA

vare oppmerksom pa at vi ar integrert

dCT'

bare inn til

0,2E,

og det som ligger

mellom bossdiameteren og

0,2E

vil gi litt öing i C'.

I vârt tilfelle ville en eksakt

beregning gi en ökning i CTS' pA ca.

_0,15%,

dvs. sA lite at det kan negliajeres.

Ved punkt innförer vi en viss sikkerhetsmargin mot kavitasjon. Vi hai valgt en

varierende redukajon i , idet et propellblad son er for bxedt ved spissen, ikke er

dot gunstigste i det varierende medstrOmsfeltet bak et skip.

En kurve aver t/1 forholdet i punkt kan finnes pA folgende mâte: den forelöpige

kavitasjonsberegning vist

i 3.2

gir ass et bestemt bladareal sors igjen gir ass

omtrent-hg profihlengdene 1. Ved hjelp av en styrkeberegning finnes sA tykkelsene ved

0,2 - 0,4

og

0,6

R, og orn vi sA ved

0,9

E setter t/1 =

0,03,

kan vi trekke en kurve for

t/1-forholdet for hole bladet. For lite t/1-forhold ved spissen fOrer tu större drag

ved varierende angrepsvinkel, samt fare for avlösning av strdmningen fra prafilets ledende kant ved de störste angrepsvinkler.

Dersom 1 i punkt blir sr1ig rnindre cnn utgangsverdien ovenfor, bör

styrkeberegnin-gen gjentas.

Verdien

0,06651 i

punkt gjelder bare for middellinjen NACA a

0,8

modifisert. For

andre middellinjer mA andre verdier benyttes.

Vinkelen O i. er den ideelle angrepsvinkel i strönning med friksjon.

I

friksjons-los

strömning vil vere _i1 CL , og tar vi hensyn tu det sors er anfört pA side 18,

ser vi at vi kan skrive:

-

0,2160

C[fl

-

(5Q

-1)(m

_i)]

Orn vi antar sanme n far a =

0,8

og a =

0,8

modifisert, fAr vi for rniddelhinjen

a =

0,8

modifisert:

=

Litteratur:

Tachmindji, A.J. and Milan, A.B.: _{"The Calculation of Goldstein Factors for Three, Four,}

Five and Six Biaded Propellers". The David 1. Taylor Model Basin, Report No.

1034,

March

l95b.

Tachrnindji, A.J.: _{"The Potential Problem of the Optimum Propeller with Finite Hub".}

The David W. Taylor Model Basin, Report No. 1051, August

_195b.

Tachmindji, A.J. and Iiilam, A.B.: _{"The Calculation of the Circulation Distribution for}

Propellers with Fimit9 Hub Having Three, Four, Five and Six Blades".

The David W. Taylor Model Basin, Report No. 1141, June

_1957.

8)

E

i

punkt _{vil variere ned bl.a. profiltypen, profiloverfiatens beskaffenhet,}

angrepsvinkeien (son igjen varierer under en propellomdreining), tJl-.forholdet og Reynoldst

tail. Dom praktiske verdier for NACA l kan vi benytte £

O,Oi/CL.

'.4. Flat trykkaide. _{Det vil ofte vise seg at vi ved en liten ökning av biadtykkeisen kan fa}

et profiL. med flat trykkside og samtidig stötfritt inniöp. _{For kombinasjonen NACA 16, a = 0,8}

modifisert viser det seg at vi fâr praktisk tait flat trykkside fra x'/l 0,1 til 0,9 orn vi

velger fg/t =

0,4243.

_{0m vi samtidig änsker at trykksiden skai falle}

sannen med propellens

stigningsflate, mâ vi redusere stigriingsvinkelen 4, med _{en vinkel:}

-

23

-P3.5. Praktiske profiltykkelser. Pâ Fig. 31 _{er angitt neseradiene for eksakte NACA-profil.}

praksis vil vi imidlertid nâtte öke bladtykkeisen en god dei ved ledende kant av de ytre

radier, og dat medförer at de angitte neseradier ogsâ mâ ökes. For â fastsette dirnensjonene

bär vi da tegne app endel av profilet i full skala. _{De samine betraktninger gjeider for}

bladets folgende kant.

Forfatteren vii rette en takk tu _{sine medarbeidere: frk. Ingrid Rosshaug og herrene}