agu o wyrazie og´

Lista nr 5 EiT, sem.I, studia zaoczne, 2006/07.

Ci agi liczbowe. Funkcje elementarne.

_,

1. Obliczy´ c granic e ci

_,

agu o wyrazie og´

_,

olnym:

a) 2n

³

− 4n − 1

6n + 3n

²

− n

³

, b) (2n − 1)

³

(4n − 1)

²

(1 − 5n) , c) 3 n − 10

√ n , d) (−1)

ⁿ

2n − 1 , e) ( √

n + 3)

²

n + 1 , f) 2n + (−1)

ⁿ

n , g)

√

1 + 2n

²

− √ 1 + 4n

²

n , h)

√ n

²

− 1

√

3

n

³

+ 1 , i) √

n + 2 − √

n, j) √

n

²

+ n − n, k) √

³

n

³

+ 4n

²

− n, l) 4

ⁿ⁻¹

− 5 2

²ⁿ

− 7 , m) 3 · 2

²ⁿ⁺²

− 10

5 · 4

ⁿ⁻¹

+ 3 , n) −8

ⁿ⁻¹

7

ⁿ⁺¹

, o)  3

2



ⁿ

2

ⁿ⁺¹

− 1

3

ⁿ⁺¹

− 1 , p) √

ⁿ

10

ⁿ

+ 9

ⁿ

+ 8

ⁿ

,

r)

ⁿ

√

10

¹⁰⁰

−

ⁿ

r 1

10

¹⁰⁰

, s)

ⁿ

s  2

3



n

+  3 4



n

, t)

 1 + 2

n



n

, u)

 1 − 1

n

²



n

,

v)  n + 5 n



n

, x)

 1 − 4

n



−n+3

, y)  n

²

+ 6 n

²



ⁿ²

, z)  n

²

+ 2

2n

²

+ 1



ⁿ²

2. Obliczy´ c granic e ci

_,

agu o wyrazie og´

_,

olnym:

a) p n + √

n − p n − √

n, b) √

n

¹⁰

− 2n

²

+ 2, c) 1

2n cos n

³

− 3n 6n + 1 , d) 2

⁻ⁿ

cos nπ, e) n sin n!

n

²

+ 1 , f) n(ln(n + 1) − ln n)

3. Korzystaj ac z twierdzenia o ci

_,

agu monotonicznym i ograniczonym uzasadni´

_,

c zbie˙zno´ s´ c podanych ci ag´

_,

ow:

a) a

n

= (n!)

²

(2n)! , b) b

n

= 1

n + 1 + 1

n + 2 + · · · + 1

2n , c) c

n

= n

³

10

ⁿ

, d) d

n

= 1

4

¹

+ 1! + 1

4

²

+ 2! + · · · + 1 4

ⁿ

+ n!

4. Okre´ sli´ c dziedziny naturalne oraz zbiory warto´ sci podanych funkcji:

a) f (x) = log(x

²

− 1), b) f (x) = ctg πx, c) f (x) = 1 + 2 psin(x),

⁴

d) f (x) = 2

^−|x|

5. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a rosn

_,

ace na wskazanych zbiorach:

_,

a) f (x) = x

²

, x ∈ h0; ∞), b) g(x) =

_x4¹₊₁

, x ∈ (−∞; 0i, c) h(x) = √

³

x, x ∈ (∞; 0i;

d) p(x) = √

x + 1, x ∈ h−1; ∞)

6. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a malej

_,

ace na wskazanych zbiorach:

_,

a) f (x) = 3 − 4x, x ∈ R, b) g(x) = x

²

− 2x, x ∈ (−∞; 1i, c) h(x) =

_1+x¹₂

, x ∈ h0; ∞);

d) p(x) =

_1+x¹

, x ∈ (−∞; −1)

7. Okre´ sli´ c funkcje z lo˙zone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, je˙zeli:

a) f (x) = x

²

, g(x) = √

x, b) f (x) = 2

^x

, g(x) = cos x, c) f (x) = x

³

, g(x) =

^√₃¹_x

; d) f (x) =

_1+x^x2

, g(x) =

¹_x

8. Znale´ z´ c funkcje f i g takie, ˙ze h = g ◦ f , je˙zeli:

a) h(x) =

^2−|x|_2+|x|

, b) h(x) = sin

²

x, c) h(x) = log(x

²

+ 1), d) h(x) = √ x + 2 9. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a r´

_,

o˙znowarto´ sciowe na wskazanych zbiorach:

a) f (x) = x

³

+ 1, x ∈ R, b) g(x) =

_x¹2

, x ∈ (−∞; 0), c) h(x) = √

x + 1, x ∈ h0; ∞) 10. Znale´ z´ c funkcje odwrotne do podanych:

a) f (x) = x

²

− 2x, x ∈ h1; ∞), b) g(x) = 2 − √

⁵

x + 1, x ∈ R, c) h(x) = x

³

|x|, x ∈ R;

d) p(x) =

 3

^x

dla x < 0

5

^x

dla x > 0 , x ∈ R 11. Wykaza´ c, ˙ze prawdziwe s a wzory:

_,

a) ch

²

x − sh

²

x = 1, b) tgh x · ctgh x = 1, c) sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y;

d) sh(x − y) = sh x ch y − ch x sh y, e) ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y, f) ch(x − y) = ch x ch y − sh x sh y;

g) sh(2x) = 2 sh x ch x, h) ch(2x) = sh

²

x + ch

²

x, i) sh x + sh y = 2 sh x + y

2 ch x − y

2