• Nie Znaleziono Wyników

College toegepaste wiskunde 1960/61; Laplace transformatie

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "College toegepaste wiskunde 1960/61; Laplace transformatie"

Copied!
51
0
0

Pełen tekst

(1)

TECHNISCHE LiCE.E.Se..;00-1 ONDER-AFDELING DER SCHEEPSBOUWKUNDE tr4G

MATHEMATISCH CENTRUM

2e BOERHAAVESTRAAT 49 AMSTERDAM

AfDELING TOEGEPASTE VVISKUNDE

College Toegepaste Wiskunde 1960/61

Laplace transformatie door

(2)

is a non-profit institution aiming at the promotion of pure mathematics and its applications, and is sponsored by the Netherlands Government through the Netherlands Organization for Pure Research (Z.W.0.) and the Central National Council for Applied Scientific Research in the Nether-lands (T.N.0.),by the Municipality of Amsterdam and by several industries.

(3)

Vborbeelden van

(1.5).

(1.6) (1.7)

(1.9)

College Toegepaste Wiskunde

1960-1961

door

Prof.Dr. H.A. Lauwerier

Laplace transformatie 1. Inlaiding 1)

Onder de Laplace getransformeerde f(s) (Laplace transform) van een functie F(t), welke

gedefinieerd is voor t0,

verstaan

we

(1.1) f(s) d2f

ps-st

F(t)dt,

0

waarbij s een rene of complexe veranderlijke is.

Vaak schrijft men

(1.2) f(s) =0C F(t) =

Het verband tussen F(t) en f(s) drukt men vaak symbolisch uit door

(1.3) F(t) f(s).

De functie F(t) gebruiken

we slechts voor positieve waarden van t

hoewel F(t) natuurlijk ook voor negatieve

waarden van t zin kan hebben. Om dit goed uit te laten komen schrijven we soms F(t)e(t), waarbij 9(t) de z.g. eenheidsfunctie is nml. 0 voor t < 0 (1.4) e(t) voor t (1.3) zijn

8(0

,

r

+,40 tAL 9(t) Ab > -I, eat e(t) 1 s-a (1.8) sin at e(t) a s2+a2 cos at e(t) s s2+a

(1.10

in t 9(t) "s-1.-11 s 9 (i'constante

van Eule0.

) Literatuur o.a. R.V. Churchill. Modern operational mathematics in engineering. Mc Graw-Hill.

(4)

f(s) convergeert in een rechterhalfvlak Re s en is er een

reguliere analytische functie. Bet bewijs volgt in twee stappen.

le stap

Is

f(s)

convergent voor s=so dan ook voor Re s >so:

Bewijs

-s,t

Is (1)(t) de onbepaalde integraal van e F(t) nml.

(1.11) (t) =

t

-s F(T)dt dan is

-(s-s)t

-s t foo -(s-s, jt f(s) =

I

e - { F(t)idt = i e '' d 4)(0, 0 0

waaruit na partine integratie volgt dat

co -( -s,jt

(1.12) f(s) .

(s-so) -f e `) cp(t)dt.

0

Nu is

(PM

continu en uniform begrenSd zodat b.v. Icb( ).1< M. Is Re(ats),. 4 >0,dan blijkt volgenS (1.12) f(s) dua te bestaan.

Uit deze.eigenschap volgt het bestaan van een halfvlak Re. S

Waarbinnen f(s) convergeert en waarbuiten f(s) divergeert. Over de rand Re s= m kunnen we,geen uitspraak dOen.

2e stap

Voor Re s a is f(s) differentieerbaar en is

(1.13)

fls)

- Of e-9t t 7(t)dt. Bewijs.

Op grond van (1.12) is het voldoende am aan te tonen dat de afgeleide

van oo -(s--s )t

g(s)

j

e - (15(t)dt,

o

bestaat en dat differentiatie achter het integraalteken geoorloofd

We moeten dus aantonen dat

oo -(s-s )t

lim .1g(s+h)-1221(2s)

h--4,0 I

+ Of e t 4)(t)dt

Stel nu E. 1

Re(s-o0.

Over

so kunnen we vrij beschikken. We zorgen

3 ,

nu. dat Re(so-m)= zodat dus Re(s.s0)=2E . Verder nemen we Vo6r de uitdrukking tussen accolades kunnen

we schripen

(5)

-3--(s-so)t e-ht-1+ht 4)(t)dt. WO schatten 8.v. exp-(s-so)t 1 = exp-2 E t e-ht-l+htl_

l(ht)2/2:-(ht)3/3!+.1-silhit2

eXp 6 t, 141(t)1 < M,

De bovenstaande integraal wordt dus gemajoreerd tot

et

MI I

IM1h1 e t2dt = h .

0 63

Inderdaad convergeert dit voor Ihl --tp0 tot nul.

Aangezien nu bewezen is dat f(s) een analytische functie is, is f(s) ohbeperkt differentieerbaar. Aldus is

dn

(1.18) p(s) (..1)n foo e-st

F(t)dt.

dsn

"

0

Voorbeela

Volgens (1.8) convergeert

X

sin at voor Re s

0 en is er Oen analytische functie met polen s=+ia weIke op de rand van. het conver-gentiehalfvlak liggen.

(6)

a De Laplace-transformatie is hoMogeen en lineair, d.w.z.

(2.1) ciC

(a1 F1 +a2 F2 )

= a1CF1+aCp2.

2 .

-b Gelijkvormigheidsregel Voor a >0 is (2.2) F( t) = f(1). c. Verschuivingsregels Voor a >0 is (2.3) F(t-a)9(t-a) = -as,f(s). Voor elle a is

eat

F(t) f(s a). d Differentiatieregels e Integratieregel (2.8) (2.9)

f0

0 -st e F'(t) s f(s) - F(0).. Fu(t) s2 f(s) - s F(0) - F1(0). t F(t) 4:fl(s). (t)dt = f Convolutieregel

Als- de convolutie van F(t) en F2 (t) fredefinieerd is door

def et (2.10) F1 (t)* F.2f = j F1(m)172(t-tT)d 0 dan. is (2,11) 171(t)*F2(t) f1(s)f2(3).

De regela a, b en c behoeven nauwelijks toelichting. De dif-ferentiatieregel (2.5) wordt bewezen m.b.v. partigle integratie

nMl.

Herhaaide toepassing van deze regel levert een uitdrukking voor de

Laplace transform van F(t)

voor willekeurige n. De differentiatie,

regel (2.7) volgt door differentiatie van beide leden van (1.1).

co oc

e-st F(t) s

jr

0 0

o-st

(7)

-5-I.h.a. volgt ui (1.1)

dat-(2.12) lim f(s) 0,

s --> oo

hetgeen overigens een belangrijke nodige voorwaarde is opdat f(s) de Laplace transform van een zekere functie F(t) is. Echter behoeft het rechterlid van (2.9) niet noodzakelijk te bestaan (verg. 1.5

en

1.9). Bestaat het rechterlid van (2.9) dan volgt deze regel onmid-dellijk uit (1.1). Evenzo

leidt men (2.8) gemakkelijk uit (1.1) af.

Aan de convolutieregel f moeten we meer aandacht besteden.

Hierbij kunnen'we het ons gemakkelijk maken door ons te beperken

tot die klasse F functies waarvoor

,b

10

J

IF(t)Idt

besteat voOr she > 0 0

2o F(t)I

begrensd in elk interval (a,b) met < a < b <co. We bewijzen nu de convolutieregel (2.11) voor het geval dat

71

en F2 tot de klasse F behoren, en

f1 en f2 voor zekere s absoiuut

. convergeren. Dan is f (s) f2(s) -set rcx) e-su F2 F1 (c)dt.j (u)du 0 oo / (t)dt

J

e-skt+u) 2(u)du 0 oo oo

F1()dt f

-su F (u-t)du 0 oo e-su du 0 0 F1(t)F2(u-t)dt

Fl*F2"

Men bewijst gemakkeIijk 'd.t de

cOnvolutie commutatief en asso-ciatief is, d.w.z. (2.13) F

P72

F21

en (2.14)

(F172)F3

F1 44 (F2 F3).

Voorts kan men

gemakkelijk aantonen dat voor functies F en F2

uit

de

klasse Fc de

(8)

(3.5)

(3.8)

(3.9)

f(s)

3:-ToePaSsIngeh

De Laplace transformatde

kan

o.a..toegei5ast-worden órn

aan-vangsprobletnen

bij

bepaalde gewone differentiaalvergelijkingen gemakkeldk.op te losSen. Deze diffeVentiaalvergelijkingen toeten

lineair zdjn met constante coefficienten. Hetcalgemene type is, als D=d/dt, (3.1) +an)F(t)=G(t), met de beginvoorwaarde (3.2) t=0 F=b F =b F(n-1)10 1 n-1'

De behandeling van dit probleem lichten we toe aan de hand

vat

het volgende voorbeeld:

GeVraag0 een oploaaing van de differentiaalvergeTijking

2-(3.4) 03F +

d F dF-t

- 8e t >0

dt- dt

met de teginvoorwaarde

t=0 F=FI=F"=0.

We':gaan uit van de veronderstelling dat de

gevraagde.oplo8-Bng

exponentieel vbegrensd-is, d.w.z.'

(3.6) F(t) =

0(e+t)

voor:een

Zekere

posdtieve ef_negatieve o. In dat geval kunnen we

met..toepasiAng van o.a. de regels (2.5) en (2.6) en formule (1.7)

de LaplaCe:getransformeerde van (3.4) schtijven als

Vergeldjking

(31.7)

-(s3+s =

8-s+1 '

waatvan de oplossing triviaal is nml.

(s+1)3(s-1)

Net behulp van partiele breukspldtsing is dit

2 4 -1 1 f(s)

=4-T

-S+1 x 9 (s+1)2 (s+1)-) Volgens 1.6) en (2.4) is dus (3.10) F(t) = et-(1+2t+2t2)e-t. Achteraf blijkt dat (3.6) geldt met oc=1.

(9)

We lossen het probleem (3.4) en (3.5) ook' nog eens op een iets meer algemene wijze op. Vervangen we het rechterlid van (3.4) door de voorlopig nog onbepaalde functie G(t) dan gaat (3.7) over in

(s3+s2-s-1) f(s) = g(s), zodat

(3.11) f(s) - 1

g(s). (s+1)2 (s-.1)

Teneinde dit terug te transformeren passen we de.convolutiestelling

toe. Aangezien 1/4 1/4 1/2 (s+1)2(s-1) s777 5+1 (s+1)2 is (3.12) Volgens (2.11) is dus (3.13) F(t) 1 11,-IL(1+2t)e-t1 4I-G(t).

Indien G(t) = 8e-t vinden we natuurlijk met behulp van (2.10) het re-sultaat (3.9) terug.

Vervolgens geven we als toepassing de behandeling van een een-voudige electrische schakeling. We beschouwen een circuit met een zelf-inductie L, weerstand R en capaciteit C. Is dit circuit (zie figuur) aangesloten op een spanning V(t) dan gelden voor stroomsterkte I(t) en

ladingsdichtheid Q(t) de differentiaalvergelijkingen

(3.14)

We nemen aan dat op het tijdstip t=0 zowel

I=0 als Q=0. Dan geeft

Laplace transformatie (3.15) dus (3.16) 1

.1

t (s+1)2(s-1) e - (1+2t)e-t dI g L + RI + = V(t) dQ dt dt = °

-7-SLY+RI+17=7

s 7 - I

= 0 , s2LC+sRC+1 SC

7

(10)

Stelt men b.v:

(3.17)

/-1-= ---

.

;4'7=-1 ' .

-II,

f--ri,

waarbij

v2)

0 (d.w.z. 1, ree1 en positief), dar kunnen we (3.16) lets eenvoudiger schrijven als

(3.13) I = sv .

2 °

(S+11) 1-V".

Het origineel I(t) kan.met behulp van de convolutiestellins ujt het origineel van de factor

1,{(st)24.}

-1en Vi(t) afselcid worden. Gebruik makend van de verschuivingsregel leiden we uJ_t. (1.0) af dat

(3.19) s, in lit.

( S-F,41.)2+)?

Dus is

(3.20) I(t)

, e

sin v t V' (t).

Is b.v. V(t) = E, dus een constante e.m.k. dan is :.:envoudig

(3.21) I(t) = e-A4tsin vt.

Het geval V(t) = IP. sin w t is aldus oolr c-Pnvo-- to behandelen (werk na!).

Tenslotte geven we een voorbeeld van een iF:ts ingewikkelder

net-werk, waarbij eveneens voor t=0 de rusttoestand

herst.

R R 12

IC.

(3.24)

Y2

Toepassing van de wetten van Kirchhoff ::.;6eft met6en in.4:-taal V= R(1.1

4- -1,),

(3.22)

L 0 sR + c- - )

waaruit o.a. volgt-dat'

(3. 3)

2-

:V

R(sRCI-2)

Is b.v. V=E (constant)

Iden is .dus

=F _

2'

sR(sRC4-2) SR sRC-F2 zodat I2(t) = 1 -2t R C '

(11)

graal oo

-oo

absoluut voor Re s c,

dan,geldt-r(s)

-St

F(t)dt c+ioo e (4.6) F(t+0)-FF(t-0)1 27ci s c,-cp(s)ds. c-ioo 4. De complexe omkeerformule

.Naast de in het voorafgaande besproken (eenzijdige) Laplace transformatie (1.1) Ran men vaak met voordeel ook de z.g.

tWeeZij-dige Laplace tranformatie

beschouwen t.w..

(4.1) y(s) d2f

f°°

e-st

F(t)dt.

-oo

Omdat we kunnen schrijven

(4.2) y(s) = e oo

F,t)dt + est F(-t)dt

Ran de theorie van de tweezijdige Laplace transformatie zonder moeite uit die van de eenzijdige soort onmiddellijk afgeleid worden. Anderzijds Ran men de eenzijd-ige Laplace transformatie

als even speciaal geval

van de tweezijdige soort beschouwen. Daartoe dient men slechts F(t)=O voor t< 0 te definig.ren.

hit de hoofdstelling van §1 volgt b.v. dat

cp(s)

conver-geert in een verticale strook ot R.e s <73'i en er een reguliere

analytische functie is. ' Voorbeelden (a> 0) (4.3) e-alti 2a 2 s2 -a 4 Re s 4 a, 0 (4.4) 0 < Re s <1, 7 TiFirE (4.5)

exp-at2Vitexp

2

-co <Re s<oo.

a

7F

We beschouwen nu het algemene probleem hoe uit eon een- of tweezijdig Laplaceigetransformeerde het origineel F(t) terugge-vonden Ran worden. In eenvoudige gevallen Ran men F(t) met

be-hulp van tabellen

vinden. In het algemeen echter Ran F(t) gevon-. den warden Met behulp van de volgende hoofdstelling

OmkeerStelling

Is F(t) v-an begrensde

(12)

inte-Bewijs

De omkeerformule (4.6) berust op de-omkeerstelling van de

Fourier-integralen welke o.a, in het vorige coilc:,ge.(Toegepaste Wiskunde

1959-1960

§13) behandeld is. Men heeft nml.

Ala

(4.7)

dan is (4.8) (4.12) 00 g( u)

f

-itu f(t)dt -oo itu

g()du.

f(t)

S = CfiU,

e--ct -F(t)z-f(t).

Volledigheidshalve schetsen we nog even in grote trekken het bewijs van (4.8). Op grond van (4.11) moeten we dus beschouwen

00

1

i

T

liM

etU

d f(T)c.vt .

27c

oo -

-00

In verband. met (4.10) kan de integratievolgorde verwisseld worden. Voeren we de integratic- near u-uit dan komt

op , oo 1

r

sin

co (.-.E -t ) ( 2 r sin co V fit+-c)+f(t-r)d, fT)d.c = lim - j lim --1E J

-c -tlc

.03 ..!!-* CO 0 T 2

0

--+ oo -oo

De laatste fase van het bewijs berust co het felt dat in de laatste uitdrukking alleen de omgeving van "C=0 bijdraagt en dat

oo

sin u

= .

0

Deze stelling geldt als f(t) van begrensde variatie is, genormeerd is, d.w.z. (4.9) f(t) i if(t-1-0)+f(t-0)1 en als (4.10) . ,00 f(t) dt

<00.

-cc)

De oneigenlijke integraal in hut rechterlid van (4.8) client hierbij opgevat te worden in de zin van

(4.'11)

lim

jpw.

00

(13)

So Ac A

A

dan is

We besehouwen eerst het geval t > 0. Naast de integratieWeg L beschouwen we de gesloten contour bestaande uit het stuk L

s

< o

) van

L en een halve cirkel C

middelpunt c en straal co links van L. We zullen dan aantonen dat

27ci = lim 27ci

a

(4.13)

--+ CO

Lw

hetgeen niets anders betekent Aan dat

(4.14) lim

)( = 0. 00

Cw

Dit blijkt a .v. Stel s=c- wei9

211ci

si

C

-S!'

o I 1 ds 1 -n-v

/I

1 exp(- wtei(P 1 --fn )1 dql. g w I

0)C f -(

s)1

1 rfc - i

.

M j exp(- wt cos cp ) d cp =

Mf2 ekp(- cot sin

4

0

0

Gebruik makend van de ongelijkheid

(sinuegrafiek!)

(4.14)2

sin

r

11. T voor 0.< cp <in

.

zien we dat de laatste majorant voor w

oo tot nu1 nadert.

ça)

We merken op dat de omkeerformule (4.6) zowel voor tweezijdige als voor eenzijdige Laplace getransformeerden geldt. In het °erste geval ligt de verticale integratieweg (c-ioo ,c+ioo )

welke we vaak met L zullen aanduiden binnen

de convergentiestrook, in het tweede geval ergens rechts van de convergentiegrens.

We zullen de omkeerstelling eerst eens toepassen op enkele ons bekende voorbeelden en vervolgens enige nieuwe resultaten afleiden.

a p(s) =

s2so

Re s > R e

So°

at

We weten uit (1.7) dat

r(s)

de (eenzijdige) L.T. is van e o .

We kunnen dit a .v. uit (4.6) afleiden (zie figuur) A

(14)

Aldus geldt voor t > 0 I .1c4 s: e F(t) = lim 1 ds.

2d

,. .

5.-S

AangeZien de geSloten contour (in positieve zin) de pool

so omsluit

is volgens"de residustelling

sot

F(t) = e , t > 0.

Is daarentegen t <0 dan passen we hettelfde principe toe maar nu met een rechts van L gelegen halve cirkel. Aangezien nu geen pool wordt omsloten levert de omkeerformule

F(t) = 0, t< 0,

juist zoals behoort.

p( s)

2 2 3,

S +8

a >0,

De getransformeerde heeft de polen fla met de resdduen Handelend als boven vinden we voor t >0

-iat

F(t) 2 s' + =. cos at.

97(s) th as

a >0, Re s >0.

Bij dit wat gecompliceerdor voorbeeld heeft ip(c_7) een oneinddge reeks polen nml.

Re s > 0 (zie 1.9).

n=0,+1,+?...

In ditzeval dient het principe (4.13) met enige voorzichtigheid gehan-teerd te worden aangezden C. niet door en pool mag gean. De. beWe-ring (4.14) geldt dus zeker niet voor contdnu variabele w. Vervangen

(15)

-13-(4.15) lim

f

=0

n -*oo

Cton

maarblj C reeks halve cirkels is met telkens grotere straal

dan is alles in orde.

In het boVenstaande voorbeeld kiezen we de Cwn-b.v. als halve cirkels met de oorsprong als middelpunt en straal nw/a zodat de imaginaire as

juist halverwege twee opvolgende polen gesneden wordt. Formeel is de zaak eenvoudig. VOor t >0 is

op s t oo

F(t)

2:

e n Residu thas 2 exp(n+i)7cti/a

-oo S =S

-00

waaruit volgt dat

(4.16) F(t) = (4.17) S F(t) = 1

t

F(t) =-1 00 sin(n+4).mt/a n+2=2 Voor t=0 is natuurlijk F(t)=0.

Een andere methode om s-1th as to inverteren bestaat hierin.om de Laplace getransformeerde op een geschikte wijze in een voor. Re s

convergente'reeks to ontwikkelen en term voor term terug te transfor-meren. Men heeft bijv,

th as1

=- 1-2e

-2as:+2e-4as -6as.

-2e +...1

e(t)-20-(t-2a)+2e(t-4a)-2e(t-6a)+... Aldus is

met m=0,1,2,...

De twee uitdrukkingen (4.16) en (4.17) zijn natuurlijk aequiva7

lent. Deze gelijkheid ken ook gemakkelijk rcohtstreeks aangetoond word en

-aVs

(s)=.

, a 0, Re s >O.

In alt geval heeft p(s) een

vertakkingspunt in s=0 zodat toepas-sing van de residustelling hier geen zin heeft. De contour L mordt nu gedeformeerd als in onderstaande figuur is aangegeven

voor 2ma < t <2(m+1)a

(16)

zodat uiteindelijk F(t) = I

-of

De gesloten contour ABFEDC bestaat uit de verticaal AB met Re s=c,

twee cirkelbogen van een cirkel met straal w en s=c als middelpunt, de stukken FE (- w < s < -e, arg s= ) en CD ( - oa<s< --E, arg s=-

lt

)

van de vertakkingssnede langs de negatief ren.e as en een cirkel met

straal 6 en s=0 als middelpunt . Uiteraard is 0 < E< Aangezien de

genoemde contour een regulier gebied van

T(s)

insluit, is de contour-.

integraal nul. D.w,z.

f=

J

f

f

AB AC+FB CD+EF DE

Laten we nu 8 -+0 en o.-÷oo dan blijkt in de eerste plaats als bij a

de bijdrage van de. cirkelbogen AC en FB tot nul te naderen. Voor de

6-airkel is

f

est-a Vs lim ds = dT = I E -4 0 2%i DE s Tenslotte is

jr

est-Ss

I -tu sin a co

eis/

1 U . du lim dB -co

-4

oo 2wi W CD+EF 0 E-4.0

-tu sin a4u

-

--u- du

F(t) =

f

e-tu du

-co

Dit resultaat kan nog Jets verfraaid worden. Differentiatie naar a

(17)

Aangezien of F(t) =

F=

=1

= JP° e- u2c.os au du = -oo oo exp _(u ia )2 -co 2 exp _ a kt ° voor a=0 is 1 f 71 f -in-c j exp(-___v )dv = Oa /ft 2

f

Dat- _v2 _ e dv = 'I Tic 0 a 2 F(t) = erfc a 2rt erf a2 7

4T3

du a

2i

-00

re-tu

2+1audu =

(18)

Het resultaat (4.18) d.w.z.

(4.19) erfc --L._

e

2rt ' 5

kan op de volgende wijze

rechtstreeko

verkregen worden. We bewijzen daartoe eerst dat

-afg 1

a2

. e (4.20) exp -

r7 =

Fa

-'''

' Vg o 2 1

a2

1 , 2 N exp - 4-7-t- = o

-F---- J. exp-ksu2 + -a-,sidu - ; j(exp-'

2 a

s

v 1 )dv:

4v2

A.;

Vw -oo 4u' Vws

-oo

1

=e

Het komt er dus op neer te bewijzen dat

00 2 0 (4.21)

exp-(v- a-)dv =

.

-00

2 Stel daartoe

V -

= W dan is vl = lw +1/ilm2+c2 voor 0 <11 < oo en -oo w < co en

V2 =

11N

W C

2 4 1 2 2

voor -co

<V

<0 en -oo c w< op.

- Het linkerlid van (4.21) gaat dus over in

Jr

-w2

co e dv Cc 1 2 0 IN -F

i

dw =

100

e-

v +v dw dw dw 2 -oo -co

e-w2 dv2

-00

co 0 =

f

0-14 dw = Vic q.e. -00

Integratie van (4,20) naar a levert tenslotte 4.19).

a2

2 ex127.(v 2v )

(19)

5. Hesonantie bij lineaire systemen Zoals bekend bepaalt de gewone d.v.

(5.1)

mR + b* + cx

= 0,

waarin m,b en c constanten zijn i.ha. een gedempte slingering b.v.

(5.2) x = e-7't cos at

en

(5.3) x.= e_ Tt.

De betekenis van A en T blijkt indien we (5.1) in de volgende vorm

brengen. (5.4)

+7°2 + 6-21X = 0.

Voegen we nu een periodieke uitwendige kracht toe b.v.

a

cos w t dan vervangen we (5.4) door

(5.5) 4-7\)2 + 6-2 } = a cos cat.

Is het systeem op het begintijdstip in rust, d.w.z.

(5.6) x = X = 0 voor t =

dan kunnen we de oplossing van (5.5) en (5.6) natuurlijk

gemakkelijk

met de gewone hulpmiddelen Vinden. Wij passen

nu e.ens Laplace

trans-formatie toe. Er komt dan

(s+702+ a-21 -x = a s 2 2 S -f- (.4 zodat 17-a s 2 2 2 2,

i(s+A) + G f

I

We kunnen nu het amkeertheorema

toepassen en gebruik maken van de residurekening. De polen s= +iw bepalen de opgedrongen trilling. De polen

S= A +16'

bepalen de (gedempte) vrije trilling. Voor CO

is de vrije trilling weggedempt en behouden we slechts de opgedrongen beweging. M.b.v. de residuen van s=*iw is dus

e Cat

(5.8) x(t) = a Re

(12,4.702+ T2 0(e-7t)* Men rekent

emakkelijk na dat de maximale amplitude optreedt voor

0 2

= (aangenomen dat

Is 7N=0 dan geldt (5.8) niet meer.

De eesiduen bij s=+iw en S=-1-1T geven nu

(20)

-(5.9) x(t) - - .5

(cos wt-cos

Men, ziet Oat de amplitude voor cO-4. onbegrensd toeneemt. Inder7

daad geeft limietovergang

(5.10) x(t) = t sin

T t.

Dit resultaat volt natuurlijk ook uit (5.7) nml.

5E.

-(

as

a d / 1

2 -2-7 -6-s- k -2-7)

+ T )

S +Cr

Het bij (5.10) cptredende verschijnsel heet resonantie. Daze resonan-tie verraadt zich blijkbaar in de Laplace transform door het optreden van cen dubbele pool. We lichten dit nog even nader toe.

We nemen aan dat de Laplace transform f(s) o.a. de dubbele pool

s=iw bezit. Volgens de complexe omkeerforMule geeft dit een bijdrage

welke bepaald is door het residu van est f(s). Is b.v. voor

so=iw (5.11)

r(s)

dan is het residu van est

a + 2 s-s + c + f(s) gelijk can

iwt,

kat+b)

hetgeen voor t--0-oo.divergeert.

Uiteraard treedt in versterktc mate resonantie op indien f(s) eon meervoudige pool bezit.

We passen dit principe nu eens toe op een wat moeilijker gavel nml. de trillende snaar. De diffcrentiaalvergelijking is met passend gekozen eenheden D'-11 Be-1/ = -I-

17(Xtj

ax at (5.12) .voor x=0 en x=.7cis 11=0 voor t=0 is u= . 0. Dt

Laplace transformatie maakt

hiervan

eon gewone d.v.

c12-u:

(5.13)

= S

f(X,S)

(Tx-waarbij

(5.120

f=0 voor x=0 en

x=7:

Met behulp van de methode van de variable der eonstanten stellen

we

(5.15)

= A(x)sh ax B(x) h s(-rc-x).

(21)

(5.18)

-19-De keuze van de standaardoplossingen

sh ax en sh s(c-.x)

is bepaald door de eisen dat

de..6.en

verdwijnt voor x.0 en

de

ander voor x=ic. Nodig Is dit niet maar wel vergemakkelijkt deze -keus de volgende

be-rekeningen. Voorts stellen we

1-71.)c --- s A(x)ch ax - a B(X)ch s(7c-x).

Dan moet dus

Ax sh ax + B sh s(m-x) 0

en

S Axch sx - s

Bch

s(7c-X)

= f.

Hieruit volgt met inachtneming van de randvoorwaarden (de keuZe van de standaardoplossingen wordt nu begrijpelijk)

,Tc s A sh - j f(y)sh s(m-y)dy en s B sh - fox

f()sh s d.

Substitutie in

(5.15)

geeft

v

(5.16)

Ti(x.,$)

_ 1 ish ax

I

f(y,$)sh s(irc-y)dy +

s sh 87c x

x

+sh s(7*-x) Jo f(y,$)sh. q d0 .

We zullen hier sheen het bijzondere geval bestuderen waarbij F(X,t)

niet van x afhangt. Dan kan

(5.16)

herleid warden tot

(5.17)

71..(x s) = 212_21L1251:2-111LEE___

f(s).

2 ]

s chs.ic

De nulpunten van sh sw nml. s.+ni corresponderen met de eigentril-

_

lingen van de snaar. Hangt de uitwendige kracht F van x-af dan morden i.hya. elle eigentrillingen opgewekt. Hangt F niet van x af (of is F symmetrisch t.o.v. het midden van de snaar) dan heeft men volgens

(5.17)

slechts te maken met de oneven eigentrillingen .s.+(2m+1)i.

_

Er treedt resonantle op zodra er in Ti een dubbele pool

aanweZig is

d.w.z, als f een pool -i-ni voor een zeer geheel getal

n bezit. We be-schouwen twee specialisaties.

a F(x,t);:-:..-: li Dan is f(8)=1/s.

Volgens (5.17) heft

7

de pool 5.0.

Deze levert de Stationnaire toestand I

USta =

f

welke natuurlijk ookgemakkelijk rechtstreeks gevonden kan

worden.

(22)

(5.19)

Zodat de totale opgewekte beweging bestaat uit

(5.20) (x,t)

-x(r-) +

nx+sin n(w-x)icosnt.

771:.oneven

-13-43in

Een opmerkelijk feit is hierbij dat d intensiteit van de eerste boven-toon slechts 1/27 van die van de grondboven-toon is.

2

b F(y,t)s cos a], t. Dan is.f(s) s/(s2 +col. Blijkbaar treedt

reso-nantie op voor omdat dan .f(s) dubbele polen verkrijgt.

We onderzoeken nu hoe de bemeging er uit ziet als 6).1. Daartoe

con-centreren we (ins op de dubbele polen +i.

Om het residu van-

esti-s(x,$)

aldaar te vinden stellen we s=i+W"

wear-bij w klein is.- Dan is

ch -ch isic = sin x iw + (X-0c)cos x + 0(w2)

s(s2+

w2)chisr

= 7.c iw2 xv,73 00411) 2 'et elt 1.1 tw +

0(w2)1

. Hieruit volgt

St

e Ti(x s)

-De residuen van s.+i leveren dus

(5.21)- (1-

2x 3 2

--)cos x - - sin xl cos t - t sin x sin t,

d.w.z. een oscillerende term en een seculaire term. De tweede term

stelt een oscillatie voor, feitelijk de grondtoon, waarvan do ampli-tude onbepaald toeneemt. De overige polen leveren ale in het vorige voorbeeld bijdragen van do oneven boventonen.

w2 2 cos nt s 1 sin nx + sin

n(x)1

7C n / x

Iaos

x+

% . 3

ffi

sin x it

(23)

6. Gamma-functie

Hoewel dit onderwerp gewoonlijk bij de analyse of bij de functie-theorie behandeld wordt vatten we de voornaamste eigenschappen van de Gammafunctie hier nog eens samen opdat we er later bij onze

beschou-wingen des te gemakkelijker

gebruik van kunnen maken. We definieren de faisulteit-functie

7r(z)

of z! door het °nein-dige product

T(z)

62f lim

(6.1) n! nz

n oo (z+1)(z+2)....(z+n)

Tenzij is deze definitie

voor alle complexe z: geldig. Gebruikmakend van de definitie van de constanten van Euler,

(j1.0.577...)

(6.2)1 1

lim (1+

7 +

1

-log n)

Y

#

n --÷ co

is een aequivalente definitie

oo

(6.3)

1/Tr

(z)d eyz 711!_(-1+ e n

1

Tilt deze definities volgt onmiddellijk

(6.4)

71-(0)

= 1,

117(z) = z 71(z-1),

en voor

(6.5) 7r(n) n!

Gebruikmakend van het sinusproduct

oo

2

(6.6) sin z

z (1- z )

n=1

1777

volgt uit (6.1) of (6.3) de belangrijke

eigenschap

(6.7) ir(z)

71-(-z)

= z

sinTez

Tilt (6.1) volgt da'c,

ir(4)

positief is. Tilt (6.4)

en (6.7) volgt

7.2(4)

=-7r zodat (6.8)

=

\Piz-Substitutie in (6.1)

leidt tot het bekende product van Wallis nml.

(6.9)

lim

22n

nn

!!

Vr;

.

n -÷oo (2n)!Vii Vervolgens leiden we uit (6.1) de

verdubbelingsformule (of

halverings-formule) af nml.

(6.10)

Tr(2z) =c

(24)

(2n)1(2n)2z

1T(2z) = urn_n

n-*clo 2 (z+i)..,(z-i+n)2n(z+1)...(Z+n)

(6.11)

-(2n):

/.1-22z

1Ln -n: -n: 2r.n (6.14) Uit

(6.13)

volgt b.v.

(6.15)

nt. geldig voor Re z -1. Bewijs. Beschouw f(z,n) = rn (1- L)fl

tz

dt, 0

dan volgt m.b.v. partine integratie

n: nz+1 f(z,n) -, 1

4,-,

n 22z

li(z)Tr(z-1-)

,

waarbij dus (6.9) gebruikt is.

We komen nu tot de integraalvoorstelling van Euler

00

fl(z)

=

f

e-t tz dt

0

(z+1)...(z+n+1)

Voor n --*co gaat f(z,n) over in het rechterlid van (6.11), anderzijds gaat f(z,n) volgens (6.1) over in

Ir(z).

Naast

Ir(z)

ontmoeten we some de functie NV(z) gedefinleerd ale

(6.12)

vi(z)defdz

Tr(

)

Blijkens (6.3)

is

op (6.13) v( z) = (iT 0 en oo 1(z ) =

E

. n=1 (n+Z)

Het zal duidelijk zijn dat zowel

Ii(z)

ale y(z) analytisChe

functies Zijn met polen

Heel vaak gebruikt men de notatie van de gamma-functie

r

)

waarbij

(6.16)

P(

z) d2f11(z-1).

(25)

In deze notatie is dus b.v. poo (6.17)

P(z) =

0 en b.v. (6.18)

r( z) r(i-z)

tit231:

Als toepassing van de Laplace-transformatie leiden we een bekende formule van Euler af% We merken op dat uit

a-I

r(2)en

tb-1 r(b) t sa sb volgt dat ta-1

t=

b-1 . r(a)il(b) -sa+b

Anderzijds is a+b-1 . r(a+b)

7

sa+b °

Men heeft dus

(6.19)t a-1t

*

b-1 - r(a) r(b) ta+b-1 .

r(a+b)

Voor t=1 gaat dit over in het beoogde resultaat

tl

t-1

(6.20) j -

1(1-0

b-1dt = r(a) r(b)

0 P (a+b)

Tenslotte vermelden we de z.g. cofficignten Van Bernoulli welke

we later met de gamma-functie in verband zullen brengen. Per definitle is (6.21) (6.22) -t -1 tz t, Re z 0, /rz oo B =

E 4

ez-1 n=0 n. Uit de identiteit. oo B cc zn 1T1 Z z jjT m=0 " n=1

leidt men af dat symbolisch

(6:23) (13+1)n - Bn = 0.

Met

behulp

vat

deze recurrente betrekking kunnen de opvolgende B's berekend worden.

1

Bo=1 B1

=-1

2 B2= -6 B3=0 B4=- 30

Aangezien de functie z(ez-1)-1 + -1-.z even is (nrnl. 1 Z ath-1-2) is

(26)

CO

De reeks Z1-0 un(x) convergeert per definitie asyMptotlsch tot

de functie S(x) (in de zin van Poincare) indlen

S(x)-

u(x)

(7.1) .11m

X

-4, CON(x)

voor elke vaste N. Zoals bekend betekent gewone cOnvergentie dat (7.2)

lim 1S(x) -

12,,(x)1

= 0

N ---)! co n=0 V"

vobr elke vaste x.

Eep voorbeeld van een asymptotische ontwikkel1pg wordt ons ver-schaft door herhaaide partine integratie van

J

t+ cc e-t (7.3) F(x) = j 0 x. dt We vinden voor x-+ 00 1 I 2!

3!

(7.4)

F(x)V: -

-7

- + xJ

a Uitgaande van F(t) sin at kunnen we b.,C F trachten te vinden door

eerst

F(t)

in een reeks.te ontwikkelen en term voor term te

tranafor-CO

0(

sin at (

E

k .c.C(at)2n+1 = n=0 (2n+1): op 2n+1 = ( \ a a 1 p h.0 k 'I s2n+2 s 1+a /s

21

2 s2+a

Inderdaad-vinden We het goede antwoord. Het proces kan geMakkeliJk gerechtvaardigd worden. De t-reeks convergeert voor she t. Het blijkt evenwel dat de s-reeks slechts voor 'al> a convergeert zodat

de methode althans voor deze s-waarden geldig is. Het principe van

analytische voortzetting verklaart het resultaat voor alle s-waarden met Re s>0 geldig.

iciest men F(t) dan bepalen we f els volgt t+1

oo

F(t)

(-On

(27)

-25-00 f(s)

2:: (-1)n

n=0 n! sn+1

Maa'r nu divergeert de s-reeks vOor alle s-waarden.

De t-reeks convergeert trOuwens ook slechts voor t < 1. Tech blijkt dit proced4 jets bruikbaars op te leveren nml. een asymptotische-ontwikke-ling van f(s).' We bewijzen dit a.v.

f(s) -

t

(-1)n -P-1-

=-0C{F(t)

-(-t).n

1

.

N n=0 sn+1 ri;-0

(_t)N+1.

tN+1 (...1)N+1,r e-st dt. 1+t 0 1+t , Nu is N 1 f ( ) - (-1)n

Tb

In dit geval is de restterm zelfs in absolute waarde kleiner dan de eerst weggelaten term. Aan (7.1) is dan zeker voldaan.

Aangezien recht-streeks p -Cooo -at oo _-t f(s) .

j

dt . dr ,-1 dt t+1 t+s 0 0

is hiermee de ontwikkeling (7.2), (7.3) teruggevonden.

C BesChouw

r 0+0

voor grote waarden van s. De benadering van

(-H-s) ss e-s

Om verder te komen stellen we

(7.6)

r(l+s)

= ss e-s 1-2TTs

e4( ) zodat

(7.7) dEf in

r(l+s)

-

) in s + s iln 2 r

.

Aangezien

r(l+s)

s P(s)

geldt de differentievergelijking

(7.8) A(s+1) -,a(s) - (s+i) in (1+

:Et)

Neem aan dat /c(s) het

origineel m(t) bezit dan geeft (7.8)

oo

e-st(l_c-t)m(t)dt = -1+(s+i)1n(1+

1)

.

0

Het rechtePlid van (7.8) kunnen we terugtransformeren met_behulp van de rekenregels. Het is wat plezieriger eerst de afgeleide van

het

rech-' terlid te beschouwen. Dit geeft de eenVoudiger uitdrukking

Stirling is (7.5) + ln(1+ 00 I

et

jr

tN+1 dt (N+1): s 1 0 sN+2

(28)

Men heeft namelijk

s+i 1(1 1

2 s+1) 7 2

s(s+1)

Het is duidelijk dat

1 .

t(s+1) 7 (1-e-t)e(t). Integratie naar s geeft

-t

ln(1+ 1)i-e

e(t)S

'

t

Aldus hebben we gevonden dat

t(let)m(t)

= ( -2-(1+e-t ),1 9(t)

t

dus ( 1 1

1)

2'

et-1 t

Ontwikkeling van m(t) in een machtreeks naar kleine t geeft als In ht

vorige voorbeeld een asymptotische ontwikkeling van icg,(5).0G m(t) voor grote

(7.10)

waarbij de B de z.g. coMiciftten van Bernoulli zijn:

1 1 1

2

0,

B3 = 0 B4 - - 30s' :5= 0, B6 .

4-2-etc

Laplace transformatie van (6.10) geeft

oo B (7.11) A"( n- 1 n.2 n(n.-1) of

(7.12)A,(s)1..-4)

I 1 1 12s

360s-In vele gevallen kunnen We geen volledige reeksontwikkelingen

af-leiden en moeten we ons_met_slechts .een of.meer termen van een reekS-' ontwikkeling.tevreden stelln.

Idezullen

b.v. eerst eens letten op het

gedrag van F(t) voor_t 7.7-.).0 en ,dat van f(s) voor

rRegel,

.Als voor t-->-0 F(t) = a +

dan voor s -*co

co

Bnn-2

m(t) =

E

.6 n=2.

1+e)

f(s) a 11(1tA4 + s1+14

Bij deze regel, waarvan het bewijs bijna triviaal is, moeten de pUntjes

(29)

uiteraard gelnterpreteerd worden als "termen van hogere (of lagere)

orde".

Ala A4.0 heeft men het belangrijke geval

(7.13) lim s f(s) F(+0).

s oo

Een soortgelijke regel zegt jets over het gedrag van F(t) voor

oo en f(s) voor s nml.

Regel

Ais voor t÷oo

.F(t) = a

dan voor s 0 f(s) a r 14-A

w..

+AA.

Deze regels mogen niet angekeerd worden zoals o.a. blijkt uit

a t .

s2+a2

Voor s geldt de tweede regel met ,a=0. Echter bestaat lim F(t)

t -4-oo

(30)

(8.3)

Definieert men echter

(8.4)

(8.8) J (z) - J '{z) 2

Ak + 1

8. Bessel functies

'De Bessel cties j1:4A;(z) en YAL(z) zijn gedefinieerd ala. zekere fundaMentele oplossingen van de differentiaalvergelijking

{8.1): z2 d + z df + kz

,2

)f 0. dz dZ"

Deze differentiaalvergelijking ontmoet men veelal bij problemen waar

cirkels en cilinders een rol spelen: cilindrische staaf, cilindrische buis, cirkelvormig vlies, cirkelvormige plaat, cirkelvormig meer etc.

Men verifieert gemakkelijk dat (8.1) een oplossing van het

reekstypeaje+i

bezit. Substitutie leidt nml. tot de recurrente betrekkingi=°

j(2)1 j)aj + aj..2 - 0- , We definieren in verband hiermede

op.

(8.2) (z) = (-1) (1z)1A+23.

AL

j! (A+j)!

We merken' op dat de reeks convergeert voor alle complexe waarden van

z en A.

Naast J (z) is ook J (z) een oplossing van (8.1). Echter zijn dit alleen onafhankelijke oplossingen als)u niet geheel is.

Voor volgt namelijk uit.(8.2) dat

J_m(z) (-1)mJm(z).

cos,wm j (z)-J (Z)

-A4 sin

dah

is

VOOri ã1le,.

y(z) een van J

nafhapkelUke oplossing.

De definitie (8.4) impliceert voor geheleA natuurlijk een liMiet-oyergang. Men heeft b.v. vbor,a=0

(8.5)

0(z)

=(.1!

(-1)j (iz)2j 3.0 j! j!

(8.6) Yo(z)

J) +(z)2J.

J.1 J! J!

Zonder bewijS vermelden we nog enige.gemakkelijk te bewijzen eigen-schappen.

(8.7)(z) +-J

(z) 2/m 7

jAi. -1 A.+1 z

JA!LSz)'

(31)

(9.12)

(8.13)

en voor Re/a> -1

(8.1k)

tA4',1

(t)

J7)(z)

=

Y(z)

J(z) Y(z)

- ya.(z)

J14.(z) .

tZ

Wel bewijzen we de volgende

Laplace-formula

Jo

(t)

-4-(s +1)2

Uit (0.5) volgt

met behulp van (6.7), (6.8)

oo2j

en (6.10)

ot

J0(t)

7 2:

(-1) (23)'

j=0

j!

j!

s2j+

oo 1

--

-2j

2

-1

=

2:

( = (z ) 2

j=0

Deze herleiding geldt

voor Re s >0 en

s

>1. I.v.m. het beginsel Van

analyti'sche voortzetting is

het resultaat echter in

het gehele

rechter-halfvlak Re s >0

geldig-Analoog beWijst

men voor ReA>

Zar.(#.-4)

tidaJ

/-4

(21/1)

=

5/4+1

Uit (8.13) kunnen we een asymptotische reeks

voor Wt) atleiden.

Denken we op het

rechterlid de Complexe omkeerformule toegepast, dan

zien we dat deze

wordt bepaald door de

singulariteiten s=+i van het

rechterlid. We onderzoeken daartoe het gedrag

van het rechterlid in

.

s=i. Stellen we s=ip

dan is

2/1:6

's2+1)"

(AL-4) f v27c.

j=0

1-27/-c

cro c

2j(i0aj4

1

feaJi)!

waarbij

(0.15).

co = 1

en

c

Terugtransformatie geeft

it

oo

e

j-Ak-i

j=0

(2t)31

P-A--ff+J

23ill+i+j

2_ 1.)cf.42_

i2

voor j al.

(32)

De singulariteit s=-i geeft de complex toegevoegde bijdrage zodat

Uiteindelijk is dus voor t

00

(8.16)

Jx(t)Y7

\,[2_ yit.cos

It- Ak+i- j

2- 1

-rct

"

(20J

-of

(8.17)

V7-,-27c

cos(t-i,toc-

+

0(t-3/2).

uit (8.4) en (8.16) volgt

(8.18)

YAM

2_

sin { t-DA,

WIc

0

92

C

Itt

(203

of

(8.19)

34(0 =VI

sin(t-ipAoc-

.1-?C)

0(t-3/2).

-Uit (8.17) en (8.19) blijkt dat JAG

en y

een zekere

overeen-komst hebben met de goniometrische functies cos en sin. Het

belang-rijkste verschil is dat het maximum van de absolute waarde van

J

elk

en Y.

voor t a000 tot nul nadert als t.".

A.

Zoals naast de cos en de sin de hyperbolische functies cosh en

sinh voorkomen heeft men de z.g. toegevoegde Besselfuncties (modified

Bessel functions) I

14

(z) en K

14

(z) welke oplossingen zijn van

z2

d2f

_L z

df

(z2+,42)f

0

dz2

dz

welke vergelijking uit (8.1) ontstaat door de substitutie z

iz.

Formeel zijn jidAiz) en YAL(iz) onafhankelijke oplossingen. Om echter

een oplossing te krijgen welke voor rene z zelf reel is definieren

we

(8.2o)

(8.21)

zodat volgens (8.2)

(8.22)

1

(z) .

E

1

(iz)"`+2i

,a

j=0 j!

LAJ,+j)!

Analoog aan (8.13) bewijst men voor Re/44>

-1-.44

(8.23)

' ti (t)

2

r(AL:4)

4

(s2_1)/44-2-

1 1

'

Re s >

Tat (8.23) kan men evenals dit bij (8.13) geschied is de asymptotische

ontwikkelihg van Ida(t) afleiden. Deze wordt bepaald door de

singulari-t

J

kt) IQ 2 Re

(J

1 e4,4 /

e-A --

7C i

4 e

,L....

r

il,.

-y COc

i- )-1-

L,

14 L V2w

j=0

(2t)3

(33)

telt s=1, de meest naar rechtsgelegene. Stelt men weer s=l+p dan is 2'4414.44)1

(s2-1)--AL4

= 1

1)j

C114-j-4)! r)-10-A-1-J-W.17

j=o

j!

i!

(-1)

V2x j=0 (8.28)

j 2je-j4

e/

2S1-A. K ( 2 v-;) At, -31-t co e j=0

waarbij c door (8.15) gegeven is.

Aldus vindt men de asymptotische ontwikkeling

t Co

(8.24) (-1)ic

(20-V21,ct j=0

Inderdaad blijkt dus I,44.(t) globaal het karakter van een

hyper-bolische cosinus te bezitten. Naast I

(0

verwachten we een analogon van Y (t). Evenwel is het gebruikelijk alsAk tweede standaardfunctie K (t) te nemen welke globaal met

et

overeenkomt.

Aangezien blijkens (8.15) c een even functie van jA, is,bezitten

volgens (8.24) i(t) en i(t)

voor t dezelfde asymptotische voorstelling. Het verschil van deze functies is dus in zekere zin asymptotisch nul. Dit maakt dan de volgende definitie plausibel

(vergl. 8.4)

(8.25)

Voor heeft men al8 bij (8.5) en (8.6)

(8.26) (z) =

1!

I

fl 2J

J! J. 12 I j=0 (8. 7) K0(z) = -{ ln

+/}I

0(z) +

yt.)

14+...+4

(12)2j j=1 j

j!

We bewijzen nu de volgende Laplace formule K (z) -7C 2

(Z)

-sin.Avn .

2-j tA"-j-i

5

_

cLO t-A4-j-1

t

(-Vt-TV

-1-j

, sin AM j=0

j!(/4+j)!(-A44.

-j -1):

j=0

.J! t-l-Ake-lit -1-/a

Inderdaad volgt uit (8.25) 2sIA'K (21f;)

-ix

sin,wtioc s

I. f:o

C :::1

Si

f7.)

sA"-i

1

(34)

De betrekking (8.128) betekent per'de.finitie

s*14 K

(2 Irj) =

f

t-1-/a dt .

ik

0

Substitueren we hierin s=z2/4,en t,-5),2t/z.dan komt er (8.29) K = jooi4(z) expl-iz(t+ i-1)1 t-17/4. dt

0

of met t.-4.et (of t

et)

(8.30) (z)

= I

expl -z cht +,htJ dt,

-oo

geldig voor Re z > 0,

Voor geeft

(8.30)

(8.31)

waeruit volgt dat

(83?)

(8.34) -z K0(z) cht dt 00 K (t) te),

et

. v 2t J

De afIeiding Van (8.34) berust rml. op

(t+1/t2-1/1 +(t-It2-1r

t

-(8.35)

ekt-1) = K (s)

i4

217271

hetgeen gemakkelijk uit

(8.30)

volgt. Ontwikkeling van het linkerlid

in

nischtsp

van t-1 leidt dan tot (8.34).

\ITT

e(t-i

.= (

De asyMptotischeottwikkeling van Ko(s) voor s-++oo volt met behulp

van

(8.32)

uit de ontwikkeling van (t2-1)--2- naar opklimmende machteh

van (t-1). Het resultaat is (we schrijven naar analogie van 8.24 uit-eindelijk t

i,p.v.

s) 00 4

}

(8.33)

K0(t) e + (-1)`i 232 (2 j- )2 2t j=1 p.(8t)3

Dlt is een speciaal geval van het algemener resultaat dat we eveneens

(35)

-3J-§9

T9ePass4t..ngen_op

partie:;le

differentiaalvergelijkingen

We!zullen een aantal fysische'processen bespreken'melka 61.1e sdhreven kunnen warden

door de

p.d.v.-(9.1) fc.. A V' =

5E-2 2 2

waarbij

.

Z

(operator Van Laplace)

en n een con,

zy'

DZ6-stante

De processen welke

aanleiding zeven to

(.1) zijd

grondwaterstroming

v

diehtheld

b diffus:ie v

concentratie

C warmtegeleiding v

teMperatuur

We bginnen onze bschouminon

mot de afleiding van (9.1)

voor

de.

grondwaterstroming.

.a

De Stroming van

compressibele vioeistof in een (isotroop) porous

medium wordt gekarakteriseerd door twee

scalars,diohtheidy en druk

p,

en eon vector q,de macroscopischa Stroming. Dichtheid en druk'hangen. semen volgons do toestandsvergelijking

(9.2)

Drukversdhillen verwekken

een stroom -CT

zodanig dat

(9.3)

q . -

grad p,

,a-waa rbij 'de Viscositoitvan de vloeistof

en k de z.g.

perteatiliteits-constante is. Da

hoeveelheid vloelstof welke per sec.

door een

vlakje,

de

stroomt is gelijk aan

(9.4)

q n do- k V-0

zn

maarbij ndo normaalvector van de,

voorstelt. Voor b.v. de

strbming in de x-richting door een vorticaal vlakje dy dz geidt dus

k Dr)

(9.5),=

C

-X DX

Hot principe

vat

onvernietigbaarheid van

rle matoric leidt tot

de

cOntinuteitsvergelijing weIke

we nu zullen

aflaiden. We geVen

hiervoor tweafieidingen.,

eon z.g. macroscopische

m.b.v.

vdtbrreke-ting en een microscopiSche

m.b.v.

elementairo:mathoden-1. Besehouw een brok medium met porositeit a ellu., nog ear functie van. de pleats mag zijn.

Dat de hoeveelheid

vioeiStof die per

seconde door

de

begrenzing

van binm:4) near buiten stroomt

gelijk moot zijn can het totale massaverlies per seconde wordt uitgedrukt door

(36)

f j

p

1

. 'ii. dcr

-+ A

iff

E. p dt # 0.

Volgens de stelling van Gauss kan men hiervoor schrijven

silf div(p 1.)dt

+NE R

dt = O.

Aangezien dlt voor elk brok geldt is

(96)4

div(p q) 4- i .a2ef = 0.

it.is de z.g. continurteitsveTgelijking. Uitesahreveq i-8 9.6)

9.7)a

A (JP. q.) +

--'-y. (j' q) +

A (r

qz ) ----

- 6

R

a.

BeschouW een elementair blokje (x,X+dx)(y,y+dy)(z,z+Oz). Het massatransport door het zijvlak bij x is per sec.

p.(x,y,z)qx(x,y,z)dy dz. Dat door het zijvlak bij x+dx is per sec.

f(x+dx,y,z)qx(x+dx,y,z)dy dg.

Het netto,verlies aan materie is dus (p qx)dx dy dz.

Dit tezamen met het transport door de overige zijvlakken geeft

z

(Y clx)dt

Anderzijds is het massaverlies.gelijk aan

-e kat .

Gelidkstelling levert (9.7)

Substitutie van (9.3) in (9.7) geeft

(9.8)

E

X

(r

kg

Eliminatie van p m.b.v. de toestandsvergelijking geeft tenslotte

(9.9) K A.? =

waarbij

(9.10) =

Ep,u

b

Diffusie van materie in een isotroop medium is gekarakteriseetd -p

door de scalar c, de concentratie, en de vector q, de massastroam,

AnaloOg aan (9.3) heeft ten de fundamentele wet

(9.11)

q = - D grad c,

(37)

-35-de Continulteitsvergelijking

DC

(9.12) div q + 0.

at

SUbstitutie van (9.11) en (9.12) geeft tenslotte

(9.13) D a c

at '

hetgeen weer van de vorm (9.1) is.

c Warmtegeleiding in een isotroop medium is

gekarakteriseerd door de scalar T, de temperatuur (b.v. C°) en de vector 7ci, .de warmte-stroom (b.v. cal/m2). Het analogon van (9.3), (9.11) is

(9.14) q -K grad T

waarbij K wel de warmte-diffusie constante genoemd wordt (thermal

diffusivity). De continuiteitsvergelijking is hier

(9.15) div q + c . 0,

waarbij y de dichtheid en c de soortelijke warmte is. Substitutie van (9.14) in (9.15) geeft-tenslotte

(9.16)

= ---

T

a t /

waarbij

(9.17) X, =

? C

De oplossingen van (9.1) kunnen we dus op drie wijzen fysisch interpreteren. We zullen hieronder enkele karakteristieke problemen bespreken zoals ze bij de verschillende toepassingsgebieden optreden.

Hierbij zullen we naast de Cartesische cobrdinaten (v,y,z) oak b.v.

cilinder-coordinaten (r,e,z) en bol-coordinaten (r,G, (p) gebruiken.

Voor cilinder-coOrdinaten kunnen we m.b.v. de substitutie

(9.18) X -÷ r cos e y r sin e z

afleiden dat A in (9.1) de betekenis heeft van

A = 2- (r a ) + Z2 +

(9.19)

r 'Dr ar

re De2 az2 '

We kunnen (9.1) met (9.19) in cilinder-codrdinaten oak heel

ge-makkelijk rechtstreeks afleiden b.v. in "diffusie-taal" en door

be-schouwing van de continuiteit in een elementair volumetje (r,r+dr)(e,e+d0)(z,z+dz) (zie a2).

(38)

Dit prObleem beSdhrijft b.v. diffusie in een buis

04 X too

waarbij

de concentratie slechts van x en t efhangt. Op t=0 is de buieleee. Vanaf dit moment wordt bij het uiteinde x=0 een bepaalde stof

geln-jecteerd, waarbij de concentratiec(0,t) constant gehouden wordt. Een andere interpretatie is warmtegeleiding in een staaf, waarbij het uiteinde x=0 op een constahte temperatuur gehouden wordt,

ter-wijl op t=0 overal dezelfde begintemperatuur v=0 heerste. We merken

hierbij op, dat de temperatuurschaal willekeurig is, d.w.z. it T in

C° dan mag then T door de lineaire functie v= «T+is vervangen.

De oplossing van (9.20) mib.v. Laplace transformatie gaat a.v. Als d7v=V(x,$) dan is met Probleem = v /s voor x=0, en natuurlijk V = 0 voor X=010.

Dit eenvoudiger probleem heeft de 9plossing

(9.21)

= Vo

exp-x V

it

Volgens (4.19) is het gevraagde origineel

(9.22) v = vo erfc

4T

2 2. 9 V 'DV K = -5-3E voor 0 < x

In de interpretatie van warmtegeleiding betekent dit b.v. dat de staaf 0<x< a bij x=0 een gelsoleerde wand bezit en bij x=a op

con-Stante temperatuur vl gehouden wordt. Laplace transformatie geeft

d2 s - vo v = dx" Probleem- I 2 V 3V voor x >0, .ax2 at (9.20)

V =

Vo v = 0 voor voor x=0, t=0 .

(9.23)

3V =.0

=v1

= vo voor voor voor .x = 0, x = a, t = 0. v v

(39)

Volgens de omkeerformule is

(9.25) v = v +

f

L

-37-In het bijzonder is voor x=0

(9.27)

v(0,t) = vl (v1-v0) n=0 M=0 (-1)n n+1 v1-Vo 1 V 7(0,$) = +

.

(9.28) s s ch qa . vo 2 e-(2m+1)qa oo . .7- -

t.g.-

(v.1-v0)

2=

(-1)m

. m=o . Volgens (9.21) en (9.22) is dus oo (9.29) v(0,t) = vo + 2(v1-v0)

2:

(-1)m. erfc 2

-K(+i 2

n 1c t (2m+-)a

21;7

waarbij L een verticaal met Re s >b is.

-De functie est ch

qXheeft

als enig type zingulariteiten 'gewone

s chqa

bolen in s=0 en de punten waarvoor ch 0.9=0 d.w.z.

22

.sn = , n=0,1,2...

a"

Het residu in s=0 geeft de stationnaire toestand v=vi. Met de resi-. duen sn vinden we de

oplossing-:

: ' gib (...1)n , ., . (9.26) v(x,t) = v1-(v1-v0) P+1-n=0

,22t

-;c(n+i ) -m a cos(n4)----1r"X . a

Voor t >> 0 is het rechterlid goed convergent maar als t erg klein is

moeten we veel termen nemen am een

redelijk nauwkeurig resultaat te

vinden. We kunnen echte.r op de volgende wijze hieraan tegemoet komen.

Volgens (9.24) is

Deze reeks is nu juist goed convergent als t erg klein is. De:resul, taten (9.27) en (9.29) vullen elkaar Ous.aan.

-met dv vodr x=0 en 1 voor x=a.

De oplossing'van dit veel eenvoudiger probleem is

(9 24 ). . 0

v1-V0

ch qx FE-14-1 waarbij q

=Vt-.

st ch qx ds,, S ch qa

(40)

Probleem III I (9.30)

z

r ' r. 571 - "li 'RE " pv) 1 'av v = v

Iv=

Oo r = a, 0 gt r < a, t = O.

Dit probleem beschrijft b.V. warmtegeleiding in een (oneindig lenge)

cilinder met begintemperatuur v=0 en waarvan de wand vanaf t=0 op

temperatuur vo wordt gebracht. Laplace transformatie gee ft

d I clV s + F. -

V =

dr met

V =

0 voor r=a.

Hieruit volgt dat V van de vorm

= A Io(qr) B Ko(qr)

waarbij q = \ift . Aangezien r=0 geen singulier punt kan zijn

is-alVas'b -B=0 Aanpassing aan de randyoorwaarde bij r=a geeft v 'I (qr)

31)

0 0

Io(qa)

We merken op. dat als functie van s analytisch is met gewone polen nml s=0 en die waarvoor I0(qa)=0. Zijn je! (j=1;2,3:..) de positieVe

hultunten

vanj (ft)o is thiss qa=+ip. Of 2

Pi

-2"

a

M.b.w. het oMkeertheorema en toepassing van r,::slOurekning vinden we

TN Kpj-C

4 Jn(o0i

v(r-,t)

= v [1 - 2 - e j=1 oj Ji(pj)

De numerieke waarde van de eerste p's is

.Pi.= 2.405. /32 5.520

163

= 8.654

De reeks

(9.32)

is slechts convergent als t klein. Om in dat geval

iets bruikbiars te vindeh moeten we

(9.31)

Ontwikkelen voor grote p (dus,00k:grote.q),Jeh vervolgens tenth voor term inverteren.. Beperken

we ons. tot -de.hoofdterm dan ,is voor p mits althans r niet klein is

(9 33)

7 tA

Vriexp

q(a-r).

(41)

Volgens (4.19) is dan

voor kleine t

(9.34)

Probleem TV

(9.35)

met

(9.38)

flit probleem beschrijft b.v een cirkelvormig reservoir.

hoeveelheid vloeistof weggel

III

v(r,t)wvo

erfc a-r

r

2V7t

a

(1, IL)

IF

.av r

de

productie

van olie of grondwater

uit

Uit de boorbuis (r=a)

wordt

een constante pompt. Laplace transformatie geeft 81s

bij

=

A.I0(qr)

+ B Ko(qr) ,dir 1

dr = T

en = 0

Dan voldoen A en B aan

A qa

I(q0

+ B qa K(qa)

en A

I0(0)

+ B Ko(qb) = 0.

Dan is dus in determinantvorm

Io(qr)

qa I(qa)

Io(qb)

v(r,00)

= v = 0 r = b, = t = 0. voor r = q voor r = b. Ko(qr)

qa N(qa)

Ko(qb) Io(qr)K (qb)-Ko(qr)I0(qb) 8 qa I(qa)K0(qb)-qa K, )(qa)I0(qb) a

< r

< b, r = a, 0,

We zullen deze uitdrukking

hier niet in al zijn algemeenheid besChouWen maar ons tevreden stellen met

de benadering die we verkrijgen door in

het rechterlid a-40 te nemen. Dan is

-

1

Io(qr)Kqb)-K (qr)I (qb)

(9.37)

v -

0 0

Io(qb)

Het rechterlid van

(9.37) is

een eenvoudige analytische functie met de polen s=0 en

s=s

(j=1,2,3...)

met s

=-K432/b2.

De pool s=0 levert de stationnaire toestand

of uitgeschreven

(42)

-Het residu bij s

levert met enig gereken (vergl. 3.6 en 3.27)

Jo(Pj ii)Yo(Pi)

I.v.m. (8.11 kan cut herleid worden tot

2

Jo(pi

ir5)

p32

4 (pi)

'

zodat tenslotte

(9.39)

Is in (9.37) ook b000

dan is

(9.4o)

Ko(q'r)

oo

j

(13r)

sot

v(r,t) ln r + 2

2:

-°-17-i 2 2

C3

3=1

Pi ji(Pj)

Aangezien volgens (8.28) Ko(a

Nr;)

2

n-7,(_

a 1 volgt m.b.v. de integratieregel Ko (a irs.) (3° -U 7' -4. 1

f

e a2

TE-Dus is uiteindelijk

(9.41) v(r,t)

f

eu

du

r2

kx,t

(43)

(10.1) 2 GelijkVormigheidregel (10.6)

gas)

4 Convolutieregel (10.9) Ti(s)

-41-Tweezdjdige Laplace transformatie

Bij sommige toegepast Wiskundige problemen kan men voordeliger

gebruik maken van de tweezljdige Laplace transformati:,,

oo

9(s)

F(t)t.

-00

We hebben reeds vro(,.ger gezien dat p(s) in een

z.g. convergentie-strook

<Re s <p

bestaat en dear can reziadere

analytische functie voorstelt. Meestal kan men

v(s)

budten dit gebied nog wel. analytisch

voortzetten. Een eenvouddg voorbeeld is

1 .pc

(10.2)

-1 .< Re s

Ca'

vts

Voor (10.1) galdt

complexe omkeerformule (zie § 4)

c+doo

st

(10.3) F(t) e

cp(s)ds,

c

<0.

2xi c-doo De voor (10.1) galdende rekenregels zijn

1 VerschUivingsregels

-(10.)4) ce(s-a) 4 eat F(t). (10.5) ea 1)(s) F(t+a). FIIN

F

'8' 3 Differentiatiere&-ls (10.7) s

v(s)

F(t).

(10.8) ds

gs)

-t F(t). oo 492(s)

jf

F1(t)F2(t-..0dT .

-00

Dezr: regcls kunnen hc:tzij rechtstreeks uit (10.1) afgeluid

worden het-zij uit de rEgels van de eenzijdigc

Laplace-transformatio afgeleid worden. T.a.v. dc convolutieregel morken we even op dat hier6ij de integratiegrenzen co- en +op zijn.

Andere eenvoudig te bowijzen Laplac -paren zijn

(44)

(10.11) (10.12) (10.13) (10.14) Re S < .

t() )

+ 0( t-a)p 7 Ch SS s- 5 tO(t+a) e(t-a)1 sh as 2 2

Ts

12

s t V; P

oxp-bla2

2 (10.15) K

(./

-s2 -b < Re s < b . 2 \ft2+a

Met behulp van tweezijdige Laplace transformatie lossen we nu het

volgende probleem op.

In een oneindig lange buis -oo <x<oo stroomt eon stof met

con-stante snelheid V in positieve zin. Bovendien

vindt

een diffusieproces plaats met diffusiecoOfficient D. Is c(x,t) de concentratie van de

stof Op tijd t en plaats x dan geeft het probleem aanleiding tot de

volgende differentiaalvergelijking

(10.16) a2c ac ac

v = 75E '

We neMen aan dat de begintoestand bepaald is door

(10.17) c 0(x) voor t O.

Het probleem is hierdoor bepaald. Randvoorwaarden zijn er fysisch ge-sproken niet, maar mathematisch zou men moeten zeggen dat voor

x-de. oplossing begrensd blijft.

Op (10.16) passen we tweezijdige Laplace-transformatie op de

lengte-coUrdinaat x (1) toe. Met

00 -sx (10.18)

r(s)

e

c dx

-00

is dus (10.19) De oplossing is (10.20)

hetgeen We.schrijven als

v 2 v2t

=

1 exp

at(

s- -05)

LED '

Uit (10.14) volgt met behulp Van de rekenregels

1

4

. (Ds?-vs)T dt 1 ; voor ., O. q -=''' -g-1 2 exp(Ds -vs)t,

(45)

en

. 1

(_xvt)2

S p =

.

exp

-5

2V7.5.

Iflpt

.X(1-Vt 2

)_

d y it 47: -J',____---

I

.

-

- -1----1-Dt

2 V 7cDt -co

exp

of tenslotte

(10.21)

c(x,t)

=

i(1.1-erfx-vt

2YDit

Het beschouwde problem kan

natuurlijk eenvoudiger opgelost

worden indien we i.p.v.

x

x-vt als (lopende) plaatsvariabele

(46)

volgt hieruit dat

(11.2)

of

(11.3)

§11. Servomechanismen

In de practijk Maken we nogal eens gebruik

van z.g. blokschematis..

Een blokschema is eeh netwerk van elementen waarbij elk element

een

operator 41 is die een ingangsgrootheid (input) F(t) transformeert

in een uitgangsgrootheid (output)41 F(t)

input

output

(11.5)

F(t)

In electrische systemen heeft

men de voorbeelden: weerstand,

impe-dantie, versterker.

We beschouwen hier uitsluitend lineaire operatoren d.w.z.

operatoren met de eigenschap

(11.1)

11.(m F

p G)

an F

+fi

A G.

We stellen ons voor dat hierbij als enig onafhankelijk variabele de

tijd t optreedt.

Een operator II kunnen we karakteriseren met bijvoorbeeld

zijn

responsie R(t) op de eenheidsfunctie e(t).

Dit betekent dus dat de

input 0(t) de output R(t) geeft. We kunnen 11.

ook karakteriseren

door de responsie X(t) op de eenheidsstoot cr(t).

Bij de input c/(t)

behoort dus de output X(t). Op grond van de lineariteit is volgens

het superpositiebeginsel

,t

ft

-a/

gr(T)d-c

j

X(t)dT

. oo

-oo

Aangezien

f J(T)d-c

oo

R(t)

X(v)d--00

x(t)

=

ad-f R(t).

roo

j

F(r)X(t-r)d.c

.

-oo

n.F(t)

Met'behulp van hetzelfde beginsel kunnen

we de output vinden bij een

millekeurige input F(t). Aangezien

ao

(i1.4)

F(t) .

Jr

,

_0.

(47)

-45-We verenigen deze resultaten in enderstaande tabel

input output cy(t) x(t) e(t) R(t)

=Jr

x(z)d-c F(t) 'G(t) = F(T)X(t-z)dt dF dG dt dt F(T)dt. G(-7)d-c -oo

Het principeschema van een servomechanisme is a.v.

-00

(11.8)

F(t)

6(0

x(t) I

Opdat de output G(t) zo goed mogelijk de input F(t)

volgt wordt m.b.v. terugkoppeling het verschil E(t) = F(t) G(t) als aandrijvende

kracht voor de servo gebruikt. Het blokje X(t) bevat i.h.a. een krach-tige energiebron. Een voorbeeld is de bediening van scheeps- of

vlieg-tuigroern.

Uit het schema volgt G(t) XL E(t)

of

(11.6) G(t) =

Jr

F(T)

G(r)1X(t-T)ft .

-oo

We passen hierop tweezijdige Laplace transformatie toe; Bezitten F(t), G(t) en X(t) de tweezijdige Laplace

transforms f(s), g(s) en

x(s) dan is volgens de convolutieregel

g(s) {f(s) - g(s)j x(s) of (11.7) g(s) - x(s) f(s) . 14-x(s) Noemen we x(s) de transmissiekarakteristiek

van het blokelr,ment X(t)

dan werkt het gehele systeem als een blok met

transmissiekarakteris-x(s)

tiek

1-Fx(s)

Toepassing van de omkeerformule op (11.7) geeft 2w1

G(t)

Jr

est

ELL

f(s)ds. 1 -oo+ci 1+x(s) G(t)

(48)

Nu is het fysisch ontoelaatbaar dat 1G(t)1 voor

t-400

onbepaald zou

toenemen. De servo zouden we dan instabiel toeten nOemen. Dit

impli-ceert dat de funOtie s(x)/(1+x(s)) geen polen in het rechterhalfvlak bezit en dus dat 1+x(s) er geen nulpunten bezit.

Als eerste voorbeeld beschouwen we. een servo met proportionele werking. Dit betekant dat bij de input 8(t) de output o&9(t) behoort zodat dus

R(t) =a e(t) en X(t)

c7(t).

De Laplace transformatie geeft'dientengevolge x(s)

= m,

De servo-operator is volgens het bovenstaande

m/(1+0)

of volgens (11,7)

(11.9) G(t) F(t).

Dit wil zeggen dat bij een proportionele working de output nooit

pre-cies gelijk.aan de input kan worden.

Als tweede voorbeeld beschouwen we een servo met integrerende

werking. Dit betekent dat bij de input

e(t)

de output A e(T)d-u -op

=p t 9(t) behoort zodat.

R(t) =p. t 6(0 en X(t) =A e(t). Hier

is.

x = Als zodat volgens (11.7)

g(s) . .43 f(s). Inversie.geeft G(t) p e-fit 9(t) * F(t) (11.10)..

p

f e-P(t-v) F(T)d-c .

-co

IS bijvoorbeeld F(t) 9(t) dan is (11.11)

G(t) = (1et)e(t),

zodat nu de output wel de input willekeurig klein kan bonaderen.

Als derde voorbeeld nemen we een servo met differentirende

wer-king. Bij de inpUt 9(t) hoort nu de output (91(t) ./e7(t) zodat R(t) .i'cr(t) en X(t)

ef(t)

Formeel is x(s) zodat volgens (11.7)

g(s) -

1f(s).

1+Irs

Is bijvoorbeeld F(t) ain't dan is

(49)

zodat tenslotte de servo-output de input met een faseverschil keurig

volgt.

Algemener kan een servo do drie besproken werkingen in zich ver-enigen. Als x(s) = m

firs

is dan volgens (11.7) (11.13) g( s) = f(s) . p+(l+m)s+is

De servo is stabiel indian de noemer van de breuk in het rechtorlid

geen nulpunten in het rechterhalfvlak heft. Men rekont gemakkelijk

na dat daartoe vereisb is dat

1+a, p en

latzelfdo token moeten hebben.

Is x(s) ingowikkelder van aard zodat de nulpuntn

van 1+x(s) niet

gemakkelijk bepaald kunmn wordan, dan kan men gebruik maken van het

zogonaamde criterium van Nyquist.

Laat men s over dc zuivar imaginaire as bewegen van -loo tot +ioo dan doorloopt x(s) een gesloten kromme welku het punt -1 zo vaak om-cirkolt als het aantal nulpunten van 1+x(s) in het rechterhalfvlak.

Doze eiganschap berust op de volgende stalling.

Is w= q(s) eon functie analytisch in en op de gesloten kromme-C

met uitzondering van polen binnen C, en heeft T(s) goon nulpunten op

C, dan beschrijft w eon beeldkromme C', welke de oorsprong in het w-vlak zo vaak omcirkelt als het exces van de nulpunten

boven de polen van y(s) in C bedraagt.

Het bewijs van doze stalling kan in de volgende regel worden samengevat -(11.14) 7lc Sr dw 1

2wi

ds.

2i

p(s)

We eindigen onze beschouwingen met eon "technisch" voorbeeld

diFF

las 3

Twee assen warden in hun relatieve positie vergeleken

door eon dif-,

ferentiaal, Het verschil E bestuurt een servo met proportionele actie

K, differentlerende L en integrerende M. De

servo drijft een last met servo

(50)

traagheidsmoment J aan. Een demping F vertraagt echter de output

evenredig .met de snelheid

eo.

De vegelijking van het systeem is

d2eo deo (11.15)

1K+LA-+Mil

---2 + F dt ' . dt dus wegens t= E) -

e

i o (i1.16)

.r

(E) s2J + sF 0C

e

m s2J+s(L+F)+K+

F

De stabiliteitseis is hier K(L+F)>

Cytaty

Powiązane dokumenty

For pumping mode AWE systems, DC- link voltage control is a non-trivial task due to the bidirec- tional power flow: the underlying DC-link dynamics are nonlinear and non-minimum

[r]

Finałowym etapem odbioru części werbalnej i wizualnej tekstu jest etap dialogu, czyli współtworzenia, emocjonalnego i intelektualnego włączenia się odbiorcy. Cel takiego

Wykazana wyraźna zależność wartości pęcznienia swo- bodnego od parametrów, takich jak powierzchnia właściwa i pojemność sorpcyjna oraz wilgotność gruntu w stanie

When evaluating Spearman’s rank correlation between the measured variables, it was observed that the number of points received in the Beck Depression Inventory increases with

This paper investigates the use of both statistical regression and a machine learning technique, arti- ficial neural networks (ANN), for developing CPT based correlation between

Wydaje siê, ¿e coraz bli¿si jesteœmy zrozumienia wzajemnych powi¹zañ pomiêdzy doœwiadczeniami wczesnodzieciêcymi, w tym przede wszystkim rodzajem przywi¹zania, predyspozycjami

If the sugarcane–ethanol supply chain is used to support the emer- gence of a biojet fuel supply chain, our results suggest that in- creasing the level of gasoline