TECHNISCHE LiCE.E.Se..;00-1 ONDER-AFDELING DER SCHEEPSBOUWKUNDE tr4G
MATHEMATISCH CENTRUM
2e BOERHAAVESTRAAT 49 AMSTERDAMAfDELING TOEGEPASTE VVISKUNDE
College Toegepaste Wiskunde 1960/61
Laplace transformatie door
is a non-profit institution aiming at the promotion of pure mathematics and its applications, and is sponsored by the Netherlands Government through the Netherlands Organization for Pure Research (Z.W.0.) and the Central National Council for Applied Scientific Research in the Nether-lands (T.N.0.),by the Municipality of Amsterdam and by several industries.
Vborbeelden van
(1.5).
(1.6) (1.7)
(1.9)
College Toegepaste Wiskunde
1960-1961
door
Prof.Dr. H.A. Lauwerier
Laplace transformatie 1. Inlaiding 1)
Onder de Laplace getransformeerde f(s) (Laplace transform) van een functie F(t), welke
gedefinieerd is voor t0,
verstaan
we
(1.1) f(s) d2f
ps-st
F(t)dt,0
waarbij s een rene of complexe veranderlijke is.
Vaak schrijft men
(1.2) f(s) =0C F(t) =
Het verband tussen F(t) en f(s) drukt men vaak symbolisch uit door
(1.3) F(t) f(s).
De functie F(t) gebruiken
we slechts voor positieve waarden van t
hoewel F(t) natuurlijk ook voor negatieve
waarden van t zin kan hebben. Om dit goed uit te laten komen schrijven we soms F(t)e(t), waarbij 9(t) de z.g. eenheidsfunctie is nml. 0 voor t < 0 (1.4) e(t) voor t (1.3) zijn
8(0
,
r
+,40 tAL 9(t) Ab > -I, eat e(t) 1 s-a (1.8) sin at e(t) a s2+a2 cos at e(t) s s2+a(1.10
in t 9(t) "s-1.-11 s 9 (i'constantevan Eule0.
) Literatuur o.a. R.V. Churchill. Modern operational mathematics in engineering. Mc Graw-Hill.
f(s) convergeert in een rechterhalfvlak Re s en is er een
reguliere analytische functie. Bet bewijs volgt in twee stappen.
le stap
Is
f(s)
convergent voor s=so dan ook voor Re s >so:Bewijs
-s,t
Is (1)(t) de onbepaalde integraal van e F(t) nml.
(1.11) (t) =
t
-s F(T)dt dan is-(s-s)t
-s t foo -(s-s, jt f(s) =I
e - { F(t)idt = i e '' d 4)(0, 0 0waaruit na partine integratie volgt dat
co -( -s,jt
(1.12) f(s) .
(s-so) -f e `) cp(t)dt.
0
Nu is
(PM
continu en uniform begrenSd zodat b.v. Icb( ).1< M. Is Re(ats),. 4 >0,dan blijkt volgenS (1.12) f(s) dua te bestaan.Uit deze.eigenschap volgt het bestaan van een halfvlak Re. S
Waarbinnen f(s) convergeert en waarbuiten f(s) divergeert. Over de rand Re s= m kunnen we,geen uitspraak dOen.
2e stap
Voor Re s a is f(s) differentieerbaar en is
(1.13)
fls)
- Of e-9t t 7(t)dt. Bewijs.Op grond van (1.12) is het voldoende am aan te tonen dat de afgeleide
van oo -(s--s )t
g(s)
j
e - (15(t)dt,o
bestaat en dat differentiatie achter het integraalteken geoorloofd
We moeten dus aantonen dat
oo -(s-s )t
lim .1g(s+h)-1221(2s)
h--4,0 I
+ Of e t 4)(t)dt
Stel nu E. 1
Re(s-o0.
Overso kunnen we vrij beschikken. We zorgen
3 ,
nu. dat Re(so-m)= zodat dus Re(s.s0)=2E . Verder nemen we Vo6r de uitdrukking tussen accolades kunnen
we schripen
-3--(s-so)t e-ht-1+ht 4)(t)dt. WO schatten 8.v. exp-(s-so)t 1 = exp-2 E t e-ht-l+htl_
l(ht)2/2:-(ht)3/3!+.1-silhit2
eXp 6 t, 141(t)1 < M,De bovenstaande integraal wordt dus gemajoreerd tot
et
MI IIM1h1 e t2dt = h .
0 63
Inderdaad convergeert dit voor Ihl --tp0 tot nul.
Aangezien nu bewezen is dat f(s) een analytische functie is, is f(s) ohbeperkt differentieerbaar. Aldus is
dn
(1.18) p(s) (..1)n foo e-st
F(t)dt.
dsn
"
0Voorbeela
Volgens (1.8) convergeert
X
sin at voor Re s0 en is er Oen analytische functie met polen s=+ia weIke op de rand van. het conver-gentiehalfvlak liggen.
a De Laplace-transformatie is hoMogeen en lineair, d.w.z.
(2.1) ciC
(a1 F1 +a2 F2 )
= a1CF1+aCp2.
2 .-b Gelijkvormigheidsregel Voor a >0 is (2.2) F( t) = f(1). c. Verschuivingsregels Voor a >0 is (2.3) F(t-a)9(t-a) = -as,f(s). Voor elle a is
eat
F(t) f(s a). d Differentiatieregels e Integratieregel (2.8) (2.9)f0
0 -st e F'(t) s f(s) - F(0).. Fu(t) s2 f(s) - s F(0) - F1(0). t F(t) 4:fl(s). (t)dt = f ConvolutieregelAls- de convolutie van F(t) en F2 (t) fredefinieerd is door
def et (2.10) F1 (t)* F.2f = j F1(m)172(t-tT)d 0 dan. is (2,11) 171(t)*F2(t) f1(s)f2(3).
De regela a, b en c behoeven nauwelijks toelichting. De dif-ferentiatieregel (2.5) wordt bewezen m.b.v. partigle integratie
nMl.
Herhaaide toepassing van deze regel levert een uitdrukking voor de
Laplace transform van F(t)
voor willekeurige n. De differentiatie,regel (2.7) volgt door differentiatie van beide leden van (1.1).
co oc
e-st F(t) s
jr
0 0
o-st
-5-I.h.a. volgt ui (1.1)
dat-(2.12) lim f(s) 0,
s --> oo
hetgeen overigens een belangrijke nodige voorwaarde is opdat f(s) de Laplace transform van een zekere functie F(t) is. Echter behoeft het rechterlid van (2.9) niet noodzakelijk te bestaan (verg. 1.5
en
1.9). Bestaat het rechterlid van (2.9) dan volgt deze regel onmid-dellijk uit (1.1). Evenzo
leidt men (2.8) gemakkelijk uit (1.1) af.
Aan de convolutieregel f moeten we meer aandacht besteden.
Hierbij kunnen'we het ons gemakkelijk maken door ons te beperken
tot die klasse F functies waarvoor
,b
10
J
IF(t)Idtbesteat voOr she > 0 0
2o F(t)I
begrensd in elk interval (a,b) met < a < b <co. We bewijzen nu de convolutieregel (2.11) voor het geval dat
71
en F2 tot de klasse F behoren, en
f1 en f2 voor zekere s absoiuut
. convergeren. Dan is f (s) f2(s) -set rcx) e-su F2 F1 (c)dt.j (u)du 0 oo / (t)dt
J
e-skt+u) 2(u)du 0 oo ooF1()dt f
-su F (u-t)du 0 oo e-su du 0 0 F1(t)F2(u-t)dtFl*F2"
Men bewijst gemakkeIijk 'd.t de
cOnvolutie commutatief en asso-ciatief is, d.w.z. (2.13) F
P72
F21
en (2.14)(F172)F3
F1 44 (F2 F3).Voorts kan men
gemakkelijk aantonen dat voor functies F en F2
uit
de
klasse Fc de(3.5)
(3.8)
(3.9)
f(s)
3:-ToePaSsIngeh
De Laplace transformatde
kan
o.a..toegei5ast-worden órnaan-vangsprobletnen
bij
bepaalde gewone differentiaalvergelijkingen gemakkeldk.op te losSen. Deze diffeVentiaalvergelijkingen toetenlineair zdjn met constante coefficienten. Hetcalgemene type is, als D=d/dt, (3.1) +an)F(t)=G(t), met de beginvoorwaarde (3.2) t=0 F=b F =b F(n-1)10 1 n-1'
De behandeling van dit probleem lichten we toe aan de hand
vat
het volgende voorbeeld:GeVraag0 een oploaaing van de differentiaalvergeTijking
2-(3.4) 03F +
d F dF-t
- 8e t >0dt- dt
met de teginvoorwaarde
t=0 F=FI=F"=0.
We':gaan uit van de veronderstelling dat de
gevraagde.oplo8-Bng
exponentieel vbegrensd-is, d.w.z.'(3.6) F(t) =
0(e+t)
voor:een
Zekere
posdtieve ef_negatieve o. In dat geval kunnen wemet..toepasiAng van o.a. de regels (2.5) en (2.6) en formule (1.7)
de LaplaCe:getransformeerde van (3.4) schtijven als
Vergeldjking
(31.7)
-(s3+s =8-s+1 '
waatvan de oplossing triviaal is nml.
(s+1)3(s-1)
Net behulp van partiele breukspldtsing is dit
2 4 -1 1 f(s)
=4-T
-S+1 x 9 (s+1)2 (s+1)-) Volgens 1.6) en (2.4) is dus (3.10) F(t) = et-(1+2t+2t2)e-t. Achteraf blijkt dat (3.6) geldt met oc=1.We lossen het probleem (3.4) en (3.5) ook' nog eens op een iets meer algemene wijze op. Vervangen we het rechterlid van (3.4) door de voorlopig nog onbepaalde functie G(t) dan gaat (3.7) over in
(s3+s2-s-1) f(s) = g(s), zodat
(3.11) f(s) - 1
g(s). (s+1)2 (s-.1)
Teneinde dit terug te transformeren passen we de.convolutiestelling
toe. Aangezien 1/4 1/4 1/2 (s+1)2(s-1) s777 5+1 (s+1)2 is (3.12) Volgens (2.11) is dus (3.13) F(t) 1 11,-IL(1+2t)e-t1 4I-G(t).
Indien G(t) = 8e-t vinden we natuurlijk met behulp van (2.10) het re-sultaat (3.9) terug.
Vervolgens geven we als toepassing de behandeling van een een-voudige electrische schakeling. We beschouwen een circuit met een zelf-inductie L, weerstand R en capaciteit C. Is dit circuit (zie figuur) aangesloten op een spanning V(t) dan gelden voor stroomsterkte I(t) en
ladingsdichtheid Q(t) de differentiaalvergelijkingen
(3.14)
We nemen aan dat op het tijdstip t=0 zowel
I=0 als Q=0. Dan geeft
Laplace transformatie (3.15) dus (3.16) 1
.1
t (s+1)2(s-1) e - (1+2t)e-t dI g L + RI + = V(t) dQ dt dt = °-7-SLY+RI+17=7
s 7 - I
= 0 , s2LC+sRC+1 SC7
Stelt men b.v:
(3.17)
/-1-= ---
.
;4'7=-1 ' .-II,
f--ri,
waarbij
v2)
0 (d.w.z. 1, ree1 en positief), dar kunnen we (3.16) lets eenvoudiger schrijven als(3.13) I = sv .
2 °
(S+11) 1-V".
Het origineel I(t) kan.met behulp van de convolutiestellins ujt het origineel van de factor
1,{(st)24.}
-1en Vi(t) afselcid worden. Gebruik makend van de verschuivingsregel leiden we uJ_t. (1.0) af dat(3.19) s, in lit.
( S-F,41.)2+)?
Dus is
(3.20) I(t)
, e
sin v t V' (t).Is b.v. V(t) = E, dus een constante e.m.k. dan is :.:envoudig
(3.21) I(t) = e-A4tsin vt.
Het geval V(t) = IP. sin w t is aldus oolr c-Pnvo-- to behandelen (werk na!).
Tenslotte geven we een voorbeeld van een iF:ts ingewikkelder
net-werk, waarbij eveneens voor t=0 de rusttoestand
herst.
R R 12
IC.
(3.24)
Y2
Toepassing van de wetten van Kirchhoff ::.;6eft met6en in.4:-taal V= R(1.1
4- -1,),
(3.22)
L 0 sR + c- - )
waaruit o.a. volgt-dat'
(3. 3)
2-:V
R(sRCI-2)
Is b.v. V=E (constant)
Iden is .dus=F _
2'
sR(sRC4-2) SR sRC-F2 zodat I2(t) = 1 -2t R C 'graal oo
-oo
absoluut voor Re s c,
dan,geldt-r(s)
-St
F(t)dt c+ioo e (4.6) F(t+0)-FF(t-0)1 27ci s c,-cp(s)ds. c-ioo 4. De complexe omkeerformule.Naast de in het voorafgaande besproken (eenzijdige) Laplace transformatie (1.1) Ran men vaak met voordeel ook de z.g.
tWeeZij-dige Laplace tranformatie
beschouwen t.w..
(4.1) y(s) d2f
f°°
e-stF(t)dt.
-oo
Omdat we kunnen schrijven
(4.2) y(s) = e oo
F,t)dt + est F(-t)dt
Ran de theorie van de tweezijdige Laplace transformatie zonder moeite uit die van de eenzijdige soort onmiddellijk afgeleid worden. Anderzijds Ran men de eenzijd-ige Laplace transformatie
als even speciaal geval
van de tweezijdige soort beschouwen. Daartoe dient men slechts F(t)=O voor t< 0 te definig.ren.
hit de hoofdstelling van §1 volgt b.v. dat
cp(s)
conver-geert in een verticale strook ot R.e s <73'i en er een reguliere
analytische functie is. ' Voorbeelden (a> 0) (4.3) e-alti 2a 2 s2 -a 4 Re s 4 a, 0 (4.4) 0 < Re s <1, 7 TiFirE (4.5)
exp-at2Vitexp
2-co <Re s<oo.
a
7F
We beschouwen nu het algemene probleem hoe uit eon een- of tweezijdig Laplaceigetransformeerde het origineel F(t) terugge-vonden Ran worden. In eenvoudige gevallen Ran men F(t) met
be-hulp van tabellen
vinden. In het algemeen echter Ran F(t) gevon-. den warden Met behulp van de volgende hoofdstelling
OmkeerStelling
Is F(t) v-an begrensde
inte-Bewijs
De omkeerformule (4.6) berust op de-omkeerstelling van de
Fourier-integralen welke o.a, in het vorige coilc:,ge.(Toegepaste Wiskunde
1959-1960
§13) behandeld is. Men heeft nml.Ala
(4.7)
dan is (4.8) (4.12) 00 g( u)f
-itu f(t)dt -oo itug()du.
f(t)S = CfiU,
e--ct -F(t)z-f(t).Volledigheidshalve schetsen we nog even in grote trekken het bewijs van (4.8). Op grond van (4.11) moeten we dus beschouwen
00
1
i
TliM
etU
d f(T)c.vt .27c
oo -
-00
In verband. met (4.10) kan de integratievolgorde verwisseld worden. Voeren we de integratic- near u-uit dan komt
op , oo 1
r
sin
co (.-.E -t ) ( 2 r sin co V fit+-c)+f(t-r)d, fT)d.c = lim - j lim --1E J-c -tlc
.03 ..!!-* CO 0 T 20
--+ oo -ooDe laatste fase van het bewijs berust co het felt dat in de laatste uitdrukking alleen de omgeving van "C=0 bijdraagt en dat
oo
sin u
= .
0
Deze stelling geldt als f(t) van begrensde variatie is, genormeerd is, d.w.z. (4.9) f(t) i if(t-1-0)+f(t-0)1 en als (4.10) . ,00 f(t) dt
<00.
-cc)De oneigenlijke integraal in hut rechterlid van (4.8) client hierbij opgevat te worden in de zin van
(4.'11)
lim
jpw.
00
So Ac A
A
dan is
We besehouwen eerst het geval t > 0. Naast de integratieWeg L beschouwen we de gesloten contour bestaande uit het stuk L
s
< o
) vanL en een halve cirkel C
middelpunt c en straal co links van L. We zullen dan aantonen dat
27ci = lim 27ci
a
(4.13)
--+ CO
Lw
hetgeen niets anders betekent Aan dat(4.14) lim
)( = 0. 00
Cw
Dit blijkt a .v. Stel s=c- wei9
211ci
si
C-S!'
o I 1 ds 1 -n-v/I
1 exp(- wtei(P 1 --fn )1 dql. g w I0)C f -(
s)1
1 rfc - i.
M j exp(- wt cos cp ) d cp =Mf2 ekp(- cot sin
4
0
0
Gebruik makend van de ongelijkheid
(sinuegrafiek!)
(4.14)2
sinr
11. T voor 0.< cp <in.
zien we dat de laatste majorant voor w
oo tot nu1 nadert.
ça)
We merken op dat de omkeerformule (4.6) zowel voor tweezijdige als voor eenzijdige Laplace getransformeerden geldt. In het °erste geval ligt de verticale integratieweg (c-ioo ,c+ioo )
welke we vaak met L zullen aanduiden binnen
de convergentiestrook, in het tweede geval ergens rechts van de convergentiegrens.
We zullen de omkeerstelling eerst eens toepassen op enkele ons bekende voorbeelden en vervolgens enige nieuwe resultaten afleiden.
a p(s) =
s2so
Re s > R eSo°
at
We weten uit (1.7) datr(s)
de (eenzijdige) L.T. is van e o .
We kunnen dit a .v. uit (4.6) afleiden (zie figuur) A
Aldus geldt voor t > 0 I .1c4 s: e F(t) = lim 1 ds.
2d
,. .
5.-SAangeZien de geSloten contour (in positieve zin) de pool
so omsluit
is volgens"de residustelling
sot
F(t) = e , t > 0.
Is daarentegen t <0 dan passen we hettelfde principe toe maar nu met een rechts van L gelegen halve cirkel. Aangezien nu geen pool wordt omsloten levert de omkeerformule
F(t) = 0, t< 0,
juist zoals behoort.
p( s)
2 2 3,
S +8
a >0,
De getransformeerde heeft de polen fla met de resdduen Handelend als boven vinden we voor t >0
-iat
F(t) 2 s' + =. cos at.
97(s) th as
a >0, Re s >0.
Bij dit wat gecompliceerdor voorbeeld heeft ip(c_7) een oneinddge reeks polen nml.
Re s > 0 (zie 1.9).
n=0,+1,+?...
In ditzeval dient het principe (4.13) met enige voorzichtigheid gehan-teerd te worden aangezden C. niet door en pool mag gean. De. beWe-ring (4.14) geldt dus zeker niet voor contdnu variabele w. Vervangen
-13-(4.15) lim
f
=0
n -*oo
Cton
maarblj C reeks halve cirkels is met telkens grotere straal
dan is alles in orde.
In het boVenstaande voorbeeld kiezen we de Cwn-b.v. als halve cirkels met de oorsprong als middelpunt en straal nw/a zodat de imaginaire as
juist halverwege twee opvolgende polen gesneden wordt. Formeel is de zaak eenvoudig. VOor t >0 is
op s t oo
F(t)
2:
e n Residu thas 2 exp(n+i)7cti/a-oo S =S
-00
waaruit volgt dat
(4.16) F(t) = (4.17) S F(t) = 1
t
F(t) =-1 00 sin(n+4).mt/a n+2=2 Voor t=0 is natuurlijk F(t)=0.Een andere methode om s-1th as to inverteren bestaat hierin.om de Laplace getransformeerde op een geschikte wijze in een voor. Re s
convergente'reeks to ontwikkelen en term voor term terug te transfor-meren. Men heeft bijv,
th as1
=- 1-2e
-2as:+2e-4as -6as.-2e +...1
e(t)-20-(t-2a)+2e(t-4a)-2e(t-6a)+... Aldus is
met m=0,1,2,...
De twee uitdrukkingen (4.16) en (4.17) zijn natuurlijk aequiva7
lent. Deze gelijkheid ken ook gemakkelijk rcohtstreeks aangetoond word en
-aVs
(s)=.
, a 0, Re s >O.In alt geval heeft p(s) een
vertakkingspunt in s=0 zodat toepas-sing van de residustelling hier geen zin heeft. De contour L mordt nu gedeformeerd als in onderstaande figuur is aangegeven
voor 2ma < t <2(m+1)a
zodat uiteindelijk F(t) = I
-of
De gesloten contour ABFEDC bestaat uit de verticaal AB met Re s=c,
twee cirkelbogen van een cirkel met straal w en s=c als middelpunt, de stukken FE (- w < s < -e, arg s= ) en CD ( - oa<s< --E, arg s=-
lt
)van de vertakkingssnede langs de negatief ren.e as en een cirkel met
straal 6 en s=0 als middelpunt . Uiteraard is 0 < E< Aangezien de
genoemde contour een regulier gebied van
T(s)
insluit, is de contour-.integraal nul. D.w,z.
f=
J
f
f
AB AC+FB CD+EF DELaten we nu 8 -+0 en o.-÷oo dan blijkt in de eerste plaats als bij a
de bijdrage van de. cirkelbogen AC en FB tot nul te naderen. Voor de
6-airkel isf
est-a Vs lim ds = dT = I E -4 0 2%i DE s Tenslotte isjr
est-Ss
I -tu sin a coeis/
1 U . du lim dB -co-4
oo 2wi W CD+EF 0 E-4.0-tu sin a4u
-
--u- du
F(t) =
f
e-tu du-co
Dit resultaat kan nog Jets verfraaid worden. Differentiatie naar a
Aangezien of F(t) =
F=
=1
= JP° e- u2c.os au du = -oo oo exp _(u ia )2 -co 2 exp _ a kt ° voor a=0 is 1 f 71 f -in-c j exp(-___v )dv = Oa /ft 2f
Dat- _v2 _ e dv = 'I Tic 0 a 2 F(t) = erfc a 2rt erf a2 74T3
du a2i
-00
re-tu
2+1audu =Het resultaat (4.18) d.w.z.
(4.19) erfc --L._
e
2rt ' 5
kan op de volgende wijze
rechtstreeko
verkregen worden. We bewijzen daartoe eerst dat-afg 1
a2
. e (4.20) exp -r7 =
Fa
-'''
' Vg o 2 1a2
1 , 2 N exp - 4-7-t- = o-F---- J. exp-ksu2 + -a-,sidu - ; j(exp-'
2 a
s
v 1 )dv:4v2
A.;
Vw -oo 4u' Vws-oo
1
=e
Het komt er dus op neer te bewijzen dat
00 2 0 (4.21)
exp-(v- a-)dv =
.-00
2 Stel daartoeV -
= W dan is vl = lw +1/ilm2+c2 voor 0 <11 < oo en -oo w < co enV2 =
11NW C
2 4 1 2 2voor -co
<V
<0 en -oo c w< op.- Het linkerlid van (4.21) gaat dus over in
Jr
-w2
co e dv Cc 1 2 0 IN -Fi
dw =100
e-
v +v dw dw dw 2 -oo -coe-w2 dv2
-00
co 0 =f
0-14 dw = Vic q.e. -00Integratie van (4,20) naar a levert tenslotte 4.19).
a2
2 ex127.(v 2v )5. Hesonantie bij lineaire systemen Zoals bekend bepaalt de gewone d.v.
(5.1)
mR + b* + cx
= 0,
waarin m,b en c constanten zijn i.ha. een gedempte slingering b.v.
(5.2) x = e-7't cos at
en
(5.3) x.= e_ Tt.
De betekenis van A en T blijkt indien we (5.1) in de volgende vorm
brengen. (5.4)
+7°2 + 6-21X = 0.
Voegen we nu een periodieke uitwendige kracht toe b.v.
a
cos w t dan vervangen we (5.4) door
(5.5) 4-7\)2 + 6-2 } = a cos cat.
Is het systeem op het begintijdstip in rust, d.w.z.
(5.6) x = X = 0 voor t =
dan kunnen we de oplossing van (5.5) en (5.6) natuurlijk
gemakkelijk
met de gewone hulpmiddelen Vinden. Wij passen
nu e.ens Laplace
trans-formatie toe. Er komt dan
(s+702+ a-21 -x = a s 2 2 S -f- (.4 zodat 17-a s 2 2 2 2,
i(s+A) + G f
IWe kunnen nu het amkeertheorema
toepassen en gebruik maken van de residurekening. De polen s= +iw bepalen de opgedrongen trilling. De polen
S= A +16'
bepalen de (gedempte) vrije trilling. Voor CO
is de vrije trilling weggedempt en behouden we slechts de opgedrongen beweging. M.b.v. de residuen van s=*iw is dus
e Cat
(5.8) x(t) = a Re
(12,4.702+ T2 0(e-7t)* Men rekent
emakkelijk na dat de maximale amplitude optreedt voor
0 2
= (aangenomen dat
Is 7N=0 dan geldt (5.8) niet meer.
De eesiduen bij s=+iw en S=-1-1T geven nu
-(5.9) x(t) - - .5
(cos wt-cos
Men, ziet Oat de amplitude voor cO-4. onbegrensd toeneemt. Inder7
daad geeft limietovergang
(5.10) x(t) = t sin
T t.
Dit resultaat volt natuurlijk ook uit (5.7) nml.
5E.
-(
as
a d / 12 -2-7 -6-s- k -2-7)
+ T )
S +CrHet bij (5.10) cptredende verschijnsel heet resonantie. Daze resonan-tie verraadt zich blijkbaar in de Laplace transform door het optreden van cen dubbele pool. We lichten dit nog even nader toe.
We nemen aan dat de Laplace transform f(s) o.a. de dubbele pool
s=iw bezit. Volgens de complexe omkeerforMule geeft dit een bijdrage
welke bepaald is door het residu van est f(s). Is b.v. voor
so=iw (5.11)
r(s)
dan is het residu van est
a + 2 s-s + c + f(s) gelijk can
iwt,
kat+b)hetgeen voor t--0-oo.divergeert.
Uiteraard treedt in versterktc mate resonantie op indien f(s) eon meervoudige pool bezit.
We passen dit principe nu eens toe op een wat moeilijker gavel nml. de trillende snaar. De diffcrentiaalvergelijking is met passend gekozen eenheden D'-11 Be-1/ = -I-
17(Xtj
ax at (5.12) .voor x=0 en x=.7cis 11=0 voor t=0 is u= . 0. DtLaplace transformatie maakt
hiervan
eon gewone d.v.c12-u:
(5.13)
= S
f(X,S)
(Tx-waarbij
(5.120
f=0 voor x=0 enx=7:
Met behulp van de methode van de variable der eonstanten stellen
we
(5.15)
= A(x)sh ax B(x) h s(-rc-x).(5.18)
-19-De keuze van de standaardoplossingen
sh ax en sh s(c-.x)
is bepaald door de eisen datde..6.en
verdwijnt voor x.0 ende
ander voor x=ic. Nodig Is dit niet maar wel vergemakkelijkt deze -keus de volgendebe-rekeningen. Voorts stellen we
1-71.)c --- s A(x)ch ax - a B(X)ch s(7c-x).
Dan moet dus
Ax sh ax + B sh s(m-x) 0
en
S Axch sx - s
Bch
s(7c-X)
= f.Hieruit volgt met inachtneming van de randvoorwaarden (de keuZe van de standaardoplossingen wordt nu begrijpelijk)
,Tc s A sh - j f(y)sh s(m-y)dy en s B sh - fox
f()sh s d.
Substitutie in(5.15)
geeftv
(5.16)
Ti(x.,$)
_ 1 ish axI
f(y,$)sh s(irc-y)dy +s sh 87c x
x
+sh s(7*-x) Jo f(y,$)sh. q d0 .
We zullen hier sheen het bijzondere geval bestuderen waarbij F(X,t)
niet van x afhangt. Dan kan
(5.16)
herleid warden tot(5.17)
71..(x s) = 212_21L1251:2-111LEE___f(s).
2 ]
s chs.ic
De nulpunten van sh sw nml. s.+ni corresponderen met de eigentril-
_
lingen van de snaar. Hangt de uitwendige kracht F van x-af dan morden i.hya. elle eigentrillingen opgewekt. Hangt F niet van x af (of is F symmetrisch t.o.v. het midden van de snaar) dan heeft men volgens
(5.17)
slechts te maken met de oneven eigentrillingen .s.+(2m+1)i._
Er treedt resonantle op zodra er in Ti een dubbele poolaanweZig is
d.w.z, als f een pool -i-ni voor een zeer geheel getal
n bezit. We be-schouwen twee specialisaties.
a F(x,t);:-:..-: li Dan is f(8)=1/s.
Volgens (5.17) heft
7
de pool 5.0.Deze levert de Stationnaire toestand I
USta =
f
welke natuurlijk ookgemakkelijk rechtstreeks gevonden kan
worden.
(5.19)
Zodat de totale opgewekte beweging bestaat uit
(5.20) (x,t)
-x(r-) +
nx+sin n(w-x)icosnt.771:.oneven
-13-43in
Een opmerkelijk feit is hierbij dat d intensiteit van de eerste boven-toon slechts 1/27 van die van de grondboven-toon is.
2
b F(y,t)s cos a], t. Dan is.f(s) s/(s2 +col. Blijkbaar treedt
reso-nantie op voor omdat dan .f(s) dubbele polen verkrijgt.
We onderzoeken nu hoe de bemeging er uit ziet als 6).1. Daartoe
con-centreren we (ins op de dubbele polen +i.
Om het residu van-
esti-s(x,$)
aldaar te vinden stellen we s=i+W"wear-bij w klein is.- Dan is
ch -ch isic = sin x iw + (X-0c)cos x + 0(w2)
s(s2+
w2)chisr
= 7.c iw2 xv,73 00411) 2 'et elt 1.1 tw +0(w2)1
. Hieruit volgtSt
e Ti(x s)-De residuen van s.+i leveren dus
(5.21)- (1-
2x 3 2--)cos x - - sin xl cos t - t sin x sin t,
d.w.z. een oscillerende term en een seculaire term. De tweede term
stelt een oscillatie voor, feitelijk de grondtoon, waarvan do ampli-tude onbepaald toeneemt. De overige polen leveren ale in het vorige voorbeeld bijdragen van do oneven boventonen.
w2 2 cos nt s 1 sin nx + sin
n(x)1
7C n / xIaos
x+
% . 3ffi
sin x it6. Gamma-functie
Hoewel dit onderwerp gewoonlijk bij de analyse of bij de functie-theorie behandeld wordt vatten we de voornaamste eigenschappen van de Gammafunctie hier nog eens samen opdat we er later bij onze
beschou-wingen des te gemakkelijker
gebruik van kunnen maken. We definieren de faisulteit-functie
7r(z)
of z! door het °nein-dige product
T(z)
62f lim(6.1) n! nz
n oo (z+1)(z+2)....(z+n)
Tenzij is deze definitie
voor alle complexe z: geldig. Gebruikmakend van de definitie van de constanten van Euler,
(j1.0.577...)
(6.2)1 1
lim (1+7 +
1-log n)
Y
#
n --÷ co
is een aequivalente definitie
oo
(6.3)
1/Tr
(z)d eyz 711!_(-1+ e n1
Tilt deze definities volgt onmiddellijk
(6.4)
71-(0)
= 1,
117(z) = z 71(z-1),
en voor
(6.5) 7r(n) n!
Gebruikmakend van het sinusproduct
oo
2
(6.6) sin z
z (1- z )
n=1
1777
volgt uit (6.1) of (6.3) de belangrijke
eigenschap
(6.7) ir(z)
71-(-z)
= zsinTez
Tilt (6.1) volgt da'c,
ir(4)
positief is. Tilt (6.4)en (6.7) volgt
7.2(4)
=-7r zodat (6.8)=
\Piz-Substitutie in (6.1)
leidt tot het bekende product van Wallis nml.
(6.9)
lim
22nnn
!!
Vr;
.n -÷oo (2n)!Vii Vervolgens leiden we uit (6.1) de
verdubbelingsformule (of
halverings-formule) af nml.
(6.10)
Tr(2z) =c
(2n)1(2n)2z
1T(2z) = urn_n
n-*clo 2 (z+i)..,(z-i+n)2n(z+1)...(Z+n)(6.11)
-(2n):
/.1-22z
1Ln -n: -n: 2r.n (6.14) Uit(6.13)
volgt b.v.(6.15)
nt. geldig voor Re z -1. Bewijs. Beschouw f(z,n) = rn (1- L)fltz
dt, 0dan volgt m.b.v. partine integratie
n: nz+1 f(z,n) -, 1
4,-,
n 22zli(z)Tr(z-1-)
,
waarbij dus (6.9) gebruikt is.We komen nu tot de integraalvoorstelling van Euler
00
fl(z)
=f
e-t tz dt0
(z+1)...(z+n+1)
Voor n --*co gaat f(z,n) over in het rechterlid van (6.11), anderzijds gaat f(z,n) volgens (6.1) over in
Ir(z).
Naast
Ir(z)
ontmoeten we some de functie NV(z) gedefinleerd ale(6.12)
vi(z)defdz
Tr(
)
Blijkens (6.3)is
op (6.13) v( z) = (iT 0 en oo 1(z ) =E
. n=1 (n+Z)Het zal duidelijk zijn dat zowel
Ii(z)
ale y(z) analytisChefuncties Zijn met polen
Heel vaak gebruikt men de notatie van de gamma-functie
r
)waarbij
(6.16)
P(
z) d2f11(z-1).In deze notatie is dus b.v. poo (6.17)
P(z) =
0 en b.v. (6.18)r( z) r(i-z)
tit231:Als toepassing van de Laplace-transformatie leiden we een bekende formule van Euler af% We merken op dat uit
a-I
r(2)en
tb-1 r(b) t sa sb volgt dat ta-1t=
b-1 . r(a)il(b) -sa+bAnderzijds is a+b-1 . r(a+b)
7
sa+b °
Men heeft dus
(6.19)t a-1t
*
b-1 - r(a) r(b) ta+b-1 .r(a+b)
Voor t=1 gaat dit over in het beoogde resultaat
tl
t-1
(6.20) j -
1(1-0
b-1dt = r(a) r(b)0 P (a+b)
Tenslotte vermelden we de z.g. cofficignten Van Bernoulli welke
we later met de gamma-functie in verband zullen brengen. Per definitle is (6.21) (6.22) -t -1 tz t, Re z 0, /rz oo B =
E 4
ez-1 n=0 n. Uit de identiteit. oo B cc zn 1T1 Z z jjT m=0 " n=1leidt men af dat symbolisch
(6:23) (13+1)n - Bn = 0.
Met
behulpvat
deze recurrente betrekking kunnen de opvolgende B's berekend worden.1
Bo=1 B1
=-1
2 B2= -6 B3=0 B4=- 30Aangezien de functie z(ez-1)-1 + -1-.z even is (nrnl. 1 Z ath-1-2) is
CO
De reeks Z1-0 un(x) convergeert per definitie asyMptotlsch tot
de functie S(x) (in de zin van Poincare) indlen
S(x)-
u(x)
(7.1) .11m
X
-4, CON(x)
voor elke vaste N. Zoals bekend betekent gewone cOnvergentie dat (7.2)
lim 1S(x) -
12,,(x)1
= 0N ---)! co n=0 V"
vobr elke vaste x.
Eep voorbeeld van een asymptotische ontwikkel1pg wordt ons ver-schaft door herhaaide partine integratie van
J
t+ cc e-t (7.3) F(x) = j 0 x. dt We vinden voor x-+ 00 1 I 2!3!
(7.4)
F(x)V: --7
- + xJa Uitgaande van F(t) sin at kunnen we b.,C F trachten te vinden door
eerst
F(t)
in een reeks.te ontwikkelen en term voor term tetranafor-CO
0(
sin at (E
k .c.C(at)2n+1 = n=0 (2n+1): op 2n+1 = ( \ a a 1 p h.0 k 'I s2n+2 s 1+a /s21
2 s2+aInderdaad-vinden We het goede antwoord. Het proces kan geMakkeliJk gerechtvaardigd worden. De t-reeks convergeert voor she t. Het blijkt evenwel dat de s-reeks slechts voor 'al> a convergeert zodat
de methode althans voor deze s-waarden geldig is. Het principe van
analytische voortzetting verklaart het resultaat voor alle s-waarden met Re s>0 geldig.
iciest men F(t) dan bepalen we f els volgt t+1
oo
F(t)
(-On
-25-00 f(s)
2:: (-1)n
n=0 n! sn+1Maa'r nu divergeert de s-reeks vOor alle s-waarden.
De t-reeks convergeert trOuwens ook slechts voor t < 1. Tech blijkt dit proced4 jets bruikbaars op te leveren nml. een asymptotische-ontwikke-ling van f(s).' We bewijzen dit a.v.
f(s) -
t
(-1)n -P-1-=-0C{F(t)
-(-t).n
1.
N n=0 sn+1 ri;-0(_t)N+1.
tN+1 (...1)N+1,r e-st dt. 1+t 0 1+t , Nu is N 1 f ( ) - (-1)nTb
In dit geval is de restterm zelfs in absolute waarde kleiner dan de eerst weggelaten term. Aan (7.1) is dan zeker voldaan.
Aangezien recht-streeks p -Cooo -at oo _-t f(s) .
j
dt . dr ,-1 dt t+1 t+s 0 0is hiermee de ontwikkeling (7.2), (7.3) teruggevonden.
C BesChouw
r 0+0
voor grote waarden van s. De benadering van(-H-s) ss e-s
Om verder te komen stellen we
(7.6)
r(l+s)
= ss e-s 1-2TTse4( ) zodat
(7.7) dEf in
r(l+s)
-
) in s + s iln 2 r.
Aangezien
r(l+s)
s P(s)
geldt de differentievergelijking(7.8) A(s+1) -,a(s) - (s+i) in (1+
:Et)
Neem aan dat /c(s) het
origineel m(t) bezit dan geeft (7.8)
oo
e-st(l_c-t)m(t)dt = -1+(s+i)1n(1+
1)
.0
Het rechtePlid van (7.8) kunnen we terugtransformeren met_behulp van de rekenregels. Het is wat plezieriger eerst de afgeleide van
het
rech-' terlid te beschouwen. Dit geeft de eenVoudiger uitdrukkingStirling is (7.5) + ln(1+ 00 I
et
jr
tN+1 dt (N+1): s 1 0 sN+2Men heeft namelijk
s+i 1(1 1
2 s+1) 7 2
s(s+1)
Het is duidelijk dat
1 .
t(s+1) 7 (1-e-t)e(t). Integratie naar s geeft
-t
ln(1+ 1)i-e
e(t)S
'
t
Aldus hebben we gevonden dat
t(let)m(t)
= ( -2-(1+e-t ),1 9(t)t
dus ( 1 11)
2'
et-1 tOntwikkeling van m(t) in een machtreeks naar kleine t geeft als In ht
vorige voorbeeld een asymptotische ontwikkeling van icg,(5).0G m(t) voor grote
(7.10)
waarbij de B de z.g. coMiciftten van Bernoulli zijn:
1 1 1
2
0,
B3 = 0 B4 - - 30s' :5= 0, B6 .4-2-etc
Laplace transformatie van (6.10) geeft
oo B (7.11) A"( n- 1 n.2 n(n.-1) of
(7.12)A,(s)1..-4)
I 1 1 12s360s-In vele gevallen kunnen We geen volledige reeksontwikkelingen
af-leiden en moeten we ons_met_slechts .een of.meer termen van een reekS-' ontwikkeling.tevreden stelln.
Idezullen
b.v. eerst eens letten op hetgedrag van F(t) voor_t 7.7-.).0 en ,dat van f(s) voor
rRegel,
.Als voor t-->-0 F(t) = a +
dan voor s -*co
co
Bnn-2
m(t) =E
.6 n=2.1+e)
f(s) a 11(1tA4 + s1+14Bij deze regel, waarvan het bewijs bijna triviaal is, moeten de pUntjes
uiteraard gelnterpreteerd worden als "termen van hogere (of lagere)
orde".
Ala A4.0 heeft men het belangrijke geval
(7.13) lim s f(s) F(+0).
s oo
Een soortgelijke regel zegt jets over het gedrag van F(t) voor
oo en f(s) voor s nml.
Regel
Ais voor t÷oo
.F(t) = adan voor s 0 f(s) a r 14-A
w..
+AA.
Deze regels mogen niet angekeerd worden zoals o.a. blijkt uit
a t .
s2+a2
Voor s geldt de tweede regel met ,a=0. Echter bestaat lim F(t)
t -4-oo
(8.3)
Definieert men echter
(8.4)
(8.8) J (z) - J '{z) 2
Ak + 1
8. Bessel functies
'De Bessel cties j1:4A;(z) en YAL(z) zijn gedefinieerd ala. zekere fundaMentele oplossingen van de differentiaalvergelijking
{8.1): z2 d + z df + kz
,2
)f 0. dz dZ"Deze differentiaalvergelijking ontmoet men veelal bij problemen waar
cirkels en cilinders een rol spelen: cilindrische staaf, cilindrische buis, cirkelvormig vlies, cirkelvormige plaat, cirkelvormig meer etc.
Men verifieert gemakkelijk dat (8.1) een oplossing van het
reekstypeaje+i
bezit. Substitutie leidt nml. tot de recurrente betrekkingi=°j(2)1 j)aj + aj..2 - 0- , We definieren in verband hiermede
op.
(8.2) (z) = (-1) (1z)1A+23.
AL
j! (A+j)!
We merken' op dat de reeks convergeert voor alle complexe waarden van
z en A.
Naast J (z) is ook J (z) een oplossing van (8.1). Echter zijn dit alleen onafhankelijke oplossingen als)u niet geheel is.
Voor volgt namelijk uit.(8.2) dat
J_m(z) (-1)mJm(z).
cos,wm j (z)-J (Z)
-A4 sin
dah
is
VOOri ã1le,.y(z) een van J
nafhapkelUke oplossing.
De definitie (8.4) impliceert voor geheleA natuurlijk een liMiet-oyergang. Men heeft b.v. vbor,a=0
(8.5)
0(z)
=(.1!
(-1)j (iz)2j 3.0 j! j!(8.6) Yo(z)
J) +(z)2J.
J.1 J! J!
Zonder bewijS vermelden we nog enige.gemakkelijk te bewijzen eigen-schappen.
(8.7)(z) +-J
(z) 2/m 7jAi. -1 A.+1 z
JA!LSz)'
(9.12)
(8.13)
en voor Re/a> -1
(8.1k)
tA4',1(t)
J7)(z)
=Y(z)
J(z) Y(z)
- ya.(z)
J14.(z) .tZ
Wel bewijzen we de volgende
Laplace-formula
Jo
(t)
-4-(s +1)2
Uit (0.5) volgt
met behulp van (6.7), (6.8)
oo2j
en (6.10)
ot
J0(t)
7 2:
(-1) (23)'
j=0
j!
j!
s2j+
oo 1--
-2j
2-1
=2:
( = (z ) 2j=0
Deze herleiding geldt
voor Re s >0 en
s>1. I.v.m. het beginsel Van
analyti'sche voortzetting is
het resultaat echter in
het gehele
rechter-halfvlak Re s >0
geldig-Analoog beWijst
men voor ReA>
Zar.(#.-4)
tidaJ
/-4(21/1)
=5/4+1
Uit (8.13) kunnen we een asymptotische reeks
voor Wt) atleiden.
Denken we op het
rechterlid de Complexe omkeerformule toegepast, dan
zien we dat deze
wordt bepaald door de
singulariteiten s=+i van het
rechterlid. We onderzoeken daartoe het gedrag
van het rechterlid in
.
s=i. Stellen we s=ip
dan is
2/1:6
's2+1)"
(AL-4) f v27c.j=0
1-27/-ccro c
2j(i0aj4
1feaJi)!
waarbij
(0.15).
co = 1
en
c
Terugtransformatie geeft
it
ooe
j-Ak-i
j=0
(2t)31
P-A--ff+J
23ill+i+j
2_ 1.)cf.42_i2
voor j al.
De singulariteit s=-i geeft de complex toegevoegde bijdrage zodat
Uiteindelijk is dus voor t
00(8.16)
Jx(t)Y7
\,[2_ yit.cos
It- Ak+i- j
2- 1-rct
"
(20J
-of
(8.17)
V7-,-27ccos(t-i,toc-
+0(t-3/2).
uit (8.4) en (8.16) volgt
(8.18)
YAM
2_
sin { t-DA,
WIc0
92
CItt
(203
of
(8.19)
34(0 =VI
sin(t-ipAoc-
.1-?C)0(t-3/2).
-Uit (8.17) en (8.19) blijkt dat JAG
en y
een zekere
overeen-komst hebben met de goniometrische functies cos en sin. Het
belang-rijkste verschil is dat het maximum van de absolute waarde van
J
elken Y.
voor t a000 tot nul nadert als t.".
A.
Zoals naast de cos en de sin de hyperbolische functies cosh en
sinh voorkomen heeft men de z.g. toegevoegde Besselfuncties (modified
Bessel functions) I
14(z) en K
14(z) welke oplossingen zijn van
z2
d2f
_L zdf
(z2+,42)f
0dz2
dz
welke vergelijking uit (8.1) ontstaat door de substitutie z
iz.
Formeel zijn jidAiz) en YAL(iz) onafhankelijke oplossingen. Om echter
een oplossing te krijgen welke voor rene z zelf reel is definieren
we(8.2o)
(8.21)
zodat volgens (8.2)
(8.22)
1(z) .
E
1(iz)"`+2i
,a
j=0 j!
LAJ,+j)!
Analoog aan (8.13) bewijst men voor Re/44>
-1-.44(8.23)
' ti (t)
2r(AL:4)
4
(s2_1)/44-2-
1 1'
Re s >
Tat (8.23) kan men evenals dit bij (8.13) geschied is de asymptotische
ontwikkelihg van Ida(t) afleiden. Deze wordt bepaald door de
singulari-t
J
kt) IQ 2 Re
(J
1 e4,4 /e-A --
7C i4 e
,L....r
il,.-y COc
i- )-1-L,
14 L V2wj=0
(2t)3
telt s=1, de meest naar rechtsgelegene. Stelt men weer s=l+p dan is 2'4414.44)1
(s2-1)--AL4
= 11)j
C114-j-4)! r)-10-A-1-J-W.17j=o
j!
i!
(-1)
V2x j=0 (8.28)j 2je-j4
e/
2S1-A. K ( 2 v-;) At, -31-t co e j=0waarbij c door (8.15) gegeven is.
Aldus vindt men de asymptotische ontwikkeling
t Co
(8.24) (-1)ic
(20-V21,ct j=0
Inderdaad blijkt dus I,44.(t) globaal het karakter van een
hyper-bolische cosinus te bezitten. Naast I
(0
verwachten we een analogon van Y (t). Evenwel is het gebruikelijk alsAk tweede standaardfunctie K (t) te nemen welke globaal metet
overeenkomt.Aangezien blijkens (8.15) c een even functie van jA, is,bezitten
volgens (8.24) i(t) en i(t)
voor t dezelfde asymptotische voorstelling. Het verschil van deze functies is dus in zekere zin asymptotisch nul. Dit maakt dan de volgende definitie plausibel(vergl. 8.4)
(8.25)
Voor heeft men al8 bij (8.5) en (8.6)
(8.26) (z) =
1!
Ifl 2J
J! J. 12 I j=0 (8. 7) K0(z) = -{ ln+/}I
0(z) +
yt.)14+...+4
(12)2j j=1 jj!
We bewijzen nu de volgende Laplace formule K (z) -7C 2
(Z)
-sin.Avn .2-j tA"-j-i
5_
cLO t-A4-j-1t
(-Vt-TV-1-j
, sin AM j=0j!(/4+j)!(-A44.
-j -1):j=0
.J! t-l-Ake-lit -1-/aInderdaad volgt uit (8.25) 2sIA'K (21f;)
-ix
sin,wtioc sI. f:o
C :::1Si
f7.)sA"-i
1De betrekking (8.128) betekent per'de.finitie
s*14 K
(2 Irj) =
f
t-1-/a dt .ik
0Substitueren we hierin s=z2/4,en t,-5),2t/z.dan komt er (8.29) K = jooi4(z) expl-iz(t+ i-1)1 t-17/4. dt
0
of met t.-4.et (of t
et)
(8.30) (z)
= I
expl -z cht +,htJ dt,-oo
geldig voor Re z > 0,
Voor geeft
(8.30)
(8.31)
waeruit volgt dat
(83?)
(8.34) -z K0(z) cht dt 00 K (t) te),et
. v 2t JDe afIeiding Van (8.34) berust rml. op
(t+1/t2-1/1 +(t-It2-1r
t
-(8.35)
ekt-1) = K (s)i4
217271
hetgeen gemakkelijk uit
(8.30)
volgt. Ontwikkeling van het linkerlidin
nischtsp
van t-1 leidt dan tot (8.34).\ITT
e(t-i
.= (
De asyMptotischeottwikkeling van Ko(s) voor s-++oo volt met behulp
van
(8.32)
uit de ontwikkeling van (t2-1)--2- naar opklimmende machtehvan (t-1). Het resultaat is (we schrijven naar analogie van 8.24 uit-eindelijk t
i,p.v.
s) 00 4}
(8.33)
K0(t) e + (-1)`i 232 (2 j- )2 2t j=1 p.(8t)3Dlt is een speciaal geval van het algemener resultaat dat we eveneens
-3J-§9
T9ePass4t..ngen_oppartie:;le
differentiaalvergelijkingenWe!zullen een aantal fysische'processen bespreken'melka 61.1e sdhreven kunnen warden
door de
p.d.v.-(9.1) fc.. A V' =
5E-2 2 2
waarbij
.
Z(operator Van Laplace)
en n een con,
zy'
DZ6-stante
De processen welke
aanleiding zeven to
(.1) zijd
grondwaterstroming
vdiehtheld
b diffus:ie v
concentratie
C warmtegeleiding v
teMperatuur
We bginnen onze bschouminon
mot de afleiding van (9.1)
voor
de.
grondwaterstroming.
.a
De Stroming van
compressibele vioeistof in een (isotroop) porousmedium wordt gekarakteriseerd door twee
scalars,diohtheidy en druk
p,
en eon vector q,de macroscopischa Stroming. Dichtheid en druk'hangen. semen volgons do toestandsvergelijking(9.2)
Drukversdhillen verwekken
een stroom -CT
zodanig dat(9.3)
q . -
grad p,
,a-waa rbij 'de Viscositoitvan de vloeistof
en k de z.g.
perteatiliteits-constante is. Da
hoeveelheid vloelstof welke per sec.door een
vlakje,
de
stroomt is gelijk aan
(9.4)
q n do- k V-0zn
maarbij ndo normaalvector van de,
voorstelt. Voor b.v. de
strbming in de x-richting door een vorticaal vlakje dy dz geidt dus
k Dr)
(9.5),=
C-X DX
Hot principe
vat
onvernietigbaarheid vanrle matoric leidt tot
de
cOntinuteitsvergelijing weIke
we nu zullenaflaiden. We geVen
hiervoor tweafieidingen.,
eon z.g. macroscopische
m.b.v.
vdtbrreke-ting en een microscopiSche
m.b.v.
elementairo:mathoden-1. Besehouw een brok medium met porositeit a ellu., nog ear functie van. de pleats mag zijn.
Dat de hoeveelheid
vioeiStof die per
seconde door
de
begrenzing
van binm:4) near buiten stroomtgelijk moot zijn can het totale massaverlies per seconde wordt uitgedrukt door
f j
p1
. 'ii. dcr-+ A
iff
E. p dt # 0.Volgens de stelling van Gauss kan men hiervoor schrijven
silf div(p 1.)dt
+NE R
dt = O.Aangezien dlt voor elk brok geldt is
(96)4
div(p q) 4- i .a2ef = 0.it.is de z.g. continurteitsveTgelijking. Uitesahreveq i-8 9.6)
9.7)a
A (JP. q.) +
--'-y. (j' q) +A (r
qz ) ----- 6
R
a.
BeschouW een elementair blokje (x,X+dx)(y,y+dy)(z,z+Oz). Het massatransport door het zijvlak bij x is per sec.p.(x,y,z)qx(x,y,z)dy dz. Dat door het zijvlak bij x+dx is per sec.
f(x+dx,y,z)qx(x+dx,y,z)dy dg.
Het netto,verlies aan materie is dus (p qx)dx dy dz.
Dit tezamen met het transport door de overige zijvlakken geeft
z
(Y clx)dt
Anderzijds is het massaverlies.gelijk aan
-e kat .
Gelidkstelling levert (9.7)Substitutie van (9.3) in (9.7) geeft
(9.8)
E
X
(r
kg
Eliminatie van p m.b.v. de toestandsvergelijking geeft tenslotte
(9.9) K A.? =
waarbij
(9.10) =
Ep,u
b
Diffusie van materie in een isotroop medium is gekarakteriseetd -pdoor de scalar c, de concentratie, en de vector q, de massastroam,
AnaloOg aan (9.3) heeft ten de fundamentele wet
(9.11)
q = - D grad c,
-35-de Continulteitsvergelijking
DC
(9.12) div q + 0.
at
SUbstitutie van (9.11) en (9.12) geeft tenslotte
(9.13) D a c
at '
hetgeen weer van de vorm (9.1) is.
c Warmtegeleiding in een isotroop medium is
gekarakteriseerd door de scalar T, de temperatuur (b.v. C°) en de vector 7ci, .de warmte-stroom (b.v. cal/m2). Het analogon van (9.3), (9.11) is
(9.14) q -K grad T
waarbij K wel de warmte-diffusie constante genoemd wordt (thermal
diffusivity). De continuiteitsvergelijking is hier
(9.15) div q + c . 0,
waarbij y de dichtheid en c de soortelijke warmte is. Substitutie van (9.14) in (9.15) geeft-tenslotte
(9.16)
= ---
Ta t /
waarbij
(9.17) X, =
? C
De oplossingen van (9.1) kunnen we dus op drie wijzen fysisch interpreteren. We zullen hieronder enkele karakteristieke problemen bespreken zoals ze bij de verschillende toepassingsgebieden optreden.
Hierbij zullen we naast de Cartesische cobrdinaten (v,y,z) oak b.v.
cilinder-coordinaten (r,e,z) en bol-coordinaten (r,G, (p) gebruiken.
Voor cilinder-coOrdinaten kunnen we m.b.v. de substitutie
(9.18) X -÷ r cos e y r sin e z
afleiden dat A in (9.1) de betekenis heeft van
A = 2- (r a ) + Z2 +
(9.19)
r 'Dr ar
re De2 az2 '
We kunnen (9.1) met (9.19) in cilinder-codrdinaten oak heel
ge-makkelijk rechtstreeks afleiden b.v. in "diffusie-taal" en door
be-schouwing van de continuiteit in een elementair volumetje (r,r+dr)(e,e+d0)(z,z+dz) (zie a2).
Dit prObleem beSdhrijft b.v. diffusie in een buis
04 X too
waarbijde concentratie slechts van x en t efhangt. Op t=0 is de buieleee. Vanaf dit moment wordt bij het uiteinde x=0 een bepaalde stof
geln-jecteerd, waarbij de concentratiec(0,t) constant gehouden wordt. Een andere interpretatie is warmtegeleiding in een staaf, waarbij het uiteinde x=0 op een constahte temperatuur gehouden wordt,
ter-wijl op t=0 overal dezelfde begintemperatuur v=0 heerste. We merken
hierbij op, dat de temperatuurschaal willekeurig is, d.w.z. it T in
C° dan mag then T door de lineaire functie v= «T+is vervangen.
De oplossing van (9.20) mib.v. Laplace transformatie gaat a.v. Als d7v=V(x,$) dan is met Probleem = v /s voor x=0, en natuurlijk V = 0 voor X=010.
Dit eenvoudiger probleem heeft de 9plossing
(9.21)
= Vo
exp-x V
it
Volgens (4.19) is het gevraagde origineel
(9.22) v = vo erfc
4T
2 2. 9 V 'DV K = -5-3E voor 0 < xIn de interpretatie van warmtegeleiding betekent dit b.v. dat de staaf 0<x< a bij x=0 een gelsoleerde wand bezit en bij x=a op
con-Stante temperatuur vl gehouden wordt. Laplace transformatie geeft
d2 s - vo v = dx" Probleem- I 2 V 3V voor x >0, .ax2 at (9.20)
V =
Vo v = 0 voor voor x=0, t=0 .(9.23)
3V =.0=v1
= vo voor voor voor .x = 0, x = a, t = 0. v vVolgens de omkeerformule is
(9.25) v = v +
f
L
-37-In het bijzonder is voor x=0
(9.27)
v(0,t) = vl (v1-v0) n=0 M=0 (-1)n n+1 v1-Vo 1 V 7(0,$) = +.
(9.28) s s ch qa . vo 2 e-(2m+1)qa oo . .7- -t.g.-
(v.1-v0)2=
(-1)m
. m=o . Volgens (9.21) en (9.22) is dus oo (9.29) v(0,t) = vo + 2(v1-v0)2:
(-1)m. erfc 2-K(+i 2
n 1c t (2m+-)a21;7
waarbij L een verticaal met Re s >b is.
-De functie est ch
qXheeft
als enig type zingulariteiten 'gewones chqa
bolen in s=0 en de punten waarvoor ch 0.9=0 d.w.z.
22
.sn = , n=0,1,2...
a"
Het residu in s=0 geeft de stationnaire toestand v=vi. Met de resi-. duen sn vinden we de
oplossing-:
: ' gib (...1)n , ., . (9.26) v(x,t) = v1-(v1-v0) P+1-n=0,22t
-;c(n+i ) -m a cos(n4)----1r"X . aVoor t >> 0 is het rechterlid goed convergent maar als t erg klein is
moeten we veel termen nemen am een
redelijk nauwkeurig resultaat te
vinden. We kunnen echte.r op de volgende wijze hieraan tegemoet komen.Volgens (9.24) is
Deze reeks is nu juist goed convergent als t erg klein is. De:resul, taten (9.27) en (9.29) vullen elkaar Ous.aan.
-met dv vodr x=0 en 1 voor x=a.
De oplossing'van dit veel eenvoudiger probleem is
(9 24 ). . 0
v1-V0
ch qx FE-14-1 waarbij q=Vt-.
st ch qx ds,, S ch qaProbleem III I (9.30)
z
r ' r. 571 - "li 'RE " pv) 1 'av v = vIv=
Oo r = a, 0 gt r < a, t = O.Dit probleem beschrijft b.V. warmtegeleiding in een (oneindig lenge)
cilinder met begintemperatuur v=0 en waarvan de wand vanaf t=0 op
temperatuur vo wordt gebracht. Laplace transformatie gee ft
d I clV s + F. -
V =
dr metV =
0 voor r=a.Hieruit volgt dat V van de vorm
= A Io(qr) B Ko(qr)
waarbij q = \ift . Aangezien r=0 geen singulier punt kan zijn
is-alVas'b -B=0 Aanpassing aan de randyoorwaarde bij r=a geeft v 'I (qr)
31)
0 0Io(qa)
We merken op. dat als functie van s analytisch is met gewone polen nml s=0 en die waarvoor I0(qa)=0. Zijn je! (j=1;2,3:..) de positieVe
hultunten
vanj (ft)o is thiss qa=+ip. Of 2
Pi
-2"
a
M.b.w. het oMkeertheorema en toepassing van r,::slOurekning vinden we
TN Kpj-C
4 Jn(o0i
v(r-,t)
= v [1 - 2 - e j=1 oj Ji(pj)De numerieke waarde van de eerste p's is
.Pi.= 2.405. /32 5.520
163
= 8.654
De reeks
(9.32)
is slechts convergent als t klein. Om in dat gevaliets bruikbiars te vindeh moeten we
(9.31)
Ontwikkelen voor grote p (dus,00k:grote.q),Jeh vervolgens tenth voor term inverteren.. Beperkenwe ons. tot -de.hoofdterm dan ,is voor p mits althans r niet klein is
(9 33)
7 tA
Vriexp
q(a-r).Volgens (4.19) is dan
voor kleine t
(9.34)
Probleem TV(9.35)
met(9.38)
flit probleem beschrijft b.v een cirkelvormig reservoir.
hoeveelheid vloeistof weggel
III
v(r,t)wvo
erfc a-rr
2V7t
a(1, IL)
IF
.av rde
productie
van olie of grondwateruit
Uit de boorbuis (r=a)
wordt
een constante pompt. Laplace transformatie geeft 81sbij
=
A.I0(qr)
+ B Ko(qr) ,dir 1dr = T
en = 0
Dan voldoen A en B aan
A qa
I(q0
+ B qa K(qa)en A
I0(0)
+ B Ko(qb) = 0.
Dan is dus in determinantvorm
Io(qr)
qa I(qa)
Io(qb)v(r,00)
= v = 0 r = b, = t = 0. voor r = q voor r = b. Ko(qr)qa N(qa)
Ko(qb) Io(qr)K (qb)-Ko(qr)I0(qb) 8 qa I(qa)K0(qb)-qa K, )(qa)I0(qb) a< r
< b, r = a, 0,We zullen deze uitdrukking
hier niet in al zijn algemeenheid besChouWen maar ons tevreden stellen met
de benadering die we verkrijgen door in
het rechterlid a-40 te nemen. Dan is
-
1Io(qr)Kqb)-K (qr)I (qb)
(9.37)
v -
0 0Io(qb)
Het rechterlid van
(9.37) is
een eenvoudige analytische functie met de polen s=0 en
s=s
(j=1,2,3...)
met s=-K432/b2.
De pool s=0 levert de stationnaire toestand
of uitgeschreven
-Het residu bij s
levert met enig gereken (vergl. 3.6 en 3.27)
Jo(Pj ii)Yo(Pi)
I.v.m. (8.11 kan cut herleid worden tot
2
Jo(pi
ir5)p32
4 (pi)
'
zodat tenslotte(9.39)
Is in (9.37) ook b000
dan is(9.4o)
Ko(q'r)
ooj
(13r)
sot
v(r,t) ln r + 22:
-°-17-i 2 2C3
3=1Pi ji(Pj)
Aangezien volgens (8.28) Ko(aNr;)
2n-7,(_
a 1 volgt m.b.v. de integratieregel Ko (a irs.) (3° -U 7' -4. 1f
e a2TE-Dus is uiteindelijk
(9.41) v(r,t)f
eu
du
r2kx,t
(10.1) 2 GelijkVormigheidregel (10.6)
gas)
4 Convolutieregel (10.9) Ti(s)-41-Tweezdjdige Laplace transformatie
Bij sommige toegepast Wiskundige problemen kan men voordeliger
gebruik maken van de tweezljdige Laplace transformati:,,
oo
9(s)
F(t)t.
-00
We hebben reeds vro(,.ger gezien dat p(s) in een
z.g. convergentie-strook
<Re s <p
bestaat en dear can reziadereanalytische functie voorstelt. Meestal kan men
v(s)
budten dit gebied nog wel. analytischvoortzetten. Een eenvouddg voorbeeld is
1 .pc
(10.2)
-1 .< Re s
Ca'
vts
Voor (10.1) galdt
complexe omkeerformule (zie § 4)
c+doo
st
(10.3) F(t) e
cp(s)ds,
c<0.
2xi c-doo De voor (10.1) galdende rekenregels zijn
1 VerschUivingsregels
-(10.)4) ce(s-a) 4 eat F(t). (10.5) ea 1)(s) F(t+a). FIINF
'8' 3 Differentiatiere&-ls (10.7) sv(s)
F(t).
(10.8) dsgs)
-t F(t). oo 492(s)jf
F1(t)F2(t-..0dT .-00
Dezr: regcls kunnen hc:tzij rechtstreeks uit (10.1) afgeluid
worden het-zij uit de rEgels van de eenzijdigc
Laplace-transformatio afgeleid worden. T.a.v. dc convolutieregel morken we even op dat hier6ij de integratiegrenzen co- en +op zijn.
Andere eenvoudig te bowijzen Laplac -paren zijn
(10.11) (10.12) (10.13) (10.14) Re S < .
t() )
+ 0( t-a)p 7 Ch SS s- 5 tO(t+a) e(t-a)1 sh as 2 2Ts
12
s t V; Poxp-bla2
2 (10.15) K(./
-s2 -b < Re s < b . 2 \ft2+aMet behulp van tweezijdige Laplace transformatie lossen we nu het
volgende probleem op.
In een oneindig lange buis -oo <x<oo stroomt eon stof met
con-stante snelheid V in positieve zin. Bovendien
vindt
een diffusieproces plaats met diffusiecoOfficient D. Is c(x,t) de concentratie van destof Op tijd t en plaats x dan geeft het probleem aanleiding tot de
volgende differentiaalvergelijking
(10.16) a2c ac ac
v = 75E '
We neMen aan dat de begintoestand bepaald is door
(10.17) c 0(x) voor t O.
Het probleem is hierdoor bepaald. Randvoorwaarden zijn er fysisch ge-sproken niet, maar mathematisch zou men moeten zeggen dat voor
x-de. oplossing begrensd blijft.
Op (10.16) passen we tweezijdige Laplace-transformatie op de
lengte-coUrdinaat x (1) toe. Met
00 -sx (10.18)
r(s)
ec dx
-00
is dus (10.19) De oplossing is (10.20)hetgeen We.schrijven als
v 2 v2t
=
1 exp
at(
s- -05)LED '
Uit (10.14) volgt met behulp Van de rekenregels
1
4
. (Ds?-vs)T dt 1 ; voor ., O. q -=''' -g-1 2 exp(Ds -vs)t,en
. 1(_xvt)2
S p =
.exp
-52V7.5.
Iflpt.X(1-Vt 2
)_
d y it 47: -J',____---I
.-
- -1----1-Dt2 V 7cDt -co
exp
of tenslotte
(10.21)
c(x,t)
=i(1.1-erfx-vt
2YDitHet beschouwde problem kan
natuurlijk eenvoudiger opgelost
worden indien we i.p.v.
xx-vt als (lopende) plaatsvariabele
volgt hieruit dat
(11.2)
of
(11.3)
§11. Servomechanismen
In de practijk Maken we nogal eens gebruik
van z.g. blokschematis..
Een blokschema is eeh netwerk van elementen waarbij elk element
een
operator 41 is die een ingangsgrootheid (input) F(t) transformeert
in een uitgangsgrootheid (output)41 F(t)
input
output
(11.5)
F(t)
In electrische systemen heeft
men de voorbeelden: weerstand,
impe-dantie, versterker.
We beschouwen hier uitsluitend lineaire operatoren d.w.z.
operatoren met de eigenschap
(11.1)
11.(m F
p G)
an F
+fi
A G.
We stellen ons voor dat hierbij als enig onafhankelijk variabele de
tijd t optreedt.
Een operator II kunnen we karakteriseren met bijvoorbeeld
zijn
responsie R(t) op de eenheidsfunctie e(t).
Dit betekent dus dat de
input 0(t) de output R(t) geeft. We kunnen 11.
ook karakteriseren
door de responsie X(t) op de eenheidsstoot cr(t).
Bij de input c/(t)
behoort dus de output X(t). Op grond van de lineariteit is volgens
het superpositiebeginsel
,t
ft
-a/
gr(T)d-c
j
X(t)dT
. oo-oo
Aangezien
f J(T)d-c
ooR(t)
X(v)d--00
x(t)
=ad-f R(t).
rooj
F(r)X(t-r)d.c
.-oo
n.F(t)
Met'behulp van hetzelfde beginsel kunnen
we de output vinden bij een
millekeurige input F(t). Aangezien
ao
(i1.4)
F(t) .
Jr
,
_0.
-45-We verenigen deze resultaten in enderstaande tabel
input output cy(t) x(t) e(t) R(t)
=Jr
x(z)d-c F(t) 'G(t) = F(T)X(t-z)dt dF dG dt dt F(T)dt. G(-7)d-c -ooHet principeschema van een servomechanisme is a.v.
-00
(11.8)
F(t)
6(0
x(t) I
Opdat de output G(t) zo goed mogelijk de input F(t)
volgt wordt m.b.v. terugkoppeling het verschil E(t) = F(t) G(t) als aandrijvende
kracht voor de servo gebruikt. Het blokje X(t) bevat i.h.a. een krach-tige energiebron. Een voorbeeld is de bediening van scheeps- of
vlieg-tuigroern.
Uit het schema volgt G(t) XL E(t)
of
(11.6) G(t) =
Jr
F(T)
G(r)1X(t-T)ft .
-oo
We passen hierop tweezijdige Laplace transformatie toe; Bezitten F(t), G(t) en X(t) de tweezijdige Laplace
transforms f(s), g(s) en
x(s) dan is volgens de convolutieregel
g(s) {f(s) - g(s)j x(s) of (11.7) g(s) - x(s) f(s) . 14-x(s) Noemen we x(s) de transmissiekarakteristiek
van het blokelr,ment X(t)
dan werkt het gehele systeem als een blok met
transmissiekarakteris-x(s)
tiek
1-Fx(s)
Toepassing van de omkeerformule op (11.7) geeft 2w1
G(t)
Jr
estELL
f(s)ds. 1 -oo+ci 1+x(s) G(t)Nu is het fysisch ontoelaatbaar dat 1G(t)1 voor
t-400
onbepaald zoutoenemen. De servo zouden we dan instabiel toeten nOemen. Dit
impli-ceert dat de funOtie s(x)/(1+x(s)) geen polen in het rechterhalfvlak bezit en dus dat 1+x(s) er geen nulpunten bezit.
Als eerste voorbeeld beschouwen we. een servo met proportionele werking. Dit betekant dat bij de input 8(t) de output o&9(t) behoort zodat dus
R(t) =a e(t) en X(t)
c7(t).
De Laplace transformatie geeft'dientengevolge x(s)
= m,
De servo-operator is volgens het bovenstaandem/(1+0)
of volgens (11,7)(11.9) G(t) F(t).
Dit wil zeggen dat bij een proportionele working de output nooit
pre-cies gelijk.aan de input kan worden.
Als tweede voorbeeld beschouwen we een servo met integrerende
werking. Dit betekent dat bij de input
e(t)
de output A e(T)d-u -op=p t 9(t) behoort zodat.
R(t) =p. t 6(0 en X(t) =A e(t). Hier
is.
x = Als zodat volgens (11.7)g(s) . .43 f(s). Inversie.geeft G(t) p e-fit 9(t) * F(t) (11.10)..
p
f e-P(t-v) F(T)d-c .-co
IS bijvoorbeeld F(t) 9(t) dan is (11.11)G(t) = (1et)e(t),
zodat nu de output wel de input willekeurig klein kan bonaderen.
Als derde voorbeeld nemen we een servo met differentirende
wer-king. Bij de inpUt 9(t) hoort nu de output (91(t) ./e7(t) zodat R(t) .i'cr(t) en X(t)
ef(t)
Formeel is x(s) zodat volgens (11.7)
g(s) -
1f(s).
1+Irs
Is bijvoorbeeld F(t) ain't dan is
zodat tenslotte de servo-output de input met een faseverschil keurig
volgt.
Algemener kan een servo do drie besproken werkingen in zich ver-enigen. Als x(s) = m
firs
is dan volgens (11.7) (11.13) g( s) = f(s) . p+(l+m)s+isDe servo is stabiel indian de noemer van de breuk in het rechtorlid
geen nulpunten in het rechterhalfvlak heft. Men rekont gemakkelijk
na dat daartoe vereisb is dat
1+a, p en
latzelfdo token moeten hebben.Is x(s) ingowikkelder van aard zodat de nulpuntn
van 1+x(s) niet
gemakkelijk bepaald kunmn wordan, dan kan men gebruik maken van het
zogonaamde criterium van Nyquist.
Laat men s over dc zuivar imaginaire as bewegen van -loo tot +ioo dan doorloopt x(s) een gesloten kromme welku het punt -1 zo vaak om-cirkolt als het aantal nulpunten van 1+x(s) in het rechterhalfvlak.
Doze eiganschap berust op de volgende stalling.
Is w= q(s) eon functie analytisch in en op de gesloten kromme-C
met uitzondering van polen binnen C, en heeft T(s) goon nulpunten op
C, dan beschrijft w eon beeldkromme C', welke de oorsprong in het w-vlak zo vaak omcirkelt als het exces van de nulpunten
boven de polen van y(s) in C bedraagt.
Het bewijs van doze stalling kan in de volgende regel worden samengevat -(11.14) 7lc Sr dw 1
2wi
ds.2i
p(s)We eindigen onze beschouwingen met eon "technisch" voorbeeld
diFF
las 3
Twee assen warden in hun relatieve positie vergeleken
door eon dif-,
ferentiaal, Het verschil E bestuurt een servo met proportionele actie
K, differentlerende L en integrerende M. De
servo drijft een last met servo
traagheidsmoment J aan. Een demping F vertraagt echter de output
evenredig .met de snelheid
eo.
De vegelijking van het systeem isd2eo deo (11.15)