Bijdrage tot de berekening van de spreidingsreactantie van transformatoren en van de krachten, welke op de wikkelingen van transformatoren werken

BIJDRAGE TOT DE BEREKENING VAN DE SPREIDINGSREACTANTIE VAN TRANSFORMATOREN EN VAN DE KRACHTEN, WELKE OP

SPREIDINGSREACTANTIE VAN TRANSFOR.

MATOREN EN VAN DE KRACHTEN. WELKE

OP DE WIKKELINGEN VAN

TRANSFORMA-TOREN WERKEN.

P R O E F S C H R I F T

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN DE R E C T O R M A G N I F I C U S DR. IR. C . B. B I E Z E N O , HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER WERKTUIG-BOUW-, SCHEEPSBOUW- EN VLIEG-T U I G B O U W K U N D E , VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP W O E N S D A G 9 N O V E M B E R 1949 DES NAMIDDAGS

TE 4 UUR DOOR

CHARLES EDUARD MARIE DE KUIJPER

ELECTROTECHNISCH INGENIEUR

GEBOREN TE ROTTERDAM

O

^

/ g t ?>

N.V. te Nijmegen betuig ik mijn dank voor de gelegenheid, die mij werd gegeven om een aantal metingen te verrichten, evenals voor de toestemming, die mij werd verleend om de verkregen resultaten te publiceren.

Aan mijn Vader. Aan mijn Vrouw.

BIdz.

Inleiding 11 De berekening van de vectorpotentiaal 15

De bepaling van een algemene uitdrukking voor de reactantie 24 De bepaling van een algemene uitdrukking voor de krachten 30 De toepassing van enkele en dubbele reeksen van Fourier bij

de berekening van de vectorpotentiaal en de

groot-heden welke uit deze kunnen worden afgeleid . . 33

Toepassing van de afgeleide formules 38 De berekening van de reactantie van een

schijfwik-keling met volle eindspoelen 38 De reactantie van een symmetrische

cylinderwikke-ling bestaande uit vier spoelen 39 De invloed van de isolatie der draden op de reactantie 41

De berekening van de reactantie van de

enkel-voudige symmetrische cylinderwikkeling . . . . 46 De berekening van de axiale en de radiale krachten

in de symmetrische enkelvoudige cylinderwikkeling 55 De berekening van de reactantie van een

asymme-trische cylinderwikkeling 66 Het vergelijken van de uitkomsten van metingen

met de resultaten van berekeningen betreffende de

reactantie van een asymmetrische cylinderwikkeling 71 Tv/ee voorbeelden van de berekening van de

krach-ten bij de asymmetrische cylinderwikkeling . . . 79 Over de wederzijdse beïnvloeding der fazen binnen

het venster van de driefazen kerntransformator met

cylinderwikkeling 83 Enkele beschouwingen Ofer de plaats der aftakkingen bij

regelbare transformatoren in verband met de grootte

van de axiale krachten 105 Aan het einde van één der wikkelingen zijn pq

windingen afgeschakeld, terwijl in deze wikkeling

Bldz. A a n het eind van de wikkeling zijn pq w i n d i n g e n

t e g e n g e s c h a k e l d a a n iv., w i n d i n g e n 108 In het midden van de wikkeling zijn pq w i n d i n g e n

afgeschakeld, terwijl w., w i n d i n g e n stroom voeren 111 In het midden van de wikkeling zijn pq w i n d i n g e n

t e g e n g e s c h a k e l d a a n iv.-, w i n d i n g e n 112 D e aftakkingen b e v i n d e n zich op t w e e p l a a t s e n ,

welke symmetrisch ten opzichte van de einden van

de wikkeling gelegen zijn 113 O p twee plaatsen, welke symmetrisch ten opzichte

van de einden gelegen zijn w o r d e n l/^ pq w i n d i n g e n

t e g e n g e s c h a k e l d 115 D e a f t a k k i n g e n b e v i n d e n zich in het m i d d e n v a n

de wikkeling. D e n i e t - a f g e t a k t e wikkeling is over het deel, dat t e g e n o v e r de aftakkingen is gelegen,

uitgewikkeld 116 D e t r a n s f o r m a t o r is voorzien v a n een

compensatie-wikkeling 119 D e a f g e t a k t e wikkeling is in lagen uitgevoerd . . 125

D e a f t a k k i n g e n liggen gezamenlijk in een

afzon-derlijke laag 128 D e aftakkingen liggen in één laag. Zij zijn t e g e n

-geschakeld a a n de bijbehorende vnste wikkeling . 133 D e a f t a k k i n g e n liggen gezamenlijk in één wikkeling

welke uit twee lagen b e s t a a t

q even 137 q oneven 138 D e aftakkingen liggen gezamenlijk in tw^ee lagen.

D e d r a d e n w o r d e n bij de o v e r g a n g van de eerste

n a a r de t w e e d e laag gekruisd. * q e-ven 148 q oneven 153 Enkele formules 162 Litteratuur 170 English summary 176

De eerste theoretisch gefundeerde formule voor de spreidings-reactantie werd opgesteld door K A P P ( L 1,2) ^). Deze formule levert voor de cylinderwikkeling tamelijk goede resultaten op, bij de schijfwikkeling, welke omstreeks 1900 veelvuldig werd toege-past, echter niet. ROGOWSKI heeft in een belangwekkende publi-catie (L 4) een formule opgesteld, waarmede men de reactantie van de symmetrische schijfwikkeling met halve eindspoelen, nauw-keurig kan berekenen.

Pas later, toen de kortsluitvermogens, evenals de vermogens waarvoor de transformatoren gebouwd werden, steeds toenamen, trad het probleem van de krachten, welke op — en in de wikke-lingen werken, meer op de voorgrond. De schijfwikkeling werd, vooral in Europa, steeds minder toegepast, de cylinderwikkeling steeds meer, zodat in het volgende hoofdzakelijk aandacht aan de cylinderwikkeling zal worden geschonken.

Bij de cylinderwikkeling zijn het de axiale krachten op de afsteuning van de wikkeling, welke moeilijk te beheersen zijn.

Deze krachten ontstaan, zodra de verdeling van de A W over de hoogte van de wikkelingen niet meer symmetrisch is. (Een definitie v^an de symmetrische en de asymmetrische wikkeling wordt op bldz. 25 gegeven).

Asymmetrie in de verdeling der A . W . ontstaat vooral bij trans-formatoren waarvan de overzettingsverhouding door het af- of bijschakelen van windingen wordt geregeld.

Ook bij transformatoren, welke voor de voeding van mutatoren gebruikt worden, kan men dikwijls de wikkelingen niet zodanig aanbrengen, dat de verdeling der A . W . over de hoogte van de wikkeling steeds geheel symmetrisch is. Het mutator-bedrijf stelt hoge eisen aan de mechanische eigenschappen van de transfor-matore'n, daar zgn. terugslagen in de mutator niet vermeden kunnen worden.

Verder kan ook asymmetrie in de verdeling der A . W . ontstaan door het plaatselijk verzwaren van de isolatie in

wikkelingen, hetgeen in meer of mindere mate dient te worden toegepast, teneinde te voorkomen, dat door spanningsgolven de isolatie tussen de windingen of de spoelen wordt beschadigd.

Hoewel reeds door MULLER in 1924 (L 14) werd aangetoond, dat het zich in de buurt van de wikkelingen bevindende ijzer een niet te verwaarlozen invloed uitoefent op de krachten, treft men in de litteratuur een aantal formules aan, welke werden afgeleid zonder dat de invloed van het ijzer in rekening w^erd gebracht. Dergelijke formules kunnen geen juiste resultaten opleveren.

Door E D . R O T H ( L 36) werden formules afgeleid voor de krach-ten op wikkelingen welke gelegen zijn binnen een door vier, onder-ling loodrechte, ijzervlakken begrensde ruimte. De uitdrukkingen voor de krachten bestaan uit dubbele reeksen van FOURIER. De som dezer reeksen wordt bepaald door de reeksen term voor term te berekenen. Hoewel deze reeksen vrij'wel steeds tamelijk sterk blijken te convergeren, zijn dergelijke berekeningen omslachtig. Verder geeft een berekening, welke op deze wijze wordt uitge-voerd, nagenoeg geen inzicht omtrent de invloed, welke b.v. de afstand van de wikkelingen tot het ijzer, of de mate van asymmetrie in de verdeling der A.W., op het eindresultaat uitoefent. Ook is het in vele gevallen gewenst om de berekeningen niet op een ruimte, welke door vier onderling loodrechte ijzervlakken doch op ruimte welke door drie onderling loodrechte of twee parallele ijzer-vlakken wordt begrensd, te baseren. In dergelijke gevallen zijn de formules van R O T H niet bruikbaar. W e l kan de overgang van een door vier ijzervlakken begrensde ruimte op een ruimte welke door drie of twee ijzervlakken wordt begrensd plaats vinden door de dubbele reeksen tot enkele reeksen van FOURTER te herleiden. Hoewel door R O T H en KOUSKOFF ( L 38) werd aangegeven, op welke wijze deze herleiding kan geschieden, is dit niet nader uitgewerkt.

Bij transformatoren met een cylinderwikkeling zijn de wikke-lingen veelal zodanig, dat de radiale afmetingen aanzienlijk kleiner zijn dan de axiale afmetingen. Beschouwt men in eerste instantie een ruimte welke door vier ijzervlakken wordt begrensd, dan zijn er dus twee parallele ijzervlakken (bijv. de kern en bij een éénfaze transformator met twee bewikkelde poten het symmetrievlak in het venster) welke aanzienlijk dichter bij elkaar gelegen zijn dan de beide

andere ijzervlakken (bijv. de jukken of de drukramen). Men kan zich afvragen, of de ontwikkeling in dubbele reeksen van FOURIER onder dergelijke omstandigheden wel de meest aangegeven weg is. Bij nadere beschouwing blijken de enkele reeksen van FouRiE'^ indien de ruimte niet vierkant, doch rechthoekig is (zoals bij trans-formatoren met een cylinderwikkeling veelal het geval is), beter voor de berekening geschikt te zijn. De ontwikkeling volgens FOURIER zal dan bij voorkeur loodrecht op de ijzervlakken met de kleinste afstand (radiaal bij de cylinderwikkeling) dienen plaats te vinden, daar dan de reeksen, door het invoeren van een benade-ring, welke het eindresultaat slechts in geringe mate beïnvloedt, op eenvoudige wijze gesommeerd kunnen worden, zodat het om-slachtige term voor term berekenen van de reeksen vermeden kan worden.

Verder blijkt het mogelijk om, indien men van de enkele reeksen van FOURIER uitgaat, de overgang van een door vier ijzervlakken begrensde ruimte op een ruimte welke door drie of twee ijzervlakken wordt begrensd op eenvoudige wijze uit te voeren. Bij de dubbele reeksen van FOURIER vereist deze overgang aanzienlijk meer rekenwerk.

De bovenstaande overwegingen leiden er toe, om bij een nadere studie van de berekening van de reactantie en de krachten niet voort te bouwen op de dubbele reeksen van FOURIER, doch de enkele reeksen van FOURIER als uitgangspunt te kiezen. De laatst-genoemde reeksen werden reeds door ROGOWSKI voor de bereke-ning .van de reactantie van de schijfwikkeling gebruikt (L 4 ) . Zonder afbreuk te doen aan deze nog heden ten dage lezenswaar-dige publicatie, dient men te constateren, dat de door ROGOWSKI gegeven afleiding niet voldoende algemeen werd gehouden, om voor de veelal asymmetrische wikkelingen welke men tegenwoordig wenst te berekenen, van nut te zijn.

In het volgende zal het probleem zodanig worden gesteld, dat de uitkomsten een algemeen karakter hebben, waardoor men de formules op de verschillende configuratie's welke men in de praktijk tegenkomt, kan toepassen.

Aan de hand van een aantal voorbeelden zal de betekenis van de algemene formules worden toegelicht. Onvermijdelijk zal men bij het lezen van de volgende hoofdstukken een eenzijdige indruk,

omtrent de problemen welke het ontwerp en de berekening van de transformator beheersen, verkrijgen, daar vrijwel uitsluitend aan-dacht kan worden besteed aan de berekening van de krachten en de reactantie.

Bij het ontwerp en de constructie heeft men te maken met een complex van factoren, welke allen min of meer in verband tot elkaar staan.

Het behoeft geen betoog, dat, zodra men met een groot aantal factoren rekening moet houden, het streven naar de beste oplossing gepaard zal gaan met compromissen. Teneinde op één bepaald ge-bied voordelen te bereiken zal men veelal op een ander gege-bied concessie's moeten doen. Het is echter duidelijk dat, naarmate men elk der factoren welke bij het ontwerp een rol spelen meer in detail heeft bestudeerd, de diverse belangen beter ten opzichte van elkaar kunnen worden afgewogen.

In het volgende wordt uitsluitend een weg aangegeven welke men kan volgen, indien men berekeningen betreffende de krachten of de reactantie weilst uit te voeren. Slechts terloops zal er een aan-tal malen gelegenheid bestaan de behandelde kwestie's in een breder verband te beschouwen. Ook zal de over de onderwerpen gepubli-ceerde htteratuur, waarvan aan het einde van deze studie een overzicht wordt gegeven, slechts worden aangehaald voorzover dit in verband met de uitgevoerde berekeningen wenselijk werd geacht. Zoals vrijwel steeds in de techniek, wordt men gedwongen om, teneinde tot praktisch bruikbare resultaten te komen, het probleem enigszins te vereenvoudigen. Het zal echter blijken, dat de inge-voerde vereenvoudigingen geen storende invloed op de verkregen uitkomsten zullen hebben.

Het feit, dat in de electrotechniek vele voor de praktijk belang-rijke problemen langs theoretische weg kunnen worden opgelost, draagt zeker veel bij tot de fascinerende invloed, welke de electro-techniek uitoefent op hen, die zich intensief met dit onderdeel van de techniek bezighouden.

D E B E R E K E N I N G V A N D E V E C T O R P O T E N T I A A L . In fig. 1 is een ruimte getekend, welke men zich voorlopig als het venster van een éénfaze- of een driefazen transformator kan voorstellen, waarbinnen zich een aantal rechthoekige stroomge-leiders bevinden. De ruimte wordt begrensd door de ijzervlakken

X ^ O, X := b, y := O en y -— a.

Aangenomen wordt:

a) de ferro-magnetische permeabiliteit van het ijzer is onein-dig groot, zodat alle krachtlijnen loodrecht op het ijzer staan. b) alle geleiders lopen parallel aan de z-as. Zij hebben een rechthoekige vorm, terwijl de rechthoekszijden parallel aan de ijzervlakken lopen. De richting van de stroom in de ge-leiders is volgens de z-as .

c) de som van de stromen in de geleiders is nul.

d) de verdeling van de stroom in de geleiders is, ook wanneer deze wisselstroom voeren, gelijkmatig.

Door de aanname b) ontstaat een tweedimensionaal probleem. De invloed van de bij transformatoren veel voorkomende cylin-drische vorm van de wikkelingen wordt verwaarloosd. Hierdoor worden de berekeningen aanzienlijk vereenvoudigd (verg. litt. opgave 4 en 80), terwijl deze verwaarlozing de uitkomsten slechts in geringe mate beinvloedt, indien de verhouding, welke tussen de radiale afmetingen en de diameter van de wikkelingen bestaat, binnen de bij transformatoren voorkomende grenzen blijft.

Volgens de aanname d) wordt de stroomverdringing buiten be-schouwing gelaten. Slechts bij zeer eenvoudige configuratie's van de geleiders is het mogelijk om de stroomverdringing in rekening te brengen. Stelt men het probleem in een algemene vorm, dan is het praktisch onmogelijk, om de stroomverdringing in de berekening te betrekken. Daar men transformatoren steeds zodanig zal ont-werpen, dat de stroomverdringing beperkt blijft, is het gerecht-vaardigd, om de aanname d) in te voeren.

Teneinde het veld binnen de in fig. 1 geschetste ruimte te be-palen, zal gebruik worden gemaakt van de vectorpotentiaal, die overal voldoet aan:

A A = — 4 ji (p(x, y) (1) wanneer q)(x, y) de stroomdichtheid in het punt x. y voorstelt.

Door de differentiaalvergelijking (1) en de onder a) genoemde voorwaarde, dat alle krachtlijnen loodrecht op de ijzervlakken staan, is het probleem ondubbelzinnig bepaald.

Teneinde vergelijking (1) op te lossen, zal eerst het rechter lid van deze vergelijking in een geschikte vorm worden gebracht.

Daar de permeabiliteit oneindig groot wordt verondersteld, mogen de ijzervlakken als ideale magnetische spiegels worden op-gevat. Spiegelt men de geleiders t.o.v. de vlakken y ^ O en y = a, terwijl men aanneemt, dat de spiegelbeelden van de geleiders stromen voeren, welke gelijk en gelijkgericht zijn aan de oorspronke-lijke stromen, dan kan men zich de ijzervlakken wegdenken, zonder dat het veld in de beschouwde ruimte is veranderd.

Als uitgangspunt van de berekening kiezen wij een ruimte, welke uitsluitend door de vlakken x ^ O en x ^ b wordt begrensd,

terwijl de geleiders in overeenstemming iftet het voorgaande t.o.v. de vlakken y = O en y = a worden gespiegeld. Men zal zich af-vragen, waarom de spiegeling wel t.o.v. de vlakken y = O en y = a en niet t.o.v. de vlakken jc = O en x = fe wordt uitgevoerd. Spiegelt men t.o.v. de 4 ijzervlakken, dan vindt men voor de vectorpotentiaal een uitdrukking, welke uit twee enkele reeksen en één dubbele reeks van FOURIER bestaat. Spiegelt men daarentegen slechts t.o.v. twee ijzervlakken, dan ontstaan uitsluitend enkele reeksen van FOURIER. Daar bij transformatoren veelal i> > > a is, blijken de enkele reeksen van FOURIER voordelen te bieden, hoewel ogen-schijnlijk de dubbele reeksen van FOURIER een elegante oplossing geven. In een volgend hoofdstuk zal deze kwestie nader worden besproken.

In het algemeen kan men de ruimte tussen de vlakken J: =; O en X =^ b splitsen in q gebieden, welke men zodanig kan kiezen, dat binnen elk dezer gebieden de stroomdichtheid ongelijk aan nul en onafhankelijk van x is.

Een dergelijk gebied, en wel het p''", werd in fig. 1 getekend. Dit gebied wordt begrensd door de vlakken x^= bp en x ^ b'p Voor 6,, < jc < l/p is de stroomdichtheid onafhankelijk van x. Binnen dit gebied bevinden zich Z geleiders, welke met p i , p2, pj, pi genummerd zullen worden.

De j*^^ geleider van het p"^® gebied wordt begrensd door de vlakken

x ^ bji, jc = b'p, y = apj en y = a'pj.

Veronderstelt men q gebieden, waarbinnen de stroomdichtheid ongelijk aan nul is, dan kunnen er in het algemeen q -\~ 1 gebieden bestaan, waarbinnen de stroomdichtheid nul is.

Beschouwt men nu het p^'" gebied, dan verandert binnen dit ge-bied, voor een vlak x = constant (bp < x < bp'), de stroomdicht-heid, na de spiegeling t.o.v. de vlakken (/ = O en y ^ a, periodiek met y, zodat de stroomdichtheid als functie van y door een reeks van FOURIER kan worden voorgesteld (zie fig. 2 ) .

Daar er spiegelbeeldsymmetrie bestaat kan men de stroomdicht-heid voorstellen door:

' / , " nn \ ij,-= Z \ a„ + Z a„ cos — y]

N o e m t men dp, de stroomdichtheid b i n n e n de ƒ'<'<' geleider v a n het pde gebied, d a n is a» = ) °y — - Op a , . a PJ 2 dp: ''pJ _{n n} ƒ cos y dy — 2 ö,,! n n sm 'pj

m

B

«-*Di * 'PJ 'pj

1

Stelt men: Fig. 2

i

b'p > X > bp dan w o r d t : t _ 4 _ V ^ w ^Pi t , = 1 a / ó •

A:,,,, = 8 2" -^ (sin n c a',,; — sin n c apj)

1 °° —- (k„p + 2 ' ^„„ cos n c y ) 4JT „=I (2) (3) (4)

D e z e betrekking is slechts geldig voor bp < x < b'p. V o o r (p{x, y) van verg. (1) k u n n e n wij nu schrijven:

<p(x, y) — • 2' <! k.,p + 2" A:„„ cos n c y |. \ i'ix, b'p) — ij'(x, bp) } 4.^p=i „=i

indien wij stellen:

if(x, a) 1 voor x < a O voor X > üt.

waarbij:

W i j zoeken nu een oplossing v a n :

^4 A = —2: ]k„p + ï k„p cos ncy\- ^yj(x. b'p) — y)(x. bp) [ (5) p = l n = l waarbij ^ — =L O voor jc = O en x = 6. o X W i j stellen: A = A j + Ag (6) waarbij: A A ^ = ~ l - kop ^^>{x, b'p)—xf,{x. bp) \ (7) p = i en: A^ = S {A'.,p — A,p) (8) p = i A A'^p = — 2" fc„p cos rt c y •^^(x, b',,) (9) n = 1

A A^p = — 2" A:„p cos n c i^ i/'(x, bp) (10)

n = r

A a n de r a n d v o o r w a a r d e n voor A voldoen wij door te eisen, d a t voor X = O en X = t :

A ^ L = O, ^ ' ^ ^ = O en ^ ~ - = O voor iedere p ( l ^ p ^ o) a X ax Ox

D a a r w a t A^ betreft, noch het t w e e d e lid der differentiaalverge-lijking ( 7 ) , noch de r a n d v o o r w a a r d e n van y a f h a n g e n , zullen wij t r a c h t e n een oplossing te vinden, die uitsluitend v a n x a f h a n g t .

W i j b r e n g e n vergelijking ( 7 ) in d e v o l g e n d e vorm: ^^—1 = O voor O < X < fc, 3 x 2 1 = — ATO, voor 6j < X < b^ = O voor fo',;_i < X < fc,, j g ^ 2 , i . . . . q. = — ^u.(; voor bf, < X < fe,/ 1

D e z e vergelijkingen moeten w o r d e n a a n g e v u l d met d e voor-w a a r d e n , d a t a a n elk der g r e n s v l a k k e n x ^ bp en x = fc'p A^ en d A

-^-—1 doorlopend zijn. V e r d e r h e b b e n wij de r e e d s g e n o e m d e voor-o X

3 A

Aj kan worden opgeteld, leggen wij vast door de afspraak, dat wij bij X =: O, Aj =: O nemen. Dan vinden wij:

Aj = 0 A , = —èfc„,(x — f c j ^ A, = -ik„^(b,'~b,)]2x- (fc/ + b,)\ v o o r O < X < fcj b^ < X < fc/ fc/ < X < b.^ e n z . v o o r b'g—^ < X < bg : A , :^~i2'kop(bp'~bp)\2x— {bp' + bp)\ p = i b„ <x <b'g: A^^ — hK,(x — b,y^^h2\„p{b,;— bp) .\2x—{b;-^bp)\ ( i i ) p = i enz. fc„ < X < fe : 1)

A , = — i A:„,(x — 6 J 2 — |''i'A:„p(V — bp) .\2x—{bp' + &p) }•

p = i

è A

Aan de voorwaarde ^—^ ^ O voor x = b, gevende: o X

2 Kp(b; — bp) = O

p = 1

wordt voldaan, daar hieruit volgt (zie verg. 3):

^ 1- ï {a'pj — apj) {b„' — bp)dpi = O,

a p = 1 j = i

m.a.w. de som van de stromen in de beschouwde ruimte is gelijk aan nul.

A'.jp (en evenzo A.^,,, zie verg. (9) en (10)) trachten wij te ver-krijgen als de som van een reeks:

A 2P ^^^ 2 a np \ I ^ /

n = l

waarbij:

A a'„p := — k„p cos n c (/ i/;(x, b'p)

Daar y'(x, b'p) voor x = b'p ondoorlopend is, dient men boven-staande betrekking nog aan te vullen met de voorwaarden, dat voor

') Veronderstelt men bq'-Cb, dan geldt voor bq'<Cx<Cb:

1 " ( ) Ai = - ~ Z kopibp' -bp)]2x-{bp' +bp)[.

ö a' d a '

X — b'p, a'„p, ^ "'' en _ ^ ^ doorlopend zijn. Verder verlangen wij

o X 0 1 / a'„j. _{O voor X = O en X ^ t .}

Voor X < b'p is i/'(x, fo'p) = 1, zodat: A a'„p = — k„p cos n c y. Wij kiezen als oplossing:

a'„p = \ ' ^ + B'„p cosh n c ( x + fi'„p) {cos n c y (x < fc',) (13)

d a'

D e v o o r w a a r d e -^^-^- = O voor x = O geeft 3'np = 0. d X

V o o r X > b'p is i/>(x, b',,) = O en d u s A a'„p = 0.

Hier kiezen wij als oplossing:

a'np = C'„„ cosh nc(x -\- •/'„,,) cos nc y ( x > b'j,) (14) d a'n

De voorwaarde —~-"- = O voor x ^ 4> geeft y'„p = ^— fc.

o X

N u g e v e n de v o o r w a a r d e n voor x =; fc',,:

^ ^ + B'„,, cosh n c fc'n = C'„p cosh n c (fc — fc'p) n-c2

B'„p sinh n c fc',, = — C',ip sinh n c (b — b'p) w a a r u i t wij oplossen: k„p sinh nc(fc — b'p) n^c^ sinh neb _ k„p sinh neb'p . , n^c^ sinh n c fc Uit ( 1 2 ) , (13) en (15) v i n d e n wij: V ^"p ^ , sinh n c ( f c — b'p) , ) A .,„ = 2 1 — , i—^- cosh n c X cos n c y

n = \ n^c^ ( sinh neb S ^ v o o r 0 < x < f c ' p (17)

Uit ( 1 2 ) , (14) en (16

A ' , _{2 „ ——i , cosh n c (b — x ) c o s n c y} k„p sinh n c b'p , ,, „ = 1 n^c^ sinh neb

voor b'p < X < fc (18) E v e n z o bepalen wij A^p.

T e n e i n d e nu A., in de formule (8) te vinden voor het geval bfi < X <^ b'g moet men A,,, bepalen met behulp van (18) voor p = \, 2 ... g en met behulp van (17) voor p ^ g -\- 1 , ^ + 2 ... q en A'^p met behulp v a n (18) voor p = l , 2 . . . ^ — l e n met behulp van (17) voor p ^ g, g -\- \ ... q.

Z o vinden wij voor fc^ < x < b'g-. k„p sinh n e b'p — sinh n c bp sinh neb ;[•, k„p ^ sinh nc(fc — b'g) cosh n c(b — x ) c o s n c y -\--i- 2 ' -"" •' 1 sinh neb sinh n c b„ sinh neb cosh n c X cosh n c (fc — X) ^ cos n c y

-\--i- i: 2 k„p sinh n c(b — fc„)— sinh n c(fc — b'p)

p=s + i n=in^c2 sinh neb '' cosh n c X cos n e y. (19) E v e n z o voor fc'^—^ < x < fcj,:

. " v ' V ^«/' sinh ncfc'p — sinh n c fc,, , ,,

^ 2 = -^ ^ ~ ï - ^ r-j -, cosh n cib — x ) cos nc u +

p = l n=\ n'-c^ sinh neb

A:„„ sinh n c(fc — fc,,)— sinh n c(b — b'p)

p=B „=in^c2 sinh neb cosh n e X cos n c y. (20) Uit ( 1 1 ) , (19) en (20) k u n n e n wij nu de g e v r a a g d e uitkomst samenstellen. Zij luidt: g - 1 A, = — i koAx — bg)^-— h 2 kop(b'p — bp)[2x— (b'p + bp)] + p = i ff — 1 ** Jf + 1 2 " -p = i n=i n^C

+ 2

sinh n e b'p — sinh n e bp , ,, . — - cosh n c(fc — x ) n = ! n^c2 sinh n c fc sinh nc {b — b'g) sinh n c fc cos nc y -\-cosh n c X —

sinh n e bn , ,, . — cosh n c (fc — x ) sinh neb cos n e y -\-^. f. k„p s i n h « c ( f c — fc„)—sinh nc(fc — b'p) , I V 2 ^^ , ^ — coshne X cosne y ^p=(,+i „=, n V * sinh n c fc met als v o o r w a a r d e fc, < x < fc'^. (21) Ag-,, , = — h 'ï\„p{b'p — bp) [2 X — (fc', + bp) ] + p = i

* T.' ?•• A:„„ sinh n c fc',, — sinh neb., . ,, , 1 2 2 — r ; coshnc(fc — x ) c o s n c u J -^ p = , „ = ,n2c2 sinh n c f c -^ -^ « ff, knp s i n h n c ( f c — fc„)—sinh nc(fc — b'p) . - f 2 2 — . , , cosh n e x cos n c (/ p = g„ = ,n^c2 s i n h n c f c met als v o o r w a a r d e b'g—, < x < bg. (22) In het a l g e m e e n zullen er q gebieden zijn w a a r b i n n e n de s t r o o m

-dichtheid ongelijk aan nul en ( q - ) - 1) gebieden w a a r b i n n e n de stroomdichtheid gelijk a a n nul is. Uit (21) en (22) volgt, d a t er

{2 q+ 1) u i t d r u k k i n g e n voor de vectorpotentiaal o n t s t a a n . D e z e {2q-\- 1) u i t d r u k k i n g e n bepalen samen de vectorpotentiaal in de gehele b e s c h o u w d e ruimte.

D E B E P A L I N G V A N E E N A L G E M E N E U I T D R U K K I N G V O O R D E R E A C T A N T I E

De reactantie kan men berekenen uit de magnetische energie. Per cm lengte (volgens de Z richting) bedraagt deze:

W = è ó ƒƒ A c f x d y (23) waarin b de stroomdichtheid en A de vectorpotentiaal voorstelt.

Voert men de integratie slechts over een bepaald deel van de ruimte uit, dan moet (23) nog vermeerderd worden met een opper-vlakte-integraal over het grensvlak. In de hier te beschouwen geval-len wordt de ruimte begrensd door de 4 ijzervlakken x = O, x ^ fc, y := O en y ^ a en de twee vlakken z := constant op een afstand van 1 cm van elkaar. De oppervlakte-integraal wordt dan gelijk aan nul, zodat hier (23) de totale magnetische energie voorstelt. Een voordeel is, dat wanneer men van vergelijking (23) uitgaat, de integratie slechts behoeft te worden uitgestrekt over dat deel van de ruimte waar de stroomdichtheid ongelijk aan nul is. Bere-kent men daarentegen de magnetische energie uit het veld, dan moet men over de gehele ruimte integreren.

De uitdrukking voor de vectorpotentiaal bevat twee componenten van verschillend karakter (zie vergelijkingen (21) en (22)).

Een dezer componenten is alleen een functie van x, de andere is een functie van x en y en verandert periodiek met y.

Het veld, dat uit de eerstgenoemde component gevonden wordt noemen wij het geïdealiseerde veld, de laatstgenoemde compo-nent geeft ons het corriqerende veld.

Bij de afleiding van de tormuies (21) en (22) werd de ruimte gesplitst in een aantal gebieden, waarbinnen de stroomdichtheid ongelijk aan nul is (fc'„ > x > fc,) en een aantal gebieden waar-binnen de stroomdichtheid gelijk aan nul is. (fc„ > x > fc'„—J. Fig. 2 stelt de stroomdichtheid als functie van y binnen p * gebied voor. Uit de gemiddelde waarde van de stroomdichtheid (zie verg. 3) vindt men het geïdealiseerde veld.

Het geïdealiseerde veld treedt op, indien:

a) alle wikkelingen evenhoog zijn (zie b.v. fig. 3)

fc) de stroomdichtheid in elke wikkeling constant, dus binnen de wikkeling onafhankelijk van x en y is.

c) twee evenwijdige ijzervlakken (volgens fig. 3) aanwezig zijn, welke direct aan de wikkelingen grenzen.

Indien aan de voorwaarde a) en fc) is voldaan, zullen wij de wikkeling symmetrisch noemen. Bij een symmetrische wikkeling kan het werkelijke veld afwijken van het geïdealiseerde veld, zodra niet aan de voorwaarde c) is voldaan.

y////////^///^^4^///{/^^//^(///;//^

7Z/

T ^

'T^.V.

77777/.

Fig. 3

Indien niet aan de voorwaarde a) en/of fc) is voldaan zullen wij van een asymmetrische wikkeling spreken.

Zodra niet gelijktijdig aan de voorwaarden a ) , fc) en c) is vol-daan vindt men het werkelijke veld uit de superpositie van het geïdealiseerde — en het corrigerende veld. Het laatstgenoemde veld wordt gevonden uit de component van de vectorpotentiaal welke periodiek met y verandert (zie verg. 19 en 20).

Het corrigerende veld hangt af van:

1) de plaats van het ijzer van de kern, het juk, de drukramen en de bak, dus van de magnetische weerstand buiten de spoel-ruimte.

2) het af takken van bepaalde spoelen of delen van wikkelingen in verband met het regelen van de spanning, of het plaatselijk verzwaren van de isolatie in verband met het vergroten van de stootvastheid, dus van de asymmetrie in de verdeling van

Zowel het geïdealiseerde- als het corrigerende veld leveren een bijdrage tot de reactantie. Eerst zal de bijdrage van het geïdeali-seerde veld worden berekend.

Beschouwd wordt spoel /, gelegen in het g^'*^ gebied. Deze spoel draagt bij tot de magnetische energie met (zie verg. 23)

Wgs = hb„i ƒ ƒ A^ciycix. (24) 'gj ''g Nu is tevens: Wgj = - _ - l - 5 , ; Ó-'„; (a'gj - a,,„)^(fc',„ - fc,,)^ (25) Z W-gj waarin:

Wgj = aantal windingen van spoel j in het g'^^' gebied. dgj = stroomdichtheid binnen spoel / van het g'^^' gebied. 6',,, ^= bijdrage van spoel ƒ in het g'^'^ gebied tot de reactantie. Uit (24) en (25) volgt:

^ - = in^'—^iT'—fc-T^-'' J" ^'•'^yd^- (26)

O.WiW gj dgj)~\P g O g j - ^^. j , ^

Uit verg. (26) en de verg. (11) en (3) kan men S,„ berekenen. Na uitwerken vindt men:

^!/i I 3 (a gj — a,„-) dg (b'p — bp) 2' (a',„—ap,)( N- • J = ' 01 <^!IJ I "til 1 'Jpi + (b'g+bg)" 3 = 1 (b'g— fc,,)(a',„- — agj)dg I ^ _ , (b'p — bp) 2' (a'pj — apj) èpj - 2 -TT-, r ^ f ^ x . r (b'p+bp) p=\ \D g Dg) \a gj Sj,,- / Ogj Nu is (fc',—fc„) i {a'gj-a„j)dgj= (IW)g = = het totale aantal AW van het g^" gebied.

Evenzo is:

(b'g — bg) (a'gj — a,,')(5„,- = {IW)gj = het aantal AW van spoel / gelegen in gebied g.

Voor (27) kan men dus schrijven 2 n w'-^

Ogj — b'g~bg (IW)g ^^,f^^,y^^(IW)p

3 ( / W ) , 7 ^ ' " ^ " p = . (f^)^i 10-" Henry/cm. (28)

— ^ ,,Ti/N (b n + bp p = i (lyy)gj

Veelvuldig komt het voor, dat voor alle gebieden geldt: / = 1. Het is dan gewenst, om de vergelijking (28) in een andere vorm te schrijven. Neem aan, dat de breedte van het g^^'-^ gebied dg bedraagt (b'g — fcj? = dg). De breedte van de ruimte gelegen tussen het g^^'^ en (^ -|- 1 j''*^ gebied (waarbinnen de stroomdichtheid overal gelijk aan nul is) wordt gelijk aan Ag gesteld (dus fcy_n — b'g = Ag). Dan is:

fc',= ' ^ ' {dp+Ap)+d, (29) p=\

bg= "f" (dp+Ap) (30)

p = l

Voor de verdeling der AW over de verschillende gebieden kan men stellen:

(IW)g = ng{IW) (31) Hierin is (IW) het totale aantal AW van één gehele wikkeling.

De AW kunnen over verschillende gebieden verspreid gelegen zijn. Met behulp van (28), (29), (30) en (31) en de voorwaarde dat de som der AW van de gehele ruimte gelijk aan nul is, kan men afleiden, dat de totale reactantie tengevolge van het geïdealiseerde veld bedraagt (gereduceerd op w windingen).

Si = —-}^ [ I (1 ng-^ + Ng-, Ng)dg + H ierin is: + ''2'N^g Ag]ÏO-» Henry/cm. a~ 1 Ng= 2 np p = i Ng-, = 2 np p=\ (32) (33)

V e r v o l g e n s kan de bijdrage welke het corrigerende veld tot de reactantie levert w o r d e n b e r e k e n d . D e j'^^ spoel binnen het gebied g levert (volgens verg. 2 6 ) :

tv • 9J 9

S'»J = -ir^, ,Z^. _ . - ^ ƒ ƒ Ag dy dx.

^ ï i ( a ' , m

V o e r t men de integratie met behulp v a n vergelijking (19) uit d a n

vindt men: C' ___li "' ~ dgj{a'gj — agj )Hb'g — bg)^ ' T . ' " k„p smhncbp — sinh n c fc, (, . , ,, , . 2 2 —-^^ r 4 - T '-- , s i n h n c ( f c —fc,,) n*c* sinh neb ( _ p = l n = l

— sinh nc(b — fc',) Msin n e a'gj — sin n c a , , ) + , « k,„j { sinh nc(fc — fc'.„ + - " X T / b g — bg — — sinh n c bg) e sinh neb sinh n e bg n e sinh neb sinh n c b'g — sinh n c(b — fc„)

•— sinh nc(b — b'g) \^ (sin n c a',„ — sin n c a,„) + ^ " k„p sinh n c b'g — sinh ncbg . . , ., , . 2 2 — — . -, ; ^ <^sinhnc(fc — fc,,) p = ( 7 + l n = l " <- sinh neb

sinh n c{b — fc',,) \ (sin n c a',„ — sin n c a , , ) (34)

Stelt men hierin fc ^ co d a n w o r d t verg. ( 3 4 ) : g, . ^^»£ ógj (a',,j — a „ j ) =^ (fc', — bg)'-^ g — 1 C» jU 2 ' 2 —^^^ (sinh n e b'p — sinh n c fc,,) • l e x p ( — n e b , , ) — _ p + 2^ — •

— e x p ( — n e b'g) j. (sin n c a',„ — sin n c agj) + b'^ — fc, _ l ^ P i ^ - " - ^ - ^ (sinh n c fc'„ - sinh n c

fc„)-sinh neb

"- -jexp (— nc bg) — exp (— n e b'g) (sin n e a'gj — sin n c agj)

-{-nc

+ 2; 2' — ' ~ - (sinh nc b'g — sinh n c bg) •{exp(— n e bp) — p = g + l n = l ^ '^

— exp(— n e b'p) \ (sin n e a'gj — sin n c agj) (35) De totale reactantie bedraagt (zie de vergelijkingen (28) en (34) of (35)):

— 2 (bgj -\- O'g

g=\ j=i

(36) of wa.ineer voor alle gebieden / = 1 bedraagt (zie de vergelijking

(32), (33) en (34) of ( 3 5 ) ) .

S^S;+ 2 S'g (37)

Men kan in verg. 35 het assenkruis verplaatsen door x ^ x' + A' in te voeren. Het vlak x = O wordt dan voorgesteld door x' = — k. Schuift men nu dit vlak naar het oneindige, dan gaat men over op een ruimte, welke door twee ijzervlakken y := O en y ^ a wordt begrensd. Na uitwerken vindt men:

d„j(a'gj—agj)Hb'g—bg)^'

r

g — \ „ k„ ,

2 2 ^ ^ " ' ~ (exp n e b'p — exp n e fc„) <!exp (— n e bg) — _ p = i „ = i 2n<c''

— exp (— n c b'g) [• (sin n c a',„ — sin n c agj)

-\-+ 2 - ^ jfc-^-fc,- ^ •

„ = , n^c^ ( nc

-exp [_„c(fc',-fc,)]^{.

, (sin n c a'gj — sin n c ayj) -{-4- 2 2 -^~ (exp neb',I— exp n c fc») •!exp(—n c fcp)

p = g + l „ = i ^ " c *

exp(— n c b'p) (-(sin n c a'gj — sin n e agj) (38) Na vermenigvuldiging van het rechter lid der vergelijkingen met 10~'* vindt men Sgj in Henry/cm.

D E B E P A L I N G V A N E E N A L G E M E N E U I T D R U K K I N G V O O R D E K R A C H T E N .

D o o r differentiatie vindt men uit de vectorpotentiaal het veld: dA Hy= ^ O x De k r a c h t volgens de x richting b e d r a a g t : Pj;=^ójJHgdxdy^è I - ^ dx dy. (39) (40)

Uit (40) en (21) vindt men voor de k r a c h t welke in de x richting w e r k t op de ƒ'''' spoel van het g'^'-'' gebied.

i^Xg] 2 Ogj k^ig (b p bg)- (a g

9-1

• ögi(b'g — bg) (a'gj — agj) 2' kap(b'p ~ bp)

-{-+ dgj 2 P' " ^ . , t / i ih n c b\ — sinh ncbp + Ögj oo L. [cosh nc(b — b'g) — sinh neb

— cosh ne{b — fc^) ] (sin n c a'gj — sin n e agj)-f sinh n c ( f c — fc',) , , , u w \ j - ^ ~ - — (cosh n e bg — cosh ncbg) — sinh neb sinh ncbg . , , , , , , -. , - \ cosh nc (b — b g) — sinh neb

cosh nc{b — fc„) \ (sin nc a'gj — sin n c a,,) + q. :^, k„p sinh nc(fc — fc„) — s i n h nc(fc — b'

+ dgj — - _{sinh neb}

. (cosh n e b'g — cosh n c fc„) (sin n c a',„ — sin n c a,,) (41) p = g+i n = i n^c^ V o o r fc = 00 w o r d t dit: "xgj = 2 dgj ki,g(b g fc„ ) ^ ( 3 ,,, 3,,, ) a — 1 oo JU + ógj 2 2 p = \ n = l — dgj(b'g — bg)(a'gj—agj) . 2 k „ p ( b'p — b p) + p = \

(sinh n e b'p — sinh n e fc„)^exp (— n e b'g) — n ^ C

+ • " . " , n^c^ exp (— nc fc'j)(cosh n e bg —

— cosh n c b'g) — sinh n e bg •{ exp (— n e b'g) — exp (— n e bg)\

k,

(sin nc a'gj —• sin n c a,,)

-|-+ dgj 2 2 ^ ^ ( c o s h n c f c ' , - c o s h ncfc»)-j e x p ( — n c fcp) — — e x p ( — n e b'p) }-(sin nc a'gj •— sin n c agj) ( 4 2 )

V o o r een ruimte, welke door t w e e ijzervlakken (y = O en y = a ) b e g r e n s d w o r d t vindt men uit ( 4 2 ) :

: P^^^ = —ldgjKg(b'g — bg)^ (a'gj

9 - 1

— (5,„(fc', — fc„) (a'gj — agj) 2 k^p (b'p — bp) -{-p = '

g — 1 oo J^

è dgj 2 2 ' ^ ^ (exp neb'p — exp ncfc,,)<[exp (— neb'g) —

p = \ „ = i n-'c-^

— exp (— ncbg) \ (sin n e a'gj •— sin n c a„,) -\-+ iÖg

q oo

2 2

p = g + l n = l n'c'

( e x p ncb'g — e x p ncfc„)^exp (— ncbp) — — exp (— neb'p) ]• (sin nea'gj •— sin nca„j) (43)

E e n k r a c h t met het positieve teken w e r k t volgens de positieve richting v a n de X as. V e r m e n i g v u l d i g t men het rechter lid v a n de vergelijkingen ( 4 1 ) , (42) en (43) met 1,02. 10-«, d a n vindt men d e k r a c h t k g / c m (stroom in A., overige g r o o t h e d e n in c m ) .

O p soortgelijke wijze kan men een uitdrukking voor de k r a c h t in de Y richting afleiden. M e n vindt de volgende betrekkingen:

_ » - ' ^ k„p sinh neb'p — sinh n c fc,,

pg, Ugj

p = 1 n = l n-^c-^ sinh neb

•{sinh ne{b — by) —

+

'"

„i, n&

— sinh nc(b — fc'„) }-(cos n e a'gj — cos n e agj)-\-nh nc(fc — fc'

n c sinh neb sinh nc(fc — b'g)

sinh n e bg . . . , , , — sinh nc bg) —. '—r i s i n h n e (b — fcj

-n e si-nh -neb

— sinh n c(b — b'g) \ (cos n c a'gj— cos n c agj) -f l- V ^"" ^ ' " ^ n e(b — fc,,) — sinh n e (b — b'p) " ' p = 7 + i n ' i n ^ c s sinh n c f o

. (sinh n e b'g — sinh n c bg) (cos n e a'gj — cos n e agj) (44) V o o r fc ^ 00 wordt dit:

g 1 00 U

Ppgj = dgj 2 2 - ^ ( s i n h n c f c ' p — s i n h n c b p ) ^ exp ( — n cfc,,) — p = 1 n = 1 " C

— exp (— n c b'g) \ (cos n c a'gj — cos n c a^,) + -I- dgj 2 _ - ^ I fc',, — bg — (sinh ncba — _{n'^c^ nc}

sinh ncbg

sinh nc b„) -jexp (— ncbg) nc

exp (— nc b'g) \ (cos n c a'„ ( — cos n e agj) -k„

4- dg, 2 2 ^ „ (sinh n e fc'„ — sinh n c bg) \ exp (— n c fc„) —

p = ff+i n = i n ^ c *

— e x p (— n c fc'p) [- (cos n c a',,- — cos n c aj,j) ( 4 5 ) V o o r een ruimte, w e l k e b e g r e n s d w o r d t door twee ijzervlakken (y = O en y = a) volgt uit vergelijking ( 4 5 ) :

p — 1 oo JU P • — d • 2 2 "" ygj — "gi - ~ y 3 3 p = i „ = 1 ^ n c (exp n c fc'p — e x p n c f c p ) - i e x p ( — n c f c j 00 ïf , 0 y «„^ -f- O j , ^ — - -_{n = l n ^ C}

— exp (— nc b'g)\ (cos n c a ' j , — cos n c a^,) -f

fc'. - fo. - — r — e'^P [—ne(b'g— bg) ] ^

n c

(cos n c a ' j , — c o s n c a,,,)

-|--4- d • 2 >' "" p=:g + i „ = i .i n c

( e x p n e b'g — exp n c fc^) -j exp (— nc bp) — exp (— n c b'p) \ (cos n c a'gj — cos n c a , , ) (46)

D E T O E P A S S I N G V A N E N K E L E E N D U B B E L E R E E K S E N V A N F O U R I E R BIJ D E B E R E K E N I N G V A N D E V E C T O R -P O T E N T I A A L E N D E G R O O T H E D E N W E L K E U I T D E Z E

K U N N E N W O R D E N A F G E L E I D .

D e u i t d r u k k i n g e n , welke in h e t v o o r g a a n d e voor d e vectorpo-tentiaal, de r e a c t a n t i e en de k r a c h t e n w e r d e n afgeleid, b e s t a a n uit enkele reeksen v a n F O U R I E R . ROGOWSKI heeft als eerste dergelijke r e e k s e n v a n F O U R I E R gebruikt voor d e b e r e k e n i n g v a n het veld e n de r e a c t a n t i e v a n een t r a n s f o r m a t o r met schijf wikkeling ( L 4 , halve e i n d s p o e l e n ) .

Behalve dit w e l h a a s t klassieke artikel v a n ROGOWSKI zijn er e e n a a n t a l l e z e n s w a a r d i g e p u b l i c a t i e s over de hier b e s c h o u w d e p r o -blemen v e r s c h e n e n v a n d e h a n d v a n E D . R O T H ( L 36, 8 4 ) , w a a r i n de b e r e k e n i n g e n zijn g e b a s e e r d op dubbele reeksen v a n FoURiER. E e n s a m e n v a t t i n g v a n d e r e s u l t a t e n v a n RoGowSKi en R O T H treft m e n a a n in de b o e k e n v a n H A G U E ( L 4 4 ) en B E W L E Y ( L 1 2 6 ) .

D a a r de conclusies v a n H A G U E en B E W L E Y , welke t e n voordele v a n d e dubbele reeksen v a n F O U R I E R uitvallen, voor kritiek vat-b a a r zijn is het v a n vat-belang om hier iets n a d e r op d e duvat-bvat-bele reeksen v a n F O U R I E R in te g a a n .

H a d men bij de afleiding v a n d e a l g e m e n e formule voor de vectorpotentiaal d e geleiders niet alleen t e n opzichte v a n d e v l a k k e n y = : O en y ^ a m a a r ook t e n opzichte v a n d e vlakken x = O en X ^ fc gespiegeld, d a n geldt voor de verdeling v a n de stroomdicht-heid v a n d e j'^'^ geleider, als functie v a n x e n y, zoals met b e h u l p v a n vergelijkingen 3, 4 en 5 k a n w o r d e n ingezien:

_ (a'j — aj)(b'j — fc;)

'1 — T Oj +

ab

H ^ •" dj 2 — (sin n c a', — sin n c a^) cos n c y j

-b „=i nn 3 ' . Q . 00 ^

-I dj 2 (sin m d fc',- — sin m o? fc,) cos m d x -|-a „=i mn

-f 2' 2' ' , (sin n c a', — sin n c a,-) (sin m c? fc'^ —

a

sin m d bi) cos n e u cos m d x w a a r i n c = — e n d = -—

Zijn er q geleiders binnen de b e s c h o u w d e ruimte gelegen (de

som der AW v a n deze q geleiders is gelijk aan nul) dan geldt:

/• = 2 _{——- dj 2 — (sin n c a , •— sin n c a , ) cos n c y -|-}b'i — b j ^ ^ , 2 , . , . , , 6 — n=l n 7 I

a ' j ^— at °° 2

-j dj 2 (sinmdb'j — sin m d fcJ•)cosmdx-a r,= \m7l

OO oo

4Ó,-4- 2" 2 ' —'-^-^r (sin n e a'j — sin n c a,) n = i m = i mnn^

.(sin m d b'j — sin m d bj) cos n c y cos mdx O p g e l o s t moet w o r d e n de differentiaalvergelijking:

d-^A d'^A , .

(47)

(48)

D a a r nu de stroomdichtheid i in d e vergelijking (48) gegeven is door de vergelijking (47) komen wij er toe een oplossing te zoeken volgens vergelijking ( 4 9 ) . D o o r substitutie van vergelijking (49) :n ( 4 8 ) en gelijkstelHng der coëfficiënten van cos n c y, cos mdx en cos n e y cos mdx k u n n e n A„„, A„,„ en A„,„ w o r d e n b e p a a l d .

oo OO

A ^ 2 A„n cos n e y 2 A,,,,^ cos md x

-\-+ 2 ' 2 ' A,„„ cos n e y cos mdx. ( 4 9 )

M e n vindt voor de vectorpotentiaal:

A = A ^ 1 f'^i(fe^ —fc/)/„..

ab j = I n-: l _n-ic-» (sin n c a', — sin n e aj) cos n c y

-|-8 71 ^ « dj(a'j—aj) , _.

a O y = | „ = | m^d^

oo oo

-fÜ^ i ^ Z

(sin m d b'j — sin m d bj) cos m d x

-{-<5y

ab j = I n — 1 m ^ l (n^c^ - f m'^d^)nmcd

(sin md b'j —

De afleiding met behulp van spiegeling ten opzichte van de ijzer-vlakken met een oneindig grote permeabiliteit heeft het voordeel, dat aan de randvoorwaarden wordt voldaan, zonder dat deze af-zonderlijk behoeven te worden ingevoerd (vergelijk met L 36).

De uitdrukking (50), bestaande uit twee enkele en één dubbele reeks van FOURIER, bepaalt de vectorpotentiaal in de gehele ruimte, terwijl de enkele reeksen van FOURIER volgens (21) en (22) voor de gehele ruimte (2 q -{- 1) verschillende uitdrukkingen opleveren. Op het eerste gezicht lijkt het dus alsof aan de dubbele reeks van FOURIER de voorkeur moet worden gegeven.

In het algemeen is het voor de berekening van de krachten en de reactantie geen nadeel, indien voor bepaalde gebieden van de ruimte verschillende uitdrukkingen voor de vectorpotentiaal gelden. Immers dient men bij het bepalen van de reactantie uit de magnetische energie de bijdrage van elke geleider afzonderlijk te berekenen, terwijl ook de x- en de y-component van de kracht op elke geleider afzonderlijk berekend moet worden.

E D . R O T H heeft zich hoofdzakelijk met de berekening van de krachten beziggehouden. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de dubbele reeksen van FOURIER ( L 3 6 ) . De som van deze reeksen wordt bepaald door de reeksen term voor term te berekenen. Hoe-wel de reeksen voor wikkelingen van transformatoren veelal sterk blijken te convergeren, worden dergelijke berekeningen tijdrovend en weinig overzichtelijk. Wil men bijv. de invloed, welke het ijzer op de krachten uitoefent, onderzoeken, dan is zulks, indien men uitsluitend van de dubbele reeksen van FOURIER gebruik maakt, niet zonder meer mogelijk.

R O T H en KOUSKOFF hebben aangegeven, op welke wijze men de dubbele reeksen tot enkele reeksen van FOURIER kan herleiden (L 38). Evenals bij de vergelijkingen (21) en (22) ontstaan dan uitdrukkingen voor de vectorpotentiaal, welke slechts in een bepaald deel van de ruimte geldig zijn. Een voor de berekening van de krachten practisch bruikbare vorm werd door R O T H langs deze weg niet verkregen.

Over de berekening van de reactantie van het twee-dimensionale probleem zoals dit in het voorgaande werd gesteld, heeft R O T H niets gepubliceerd. W e l heeft hij formules afgeleid voor de reac-tantie van wikkelingen, waarvan de ronde vorm in rekening wordt

g e b r a c h t (drie-dimensionaal probleem, L 8 0 ) . O m t r e n t de r o n d e vorm der wikkelingen k a n hier nog het volgende w o r d e n opgemerkt. Slechts bij d e mantel t r a n s f o r m a t o r e n v o l g e n s BERRY ( d e éénfaze t r a n s f o r m a t o r e n , welke in de l a a t s t e jaren door een buitenlandse fabriek w o r d e n g e p r o p a g e e r d zijn, in principe, gelijk a a n de t r a n s -formatoren volgens BERP.Y, slechts de wijze w a a r o p het ijzercircuit w o r d t samengesteld wijkt af van de vroeger gebruikelijke con-structie) is de magnetische g e l e i d b a a r h e i d langs de gehele omtrek v a n de wikkeling practisch constant. Bij een dergelijke transformator zullen berekeningen, w e l k e op driedimensionaal, radiaal s y m m e -trisch, veld gebaseerd zijn, geheel juiste resultaten k u n n e n ople-veren. Bij de gebruikelijke kern- of m a n t e l t r a n s f o r m a t o r e n b e s t a a t echter geen radiale symmetrie, z o d r a men het ijzer in de b e r e k e n i n g e n betrekt. H e t ligt d a n ook meer voor de h a n d , om in d e r g e -lijke gevallen het probleem t w e e - d i m e n s i o n a a l te stellen.

In het algemeen kan men zeggen, d a t het g e w e n s t is, om, onaf-hankelijk v a n d e vorm w a a r i n m e n d e uitdrukking voor d e vector-potentiaal heeft gebracht, formules voor de reactantie én voor d e k r a c h t e n op te stellen, welke beiden gebaseerd zijn op dezelfde u i t d r u k k i n g voor de vectorpotentiaal. H e t belang hiervan ziet m e n in, w a n n e e r men bedenkt, d a t d e reactantie steeds n a u w k e u r i g g e -meten k a n w o r d e n , d e k r a c h t e n k u n n e n d a a r e n t e g e n slechts uiterst moeilijk proefondervindelijk w o r d e n b e p a a l d .

E r dient echter opgemerkt te w o r d e n , dat, indien voor één b e -p a a l d e configuratie v a n wikkelingen de b e r e k e n d e en de gemeten reactantie n a u w k e u r i g o v e r e e n s t e m m e n , de conclusie, o m t r e n t de juistheid v a n d e b e r e k e n d e k r a c h t e n , niet zonder meer getrokken m a g w o r d e n .

D e k r a c h t is immers niet evenredig met de reactantie, doch met de afgeleide v a n de reactantie.

D e bezwaren, welke m e n bij practische b e r e k e n i n g e n ondervindt, indien m e n de dubbele reeksen v a n F O U R I E R als u i t g a n g s p u n t kiest, w a r e n de aanleiding tot deze studie.

Indien m e n zich w e n s t te overtuigen van de voordelen, welke de enkele reeksen v a n F O U R I E R bieden, k a n men b.v. het artikel v a n L A N G L E Y M O R R I S (L 1 0 7 ) , dat op de door R O T H afgeleide u i t d r u k -king voor d e vectorpotentiaal is gebaseerd, n a w e r k e n en vervolgens d e afleiding v a n formule ( 8 2 ) b e s c h o u w e n .

Samenvattend kan men zeggen, dat de enkele reeksen van FOURIER bij uitstek geschikt blijken te zijn voor de berekeningen, welke men bij transfomatoren wenst uit te voeren, omdat:

1) bij transformatoren de ruimte welke door de ijzervlakken wordt begrensd veelal rechthoekig is (fc > > a) waardoor de sommatie van de reeksen op eenvoudige wijze kan plaats-vinden.

2) de overgang van een door vier ijzervlakken begrensde ruimte op een ruimte, welke door drie onderling loodrechte of twee evenwijdige ijzervlakken wordt begrensd zonder bezwaar kan geschieden.

Volledigheidshalve kan hier nog worden opgemerkt, dat door STEIN ( L 4 5 ) de reactantie en het veld werd berekend met behulp van elliptische functies. Uiteindelijk komt men dan echter ook op enkele reeksen van FOURIER terecht.

T O E P A S S I N G E N V A N D E A F G E L E I D E F O R M U L E S De berekening van de reactantie van een schijf wikkeling met volle eindspoelen.

Neem aan, dat de schijf wikkeling uit 2 q -|- 1 spoelen bestaat. De spoelen worden van 1 tot en met 2 q -f- 1 genummerd. Alle oneven genummerde spoelen zijn in serie geschakeld. Zij hebben elk — windingen. De even genummerde spoelen worden even-eens in serie geschakeld, doch zij hebben — windingen.

De berekening van de reactantie van de schijfwikkeling met volle eindspoelen wordt ingewikkeld indien men de gebruikelijke weg volgt ( L 1 0 5 ) . Past men formule (32) toe, dan biedt deze bereke-ning in het geheel geen moeilijkheden.

Aangenomen wordt, dat de hoogte (in de richting van het spreidingsveld) van alle spoelen gelijk aan a is. De breedte van alle oneven genummerde spoelen is gelijk aan d,, die van de even genummerde spoelen daarentegen d.^- De breedte van de spleten tussen de spoelen wordt gelijk aan A gesteld. Tevens wordt ver-ondersteld, dat de gehele wikkeling door ijzer wordt begrensd, zodat met het geïdealiseerde veld gerekend mag worden.

Beschouw de p"*" van de oneven genummerde spoelen, dan geldt:

2p Np-, = 2 na = •p—l • p _ — p_

tr"^ q+l q~q(q+\)

^'- ,t. " ^ - q+1 q- q(q+l)

dan is: a q ( q + 1) p=o 1 ? ^ , P ' ^

3 q+l " ' + q(q+r) '

P . , q^ — 2pq-\-p^ q + l ' ^ (q+i)q

Nu is 2 p 2 = A f q + l ) ( 2 q + l ) q p = o o en 2' p = i q(q + 1) p = 0 waaruit: 4nw^-i ~ a q ( q + l ) l ( q + 1 ) < + ^ ( 2 q + 1)Z1 Voor de even genummerde spoelen geldt:

1 N, 2 p -• N„ I ng = 2P 2' n ? + l p — 1 _ q — p+ 1 q q ( q + i ) p _ — p a = i q + l q q f q + l ) 5 " , = ^ ; - ^ ^ | l i ± i r f , + ( P Z ^ - _ l ) P r f , . P^ 1 a q ( q + l ) p = , ! 3 q " ^ ^ ? ( ? + ! ) " ^ " ^ q ( q + l ) " • a q ( q + l ) L i ' ^ ^ ^ + l < 2 ^ + ' ) ^ 5, = S,' + S", = 6 a q ( q + l ) + 2 J ( 2 q + l ) d , ( q + 1) + d , q + 10-n Henry/cm. (51)

Formule (32) leidt hier snel tot het eindresultaat (vergelijk met L 105).

De reactantie van een symmetrische cylinderwikkeling bestaande uit vier spoelen volgens fig. 3 (zie blz. 25).

Uit de algemene formule (32) volgt:

5 = ^ "^ ""' [h n,^' d, +in./d, + i n.^ d.^ + è n,^ d, + a,

+ n^(n^ + n^)d.^ + (n, + n j (n, + n^ + n.Jd^ + n^^ zl, + + (n, + n j ^ /|^ + (n, + n, + n^)^ A,]

Stel: n^:= q — 1 "2 = — q

« 3 = ?

n, = 1 — p,

hetgeen betekent, dat spoel 1 en 2 in serie geschakeld zijn. Het-zelfde geldt voor spoel 3 en 4.

Fig. 4.

Een aantal mogelijkheden voor het veld staan in fig. 4 weerge-geven. De formule luidt:

S = 4 7t [ è ( q — l ) ' - ^ d ^ + S q 2 d , + ( l _ q ) d . , + ( l _ p ) d ^ , + + J p 2 d , + M l - p ) ^ c / , + (q—\)-^A^ + A.,+ (\ -p)^A,].

Voor p = 1 en q = 1 vindt men de bekende formule: S = 4 n . d^ + ^3

+ ^.

schakelt men de spoelen 2, 3 en 4 in serie, dan geldt:

" 2 = 1 — p — q n3 = q — 1 n^ = p — 1

Schakelt men de spoelen 1,3 en 4 in serie, dan is: 1

" 2 = 1

" 3 = 9 — 1

n, = 1 — p — q

Ook in deze gevallen kan men dus zonder bezwaar de formule voor de reactantie opschrijven.

c) De invloed van de isolatie van de draden op de reactantie. Stel Zlj gelijk aan de dikte van de isolatie tussen het koper van twee lagen der hoogspanningswikkeling. De radiale breedte van het koper bedraagt d'j, het aantal lagen m. Voor de laagspannings-wikkeling geldt overeenkomstig A.^, d'., en n.

De totale breedte der wikkelingen bedraagt dan: hoogspanning:

laagspanning:

m d ' , + (m — 1 ) /lj = dj nd'.,+ (n—l) A.,= d.,

De breedte van de oliespleet tussen hoog- en laagspannings-wikkeling bedraagt Ao, zodat de minimale afstand tussen het koper van de hoog- en laagspanningswikkeling dan gelijk is aan:

A = A„ + A^ + A., Volgens formule (32) geldt:

4 n

w-s =

a ^ 1

^L-i.+ (^-^;d',+™v'^,,+,+

ni- ; „ = 1 m ,=, ^3 m'

, ( w + l ' - ^ - - - ) (

1 - ^ V d' < — I 2 (1 1=1 A. 10~* Henry/cm. 4 n ;

) ï ' - + , — ( ^ + l ) ( 2 m + l ) _ J - ( m + l ) [ d ' , +

^3m om 2m '

+ S ^ + ^ ( n + l ) ( 2 n + 1 ) _ ^ - ( „ + l ) { d ' , +

( 3 n 6 n 2 n ) + z l + — ( m om l ) ( 2 m — l ) / l , + 1 + ^{n—l)(2n~\)A, on 10-9 = "ld', + nd'., 3 o m l ) ( 2 m - l ) z l , +

+ ^ (n

_on l ) ( 2 n - l ) ^ . , 10-9

Stel: / , = md'^+ ^-(m—\)(2m—\)A^ md'^ + (m — l)zl l + J ^ , ( m - l ) ( 2 n i - l ) - | ,

1+^^=1A,

m a,

h =

1 + ^ ( n - l ) ( 2 n - l ) ^ , 2 n d,

1 +

n — 1 zJ, n d,' Dan vindt men voor de reactantie:

4 71 u;2

_Mi+/A

+ ^

lO"" Henry/cm.

In fig. 5a staat de factor ƒ als functie van —j^ /oor verschillende d

waarden van m weergegeven.

In de praktijk rekent men dikwijls met de volgende formule:

4?iw;2

S = tnd\-{- nd'^

^ ( m - l ) z l , + (n-\)A^ _^^ 10-9

m.a.w. men rekent de koperbreedte voor '/g, de isolatie (en even-tuele koelspleten) voor ]/^ bij het bepalen van de aequivalente luchtsplcet. Deze rekenwijze is eenvoudig en geeft veelal resultaten welke voldoende nauwkeurig zijn.

Men kan hier een factor /' in voeren, zodat:

t\ =

i'.=

[\d,+rA

_{"" + A 10-9 met:} 1 + m • m d', 1 + 1 + ; m — 1 / A m

n—J

n A d')

1 +

n — 1 ni = 10 mz2 Fig, 5a

In fig. 5b treft men de factoren /' als functie van (-7^) voor een aantal waarden van m aan.

Vergelijkt men fig. 5a met fig. 5b, dan blijkt, dat de factoren / en /' gelijk zijn voor m = 2.

• ni = 2 . m=3 . m«4 • m.10 0.2 0.4 0.6 O.S 1.0 Fig. 5b. 1.2 1.4 1.6 1.8

Voor m > 2 is de factor f groter dan voor m = 2, de facor f' daarentegen kleiner.

In fig. 5c staat de verhouding van de factoren / en f' als functie van -—j afgebeeld.

V o o r a l w a n n e e r m e n t e m a k e n heeft met wikkelingen w a a r v a n de vulfactor (in radiale richting) een kleine w a a r d e heeft (b.v. h o o g s p a n n i n g s w i k k e l i n g e n v a n s p a n n i n g s t r a n s f o r m a t o r e n ) kan het nuttig zijn om met de factor f te r e k e n e n .

B e s t a a t de wikkeling uit r o n d e d r a a d met een straal (koper) gelijk a a n 7, dan kan men in de formule voor d' invoeren:

d' = y \/ji= 1,77 y.

i^ of J., zal d a n moeten v e r m e e r d e r e n met 0,23 / .

Fig. 5c.

Uit de drie voorbeelden, welke in het v o o r g a a n d e w e r d e n b e -h a n d e l d , blijkt -het g e m a k d a t m e n v a n formule (32) -h e b b e n k a n . E e n soortgelijke formule w e r d afgeleid door B O Y A J I A N (L 9 6 ) . Bij d e berekening v a n de r e a c t a n t i e v a n asymmetrische

wikkelin-gen zal men bij voorkeur, zoals in het volwikkelin-gende zal blijken, gebruik maken van formule (28). Formule (32) is als een bijzonder geval van formule (28) te beschouwen.

De berekening van de reactantie van de enkelvoudige symme-trische cylinderwikkeling.

In fig. 6a staat een enkelvoudige cylinderwikkeling afgebeeld. De hoogte der beide spoelen bedraagt fc^ = 2 b.^.

Y :^ ' \^ ^ \ \ \ \ \ \ \ \ \ W

y////y//A

V//////A

b

k\\N^^\^N

\N

V///////7.

y//////A

ba b \^ >^ ^ >^ . ^ . -^ " Y \ \ vs

K^

•S$$$<S>$:><:><^

-^WA^////

' ^ '^ V V \ \ \ \

y//////A

^

i

$;

i

^ ba b -Fig. 6a Fig. 6b

Daar het vlak x = fc in fig. 6a een vlak van symmetrie is, kan men ook fig. 6b als uitgangspunt van de berekening kiezen, het-geen sneller tot het resultaat leidt.

Volgens formule (36) geldt:

5 = 5 ' , + 5 ' , Voor 5'j vindt men uit (34):

k \ ^'^- dM\—^x)''K' n = i n^c^ sinh n c fc2 sinh n c(fc — fc^) ^ nc sinh neb Stel: k - ^ ^ 1 n K-nn — 1

. (sin n c a', — sin n c a,) sinh neb.^ sinh nc(b — fc^)

n e fc., sinh neb

(52)

(sin nea'^ — sin nca^) + -^ (sin nca'^ •— sin nea^) (zie verg. 4) zodat men (52) ook in de volgende vorm kan schrijven:

^ ' - a ( a ' , - a , ) ^ f c 7 i , '^•"

(sin nca'j — sin nca^)''

n-'C

+

+

(sin nca'j — sin nca^) (sin nca'^ — sin nca2) d n*e* 2

"l (53) Stel k,„ S k,, (A:»„ voor n = 1).

De fout ,die hierdoor ontstaat hangt niet alleen af van de grootte van /cgj, maar ook van het spectrum van de reeks van FouRiER.

Verderop zal worden nagegaan, onder welke omstandigheden de aanname (53) gerechtvaardigd is,

Men kan voor 5 ' , schrijven:

„, _ 8 71 w^ kgi

" ^ 1 - T ( ^ > ; ^ a , ) = ' f c , „ 2

(sin nca'^ — sin nca^)^

n'*c*

+

+

rÜ2 (sin nea'^ — sin ncSj) (sin nea'^ — sin nca,^) n*c* (54) Evenzo vindt men voor S'^.

2 - 3(a' aj^fc, i ,

+

(sin nca'j — sin nca^) (sin nca'^ — sin nca^) ó, iri

n*c (sin nca'^ — sin nca^)''

n-'C

Voor de reeksen kan men de volgende betrekkingen afleiden: ", (sin nea'.^ — sin ncaj)^ 1 , ,

n = 1 n^c"^ 6

+ (a',2 + a',a, + a,^

^, (sin nca'j — sin ncaj) (sin nea'^ — sin nca^) _^

a 2 _ a ( 2 a ' , + a j ) + voor a'i > aj (55)

n^e*

= ( a ' j - a j ) ( a ' , - a j [ 1 a^ _ 1 ^ ( a ' , + a,) + + A (a',2 + a', a, + a,2 + a',^ + a', a, + a,^) (56)

voor a 2 > a^ > a j > a,

Met behulp van (53), (54), (55) en (56) en de voorwaarde, dat de som der A W over de beschouwde ruimte gelijk aan nul is, vindt men voor de reactantie;

5 = 5 ' , + s ' , = '-";'^

Stel Zl = a„ — a'j

d j = a'j — a j dg = a'._, — a^ /c.,, (a',.

+ y ( a 2 - a ' , )

5 =

4 71 w-''. fc„, V o o r fig. 6a geldt: (2 b.-, = fc, 5 = 4 71 w-' ( c ? , + ^ 3

(d, + d,)

hierin is:

+ ^

+ -J

/c.„ = 1 sinh cfc sinh c(fc — fc^) ( 5 7 ) 1 eb., sinh cfc [1 — e x p ( — cfcj) ] — e x p ( — 2 cfc) [exp cfc, — 1] V o o r fc ^ oo w o r d t dit; fc«, = 1 — cfc,[l — e x p ( — 2 cfc)] 1 — e x p ( — - fc,) (58) (59)

D e factor, welke door (59) w o r d t voorgesteld gebruikt men dik-wijls bij de berekening van de reactantie. D e z e factor w e r d door R O G O W S K I afgeleid ( L 4 ) .

Stelt men in (58) fc = _L, d a n w o r d t ^.,i ^ 1, h e t g e e n betekent, d a t het geïdealiseerde en het werkelijk veldbeeld overeenstemmen.

I n fig. 7 s t a a t

* . . = ; ' " - ' •

voor enkele w a a r d e n van — afgebeeld. a

D e k r o m m e n n a d e r e n asymptotisch tot de door formule (59) b e p a a l d e w a a r d e . M e n kan zich nu a f v r a g e n onder welke o m s t a n d i g

-C^A) I I 1 I I I I I I I 1 1

' 0,l q 2 q 3 0,4 0 5 0.6 0,7 QB 0 3 ip 1,1 1,2 2b-b,

—^ a Fig. 7.

heden de benadering, welke wordt ingevoerd om tot formule (57) te komen, gerechtvaardigd is (zie 53),

In fig. 8 staat de A W verdeling van de schijfwikkeling en een enkelvoudige cylinderwikkeling weergegeven. (In fig. 8 is aange-nomen, dat de hoog- en laagspanningswikkeling even breed zijn. In de meeste gevallen is dit niet geheel juist, doch de afwijkingen zijn bij normale transformatoren veelal niet van dien aard, dat het nodig is, om bij globale beschouwingen, welke hier volgen, de com-plicatie van het invoeren van spoelen van ongelijke breedte te rechtvaardigen).

De benadering, welke moet worden ingevoerd om de sommatie van de reeksen mogelijk te maken (k^i^kg,,) heeft bij de A W verdeling van fig. 8a en 8fc volgens ROGOWSKI slechts een zeer

gering effect op het eindresultaat, wanneer voldaan is aan:

JlK=l^^ >1.5 (6o;

a a en 1 < ^ , , < 2 (61) a — 2 A O Tt 27T

Het spectrum van de FouRiER-analyse der A W verdeling ver-schilt voor normale transformatoren slechts weinig, wanneer men d, en d^ volgens fig. 8" en 8'' invoert. Er treden alleen oneven har-monischen op. De eerste harmonische overheerst sterk.

Hetzelfde geldt, (hoewel in enigszins mindere mate), voor iig. 8c. Bij fig. 8d is de situatie echter anders. Er treden even harmonischen op, vooral de tweede harmonische kan een invloed-rijke rol spelen. De aanname ^.., = A-,,, kan dan ook, wanneer aan de voorwaarden (60) en (70) is voldaan, tot te lage uitkomsten leiden.

Bij de schijfwikkeling (fig. 8a) mag men, mits aan de voorwaar-den (60) en (61) is voldaan, steeds met de formules (57), (58) en (59) rekenen. Zoals uit het bovenstaande volgt, zal dit bij de cylinderwikkeling niet steeds het geval zijn.

Het is algemeen gebruikelijk, om bij de enkelvoudige cylinder-wikkeling formule (59) in de volgende vorm toe te passen:

A : . , = 1 ^

n fcj

1 ( ^^1

1 — exp — ^ dj + d„ + J (62) dj + d^ + J

fcj = hoogte van de wikkeling d-, en da = breedte der wikkeling

A ^ breedte van de spleet tussen de beide wikkelingen.

Formule (62) is in principe alleen geldig voor de A W verdeling van fig. 8b, hetgeen betekent, dat de binnengelegen wikkeling de kern direct omsluit, terwijl de buitengelegen wikkeling direct tegen de bak gelegen is. Een beeld, dat nogal van de werkelijkheid afwijkt.

Fig. 8c treedt veelal bij benadering binnen het venster van een driefazen mantel- of een éénfaze transformator op (cylinder-wikkeling). De ijzervlakken (in axiale richting) worden gevormd door de kern en het symmetrievlak van het veld, dus dan is (dj + d.j + J ) kleiner dan a, zodat men inplaats van formule (62) formule (59) moet gebruiken.

Wanneer aan de voorwaarden (60) en (61) is voldaan kan binnen het venster met formule (58) worden gerekend.

Vrijwel steeds is de gemiddelde afstand tussen de bak en de wikkeling groter dan de afstand tussen de kern en de wikkeling, zodat buiten het venster fig. 8d geldt. Zoals reeds werd opgemerkt, gelden de formules (57), (58) en (59) dan niet meer exact en zullen, al naar gelang de invloed van de tweede harmonische, te lage uitkomsten worden verkregen.

Wil men een dergelijk geval nauwkeurig berekenen, dan moet dit met de formule (34) geschieden (door de reeksen term voor term te berekenen).

Tegen het gebruik van formule (62) bestaan bij de enkelvoudige cylinderwikkeling de volgende bezwaren:

1. de waarde a wordt te klein ingezet (a ^ d, + d,, + zJ), waardoor men kg, te groot in rekening brengt.

2. Ontbreken de drukramen, dan wordt binnen het venster de invloed van de jukken verwaarloosd. Zijn er wel ijzeren drukramen aanwezig, dan wordt de invloed hiervan niet in rekening gebracht, daar (62) geldt voor fc = oo. Hierdoor wordt k., te klein berekend.

Toch kan men bij de berekening van de reactantie van de cylinder-wikkeling in vele gevallen met vrucht van formule (62) gebruik maken. Dit heeft de volgende oorzaken:

a. De invloeden van de onder 1 en 2 genoemde bezwaren wer-ken elkaar tegen.

fc. kg, wijkt bij de cylinderwikkeling in het algemeen slechts weinig van de eenheid af.

Met behulp van de twee volgende voorbeelden kan het belang van de gegeven beschouwingen worden aangetoond:

^ V/////////////////A X

Fig. 9.

Fig. 9 stelt een wikkeling voor, welke bij benadering bij een bepaald type van spanningstransformatoren voorkomt.

Hierbij is:

71 fc',

< 1,5 en < < 1

Om de reactantie in een dergelijk abnormaal geval te berekenen, kan men niet van de formules (57), (58) en (59) gebruik maken, doch hiervoor geldt volgens (35):

5 , = 171 w^^ a

n n a sin fc', a ' , M a - a ' , ) ^ =1 V nTi