Rozdzia VIII – Orbitalny moment magnetyczny elektronu

(1)

VIII. VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU,



L=r×p (VIII.1.1)

p=mv (VIII.1.2)

Z (VIII.1.1) i (VIII.1.2) wynika (VIII.1.1a):

L_{=| L |=mvr} (VIII.1.1a)

r ⊥v

 r=v (VIII.1.3)

Z zależności (VIII.1.1a) oraz (VIII.1.3) wynika, że kręt elektronu jest równy:

L_=mr2_ (VIII.1.1b)

Elektron jest to cząstka obdarzona masą, ale równocześnie jest ładunkiem poruszającym się. Jest on równoważny bezprzewodowemu przepływowi prądu. Elektron orbitalny ma własności magnetyczne (jest dipolem magnetycznym || ).

(2)

S – powierzchnia obwodu,

i – natężenie prądu w obwodzie, wyraża się ono wzorami (VIII.1.5a) – w układzie Gaussa oraz (VIII.1.5b) – w układzie SI:

i₌ e

c (VIII.1.5a)

i=e

 (VIII.1.5b)

τ – okres obiegi elektronu po orbicie

Rys.VIII.1. Schematyczne przedstawienie orbity atomu.

dS = 1₂rdl (VIII.1.6)

(3)

dS ₌ 1 2r 2_d  (VIII.1.8) S =

∫

dS = 1₂

∫

0 2 r2d (VIII.1.9) L≡ p , gdzie p oznacza pęd uogólniony ze względu na współrzędną φ.

Z wzoru (VIII.1.1b) wynika: r2₌ p m ˙ = p_ m dt d_ (VIII.1.10)

Z wzorów (VIII.1.9) i (VIII.1.10) otrzymujemy, że powierzchnia S obwodu wynosi: S₌1 2

∫

₀ 2 _p  m dt dd= p_ 2m

∫

₀ τ dt₌ p 2m  (VIII.1.11)

Wyrażenie (VIII.1.11) otrzymaliśmy przechodząc z całkowania po kącie na całkowanie po czasie, przy czym: jeżeli є [0, 2  ), to t є [0,]

Z wzorów: (VIII.1.4), (VIII.1.5) oraz (VIII.1.11) otrzymujemy wzór na moment magnetyczny elektronu:  = iS = _ce  p_ 2m  = e 2mc p (VIII.1.12)  p_ = e 2mc = const (VIII.1.13)

Stosunek momentu magnetycznego dipolowego do momentu pędu (krętu) jest wielkością stałą.

Wektorowo:

=_{2mc }e p_ (VIII.1.14) A ponieważ L≡ p:

(4)

=_2mce L (VIII.1.15) Z teorii Wilsona – Sommerfelda wynika, że

p__{= L = n}__ℏ (VIII.1.16) Z wzorów (VIII.1.13) oraz (VIII.1.16) otrzymujemy:

 = eh 4mc n= df Bn (VIII.1.17) gdzie n=1,2 ,3 ,... Magneton Bohra: – w układzie Gaussa B= eh 4 mc= e ħ 2mc (VIII.1.18)

Z (17) i (18) wynika, że dla n_= 1 :

B= 

Jest to wówczas moment magnetyczny atomu wodoru w stanie podstawowym.

– w układzie SI:

B=

eℏ

2m (VIII.1.18a)

Wartość liczbowa magnetonu Borha wynosi:

μB= 0,927×10−20erg/Oe = 9,274×10−24J/T

VIII.2. PRECESJA LARMORA

Jest to częstość wirowania momentu magnetycznego, który ustawiony pod kątem α do pola magnetycznego precesuje wokół pola.

(5)

a) częstość kołowa L= eB 2mc (VIII.2.1a) b) częstość liniowa f _L= eB 4 mc (VIII.2.1b)

Z (VIII.2.1a) wynika, że: L≠ f  oraz że ωL~B

VIII.3. KWANTOWANIE PRZESTRZENNE

L ,μ

Jeśli zbiór wartości danej wielkości nie jest ciągły – to jest skwantowany. Orientacja przestrzenna wektorów również jest skwantowana, co nazywa się kwantyzacją przestrzenną.

Jeżeli normalna do powierzchni jest skwantowana, to orientacja powierzchni jest skwantowana.

Kwantyzacja orbity

Założenie 1: B=const (pole jednorodne).

Założenie 2: pole magnetyczne nie zaburza kształtu orbit (teoria Wilsona – Sommerfelda).

Współrzędne sferyczne: P: (r,ϑ,ϕ) x = r sin ϑ cos ϕ y = r cos ϑ sin ϕ z = r cos ϕ  p = const  α = const

(6)

p_= p_⋅cos (VIII.3.1) r pr:

∮

prdr= nrh (VIII.3.2a) θ  pθ:

∮

pθdθ= nθh (VIII.3.2b)  p:

∮

pd = nh (VIII.3.2c) nr, n, nθ−liczby kwantowe E_k ₌ m 2



˙r 2 r2 ˙θ2 r2_sin2 θ ⋅ ˙2



(VIII.3.3) p_r₌ ∂ Ek ∂ ˙r = m ˙r (VIII.3.4a) p_θ= ∂ Ek ∂ ˙θ = mr 2_˙θ (VIII.3.4b) p_₌ ∂ Ek ∂ ˙ = mr 2_sin2_θ ⋅˙ (VIII.3.4c)

Z wzoru (VIII.3.1) wynika, że p=const , więc:

∮

p_dψ _{= p}_

∫

0 2

d  = p⋅2 (VIII.3.5) Z zależności (VIII.3.5) oraz (VIII.3.2c) wynika:

2 p= nh (VIII.3.6)

p__{= n}__ℏ (VIII.3.7)

LZ=m ℏ – rzut wektora L

(7)

p__=n__ℏ (VIII.3.8) n__{=l – orbitalna liczba kwantowa}

p_ p_ =

n_

n_ (VIII.3.9a)

Z wzoru (VIII.3.1) otrzymujemy:

p_

p_=cos (VIII.3.9b) Z wzorów (VIII.3.9a) i (VIII.3.9b):

cos=n_n  (VIII.3.10) Wzór (VIII.3.10) – skwantowanie α ∣cos ∣1 n_=m=0,±1, ±2, .... n_≡l

Przykłady kwantyzacji przestrzennej: a)

n_=1

m=0,±1

(8)

b)

n_=2

m=0, ±1, ±2

5 możliwych orbit

VIII.4. ENERGIA ELEKTRONU NA ORBICIE ZORIENTOWANEJ.

W 2D (dwóch wymiarach): Energia E = E(r, ϕ)

W 3D (trzech wymiarach): Energia E = E(r,ϑ,ψ)

E(r, ϕ) = E(r,ϑ,ψ)

p_r_{˙r p}_ ˙= pr˙r  p p ˙ (VIII.4.1) p_ _{˙= p}_ ˙ p_ _˙ (VIII.4.2) p_d= pd pd (VIII.4.3)

∮

p_d_=

∮

p__

∮

p_d_ (VIII.4.4) Z reguł Wilsona – Sommerfelda otrzymujemy:

n_= n_n_ (VIII.4.5) E_n_{= −}2 2_me4_Z2 h2n2 = − 22_e4_Z2_m h2_n_r_n__2 = − 23_me4_Z2 h2_n_r_n__n__2 (VIII.4.6)

(9)

Wniosek:

Energia zależy od sumy wszystkich liczb kwantowych.

VIII.5. KWANTYZACJA RZUTU

 na B

.

'=⋅cos  cos='  (VIII.5.1) = e 2mc p m n_= '  (VIII.5.2) ' =⋅_nm  (VIII.5.3)  n_=B '=mB (VIII.5.4) m=0, ±1, ±2, .... ,±n l