Wykad 2

WYKŁAD 3-4

METODY OBLICZANIA PRZEPŁYWU POMIĘDZY DWOMA ZBIORNIKAMI,

OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU

1. Równanie Bernoulliego dla zagadnienia przepływu pomiędzy

1. Równanie Bernoulliego dla zagadnienia przepływu pomiędzy

dwoma zbiornikami

Zagadnienie przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu rzeczywistego można rozwiązać pisząc równanie Bernoulliego dla •przekroju na powierzchni cieczy zbiornika zasilającego oraz

przekroju na końcu ostatniego przewodu albo,

•przekrojów położonych na powierzchniach cieczy zbiorników.

3 1 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3

....

l

l

_a

l

d

d

d



























_



_



_



_



_



_













po oznaczeniu

oraz podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 4 5 4 5 4 5 2 3 1 1 2 2 3 3 8 a v l l l e q d d d d d d d g





_



_



_



    _       _   po przekształceniu 2 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3

...

2

2

a

2

l

l

l

d

g

d

g

d

g

































_



_



_



_



_



_













równanie przybiera postać

Strumień objętości wynosi

Od jakich wielkości zależy oporność hydrauliczna R* ?

Po wprowadzeniu pojęcia oporności hydraulicznej w R* w postaci:

* 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 4 5 4 5 4 5 2 3 1 1 2 2 3 3 8 a l l l R d d d d d d d g   _  _  _     _       _  

Jeżeli znamy wartości współczynników strat to znamy oporność hydrauliczną i możemy obliczyć strumień objętości jako

Widać, że wyznaczenie strumienia objętości wymaga

znajomości oporności hydraulicznej, która to z kolei wielkość zależy od współczynników strat zależnych od strumienia

objętości.

Przy braku znajomości współczynników strat do wyznaczenia oporności hydraulicznej i strumienia objętości konieczne jest

Alternatywne równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 leżących na powierzchniach cieczy w zbiornikach ma postać

2 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 2 3

....

2

2

2

l

l

l

d

g

d

g

d

g































_



_



_



_



_



_













Po analogicznych przekształceniach i podstawieniach zdefiniowanych wielkości otrzymujemy

2 3 1 1 2 2 1 2 3 4 5 4 5 4 5 2 1 1 2 2 3 3 8 v l l l e q d d d d d d g



_



_

_



    _      _  

* 1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 5 4 5 4 5 2 1 1 2 2 3 3 8 b l l l R d d d d d d g   _  _{ }     _      _  

Gdzie oporność hydrauliczna układu wynosi

równanie przybiera postać

Strumień masy jest zatem wynosi

Równania Bernoulliego dla przekrojów 1-2 oraz 1-3 sprowadzają się do tej samej postaci, gdy

2. Charakterystyka przewodu

2. Charakterystyka przewodu

2.1. Charakterystyka prostego odcinka przewodu o wymiarach l, d gdzie * 2 5

8

L

l

R

gd







W ruchu laminarnym , więc

Czyli w ruchu laminarnym straty liniowe zależą wprost proporcjonalnie od strumienia objętości.

W ruchu turbulentnym, dla Re>Re_gr, współczynnik strat liniowych  zależy tylko od chropowatości przewodu, natomiast nie zależy od Re, a więc nie zależy też od q_v. Równanie przybiera więc postać:

Czyli w rozwiniętym ruchu turbulentnym straty liniowe zależą od kwadratu strumienia objętości.

Rys.3. Charakterystyka przepływu przewodu

Należy zauważyć, że w ruchu laminarnym strata energii zależy od d4,

2.2. Charakterystyka oporu miejscowego

Wysokości straty energii na oporze miejscowym obliczamy ze wzoru:

gdzie  jest współczynnikiem strat miejscowych, a  średnią prędkością przepływu za przeszkodą.

W ogólnym przypadku współczynnik strat miejscowych  zależy od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa, ale powyżej granicznej liczby Re, zwykle dla Re>104, nie ma ona

już wpływu na , zatem w tym przypadku współczynnik  konkretnego oporu miejscowego jest stały.

Po podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy

gdzie: Rm* 8_{2 4}

g d

 

2.3. Ekwiwalentny współczynnik oporu liniowego 2 2 2 e 2 l h d g g        stąd

_e - jest ekwiwalentnym (równoważnym) współczynnikiem oporu liniowego.

W jaki sposób zastąpić przewód o znanych parametrach d, l,  przeszkodą lokalną o równoważnym współczynniku oporu

2.4. Charakterystyka przepływowa szeregowego systemu hydraulicznego

Na podstawie uogólnionego równania Bernoulliego, zapisanego dla przekrojów 1-2, otrzymamy:

2 1 4 2 4 2 1

8

8

n v n

e

q

d

g

d

g













 

_



_







gdzie * 2 5 4 1 8 1 n i i i i _{i i} l R g  d  d      _  _  



natomiast *' 1 4 4 2 5 4 2 1 1 8 n 1 8 n i i i i n i i l R d d g d d g   _{ }         _  _  _  _  



 

jest opornością hydrauliczną zastępczą szeregowego systemu hydraulicznego.

Charakterystyka przepływu przybiera więc postać:

Oporność hydrauliczna zastępcza dla k-tego przewodu wynosi

* 1 2 4 4 2 5 4 1 8 _{k k} 8 _k 1 k k k k k k l R g d d g d d      _       _  _ _  _    

gdzie : k = 1, 2, 3, …, n jest numerem elementu systemu, a R_k opornością hydrauliczną k-tego odcinka tworzącego system hydrauliczny.

Charakterystyka przepływu k-tego odcinka systemu ma postać , (k = 1, 2, …, n) Ponieważ 4 4 * 2 5 4 1 5 4 1 8 1 1 1 n I n n I _i i i n i _{i i} i i i i _{i i} d d l R g d d l d d               _{ }   _{   }     _{ }     





Oporność hydrauliczną można zapisać w prostszej postaci:

oraz

1 2

...

e

e

e

2.5. Charakterystyki przepływowe, oporność hydrauliczna i jej jednostki

 

3 2 * * 2 2 , 5 I I m v _s h m s R R q m  _{ }   _{ }  

   

2 2 3 3 * * 2 2 2 , 7 m s kg m III III m m v _{s s} p Pa kg R R q m   _{ }   _{ }   

   

2 2 * * 2 2 2 1 , m s kg m IV IV _{kg kg} m _{s s} p Pa R R q kg m   _{ }   _{ }    

 

2 * * 2 2 , 2 II II _kg m _s h m m s R R q kg  _{ }    _{ }  

3. Energia rozporządzalna na początku lub końcu systemu

Oznaczając

gdzie Δe jest różnicą wysokości energii na początku e₁ i końcu systemu e₂

„+” dla wlotu do zbiornika „-” dla wylotu ze zbiornika

4. Metoda graficzna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

Energia rozporządzalna w przekroju 0 wynosi: -od strony przekroju 1

-od strony przekroju 2 Gdzie

R_A – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 1-0 R_B – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 0-2 Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

Przedstawiając powyższy układ równań w formie graficznej otrzymujemy

5. Metoda iteracyjna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

Metoda iteracyjna stosowana jest przy braku znajomości współczynników strat (liniowych lub miejscowych).

2 1 2 _{4 5 2} 1 1 2 4 5 2 1 8 8 n i i i v i _{i i} v _n i i i i _{i i} l e e q d d g e e q l d d g



_





_



      _  _           





Krok 1. Wybór wartości początkowej  dla każdego przewodu -poprzez przyjęcie dowolnej wartości z przedziału zmienności współczynnika strat liniowych,

-poprzez rozwiązanie zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu idealnego.

Krok 2. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla  z kroku 1. Krok 3. Obliczenia na podstawie wybranej formuły

współczynników  dla strumienia z kroku 2.

Krok 4. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla  z kroku 3. Krok 5. Sprawdzenie zbieżności strumienia objętości (masy). -brak zbieżności - powtórzenie kroków 3-4,

Ilość potrzebnych iteracji zależy:

•dokładności rozwiązania •wyboru punktu, startowego (w małym stopniu).

Wszystkie wielkości należy zawsze zapisywać z tą samą dokładnością (ilością miejsc po przecinku)!

Przykład 1. Metoda iteracyjna

Inne dane: =1000 kg/m3, =1,128 10-3Pa·s (w 15°C)

• _{Określenie kierunku przepływu}

1 3 1 3 b n n p p e h g p e h g          3 1 2 3 1 2 b p e h h g e h h         d= 10 m m

• Uogólnione równania Bernoulliego 1-2 3 2 2 3 1 1 2 2 2 1

...

...

2

2

2

b n D k p Z d

p

p

h

g

g

l

l

l

h

D

g

d

g























_{ }

_

_

_



_{ }









_



_



_







_





_

_

lub dla 1-3 3 1 2 2 2 3 1 1 2 2 2 1

...

...

2

2

2

b n D k p Z d

p

p

h

h

h

g

g

l

l

l

h

D

g

d

g























 

  



 









_



_



_









_





_

_

Po podstawieniu do równania ciągłości przepływu i obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy

3 1 2 2 3 1 1 2 2 4 5 4 5 2

2

₈

n v k p Z D d

p

h

h h

g

q

l

l

l

h

D

D

d

d

g













_

_



  











_

_

_

 











Jeśli współczynniki  są znane obliczamy strumień objętości. W przeciwnym wypadku należy zastosować metodę iteracyjną.

• Określimy  początkową na podstawie rozwiązania przykładu dla

płynu idealnego. Równanie Bernoulliego dla ma wówczas postać 3 2 b n

p

p

h

h

g

g







_{ }

_{ }

Stąd po podstawieniu równania ciągłości przepływu oraz obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy

2 1 2 3 2 2 4 3 1 2 2 4

2

8

200000

9,81 0,01

5 5 5

1000 9,81

8

b n b n v v

p

p

p

gh

h

h

g

g

g

p

gd

q

h

h h

g

q

















_{ }



_{ }







_

  

_















_

  

_









• _{Wyznaczenie liczb Reynoldsa}

3 3 3 3 4 4 1,365 10 1000 Re 0,01 1,128 10 4 4 1,365 10 1000 Re 0,05 1,128 10 v d v D q vd vd d q D                                   

• Wyznaczenie  (w zakresie rur hydraulicznie gładkich) dla Re<105 zastosowana zostanie formuła Blasiusa,

dla Re<106 _{zastosowana zostanie formuła Schillera.}

0,3 0,3 0,25 0,25 0,054 0,396 Re 0,054 0,396 154 075 (100 Re) (100 30 815) d D                

• _{Wyznaczenie strumienia objętości}

4 5 4 5 2 200000 5 5 5 1000 9,81 0,5 10 2 0, 25 0,5 0,5 1 20 10 5 8 0, 0239 0,0650 0,05 0,01 0,01 0,01 v v q g q              _{  }       Iteracja 1

• _{Obliczenie liczb Re} • Obliczenie  3 3 3 3 4 4 0,09 10 1000 Re 0,01 1,128 10 4 4 0,09 10 1000 Re 0,05 1,128 10 v d v D q d q D                               0,25 0,25 (100 Re) (100 10150) 64 64 Re 2030 d D            przypadek? 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0533 0.0278 λ.1 Re.1   λ.2 Re.2   12000 0 _{Re.1 Re.2},

• _{Wyznaczenie strumienia objętości}

v q 

• _{Obliczenie liczb Re} • Obliczenie  3 3 3 3 4 4 0,129 10 1000 Re 0,01 1,128 10 4 4 0,129 10 1000 Re 0,05 1,128 10 v d v D q d q D                               0,25 0,25 0,25 0,25 (100 Re ) (100 14 500) (100 Re ) (100 2 900) d d D D              

• _{Wyznaczenie strumienia objętości}

v q 

• _{Obliczenie liczb Re} • Obliczenie  3 3 3 3 4 4 0,134 10 1000 Re 0,01 1,128 10 4 4 0,134 10 1000 Re 0,05 1,128 10 v d v D q d q D                               0,25 0,25 0,25 0,25 (100 Re ) (100 15150) (100 Re ) (100 3 030) d d D D              

• _{Wyznaczenie strumienia objętości}

v q 

• _{Obliczenie liczb Re} • Obliczenie  3 3 3 3 4 4 0,135 10 1000 Re 0,01 1,128 10 4 4 0,135 10 1000 Re 0,05 1,128 10 v d v D q d q D                               0,25 0,25 0,25 0,25 (100 Re ) (100 15150) (100 Re ) (100 3 030) d d D D              

• _{Wyznaczenie strumienia objętości}

v q 

 takie jak …

Dochodzimy do …

Przykład 2. Obliczenie strumienia objętości na podstawie oporności hydraulicznych

Dla danych z poprzedniego przykładu obliczono oporności hydrauliczne przewodów * 3 1 _{2 4 2 4} * _{1 2 2} 2 _{2 4} 2 4 8 10 8 0,5 0,0426 0,05 0,05 8 2 20 10 5 8 2 0, 25 0,5 0,5 0,5 0,0285 0,01 0,01 D D d k p Z d l R D D g g l l h R d d g g                 _  _  _  _           _     _         _      _    * 2 * 2 0 1 0 2 0 1 2 0 _{* * 8}

25,38 10

119 200 8, 439 10

D v d v v d D

e

e

R q

e

R q

e

e

q

R

R

 

 

















Przykład 3. Metoda graficzna * 2 0 1 D v e  e R q * * * *

2

A B A B

R

R

R



R





* 2 0 1 A v e e R q   * 2 0 2 B v e e R q   * 2 0 2 d v e e R q   * * A B R  R 