A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S
FOLIA OECONOMICA 217, 2008______________
Grzegorz Kończak
*ROLA 1 ZNACZENIE SYMULACJI KOMPUTEROWYCH
WE WSPOMAGANIU PROCESU NAUCZANIA
STATYSTYKI
1. W PROW ADZENIE
W ostatnich kilkunastu latach nastąpił dynam iczny rozwój m ożliw ości w y korzystania kom puterów i odpow iedniego oprogram ow ania w procesie dydak tycznym . Początkow o była to m ożliw ość przygotow ania w ydruków kom putero wych i różnorodnych m ateriałów pom ocniczych do zajęć, następnie m ożliw ości prow adzenia w ykładów z pom ocą przygotow anych prezentacji oraz w ykorzy stania pakietów biurow ych i specjalistycznego oprogram ow ania na ćw iczeniach w pracow niach kom puterow ych. O becnie w procesie nauczania przedm iotów ilościowych pow szechnie w ykorzystyw ane są takie pakiety statystyczne jak SPSS, Statistica oraz R a także elem enty pakietu Office - arkusz kalkulacyjny Excel, edytor tekstu W ord i program prezentacyjny Pow er Point.
Szczególne m ożliw ości w zakresie w ykorzystania kom puterów w dydaktyce w ystępują w nauczaniu statystyki. Poza m ożliw ością szybkiego przeprow adze nia złożonych obliczeń, w nauczaniu statystyki, bardzo pom ocna okazuje się m ożliw ość przeprow adzania z pom ocą kom putera sym ulacji rzeczyw istych do świadczeń ja k np. w ielokrotne rzuty m onetą, kostką i dużo bardziej złożonych w ielokrotnie pow tarzanych eksperym entów . Kilkanaście lat tem u, aby wykonać proste sym ulacje kom puterow e konieczne było przygotow anie specjalnego p ro gramu. O becnie naw et dość złożone projekty sym ulacyjne m ożna przygotow ać bez pisania program ów , a jed y n ie w ystarczy posłużyć się w budow anym i funk cjami arkusza kalkulacyjnego M icrosoft Excel.
W artykule przedstawiono analizę możliwości wykorzystania symulacji kom pu terowych do wspomagania procesu nauczania przedmiotów statystyka, statystyka opisowa i statystyka matematyczna. W skazano programy, które są w ykorzystyw ane
" dr. A kadem ia Ekonom iczna w K atowicach. [63]
podczas zajęć prow adzonych w Akadem ii Ekonom icznej w K atow icach do przygotow ania i zaprezentow ania sym ulacji kom puterow ych. Przedstaw iono w ybrane przykłady sym ulacji kom puterow ych, które są w ykorzystyw ane na różnych etapach procesu dydaktycznego, do prezentacji i w yjaśnienia różnych zagadnień statystycznych.
2. SYMULACJA KOMPUTEROWA I JEJ ZNACZENIE
W ROZPOZNAWANIU I ROZUMIENIU PRAWIDŁOWOŚCI ZJAWISK MASOWYCH
W ielokrotne w ykonyw anie identycznych dośw iadczeń często było d ro g ą do poznaw ania praw rządzących naturą. U podstaw odkryw ania reguł rachunku praw dopodobieństw a było zainteresow anie grami hazardow ym i. W XVII wieku de Mere obserw ując gry w kości i aktyw nie uczestnicząc w tych grach na tyle w ypracow ał intuicję, że grając w kości potrafił w skazyw ać zdarzenia nieco bar dziej niż inne praw dopodobne (nie posługując się pojęciem praw dopodobień stwa), co pozw oliło mu wygrać fortunę (P.L. Bernstein, 1997). Tenże de M ere zw rócił się do B. Pascala z prośbą o pom oc w rozw iązaniu problem u podziału wygranej w niedokończonej grze w kości. Próby rozw iązania tego zagadnienia często są postrzegane jak o pierw sze kroki w poznaw aniu i rozw oju m etod ra chunku praw dopodobieństw a. W ielu w ybitnych naukow ców rzucało tysiące razy m onetą by zrozum ieć, potw ierdzić lub lepiej rozpoznać rządzące naturą praw i dłowości. O. Lange i A. Banasiński (1968) p rz y taczają że dośw iadczenia takie przeprow adzali przyrodnik G. Buffon (4040 rzutów m onetą) oraz statystyk K. Pearson (24 tysiące rzutów m onetą). N a różnych uczelniach przeprow adzano podobne dośw iadczenia zm ierzające do oceny częstości otrzym yw ania ustalonej strony m onety. W XV111 wieku francuski przyrodnik G. B uffon obliczył praw dopodobieństw o zdarzenia, że igła o długości / rzucona losowo na siatkę linii rów noległych odległych o a przetnie linię. Na tej podstaw ie M.P.S. Laplace zaproponow ał dośw iadczalną m etodę szacow ania liczby n. Jednak zarów no przy rzutach m onetą ja k i w dośw iadczeniu z igłą dla oszacow ania liczby я dla uzy skania zadow alających wyników należy w ykonać bardzo dużą liczbę dośw iad czeń. O becnie, w ykorzystując m ożliw ości techniczne, rzeczyw iste dośw iadcze nia m ożna zastąpić kom puterow ą sym ulacją. Jeszcze kilkanaście lat tem u prze prow adzenie prostej sym ulacji kom puterow ej w ym agało napisania specjalnego program u. N adal je s t to niezbędne przy przeprow adzaniu złożonych sym ulacji, ale jednocześnie w iele prostych sym ulacji o dużych w alorach dydaktycznych m ożna przygotow ać w ykorzystując podstaw ow e funkcje arkusza kalkulacyjne go. Zapoznanie studentów z problem atyką sym ulacji kom puterow ych je st rów
nocześnie zachętą do opracow yw ania przez nich w łasnych projektów sym ula cyjnych.
Sym ulacja to num eryczna procedura pozw alająca na przeprow adzenie eks perym entu z w ykorzystaniem kom putera. Szczególnym rodzajem sym ulacji kom puterow ej je st sym ulacja M onte C arlo - m etoda sym ulacyjna w ykorzystują ca serię dośw iadczeń statystycznych. I.N. K ow alenko i in. (1989) określają M onte Carlo jak o m etodę obliczeniow ą, która je st oparta na interpretacji proba bilistycznej szukanych w ielkości i w ykorzystaniu realizacji dośw iadczeń loso wych w celu oszacow ania tych wielkości. T. Hodgson i M. B urkę (2000) pod kreślają duże znaczenie sym ulacji kom puterow ych w rozw iązyw aniu złożonych problem ów , gdy trudne lub w ręcz niem ożliw e je s t otrzym anie dokładnego roz w iązania analitycznego. Z auw ażają jednocześnie, że studenci często lepiej ro zum ieją pew ne zagadnienia jeśli zostały one rów nież przedstaw ione sym ulacyj nie a nie tylko od strony teoretycznej. W ażną rolę zastosow ania sym ulacji w nauczaniu statystyki podkreśla rów nież J.D. M ills (2003). Zaznacza jed n o cz e śnie, że uzupełnienie w ykładu teoretycznego przykładam i sym ulacyjnym i m oże być bardzo pom ocne dla studentów na różnych kierunkach studiów.
Z m etodam i sym ulacji nieodłącznie zw iązane s ą liczby losowe. Pierwsze ta blice liczb losowych opublikow ał w 1927 roku L.H.C. Tippett, a nieco później podobne tablice przedstaw ili R.A. Fisher i F Yates. C.R. Rao (1994) podkreśla, że w ytw arzanie liczb losowych to obecnie w ielom iliardow y przem ysł światowy w ykorzystujący pow ażne badania naukow e i najnow sze szybkie technologie kom puterow e. Zw iększające się m ożliw ości szerokiego zastosow ania kom pute rów i użycia niezaw odnych generatorów liczb losow ych stw orzyły nowe m ożli wości w zakresie sym ulacji kom puterow ych oraz doprow adziły do pow stania now oczesnych metod statystycznych ja k np. m etody analizy podrób bootstrap czy jackknife.
W raz z dynam icznym rozw ojem m ożliw ości kom puterów w zakresie prze tw arzania dużych ilości inform acji w ostatnich dziesięcioleciach następow ał ciągły w zrost znaczenia technik sym ulacji kom puterow ych w badaniach nauko wych. Sym ulacyjnie m ożem y porów nyw ać szybkości różnych procedur oblicze niow ych, oceniać obciążenia i błędy średniokw adratow e złożonych estym ato rów, konstruow ać przedziały ufności dla szacow anych param etrów populacji, rozpoznaw ać własności testów statystycznych. M etody sym ulacji są podstaw ą m etod analizy podrób ja k bootstrap oraz jackknife. W dalszej części jedn ak skoncentrujem y się na m ożliw ościach w ykorzystania sym ulacji w procesie dy daktycznym , a w szczególności w nauczaniu treści przedstaw ianych na przed m iotach statystyka, statystyka opisow a i statystyka m atem atyczna.
3. S Y M U L A C J E K O M P U T E R O W E - N A R Z Ę D Z I A D O W Y K O R Z Y S T A N I A
W iele prostych sym ulacji kom puterow ych m ożna przeprow adzić bez w yko rzystyw ania specjalistycznych program ów . W najprostszym przypadku do prze prow adzenia sym ulacji kom puterow ych w ystarczy w yłącznie dostęp do sieci internetow ej oraz dow olna przeglądarka stron internetow ych. Projekty do prze prow adzenia sym ulacji „on-line” zam ieszczone na stronach internetow ych zw y kle m ają charakter dydaktyczny. W śród różnych pom ocy dydaktycznych do stępnych na stronach internetow ych K ończak G. (2007) w ym ienia rów nież takie projekty, które m ają charakter sym ulacji kom puterow ej.
N ieco większe m ożliw ości w zakresie przeprow adzenia sym ulacji kom pu terow ych uzyskujem y w ykorzystując pow szechnie dostępny arkusz kalkulacyjny M icrostoft Excel (m oże to rów nież być inny arkusz kalkulacyjny). M ożliwość generow ania, z w ykorzystaniem w budow anych funkcji, w artości z takich roz kładów jak jednostajny, norm alny, chi-kw adrat i wiele innych pozw ala nawet osobom nie znającym języków program ow ania szybko opracow ać naw et dość złożone projekty sym ulacyjne. M ogą to być zarów no sym ulacje o charakterze dydaktycznym , ja k rów nież pozw alające rozw iązać rzeczyw iste problem y staty styczne. Przykład w ykorzystania funkcji arkusza kalkulacyjnego Excel do loso w ania podrób z pobranej próbki, a następnie do estym acji w ybranych param e trów i w eryfikacji hipotez przedstaw ia D. C hristie (2004). A utor ten zw raca jednocześnie uwagę na nie najlepsze w łasności generatora liczb losowych w bu dow anego w arkusz kalkulacyjny Excel. Fakt ten m oże prow adzić do zastrzeżeń co do stosow ania tego generatora w badaniach naukow ych, ale jednocześnie nie dyskrym inuje tego rozw iązania w zakresie dydaktycznym . J.R. Evans (2000) przedstaw ia m ożliw ości w ykorzystania w dydaktyce projektów sym ulacyjnych w arkuszu kalkulacyjnym oraz om aw ia dodatek do arkusza kalkulacyjnego Excel - Crystal Ball (http://w w w .crystalball.com ). Z w ykorzystaniem tej aplika cji, rów nież osoby niezbyt biegle posługujące się funkcjam i arkusza kalkulacyj nego, bardzo szybko m ogą opracow ać naw et złożone projekty sym ulacyjne. W obszernych arkuszach w ynikow ych przygotow yw anych przez Crystal Ball m ożna otrzym ać sym ulacyjne oceny różnorodnych charakterystyk jak np. w ar tość oczekiw ana czy przedział ufności dla nieznanego szacow anego param etru populacji.
Znacznie w iększe m ożliw ości opracow ania projektów sym ulacyjnych daje w budow any w arkusz kalkulacyjny Excel języ k VBA. Szczególnie m ożliw ość w ykorzystania pętli, instrukcji w arunkow ych oraz zdefiniow ania w łasnych funkcji i procedur obliczeniow ych stw arzają z tego środow iska dobre i po w szechnie dostępne narzędzie do opracow yw ania sym ulacji kom puterow ych. Ze względu na dostęp do arkusza kalkulacyjnego na uczelniach te właśnie narzędzia (Excel i VBA) m ogą być stosow ane w projektach sym ulacyjnych o charakterze
dydaktycznym . Przykładow y program sym ulacyjny, w spom agający w prow adze nie zagadnienia regresji liniow ej, napisany w języ k u VBA przedstaw iają G .T. Jones i in. (2004). Student ma m ożliw ość określenia param etrów liniowej funkcji regresji a następnie w ygenerow ania obserw acji zgodnie z przyjętym m odelem . Na podstaw ie otrzym anych wartości szacow ane są param etry m odelu. U żytkow nik ma m ożliw ość porów nania wartości param etrów m odelu regresji liniow ej oraz otrzym anych ich ocen.
D ostępny na licencji Open Source program R je st bardzo interesującym na rzędziem do przeprow adzania sym ulacji kom puterow ych. U żytkow nik ma m oż liwość w ykorzystania generatorów w artości zm iennych losowych o różnych rozkładach, instrukcji w arunkow ych i pętli. W Internecie dostępne są rów nież w itryny pozw alające na obsługę program u on-line. W takim przypadku użyt kow nik nie musi na lokalnym kom puterze instalow ać program u R lecz po w prow adzeniu kom end do okna przeglądarki internetow ej w yśw ietlane są w szystkie rezultaty. M ożliwości w ykorzystania program u R on-line zapew nia m.in. system EM ILeA -stat (K. C ram er К. i in., 2004). Pakiet podstaw ow y m oże być rozszerzany o pakiety zw iększające m ożliw ości program u. W szczególności istnieje m ożliw ość korzystania z pakietów , które posiadają specjalne funkcje w spom agające proces przeprow adzania analiz sym ulacyjnych. Za szczególnie przydatne do zaznajom ienia się z ideą sym ulacji i opracow ania projektów sym u lacji kom puterow ych należy uznać pakiety rv oraz TeachingD em os. Pierwszy z nich pozw ala na definiow anie w ektorów losowych o różnych rozkładach. N a tych w ektorach m ożna w ykonyw ać różne operacje np. w yznaczać sym ulacyjnie charakterystyki funkcji zm iennych losowych. Drugi z w ym ienionych pakietów zaw iera w iele przykładów , które m ogą być w ykorzystane jak o pom oc przy w y jaśnianiu takich pojęć ja k np. centralne tw ierdzenie graniczne, m oc testu, kon
strukcja przedziałów ufności czy m etody analizy podrób.
M ożliw ości przeprow adzenia sym ulacji kom puterow ych zapew niają rów nież takie program y jak SPSS i Statistica, choć nie są to program y ukierunkow a ne na analizy sym ulacyjne. O ba w spom niane pakiety d ają użytkow nikow i m oż liwość korzystania z funkcji pozw alających generow ać w artości z wielu różnych rozkładów . Zarów no w SPSS ja k i w program ie Statistica istnieje m ożliw ość program ow ania w języ k u VBA, a więc w ykorzystania np. instrukcji w arunko w ych i pętli.
4. WYBRANE PRZYKŁADY PROJEKTÓW SYMULACYJNYCH WYKORZYSTYWANE W NAUCZANIU STATYSTYKI
Procedury generow ania liczb losow ych są w ykorzystyw ane do rozw iązyw a nia różnorodnych problem ów. R. W ieczorkow ski i R. Zieliński (1997) w yróż niają trzy kategorie zagadnień, gdzie w ykorzystuje się liczby losowe:
- problem y zw iązane z przeprow adzaniem badań reprezentacyjnych, - zadania num eryczne rozw iązyw ane m etodą M onte Carlo,
- badanie różnych zjaw isk i procesów za pom ocą ich kom puterow ej sym u lacji (m odelow ania).
Zazwyczaj m ówiąc o sym ulacji mam y na m yśli problem zw iązany z przeprow adzeniem wielu dośw iadczeń, jed n ak w szczególnych przypadkach proces sym ulacji może być wykonany jed en raz lub kilkakrotnie. W celu uzy skania w ystarczająco dobrych ocen param etrów zazw yczaj niezbędne je s t jedn ak przeprow adzenie setek lub tysięcy dośw iadczeń.
Przykłady sym ulacji kom puterow ych, które m ogą być pom ocne w przed staw ianiu i objaśnianiu problem ów statystycznych m ogą być w ykorzystyw ane na różne sposoby:
- w formie prezentacji danego zagadnienia na w ykładzie, jak o uzupełnienie prezentow anych treści teoretycznych,
- na ćw iczeniach w pracowni kom puterow ej,
- poprzez udostępnienie plików z przygotow anym i projektam i do przepro w adzenia sym ulacji, jak o pomoc do indyw idualnej pracy studenta.
Poza w ym ienionym i m ożliw ościam i w ykorzystania przykładów sym ulacji kom puterow ych w nauczaniu statystyki m ożna zachęcać studentów do sam o dzielnych poszukiw ań rozw iązań różnych rzeczyw istych problem ów m etodam i sym ulacyjnym i. To rozw iązanie m oże być szczególnie przydatne w ram ach spe cjalnego przedm iotu, którego tem atyka pośw ięcona je s t m etodom sym ulacji kom puterow ych lub w ramach spotkań koła naukow ego.
W tabeli 1. przedstaw iono w ybrane przykłady sym ulacji kom puterow ych, które są w ykorzystyw ane na zajęciach ze statystyki w K atedrze Statystyki A ka dem ii Ekonom icznej w Katow icach. Prezentow ane na w ykładach przykłady są jed y n ie ilustracją om aw ianego zagadnienia i uzupełnieniem przekazyw anych w iadom ości teoretycznych. W prow adzają one jedno cześn ie studentów w pro blem atykę sym ulacji kom puterow ej. C zęść z w ym ienionych w tabeli 1 przykła dów jest zam ieszczona na dydaktycznej stronie K atedry Statystyki Akadem ii Ekonom icznej w K atow icach pod adresem http://stat.ae.katow ice.pl.
Tabela 1 Wybrane przykłady zagadnień teoretycznych prezentowanych z w ykorzystaniem przykładów
sym ulacyjnych
Zagadnienie Symulacja komputerowa
Rozklady zm iennych loso wych.
Generowanie wartości z zadanego rozkładu. Sporządzenie histo gramu, O cena parametrów rozkładu. M etody generow ania warto ści z zadanego rozkładu.
Rozkłady statystyk z próby Konstrukcja histogramu obserwacji, średniej i wariancji z próby. Wartość oczekiw ana
zm iennej losowej
Wartość oczekiw ana liczby oczek w jednym rzucie kostką. Prawo w ielkich liczb C zęstość w ystępow ania „orzełka” w rzucie monetą.
Szacow anie pola figury. D ośw iadczenie Buffona z iglą.
Metoda bootstrap Ocena przedziałowa parametrów, weryfikacja hipotez statystycz nych.
W yznaczanie rozkładów złożonych statystyk, w yznaczanie kwantyli
Rozkład indeksów ekonom icznych z próby.
A naliza wariancji Test analizy wariancji. Symulacja testu przy dla różnych danych w ejściow ych.
Sym ulacja rzeczyw istych procesów
Sym ulacja notowań giełdow ych. Sym ulacja procesów demograficznych.
N a rys 1. przedstawiono opracowany w programie R projekt symulacyjny, który może być wykorzystany jako ilustracja centralnego twierdzenia granicznego. Użyt kownik ma możliwość wybrania postaci rozkładu zmiennej losowej. Dla wybranej zmiennej losowej na podstawie przeprowadzonych symulacji wykreślane są histo gramy dla średniej z próby dla prób o liczebnościach n = 1 ,2 oraz 10.
N a rys. 2 przedstaw iono prezentację sym ulacyjną, która podobnie ja k po przedni przykład m oże być w ykorzystana do zilustrow ania centralnego tw ier dzenia granicznego. Dla różnych n (n = 10, 20, 50, 100, 1000 - liczba dośw iad czeń) użytkow nik m a m ożliw ość obserw acji częstości w zględnej w ystępow ania „orzełka” w rzucie monetą.
N a rys. 3 przedstaw iono projekt sym ulacji pozw alającej na w yznaczenie rozkładu indeksu agregatow ego cen w edług formuły Laspeyresa. W tym przy kładzie do przeprow adzenia sym ulacji w ykorzystano dodatek Crystal Ball firmy Oracle. Posługując się tym dodatkiem bez potrzeby pisania program u, a naw et bez konieczności w prow adzania formuł do kom órek arkusza kalkulacyjnego m ożna przygotow ać naw et złożone projekty sym ulacyjne. Dla danych w ejścio wych Crystal Ball pozw ala na w ybór spośród 22 dostępnych typów rozkładów zm iennych losow ych m.in. zero-jedynkow y, rów nom ierny, jed no stajn y, trójkąt ny, norm alny i logarytm iczno-norm alny. Dla w ybranego rozkładu użytkow nik ma m ożliw ość podania w artości param etrów . Program w ykonuje zadaną liczbę sym ulacji i w żądanej przez użytkow nika form ie przedstaw ia obszerne rezultaty przeprow adzonej sym ulacji.
H istogram n= 1 Histogram n= 2 H istogram n= 10 0 0 —r~ 0 2 ~T~ 0 4 ! 0.6 0.8 I 1 0 U -Л O t o X O O kO o vo C Ü o o T~ 0.2 Г" 0 4 I 0 6 T 0.8 1 1.0 ' U O tlo s u 0.0
Л
—г 0.2 т~ 0.4 Г 0.6Jk
T~ 0 8 ~ 1 1 0Rys. 2. Sym ulacja rzutu m onetą - częstość względna wyrzuconych „orłów ” w zależn ości od liczby doświadczeń
Przedstaw ione projekty sym ulacyjne są tylko w ybranym i przykładam i. G łów nym celem przy opracow aniu tych przykładów je s t ułatw ienie studentom zrozum ienia prezentow anych zagadnień teoretycznych.
5. Z A K O Ń C Z EN IE
W ostatnich latach nastąpił znaczny wzrost m ożliw ości w ykorzystania kom puterów nie tylko w badaniach naukow ych ale rów nież w procesie dydaktycz nym. Do przedm iotów , gdzie m ożliw ość w ykorzystania kom putera i odpow ied niego opracow ania daje szczególne m ożliw ości ubogacenia procesu dydaktycz nego należy zaliczyć statystykę.
Proste przykłady sym ulacji kom puterow ych m o gą być uzupełnieniem pre zentow anych na wykładzie treści teoretycznych. P rzygotow ane pliki z określoną sym ulacją m ogą być udostępniane studentom do um ożliw ienia im indyw idual nego ćw iczenia i zarazem poznaw ania idei sym ulacji M onte Carlo. Jednak głęb sze w prow adzenie w istotę zagadnień sym ulacyjnych je st m ożliw e jed y n ie w ramach przedm iotu specjalnie pośw ieconego tym zagadnieniom . W obec ro snących m ożliw ości w ykorzystania analiz sym ulacyjnych nie tylko w statystyce, zdaniem autora, warto przedstaw iać studentom przynajm niej w ram ach przed m iotów do wyboru problem atykę sym ulacji kom puterow ych.
- v й ^ Сои
Define Define Define ~
Assumption - Decision Forecast
i'-fc Select- g g J U I V - T w s
ф Cell Prefs S,art Et* View Forecast Preferences Help
i ł l Jk #"*>
< |l 250e
R ys. 3 . Sym ulacyjnie uzyskany rozklad indeksu agregatow ego z w ykorzystaniem Crystal Ball (w ersja trial)
Gr ze gor z K o ń c z a k
W prow adzanie metod sym ulacyjnych w procesie dydaktycznym pozw ala studentom lepiej zrozum ieć om aw iany m ateriał. Jeśli student pozna m ożliw ości sym ulacji, to zapew ne zachęci go to do poszukiw ania rozw iązań złożonych pro blem ów z w ykorzystaniem m etod sym ulacyjnych.
LITERATURA
Bernstein P.L. (1997) Przeciw bogom . N iezw yk le dzieje ryzyka, WIG Press. Warszawa. Christie D. (2 0 0 4 ) R esam pling with E xcel, T eaching Statistics, vol. 26, no. 1, s. 9 -1 4 .
Cramer K., Kamps U., Zuckschwerdt Ch. (2 0 0 4 ) St-apps and EM ILeA-stat: Interactive visualiza tions in descriptive statistics, w: Proceedings in Computational Statistics 2004. Physica - Verlag H eidelberg - N e w York.
Evans J.R. (2 0 0 0 ) Spreadsheets as a T ool Гог T eaching Simulation, INFORM S Transactions on Education, vol. 1, no 1, s. 2 7 -3 7 .
H odgson T., Burke M. (2000), On Sim ulation and the Teaching o f Statistics, Teaching Statistics, vol. 22, no. 3, s. 9 1 -9 6 .
Jones G.T., Jones R.H., Jones K. (2 0 0 4 ) A V B A -based Sim ulation for Teaching Sim ple Linear R egression, Teaching Statistics, vol. 26, no. 2, s. 3 6 -4 1 .
Kończak G. (2 0 0 7 ) System y W eb T eaching - przegląd rozwiązań stosow anych w różnych krajach. Acta Universitatis L odziensis, Folia O econom ica vol. 205, s. 1 9 5-204.
K ow alenko I.N., K uzniecow N.J., Szurienkow W .M. (1 9 8 9 ) Procesy stochastyczne. Poradnik. Państw ow e W ydaw nictw o N aukow e. Warszawa.
Lange O., Banasiński A. (1 9 6 8 ) Teoria statystyki. W ydaw nictw o E konom iczne. 1968.
M ills J.D. (2003) A Theoretical Framework for Teaching Statistics, T eaching Statistics, vol. 25, no. 2, s. 5 6 -5 8 .
Rao C.R. (1 9 9 4 ) Statystyka i prawda. W ydaw nictw a N aukow e PW N. Warszawa.
W ieczorkow ski R. Zieliński R. (1 9 9 7 ) Kom puterowe generatory' liczb losow ych. W ydawnictwa N aukow o-T echniczne. Warszawa.
G rzegorz Kończak
THE USE OF MONTE CARLO METHODS IN THE TEACHING OF STATISTICS
The pow er o f computer sim ulation as a problem -solving is w ell known. The Monte Carlo study can be used in parameter estim ation, hypothesis testing and resampling methods, such as bootstrap and jackknife.
The educational role o f computer sim ulation is considered in the paper. The use o f M onte Carlo study can promote a deep conceptual understanding o f statistics. The programs, w hich can be used for preparation the sim ulation projects and the exam ples o f educational computer sim ula tion are described in the paper.
