Z E S Z Y T Y N A U K O W E W Y Ż S Z E J S Z K O Ł Y P E D A G O G IC Z N E J W B Y D G O S Z C Z Y
P roblem y M atem atyczne 1982 z.4
Z b ig n ie w G ra n d e W S P B y d g o s z c z
S U R L A C O N T IN U IT É A P P R O X IM A T IV E P A IB L E
L 'e n se m b le E de toutes le s fonctionnelles U n fa ir e s d e la forme
О
( X ) * ж e st un en sem ble fondamental d e foncttonneUes ü n é a ire s
n n
d a n s lg ( com parer C l ] ) , с 'e s t - à - dire, eUe s a ti s fait à la condi tion suivante:
pour tout (
> 0
« t x c X , il ex iste une com binaison Unéaire 3 * a l 3 1 ł “ + e n 3 n d 'é lé m e n ts | n de l'e n s e m b le[ 7 ] lo r s q u 'i l e s t v id e ou bien tout so n point e s t un point d e densité de l'e n s e m b le A ( i l e s t une somme d 'e n s e m b le s d -o u ve rte et à la fo is du type ^ et G j - ) С il e st d—o u vert et m [ A l - m(Int A | , ou Int fl
d é sig n e l'in t é rie u r d e l'e n s e m b le A et m d é sig n e la m esure de L e b e s g u e d a n s l 'e s p a c e R d e s nom bres r é e ls 3 •
L a famille d e s e n se m b le s r-o u v e rts ( a .e .-o u v e rts ) e s t une topologie qui détermine la famille d e s fonctions r-c o n tln u e s ( a .e.-con tin u es )
(v o ir [ 7] ) . U n e fonction f: [ 0 , 1 ] — ► i^ e s t dite faiblement app roxim a tivement continue ( faiblement r-contlnue )
С
faiblement a.e.-continue ]{ d e c la s s e faible a i d e B a ir e } { { a v e c l a propriété faible de B a l r e j } {({faiblem en t m e s u ra b le ]}} p a r rapport a E q lo rs q u e , quelle que soit la fonctionneUe ? i E , l a fonction ré e lle ? o f e s t approximativement continue ( r-contlnue ) С a.e.~continueJ { d e c la s s e c( d e B a lr e j { { a la
• a t d ite q u a d - co n tin u e au p o in t t lo r s q u e , q u e l q u e s o it l'e n t o u r a g e o u v e r t U du poin t f ( t ) e t l'e n t o u r a g e o u v e r t V du point t, on a
In f f’ ^ u M + O ( v o i r 5 ) .
I l ré s u lte du th é o rèm e 2 du t r a v a il C l ] q u e toute fo n c tio n f: £0,1] —■> 1^ fa ib lem en t a p p ro x im a tivem en t co n tin u e e s t d e d eu x ièm e c l a s s e d e B a lr e . R em a rq u o n s qu 'e l l e n e dott p a s ê t r e d e p rem ière c l a s s e d e B a lr e .
T H É O R È M E 1. Il e x is t e une fo n c tio n fî C O , l ] > 1^ fa ib lem en t a .e .-co n tin u e qui n 'e s t p a s d e p re m iè re c l a s s e d e В a ir e .
D É M O N S T R A T IO N . S o ie n t С с
Co,l]
l'e n s e m b le d e C a n to r e t ( { d ,_ V OO П
P n ) ) une d e to u tes l e s c o m p o s a n te s du co m p lém en ta ire f O . l ] - C . Il e x is t e p o u r tout p oin t d n ( n - 1.2,... ) une su ite n d 'in t e r v a lle s fe r m e s J. ( k - 1 , 2,... ) co n ten u s d a n s £ ° Д ] - С - I/
J - l J. . d is jo in ts d e u x à d e u x e t te ls qu e l a d e n s ité d e l'e n s e m b le
: - l
J
П J, au point d e s t é g a le à 1 e t la ferm etu re C l ( Q j , )
k - 1 kn n k - 1 kn
« o t oo .
d e l a som m e (J Jkn e s t é g a le [ J Jkn y 4oln J •
k - 1 k - 1
Il e x is t e é g a le m e n t p o u r tout in te r v a lle Jkn ( k , n - l, 2 , . . . ) un in te r v a lle
t e r r a i Ik c o n ten u d a n s l 'In té r ie u r Int Jkn te l q u e l a d e n s ité d e la som m e M I au point d e s t e n c o r e é g a le à 1, q u e l q u e s o it k - 1 Kn n Пя 1|2,е»е • P o s o n s * ( l y O y O y e e e O y . e e ) y © 2 " ( 0 , 1 , O , * . . ) y © ß m I 0 , 0, 1 , 0 , e e e y 0 , e e « ) y к e t - ®o e n lo r s q u e t e ^kn u
ri
у n *l,2 y «»« O lo rsq u e t e £ 0 ,1 ] -Ö С U
J jи
? 1 n - 1 k - 1 kn w ^ n J Jlin é a ir e d a n s toute c o m p o s a n te d e l 'e n s e m b le J k n - Ikn , k,n — 1,2,...
On Cl, p o u r tout n -1 ,2 , A ^ r s q u e 1 e Ц ! kn a {<* n ] k - 1 ^ v O lo r s q u e t € [ O . l ] -
U
Jkn "^
n^
k - 1 kn 3 n. f ( t » - <^ lin éa ire d a n s toute co m p o s a n te J^n - 1^п, к - 1,2,... On v o it fa c ile m e n t q u e l a fo n c tio n 3 no f e s t co n tin u e e n tout point t é c(n e t a p p ro x im a tivem en t co n tin u e au p oin t d , c e qui term ine la d é m o
n stra tion .
D ém on tro n s e n c o r e q u e toute fo n c tio n f: [ O . l ] — ► 12 fa iblem en t r-c o n tin u e p a r ra p p o rt à Eq e s t p o n ctu ellem en t d isc o n tin u e. D a n s c e but d ém on tro n s d 'a b o r d le th éorèm e su iva n t:
T H É O R È M E 2. T o u te fo n c tio n f: С O . l ] ---> 1„ fa ib lem en t r-eor>-*2
tinue p a r ra p p o rt à Eq e s t la lim ite d 'u n e su ite d e fo n c tio n s r-c o n tin u e s .
D É M O N S T R A T IO N . S i l a fo n c tio n f: С 0 , 1 } ----» 12 e s t fa ib lem en t r-c o n tin u e p a r ra p p o rt a E q , to u tes le s fo n c tio n s
• f l “ ) - ( 3 i ° < “ >
-P 2 ‘ t » - ( o , J 2o f ( t > , 0 , 0 , . . . ) ,
so n t г -c o n tin u e s e t p a r c o n s é q u e n t tou tes l e s fo n c tio n s fn ( t )
“
t
f i
“ 1
so n t l e s m êm es. Com m e, d e plu s, f i t ) - iim f n ( t ) p o u r tout t € [ 0 , 1 ] , n —» OO n o tre th é o rèm e e s t d o n c dém on tré. D e l a m êm e fa ç o n on o b tien t e n c o r e l e s s u iv a n ts :T H É O R È M E 3. S i 1« fonction f: f O , l ] — » 1^ mat faiblement a.e<-continue p a r rapport à E ^ , elle eat l a limite d 'u n e suite d e fonctions s.e.-con tin ue s .
/ %
T H E O R E M E 4. S i l a fonction f: С O . l ] — *1 2 a la propriété faible d e B a lr e p a r rapport à E q , elle a l a p r o p r i M de В a ire , com m e la limite d 'u n e suite d e fonctions ayant l a propriété de В aire.
T H É O R È M E 5. S I l e s fo n c tio n s f n« C O . l ] — >12 ( n -1 ,2 ,... ) so n t q u a s i — c o n tin u e s e t s i lim f R (t^ - f i t ) p o u r tout poin t t £ [ O . l ] ,
n —» OO
la fonction f e st ponctuellement discontinue. #
D E M O N S T R A T IO N . S u p p o s o n s, au contraire, que la fonction f ne soit p a s ponctuellement discontinue. Il e xiste don c un en sem ble A с [ 0 . 1 ] de deuxièm e catégorie et une s p h è re ferm ée S M l 2 tels que f(t )e ln t S ( l'in t é rie u r de l a s p h è r e S ) po ur tout t e A et qu el que soit l 'In tervalle ouvert J coupant A , il e xiste un point t e J tel que f i t ) i S . M a is
lim fn i t ) - f i t ) po ur tout t e A , il e x iste donc п-»<ю
po u r tout point t e A un Indice naturel n i t ) tel qu e fn4t>e Int S pou r tout n ^ , n ( t ) . L 'e n s e m b le A étant d e d eu x ièm e c a t é g o r ie et l'e n s e m b le d e s n o m b res n a tu re ls éta n t d én o m b ra b le, 11 existe un in d ic e n atu rel n
O tel qu e l 'e n s e m b le
В - | t e A ; n ( t ) - nQ^
e st d e deuxièm e caté g o rie . U ex iste un Intervalle ou vert J С [ O . l ] d a n s le q u e l l 'e n se m b le В e st d e n se . S o le n t to < J un point tel que f ( t 0 ) ф S et n un indice naturel p lu s g ra n d qu e nQ tel q u e fn ( tQ )
é S . O n a f ( t ) e Int S p o u r tout 1 6 В e t f ( t ) é. S , en c o n tra d ic tio n
' n n O I
a v e c l a q u a s i -> co n tin u ité d e la fo n c tio n f e t l a d ém on stra tio n e s t n
a c h e v é e .
T H E O R È M E 6. S I la fo n c tio n fs [ O . l ] — > 12 e s t fa ib lem en t r - c o n tin u e p a r ra p p o rt a E ^ , e lle e s t p o n c tu elle m en t d is c o n tin u e .
D E M O N S T R A T IO N . T o u te fo n c tio n r-c o n tin u e éta n t q u a s i - co n tin u e ( v o i r [ 7 ] ) e t la lim ite d 'u n e su ite d e fo n c tio n s q u a s i
-c o n t in u e « étan t p o n -ctu ellem en t d is -c o n tin u e (T h . 5 ] , n otre th éorèm e e * t d o n c dém on tré.
T H É O R È M E 7. Il e x is t e une fo n c tio n f: C o , l ] —»1 2 fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t co n tin u e peu* ra p p o rt à E o , qui n 'e s t con tin u e en au cu n p o in t X e [Ô .î] .
D E M O N S T R A T IO N . R a n g e o n s tou s l e s n om b res ra tio n n e ls d e l'in t e r v a lle С ° Д 1 * n une su ite
W2>— >w nt— » Wj ^ w. lo r s q u e i é j •
Il e x is t e p o u r tout (n - 1 ,2 ,. ..) un e n s e m b le ferm é, non — d e n s e A n co n ten u d a n s l'e n s e m b le I - r\£j A ^ , ou I d é s ig n e l'e n s e m b le d e s n om b res Irra tio n n e ls d e l 'in t e r v a lle j^O,lJ e t tel q u e s a d e n s ité au point e s t é g a le à 1.
S o it В C A f n - 1,2,... 1 un e n s e m b le du ty p e E co n te n a n t w _
n n • n
e t te l qu e c h a q u e s o n p oin t e s t un poin t d e d e n s it é d e l'e n s e m b le B n. D 'a p r è s le lem m e 11 du t r a v a il [ 9 ] i l e x is t e un fo n c tio n a p p r o x im ativem en t co n tin u e f n: С 0 , 1 ] ---- > R te lle q u e ?n ( D “ O lo r s q u e 4 Ф В e t O < f (t> 5 1 lo r s q u e t € В . P o s o n s
n n _ n
f ( t )
f n |t) - n p o u r t € ÇO .l3 .
f
L a fo n c tio n f^ e s t é g a le m e n t a p p rox im a tivem en t con tin u e. S o it f f ( t ) e lo r s q u e t € В , n - 1 ,2 ^ „ f ( t ) oc? O lo r s q u e t € C O . ll - \J B n n -1
P u is q u e X o f ( t ) - t ( t ) p ou r toute fo n c tio n n e lle ł n e E 0 , la fo n c tio n f
W П П ^ %
e s t d o n c fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t co n tin u e p a r ra p p o rt a E q . D 'a u t r e part, ||f ( t ) Il - 1 p o u r tout nom bre ra tio n n el t e t Ц f (tty|
- O p o u r tout nom bre t a p p a rten a n t à l'e n s e m b le С °Д З “ G B n n -1 éta n t d e n s e , la fo n c tio n f n 'e s t n on p lu s co n tin u e en au cu n point 4 € СОДЗ . C e la term in e l a d ém on stra tio n .
T H É O R È M E 8. U n e fo n c tio n ft С 0 !1 ! ] — * ^2 e s t d e d eu x *®me c la s s e d e B a ir e s i e t seu lem en t s ' i l e x is t e une su ite d e fo n c tio n s f n : С о д З — » 12 ( n - 1,2,... ) fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t co n tin u es p a r ra p p o rt à E 0 e t c o n v e r g e n t e v e r s l a fo n c tio n f.
D É M O N S T R A T IO N . S ' i l e x is t e un su ite d e fo n c tio n s f n fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t co n tin u e s p a r ra p p o rt à E q , la fo n c tio n f e s t d e d eu x ièm e c la s s e d e B a ir e , d 'a p r è s le th é o rèm e 3 d e l 'a r t ic le
f 13 , p u isq u e toute fo n c tio n fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t con tin u e e s t d e c l a s s e fa ib le 1 p a r ra p p o rt à E q .
D 'a u t r e part, toute fo n c tio n ft [ О Д ']— > 1^ d e d e u x ièm e c l a s s e d e B a ir e e s t l a limite d 'u n e su ite d e fo n c tio n s f ns C O ,l3— >12 a p p roxim a tivem en t co n tin u e s ( v o i r [ j 1,] ) e t toute fo n c tio n a p p rox im a tivem en t co n ti nue e s t a u s s i fa iblem en t a p p rox im a tivem en t con tin u e p a r ra p p o rt E q , n otre dém on stra tion e s t d o n c fin ie.
En fin alem en t, n oton s e n c o r e le s s u iv a n ts :
T H E O R E M E 9. T o u te fo n c tio n fs [ ОДЗ * С0 .1! — > l 2 ( fs C ° t i] * C o . l l * C o .i l — * 12 ) fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t co n tin u e p a r ra p p o rt à E o re la tiv e m e n t à ch a q u e v a r ia b le s é p a r é m e n t e s t d e tro isièm e
( d e qu atrièm e ) c l a s s e d e B a lr e .
D É M O N S T R A T IO N . É ta n t fix é l a fo n c tio n n e lle "? E , la fo n -
4 ^ O
ctio n "? o f e s t d e d eu x ièm e »é n ( d e tro is iè m e ) c la s s e d e B a ir e ( v o ir [23 e t r e s p e c tiv e m e n t С з З ) e t p a r c o n s é q u e n t, d 'a p r è s le th éorem e 3 du tra v a il С l ] . l a fo n c tio n f e s t d e tro is iè m e ( d e q u atrièm e ) c l a s s e d e B a ir e .
T H É O R È M E 10. S i la fo n c tio n f: ( О Д ] X Со,i l — > 12 e s t fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t con tin u e p a r ra p p o rt à Eq re la tiv e m e n t à l 'u n e v a r ia b le e t d e p rem ière c l a s s e fa ib le d e B a ir e re la tiv e m e n t
4 4
a 1 au tre, e lle e s t d e tro isièm e c la s s e d e B a ir e .
D E M O N S T R A T IO N . É tant fix e Д e E , la fo n c tio n ? o f
O n o -Jn
e s t d e d eu x ièm e c la s s e d s B a ir e ( v o ir ( 6 3 ) e t p a r c o n s é q u e n t la fo n ctio n f e s t d e tro isièm e c la s s e d e B a ir e .
T H É O R E M E 11, S i la fo n ctio n f: L 0 *1! ] x tl0 *1! ] — * l 2 eSt fa ib lem en t a .e .-c o n tin u e (fa ib le m e n t r - c o n t in u e ) p a r ra p p o rt à Eq
re la tiv e m e n t à l 'u n e v a r ia b le et e s t m e s u ra b le ( a l a p r o p r ié té d e B a ir e ) re la tiv e m e n t a l 'a u tr e , e lle e s t m e s u ra b le ( a la p r o p r ié té d e B a ir e ) .
D É M O N S T R A T IO N . L a fo n c tio n e s t m e su ra b le ( a l a p r o p rié té d e B a ir e ) , q u e lle q u e s o it la fo n c tio n n e lle с Eq ( v o i r
e lle e s t d o n c m e s u ra b le ( a la p r o p r ié té d e B a ir e ) ( v o i r f l } , th. 5 e t r e s p e c tiv e m e n t le th é o rèm e 4 d e c e t a r tic le ) .
P R O B L E M E . U n e fo n c tio n f: [ O . l ] — ► 1^ fa ib lem en t a p p rox im a tivem en t co n tin u e p a r ra p p o rt à E q e s t - e lle c o n n e x e ; с 'e s t - à - d ire , f ( I ) e s t - il un e n s e m b le c o n n e x e p o u r tout in te r v a lle I С
С
О Д ] } O U V R A G E S C I T É S[ 1 ] A .A le x i e w ic z , W .O r lic z , S u r la con tin u ité et l a c la s s ific a tio n d e B a ir e d e s fo n c tio n s a b s tra ite s , P u n d . M ath. 3 5 (1 9 4 3 ), p. 1 0 5 -126. [ 2 ] R .O .D a v ie s , S e p a r a t e a p p rox im a te co n tin u ity im p lie s m e asu ra b ility.
P r o c . Com b. P h il. S o c . 7 3 (1 9 7 3 ), p. 461 -465.
[ 3 ] Z . G ra n d e,- S u r l a m e su ra b ilite d e s fo n c tio n s d e p lu sieu rs v a r ia b le s , Math. S lo v a c a 2 8 (1 9 7 8 ), p. 1 1 3 -1 1 8 .
[ 4 ] Z .G r a n d e , M .T o p o le w s k a , S u r l e s fo n c tio n s v e c t o r ie lle s a p p ro x i m ativem ent c o n tin u e s ( s o u s p r e s s e ) .
[ 5 ] S .K e m p is ty , S u r l e s fo n c tio n s q u a s i — co n tin u es, P u n d . M ath. 19 (1 9 3 2 ), p. 1 8 4 -1 9 7 .
[ 6 ] M .L a c z k o v ic h , On the B a ir e c la s s o f fu n ctio n s o f tw o v a r ia b le s , F und. M ath. ( s o u s p r e s s e ) .
[7 ] R.O 'M a lle y , A p p r o x im a te ly d iffé r é n tia b le s fu n ction s. T h e r to p o lo g y , Р а с . M ath. J. 7 2 ( 1 9 7 7 ) , p. 2 0 7 -222.
[ 8 ] E .M a r c z e w s k i, C z . R y il - N a r d z e w s k i, S u r la m esu ra b ilité d e s fo n c tio n s d e p lu s ie u r s v a r ia b le s . A n n a l. S o c . P o lo n . M ath. 25 (1 9 5 3 ) , p. 1 4 5 -1 5 4 .
[ 9 ] Z .Z a h o r s k i S u r la p re m iè re d é r iv é e . T r a n s . A m er. M ath. S o c . 69 (1 9 5 0 ), p. 1-54 .
O S Ł A B E J C IĄ G Ł O Ś C I A P R O K S Y M A T Y W N E J
S t r e s z c z e n ie
W tym a rty k u le b a d a s ię k la s ę fu n k cji f: [ 0 , 1 ] — > 12 s ła b o a p ro k s y m a ty w n ie c ią g ły c h ( s ła b o r - c ią g ły c h ) [ s ła b o a .e .- c ią g ły c h ] (d efin icje p a trz [ 1 ] i [ 7 ] ) .
