Wykad 6

Przykładowe zastosowania równania Bernoulliego i równania

ciągłości przepływu

PODSTAWY

MECHANIKI PŁYNÓW

1. Pomiar ciśnienia

S - punkt spiętrzenia (stagnacji)

strugi v = 0, równanie Bernoulliego ma postać:

(1) Po obliczeniu ciśnienia w punkcie S

- ciśnienie statyczne strugi niezakłóconej, gdzie:



p

- ciśnienie dynamiczne strugi niezakłóconej,



v

2

2



 





2 C

v

p

p

2

- ciśnienie całkowite, zatem: (2) (3)

Z równania Bernoulliego:













2 S

p

p

v

.

g

2g

g

(4) 1.1. Rurka Pitota

Z prawa naczyń połączonych, przy założeniu otrzymamy_m   skąd













2g z

m

_.

(5) (6)

Z równania Bernoulliego dla 1-2: (7) Po podstawieniu





















b 2 b

p

p

gz

p

p

g z h ,























2 b b

v

p

g z h

p

gz

,

2

a po uproszczeniu

 



2

_

_gh

_

2

(8) (9)

Przykład 1. Wyznaczyć strumień masy oraz prędkości w przewodach mierzone w układzie z rysunku. Dane: d₁=50 mm, d₂=10 mm, l₁=l₂=1000 mm, =1000 kg/m3,  m=1,2 kg/m3, z=10 mm. Równanie manometru p_A=p_B





1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 c s s m m s s m p v p gx g z p gx g z v g z g z p p g z  _{   }                        Równanie Bernoulliego 2 2 1 2 1 2 2 2 s s v v

p    p    po podstawieniu do równania manometru





22





2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 4 4 4 4 m m m g z v g z v d d d v v v v d d d q v v                           

1.2. Rurka Prandtla













     





















 





A B 2 A B m 2 m

p

p

v

p

p

g z,

2

p

p

g z,

v

p

g z

p

g z,

2

(10) (11) (12) (13) (14)

Przykład 2. Do pomiaru prędkości w samolocie zastosowano rurkę Prandtla. Manometr pokazał różnicę ciśnień wynoszącą p=50 kPa. Wyznaczyć prędkość samolotu jeśli gęstość powietrza na wysokości 3 000 m, na której leci samolot wynosi =0,92 kg/m3_.

c s d s s d

p

p

p

p

p

p

p

p

 



 







2. Zjawisko kontrakcji strugi

ponieważ







1 2 C

A

A

A

(15)

(16)

(17)

Definicja:

Zjawisko kontrakcji strugi polega na dodatkowym przewężeniu strugi i spowodowane jest działaniem sił bezwładności, występujące tuż za przewężeniem.

Zdefiniujmy współczynnik kontrakcji strugi

Ciśnienie w przekroju C wynosi

































2 2 C 2 C 2 2 C C 2 2 C 2 2 C 2 2 2 2 C 2 2

v

v

p

p

2

2

A

1

v A

v A

v

v

v

A

v

1

v

p

p

2

2

Jeśli A_C=A₂ to =1 i zjawisko kontrakcji nie występuje.

Ciśnienie w przekroju C jest mniejsze niż ciśnienie w przewężeniu.

(18)

(19) (20)

(21)

Przykład 3. Przez przewężenie (50 mm/20 mm) przepływa woda o strumieniu objętości 0,5 dm3_{/s. Za pomocą rurki Pitota zmierzono największą prędkość przepływu w przewodzie o}

małej średnicy i wyniosła ona 2 m/s. Obliczyć współczynnik kontrakcji strugi.





















C C v 2 2 2 C v C 2 2 v v 2 2 2 2

m

v

2

s

A

q v

v

A

v q

v

d

4q

q

v

v

4

d

Pole przekroju strugi w miejscu kontrakcji stanowi niecałe 80% pola przekroju przewodu o średnicy d₂.

3. Pomiar strumienia objętości metodą zwężkową

Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 (23) Z równania ciągłości przepływu otrzymujemy

definiując











_

_







2 2 2 2 1 1

A

d

m

A

d

(24) (25) gdzie: m – moduł zwężki,





2 1

d

d

- przewężenie (26)

Podstawiając równania (24-26) do (23) otrzymamy









































2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4

p

v

p

v

m

g

2g

g

2g

v

p

p

1 m

2g

g

p

p

2g

v

g

1 m

1

2 p

v

1

Strumień objętości wynosi

(27) (28)

(29)

(30)

Zależność (31) nie uwzględnia strat oraz innych czynników wpływających na pomiar strumienia objętości. Stąd wprowadza się współczynnik korygujący wartość mierzonego strumienia objętości













V V V ₄ 2

q

C q '

C

2 p

q

A

1

C – współczynnik przepływu zwężki (prawie stały), zależny od liczby Reynoldsa, rodzaju zwężki (kryza, dysza, zwężka Venturiego), modułu zwężki, punktów pomiaru ciśnienia, zaburzenia profilu prędkości, zjawiska kontrakcji.

 

p

f(q )

_V - charakterystyka zwężki

C0,6 dla kryz, C0,98 dla dyszy i zwężek

(32) (33)

Przykład 4. W celu wywzorcowania zwężki pomiarowej użyto przepływomierza, który pokazał strumień objętości wody 1 dm3_{/s. Wyznaczyć współczynnik przepływowy zwężki}

pomiarowej (50 mm/15 mm) jeśli wychylenie manometru różnicowego wynosi z=10 mm, a gęstość cieczy manometrycznej =13 600 kg/m3.































  



_

_















 

_{ }

_













V 4 2 V 4 1 V 2 2 2 m 4 3 2

q

d

4q 1

d

q 1

C

A

2 p

d

2

g z

15

4 1 10

1

50

1000

C

0, 896

2 13600 1000 9, 81 0, 01

0, 015

4. Wypływ przez otwór i przystawki

4.1. Wypływ ustalony przez mały otwór

Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2

stąd

Dla zbiornika otwartego, gdy p_n=0,

otrzymujemy wzór Torricellego w postaci: (34)

(35)

(36)

Mały otwór – jest to otwór, którego rozmiary pionowe są wielokrotnie mniejsze niż głębokość na jakiej się znajduje h/d>10.

W płynu rzeczywistego prędkość wypływu jest inna i skorygowana poprzez współczynniki zależne od lepkości płynu (rodzaju,

temperatury), geometrii otworu (kształtu, krawędzi), wysokości napełnienia zbiornika.

(37) Współczynnik prędkości  dla wody (i innych cieczy o podobnej lepkości) przyjmuje

wartość bliską 1 (0,97-0,98). Jeśli dodatkowo uwzględni się zjawisko kontrakcji strugi to prędkość wypływu będzie określona

równaniem

(38)

Współczynnik kontrakcji strugi dla otworów o dowolnym kształcenie i ostrych krawędziach wynosi w granicach 0,61-0,64.

Iloczyn współczynnika prędkości i współczynnika kontrakcji strugi nazywa się współczynnikiem wypływu

(39) Dla otworów o ostrych krawędziach i przepływie wody (lub innych cieczy o podobnej

Strumień objętości jest wówczas określony równaniem

(41) Prędkość wypływu jest równa

(40)

(42)

Współczynnik wypływu jest stosunkiem rzeczywistego strumienia objętości do teoretycznego (dla płynu idealnego).

Przykład 5. Obliczyć prędkości wypływu płynu idelanego i strumienie objętości z otworów przedstawionych na rysunku. Dane: d₁=5 mm, d₂=20 mm, d₃=50 mm, a=1000 mm, b=10 mm, z₁=100 mm, z₂=300 mm, z₃=600 mm, z₄=700 mm.                                         1 1 2 2 1 v1 1 2 2 2 2 2 v2 2 3 3 2 2 3 v3 3 4 4 v4 4 v 2gz 2 9, 81 0,1 d 0, 005 q v 1, 40 4 4 v 2gz 2 9, 81 0, 3 d 0, 2 q v 2, 43 4 4 v 2gz 2 9, 81 0, 6 d 0, 5 q v 3, 43 4 4 v 2gz 2 9, 81 0, 6 q v ab 3, 71 1 0, 01

Przykład 6. 1) Narysować zależność jak zmienia się prędkość wypływu płynu idealnego ze zbiornika otwartego przez mały otwór o średnicy 10 mm w zakresie zmienności głębokości od 100 mm do 2000 mm. 2) Narysować zależność strumienia objętości od głębokości otworu.

  v f(z) Ad.1.     2  2 v d d q f(z) 2gz 2g z 4 4 Ad.2.

4.2. Przystawki – ssące działanie strugi

Przystawki – króćce rurowe umieszczone w dnie lub ściankach zbiornika lub przy wylocie rury w celu zwiększenia strumienia objętości.

•Przystawki ze względu na kierunek wypływu dzielą się na: poziome, pionowe, ukośne. •Ze względu na miejsce zamontowania dzielą się na: wewnętrzne (wewnątrz zbiornika) i zewnętrzne (zewnątrz zbiornika).

•Przekrój poprzeczny przystawek może być stały lub zmienny na długości przystawki.

Najczęściej spotykane przekroje to kołowy, kwadratowy, prostokątny, stożkowy zbieżny lub rozbieżny.

W czasie wypływu przez przystawkę pojawia się zjawisko ssącego działania strugi (patrz punkt 2).

• _{Długość przystawek powinna być 3-5 razy}

większa niż średnica, aby wypływ odbywał się cały przekrojem przystawki.













_



_





2 2 C 2 2

v

1

p

p

1

2

Jeśli p₂=p_b to













_



_





2 2 C b 2

v

1

p

p

1

2

Ciśnienie w przekroju C-C jest mniejsze od barometrycznego (podciśnienie) i zależne od . (43)

4.2.1. Wypływ przez przystawkę poziomą

Czyli współczynnik wypływu jest równy współczynnikowi prędkości =.

W praktyce wartość współczynnika wypływu z przystawką cylindryczną jest równa 0,82 (bez

przystawki 0,62). Zatem nastąpił wzrost strumienia objętości o około 32%.

Wartość współczynnika wypływu z przystawką cylindryczną zależy od l/d.

Przy wypływie przez przystawkę przyjmuje się, że =1, a strumień objętości zgodnie ze wzorem (41)

l/d 1 2-3 12 24 36 48 50

 0,62 0,82 0,77 0,73 0,68 0,63 0,60

Tabela. Zależność współczynnika wypływu od geometrii przystawki cylindrycznej (wg. J. Weisbacha)

Z tabeli wynika, że powyżej l/d=50 przystawka cylindryczna nie powoduje zwiększenia strumienia objętości.

4.2.2. Wypływ przez przystawkę Bordy

Przystawka Bordy – wewnętrzna pozioma przystawka cylindryczna. W zależności od l/d możliwe są dwa przypadki wypływu: 1) wypływająca ciecz nie dotyka wewnętrznej ściany przystawki na całej długości 2) wypływająca ciecz zwilża wewnętrzną ścianę przystawki.

W pierwszym przypadku strumień objętości wynosi

czyli współczynnik wypływu jest równy

(46)

W drugim przypadku strumień objętości wynosi

a współczynnik wypływu jest równy

(48)

5. Wypływ cieczy przez duży otwór

Duży otwór to jest otwór, którego wymiary pionowe są porównywalne z głębokością na jakiej się znajduje h/d<10.

Prędkość wypływu cieczy na głębokości z określa wzór Torricellego

(50) Elementarny strumień objętości dq_v’ płynący przez elementarną

powierzchnię dA wynosi

 

 

_





dz

dA

b y dy

b z

,

sin

(51) (52) Elementarna powierzchnia dA

stąd elementarny strumień objętości

Strumień objętości wypływającej przez całą powierzchnię A wynosi

 











2 1 h v v A h

2g

q '

dq

b z

zdz.

sin

(54)

Rzeczywisty strumień objętości wypływającej cieczy wynosi

 



















2 1 h v v v A h

2g

q

q '

dq

b z

zdz.

sin

(55)

Dla prostokątnego otworu w pionowej ścianie zatem







2



1 h v h

q

b 2g

zdz

(56)

 

   b z b const, sin =1,

Jeśli otrzymamy wzór dla przelewu prostokątnegoh₁  0, h₂  h

Przykład 7. Obliczyć strumień objętości wypływający przez duży otwór o kształcie

prostokątnym znajdujący się w pionowej ścianie. Wymiary otworu wynoszą: wysokość a=500 mm, szerokość b=1000 mm, a górna krawędź otworu znajduje się na głębokości H=500 mm. Współczynnik wypływu przyjąć równy 1.

















2 1 h v h 3 3 2 2 v 2 1

q

b 2g

zdz

2

q

b 2g h

h

3

Zgodnie z równaniem (56) strumień objętości jest równy

Wysokości wynoszą: h₁=H,