ĆWICZENIE 4
RUCH PŁYNU
RUCH OGÓLNY ELEMENTU PŁYNU
Ruch ogólny elementu płynu można traktować jako superpozycję przemieszczenia liniowego (translacji), obrotu względem chwilowego bieguna oraz odkształcenia (deformacji), które z kolei można podzielić na liniowe (objętościowe) i kątowe (postaciowe).
Prędkość dowolnego punktu elementu płynu składa się z:
- prędkości postępowej punktu obranego za biegun UO,
- prędkości obrotowej wokół osi przechodzącej przez biegun (wektor tej prędkości wyznacza oś 0 r obrotu),
- prędkości deformacji elementu płynu DO . r
A O 0 O
U U r D r
Tensory: nierównomierności pola prędkości, spinu, prędkości deformacji
U D
r
gdzie: U
r
jest tensorem nierównomierności pola prędkości, Ω jest tensorem spinu, D jest tensorem prędkości deformacji.
Tensor nierównomierności pola prędkości
x x x
U U U
x y z
U U U
U
MP-C4-2 Tensor spinu
T
x y x z
y y
x z
x z y z
U U U U
1 1
2 y x 2 z x
U U
U U
1 1
2 y x 2 z y
U U U U
1 1
2 z x 2 z y
1 2
U U
r r
0
0
0
Tensor prędkości deformacji
T
x x y x z
y y y
x z
x z y z z
U 1 U U 1 U U
x 2 y x 2 z x
U U U
U U
1 1
2 y x y 2 z y
U U U U U
1 1
2 z x 2 z y z
1 2
U U
D r r
Składowe wektora prędkości odkształcenia dla elementu płynu w ruchu płaskim
gdzie:
x Uy U
x y
prędkości odkształcenia liniowego
x Uy
U
y x
prędkości odkształcenia kątowego
Przykład 1
Dla odkształconego elementu płynu przedstawionego na rysunku wyznaczyć tensor nierównomierności pola prędkości, tensor spinu oraz tensor prędkości deformacji.
x x
y y
U U
x y
U U
x y
3 0
U
0 1
r
1 2 1
2 x y
y x
U U 1
2 y x
U U
1
2 x y
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0
1 2 1
2
x x y
y x y
U 1 U U
x 2 y x
U U U
1
2 x y y
3 0 0 3 0
D 0 0 1 0 1
Przykład 2
Dla odkształconego elementu płynu przedstawionego na rysunku wyznaczyć tensor nierównomierności pola prędkości, tensor spinu oraz tensor prędkości deformacji.
MP-C4-4
x x
y y
U U
x y
U U
x y
0 1
U
1 0
r
1 2 1
2 x y
y x
U U 1
2 y x
U U
1
2 x y
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0
0
0
1 2 1
2
x x y
y x y
U 1 U U
x 2 y x
U U U
1
2 x y y
0 1 1 0 0
D 1 1 0 0 0
Przykład 3
Rozłożyć dany tensor nierównomierności pola prędkości na tensor spinu i tensor prędkości deformacji oraz narysować odkształcony element płynu.
1 2 U=
-2 1 r
∂
∂
y y
x x x
x x
y y y x y x y
U U
U U U
1 1
U U
2 y x x 2 y x
x y
U U 1 U U 1 U U U
x y 2 x y 2 x y y
U D
r
0
0
1 2 1
2 x y
y x
U U 1
2 y x
U U
1
2 x y
0 0 2 2 0 2
2 2 0 2 0 0
1 2 1
2
x x y
y x y
U 1 U U
x 2 y x
U U U
1
2 x y y
D
1 2 2 1 0
2 2 1 0 1
