J. Szantyr - Wykład 3 – Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 – Równowaga płynu

Siły wewnętrzne – wzajemne oddziaływania elementów mas

wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami.

Siły zewnętrzne – wynik oddziaływania mas nie należących do wydzielonego obszaru płynu – dzielimy je na siły masowe i siły powierzchniowe.

Siły masowe obejmują każdy element płynu i są proporcjonalne do Siły masowe obejmują każdy element płynu i są proporcjonalne do jego masy.

τ ρ

τ

ρ

d

F d F

m F F

m

= ′

∆

∆ ′

∆ =

∆ ′

=

lim 1 lim 1

0 0

 

  s

F m



 m3

ρ kg gęstość płynu

Siły powierzchniowe działają na powierzchnię obejmującą wydzielony obszar płynu i są proporcjonalne do pola tej powierzchni.

ds p d s

P p

s

= ′

∆

∆ ′

=

lim



 m2

P N jednostkowa siła powierzchniowa

W ogólnym przypadku siła powierzchniowa zależy od orientacji

elementu powierzchni określonej wersorem normalnym n, stąd należy ją oznaczać

P

Płyn jest w równowadze pod działaniem danych sił zewnętrznych jeżeli siły działające na każdą dowolnie ograniczona jego część tworzą układ wektorów równoważny zeru.

W płynie będącym w stanie równowagi ciśnienie w dowolnym punkcie ma wartość stałą i niezależną od orientacji elementu powierzchniowego przechodzącego przez ten punkt.

warunki równowagi czworościanu:

( ^, ) ⁰

cos =

− pdS p x dS

p

( ^, ) ⁰

cos =

− pdS p y dS

p

( ^, ) ⁰

cos =

− pdS p z dS

p ^{dS − pdS cos} ( ^{p , z} ) ^{= 0}

p

ale mamy:

^dS

^{= dS cos} ( ^{p , x} )

0

; 0

;

0 − = − =

=

− p p p p p

p

p = p

= p

= p

Wniosek: hydrostatyczny stan naprężenia w płynie ma charakter pola skalarnego.

Warunki równowagi płynu

Jednostkowa siła masowa:

( ^{x y z} )

F k

Z j

Y i

X

F = + + = , ,

Gęstość:

( ^{x , y , z} )

ρ ρ =

Warunki równowagi elementu płynu:

= 0

 

 





∂ + ∂

−

+ dx dydz

x p p

pdydz dxdydz

X ρ

= 0

 



 



∂ + ∂

−

+ dy dxdz

y p p

pdxdz dxdydz

Y ρ

= 0

 

 





∂ + ∂

−

+ dz dxdy

z p p

pdxdy dxdydz

Z ρ

stąd otrzymujemy:

x X p

∂

= ∂ ρ 1

y Y p

∂

= ∂ ρ

1

z Z p

∂

= ∂

ρ

co prowadzi do podstawowego w hydrostatyce równania Eulera:

gradp F

ρ

= 1

lub w postaci różniczkowej:

ρ

Ydy

Xdx + + =

Leonhard Euler

ρ

jeżeli pole sił masowych ma potencjał U, czyli:

ρ

dU = − dp

p = − ρ U + C

Stała całkowania może być wyznaczona ze znanego ciśnienia i potencjału sił masowych w określonym punkcie obszaru płynu.

to otrzymamy:

gradU F = −

Leonhard Euler 1707 - 1783

Na przykład w polu grawitacyjnym w pobliżu Ziemi mamy X=Y=0

z g U

Z ∂

− ∂

=

−

= czyli: ^{U = gz} co daje: p = −

ρ

Wniosek: w polu grawitacyjnym Ziemi powierzchnie stałego ciśnienia hydrostatycznego (izobaryczne) są poziome.

Jeżeli przez oznaczymy ciśnienie na swobodnej powierzchni p Wniosek ogólny: powierzchnie izobaryczne i powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora sił masowych (patrz przykład na końcu wykładu).

Jeżeli przez oznaczymy ciśnienie na swobodnej powierzchni cieczy na wysokości H, to otrzymamy:

pa

C gH

p

= − ρ +

^{C = p}

^{+ ρ gH}

( ^{H z} )

g p

p =

+ ρ −

p = p

+ ρ gh

h=H-z – zanurzenie punktu pod swobodną powierzchnią

p

Przykłady zastosowania Naczynia połączone – na poziomie A-B mamy:

1 1

gh p

p =

+ ρ ^p = ^p

+ ρ

^gh

czyli:

2 2 1

1

h ρ h

ρ =

1 2

1 ²

ρ

= ρ h

h

Hydrostatyczny pomiar ciśnienia Hydrostatyczny pomiar ciśnienia

p

p

= ^p

^{= p}

⁺ ρ ^{g ∆ h}

B

A

p

p = ^{p − p}

⁼ ρ ^{g ∆ h}

W ten sposób mierzymy nadciśnienie (ciśnienie względne) w zbiorniku, czyli różnicę pomiędzy ciśnieniem

bezwzględnym p a ciśnieniem atmosferycznym.

Barometr – pomiar ciśnienia atmosferycznego.

gh p

= ρ

Prawo Pascala

Przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie

jednorodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w

Blaise Pascal 1623 - 1662

jednorodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w stanie równowagi w potencjalnym polu sił masowych wywołuje zmianę ciśnienia o taką samą wielkość w każdym innym punkcie płynu.

( ^{U U} )

p

p −

= ρ

−

( ^{p p} ) ( ^{U U} )

p

p + δ −

+ δ

= ρ

−

0

= 0

− p p δ

δ δ p = δ p

Przykład 1: Wyznaczenie nachylenia swobodnej powierzchni cieczy w naczyniu poruszającym się ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym w dowolnym kierunku.

a

a = a

rzuty jednostkowe siły masowej:

= 0 X

β cos a

Y = −

β

sin a

g Z = − −

równania równowagi cieczy:

1 0

∂ =

∂ x p ρ

ρ ^cosβ

1 a

y

p = −

∂

∂

ρ ^sin β

1 g a

z

p = − −

∂

∂

czyli:

^{dp = −} ( ^a β ^{dy + a} β ^{dz + gdz} )

ρ ^{cos sin}

po scałkowaniu przy ρ=const otrzymujemy:

1 1

sin

cos z C

g y a

g g a

p  +



 











 +

+

−

=

ρ β β

stałą wyznaczamy z ciśnienia na swobodnej powierzchni w punkcie

M1:    

( )



 



  +







 +

+ +

= z t

g y a

g g a p

C_{1 a} ρ cosβ sin β 1

po podstawieniu otrzymujemy:

g t g a

p

p _a 







 + +

=

ρ

β

z kolei równanie powierzchni izobarycznych (stałego ciśnienia p):

C y

g

z a +

+

−

=

β β sin cos

jest to rodzina płaszczyzn nachylonych pod kątem α takim, że:

β α β

sin cos

+

−

=

g tg a

g

natomiast kąt nachylenia wypadkowej siły masowej φ:

β α β

ϕ g ctg

a Y

tg Z =

+

=

= cos

sin

Wniosek: wypadkowa siła masowa jest prostopadła do powierzchni izobarycznych

Przykład 2: Wyznaczenie zależności opisującej rozkład ciśnienia panującego w zbiorniku obracającym się ze stałą prędkością

kątową ω. Zbiornik napełniono cieczą o gęstości ρ, a ciśnienie otoczenia wynosi p.

W cylindrycznym układzie współrzędnych podstawowe równanie hydrostatyki ma

postać:

dz q

d r q dr

dp q

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

= q dr q r dϑ q dz dp

z

r ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ϑ

ρ ^ϑ

gdzie człony są odpowiednio równe:

r q

= ω

⋅

= 0 q

g

q

= −

Po podstawieniu otrzymujemy:

^{dp = ρ ⋅} ( ^ω

^{⋅ r ⋅ dr − g ⋅ dz} )

Całkowanie prowadzi do:

p = ρ ⋅ ω

⋅ r

− ρ ⋅ g ⋅ z + C 2

Dla punktu na powierzchni cieczy w osi naczynia mamy:

= 0

r z = z

p = p

Czyli stałą całkowania można określić jako:

C = p

+ ρ ⋅ g ⋅ z

Ostatecznie rozkład ciśnienia w cieczy opisuje równanie:

(

)

0 g z z 2 r

p

p = − ⋅ ⋅ − + ρ ⋅ω ⋅ ρ

Czyli równanie powierzchni swobodnej ma postać:

( )

2 ⁰

2 2

=

−

− g z z ω r

Jest to równanie paraboloidy obrotowej.

Przykład 3: Trzy tłoki o powierzchniach A1=0,6 m**2, A2=0,8 m**2, A3 0,4 m**2, obciążone odpowiednio siłami P1=1 kN,

P2=2 kN i P3=3 kN działają na wodę o gęstości ρ=1000 kg/m**3.

Określić na jakich wysokościach h1 i h2 układ tłoków pozostanie w stanie równowagi.

Ciśnienie pod tłokiem 2 wynosi:

2 2 1

1 1

A g P

A h

P + ⋅

ρ

Ciśnienie pod tłokiem 3 wynosi:

3 3 2

2 2

A g P

A h

P + ⋅

ρ

Z powyższych równań wyznaczamy wysokości:

[ ]

P

h P_{2 1} 1 0,085

1 =

⋅ ⋅







 −

=

ρ ^h

^P

^P

^{1 = 0 , 51} [ ] ^m

⋅ ⋅







 −

= ρ

[ ]

g A

h A 0,085

1 2

1 =

⋅ ⋅



 −

=

ρ [ ] ^m

g A

h A 0 , 51

2 3

2

=

⋅ ⋅

 

  −

= ρ

Dla sprawdzenia można ułożyć równanie równowagi przekroju 1 względem przekroju 3:

( ) ( )

4 , 0 51 3000 ,

0 085 , 0 81 , 9 6 1000

, 0 1000

3 3 2

1 1

1 + ⋅ ⋅ + = → + ⋅ ⋅ + = → =

A h P

h A g

P ρ