CHAPTER
6
PRACTICAL USE OF ELECTRIC NETWORKS TO SIMULATE OR PREDICT SEICHE CONDITIONS IN HARBORS
By Joseph W. Joy Marine Advisers, Inc.
1. INTRODUCTION
The successful design of a marina with respect to seiche conditions presupposes two categories of knowledge. Of these the more difficult to obtain is an adequate description of the local long period wave environment. Somewhat easier, but equally important, is a detailed knowledge of the responses various basin configurations present as a result of irradiation under some standardized wave environment. One such environment would be that provided by sinusoidal waves issuing from a distant line source maintained at unit amplitude, constant frequency; and fixed direction. Independently varying both the source orientation and frequency and measuring resulting responses at fixed locations is a procedure
cornmon to many wave scattering experiments. It is generally supposed that these scattered wave fields later may be superimposed. This will be the case if
linear equations adequately describe the wave motion, as will be assumed here. However, in a medium with spacially inhomogeneous propagation properties, there is no unambiguous distinction between the incident and scattered waves; only
ir
the case of uniform propagation are the real and imaginary parts of ei(k. x-wt) identical, apart from a translation in the directionof~
.
Interfering reflections and other scattering effects due to variable depth cannot be eliminatedor tr eated separately from. peripheral reflections. The complexity inherent in
most practical situations requires that some sort of model be used.
Two cOITlputational techniques based on potential flow formulations and suitable for programming on a digital cOITlputer have been discussed by Stoker (1957) and Raichlen (1965). General purpose analogue computers are also known to have been used to solve seiche problems (Ref. 19). A matheITlatical forITlulation of the boundary-value probleITl for a harbor of arbitrary shape and constant depth has been given by Miles and Munk (196la, Ref. 12) with
subsequent application to a rectangular harbor. Adaptations of numerical methods used previously for predicting tides or storm surges (suITlmarized in References 1, 3, 6, 9, and 21) also afford proITlising approaches. A classical technique is construction of a suitably scaled-down hydraulic model. Another type of physical ITlodel is due to Ishiguro and is based on a physical analogy with electric networks. Such models have been tested ~nd found to yield results quite close to those observed in nature (References 2, 7, 8, and 10). This paper reports on the methods and use of such an analogue model.
II. DISCUSSION
Suppose a fixed volume of fluid having a free surface Tl(x, y;t) occupies a spe cified region, R, above a bottom boundary surface of slowly varying
d e p t h z = - h ( x , y ) . C o n s i d e r f i r s t t h a t t h e o n l y e x t e r n a l f o r c e s a c t i n g a r e g r a v i t y a n d a f o r c i n g f u n c t i o n w h o s e s p a c e d e r i v a t i v e s f u r n i s h t i m e - v a r y i n g c o m p o n e n t s of f o r c e o r p r e s s u r e . F o r i r r o t a t i o n a l f l o w w i t h n o l o c a l e n e r g y d i s s i p a t i o n , t h e r e s u l t i n g m o t i o n i s d e r i v a b l e f r o m a v e l o c i t y p o t e n t i a l f u n c t i o n . I n t h e c a s e w h e r e R i s b o u n d e d h o r i z o n t a l l y b y a n i m p e n e t r a b l e c l o s e d p e r i m e t e r C, t h e n o r m a l m o d e s f o r f r e e o s c i l l a t i o n s , o r s e i c h e s , o f t h e f l u i d w i t h i n t h e v a r i a b l e d e p t h r e g i o n c o u l d be o b t a i n e d f r o m a n e q u a t i o n i n v o l v i n g t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n b y s e t t i n g t h e f o r c i n g f u n c t i o n e q u a l t o z e r o a n d r e q u i r i n g t h a t o n C n o r m a l c o m p o n e n t s o f v e l o c i t y v a n i s h . I n g e n e r a l t h e r e e x i s t s a d i s c r e t e , b u t i n f i n i t e , s e t o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s UU j a n d t i m e i n d e p e n d e n t m o d a l a m p l i t u d e d i s t r i b u t i o n s A j ( x , y ) s u c h t h a t A j ( x , y ) e i ™ j t s a t i s f i e s t h e r e d u c e d e q u a t i o n a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n . I f no m e c h a n i s m s o f i n t e r n a l e n e r g y d i s s i p a t i o n o r c o u p l i n g a r e i n c l u d e d , m o t i o n i n i t i a t e d i n a p a r t i c u l a r m o d e w o u l d c o n t i n u e o s c i l l a t i n g w i t h t h e s a m e a m p l i t u d e s i n d e f i n i t e l y ; t h u s t h e " Q " * f o r t h a t m o d e w o u l d be i n f i n i t e . S u p p o s e n o w t h a t t h e b a s i n p e r i m e t e r d e s c r i b e d b y t h e c u r v e C w e r e n o t c o m p l e t e l y c l o s e d , a n d t h a t t h i s w e r e s i m u l a t e d b y a s u i t a b l y a b s o r b i n g s e g m e n t i n s e r t e d t o r e p r e s e n t t h e e n t r a n c e a n d a l s o t o e f f e c t t h e c l o s u r e . T h e i n i t i a l e n e r g y o f t h e o s c i l l a t i o n s t h e n c o u l d d e c a y b y r a d i a t i v e l o s s e s t h r o u g h t h i s e n t r a n c e s e g m e n t a n d t h e Q of t h e m o d e w o u l d n o l o n g e r be i n f i n i t e . O t h e r m e c h a n i s m s w h i c h l i m i t Q v a l u e s a r e l o c a l b o t t o m f r i c t i o n , f l u i d v i s c o s i t y , t u r b u l e n c e , a n d i m p e r f e c t l y r e f l e c t i n g b o u n d a r i e s . A p e r i o d i c f o r c i n g f i m c t i o n m a y be a b l e t o w e a k l y e x c i t e c e r t a i n m o d e s e v e n t h o u g h t h e s e d i f f e r s l i g h t l y i n f r e q u e n c y . O f t e n t h e e f f e c t s o f l o c a l e n e r g y d i s s i p a t i o n a r e i m p o r t a n t . I n s u c h c a s e s e q u a t i o n s o f m o t i o n a n d c o n t i n u i t y m a y be w r i t t e n i n t e r m s o f m o m e n t u m a n d m a s s f l u x e s w h e r e the h o r i z o n t a l v e l o c i t y c o m p o n e n t s a r e a s s u m e d t o t a k e o n t h e i r v e r t i c a l l y a v e r a g e d v a l u e s . B y i g n o r i n g h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l v e l o c i t y d i f f e r e n c e s b e t w e e n v e r t i c a l l y s e p a r a t e d p o i n t s s u c h " l o n g - w a v e " e q u a t i o n s o n l y a p p r o x i m a t e l y d e s c r i b e t h e r e a l m o t i o n s . E q u a t i o n s (1) a r e o f t h i s t y p e , b u t r e m a i n c o m p l i c a t e d b y C o r i o l i s e f f e c t s a n d v a r i o u s n o n - l i n e a r i t i e s . * T h e q u a n t i t y 2 r r / Q i s a l i n e a r m e a s u r e o f w a v e d a m p i n g . I n t h e t i m e d o m a i n i t i s t h e a v e r a g e r e l a t i v e d e c r e m e n t of e n e r g y p e r c y c l e i n t h e d e c a y o f f r e e o s c i l l a t i o n s ; t h e v a l u e Q = 1/2 c o r r e s p o n d s t o t h e c a s e of c r i t i c a l d a m p i n g . I n t h e f r e q u e n c y d o m a i n , t h e s h a r p n e s s o f r e s o n a n c e i n a n y p a r t i c u l a r m o d e o f o s c i l l a t i o n i s a l s o g i v e n b y t h e Q f o r t h a t m o d e . F o r l a r g e Q t h i s m a y be t a k e n as t h e f r e q u e n c y a t p e a k r e s o n a n c e d i v i d e d b y t h e f r e q u e n c y b a n d w i d t h b e t w e e n t h e h a l f - p o w e r p o i n t s on a r e s p o n s e c u r v e . R e s o n a n t a m p l i f i c a t i o n i s n o t c o n f i n e d o n l y t o d i s c r e t e p o i n t s a l o n g t h e f r e q u e n c y a x i s . ( R e f e r e n c e s 12, 13, a n d 15 p r o v i d e d i s c u s s i o n s o f Q as a p p l i e d t o s e i c h e s . )
S E I C H E CONDITION SIMULATION
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P ICuCh+'n)]^ + u [ u ( h + - n ) ] ^ + v [ u ( h + - n ) ] ^ + v{h+'n)f | = -pg(h+Ti)Ti^ - P Y ^ U ^
1. ) . . . P i L v i h + r i ) ] ^ + u [ v ( h + T | ) ] ^ + v [ v ( h + ' n ) ] ^ + u(h+-n)f j - = - p g ( h + T i ) - n ^ -PY^v^
p(h+-n)j. = - p | [ u { h + T i ) ] ^ + [ v ( h + ' n ) ] ^ | >
H e r e f i s the C o r i o l i s p a r a m e t e r 20 sinG (see L i s t o f S y m b o l s ) .
A p p r o x i m a t e s o l u t i o n s a r e c o m m o n l y o b t a i n e d f r o m a l i n e a r i z e d s e t o f e q u a t i o n s ( w i t h c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s ) f o r c a s e s w h e r e : (1) Tl i s e v e r y w h e r e v e r y s m a l l w h e n c o m p a r e d t o h ; (2) o n l y o s c i l l a t i o n s w i t h p e r i o d s v e r y s m a l l c o m p a r e d t o a p e n d u l u m d a y a r e c o n s i d e r e d ; ( 3 ) t h e f i e l d a c c e l e r a t i o n t e r m s a r e s m a l l c o m p a r e d t o u ^ a n d v ^ ; (4) t h e q u a d r a t i c t e r m f o r t a n g e n t i a l s t r e s s e x e r t e d b y t h e b o t t o m i s r e p l a c e d o v e r s o m e r a n g e by one d e p e n d i n g o n t h e f i r s t p o w e r o f the v e l o c i t y . I f s o m e p r i o r e s t i m a t e o f the m e a n c u r r e n t s p e e d s c a n be m a d e , a f o r m [ p Y ^ { l u l > ] u c a n be u s e d . * T h e s e i c h e s w h i c h o c c u r i n m o s t h a r b o r s , m a r i n a s a n d m a n y n a t u r a l e m b a y m e n t s f a i r l y w e l l m e e t t h e s e c o n d i t i o n s . T h e s u p e r p o s i t i o n p r o p e r t y o f l i n e a r e q u a t i o n s i s o f g r e a t p r a c t i c a l i m p o r t a n c e f o r t h i s p r o b l e m . C e r t a i n l y i f n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n s b e t w e e n p r o g r e s s i n g w a v e s o r s t a n d i n g w a v e m o d e s a r e t o be r e a l i s t i c a l l y t a k e n i n t o a c c o u n t , m u c h m o r e h a s t o b e k n o w n r e g a r d i n g t h e s p e c i f i c i n t e r a c t i o n s w h i c h t a k e p l a c e . F o r i n s t a n c e , G r o v e s ( 1 9 6 4 ) p o i n t s o u t t h a t i f t h e r e i s a n o n - l i n e a r b o t t o m s t r e s s , t h e n a n y m o d e w i l l be i n f l u e n c e d b y a l l o t h e r s as w e l l as b y a n y s t e a d y f l o w s p r e s e n t . A n o r m a l l y n o n - d i s p e r s i v e w a v e p h e n o m e n o n m i g h t a l s o e x h i b i t d i s p e r s i o n due t o f r i c t i o n a l e f f e c t s . L o n g p e r i o d w a v e s i n n a t u r e a r e s e l d o m c o n f i n e d t o a s i n g l e f r e q u e n c y o r i n c i d e n t d i r e c t i o n . M o r e o v e r , a n y p a r t i c u l a r r e a l i z a t i o n o f a n e x c i t i n g f o r c e t i m e h i s t o r y w h o s e c a s e m i g h t be t r e a t e d e x a c t l y , has v e r y l o w p r o b a b i l i t y o f r e c u r r e n c e . T h u s a s t a t i s t i c a l d e s c r i p t i o n s e e m s t o be i n d i c a t e d . F o r e n g i n e e r i n g p u r p o s e s , t h e t e c h n i q u e s of s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n a p p l i e d t o a l i n e a r p r o c e s s a r e w i d e l y u s e d w h i l e t h o s e a p p r o p r i a t e f o r o t h e r p r o c e s s e s a r e p r e s e n t l y i n m u c h m o r e l i m i t e d u s e . I I I . T H E E L E C T R I C N E T W O R K A N A L O G Y T h e e q u a t i o n s w h i c h m a y b e s o l v e d t h r o u g h p h y s i c a l a n a l o g y w i t h a t w o - d i m e n s i o n a l p a s s i v e e l e c t r i c a l n e t w o r k m a d e u p o f l i n e a r * * l u m p e d * H a r l e m a n n a n d I p p e n ( 1 9 6 1 ) s t a t e t h a t f o r w a v e s o f i n i t i a l l y s m a l l a m p l i t u d e -t o - d e p -t h r a -t i o , -the f r i c -t i o n s h o u l d be e s s e n -t i a l l y i n d e p e n d e n -t o f w a v e a m p l i -t u d e . * * i . e . , l e n g t h - d i s t r i b u t e d c i r c u i t e l e m e n t s w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f t h e a p p l i e d v o l t a g e o r c u r r e n t a n d l o c a l i z e d as s i n g l e p o i n t s at w h i c h t h e y a s s u m e t h e i r a v e r a g e v a l u e s t a k e n o v e r a s m a l l i n t e r v a l A^,; f o r i n s t a n c e , i n d u c t a n c e L j = ( h e n r y s / m e t e r ) • A^,j .
i n d u c t i v e , c a p a c i t i v e a n d r e s i s t i v e e l e m e n t s a r e : * (uh)^ = -ghT] - F u h 2 . )• • • ( v h ) ^ = - g h l l y - F v h [ { T l + h ) d x d y ] = - / [ ( u l i d y l d x ] + [ ( v h d x ) d y ] [• t \ X Y' w h e r e F i s a l o c a l l y c o n s t a n t f r i c t i o n c o e f f i c i e n t . T h e w a v e m o t i o n d e s c r i b e d by t h e s e e q u a t i o n s e x h i b i t s n e i t h e r f r e q u e n c y o r a m p l i t u d e d i s p e r s i o n . N e u m a n n ( 1 9 4 4 ) , I s h i g u r o ( 1 9 5 0 ) , K a j i u r a ( 1 9 6 1 ) , a n d M i l e s a n d M u n k ( 1 9 6 1 ) i n v a r y i n g d e g r e e s h a v e a p p l i e d t h e i m p e d a n c e f u n c t i o n c o n c e p t t o l o n g - w a v e p h e n o m e n a . T h e r e a l p a r t of t h e i m p e d a n c e i s i d e n t i f i e d w i t h t h e c o m b i n e d e f f e c t s o f r a d i a t i v e r e s i s t a n c e of a b a s i n e n t r a n c e a n d l i n e a r i n t e r n a l d i s s i p a t i o n . T h e i m a g i n a r y p a r t a l s o c o n s i s t s o f t w o e f f e c t s : a n i n d u c t i v e i m p e d a n c e a s s o c i a t e d w i t h the l o c a l i n e r t i a o f a n a c c e l e r a t i n g f l o w a n d a n o t h e r r e a c t i v e i m p e d a n c e a s s o c i a t e d w i t h t h e r e q u i r e d v o l u m e f l u x ( e l e c t r i c c u r r e n t ) t o r a i s e the l o c a l w a t e r l e v e l ( c h a r g e a c o n d e n s e r ) . U n i t i m p e d a n c e s , e a c h a f u n c t i o n of t h e l o c a l d e p t h h ( x , y ) , c o u l d b e c o n s i d e r e d j o i n t l y i n c o m b i n a t i o n s , t h u s p r o v i d i n g a s y s t e m w i t h m a n y d e g r e e s of f r e e d o m . T h e p o w e r a m p l i f i c a t i o n f u n c t i o n o r c h a r a c t e r i s t i c p o w e r s p e c t r u m o b t a i n e d at one l o c a t i o n ( X j ^ , y ) due t o s i n u s o i d a l e x c i t a t i o n s i n t r o d u c e d a t a d i f f e r e n t l o c a t i o n i ^ y ' w o u l d be 1 / | H ( x ^ , y^ , x ^ , y ;a)) | ^ w h e r e H r e p r e s e n t s the o v e r a l l ( a m p l i t u d e o r v o l t a g e ) t r a n s f e r f u n c t i o n b e t w e e n t h e t w o p o i n t s i n t h e i n d i c a t e d s e n s e . L o c a l r e s o n a n c e s a t (^jjYj) w o u l d be d e t e r m i n e d f r o m t h e z e r o s ( o r m i n i m a ) o f t h i s t r a n s f e r f u n c t i o n . I s h i g u r o ( 1 9 5 9 ) p u b l i s h e d t h e e l e c t r i c a l a n a l o g u e t e c h n i q u e f o r s o l v i n g E q u a t i o n s (2) s u b j e c t t o b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f v a r i a b l e d e p t h , l a t e r a l p e r i m e t e r a n d c o n n e c t i o n w i t h t h e o p e n s e a . B e s i d e s p r o v i d i n g s o m e a d d i t i o n a l e x a m p l e s , t h i s p a p e r w i l l s e r v e f o r e n g i n e e r i n g u s e , t o a u g m e n t I s h i g u r o ' s e a r l i e r w o r k . C o n s i d e r F i g u r e 1 . I f e l e c t r i c w a v e p r o p a g a t i o n i n a t w o - d i m e n s i o n a l n e t w o r k i s t o s i m u l a t e the p r o p a g a t i o n of l o n g w a t e r w a v e s o v e r an i r r e g i i l a r b o t t o m , c e r t a i n c o n s t a n t s c a l i n g f a c t o r s m u s t be e s t a b l i s h e d . T h e s e r e l a t e : ( 1 ) t h e e l e v a t i o n o f the s u r f a c e f r o m t h e m e a n l e v e l , 11, t o v o l t a g e , e, a c r o s s a c a p a c i t o r . 3. ) . . . T) = K e ( u n i t s o f K : c m / v o l t ) e e (2) t h e v o l u m e t r i c f l o w c o m p o n e n t s w a n d w t o t h e e l e c t r i c c u r r e n t f l o v i ' i n g m m e s h b r a n c h e s i n t h e p o s i t i v e x a n d y ^ d i r e c t i o n s , * U n i t d e n s i t y i s a s s u m e d .
= K . I ^ ( u n i t s o f K . ; c m ^ s e c " ^ / a m p e r e ) V = K . I y 1 y a n d (3) d i n a e n s i o n l e s s s c a l e f a c t o r s K a n d K r e l a t i n g m o d e l t i m e a n d s p a c e to r e a l t i m e a n d s p a c e , r e s p e c t i v e l y , 5 . ) . . . t = K t t e •f- = K , i = c ( K t ) * e e t e H e n c e f o r t h a s u b s c r i p t " e " w i l l be u s e d t o d i s t i n g u i s h q u a n t i t i e s i n t h e e l e c t r i c a l s y s t e m f r o m c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t i e s i n the h y d r a u l i c s y s t e m . S u p p o s i n g t h a t h = 0 , l e t t i n g d x = d y « M a n d t h e n m u l t i p l y i n g the f i r s t t w o o f E q u a t i o n s ( 2 ) b y k , a n d the t h i r d b y 1 / ( A ^ ) 2 y i e l d s e q u a t i o n s i n t e r m s o f f l o w c o m p o n e n t s Sw X St -ghA.t'n - F w 5w 6 . ) - - - = -ghA^,ri__ - F w 9TI _ 1 y y Sw ' 3 9 t " U \ Sx Sy
y
T h e c u r r e n t s a n d v o l t a g e s i n the m e s h u n i t s h o w n i n F i g u r e I . b , o b e y * Se 1 So s u b s t i t u t i n g ( 3 ) , (4) a n d (5) i n p l a c e of the h y d r o d y n a m i c v a r i a b l e s i n (6) g i v e s * I n F i g u r e I . b , t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n f o r " e " i s u p w a r d a n d t h e p o s i t i v e d i r e c t i o r ^ f o r t h e c u r r e n t s , i n d i c a t e d b y s m a l l a r r o w s .S E I C H E CONDITION SIMULATION
a i K K S I K K ^ St V K . y e Sy t y ' s t \ K J \ 2 J dl L Sx Sy J L e t S I X Sx J X Sx dl ( ^ ) = AE T - ^ = A I a n d dl r j A t d i ( 1 ^ ^ ) = AE ^ = A I e \ o y / y o y y C o m p a r i n g (7) a n d ( 8 ) , one f i n d s ( w h e n c. g . s, u n i t s a r e u s e d ) , K t L = ( ( ^ } '^i —- ( v o l t s A m p e r e ^ s e c , o r H e n r y s ) \ K / \ is. / g h 9. ) . . . C = ^ ' ( — — ; At. ( v o l t s A m p e r e s e c , o r F a r a d s ) / ^ i ^ F - 1 R = I — ) —r ( v o l t s A m p e r e , o r O h m s ) A f t e r K , K . , a n d K h a v e b e e n f i x e d , t h e s e f o r m u l a s c a n be u s e d t o r e l a t e t h e v a l u e s of"^ t h e c i r c u i t e l e m e n t s (L,, C, a n d R ) i n e a c h e l e c t r i c a l " m e s h " ( F i g u r e I . b ) t o t h e m e a n d e p t h s , h , of t h e f l u i d c e l l s , e a c h o f w h i c h i s t a k e n t o h a v e f i n i t e s u r f a c e a r e a ( A ^ , ) ^ . T h e w a t e r d e p t h i s a s s u m e d c o n s t a n t o v e r e a c h c e l l ; h o w e v e r , i t c h a n g e s f r o m c e l l t o c e l l as i n d i c a t e d i n F i g u r e 1 . c T h e c i r c u i t e l e m e n t s i n t h e e l e c t r i c a l m e s h e s s h o w n i n F i g u r e 1. d , s e t i n a c c o r d a n c e w i t h E q u a t i o n s (9) a b o v e , w i l l t h e n b e a n a n a l o g o u s m e d i u m , i n p r i n c i p l e , f o r l i n e a r l o n g - w a v e p r o p a g a t i o n . T h r e e t y p e s o f i n t e r r e l a t e d " b a n d w i d t h s " m u s t b e c o n s i d e r e d i n s u c h a m o d e l . T h e s e c o n c e r n : (1) t h e f r e q u e n c y r a n g e o f i n t e r e s t , (2) t h e d e p t h r a n g e t o be s p a n n e d , a n d (3) t h e r e q u i r e m e n t t h a t the a r e a o f i n t e r e s t s h o u l dn o t be l a r g e c o m p a r e d to t h e t o t a l a r e a m o d e l e d . A l s o , the s i z e s of t h r e e i n c r e m e n t s At, Ah, a n d A-L m u s t be e s t a b l i s h e d .
T h e m e s h s i z e s c h o s e n m u s t be s m a l l i n c o m p a r i s o n to t h e m a j o r f e a t u r e s o f t h e b o t t o m t o p o g r a p h y . M u n k , S n o d g r a s s a n d G i l b e r t ( 1 9 6 4 ) , r e p r e s e n t s m o o t h d e p t h p r o f i l e s as a s e r i e s o f d i s c o n t i n u o u s s t e p s . T h e i r j ^ ^ d . " e q u a t i o n s a r e s o l v e d f o r e a c h c o n s t a n t d e p t h " l a y e r " , a n d t h e s o l u t i o n " p a t e ^ by r e q u i r i n g c o n t i n u i t y i n t h e f l u x o f m a s s a n d m o m e n t u m a c r o s s t h e s t e p s -r e s u l t o f V o l t e -r -r a ( 1 8 8 7 ) i s c i t e d , w h i c h d e m o n s t -r a t e s f o -r t h i s c a s e t h a t t b ^ e x a c t s o l u t i o n c a n b e o b t a i n e d t o a n y r e q u i r e d p r e c i s i o n b y m a k i n g t h e <1"^P*'^ qus s t e p s s u f f i c i e n t l y s m a l l . T h e s a m e r e s u l t , i n p r i n c i p l e , h o l d s f o r t h e a n a i e l e c t r i c n e t w o r k , w h e r e one n o t e s t h a t K i r c h h o f f ' s L a w s a u t o m a t i c a l l y t a ^ ' ' c a r e o f the c o n t i n u i t y r e q u i r e m e n t s . A s i n a l l f i n i t e - d i f f e r e n c e c o m p u t a t i o n s , t h e r e i s a n e r r o r due t o ' - " ' ^ ^ ^ g c o a r s e n e s s o f t h e s p a c i n g of c o m p u t a t i o n a l p o i n t s i n the h o r i z o n t a l p l a n e s i hi i s f i n i t e . I t i s c o n v e n i e n t to d e f i n e a q u a n t i t y k as b e i n g t h e n u m b e r o f . ^ g c o m p u t a t i o n a l p o i n t s , o r e l e c t r i c a l m e s h e s , p e r w a v e l e n g t h , k = \ l ( h l ) . \a.c&-w a v e l e n g t h h e r e r e f e r s t o i t s i n s i t u v a l u e ; t h u s k m a y v a r y f r o m p l a c e t o P T h e e r r o r s i n e s t i m a t e s o f t h e p h a s e a n d a m p l i t u d e f o r a p a r t i c u l a r w a v e ^ v e n f r e q u e n c y a r e f u n c t i o n s o f k a n d d e c r e a s e as k i n c r e a s e s . C l e a r l y , f o r a-m e s h s i z e , t h e l o w e s t a c c u r a c y i s o b t a i n e d f o r t h e c a s e o f h i g h e s t f r e q u e ï ^ a n d s h a l l o w e s t d e p t h , t h a t the m o d e l i n g m u s t a c c o m m o d a t e . T h e f i n i t e - m e s h - s i z e p a r a m e t e r k e x p r e s s e d i n the t w o s y s t e m s i ^ \ _ 2 n / g h _ 2TT
ï t t - S i
^ (A-t) w(M) A d i m e n s i o n l e s s d i s s i p a t i o n f a c t o r , s, a l s o u s e f u l i n d e s c r i b i n g b o t h s y S "tr V c
I n t e r m s of t h e s e t w o p a r a m e t e r s , I s h i g u r o ( 1 9 5 9 ) e x a m i n e d the e r r o r f o ^ c a s e o f o n e - d i m e n s i o n a l p r o p a g a t i o n w i t h f r i c t i o n , a n d h i s p a p e r s h o u l d 1 ^ ^ t h e c o n s u l t e d f o r t h i s d i s c u s s i o n . B r i e f l y , f o r t h e c a s e w i t h s = 10 a n d k r j ^ e r r o r i n t h e e s t i m a t e o f a m p l i t u d e is a p p r o x i m a t e l y 10%. c t i o n A r e l a t e d e r r o r o c c u r s i f a c o m p l i c a t e d t i m e v a r y i n g e x c i t a t i o n ^ ^ " ^ ' ^ ^ ^ . j ^ a i n -is r e p r e s e n t e d b y a s e t o f n v a l u e s s p a c e d At a p a r t i n t i m e . I n o r d e r tc? ^ ^ -^g t a i n l o w h a r m o n i c d i s t o r t i o n o f t h e e x c i t a t i o n w a v e f o r m , t h e t i m e At TCVC^ s m a l l c o m p a r e d t o t h e p e r i o d o f t h e h i g h e s t - f r e q u e n c y c o m p o n e n t , i n t h e d e c o m p o s i t i o n o f t h e f o r c i n g f u n c t i o n , w h i c h p o s s e s s e s a n y s i g n i f i c a n t a. ^ a n d w h i c h t h e m o d e l is t o a c c o m m o d a t e . F o r a n a l o g u e m e a s u r e m e n t s , tt i m e s b e t w e e n s w e e p r e p e t i t i o n s w h e n t h e s e t s of (nAt ) v o l t a g e v a l u e s a.':^ -rhe i n s e r t e d m u s t a l s o be l o n g c o m p a r e d t o the l o w e s t f r e q u e n c y c o n t a i n e d i x ^ t i m e t r a n s i e n t p u l s e s o t h a t t h e o s c i l l a t i o n s o f t h e r e s p o n s e a r e g i v e n a d e q u a t ;
S E I C H E CONDITION SIMULATION
95
t o d i e o u t b e f o r e a n o t h e r e x c i t a t i o n c y c l e b e g i n s . I f t h e e x c i t a t i o n i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n , s a y f r o m a s i n e w a v e v o l t a g e g e n e r a t o r , t h i s d i s c u s s i o n i s o f l i t t l e i n t e r e s t s i n c e o n l y s t e a d y s t a t e r e s p o n s e s a r e n o r m a l l y d e s i r e d . A f t e r the p a r a m e t e r s a b o v e a r e f i x e d , e c o n o m i c d e s i g n o f the e l e c t r i ' ^ n e t w o r k f o r s i m u l a t i n g l o n g - w a v e p h e n o m e n a r e s t s c r u c i a l l y o n t h e s e l e c t i o n ^ of t h e c o n s t a n t s K , K a n d K . t 1 e I V . O U T L I N E O F P R O C E D U R E F O R E L E C T R I C N E T W O R K D E S I G N T h e p r o c e s s of s e l e c t i o n o f s u i t a b l e and p r a c t i c a l v a l u e s f o r a n d 1 ° " ' t h e r a t i o K j / K ^ c o n t i n u e s s o m e w h a t a l o n g t h e f o l l o w i n g l i n e s . F i r s t s e t d o W ^ i the i n i t i a l c o n s t r a i n t s , w h i c h a r e : (1) f r e q u e n c y b a n d w i d t h r e q u i r e d b y t h e p r o b l e m , (2) n u m b e r o f m e s h e s r e q u i r e d , (3) b a t h y m e t r i c a c c u r a c y a n d c h a r a c t e r i s t i c s ( h m a x / ' ^ n i n ) o f t h e m o d e l e d r e g i o n , (4) a c c u r a c y s o u g h t , (5) t y p e s o f c i r c u i t c o m p o n e n t s a v a i l a b l e , (6) a c c u r a c y r e q u i r e d i n e l e c t r i c c o m p o n e n t v a l u e s , (7) t y p e s o f g e n e r a t o r s a n d t e s t e q u i p m e n t a v a i l a b l e , o r h a n d , a n d (8) f u n d s a v a i l a b l e o r r e q u i r e d . - t o r s T h e s e l e c t i o n of e l e c t r i c a l c o m p o n e n t s is e s p e c i a l l y i m p o r t a n t . I n d u ^ a r e u s u a l l y the m o s t e x p e n s i v e i t e m s , a n d h e r e t h e e l e c t r i c a l " Q g " r e q u i r e d ° ^_ t h e c o m p o n e n t m a k e s a l a r g e d i f f e r e n c e . T h i s s h i f t s a t t e n t i o n b a c k to t h e h y * ^ ^ d y n a m i c s y s t e m i n o r d e r t o a s c e r t a i n w h a t " Q ' s " a r e r e q u i r e d i n o r d e r t o a n a l o g o u s l y r e p r o d u c e , i n t h e e l e c t r i c a l s y s t e m , s i m i l a r c o n d i t i o n s . F o r rT^*^ d e s i g n , o n l y l o c a l d i s s i p a t i o n - - a n d n o t r a d i a t i v e l o s s e s - - a r e c o n s i d e r e d . A s s u m i n g a s i n u s o i d a l v e l o c i t y u ^ cos wt a n d a q u a d r a t i c f r i c t i o n l a w , t h e m-<s r e l a t i v e d i s s i p a t i o n of e n e r g y E p e r c y c l e p e r u n i t a r e a i s *^2 J Q _ "J<E) _ 3TT luh^ Snujh d < E ) , , 2 A , , 2 -1^ IbY o 1 6 Y U dt o 2 „ A c c o r d i n g l y , w e d e f i n e a n e w l i n e a r i z e d f r i c t i o n c o e f f i c i e n t r = 16y u /3TT t h a t F = r / h ( E q u a t i o n s 9 ) . T h e n , ° Q 1 3 . ) . . . R ( h ) ; * U s i n g ; ( E ) ~ 1/4 pg A ^ f o r s t a n d i n g w a v e s ; u h = A «/gïi f o r l o n g w a v e s ; ""^ <UT) = Y 2 < | u c o s o i t p f f o r d ( E ) / d t . °
Minimum Inductor "Q's" Required ot Vnrin,,. n»p.K
s ond Wove Periods
3 4 6 6 7 8 £ 1000
S E I C H E CONDITION SIMULATION
97
Inductonce 4.13mH 1.62mH 6 4 5 M H 2 5 8 M H160 turns ( 7 / 4 4 Litz Wire ) 100 6 3 4 0 ( 1 9 / 4 8 ( 3 0 / 4 8 ( 4 0 / 4 4
3 H I ferrite material for cores having A;_= 1 6 0 m H / l O ' t u r n s
Frequency ( K c p s )
F i g u r e 3 . "Qe" v s . f r e q u e n c y c h o r a c t e r i s t i c s of 1 4 m m i n d u c t o r s f o r
various w i n d i n g s and i n d u c t a n c e s .
F i g u r e 2 i l l u s t r a t e s t h e e f f e c t o f d e p t h on i n t e r n a l Q f o r v a r i o u s ^ ^ ^ ^ j ^ i p p e r i o d s a n d f o r a n a s s u m e d a v e r a g e v a l u e o f r . T h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i " " ^ f o r i n d u c t o r s i s n o t so s i m p l e , b u t c a n be o b t a i n e d b y r e p l o t t i n g d a t a siro^^*'" to t h a t s h o w n i n F i g u r e 3. I n d u c t a n c e i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o the dept^J^ a n d d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e n u m b e r o f c o i l t u r n s , b u t e ^ ' ' w i n d i n g has a d i f f e r e n t c u r v e Q g ( f g ) - I f t h e t y p e of i n d u c t o r c o r e w h o s e c h a r a c t e r i s t i c s a r e s h o w n i n F i g u r e 3 w e r e t o p r o v e a d e q u a t e , one shoul*^ ^ a l s o a r r a n g e t o h a v e t h e r a n g e i n r e q u i r e d d e p t h s s p a n n e d b y c o i l s c o n t a i i ^ ' ^ ^;bis 4 0 t o 1 6 0 t u r n s , t h e c h a r a c t e r i s t i c s b e i n g s o m e w h a t d e g r a d e d o u t s i d e ° r a n g e . I n d u c t o r c o r e s a r e d i s t i n g u i s h e d b y t w o m a j o r p a r a m e t e r s : ( 1 ) ' ^ ' ^ ^ ^ m a t e r i a l t y p e , t h e m o l e c u l a r a n d m a g n e t i c p r o p e r t i e s o f w h i c h d e t e r m i n e £. F i g - 3 a b o u t f r e q u e n c y r a n g e , L a n d Qg v a l u e s o b t a i n a b l e , a n d (2) a q u a n t i t y A X J ' p e r w h i c h d e p e n d s o n t h e c o r e g e o m e t r y a n d p r o v i d e s i n d u c t a n c e i n m i l l i h e r a r ' y t h o u s a n d c o i l t u r n s . C u r v e s l i k e t h o s e o f F i g u r e 3 m a y be o b t a i n e d f r o i ï i m a n u f a c t u r e r s. a , p t i S t a r t i n g w i t h a l a t e l y i n d u c t o r c o r e c a n d i d a t e , one c o n s t r u c t s a \BX'^^ h a v i n g t w o a b s c i s s a s c a l e s , w a v e p e r i o d T a n d e l e c t r i c a l f r e q u e n c y f ^ , ^ ^ a p l ^ to e a c h o t h e r b y the a s - y e t - u n s e l e c t e d f a c t o r K j . I n s i m i l a r f a s h i o n , t h e ^ ^3. t o s h o w n i n F i g u r e 4 h a s t h r e e i n d e p e n d e n t o r d i n a t e s c a l e s , w h i c h a r e a l l o ^ * ^ s l i d e r e l a t i v e t o e a c h o t h e r . T h e s e o r d i n a t e s c o n s i s t o f s c a l e s o f d e p t h » i n d u c t a n c e a n d c o i l t u r n s . A t r i a l c h o i c e f o r K^. f i x e s the a b s c i s s a s e a l ' s S r e l a t i v e t o e a c h o t h e r ; s i m i l a r l y , c h o i c e of t h e r a t i o K ^ / K ^ f i x e s t h e dep'^^ a x i s r e l a t i v e t o t h e i n d u c t a n c e a x i s , t h e i n d u c t a n c e a n d t u r n s s c a l e s b e i ^ ^ ^ ^ a l r e a d y l i n k e d t h r o u g h A j ^ . N o w , f o r e a c h p o i n t i n the p l a n e , one i s a b l " ^ i i a e d a s s i g n v a l u e s f o r Q, u s i n g F i g u r e 2 ( t h e a v e r a g e v a l u e o f r b e i n g t h a t o t > * .^^^rves t h r o u g h c a l c u l a t i o n o r c u r r e n t m e a s u r e m e n t s ) , a n d v a l u e s f o r Q^, u s i n g g ) . n g e s s i m i l a r t o t h o s e o f F i g u r e 3. * A v a l i d d e s i g n o v e r t h e d e p t h a n d p e r i o d d e f i n e d b y t h e i n t e r v a l s [ h ^ j ^ ^ h < h ^ ^ ^ ] a n d [ T ^ i ^ < T < T ^ ^ ^ ] r e q ^ ^ ^ i o n t h a t Q g ( L , f g ) 2= Q ( h , T ) . A f t e r v a l u e s o f K j / K g a n d o b t a i n i n g t h i s con'^ ^ i t h h a v e b e e n d e t e r m i n e d , i t i s a d v i s a b l e t o a d j u s t t h e s e v a l u e s i n c o n n e c t ! ' - ' ^ t h e m e s h s i z e c o e f f i c i e n t (M)^ so as t o o b t a i n a c a p a c i t o r s i z e w h i c h i s 3 . i n s . c o m m o n l y a v a i l a b l e , r e c h e c k i n g t h e n t o v e r i f y t h a t t h e a b o v e v a l i d i t y y-^ e m e s h T h e v a l u e K j m u s t be c h o s e n so t h a t t h e c u r r e n t f l o w i n g t h r o u g l i ^ a r m s ( F i g u r e s I . b a n d I . d ) i s w e l l b e l o w t h e c o r e s a t u r a t i o n l e v e l o f t l ^ -i n d u c t o r s , y e t h -i g h e n o u g h t o p r o v -i d e a g o o d s -i g n a l - t o - n o -i s e r a t -i o o v e r * ^ c o m p l e t e v e l o c i t y r a n g e o f i n t e r e s t w h e n u s i n g a v a i l a b l e c u r r e n t m e a s i . i ^ " i n s t r u m e n t s . W i t h t r i a l v a l u e s of K ^ / K ^ a n d K^^ d e t e r m i n e d , i s s e t be a u t o m a t i c a l l y . T h e r a n g e o f v a l u e s t h a t L , C, a n d R m a y t a k e o n c a n x>e c a l c u l a t e d u s i n g E q u a t i o n s ( 9 ) . T h e u n i t m e s h i m p e d a n c e s c a n t h e n a l s * N o t e : T h e Q g ( f g ) v a l u e s u s e d i n F i g u r e 4 w e r e f o r a d i f f e r e n t i n d u c t o : t h a n t h a t d e s c r i b e d i n F i g u r e 3.
c a l c u l a t e d . I f t h e o v e r a l l d r i v i n g - b o u n d a r y i m p e d a n c e u s i n g t h e s e c h o i c e s t u r n s o u t t o b e t o o l o w , t o o g r e a t p o w e r w i l l be r e q u i r e d t o e x c i t e t h e n e t w o r k , a n d t h e a b o v e p r o c e s s m u s t t h e n be r e p e a t e d , o r m o d i f i e d , so as t o a c h i e v e m o r e r e a s o n a b l e v a l u e s . T r a n s m i s s i o n l i n e t h e o r y p r o v i d e s a n a p p r o x i m a t e m e a n s o f c a l c u l a t i n g t h e s e b o u n d a r y i m p e d a n c e s . F o r t h e m o d e l m e a s u r e m e n t s t o be m e a n i n g f u l , i t i s i m p e r a t i v e t h a t t h e e l e c t r i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n e t w o r k be u n a l t e r e d b y the p r e s e n c e o f t h e w a v e g e n e r a t o r o r t h e m e a s u r i n g e q u i p m e n t . I t i s t h e r e f o r e n e c e s s a r y t o h a v e the i m p e d a n c e a c r o s s t h e s e i n p u t a n d o u t p u t e q u i p m e n t t e r m i n a l s m u c h h i g h e r t h a n t h e i m p e d a n c e s a c r o s s t h e t e r m i n a l s o f t h e n e t w o r k t o w h i c h t h e y a r e c o n n e c t e d . T h i s is n o t a d i f f i c u l t c o n d i t i o n t o a c h i e v e f o r the c a s e o f t h e m e a s u r i n g i n s t r u m e n t s , as t h e i r i n p u t i m p e d a n c e s a r e v e r y h i g h . I n t h e c a s e o f t h e w a v e g e n e r a t o r , h o w e v e r , t h e a d d i t i o n a l c o n f l i c t i n g r e q u i r e m e n t f o r e f f i c i e n t p o w e r t r a n s f e r c o m p l i c a t e s t h e s i t u a t i o n , a n d a c o m p r o m i s e c o n d i t i o n m u s t be t o l e r a t e d . H e r e t h e l o w e s t - p o s s i b l e i s o l a t i n g i m p e d a n c e , c o r r e s p o n d i n g t o t h e m a x i m u m e r r o r , i s e s t i m a t e d . N e x t , c o n s i d e r i n g t h e s e n s i t i v i t y o f the m e a s u r i n g e q u i p m e n t a n d t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m v o l t a g e s r e q u i r e d i n the n e t w o r k , d e t e r m i n e w h a t p o w e r w i l l be r e q u i r e d f r o m t h e w a v e g e n e r a t o r s . F o r t r a n s i e n t e x c i t a t i o n s , t h e p e a k s o u r c e p o w e r r e q u i r e d m u s t b e e s t i m a t e d . F o r a s i n g l e m e s h w h e r e a w a v e o f h e i g h t £ is r e q u i r e d , t h i s c a n b e n o l e s s t h a n ^ s ^ 2 Z [ ^ ) = K K . ( W a t t s p e a k t o p e a k ) ; w h e r e n m e s h e s a r e so d r i v e n . 1 T h e l a n d w a r d p e r i m e t e r of t h e w a t e r a r e a i s s i m u l a t e d b y a n o p e n c i r c u i t i n t h a t d i r e c t i o n . I n t h i s c a s e , Z = a n d p e r f e c t w a v e r e f l e c t i o n s o c c u r a l t h o u g h , i f k n o w l e d g e p e r m i t s , o t h e r h i g h v a l u e s (Z > Z ^ ) c o u l d b e s p e c i f i e d , a l l o w i n g f o r i m p e r f e c t r e f l e c t i o n s . I n the e l e c t r i c m o d e l , t h o s e b o u n d a r i e s f o r w h i c h a c o n n e c t i o n t o t h e o p e n s e a i s t o be s i m u l a t e d r e q u i r e s p e c i a l a t t e n t i o n . I t w o u l d be u n r e a l i s t i c to h a v e a n y o u t g o i n g w a v e s r e f l e c t e d f r o m t h i s b o u n d a r y , o r d i m i n i s h i n a m p l i t u d e o n a p p r o a c h i n g i t . C o n s e q u e n t l y , t h i s b o u n d a r y s h o u l d b e t e r m i n a t e d m i t s c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e . R e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n t o t h i s c o n d i t i o n i s a c h i e v e d b y c o n n e c t i n g (to g r o u n d ) r e s i s t o r s h a v i n g v a l u e s c a l c u l a t e d u s i n g the r e a l p a r t o f 1 5 . ) . . . Z = ^ J 1 + T r : / i h (M) M + ZTTiK h
S E I C H E CONDITION SIMULATION 101
w h e r e the l o c a l v a l u e o f h i s u s e d . T h e s e v a l u e s m a y l a t e r be a d j u s t e d e x p e r i m e n t a l l y . I f t h e n e t w o r k i s p r o p e r l y d e s i g n e d , t h i s e q u i v a l e n t i m p e d a n c e w i l l be p u r e l y r e s i s t i v e t o an e x c e l l e n t a p p r o x i m a t i o n . T h e c a p a c i t o r s s e l e c t e d s h o u l d h a v e d i s s i p a t i o n f a c t o r s ( l / Q ) c e r t a i n l y no g r e a t e r t h a n t h a t of t h e i n d u c t o r s . T h i s p r e s e n t s n o p r o b l e m , b u t i n d i c a t e s the n e e d f o r c a p a c i t o r s h a v i n g m i c a , p o l y s t y r e n e , g l a s s , o r o t h e r l o w - d i s s i p a t i o n , h i g h - s t a b i l i t y , d i e l e c t r i c m a t e r i a l . L i t t l e n e e d be m e n t i o n e d c o n c e r n i n g t h e r e s i s t a n c e c o m p o n e n t s , s a v e t h a t t h e y m u s t be s t a b l e a n d h a v e s u f f i c i e n t r e s o l u t i o n t o be c o n s i s t e n t w i t h t h e o v e r a l l a c c u r a c y s o u g h t . V . E X A M P L E S O F E X P E R I M E N T A L R E S U L T S V a l u e s of s c a l e a n d o t h e r p a r a m e t e r s t h a t h a v e b e e n u s e d f o r t w o l o n g w a v e a n a l o g u e s a r e c o m p a r e d b e l o w . C h e s a p e a k e B a y S m a l l B o a t H a r b o r K = 2 . 0 X lo"^ K = 1 . 0 x 10*^ t t K . = 2 . 0 X l O ^ ^ c m ^ s e c ' V A m p . K . = 8. 56 x 1 o'^cm'^ sec " / A m p . K = 40 c m / v o l t K 1.0 c m / v o l t e e T . = 10 m i n u t e s T . = 25 s e c o n d s m m m m A.f, = 3. 0 K m ; 1. 0Km;
0. 5Km
M = 920 f t ; 240 f t ; 80 f t h = 3 . 0 - 3 3 m e t e r s h = 2 . 0 - 1 6 m e t e r s C h a n g e s i n d i s t a n c e s c a l e i n the e l e c t r i c a n a l o g u e c a n be e a s i l y a c h i e v e d b y c h a n g i n g c a p a c i t o r v a l u e s . B e f o r e u s i n g a n e l e c t r i c a l a n a l o g u e m o d e l t o a t t a c k g e n e r a l s e i c h e p r o b l e m s , i t c a n be v e r y r e a s s u r i n g t o h a v e s u c c e s s f u l l y s e t i t t o t h e t a s k o f s o l v i n g a l o n g - w a v e p r o b l e m w h e r e t h e p r o t o t y p e s o l u t i o n i s k n o w n i n a d v a n c e . T h e o b s e r v e d t i d e s a r o u n d C h e s a p e a k e B a y n e a r l y p r o v i d e d s u c h a p r o b l e m a n d a l s o a l l o w e d t h e o p p o r t u n i t y to a d j u s t r e g i o n a l f r i c t i o n a l v a l u e s , so as t o m o r e c o r r e c t l y s i m u l a t e the t i d a l e f f e c t s . T h i s a f f o r d e d an a p p r o x i m a t e m o d e l c a l i b r a t i o n . F i g u r e 5 s h o w s t h e p o s i t i o n s o f s e v e n t e e n s t a n d a r d t i d e s t a t i o n s l o c a t e d a r o u n d C h e s a p e a k e B a y . F i g u r e 6 s h o w s t h e r e s u l t s o f t h e h a r m o n i c a n a l y s i s o f t h e t i d e s o b s e r v e d at t h e s e s t a t i o n s . T h e s e c o n s i s t of s i n u s o i d s o f f i x e d f r e q u e n c i e s w h o s e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s h a v e b e e n a d j u s t e d so as t o r e a l i z e s o m e s t r e t c h of t i d a l e l e v a t i o n t i m e h i s t o r y . S i n u s o i d a l v o l t a g e s w h o s e17. Elk River Entrance 16. Pooles Island Light 15. Baltimore
14. Seven-foot Knoll Light 13. Love Point Light 12. Annapolis
11. Thomas Point Shoal Light
9. Sharp's Island Light 10. Cambridge
8. Solomon's Island Light
7. Holland Island Bar Light
6. Great Wicomico Light
5. Stingray Point Light
1. Cape Charles
2. Old Point Comfort 4. Hampton Roads 3. Portsmouth
Figure 5. Positions of standard tide stations (listed in Figure 6 ) for which harmonic components were recently computed and used for comparison with results of analog model.
Figure 6 .
A M P L I T U D E S AND P H A S E S O F T H E MAJOR C O N S T I T U E N T S O F T H E O B S E R V E D T I D E S A R O U N D C H E S A P E A K E BAY
0 - Represents the phase lag of a tidal constituent behind that of Ihe corresponding equilibrium tide at the some position.
- Represents phase logs corrected to a common meridion, Old Point Comfort { 7 6 ° 18' W ) . Note: A maximum error of 2 ° moy result here becousc of some approximations. A - Amplitude in centimeters.
NOTE : Interpolated «olues ore shown by meons of porenlheses to distinguish from direct observations.
U. S . C . a G. S . L E N G T H O F TID AL C O M P O N E N T T I D E S T A T I O N TIDE RECORD
ANALYZED Kz Ol K, P, Q, S l
NUMBER - NAME - LOCATION If 0' A 4' A 0' A 4' A 0 0' A 0 0' A 0 0' A 0 0' A 0 0' A
2180 Old Point Comfort ( 37* 0 0 'N , 76* 18'W) 1 Ï 2 4 6 ' 0* 36.61 271' 0* 6.92 228* 0 ° 8 J 2 277* 0* 1.58 143' 0* 4.0Z 120' 0° 5,24 103' 0 ' 1.74 115" 0 ° Ó-61 41" 0* 0.64 2180 Porlwnouth, Eliiobeth R. V. ( 3 6 ' 4 9 ' N , 76*18'W) 1 y 2 6 4 ' 18* 40.66 2 9 5 ' 24' 756 2 4 6 ' 16* 9.05 279" 2" 1.63 156* 7" 4.39 130" 10* 5,64 110' 7* 1.55 142" 27" 076 30" -10" 0.61
2213 Cope Chorles 1 37* 16'N. 76'01* W ) l y 253' 8 ' 34.08 278* 7* 6.89 231' 3* 768 2 6 8 ' - 9 ' V83 148" 5° 4.24 128° 8" 3.36 121* 8* 1.96
-
-
-
-
-
-603 Hampton Roods ( 36" 51' N, 76' 20' W ) 3y 2 5 7 ' 11* 36.56 2 8 5 ' 14* 7.10 239* 11* ao2 Z86" 11* 201 147" 4" 4.11 127" 7* 521 123" 20" 1.59 132* 17* 1.04 26" -12* 0.94 493 Shorps Island Light ( 38' 3e'N, 76' 23' W 1 29 d 8 0 ' 194* 177 126' 215' 1.6 51* 183* 3.1 (126*) (209*) (0.5) 272* 129* 3,9 272* 152" 4.5 12 72') (169") (1.5) 1272") 1157*) (0.6)
-
-
-491 Hollond Islond Sor Light ( 3 8 ' 0 4 'N, 7 6 ' 0 6 'W ) 29 d 12* 126* 21.5 33' 122* 3.3 3 4 9 ' 121* 4.2 (33*) tll6*) (0.9) 214* 71* 2.9 201* 81* 2.6 (201") 196*) (0.9) (220*1 (105"1 (0.5)-
-
-2180 Annopolis, Md. { 38* 59'N. 7 6 ' 29' W ) l y 143* 257* 11,49 170* 259* 1.95 115* 247* 2.36 -
-
-
293* 150* 4.11 284- 154* 5.03 272" 169* 2.16-
-
-
2 3 4 ' 196* 1.65487 Stingray Point Light 1 3 7 ' 3 4 'N, 7 6 ' 1 6 ' w ) 29 d 296* 50* 16.1 325' 5 4 - 2.5 261' 33* 3.4 1325*) (48*1 (0.71 190* 47* 2.3 133" 13* 2.6 1133*1 (30*1 10.91 (219') 1104') (0.5)
-
-
-488 Gr«t Wicomico Light (37'4e'N, 76"16'w) 29 d 337* 91* 15.5 357* 8 6 ' 2.6 322* 9 4 ' 3.5 {357'] (80*) (0.7) 194' 51* 2 7 157* 37" 2.4 (137") 134*) 10.8) (213') (98') (0.5)-
-
-692 Solomon't Island. Md. I S B ' t S ' N , 76*27'W) 1» 44* 156* 16,67 70* 159* 2.62 18' 150* 3.63 62* 145" 0.76 259* 116' Z.Ol 239" 119" 2.29 240* 137" 1.25 216' 101" 0.46 220" 180" 1.07 2181 Boltimore, Md. { 39-16'N. 76* 35'W ) 4y 190' 304* 14.57 217* 306* 2.56 166* 296* 3.11 216* 299* 0.7 303" 160* 512 296* 176" 6.46 289" 186' 2.20 264* 149' 0,98 2 2 5 ' 185* 1.9 499 PoolB's Island Lighl (39* 17'N. 76'16* W) 29 d 212* 3 2 6 ' 174 259* 348* 2.9 192* 324* 3.5 (259*) (342"1 (0.8) 319" 176* 4.9 293* 173* 6.4 (293*1 (190*) (2.6) (331*) 1216") (0.9) -2130 Washington, D.C. ( S B ' S S ' N, 77*orW) 4 y 2 2 8 ' 342* 42.28 269* 358* 6.22 2 0 6 ' 338* 8.11 273" 356" 1.92 300* 157* 3.23 276" 156" 4.75 291* 168" 1.22-
--
233* 193' 1.40 2180 Combridg», Md, ( 38* 34'N. 75*04'W ) 1 1 107* 221' 22.74 141* 230* 3 7 5 86* 218'' 4.54 - - - 279* 136' 4,79 265" 145" 4.75 254* 151" 1.65 244* 129* 1.07 233* 193* 1.74 495 Love Poinl Light ( 39*03'N, 76*1T'W) 29 d 168* 2 8 2 ' 15.3 210* 299* 2.3 159* 291* 3.4 1210*1 (293") (0.6) 301" 136" 5.4 275* 155* 7 7 (27 5-1 (172*) ( 2 . 5 ) (314-1 (199*) 11.0)-
-
-— Thomos Poinl Shool Light (38* 54'N, 76*26'W) 29 d 119' 2 3 3 ' 11.2 127* 216* 1.6 103* 2 3 5 ' 2.4 (127*) 1210*) (0.4) 297* 154* 3.0 268* 148' 6,3 (268*) (165*) (2.1) (312-) (197-) (0.6)-
-
-500 Elk River Enironee - Turkey Point I 3 9 ' 2 6 'N, 75*59'W ) 29 d 246* 3 6 0 ' 30.8 2 8 4 ' 3 7 3 ' 5.2 219' 351" 5.6 1284*) (367"1 (1.41 337" 194- 5.2 307" 187' 10.3 (307*1 (204*1 (3.4) (352*1 1237") (1.2) --
-501 CtKsopeoke City, tild. ( 39'32'N. 75" 49'W ) 413 d 263* 3 7 7 ' 31.9 304* 393* 4.1 2 3 8 ' 3 7 0 ' 6.0 316' 401* 2.0 324" 161* 6.3 315* 195° 7.5 1341*1 1236*1 (1.6) (326") (213*1 n.2) 239" 199* 0.6 693 Court House Point. Md. ( 39" 31'N. 75'53'W ) 369 d 2 6 9 ' 3 8 3 ' 31.21 311* 400" 4.11 239* 371' 6.10 298* 381* 1.52 316" 175' 5.91 313* 193* 7 8 0 318* 215" 2.07 262" 167* 1.)6 243* 203* 1.46 496 Seven Foot Knoll Light. Md. ( 39*09'N, 7 6 ' 2 5 'W 1 29 d 185* 2 9 9 ' 13.4 220* 3 0 9 ' 2.7 165* 297* 2.8 (220* (303* 10.7) 312" 169" 2.8 284" 164* 8.4 1284* (161") 12,81 (326' 1211*) (0.5)-f r e q u e n c i e s c o r r e s p o n d e d i n m o d e l t i m e t o t h e t i d a l c o m p o n e n t s l i s t e d w e r e i n t r o d u c e d w e l l o f f s h o r e f r o m t h e b a y m o u t h . V o l t a g e a m p l i t u d e s a n d p h a s e s w e r e m e a s u r e d a t p o s i t i o n s i n t h e m o d e l c o r r e s p o n d i n g t o t h o s e o f t h e s e v e n t e e n t i d e s t a t i o n s . A n o r m a l i z i n g s t a t i o n w a s c h o s e n n e a r t h e b a y e n t r a n c e . T h e a m p l i t u d e r a t i o s a n d p h a s e s h i f t s of t h e r e m a i n i n g s e t o f s i x t e e n s t a t i o n s c o u l d b e c o m p a r e d i n b o t h t h e m o d e l a n d the p r o t o t y p e i n t h i s w a y . W h e n t h e M 2 t i d a l f r e q u e n c y w a s u s e d a n d t h e e l e c t r i c c u r r e n t f l o w i n g i n v a r i o u s m e s h a r m s m e a s u r e d t o o b t a i n l o c a l t i d a l - c u r r ent v e c t o r s , i t w a s f o u n d t h a t t h e s e e x c e e d e d m e a s u r e d M 2 s p e e d b y a b o u t 50%. I n i t i a l l y , a r m i f o r m v a l u e f o r b o t t o m f r i c t i o n w a s u s e d t h r o u g h o u t the b a y . F o l l o w i n g t h e s e m e a s u r e m e n t s , n e w v a l u e s o f r , t h e l i n e a r i z e d f r i c t i o n c o e f f i c i e n t , w e r e c o m p u t e d u s i n g t h e s i m u l a t e d M 2 t i d a l c u r r e n t s m e a s u r e d i n t h e m o d e l p r e v i o u s l y ; f r i c t i o n w a s t h e n n o n u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d . A f t e r t h i s , t h e o b s e r v e d m o d e l c u r r e n t s w e r e l o w e r t h a n t h o s e o b s e r v e d i n n a t u r e , b u t w i t h m u c h s m a l l e r l o c a l d e v i a t i ons t h a n b e f o r e . T h e t i d e s t a t i o n c o m p a r i s o n s w e r e i n o r e o r l e s s i m p r o v e d a l s o , b u t n o t so m a r k e d l y . O n l y one s u c h i t e r a t i o n f o r t h e b o t t o m f r i c t i o n a l d i s t r i b u t i o n h a s b e e n t r i e d t o d a t e . S i n c e t i d e s a r e n o t s m a l l a m p l i t u d e o s c i l l a t i o n s a n d C o r i o l i s e f f e c t s a r e p r e s e n t , i t w o u l d be s u r p r i s i n g i f s u b s t a n t i a l e r r o r s w e r e n o t o b s e r v e d u s i n g t h i s l i n e a r m o d e l f o r t i d e s . A c e r t a i n r e g u l a r i t y , h o w e v e r , w a s n o t i c e d i n t h e a c c u r a c y w i t h w h i c h t i d a l s i m u l a t i o n w a s p o s s i b l e a t s o m e s t a t i o n s . A t S t a t i o n s 5, 6, 11 a n d 14 i n F i g u r e 5 p r e d i c t i o n w a s c o n s i s t e n t l y g o o d , w h i l e at S t a t i o n s 10 a n d 17 i t w a s c o n s i s t e n t l y p o o r . F o r t h e s e t o f s e v e n t i d a l c o m p o n e n t s a n d s e v e n t e e n t i d e s t a t i o n s , t h e p h a s e d i f f e r e n c e e r r o r a v e r a g e d a b o u t 1 0 ° a n d t h e a m p l i t u d e r a t i o s d e v i a t e d a b o u t 25% w h e n c o m p a r e d t o t h o s e f r o m t h e p r o t o t y p e . S u c h p r e d i c t i o n e r r o r s a r e p r e s u m a b l y s m a l l e r f o r s h o r t e r p e r i o d e x c i t a t i o n s . F i g u r e 7 s h o w s a n e x a m p l e of a m p l i t u d e r e s p o n s e s p e c t r a o b t a i n e d f o r t h r e e l o c a t i o n s i n C h e s a p e a k e B a y . I n e a c h c a s e t w o c u r v e s a r e s u p e r i m p o s e d . T h e s e s h o w t h e e f f e c t o f v a r y i n g t h e d i r e c t i o n o f i n i t i a l w a v e a p p r o a c h . A p p a r e n t l y c e r t a i n m o d e s of o s c i l l a t i o n a r e e x c i t e d p r e f e r e n t i a l l y b y w a v e s f r o m d i f f e r e n t d i r e c t i o n s . E s p e c i a l l y a t l o w f r e q u e n c i e s , t h e c o n s t r a i n t i m p o s e d b y t h e l o c a t i o n o f t h e w a v e s o u r c e b e c o m e s m o r e i m p o r t a n t . One n o t i c e s i n F i g u r e 7, h o w e v e r , t h a t t h e d i r e c t i o n a l e f f e c t d i m i n i s h e s at l o w f r e q u e n c i e s as i t m i g h t be e x p e c t e d t o d o . F i g u r e 8 s h o w s e x a m p l e s o f i m p u l s e r e s p o n s e s a l s o o b t a i n e d a t v a r i o u s m o d e l e d l o c a t i o n s i n C h e s a p e a k e B a y . H e r e t h e e x c i t a t i o n p u l s e t i m e h i s t o r y a p p e a r s as t h e t o p t r a c e i n e a c h f r a m e , w h i l e t h e l o w e r o s c i l l o s c o p e b e a m , a f t e r s o m e d e l a y , t r a c e s o u t t h e r e s p o n s e t i m e h i s t o r i e s . E x a m i n a t i o n o f r e s p o n s e s p e c t r a f r o m a n u m b e r of l o c a t i o n s m a y i n d i c a t e c o n s i s t e n t l a r g e a c t i v i t y o r r e s o n a n c e a m p l i f i c a t i o n a t c e r t a i n f r e q u e n c i e s . I n s u c h c a s e s i t i s d e s i r a b l e to e x a m i n e a p a r t i c u l a r m o d e of o s c i l l a t i o n i n d e t a i l . F i g u r e 9 s h o w s a n e x a m p l e o f s u c h a c a s e f o r one b a s i n c o n f i g u r a t i o n t h a t h a d
C O R R E S P O N D I N G WAVE P E R I O D F O R R E A L T I M E i l l I ÏS s : 9
i i l i i t i i
2 Ï 4 a 6 I E:
I S
J i H i j v h ' l |,!;:|.•
^ g T T ! HAMPTON ROADS E L E C T R I C A L F R E Q U E N C Y IN K I L O C Y C L E S -03IS
H-(O
O
O
I—Ii
59
I
Figure 7. Model response spectra for indicated positions showing the effect of variation in the initial direction of wave approach.
Boundaries B ( » ) and D ( • )
0.5-Kilometer Meshes
(66,32)
/ l l
il
Ï
r
V'
1 '1 5 0 / i s / c m(66,32)
I
E O CM 2 0 / i s / c m( 3 4 , 2 8 )
Ll
P T T T T T
\ 5 0 / ^ s / c m( 3 4 , 2 8 )
r ' 1, 1A
— — 11 É jV
^ ^^
V
N
i
1
2 0 / ^ s / c m(56,41)
i
E O 00M I I
5 0 u s / c m(56,41)
2 0 u s / c m(37, 42)
( 3 7 , 4 2 )
H H m l bii H HV yii
A - 1 4 3 5 0 / ^ s / c m 2 0 / / s / c mS E I C H E CONDITION SIMULATION
107
Figure 9 .
A configuration for a small-boat tiarbor illustrating one severe case.
Frequency = 13.4 k c , Period ( T ) = 7 4 . 6 s e c . B O U N D A R Y C D R I V E R , 35VOII5 R M S R E F E R E N C E , 1 »oll R M S A V E R A G E D E P T H , 1 7. 8 2 l e d A V E R A G E W A V E L E N G T H , 1 7 9 0 feel 1 7 9 0 / 8 0 SS 2 2 m e s h e s Figure 10.
Another configuration for a s m a l l - b o a t harbor showing a severe
S E I C H E CONDITION SIMULATION
109
1. 7 37 /.2 36 0.76 35 0.26 25 0.4 6 222 /.2 2/9 1.9 36 /.4 36 0.97 35 0.4 39 1. 9 37 /.4 36 /.O 35 0.6 32 0.53 3/ /./ 35 0.7 8 33 0.54 3/ 0.38 29 0.2Z 27 0./ 35 0.06 9 / 0.08 /34 0.// 157 0./5 /62 o.se 25 0.3 23 0.22 20 0./3 22 0.06 39 0.04 /28 0.09 /58 0./2 /62 0. /5 /64 0.22 243 0./8 247 0,32 244 0.38 240 0.3 247 0./2 30a 0.// 337 0./ 345 .06 .02 .06 .09 /67 .03 /68 0./6 /7/ 023 242 0./3 305 0.3 6 238 0.46 237 0.4 24/ 0.23 249 0./8 260 0/2 26/ 0.09 250 0.07 225 0.08 /93 0.// /80 0./4 /^ê 0./8 774 0.44 253 0.46 240 0.63 Z30 0.64 234 0. 54 237 0.4 2 241 032 244 0.2Z 244 0./6 237 0./2 227 0,/ /9Z 0./2 /82 0./5 /79 0./8 /73 0.66 25/ O. 7 251 0.89 Z'^5 0.82 234 0. 67 235 0.53 237 0./4 239 0./3 239 0./2 237 0./4 235 0.78 25'0 0.8 243 0.84 250 0.8C. 234 0.72 2 35 0.38 235 0.45 237 0.32 23? 02/ 238 0.1 239 0.02 O./4 55 0.24 56 0.3 2 0.9 235 0.9 234 0.9 234 o.ei 236. O. 7 2 34 0.54 .235 0.42 235 0. 3 237 0.2 239 0.09 0.02 0./2 0.2 a.2(, 5-g C.77 235 0.76 234 0.7 5 2 35 0.68 235 0.58 235 0.47 235 0-36 234 0.26 234 0/6 2 32 0.07 ^34 0.03 0." 39 0./6 45-o.z 5/ 0.57 234 056 234 0.55 234 0.5 233 0.42 233 0.35 Z3i 0.7 23/ 0./8 230 0.// 230 0.04 0.04 0.1 44 0./4 47 0/8 S/ 0.33 234 0.33 Z34 0.2 3 2 35 09 23/ 0.25 2 33 0.2 232 0./5 0./ 0.0 6 0.0/ 0.05 0./ 5-0 0./2 43' 0./5 5/ O.S 236 O. 9 240 0. 9 Z40 0.09 0.08 0.07 0.06 0.04 0.0/ C7.03 0.0 6 r2 0.09 47 0./ 44 o/z 45 O./é 51 O./5 50 0/4 ^ 5 " 0./2 42 0./ 45 0.09 0.07 O.Oé O.06 0.0 6 •42 0.07 0.0 8 4/ 0./ 4a 0 / 47 0.4 55 0.38 5-4 0.37 51 0-32 55 0.27 55 02 2 53 0./6 50 0./2 0./ 4/ 0.08 0.07 0.0 6 0.0 6 0.07 0.64 5(. 0.6 2 55 0.5d 55 0.5 5'7 0.4/ 5-5 0.32 55 /).24 5-3 0./6 52 O./l 53 0.8 0. 6 0.4 0. 2 0.2 0.85 5é O.S2 56 0.77 56 0.64 60 0.5Z 5'9 0.4 S3 0.28 55 0.3 52 0./2 52 0./6 0./2 0. /2 0.5 0.4 /.O 58 0.96 5-3 0.9/ 57 0.76 62 0.6 60 0.5 5-4 \ 0.3 5-0 0./4 45 0.8 O.OZ 0. 03 0.0 6 0.08 33 0./ 50 O.04 0.0/ 0.04 003 0./ 0/2 50 0./5 52 0.00 OO < - R M S A M P L I T U D E IN V O L T S (or c m ) < - P H A S E R E L A T I V E TO T H E D R I V E R (deg.) 0.05 0.06 0.09 O./3 0./(, 0./9 0.20 0./ 0./2 0./6 0./7 a./9 0.22 0.25 0.4 0./5 0./7 (2.2 0.22 0.26 0.29 Figure 11.Insertion of simulate(J solid mole at node of standing w o v e , i l l u s t r a t i n g the mode of oscillation (shov^n in previous f i g u r e ) effectively e l i m i n a t e d .
b e e n p r o p o s e d f o r a s m a l l b o a t h a r b o r . T h e g r i d s h o w n i s on 8 0 - f o o t c e n t e r s a n d t h e q u a n t i t y c o n t o u r e d i s R M S v o l t a g e as m e a s u r e d i n t h e m o d e l . T^^^^ p a r t i c u l a r m o d e e x h i b i t e d r e s o n a n t a m p l i f i c a t i o n f a c t o r s {e .. /e^_^^) o f ^s l a i ge as s i x t e e n , o v e r a v a r i e t y o f i n i t i a l w a v e h e a d i n g s . F i g u r e ^ ' ' 10 s h o w s a s i m i l a r c a s e f o r a n o t h e r s i m p l e b a s i n c o n f i g u r a t i o n , f o r w h i c h a p p r o x i m ^ ' ' ^ h a n d c o m p u t a t i o n s c a n be m a d e . T h e b a s i n d e p t h i n t h i s c a s e w a s r e l a t i v e l y c o n s t a n t e x c e p t n e a r t h e e n t r a n c e a n d a l o n g t h e b o r d e r s . H i g h a m p l i f i * ^ ^ * ^ " " f a c t o r s a r e a g a i n n o t e d . F i g u r e 11 s h o w s t h e s a m e b a s i n w i t h a s i m u l a t e d s o l i d m o l e o r s h e e t - p i l e o b s t r u c t i o n i n s e r t e d a t a c r i t i c a l p o i n t . C o n d i t i o n s a r e o t h e r w i s e t h e s a m e as f o r t h e p r e v i o u s f i g u r e ; h o w e v e r , t h a t m o d e o f ^ o s c i l l a t i o n h a s n o w b e e n e f f e c t i v e l y e l i m i n a t e d . T h e n u m b e r s t o w a r d t h e t o p o e a c h s q u a r e a r e t h e m e s h v o l t a g e s , e, a n d t h e b o t t o m e n t r i e s a r e t h e p h a s e d i f f e r e n c e s e x i s t i n g b e t w e e n e a c h o f t h e s e p o i n t s a n d t h e d r i v e r , l o c a t e d m a n y w a v e l e n g t h s a w a y . T h e e x a m p l e s s h o w n h e r e a r e f a i r l y s i m p l e o n e s ; q m * ^ c o m p l e x p a t t e r n s a l s o m a y b e f o u n d . F r e q u e n c i e s w h i c h p r o d u c e l a r g e r e s o n a n t a m p l i f i c a t i o n s a t p o " ^ * ^ . i n t e r n a l t o t h e b a s i n s c a n be i d e n t i f i e d a n d t h e i r m o d e s o f o s c i l l a t i o n ^"^^'^ S t e p s c a n t h e n be t a k e n t o s u p p r e s s t h o s e w h i c h m a y be p a r t i c u l a r l y u n ^ e s i r a e. E a c h c h a n g e i n l a t e r a l o r b o t t o m b a s i n c o n f i g u r a t i o n m a y i n t r o d u c e n e ^ o r c h a n g e t h e Q ' s o f p r e - e x i s t i n g o n e s , a n d t h e s e m u s t be r e - e x a m i n ' ^ ' ^ ' N e v e r t h e l e s s , t o s o m e e x t e n t , i t i s p o s s i b l e t o a t t a c k t h e i n v e r s e pr o'^^^™^ ° a r r i v i n g at t h r e e d i m e n s i o n a l b a s i n s h a p e s w h i c h y i e l d d e s i r e d r e s p o n s e s , a p p e a r s t h a t , g i v e n s u f f i c i e n t d e s c r i p t i o n o f the l o n g - w a v e e n v i r o n m e n t » ' ® d e s c r i b e d t e c h n i q u e w i l l a i d i n t h e d e s i g n o f s h e l t e r s f o r v e s s e l s s o t h ' a t t h e s e w i l l f u l f i l l t h e i r m a j o r f u n c t i o n w e l l i n t h e e n v i r o n m e n t f o u n d . V I . A C K N O W L E D G M E N T S T h e a u t h o r g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e s t h e u s e f u l d i s c u s s i o n s a n ^ . c r i t i c i s m s R o b e r t R . P u t z d u r i n g t h e p r e p a r a t i I s h i g u r o f o r h i s p r e v i o u s i n v a l u a b l e a d v i c e . o f M r . R o b e r t R . P u t z d u r i n g t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s p a p e r a n d t o D r - S h i z u w o
