College niet-lineaire trillingen

TECHNISCHE ECI ESCHOOL oNDER-AFDELING DER SCHEEPSBOUWKUNDE College NIET-LINEAIRE TRILLINGEN door

Prof.dr. H.A. Lauwerier

Het wiskundig onderzoek van niet-lineaire verschijnselen is nog maar van betrekkelijk recente aard. Er is geen algemene behandeling mogelijk van niet-lineaire differentiaalvergelij-kingen. Zelfs voor de beperkte groep van gewone differentiaal-vergelijkingen van de tweede orde

(1.1) X + F(x,I) G(t)

waartoe we ons in dit college zullen beperken zijn _er nauwe-'lijks algemene regels aan te geven. Het komt er min of meer

op neer dat elke vergelijking van dit type weer een eigen aparte behandeling vereist. De door (1.1) bepaalde _beweging kunnen we opvatten als die van een slinger met _{terugdrijvende} kracht F en uitwendige kracht G. Vaak splitst men F nog

_in

een

wrijvingskracht en een van een potentiaal afleidbare veerkracht. In dit college beschouwen we i.h.b. twee _{beroemde speciale} ge-vallen van (1.1) te weten de vergelijking _{van Van der Pol (1920)} welke in

§ 6

_{behandeld zal worden en de vergelijking van} Duf-fing (1918) welke in § 7 beschouwd zal _worden.

Het blijkt dat de door (1.1) beschreven _{niet-lineaire} tril-lingen van geheel andere aard kunnen zijn dan de door een li-neaire vergelijking bepaalde harmonische _{trillingen. In het} bij-zonder wijzen we hier op het verschijnsel van zelf-excitatie bij afwezigheid van een uitwendige kracht. Dit betekent dat een willekeurig kleine aanvangsbeweging het systeem in een (sta-biele) trillingstoestand brengt welke niet meer van de begin-voorwaarde afhangt. We zullen dit verschijnsel _{tegenkomen bij} een in _{5 te behandelen model van een klok en in § 6 bij de} vergelijking van Van der Pol.

De grondslagen voor een adequate behandeling _{van de bij} niet-lineaire vergelijkingen optredende problemen _{zijn gelegd} door H. Poincare die zijn resultaten echter _{alleen toepaste op} de bewegingen van de _{hemellichamen. De eerste niet-lineaire}

problemen in engere zin ontstonden bij de opkomst van de radio-techniek. Vooral onze landgenoot Van der Pol heeft met zijn

on-derzc-1.7ingen over de naar hem genoemde _{vergelijking veel succes} ) De paragrafen 8 en 9 zijn uitgewerkt door drs E.M. de Jager.

-2-geoogst en vele andere wiskundigen voor dit gebied enthousiast gemaakt.

Later onderzoek vond en vindt nog hoofdzakelijk plaats in de

U.S.S.R. Hieraan zijn de namen verbonden van o.a. Krylov en Bogo-lyubov, Andronov en Chaikin, _{en Mitropolski. Geleidelijk raakte}

-het werk van de Russische school in -het Westen _{bekend, vooral door} de werken van Minorski en Lefschetz. _{Het zwaartepunt van de} nieuw-ste onderzoekingen schijnt nog nieuw-steeds in de U.S.S.R. te liggen.

Bibliografie

Krylov and Bogolyubov. Introduction to _{non-linear mechanics.} Princeton (1943). (Vertaling door S. Lefschetz).

N. Minorski. Introduction to non-linear mechanics. _{Ann Arbor (1946)} Andronov and Chaikin. Theory of ocsillations. _{Princeton (1949).}

(Vertaling door S. Lefschetz).

J.J. Stoker. Non-linear vibrations. New _{York 1950) (zeer} aan-bevolen).

2. Lineaire trillingen

Als voorbereiding tot het onderzoek van de niet-lineaire verschijnselen beschouwen we de klassieke -vergelijking van een harmonische oscillator met visceuse demping

(2.1) + 7NX + cx = 0 .

Zoals we weten hangt het gedrag. van de oplossingen van (2.1) af van de wortels van de karakteri5tieke vergelijking

(2.2)

1

=

(2.7)

waaruit door deling

(2.8)

iC-

1 _2

r. A als

T

1 "N2

V/1 22

-c als c- T < 0.

I.h.a. kunnen we de oplossingen van (2.1) schrijven als

c1t .(5-2t

(2.5)

x = Cie _{+ C2e}

of in het bijzonder als co2=c-_1.71/42> 0 4

171/4t

(2.6) x = a e-2 sin( (.4.) t+ (p)

In het normale geval _{0 en c >0 is er in het geval (2.3)} en (2.6) een gedempte slingering en in het geval (2.4) _{en (2.5)} een aperiodiek gedempte beweging.

Is N=0 en c >0 dan is er een stationnaire _harmonische be-weging.

Is 7.<0, zogenaamde negatieve wrijving, dan neemt volgens (2.5) of (2.6) de amplitude van x onbepaald toe en wel hetzij periodiek hetzij aperiodiek.

Bij (2.6) merken we op dat telkens na een volle periode

2t/

_{de amplitude dealt met een vaste factor exp} N7C

co

Een geheel andere discussie van (2.1) wordt.verkregen met behulp van een zogenaamd fasediagram _{waarbij de snelheid X tegen} de uitwijking x uitgezet is. Stellen we _{X=y dan kunnen we (2.1)}

vervangen door het stelsel

I X = y

-Ny - cx,

dy cx.

volgt, een niet-lineaire vergelijking van de eerste orde. Het stel-sel (2.7) bepaalt banen x(t), y(t) in het fasediagram. Stellen we ons tevreden met alleen de meetkundige aspecten van de baan dan kunnen we ons beperken tot (2.8). De tijd t kunnen we eventueel dan met behulp van

dx

(2.9) t

=f

Y

bepalen.

We zullen hieronder nagaan welke banen verkregen _{worden in}

1

het periodieke geval ( > 0, c >

2

N ) en het aperiodieke geval

1 ,

(7

>0, _{4-2 )}

1. 7\>0, c >-172.

4

Integratie van (2.8) leidt zonder moeite (homogeen _{type, stel y=xv)} tot de oplossing

(2.10)-Fxx

y2+

Xxy+cx2

= C exp

/

76`..) arctg

2y

waarbij de arctg bij varArende x en y continu wordt voortgezet. Dit is voor elke (positieve) waarde _{van de integratieconstante C} een (naar binnen draaiende) spiraal als in fig.2.1 aangegeven

,Y fig.2.1 2 2.- A > 0.c 1 De integratie van (2.11) -4-,

De constructie van de integraalkrommen kan vereenvoudigd worden door.de isoklinen te tekenen, d.w.z. de Iijnen met een.vaste dy/dx. In ons geval (2.8) zijn de isoklinen zeer eenvoudig nml. rebhten door de_oorsprong.

.8)

leidt nu tot

(Y-clx)' 1

- C,

(y-c2x)G-2

waarbij

61 en2

de rele wortels van (2.2) zijn.

We maken nu een onderscheid al naar gelang 61 en 0-2 hetzelfde of

12

verschillend teken bezitten. In het eerste geval geldt 0<c

T7.

met

_{62 <}

6'1 <0 (terugdrijvende kracht en uitwijking hebben hetzelfde

De krommen (2.11) zijn enigszins gedeformeerde parabolen welke langs de isokline y= x ( cr2

(zie fig.2.2)

In het tweede geval geldt c <0 met

_Ti

en cr2 verschillend teken (terugdrijvende kracht en uitwijking hebben verschillend teken). De krommen (2.11) zijn enigszins gedeformeerde _{hyperbolen welke de}

Opgave.

. Is =0 en

lipsen

(2.12)

zoals o.a. uit (2.10) volgt.

fig.2.3

7..

T 4 0) tot de

1

Behandel aLaloog het geval

c > 0 dan gaan de y2 + cx2 ='C ... Y=Gr-ix

///

s-\\-.

\

y=.:15.2X

12

C =

.

Is 7=0 en c < 0 dan worden de fasekrommen hyperbolen

oorsprong naderen

y=6" X

fig.2.2a

fig.2.2b

fasekrommen over in gesloten el-isoklinen y= TIx en _{Y= a} tot asymptoten hebben

%inden we gemakkelijk

(2.16) g V = gi (I_ oj 2 ) 2

w2}

1

waarbij V de versterkingsfactor.het. De grafiek van V als functie

van w met de parameterwaarden geeft een familie van zgn. responsie-krommen (zie fig.2.5)

-6-fig .2.1+

00

Is tenslotte < 0 dan behoeven we in het voorgaande slechts t door -t te vervangen d.w.z. in de fasekrommen de richting om te

keren.

We beschouwen vervolgens de invloed van een periodieke uitwen-dige kracht. Kiezen we de eenheid van t zodanig dat c=1 dan kunnen we de desbetreffende vergelijking schrijven als

(2.13) x + 7o.c + x = g cos cot, > 0 .

De algemene oplossing is (zie 2.5)

61t T2t

wt

(2.14 ge i ) x = C1e _{+ C2e} + Re .

1- w2+iAco

In het normale geval ("N

> 0, c

>0)

met Re < 0 en Re Cr2 < 0

conver-geren de eerste twee termen

in

het_rechterlid van (2.14) tot nul zo-dat voor t yoo de asymptotische oplossing

N

(1-w )cos

w t+ hw sin

w

t (2.15) x = 2 g 00 (1- tAJ2)2+

22

verkregen wordt. We houden m.a.w. alleen een beweging met de fre-quentie van de opgedrukte kracht over. De component met de.eigenfre-quentie van het systeem is voor weggedempt.

We merken op dat de demping N. maakt dat de asymptotische beweging en de opgedrukte kracht in fase verschillen. Voor de amplitude van x

(2.17)

met voor w

1 2

We merken hierbij even

op dat Vmax=voor-

2 2

voor w = zover

<h.

Voor _{=0 is zelfs V(1).00 d.i. het geval van zuivere resonantie.} Ter toelichting van het geval _{van zuivere resonantie merken we op}

_aat

(2.13) de volgende particuliere oplossing bezit

cos x g t-cos co2-1 -3 fig.2.5 (2.18) x t sin t,

hetgeen gemakkelijk door limietovergang _{verkregen kan worden.} Inderdaad neemt bij (2.18) de amplitude onbeperkt toe.

We zullen later (§ 7) zien hoe _{het resonantieverschijnsel en} de responsiekrommen beinvloed worden door de aanwezigheid van een niet-lineaire term.

(3.3)

-8-§ 3. Singulariteiten

Bij het bestuderen van niet-linealre verschijnselen stuiten we_vadk op een stelsel differentiaalvergelijkingen _{van het type}

(3.1) _a-76-dx

_{= P(x,y)dY = Q(x/Y).}

TE.

Een bijzonder, maar 2eer be).angrijk, geval hebben we reeds in de vorige paragraaf (2.7) ontmoet. Hier beschouwen _{we het}

stel-sel (3.1) van algemener standpunt. De algemene theorie .van (3.1)

danken wij aan-R. Poincare en-M.A. Lyapunov (omstreeks 1900). We zullen ons hier slechts tot een paar algemene resultaten

be-perken,tit (3/0-kunnen:we

_{een fasediagram afleiden waarbij de} fasekrommen bepaald zijn door

(

3.

1) dy Q(x,y)

dx P(x,y)

Een punt waarvoor P=Q=0 heet een singulier punt. Vatten we t als de tijd op dan kunnen we de singuliere punten _{opvatten als} rust-punten van de beweging, d.w.z. als stabiele of labiele evenwichts-posities. We kunnen zeggen dat het globale gedrag van de oplos-singen van (3.1) of (3.2) geheel bepaald is door de aard van de singulariteiten. We beschouwen daarom het gedrag van de oplos-singen in een zo kleine omgeving van de singulariteit (xo,y0) dat hierin P en Q in een Taylorreeks ontwikkeld kunnen _worden. Verplaatsen we de singulariteit naar de'oorsprong met behulp _van een translatie dan is bijv.

ax+by+Qi(x,y) dy

(3.2)

dx cx+dy+Pi(x,y)

We nemen aan dat de determinant 4=ad-bc/C is. Paincare _en Lya-punov hebben bewezen dat als P1 en Ql in de oorsprong nul zijn van de orde x2+y2 het gedrag in de omgeving van deze singulari-telt volledig kan worden beschreven door het _{eenvoudiger stelsel}

dy ax+by

dx cx+dy

Nemen we aan dat'de cofficint dA) is dan kunnen we met een trucje de discussie van (3.3) herleiden tot die van (2.8) in de vorige paragraaf. Voeren we namelijk een nieuwe (scheve) y-as in met behulp van de substitutie

(3.4)

/ = cx + dy

(3.7) en (3.8) (3.5) dx px+(b+c)07

d.w.z. de vergelijking (2.8) met 7s. =-b-c en c.- A. De typen van de

singulariteit van (3.3) zijn dus _{voorzover d/0 precies die van de} trillingsvergelijking (2.1) van de vorige paragraaf.

Het geval d=0 kunnen we gemakkelijk _{even apart behandelen. De} ver-gelijking (3.3) is dan van de vorm

(3.6)

cjidx = +13

waarvan de oplossingen parabolen zijn:

0: X

1-0 + Cixi voor /1

y = Oc X lnixl+ Cx voor /3=1. We komen aldus tot de volgende _{klassificatie}

b+40, d/O, A + il(b+c)2< 0

De phasekrommen zijn spiralen

De singulariteit heet een wervelpunt.

1 / ,

b+40, d/O, A+

.4- kb+c)2 0 en A < 0

De phasekrommen zijn gedeformeerde _parabolen De singulariteit heet een knoop.

b+c/O, A>0

De phasekrommen zijn gedeformeerde _hyperbolen De singulariteit heet een zadelpunt.

b+c=0, d/O,

AcO

De phasekrommen zijn ellipsen

De singulariteit heet _{een wervelpunt.} b+c=0, d/O, >0

De phasekrommen zijn hyperbolen

De singulariteit heet een zadelpunt.

d=0

De phasekrommen zijn gedeformeerde _parabolen De singulariteit heet een knoop.

In het bijzonder kunnen hierbij gewone para-bolen of zelfs rechte lijnen optreden.

-10-Een ander belangrijk resultaat van Poincare betreft het optre-den van limietcycli. Een limietcyclus is een gesloten kromme C in het fasediagram zodanig dat de fasekrommen in de omgeving van C be-staan uit spiralen welke tot C convergeren. Afhankelijk van de tijd-zin kan men spreken van stabiele en labiele limietcycli. Uiteraard is een limietcyclus zelf een fasekromme. Er kunnen i.h.a. meer mietcycli naast elkaar bestaan.

De existentie van een limietcyclus.is meestal een ingewikkelde zaak. Soms kan men nog wel met eenvoudige hulpmiddelen tot het bestaan van een limietcyclus besluiten waartoe Poincare en Bendixson enige algemene stellingen hebben opgesteld. Maar vaak moet men zijn toe-vlucht nemen tot krachtiger topologische hulpmiddelen als de dek-puntsstellingen van o.a. Banach, Schauder, Tichonov en Brouwer.

Bij een conservatieve beweging _{wordt de terugdrijvende} kracht afgeleid van _{een potentiaal P(x) zodat de desbetreffende} vergelijking van het volgende _{type is}

(4.1) _{X + P1(x) = 0.}

Deze vergelijking laat _{zich zonder moeite integreren.} Uit (4.1) volgt namelijk eerst

(4. )

en vervolgens

(4.3) dY

VC-2P()

De beweging laat zich _{het gemakkelijkst vervolgen aan de hand} Van het fasediagram. Stellen we X.y dan is (4.1) aequivalent _met

X y

y

of met (4.5) 1.2 -ffx + P(x) _constant

i=

P'(x) dx ,y

De singulariteiten volgen uit y.0 en Pt(x)=O _{en corresponderen dus} met de extrema van P(x). De integraalkrommen van (4.5) zijn in overeenstemming met (4.2) gegeven.door

(4.6) _y2

+ 2 P(x) = C. De minima van P(x)

geven wervelpunten omgeven door gesloten ellips-vormige banen. De maxima van P(x) geven zadelpunten _{omgeven door} hyperboolvormige banen (gevallen _{3 en 5). Uiteraard}

corresponderen de weryelpunten met _{stabiele evenwichtsposities,}

de zadelpunten met labiele.

De vergelijking van de mathematische slinger _{is een bekend} voorbeeld van het type (4.1) _nml.

(4.7)+ co2sin

6 = 0.

Volgens (4.3) is de _oplossing

9

(4.8) _t

.1

du

hetgeen met behulp van elliptische functies in een expliciete vorm geb.racht kan worden.

P(x) ... ... ... ... ... ... -12-fig./4.1

5. Theorie van de klok

Bij een klok wordt de door wrijving verloren gegane energie telkens aangevuld van buitenaf, bijv. als potentiele energie van een zich ontspannende veer of een dalend gewicht. We beschouwen twee modeller]; een met visceuse wrijving en een met droge of Coulomb wrijving. In beide gevallen denken we

ons de energie portiegewijs toegevoerd, bijv. _{telkens als de} slinger in positieve zin door de evenwichtsstand gaat.

We beginnen met het model met visceuse wrijving (lucht-weerstand).

De slingerbeweging zij bepaald door

(5.1) X _+N).0 + x 0,

waarbij zeker <2.

We veronderstellen dat telkens _{als x=0 (en ).c> 0) momentaan een} constante hoeveelheid energie ih2 _{wordt toegevoegd. We stellen} weer X=y (zie fig.5.1). Starten _{we de beweging in het punt}

(0,y0), waarbij _{yo> 0, dan is na een omloop de snelheid volgens} (2.6) gezakt tot Gyo, _{waarbij 8=exp-} . Toevoeging van een

portie energie 11-12 doet de _{snelheid weer stijgen tot} (5.2) Iteratie volgens (5.3) 2 Y1 = V4h2 fe2 yo. Yn+1 2 +92 2 yn, n=0,1,...

levert een reeks y0,y1,y2,... die tot een limiet v convergeert, zoals o.a. de volgende (grafische)

beschouwing leert (zie fig. 5.2). In een (y,z)-vlak _{tekenen we de grafieken}

z=y en

z=Vh2+92y2. Iteratie volgens (5.3) _{correspondeert met een} trapjeslijn die tot het snijpunt van beide grafieken nadert. Voor dit snijpunt geldt _{v= 42+92,v2, of}

Uiteraard kan de _{existentie van de limiet}

van yn ook gemakkelijk analytisch bewezen

worden, bijv. door aan te tonen dat yn mono-toon stijgt of daalt _{en begrensd is.}

door (5.5)

of

x -l-7.sgn x + x 0

fig .5.2

Er is dus precies

een

_{gesloten fasekromme welke vanuit een} wille-keurige beginvoorwaarde als limiettoestand bereikt wordt. Dit be-tekent dat ook de kleinste beginstoot onze klok aan het lopen zou krijgen, jets wat in de practijk zeker niet waar is. In het tweede model zal blijken dat dit niet meet' het geval is en dat er'een soort drempelwaarde bestaat.

(5.6)

x + x voor > 0,

X + X =

7k.

voor x < O.

eerste vergelijking van (5.6) volgt uit

(5.7) y X -1-7=0,

dx > 0

en bestaat dus uit halve cirkels

(5.8) x2+y2+2 A x C,

met gemeenschappelijk middelPunt (-A,0). _{Voor de tweede} vergelij-king van (5.6) vindt men analoog halve cirkels in het benedenhalf-vlak

(5.9)

van de

2 2

x +y -2A x = C,

met gemeenschappelijk middelpunt (A,0), (zie _fig.5.3).

Teneinde de discussie lets te _{vereenvoudigen nemen we aan dat de} porties energie ih2 worden _{toegediend telkens al s}

_X=-7

_{en y> 0.} Starten we de beweging in

_(-A,y0)

_{dan is na een voile omloop het} fasepunt aangekomen bij (-A,y0-4A) mits yo> 47% _{. Toevoeging van}

het portie energie doet de _{snelheid weer stijgen tot}

(5.10)

Y1

=42+(yo

Analoog als bij het vorige model _{zetten we dit proces onbepaald}

voort waardoor een rij _{y0,y1,y2,... ontstaat waarvan de convergentie} weer gemakkelijk aangetoond kan worden (zie fig.5.)4). Voor de limiet v vinden we'gemakkelijk

(5.11) h2+16N2

Ala

yo< 47.

_{loopt het fasepunt ergens op het segment (-7,7) van de}

x-as dood. Om in dit model de klok _{op gang te kunnen krijgen is dus} een beginsnelheid yo nodig van minstens _{47% . De limiet v moet} na-tuurlijk ook groter dan _{471 zijn (anders loopt het fasepunt weer} dood op (-A,+70). Uit (5.11) volgt dan dat h>1-Ph d.w.z. dat de telkens toegevoegde porties energie niet te klein mogen ziin.

y > 0

y< 0 Het fasediagram

+7\

-

xi

AL=0,1

xl

044=1

§ 6. De vergelijking van Van der Pal

Vele electrische schakelingen met zogenaamde _{niet-lineaire} elementen, zoals bijv. een triode, blijken _{een type trillingen}

te vertonen welke niet met behulp van de lineaire theorie be-schreven kunnen warden. In 1920 slaagde _{Van der Pol er in (Radio} Review, A theory of the amplitude of free _{and forced triode}

vibrations) voor een dergelijke _{schakeling een passende} niet-lineaire beschrijving te vinden. We zullen hieronder laten zien hoe uit de door hem onderzochte _{triode-schakeling een gewone} niet-lineaire differentiaalvergelijking afgeleid kan worden. Met een passende keuze van eenheden is _{deze vergelijking van de} volgende vorm

(6.1) _{K -,c4(1-x2))*( + x 0,}

waarbijia een parameter is _{In een volgend artikel (Phil.Mag.2} (1926), On relaxation oscillations) heeft Van der Pal deze ver-gelijking nader onderzocht, _{o.a. met behulp van faseplaatjes.} Deze vergelijking, later _{naar Van der Pal genoemd, heeft} aanlei-ding gegeven tot een stroom van publicaties, waarin de verge-hiking van Van der Pal _{en Verwante typen vergelijkingen van} ver-schillend standpunt beschouwd warden. Om een idee te geven van de aard van de triDlingen welke door (6.1) beschreven warden

ge-ven we onderstaand plaatje waarin de gevallen /4.0.1, 1, 10

ge-schetst zijn. Het eigenaardige is dat in alle gevallen er onaf-hankelijk van de beginvoorwaarde _{een trillingstoestand ontstaat} met een zeer bepaalde amplitude _{anders dan bij een harmonische} trilling waarbij in principe elke amplitude mogelijk is.

71-7Fr " A _47. ... . . . . . 1 fig.6.1

De door Van der Pol onderzochte schakeling is _a.v. EI 1

Ia.

VA _V

1

De toepassing van de wetten van Kirchhoff geeft _{voor de} anode-stroom

IA

(6.2) IA IL + IC +

en voor de anodepotentiaal VA

(6.3) E-VA L iL C-ldrIcdt R IR.

Tilt (6.2) en (6.3) volgt voor

(6.4) LC

I +

I

+ I = IA.

De eigenschappen van de triode zijn vastgelegd in de karakteristiek

(6.5)

IA y(V),

v =

vG + DVA' waarbij D een positieve constante is.

De functie

y(v)

ziet er uit als een langgerekte s met een buigpunt op de plaats DE. ... IA -... fig.6.3 V fig.6.2 DE

De inductieve koppeling Van het rooster aan het LCR-element wordt beschreven door

(6.6)a

MI.

Tilt (6.4), (6.5) en (6.6) volgt dus

(6.7) LCI +

+ I .?{DE + (M-LD)f}

r. (V) het buigpunt naar de _{oorsprong verschuiven. We stellen} daar-toe

(6.8) v . DE + y, _{cp(V) = y(DE) + f(y),}

met dus y.(m-Ln)i, waarbij f(y) _{een eenvoudiger functie is en wel} een die we goed kunnen benaderen als

(6.9) _{f(y) = ay-by3.}

Aldus gaat (6.7) over in

(6.10) LC

Y +

+ y =

_{(M-LD)f'(y)Y,} of

(6.11) _{LCy - y(A-By2) + y = 0,}

met A=(M-LD)a- -Ili en B=3(M-LD)b,

hetgeen inderdaad aequivalent met (6.1) is (mits A > 0).

We beschouwen nu in de _{eerste plaats de oplossingen van (6.1)} zoals deze grafisch met behulp van de faseplaatjes _{gevonden kunnen} worden. In de tweede _{plaats zullen we nagaan wat we met een} analy-tische behandeling kunnen bereiken

Stellen we als vroeger X=y dan is (6.1) aequivalent _{met het} stelsel

(6.12)

of met

(6,13)

De bij (6.13)

behorende isoklinen zijn derdegraadskrommen. Uit de onderstaande schets vo-or /u,

=19

1

rv-0

rY

X = y

-20-blijkt dat. wanneer men van een.willekeurig beginpunt uitgaat de integraalkrommp spiraalsgewijze tot een vaste limietcyclus nadert. De limietcyclus, zelf een integraalkromme, correspondeert voor

(6.1) met een periodieke oplossing. Beschouwen we deze limietcyclus :n afhankelijkheid van de parameter

)k

dan blijkt voor 0 de

cyclus tot er.n Cirkel te naderen terwijl voor ju--.,code cyclus een

sterk gedeformeerde vorm heeft zoals onderstaand'faseplaatje _voor

ix,710 laat zien.

COI

Voor de limietcyclus poncren we

(6.15)

= r.o r1(Y) /442r2(Y)

Substitutie in (6.14) geeft in eerste orde benadering

(6.16) dri =-r0sin2y(1-re2cos2y)dy .

r2m

Aangezien de cvclus gesloten is moet

_{jr1=0 zijn, dus}

D-rc 0

(6.17)

sin y(1-r02cos2 (p)dy = 0,

0

waaruit onmiddellijk ro=2 volgt.

De nnulde olden benadering van de limietcyclus voor 14, -0 is dus de cirkel

_x2+y2=4,

hetgeen correspondeert met de harmonische

tril-ling

(6.18)

x = 2 sin t.

Het verrassende resultaat is dus verkregen dat voor kleine waarden von At. en willekeurige begintoestand leidt tot een (in de limiet)

0

CO ...

0

....

0

0

_CD

0

Inderdaad goat voor 0 de periodieke beweging over in een har-monische trilling en voor oo in een z.g. relaxatietrilling.

Het geval

/6

bat zich ook gemakkelijk analytisch overzien. Voeren we in

(6.13)

poolcoordinaten in dan geldt

periodieke oplossing welke zeer weinig _{van de harmonische} oplos-sing verschilt. De amplitude is hierbij gefixeerd op de waarde 2 onafhankelijk van de beginvoorwaarden .

De andere limietsituatie, _{voor --0.00, is slecht te} over-zien. Beter lukt het door _{op de vergelijking van Van der Pol eerst} 'een door Lienard aangegeven transformatie toe te passen. Stel nml.

zodat (6.1) overgaat in

(6.19)1

d2x N 2 --7 - (1-x2) dx x 0,

ik

d-c 'eh vervolgens dx 1 3 V =

cr-cX-FTX

zodat (6.20) of (6.21) (6,22) 1 dv TT- = -x dx = 2, 1 x3), -6.7

/4

_kv+x-

7

d v -x

dx

2 1 3

" (v+x-

x )

Het faseplaatje van (6.21) is _{voor At. coaanzienlijk eenvoudiger} dan het vorige

Is /41 zeer groot dan bestaat de limietcyclus _{blijkbaar uit twee} na-genoeg rechte stukken (v.+2/3) _{en twee gebogen stukken welke dicht}

1

bij de zgn. kritieke kromme v=-x+

7

x3 _aansluiten.

In het

limietgevalia-4.00

is de limietcyclus discontinu geworden. De vorm van de beweging _{volgt nu gemakkelijk uit (6.19).}

Uit (6.19) volgt nml.

_vooriu-÷ao

2 dx

(1-x ) 3%-c-

= x,

waaruit na integratie volgt dat

et =

in12=1+

_-L--(x2-x2)

Ixo

De boog 1<x <2 van de litietcyclus _{levert dus voor x(t) de} para-bolische boog-(zie fig.6.7)

(6.23)

Het horizontale stuk v=-2/3 geeft _{voor x(r) een ogenblikkelijke} overgang'van x=1 op x=-2. De rest volgt uit symmetrie. Op deze wijze verkrijgen we x(t) (6.26) 0 -1 2 = 1 x

I,

2N), 1 < x <2. 2

,

-22-T = 1.614/J, + 7.014"-1/3 22 ln 9

itt.

fig.6.7

In de oorspronkelijke tijdvariabele van (6.1) is de periode van de limietbeweging dus asymptotisch _{gelijk aan}

(6.24) _{T = (3-in 4)/k = 1.614/u}

9

terwijl

(6.25)

_{t = 2,}

-al-0.

Een nauwkeurige, en vrij _{gecompliceerde, analyse (Dorodnitsyn}

₁₉₄₇₎

toont aan dat voor ---> oo

§ 7. De vergelijking van Duffing

In 1918 heeft Duffing de volgende niet-lineaire differen-tiaalvergelijking beschouwd

(7.1) X + NX Ex3) = g cos co t.

We kunnen dit opvatten als de beschrijving _{van een visceus} ge-dempte slinger met een niet-lineaire terugdrijvende kracht waarop een periodieke uitwendige kracht g cos w t wordt uitgeoefend.

De discussie van de oplossingen van (7.1) is i.h.a. zeer ingewikkeld. De aanwezigheid van het rechterlid g cos w t maakt dat we-niet van het fasevlak gebruik kunnen _{maken. We zijn nu} geheel aangewezen op analytische hulpmiddelen _als reeksontwikke-ling. We veronderstellen hierbij .dat _{a en kleine parameter is zddat} we reeksontwikkelingen naar opklimmende machten _{van a kunnen}

op-stellen.

We merken eerst op dat bij afwezigheid _{van de uitwendige} kracht het systeem slechts een gedempte beweging uitvoert. Er zijn dus geen relaxatietrillingen. De veerkracht x+ ax3 zullen we hard noemen als a >0 en zacht als _{0, dit uiteraard in} vergelijking met de lineaire veerkracht _{E =0.}

Vooreerst veronderstellen we 7 =0, dus

(7.2)

X +x+ ex =gcosw t,

methode van Duffing.

We zoeken naar harmonische oplossingen _{met dezelfde} frequen-tie als de opgedrukte kracht. We _{schrijven eerst (7.2) als}

(7.3)3

x =

-X-

x + g cos w t,

en stellen als eerste benadering

(7.4) _{x0 = a cos w t.}

Uit (7.3) volgt voor de tweede benadering

(7.5) x1 =

-xo

-EX03

+ g cos w t of

(7.6) = -(a+ aa3-g)cos w

t-4aa3

cos 3 Olt,

waarbij gebruik is gemaakt van de identiteit

Uit (7.6) volgt onmiddellijk de periodieke oplossing

(7.8)x

= --,..-,

1

(a+ '7.ea3-g)cos w t + 1 , e a3cos

30t.

mc ₃₆

'

Wil dus _{xo een goede benadering zijn, zodanig dat xi alleen een} verfijning in een hoger harmonische bijdraagt, dan moet

(7.9) w2 = 1 + E a2

4 a

verbeterde methode

Een betere iteratiemethode wordt verkregen door (7.3) te schrijven-als

(7.10)

lat g=0

3

x +6.12x = ( 2-1)x- 6.x + g cos _{c.4 t.}

We starten weer met de eerste benadering (7.4). _{Dan volgt weer met} gebruikmaking van (7.7) uit (7.10) voor xi

- 2

(7.11) x1+ a) xi = , W 2-1)a- if-e3+ gl _COS

wt

4E.S3CoS

3t.

Nu komt een heel belangrijke opmerking. De aanwezigheid _{van een} term cos w t in het rechterlid van 7.11 geeft aanleiding _{tot een} niet-periodieke oplossing welke een term bevat als t sin co t. We

noemen dit gewoonlijk een seculaire term. Aangezien we verondersteld hebben dat x(t), en dus oak .x1(t), periodiek is, is de enige con-clusie dat

(c42-1)a - + g = 0

4 d.i. dezelfde betrekking als (7.9). Voor

x1 vinden we nu echter

1

(7.12) x = a cos co t + ₀ e a3cos 3 t.

32w'

Discussie van het functionele verband tussen a en

w .

De betrekking(7.9) bepaalt a als functie van 4.1 . Hoewel dit voor

ons probleem enigszins vreemd aandoet kunnen we beter c als functie van a beschouwen. Gemakshalve zullen we g positief veronderstellen.

E.< 0

...

De takken met a< 0 corresponderen met de responsies die in phase tegengesteld zijn met de uitwendige kracht; de takken met a > 0 cor-responderen met de responsies die dezelfde phase hebben als de uit-wendige kracht.

We onderscheiden de gevallen E.>0 en E < O. In het eerste geval zijn vergeleken met de lineaire resonantie =0) (zie fig.2.5) de res-ponsiekrommen naar rechts ongebogen, in het tweede geval naar links. Inderdaad was het verstandig w als functie van a te beschouwen, want de functie a(

w)

blijkt meerwaardig te zijn.

We kunnen op voor de hand liggende wijze volgende iteratiestap-pen uitvoeren. Doch daar deze geen nieuwe facetten aan het reeds verkregen beeld toevoegen laten we verdere, iteratie achterwege. Invloed van visceuse wrijving

We nemen aan dat er een (geringe) wrijving is met wrijvings-coefficient 'N d.w.z. we beschouwen de volledige vergelijking (7.1). De verwachting is nu gewettigd dat de periodieke oplossing en de opgedrongen kracht niet meer in fase zijn zodat als eerste benade-ring eerder jets als a cos(a)t+ T) in aanmerking komt. Eigenlijk hetzelfde maar lets handiger is het cm de eerste benadering (7.4) aan te houden maar om het rechterlid van (7.1) a.v. te wijzigen

{7.13). ..x + -F. (--x+ e. x3.) = g.6os(cc t+

met nader te bepalen fase T .

Als bij (7.11) vinden we xi uit

(7.14) w2x1 { (0.32_1)a_ 4E a3 _{+ g cos yo}cos t}

1

+ 7.a g sin (p} sin co t a3cos 3 cd t

Eliminatie van de seculaire termen geeft

1(1- CAJ2)a + .473 Ea3 g cos

r

7, co a = g sin so

en dus

(7.16)

f

(1- Gt)2'a) + E a3 2+

'A2c02a2

Beschouwen we bijv. het geval E >0 dan wordt het volgende responsie-plaatje verkreges,

-26-lal _fig.7.2

I.h.a. is dus la) als functie van ween driewaardige (!) functie. We stellen ons nu een experiment voor waarbij van de uitwendige kracht g vast is en co varieert.

fig.7.3

Eeginnen we met co klein dan doorlopen we de responsiekurve van A tot B. Verdere verhoging van co doet la) discontinu verlagen tot C waarna de responsiekurve verder vervolgd wordt. Gaan we terug dan doorlopen we de kurve van C tot D waarna we sprongsgewijze verder gaan met E tot A.

§ B. De methode van K-,?1.1.-,7 en Jiogolyubov

Inleiding

In de paragrafen 6 en 7 hebben we ons bezig gehouden met twee niet-lineaire differentiaalvergelijkingen nml. die van Van der Pol, corresponderend met een electronische generator, en met die van Duffing, corresponderend met een visceus gedempte slinger met een niet-lineaire terugdrijvende kracht, waarop een perio-dieke uitwendige kracht wordt uitgeoefend.

In deze paragraaf zullen we een benaderingsoplossing geven van differentiaalvergelijkingen van het type

+ F(x,*) = 0

of

(L1)

2

-x x +a f(x,X) 7 0,,

waarin E een kleine parameter is.

Volgens een methode, ontwikkeld door Krylov en Bogolyubov in ca 1932, is het mogelijk de oplossing van (8.1) te geven in de ge-daante van een asymptotische reeks in E; de eerste term of de eer-ste twee termen van deze reeks zijn in de practijk meestal wel voldoende voor een adaequate beschrijving van het met de differen-tiaalvergelijking corresponderende systeem.

Wij zullen ons hier bezig houden met de bepaling van een eerste benadering voor de._opiossingen van meer geeft dan -de

eerste term maar-minder dan de eerste tee termen van bovengehoem-de asymptotische ontwikkeling. De methobovengehoem-de, waarop dit geschiedt heet de P.K.B.-methode (Van der Pol, KryloviBogolyubov).

We zu].len eerst.nog enige voorbeeaden-geven van. Systemen, die door de differentiaalvergelijking (8.1) beschreven warden.' 1. Samengestlde draaiende as met niet lineaire elastische'Ver binding

Stel de traagheidsmomenten der afzonderlijke delen Jl resp. J2, de rotaties 6 en 82' en het draaimoment van de elastische

ver-1

binding p(G).

Voor het ene deel geldt de diff.vgl. J161+92(8 -92)=0. Voor het andere Oeel geldt de diff.vgl. J282-4(81-82)=0.

-28-J1 +J2

(8.2)

_{ë +}

_y(

₎

_{= 0.}

12

(9)T(e) _{is afhankelijk van de aard van de elastische verbinding en}

is doorgaans graphisch gegeven als een niet lineaire functie van

e.

De niet lineaire term van _{y(9) is 0(E), waarin s een klein getal is.}

2. Electrischeloscillator bestaande uit _{condensator en spoel.}

04.

i stroomsterkte

. 1

Voor de magnetische flux _{en de stroomsterkte geldt:}

T+Ffi

dt = 0. De stroomsterkte is verder _{een functie van de magnetische flux, welke}

functie door de aard van de spoel gegeven is.

Stel 1=Ay +B cp3 (niet lineaire benadering _{voor i=i()). Dus voor T} geldt de diff.vgl.:

3

Ay+B(9

(8.3)

c 0.

De voorbeelden 1 _{en 2 zijn voorbeelden van conservatieve systemen,} waarin dus geen creatie of _{dissipatie van energie optreedt.}

We hebben in de voorafgaande paragrafen al enkele voorbeelden ont-moet van dissipatieve systemen. _{Bij mechanische systemen treedt} dis-sipatie van energie op t.g.v. _{wrijving. Hierbij onderscheiden we} drie soorten van wrijving:

wrijvingskracht co snelheid (trillingen in lucht)

wrijvingskracht op _{snelheid in' het kwadraat (trillingen in} vloei-stof

droge wrijving (Coulomb-Aarijving)

De wrijvingskracht is constant _{maar zijn richting is tegengesteld} aan de snelheid.

Volledigheidshalve vermelden we hier nog de volgende voorbeelden slinger in lucht

(8.4) _{+ + sin e o}

vergelijking van Duffing (zie § 7)

(8.5)

-1-7

+ (X+ £

X3) = 0.

C capaciteit

1 _{magnetische flux}

fig.8.2

Vergelijking van Van der Pol (zie

§ 6)

De P.K.B. methode

We beschouwen een systeem, dat beschreven wordt door een

differen-tiaalvergelijking (8.1).

Voor E=0 is de oplossing

(8.7)

x = x(t)

a sin(vt+T)

met constante amplitude a en fase T

.

Men zou nu het bekende principe van de storingsrekening willen

toepassen en volgens Poisson de algemene oplossing van(8.1)

voor-stellen door de asymptotische reeks

/.,N

X = Xo(t)-I-E. X1(t)

E2

_{X20_,) +}

Substitutie van deze reeks in (8.1)

en gelijkstelling van

gelijk-namige machten van

_{E levert in het algemeen voor x1(t) seculiere}

termen:

t sin(vt+y) en t cos(vt+p)

en deze zijn voor grote waarden van t onbruikbaar (verg.§

7).

We moeten dus trachten

_{een oplossing te vinden, die vrij is van}

seculiere termen. We handelen daartoe als

_volgt.

Voor E=0 volgt uit (8.7)

(8.8)

dx

dt =

v a cos( vt+.

Gebruikmakend van de gedachte dat

_{voor kleine E de oplossing x(t)}

van (8.1) niet veel van (8.7) zal

verschillen stellen we de algemene

voorstelling eveneens door (8.7)

_{voor maar waarbij we nu a en}

9 als

zekerc ulder te bepalen functies

_{van t beschouwen (principe van de}

variatie van de constanten).

_{Omdat we in feite twee nieuwe functies}

a(t) en

T(t) hebben ingevoerd,

_{kunnen we nog een voorwaarde}

wille-keurig opleggen. We stellen daartoe dat voor de algemene oplossing

ook (8.8) geldt.

Hieruit volgt

(8.9)

da

sin(vt+cp) + a

ciCc.

cos(vt+ia)

= 0.,

dt

Differentiatie van (8.8) naar de tijd leverit:

d2x

da

(8.10)

--7

_{- 7r}

_{v cos(vt+cp)-av -d-t'd sin(vt+9)-av2sin(vt+q)).}

dt

Substitutie van (8.7)3

_{.(8.8) en (8.10) in (8.1)}

_{geeft een tweede}

vergelijking voor de onbekenden

_{a(t) en yo(t) nml.:}

(8.11) v cd4at

Het stelsel (8.9) en (8.11) kunnen

_{we herleiden tot}

cos

We ontwikkelen nu f(a sin

_{y, av cos}

T)

in Fourierreeksen nml.:

f(a sin

T,

va cos y)cosT= Ko(a)-FE 1K,(a)cos

_{ncp +Ln(a)sin}

(8.14)

_{n > 0}

_"

f(a sin y, va

_{cos (p)sin= Po(a)+ 2: {P(a)cos flp +Q1(a)sin ncp}}

n> 0

Substitutie van

(8.14)

in .0.12)en (8.13) en integratie

_over

_een

periode T levert

(8.15)

(T+t)-a(t)

c

Kota(01

p(T4t)-y(t)

F T

a-V Pota(t)1

.

Omdat.da

_dt

en

dc9

de orde

_{hebben, veranderen a en (r) slechts}

_weinig

dt

gedurende een periode en daarom

_{mogen we de linkerleden van (8.15)}

da

wel door 7E. en

_{dt vervangen.}

We krijgen dan tenslotte

_{voor a en ? de (benaderde)}

differentiaal-vergelijkingen:

(8.16)

en

(8/17)

met

(8.18)

en

(8.19)

da

E.

-

.37

la sin(vt+T),av

cos(vt+co)1 cos(vt+T),

dt

dco 6

,t_

a sin(), 'G.-1-(p), a v

_{cos(vt+cp)} sin(vt+so).}

dt

da

dt

-f '

dt

ay o

a sin cp

_{aw cos y )cos y}

dco

Po(a)

=

f27

f(a sin cp ,a

cos cp)sin

dy

.

0 ,27C

= -I

1 ''.1" 2-7C 4

0-

-30-Men kan

(8.16)

en

(8.17)

beschouwen als het gemiddelde

van de

rechter-leden van (8.12) en (8.13) over een periode (principe van het

gemid-delde).

Oplossing van

(8.16)

en (8.17) levert tenslotte de gevraagde a(t)

en

T(t).

Stellen we 11/= vt+co, dan kunnen

_{we (8.18) en}

(

.19) eventueel

schrijven in de vorm

(8.12)

(8.13)

Uit (8.13.) volgt

K0(a)

zodat

.27v 1 7Tc

f(a

0 r2n; £

J

f(a sin ?,a), cos cp)d sin

c?

2m1) 0

27c

27c a 0

f(a sin cp,a)) cosso)d

cos p.

Toepassing op conservatieVe Systemen

In het geval van een

_{conservatief systeem is de functia}

_F

onafhan-.

kelijk van x. De

_{vergelijking .(8.1) gaat over in}

X + F(x)

0

of

5t+ v2x+

_f(X)=0.

sin)cosy dy .0

(8.21)

da

0.

Uit (8.17) en (8.19) volgt

2.7c

(8.22)

_dt

= V+

6

27c va 0

f f(a

sin cp)sin cp dy

.

Uit (8.21) volgt dat de amplitude van de trilling

_{constant is. De}

amplitude wordt bepaald

_{door de begincondities}

_{en kan afhankelijk}

van deze condities iedere

_{willekeurige vaste waarde}

_aannemen.

is nu onafhankelijk van t, maar bevat de amplitude

_{als een}

para-meter.

Schrijven we x.a sin 10)(a)t+61

_{dan geldt voor de frequentie}

_w(a):

r2n

(8.23)

d..)(a)--=v +

j

f(a sin (p)sin

_cp

_dy

27c v a ₀

of

4

n

(8.24)

4a\ '

F(a sin

O

sin cp-dcp

.

/ .ma

0

-(8.2k) heeftec

_zekar

_{voot.deel boven -(8.23) Omdat}

4ir2(8)

direct-wordt uitgedrukt in F(x)

_{terwijl in (8.23)}

_{co(a) wordt}

_dtgedrukt

in het niet lineaire

_{deel van F(x).}

Voorbeelden

1. Samengestelde draaiende

_{as met piet-lineaire elastische}

Verbin-ding.

jl+j2

De functie F heeft

_{volgens (3.2) de gedaante}

_{j j}

_so(8)

12

(8.20)

en dus is de amplitude constant; deze is bepaald door _de begin-condities.

Volgens (8.24) geldt voor de frequentie: J +J

2,a) 2 1 (

2

k

w

jIj n.(p(a sin/5")sin17 7ca

I 2 0

Voor p(8) nemen we de functie:

h-i-k9 _e > 0,

p(e) =

1-h + ice

e

< 0.

h en k zijn constanten. Aangezien

f

p(a sin 1.7)sin 2Y di,". 4h +-nka 0 geldt J1+J2 4h w2(a) k( 1+

mak)*

J1J2

2. De wrijvingsloze slinger

De differentiaalvergelijking voor de uitwijking is bij benadering

x3

.Z+

E(x-=E..;-)

0.

1

De amplitude is constant en is bepaald door de _{begincondities en kan} in principe alle waarden aannemen.

Uit-(8.2)1-) volgt

27c

w2(a)

f.71tla f

a sin cp a3sa.r.n3`Pi.

since d,

0

dus

2/ 2

o

E

(1-

L_).

1 ₈

Als dus de amplitude toeneemt dan neemt de _{frequentie af en} omge-keerd. (Dit in afwijking van het lineaire geval.)

Voor de trillingstijd geldt:

211.:

T1

1,

_a2\

w g

_76-1'

Voor a=30° vinden we in het bijzonder T = 1.017.27: -32-fig.8.3 '1) 9 ak ?(G). Deze formule is alleen geldig voor voldoend kleine waarden van

3.

Opgave: Behandel de electrische oscillator bestaande uit con-densator.en spoel (vb.2 uit inleiding).

(Oplossing to(a) 1 2 Ba

3A )

(8.26) a - .ao ,exp(-2- t) 11+1/4a02{exp(et)-11

waarin ao weer uit de begincondities bepaald wordt.

De triviale oplossing x=0 van de vgl. van Van der Pal is onstabiel. Immers een willekeurig kleine beginamplitude ao groeit monotoon in de tijd. tot de limietwaarde a=2 voor t=op

Zoals reed in § 6 beschreven is brengt oak de kleinste verstoring het systeem in trilling met aangroeiende amplitude (zie fig.6.1). Indien a=2 dan is volgens (8.26) a=2 voor alle waarden van t.

o,

Dit correspondeert met de stationnaire trilling:

x

= 2

sin(t+y0).

Deze stationnaire trilling is stabiel, want wat ao oak moge zijn, groat of klein, a(t) nadert altijd tot 2 voor t-oo.

Hier

wordt het

De vergelijking van Van der Pol

Uit X + x- (1-x

)=c

rc): d. '7,chrijfwijze van (8.1) v=1 en f(x, cdjlt') Aangezien ₂ 3

f(a sin 56,av cos cp)=-a(1-a2sin2cp)cosy=a(;- -1)coscp- %--co3cp, volgt uit (8.18) en (8.19) 2 K0(a) = (1- 24-), P0(a)=0. Derhalve is 2 (8.25) a = + La (1- .%-) en ly =1. 2

De oplossing van de vergelijking van Van der Pal is in eerste bena-dering dus x=a(t)sin(t+

v/0),

waarin yo uit de begincondities be-paald wordt en a(t) verkregen wordt door integratie van (8.25). Gemakkelijk vindt men

(8.28)

a

(ti(a)

-

_j.

_{sin cp,av}

-34-verschil met een conservatief systeem duidelijk

_{gedemonstreerd,}

waarbij de amplitude

_{constant is en in principe}

iedere willekeurige

waarde kan aannemen (afhankelijk van de beginvoorwaarden).

Bij een conservatief

_{systeem wordt}

_{geen energie gecreerd of}

gedis-sipeerd en er is dus

_{geen reden waarom de}

_{amplitude zou uitsterven}

of groeien. In

een zich zelf-exciterend

_{systeem wordt evenwel}

beur-telings energie

_{gecre6erd en gedissipeerd}

_{en de amplitude zal}

toe-nemen als energie

_{gecreerd wordt en zal afnemen}

_{als energie}

gedis-sipeerd wordt. Er zal

_{op den duur een bepaalde vaste amplitude}

op-treden als de twee

_{processen elkaar compenseren,}

_{hetgeen bij de}

electronische generator

_{van Van der Pol het geval}

_is.

Stabiliteit van de stationnaire trillingen

De oplossing

_{van (8.1) zij}

(8.27)

_x

_{a sin}

ye

met

a 11)(a),

= w(a).

Volgens (8.18) en (8.19) geldt

27c

27,v 0

en

_r2.7c

w(a)

+

j f(a sin y

27c va 0

Met behulp van F(x,X)

=

v2x+ Ef(x,i)

_{kunnen we dit}

27c 1 ( /_

_sin

.cos

2-7t

v Fka

y,av.

).cosc

T dT

2rQ

1

F(a sin cp,av cos io)sin p dp

.

Het is duidelijk,

_{dat er geen a}

_{bestaat zodanig dat}

ea> a*; immers als

_{dit waar zou zijn dan}

_{.zou voor een}

ao>

6*de

amplitude van de:trilling

_{monotoon stijgen}

tijd, hetgeen fysisch

_{niet mogelijk is. De}

_nulpunten

de amplitude

_{van de stationnaire trillingen}

_{en we zullen}

biliteit van deze stationnaire trillingen

_onderzoeken.

a1

zij een nulunt

van

(a). en

era zij

Volgens (8.28) geldt

cos (p)cos cp

dcp

av cos (p)sin y dy

.

ci(a)> 0

voor

beginamplitude

bij toenemende

van

_{(a) geven}

nu de

sta-een kleine afwijking van al.

TT

Dus

_{81 is}

_als

_{(al) < 0 en}

a1

is instabiel als

W)'(21) >0.

dja

= 4)(a1-EcTa)

§(al+cra)-§(al)

Ja

Ja

oak schrijven als

i

(a)

=

en

Geen zelf-excitatie OStabiele amplitude

1 .Instabiele

De situatie wordt geillustreerd door fig.8.4.

(a)

--4

4-a

Zelf-excitatie

fig .8.4

Het is duidelijk, dat het criterium _{voor zelfexcitatie luidt:}

(8.29) _{(0) > O.}

Isochrone trillingen

We hebben gezien dat de frequentie dt = w(a) en dus ook de trillings-tijd T.T(a) in het algemeen functies van de amplitude zijn.

Voorbeelden hiervan zijn de samengestelde _{draaiende as, de} wrijvings-loze slinger, de electrische oscillator bestaande uit capaciteit en

spoel e.d.

In belangrijke practijkgevallen kan de frequentie onafhankelijk van

de amplitude zijn; in een dergelijk geval noemen we de trilling iso-chroon. Een voorbeeld hiervan krijgen _{we als geldt:}

= v = constant.

dt

Volgens

(8.1A

_{en (8.20) geldt dan:}

Po(a)

f

f(a sin y, au cos (p) sin _{y dcps:-0.}

Dit zal het geval zijn als f(a sin _{(19,av cos 92) ontaardt in functies} van de gedaante

f=ff(a sin )1av cos T

en

f = f(av cos y).

Dit betekent dat de oorspronkelijke _{differentiaalvergelijking (8.1)} van het type wordt:

R + V2x +sf(x)X 0 en

+ v2x

_+E

g()

0 .

De laatste vergelijking kan in de _{voorlaatste overgevoerd worden} m.b.v. de substitutie dx

af = Y.

Een voorbeeld van isochrone trillingen _{wordt gegeven door de} oplos-singen van de Van der Pal vergelijking.

-3.6-De P.K.B. methode is uiteraard een (geraffineerd) Het proces kan met she _{mathematische strengheid} door oak hogere benaderingen voor de oplossingen tiaalvergelijking (8.1) te besehouwen.

Dit geschiedt door de oplossing van (8.1) in een naar machten van E te ontwikkelen

benaderingsproces. worden uitgebreid van de differen-asymptotische reeks De geinteresseerde lezer zij hiervoor verwezen naar lit .1.

De.vergelijking,van

Hill-In § 7 hebben we een studie gemaakt van de slinger met een niet. lineaire-terUgdrijvende kracht, waarop een periodieke uitwendige kracht g cos

cdt

_{wordt uitgeoefena. Indien we .de visceuse} wrij-ving niet in aanmerking nemen-(81inger in vacuum), _{dan wordt de} beweging beschreven door de vergelijking _{van Duffing zonder} wrij-vingsterm, nml.:

(9.1) + (X+ E. X3)

= g cos co

5

waarin E .een kleine parameter is.

De harmonische oplossing van (9.1) met dezelfde _{frequentie als} de opgedrukte kracht wordt gegeven door

(9.2) x = a cos cat,

waarin de amplitude a bepaald wordt door de vergelijking(7.9) van de responsie-kromme:

(9.3)

h 2 g

co2 =

+ 3 /+ £

a

-a.

We brengen op tijdstip to een kleine _{verstoring a-x aan in de} harmonische oplossing (9.2). Verwaarlozen _{we termen van de orde}

x. 2

) en hoger dan voldoet _{(TX aan de differentiaalvergelijking:}

(9.4)

_{+ (1+3 e}

_{X2) rY}

_{X =}

_0.

M.b.v. x=a cos co t krijgen we:

(9.5)

cYk + 01+3/2a a2)+3/2E a2cos 2t} Xx=0

waarbij

grx

nog voldoet aan zekere begincondities, bijv.: ix(t0) =

al en XX(to)= J

waarin Xi en a'? klein zijn.

Hetis-duidelijk, dat de harmonische

_{resonantie oplosSing x=a cost}

nieloemenraard Vestoord wordt,

als she oplossingen van (9.5) begrensd zijn, immers (9.5) is homogeen en ,71 en- X2 zijn klein.

We noemen'dearem de oplossing _{x=a cos} co t van de vergelijking van

Duffing stabieals pale oplossingen

_{(Tx van (9.5) begrensd zijn'} vodr alle waarden van t. We drukken dit kortweg uit door te

zeg-gen, dat in dit geval (9.5) stabiele oplossingen _{heeft; zijn}

niet.alle oplossingen van (9.5) voor elle waarden van t begrensd, dan is)c=a cos co _{t niet stabiel.en we zeggen dat de diff.vgl.}

De beweging van het _{massapunt B} vindt pleats in het x-y vlak onder invloed van de zwaartekracht mg, de uitwendigelkracht Y(t) en dc reactiekracht X(t) veroorzaakt doordat het benedeneinde van de staaf (met lengte 1) _{alleen langs} de y-as op en neer kan bewegen. De x coordinaat van het massapunt B is gegeven door

x 1 sin ,17.

De.beweging van B wordt beschreven door de

differentiaalvergelijkin-gen:

X,

Y1 sin _{X1 cos 27=0}

(traagheidsmoment van het systeem t.o.v. B is gelijk aan nul).

Indien we willen nagaan of de resonantie oplossing _{x.a cos w t al} dan niet stabiel is,

dan moeten we onderzoeken voor welke waarden van a en w de differentiaalvergelijking

(9.5) voor elle waarden van

bijzonder gevaIndt de _{hemelmechanica bekende vgl. van Hill, nml.:} is niets anders _{dan de bekende}

diff.vgl. van Mathieu en deze is een t begrensde al dan niet-begrensde oplossingen _{heeft. De vgl. (9.5)}

VM4DE

d2w

(9.6) 2 + q(z)w _0,

dz

waarin q(z) een functie iS, die regulier is in een horizontale strook I'm

_{z 1<c}

_{van het complexe z-vlak}

en die periodiek is met rele periode IL.

Een

mechanisch probleem, dat _{direct tot de vgl. van Hill} voert, is dat van de _{geinverteerde, slinger.}

De slinger bestaat uit een lichte stijve staaf met _{verwaarlosbare}

massa3.. aan het boveneinde

bevindt zich een massa m, terwijl het be-nedeneinde van de staaf _{langs een verticale lijn op en neer bewogen} kan warden. De staaf kan verder _{am zin benedeneinde in een verticaal} vlak draaien (zie fig.9.1).

We brengen _{nu een met de .tijd}

veranderende kracht Y(t) aan, die aan het benedeneinde _{van de staaf aangrijpt,}

zodat dit benedeneinde _langs de verticale lijn _{op en neer bewogen}

Voor kleine waarden van 27 vinden we: mi

Y= X.

Dus.irvoldoet aan de differentiaalvergelijking:

rnitY7.7= 0.

Stel Y(t)=mg7mp(t), dan vinden we voor de vergelijking:

(9.7) 17

+1

!..+

p(t)ld

= 0.

Ala Y(t) periodiek is, dan is (9.7) weer een diff.vgl. _{van Hill.} Indien we p(t)=A cos cot nemen, dan zijn or waarden van A en cA)

zoda-nig dat alle oplossingen van (9.7) voor alle waarden van t begrensd zijn en de beweging is dan stabieI. Er zijn ook waarden voor A en w waarvoor de oplossingen van (9.7) :niet voor alle waarden.van t eindig blijven, de beweging is dan labiel (bijv. A=0).

Indien we in (9.7) g van teken ankeren, dan hebben we het probleeM voor de gewone slinger, die aan z'n boveneinde:op en neer bewogen wordt. Er zijn dan weer waarden van A en co _{waarvoor de slingering} stabiel of labiel wordt. (Voor A=0, stabiele.beweging.)

Een eenvoudig electrisch-mechanisch _{systeem, dat tot de vergelijking} van Hill voert, wordt gevormd door .een spoel met zelfinductie L en

een condensator, waarvan de platen periodiek _{naar elkaar toe en van} elkaar af geschoven worden.

De capaciteit van de-copdensator wordt dan _{een periodieke functie C(t)} van de tijd t en de differentiaalvergelijking _{voor de lading q op de}

condensator wordt daft:

(9.8) --7 +d2q q

C(t)

dt

De vergelijking van Hill

Voor het onderzoek naar de stabiliteit is het nodig, _{dat we de} begrens-de oplossingen van begrens-de vergelijking van Hill (9.6) opsporen.

De vergelijking van Hill is

d2w

+ q(z)w = 0.

2

dz

We veronderstellen dat de periode van q(z) gelijk aan Si is dus_

-ko-w1(z) en w2(z) zijn een stelsel van twee onafhankelijke oplossingen van (9.6). Noodzakelijk en voldoende voorwaarde hiervoor is, dat de Wronskideterminant A(z) niet identiek nul is.

Dus

(z) =

Uit de differentiaalvergelijking (9.6) _{volgt nu}

w1(z)

W2(Z) wt(z)

w(z)

2 (9.9) (9.10) d A(z) dz w (z)

w(z)

1

,

q(z)

w(z)

wl(z+Ja)

a11w1(z)

a12w2()

w (z+11)a21

_w1 (z) + a22 w2(z).. 2

-Aangezien A(z)7,-.." (z + 41) = 1 is moet dus _gelden

a11 a12

a21 a22

= 1.

W2(z)

w2(z)

Vo;gens Foquet bezit de differentizaiVergelijking quasiperib--dieke oplossingen, d.w.z. oplossingen w(z) _{waarvoor geldt}

(9.11) _w(z+Ja)

6 w(z),

waarin

6

_{een of andere rele of complexe constante voorstelt.}

Is w(z) een zodanige oplossing dan kan _{deze geschreven worden als een} geschikte lineaire combinatie van

w1 en w2 nml.: W 7%1w1 7\2w2' A(z; Verder geldt: A(z4-11) w1 (z+ 12.)

w!l(z+.42)

IN2(z+(1)

wi(z+41)

₂ all a21 a12 a22 WI

(z)

w!-(z)

-(

) w (z) = a11 12 1 a21 a22 Bijgevolg is A(z) een constante. .

condities:

Kiezen we voor het fundamentaalstelsel _{w w}

1' 2 oplossingen met de

begin-S 141(0) = I

w2(0)

= °

wil(0) 0, 1.1n/ (0) 1,

dan is de Wronski determinant A(z) _{identiek gelijk aan 1.}

Omdat q(z) de periodes/heeft, _{zijn w1(z+471) en}

_w2(z+11)

_ook oplossin-gen van de differentiaalvergelijking.

_zodat I 7k L 7\ a (z) 22 2 Nlwl(z+-a) x2w2(z+n) = (71811÷1N2a21)w1(z) (z) Omdat w en

w2 lineair onafhankelijk zijn geldt:

1

4

"N(all-T)

7\2821.=

[a12+

_7\2(a22

0,

en bijgevolg geldt voor C de volgende zgn. karakteristieke VergeL lijking a 11 21

812

a22-c

c'x2

(z), 11-6)f '12a211 wl(z)+ 12+ 71/4.2(a22-6)1. 2

T (311+822)T +1=0

Gebruikmakend van (9.10) kunnen we hiervoor. schrijven.

(9.12)

) 0.

Voor de wortels T en

c2

van deze vergelijking geldt dat hun

1

Product

ci

T2=1 is. We onderscheiden nu de- tweegevallen;d8t de wortels

c1

en T2 verschillend zijn en dat ze samenvallen.

a) T

c

1' 2

Er zijn twee lineair onafhankelijke quasi-periodieke _oplossingen waarvoor we in ver'pand met (9.11) mogen schrijven:

*Het kan gemakkelijk aangetoond worden, dat de karakteristieke.ver-gelijkig nIetYerandert als we een ander stelsel fundamentaal

op-lossingen_nemen. W1(z) = e (in 1 ) z ..ei z (Pi ( z ) (9.13)

I

w2(z) .... c, si (P2( )' waarin (191 en

(P2 dezelfde periode-aa. q(z).:bezitten.

Noodzakelijk en voldoende voor de begrensdheid _{van de beide} oplossin-gen is dat

ITil=

621 = 1. ( <1 is onMogelijk, omdat dan

lc21

>1 is.) Deze twee quasi-periodieke oplossingen _{mogen we} gebrui-ken als de fundamentaaloplossingen. en in het geval ci/

c2

zijn dus alle oplossingen van de vgl. van Hill (9.6) begrensd, dan _{en alleen} dan als

1611= 16'21

= 1 is.

-42-b)

6"H= cr2

Uit _{6'1 T2=1 volgt dat}

De quasi periodieke'oplCtsing w(z) met _{W(z+11.)= o-w(z) is dus nu} zuiver periodiek geworden _{en wel met periodea also-.1}

en met periode 241 als 67.-1 is.

Deze periodieke oplossing _{noemen we w1(z) en we nemen als} fundamen-taal stelsel w1(z) _{en een van w1(z) onafhankelijke}

oplossing w2(z).

Analoog'aan.(9.9)

kunnen we schrijven:

w1(z+12)

= w1(z)'

(9.14)

w2(zfla) = a w1(z) + b w2(z). De karakteristieke vergelijking wordt dus

(6-o-*)(b-G-*)

0. Omdat e-**.

6-een dubbele wortel van de karakteristieke vgl. is, moet noodzakelijkerwijs gelden b=G.

Uit

(9.14)

_{volgt dus:}

w2(z+41)

w2(z)

, a

w1(z+Ji) w1(z) 7- '

Derhalve heeft de functie

w (z)

Nr(z) ::

w2(,) a z

a

T

1,4'1

de periode 11. en we kunnen schrijven

(9.15) w2(z) wi(z)[ 11 +

r(z)]

.

Voor _{heeft de differentiaalvergelijking}

de lineaire onafhanke-lijke oplossingen:

(9.16)

f

w/(z) =

?(Z)

5

W(Z)

_{= [ co(z)}

waarin

r

en _{de periode fl bezitten.}

Voor 1i".-1 zijn de lineair _{onafhankelijke oplossingen:}

S wi(z) = _{co*( )}

W(Z)

= -a + 111(z)] _(p*(z)

waarin ce"(z) _{nu de periode 2.12 en}

ve(z)

_{de periode}

heeft.

Deze oplossingn (9.16) _{en (9.17) kunnen we weer nemen als} fundamen-taalstelsel en we zien, dat _{er oplossingen van de} differentiaalver-gelijkingen zijn, die niet _{voor alle waarden van z begrensd}

zijn.

dz

doze waarden elkaars toegevoegden _{zijn en omdat}

Trl,

_{is de}

absolutewaardevan

_{1T.gelijk aan 1. In dit geval zijn alle} op-lossingen van de diff.vgl. van Hill begrensd.

Voor re41e verschillende waarden van de wortels sCi geldt

en _{1172 <1 en niet alle oplossingen}

van de vgl. van Hill zijn be-grensd.

Voorreelesamenvallendewortels.

Crl geldt 0- =-I-1 en alle

oplossin-gen zijn evenmin begrensd.

Net geval van _{samenvallende wortels}

vormt de overgang van stabiliteit (begrensdheid) _{naar onstabiliteit (onbegrensdheid)}

van

de oplossingen van de differentiaalvergelijking

van Hill. Toepassing op de _{differentiaalvergelijking van Mathieu}

Omdat het onderzoek van de stabiliteit van de resonantie-oplossin-gen van de vergelijking van Duffing tot de Mathieu vergelijking

voert, zaan we bovenstaande _{theorie nu toepassen op de} differentiaal-vergelijking van Mathieu,

Deze differentiaalvergelijking _{schrijven we in de}

vorm:

(9.18)

0 1'4

2 +- (

+p cos Z)V4=0

Volgers (9.12) kunnen _{we de karakteristieke}

vergelijking schrijven

als:

(9.19)

6--2

-

Ac- + 1 -= 0

waarin A nu vanzelfsPrekend

een functie van a en p is: A.A(a,p). Uit'(9.19) volgt:

, TA7

(9.20) ₌

+ _{-- - T.}

ci

7

Vocr zodanige _{waardcn van a en p , dat}

1A(a,p)1 > 2 is, zijn de

wor-tels (5- _{re'el en niet she oplossingen van (9.1) zijn}

tegrensd;

i

voor zodanige waarden van a en

_0,

_{.dat 1A(a43)1 < 2 is, Zijn 'de}

wor-tels G. _{pegevoegd complex en alle}

oplossingen van

(9.19)

_zijn

be-i

_

grensd voor alle _{waarden van z. Dus de}

kromme, voorgesteld _door

-,

IA(cx,M1=2 _{scheidt in het.(a,p)}

vlak de gebieden _{van m en p , wear} de beweging corresponde:'AA met

_(9.18)

_{stabieldan wel niet-stabiel} is. (N.3. de beweging die correspondeert _{met (9.18) is de beweging} waarvoor de storing _{crx voldoet}

aan (9.18).

Dus voor het stabiliteitsonderzoek van bijv. de resonantie oplos-singen van de vergelijking van Duffing moeten we de kromme A(a,A)1.2 bepalen.

Als Wm,(01.2 dan \Tanen de wortelsvan de

_Ti

_{karakteristieke}

ver-gelijking samen en zij zijn _{Voor 0r.+1 heeft (9.18) een} op-lossing die de periode 2n heeft en voor

c7.-1

heeft (9.18) een

op-los sing die de periode 471: heeft.

We beschouwen de oplossing w(z) met periode 21v. We kunnen dus deze oplossing schrijven als een even of oneven Fourier reeks

00 w(z)

2:

a cos nz, n=0 n co w(z) = by, sin nz . of (9.21) n=1

Substitutie van (9.21) i (9.18) geeft

a a + al = 0,' t (k -n2 _{)an +} (an-I-I-an 1 n=1,2,... en (o.-1)b1 + its b2 = 0, (c4-n2)bn+ ip(bn_i+bn+1)

=0

_n=2,3,...

Aan deze beide homogene oneindige stelsels moet _{voor een zekere rij}

fa 1 en een zekere rij lbn _{voldaan kunnen worden, waarbij noch}

n

noch nul-rijen zijn.

Omdat _{an en bn voor n voldoende groat willekeurig klein warden mogen} we ons beperken tot eindige stelsels en de corresponderende coeffi-ci&nten determinanten (Determinanten van Hill) moeten nul zijn.

Op dezelfde wijze kunnen we te werk gaan met de oplossing w(z) _met periode 47C , corresponderende met ir =-1. In de Fourierreeksen (9.21)

wordt n vervangen door n

7

Aldus krijgen we vier determinanten van Hill die nul moeten warden.

Zij geven ons de kromme die de stabiele en onstabiele _{gebieden van de} Mathieuvergelijking scheiden.

Het resultaat is gegeven in fig.9.2.

n2

De stabiele gebieden zijn met elkaar verbonden in de punten ,

A =0; voor deze waarden van en p heeft (9.18) de begrensde oplos-singen cos 1.21 z en sin r4 z met perioden 2n of kn _.

Is n even den komen in deze punten 'twee takken semen, die correspon-deren met een oplossing met periode 2 ; is n oneven dan komen in deze punten twee takkensamen met periode 117c .

De kromme 1A(,0=2 is symmetrisch t.o.v. de o.-as. Het blijkt,

dat voor grote waarden van p -de atabiele-gebieden zeer nauw worden en naderen tot krommen met de helling -1.

P

6

(9.23)

(9.24)

=+ 0(

₁

_r

_A2«2+...

De eerste termen van deze reeks-en zijn bekend nml.:.

= 1/4n2 n=0,1,2,... o rsos W = 0 in 7

Met behulp van de differentiaalvergelijking (9.18)

d2w

+ (v+/.3 cos z)w 0

dz

bepalen we nu de hogere termen. a) n=0.

uo=0 en wo=1.

Substitutie van (9.22) en (9.23) met _{uo=0 en w0=1 in (9.18) geeft} voor de term 0"([3):

Indien klein is 1nen we de scheidingslir'omme van de gebied en van stabiliteit en instabiliteit gemakkelijk als volgt construeren. De periodieke oplossing w(z) met periode 2-7r of 47c van (9.18),

cor-responderend met a"=+1, ontwikkelen we naar p

(9.22)

w(z)=w0(z)

+ p w1(z) + p2w2(z)+...

n2

De scheidingskromme gaat door de punten ,0) met n=0,1,2,... Het gedrag van de scheidingskromme in deze punten wordt voor kleine waarden van p voorgeSteld door

5

cos {sin -ffz. -k6-2 d wI 2 - cos z - al. dz Omdat

w1

de periode 2heeft, is

_{a1=0 en w1=cos z+c.}

Substitutie van (9.22) en (9.23) met a°= al.0 en w0.1 en w =cos z + C geeft nu voor de term

d2w2

---7 c(2

dz

d2w2

ofwel 2 -

a24-C

cos z - i cos 2z.

dz

Omdat w2 weer de periode _{2x heeft vinden we a2.-i.}

Dus in de omgeving van (0,0) heeft de scheidingskromme de _gedaante

2 (9.25) +... b) n.1 .*. a o=1/4 + (cos z+C)cos z 0

Substitutie van (9.22) _{en (9.23) in (9.18) met 040.1/4 en}

Wo=

{ cos

geeft voor de cofficient van p

sin z

ofwel O1

cos

+ 1/4 wl + cos z sin 22-z cos d2wI (-c1-i)cos ( 2 + 1/4w 1 -dz

_(-a14)sin

7J

sin

3Z 2. 3z

1'1 moet period iek zijn

dus de seculiere term in het rechterlid

moet nu]. worden.

Dus voor _{ao.1/4, wo=cos iz krijgen we}

(9.27) cc ---

/4.

-en voor

ao 1/4, wo= sin iz krijgen we

(9.28) _a

_1/44p

{cos z

w =

sin z

We vinden op precies dezelfde _{manier als boven:} (9.29)u= 1 + 5/12(3 2voor

ao=1 en wo= crsz,

0

(9.30) 0(-=

-

1/12p2

_{-ao=1 en wo= sin z.}

Het resultaat is gegeven in figuur 9.3 _{en de overeenstemming met} figuur 9.2 is zeer redelijk. 13

fig.97

= 4,2ct,

1

Toepassing op de gelnverteerde slinger

De vergelijking van de geinverteerde _{slinger was volgens (9.7)}

2)- +

-

11-1 p(t)}2,.. 0. Stellen we

p(t)

=

w20

cos w t, *71/4tt. oc_41_1,4 is ... _ 2. en

(Jt=t.

den gaat (9.7) over in:

1,-(9.31) d2 2 - ad-ra _{cos TI-1,-= 0.}

Uit fig.(9.2), en (9.3) kunnen we bij gegeven negatieve m inderdaad p (dus de amplitude van de opgedrongen kracnt) zodanig'bepalen, _{1Jat alle} oplossingen van (9.31) begrensd _{zijn, zodat de slingerbeweging stabiel}

is.

Uit de meer exacte.figuur (9.2)

blijkt, dat de keuze voor deze ampli-tude niet erg groot is als _{g2 groter dan 1 is.}