Vol. LII (2011) PL ISSN 0071-674X
BADANIA N A D WŁAŚCIWOŚCIAMI OPERACYJNYMI
METODY AHP
A N N A P R U S A K
U niw ersytet E konom iczny w K rakowie K atedra Z arządzania Jakością
P IO T R S T E F A N Ó W
K rakow ska A kadem ia im A.F. M odrzew skiego K atedra M etod Statystycznych
e-mail: piotr@stefanow.net
ABSTRACT
A n ability to g en erate consistent results is th e m o st critical o perational feature of every m ethod. The objective of th e p re s e n t p a p e r w as to d e m o n strate th e results of th e s tu d y co n d u cted w ith in th e M inistry of Science a n d H igher E ducation G rant NN111345138 (Methodology of multicriteria com parative analysis of elements), re g a rd in g th e relationship b e tw e e n th e level of inconsistency of the A HP results, m e a su re d b y C onsistency Ratio (CR), a n d n u m b e r of the co m p ared criteria. Experi m e n t involved analysis of 3-8 characteristics of selected objects (laptop, printer, public tran sp o rt, m obile p h o n e , flat a n d food store). The results sh o w ed th a t th e analysis of as few as 3 characteri stics resulted in a v ery h ig h fraction of in consistent opinions (m ore th a n 50%). In case of 6,7 a n d 8 characteristics this fraction exceeded 80%.
KEY W O R D S — S Ł o w A K L u c Z o w E
analytic h ierarchy process (AHP), analytic n e tw o rk process (ANP), consistency ratio (CR), M ultiple criteria decision analysis
analityczny proces h ierarchiczny (AHP), analityczny proces sieciow y (ANP), zgodność w y n ik ó w (cR ), w ielow ym iarow a analiza p o ró w n aw cza (wAP)
1. W P R O W A D Z E N IE
M etod a A nalityczn ego P rocesu H ierarch iczn ego (A H P — A n a lytic Hierarchy Pro cess) oraz A n alityczn ego P ro cesu Sieciow ego (A N P — A n a lytic N etw o rk Process) to jed n e z n ajpopularniejszych n a św iecie w ielokryterialnych n arzęd zi w sp om a gających p od ejm ow an ie decyzji. Zostały one zap ro p o n o w an e w latach 70 X X w.
p rzez am erykańskiego m atem atyk a, T.L. S aaty'ego. U p o d staw m e to d y A H P leży założenie, że w iększość złożo n ych p roblem ów d ecy zyjn ych m o żn a ro zło żyć na czynniki p ierw sze i p rzed staw ić w postaci d rzew a h ierarch iczn eg o (stru k tu ry hierarchicznej). Struktura h ierarch iczn a p od lega n astępnie analizie p o p rzez d o konanie p o ró w n ań p aram i p oszczeg óln ych jej elem en tów oraz obliczeniu o d p o w ied n ich w sp ółczyn n ik ów w ago w y ch . W ten sposób m e to d a A H P porządkuje w arian ty d ecyzyjn e od optym aln ego do najm niej p o żąd an eg o , tym sam ym uła tw iając p odjęcie decyzji co do w yb o ru k tóregoś z nich. Poszczególne etap y tej m e to d y zostały w sposób sy n tety czn y om ów ion e w dalszej części pracy.
Problem decyzyjn y nie zaw sze m o żn a z ap rezen to w ać w postaci d rzew a hie rarch iczn ego, które nie uw zględnia p ew n y ch złożon ych relacji, jak np. sprzężenia z w ro tn eg o p om ięd zy p oszczególn ym i elem entam i. D latego też zostało o p ra co w an e inne n arzęd zie — A N I, które stanow i ro zszerzen ie m eto d y A H P u w zględ niające ró żn eg o ro d zaju p ow iązania p om ięd zy oraz w ew n ątrz p oszczególn ych g ru p k ryteriów i subkryteriów . M etod a A N P nie jest p rzed m iotem ro z w a ż a ń ni niejszego artykułu, ale n ależy podkreślić, że analiza d an ych w p rzypad k u oby d w u m etod oparta jest na tej sam ej, uniw ersalnej p ro ced u rze p ostęp ow an ia, p o legającej na d okonyw aniu p orów n ań param i m ięd zy sobą w szystkich elem en tów m od elu p rzy użyciu fundam entalnej skali S aaty'ego. P ro ced u ry te g en eru ją jed n ak szereg problem ów , zaró w n o na poziom ie b u d ow y m odelu jak i analizy, które w p raktyce p ro w ad zą do niskiej w iarygod n ości wyników. Są to m .in. n adm ierne u p roszczen ie rzeczyw istości w m od elu h ierarch iczn ym , agregacja w yników AH P w g ru p o w y m p od ejm ow an iu decyzji, zm ian a w yników n a skutek pojaw ienia się d od atk ow ego elem entu w m od elu oraz tru d n o ść w uzyskaniu spójn ych (zgo d n ych ) w yników. Przykłady w yb ran y ch p roblem ów zostały om ów ion e np. w [Ste fan ów & P ru sak 2011].
Problem d o ty czący tru dn ości w u zyskaniu z g o d n y ch (sp ójn ych ) w yników , szczególnie g d y d o k o n yw an a jest d u ża liczba p o ró w n a ń , jest n ajp o w ażn iej szy m z a rz u te m w ob ec A H P /A N P Tym czasem zd oln ość do g en ero w an ia nie-sp rzeczn y ch w yn ików jest k ry ty czn ą w łaściw ością o p eracy jn ą każdej m etody. D ostrzegając ten p roblem , tw ó rca n arzęd zi A H P/A N P z ap ro p o n o w ał specjalny w skaźnik zgod n ości (w sp ółczyn nik C R — Consistency Ratio), za p o m o cą którego na k ażd ym etapie analizy k on trolow an a jest spójność (zgod ność) o trzy m an y ch rezultatów . Jeśli są one n iespójne, bad an ie n ależy p o w tó rz y ć b ąd ź odrzucić. N asu w a się w zw iązku z ty m pytan ie, jak często takie niezgodności się zd arzają i od czeg o zależą. Wyniki b ad ań p rzed staw ion e w niniejszym artykule, p ro w a d zon e w ra m a ch G rantu M N iSW N N 111345138: Metodologia wielokryterialnej ana lizy porównawczej obiektów, są je d n ą z nielicznych prób udzielenia odp ow ied zi na to pytanie. Istnieje bow iem b ard zo w iele publikacji d oty czący ch tego problem u, ale w iększość z nich próbuje ro zw iązać go od stron y analitycznej. Nie są znane au to ro m żad n e p róby badania od stron y em pirycznej p oziom u niezgodności w y ników A H P w zależności od takich czyn n ik ów jak np. sposób prezentacji d an ych
i adm inistrow ania ankiety, liczba p o ró w n y w a n y ch elem en tów oraz liczba stopni n a skali p o ró w n a ń 1.
P ro w ad zen ie b ad ań d o ty cz ą cy ch k lu czow ych w łaściw ości o p eracy jn y ch A H P/A N P jest szczególnie w ażn e ze w zględ u n a ro sn ą cą w św iecie pop u larn ość tych m etod , zaró w n o w n au ce, jak i w praktyce. M im o, iż m ają one w ielu k ryty ków, którzy zw racają u w ag ę n a ich p ow ażn e niedociągnięcia, to w b azach czaso pism w ysok o p u n k tow an ych m o żn a zn aleźć o gro m n ą liczbę artykułów n a tem at aplikacji A H P /A N P w ró ż n y ch obszarach. Ż ad n a inn a w ielokryterialna m etod a w sp o m ag ająca d ecyzje (np. VDA, E lectre, P ro m eth e) nie d oczek ała się takiej liczby publikacji. Po m eto d y A H P/A N P co raz częściej sięgają też praktycy. D uża p op u larn ość A H P/A N P w p orów n an iu do in n y ch w ielokryterialnych m etod p o dejm ow an ia decyzji w ynika m .in. z tego, że m e to d y te p ozw alają w p rosty sp o sób z d ek o m p o n o w ać złożo n y problem d ecy zyjn y i zan alizow ać g o, w w yniku czeg o otrzym u je się konkretne w yniki liczbow e w skazujące optym aln y w arian t decyzyjny. Pon ad to, posiadają one łatw o d ostęp n e dla użytkow nika o p ro g ra m o w anie k om p u teró w 2. D uża liczba zasto so w ań w y m ag a zw rócen ia szerszej uw agi n a w iary go d n ość obliczeń, które m o g ą m ieć p otem w p ły w n a realne decyzje.
C elem niniejszego artykułu jest p rzed staw ien ie rezu ltató w b ad ań d o ty czą cych zależności p om ięd zy p oziom em niezgodności w yników AHP, m ierzon ym za p o m o cą p ow szech n ie stosow an ego w spółczynnika C R, a liczbą p o ró w n y w an y ch elem entów . D okonano tego za p o m o cą ek sp erym en tu , obejm ującego analizę od 5 do 8 w łaściw ości ró żn y ch obiektów. P rzed staw ion o ró w n ież cząstkow e badania d oty czące 3 kryteriów.
W pierw szej części p ra cy krótko p rzed staw io n o z asad y działania m etod y A H P D ru ga część artykułu k oncentruje się n a prezentacji uproszczonej m etod y szacow an ia w spółczynnika zgodności p orów n ań CR. Kolejna część p racy stanow i sy n tety czn y p rzegląd św iatow ej literatury d otyczącej AHP/ANP, ze szczególnym naciskiem n a m etod ologiczn e aspekty tych m etod. P racę k oń czy opis, om ów ienie w yn ików ek sp erym en tu oraz w nioski i im plikacje dla p rzy szłych badań.
2. Z A S A D Y D Z IA Ł A N IA M E T O D Y A H P
E tap y analizy A H P oraz ich p od staw y m atem atyczn e m o żn a zn aleźć praktycznie w k ażd ym pod ręczn ik u i artykule T S aaty 'eg o oraz każdej publikacji dotyczącej m etod A H P/A N P W iele z n ich odw ołuje się także do tzw. 7 filarów A H P [Saaty
1
W pływ tych czynników na zgodność wyników AHP uzyskanych na podstaw ie porów nań d o konyw anych na skali wielostopniowej stanowi przedm iot badań ww. grantu MNiSW NN111345138: Metodologia wielokryterialnej analizy porównawczej obiektów oraz grantu NCN 2011/01/D/HS4/04006: Czynniki wpływające na zgodność porównań parami w metodach analitycznego procesu hierarchicznego i sieciowego (AHP/ ANP).2
ExpertChoice przeznaczone tylko dla AHP oraz SuperDecisions, przeznaczone dla ANP ale można go również stosować dla modeli AHP2001]. Inform acje te są ró w n ież w p rzy stęp n y sposób p rzek azan e w artykułach pub lik ow an ych w języku polskim [np. A d am u s 2006]. Przykład najprostszej i najczęściej k onstruow anej stru k tu ry hierarchicznej został z a p re z e n to w a n y na rys. 1. Składa się ona z kilku poziom ów , z k tó ry ch n ajw yższy to cel głó w n y p ro blem u decyzyjn ego. N a realizację tego celu w p ły w ają p ołożon e o p oziom niżej kryteria, a te z kolei są zależne od o d p o w iad ających im su b k ryteriów (czynn i ków ). N a sam y m dole zn ajd u ją się w arian ty d ecyzyjn e (zw an e ró w n ież „alter n atyw am i"). w tak z b u d ow an ym m od elu ostateczn a d ecyzja polega n a w yborze tego w arian tu d ecyzyjn ego, k tó ry w n ajw y ższy m stopniu spełnia najw ażniejsze subkryteria oraz kryteria.
Źródło: Opracowanie w łasne na podstawie np. [Saaty 1994].
Rys. 1. Przykład stru k tu ry hierarchicznej w m o d e lu AHP
W ażność p oszczeg óln ych elem en tów w zględ em siebie w y zn aczan a jest przez dokonanie ich p orów n ań param i. P orów n ania te d ok on yw an e są z u życiem tzw. fund am en taln ej skali p o ró w n a ń S aaty 'eg o , gdzie p rzew ag a jed n eg o elem entu n ad d ru gim ozn aczan a jest od „takiego sam ego zn aczen ia" (= 1 ), p op rzez „słabą p rz e w a g ę " ( = 3 ) , „m o cn ą p rz e w a g ę " ( = 5 ), „bardzo m o cn ą p rz e w a g ę " ( = 7 ) aż
do „absolutnej/ekstrem alnej p rzew agi" (= 9 ). W p rzy p ad k u , g d y osoba o cen ia jąca nie jest zd ecy d o w an a do końca, m o żn a do skali w p row ad zić liczby p ośred nie (2,4,6,8). Porów n ania d ok on yw an e są n a zasadzie odw rotności: jeśli elem ent A jest 3 ra z y lepszy od B, to B stanow i 1/3 elem en tu A. W sum ie skala daje aż 17 m ożliw ości. Tak w yrażo n e opinie w p ro w ad zan e są do kw adratow ej m acierzy A p o ró w n ań p aram i o w ym iarach (n X n), gdzie n jest liczbą p orów n yw aln y ch kryteriów . M acierz ta stanow i głów n e narzęd zie analizy m e to d y A H P [np. Saaty 1996]:
A =
1
Cl\2 Cl\n1
/
d \ 21
■ ■ •
&2n1
/ a ln
1
/
a2n
1
(1)Taka m acierz k on stru o w an a jest n a k ażd ym poziom ie m od elu AHP. W m o delu z a p rezen to w an y m na rys. 1, w pierw szej kolejności b u d ow an a jest m acierz służąca analizie w ażności k ryteriów w zględ em celu głów n ego. N astępnie b u d o w an e są m acierze dla analizy zn aczen ia subkryteriów w stosunku do w łaściw ych im kryteriów . M acierzy tych jest tyle, ile w m odelu jest „klastrów " zależności kry-terium -subkryteria. Dla każdej m acierzy obliczane są tzw. w ek to ry p riorytetów W(wj, w2, w3), które określane są także jako w spółczynniki w ago w e (w agi), i które w skazują relaty w n ą w ażn o ść p o ró w n y w a n y ch elem entów . Poniew aż uzyskanie
Tabela 1
O bliczanie w spółczynników w ag o w y ch (priorytetów )
Ś rednia geom etryczna r i P riorytety (wagi) W i 1 a 12 a 13 y i X
cii
2X a 13r J t n
/ 1=1 1/ a 12 1 a 23 V i / 0 1 2 x 1 x 0 2 3r J t n
/i=
1 1/ a 13 1/ a 23 1 y 1 / 0 1 3 * 1 / 0 2 3 X IJ t n
j
i=l 3 3Hn
= 1 i = 1 / = 1d ok ład n ych w yników w ym ag a w ykonania szeregu skom plikow anych p ro ced u r m a te m a ty cz n y ch dla każdej m acierzy3, w literaturze dotyczącej A H P pokazane są u p roszczo n e m e to d y obliczania, za p o m o cą k tó ry ch uzyskuje się zbliżone w y niki. Do najczęściej sto so w an y ch n ależy obliczanie za p o m o cą średniej g eom e tryczn ej, gdzie stopień pierw iastka ró w n y jest liczbie p o ró w n y w a n y ch elem en tó w [np. A dam us & L asak 2009]. Poszczególne w artości tak obliczonego w ektora m acierzy A są n orm alizow an e, dając w ek to ry p riory tetó w w 1, w 2, w 3. P ro ced u ra ta została p rzed staw ion a w tabeli 1.
Pow yższa p ro ced u ra m usi b yć p rzep ro w ad zo n a dla każdej m acierzy. W spół czynniki w ago w e (priorytety) określają w zględ n ą w ażn o ść elem en tów decyzyj n y ch n a k ażd ym poziom ie m od elu hierarch iczn ego. Są to tzw. priorytety lokalne, czyli w artości obejm ujące relację w z g lę d e m elem en tu p o ło żo n eg o jedyn ie o jed en p oziom w yżej w stru k turze hierarchicznej. P riorytety globalne określają stopień w ażności elem en tów w zględ em elem entu zlokalizow anego w hierarchii o więcej niż jed en p oziom w yżej, np. zn aczen ie subkryteriów w odniesieniu do celu. Ich w artości globalne oblicza się p op rzez p rzem n o żen ie w artości p riorytetu dla relacji su b k ryteriu m -k ryterium p rzez w arto ść w łaściw ego p riory tetu kryte-rium -cel. Tak p rzep ro w ad zo n a p ro ced u ra nie g w aran tu je jed n ak w iarygodności ostateczn ych wyników. M etod y A H P/A N P w y m ag ają bow iem na k ażd ym etapie analizy obliczenia tzw. w spółczynnika n iezgodności C R (Consistency Ratio), który w skazuje na zg o d n o ść u zysk an ych p orów n ań . P ro ced u ra ta została w skrócie om ów ion a poniżej.
3. W Ł A Ś C IW O Ś C I O P E R A C Y JN E :
Z D O L N O Ś Ć G E N E R O W A N IA Z G O D N Y C H W Y N IK Ó W
P od staw ow ą w łaściw ością o peracyjn ą każdej m eto d y jest zd oln ość do g e n e ro w a nia n iesp rzeczn ych , czyli zg od n ych , logicznych rezultatów . Wyniki analizy struk tu ry h ierarchicznej, w ed łu g p ro ce d u ry p rzedstaw ionej w p op rzed n im rozdziale, tylko w te d y są w iary go d n e, a w ięc dające rzeteln ą w skazów kę do podjęcia d ecy zji, kiedy zostaje spełn ion y w a ru n e k zgod n ości ocen. W spółczynnik zgodności nie m oże p rzek raczać 10% (C R < 0,10)4. Podobnie jak w p rzypad k u priorytetów , obliczanie w spółczynnika C R n astępuje au tom atyczn ie p rzy korzystaniu z o d p o w ied n iego o p rog ram ow an ia A H P/A N P (Exp ertC h oice, SuperDecisios). Podstaw ą do obliczenia C R jest w yzn aczen ie najw iększej w artości w łasnej (Amax) m acie rz y A. W u p ro szczo n y sposób oblicza się ją jako sum ę iloczyn ów su m y w artości p o ró w n ań w każdej kolum nie m acierzy A oraz odp ow ied n iego dla d an ego ele m en tu w spółczynnika w ago w eg o. K orzystając z o zn aczeń zap isan ych w tabeli 1, u p ro szczo n ą form u łę m o żn a p rzed staw ić w n astęp u jący sposób:
3 Oprogram owanie ExpertChoice i SuperDecisions w ykonują te obliczenia automatycznie. 4 Szerzej na temat wartości „granicznej" m ożna znaleźć np. w [Saaty & Vargas 1982].
Яшах = (1 + l/fl21 + l/fl3 l) • Wi + (a 12 + 1 + l /а з г ) • W2 + (öi3 + a 23 + l ) • w3 (2) K olejnym krokiem jest obliczenie tzw. indeksu niezgodn ości (Inconsistency Index — IC) jako ilorazu ró żn icy największej w artości w łasnej m acierzy i liczby p o ró w n y w a n y ch elem en tów 5 (n) p rzez różn icę (n - 1):
I C = ( A „ , - n ) / ( n - 1) (3)
N a sam ym końcu obliczam y w sp ółczyn n ik C R p op rzez podzielenie IC przez stablicow aną w arto ść RI:
C R = I C / R I (4)
Stablicow ane w artości R I zostały w y g en ero w an e p rzez S aaty 'ego n a p od sta wie sym ulacji dla 500 000 m acierzy, i w zależności od liczby p o ró w n y w an y ch ele m en tó w w yn o szą np.:
dla n = 3, R I = 0,52; dla n = 4, R I = 0,89; dla n = 5, R I = 1,11; dla n = 6, R I = 1,25;
W artości R I dla większej liczby n, jak i dokładniejszy opis sposobu ich g e n e ro w ania, m o żn a zn aleźć np. w [Alonso & L am ata 2006]. Jeśli C R p rzek roczy w artość 0,10, p orów n an ia n ależy u zn ać za n iezgod n e, a analizę n ależy p o w tó rzy ć [Saaty 2008]. Poniew aż p ow tarzan ie analizy jest b ard zo czasoch ło n n e, w ielu b ad aczy p ro p o n ow ało stosow anie ró ż n y ch algo rytm ó w m ający ch n a celu zredukow anie w artości C R p rzy m inim alnej ingerencji (zm ianie) d an ych (p o ró w n ań ) p ierw ot nych. Poniew aż w k ażd ym przypad k u „sztucznej" redukcji w spółczynnika z g o d ności zaw sze n astępuje zaburzenie p ierw o tn y ch p orów n ań , najlepiej jest uzyskać m aksym alnie zg od n e w yniki ju ż n a etapie g rom ad zen ia d an ych , czyli dokony w ania p o ró w n ań param i. Aby to się ud ało, zaleca się p orów n yw an ie nie więcej niż 7 ± 2 elem en tów w jednej m acierzy, gdyż tyle w łaśnie p orów n ań jest w stanie d ok on ać p rzeciętn y człow iek zach o w u jąc w y m ag an y p oziom spójności [Saaty & O zd em ir 2003, Miller 1956].
4. P R Z E G L Ą D L IT E R A T U R Y D O T Y C Z Ą C E J A H P /A N P
Istnieje b ard zo wiele publikacji n a tem at w ielokryterialnych m etod w sp om aga jący ch p ro cesy p od ejm o w an ia decyzji w ró ż n y ch obszarach nauki i praktyki. O p rócz m etod A H P/A N P n ależą do n ich m .in. E lectre, P ro m eth e, VDA. Jak z o 5 Im bardziej największa wartość własna macierzy zbliżona do n, tym mniejszy współczynnik CR [Saaty 2008].
stało w cześniej w sp om n ian e, m e to d y A H P /A N P cieszą się zd ecy d ow an ie naj w iększą p op u larn ością w p orów n an iu do in n y ch m etod , o czy m św iad czy duża (i w ciąż szybko ro sn ąca) liczba publikacji d o ty cz ą cy ch ty ch m etod w najw ięk szy ch b azach czasop ism n au k ow ych , takich jak np. ScienceDirect, W iley, Scopus. K orzystając tylko z w yszukiw arki b azy ScienceDirect, w pisano n astęp u jące słowa kluczow e: „analytic h ierarch y p rocess", „analytic n etw o rk p rocess", „ah p ", „anp". H asło „analytic h ierarch y p ro cess" w y g en ero w ało 20 2 9 0 6 artykułów , n atom iast jego skrót „ah p " 108817. Publikacji n a te m at A N P jest zn aczn ie w ięcej, n ależy jed n ak w ziąć p od u w a g ę fakt, iż praw ie w k ażd ym artykule d oty czący m A N P znaj duje się odniesienie do m eto d y A H P Jak b ow iem w cześniej w sp om n ian o, „fun d am en t" ty ch m etod , 9-stop n iow a skala p o ró w n a ń S aaty 'eg o , jest u niw ersalny dla o byd w u m etod. Słow o kluczow e „analytic n etw o rk p rocess" sp o w o d ow ało znalezienie aż 458908 publikacji, n atom iast „an p " dało 188829 rezultatów . Jeszcze pół roku tem u liczby te były średnio o kilkaset pozycji niższe, n a przykład dla hasła „analytic n etw o rk p rocess" liczba zn alezionych publikacji w ynosiła 410 0 0 10. P orów n ując częstość w ystęp o w an ia artykułów n a te m at A H P/A N P z innym i m e tod am i w sp om agan ia decyzji, „vda" jako słow o kluczow e w tej sam ej bazie daje 2 0 9 3 11 rezultatów , „electre" 124112, natom iast „p ro m eth e" zaledw ie 2 3 13. Co w ięcej, w artości te nie zm ieniły się zn acząco w p orów n an iu ze stan em sp rzed pół rok u 14. N ależy p o n ad to w ziąć p o d u w ag ę fakt, że część z tych artykułów zaw iera także odniesienie do m etod AHP/ANP!
A rtykuły d o ty czące A H P /A N P publikow ane są głów n ie w takich cz a so p ism ach jak European Journal of Operational Research, International Journal of Pro duction Economics, Inform ation and M anagem ent, Com puters and Operations Research, Decision Support S ystem s, Socio-Economic P lanning Science, Journal of Operational Research Society, Expert System s w ith Applications, Journal of M athematical Psychology. Publikacje te m o żn a generalnie podzielić n a dw ie gru p y : o ch arak terze „aplika cy jn y m ", sk o n cen tro w an y m n a ro z w ią z y w a n y m za p o m o cą A H P /A N P proble m ie, oraz „m etod ologiczn ym ", gdzie „środek ciężkości" p rzy p ad a n a w łaściw ości sam ej m etody. O gólne stu d iu m kilkuset abstraktów artykułów w obszarze A H P / A N P w ykazało, że zd ecy d o w an a w iększość b ad ań w ty m zakresie m a ch arak ter „aplikacyjny". D otyczą one zastosow ania A H P/A N P w ró żn y ch obszarach i w od niesieniu do ró żn y ch celów decyzyjn ych . Takimi celam i decyzyjnym i m o g ą być n a p rzykład p lan ow an ie, zakupy, alokacja zasobów , ro zw iązyw an ie konfliktu,
6 Stan na 5.11.2011. 7 Stan na 5.11.2011. 8 Stan na 5.11.2011. 9 Stan na 5.11.2011. 10 Stan na 5.06.2011. 11 Stan na 5.11.2011. 12 Stan na 5.11.2011. 13 Stan na 5.11.2011.
ew alu acja, optym alizacja, itd. W obszarze aplikacji, nie m a ch yb a dziedziny, w której by nie p ró b o w an o stosow ać n arzęd zi A H P/A N P O bszary te, w p ow ią zan iu z w yżej w sp om n ian ym i typ am i celów d ecy zyjn ych , zostały w sposób sy n tety czn y om ów ion e p rzez [Vaidya & K um ar 2006]. Przykłady różn orod ności zasto so w ań A H P /A N P to ro zw iązyw an ie takich p ro b lem ó w jak ew aluacja d o staw có w [Akarte et al. 2001], w yb ór najlepszego o p rog ram ow an ia [Lai et al. 2002], zdefiniow anie czyn n ik ów sukcesu i o p raco w an ie strategii w d rażan ia system u IS 0 -1 4 0 0 1 n a pod staw ie analizy korzyści i kosztów [Chin et al. 1999], ew aluacja ró ż n y ch strategii fuzji w bankow ości [Arbel & O rger, 1990], w yb ór lokalizacji rafi nerii w kilku krajach Bliskiego i Środkow ego W schodu [Badri 1999], p o p ra w a ja kości kom unikacji p acjent-lekarz [Singpurw alla et al. 1999], analiza strategii USA w ob ec Iranu [Saaty 2008] i wiele innych.
Publikacji o ch arak terze „m etod o lo giczn y m " ziden tyfik ow an o znaczniej m niej. Są to zaró w n o k ry ty czn e analizy A H P /A N P jak i p ro p o zycje ro zw iązań p ro b lem ó w w yn ik ających z m a te m a ty czn y ch /alg eb raiczn y ch w łasności tych m etod . Do najczęściej d ysk u to w an y ch p roblem ów z w iązan y ch z p rak ty czn y m u żytk ow an iem A H P /A N P n ależą m .in.: agregacja in d y w id u aln y ch p riory tetó w w g ru p o w y m p od ejm ow an iu decyzji [np. Solms 2009, F orm an & Peniw ati 1998, B ey n on 2005], zm ian a kolejności w yn ików (rank reversal) n a skutek w p ro w a d z e nia do m od elu d od atk ow ego obojętnego elem entu [np. W atson & Freeling 1982, Belton & G ear 1983, W eber 1997, H old er 1990, Perez et al. 2001] oraz trudności w uzyskaniu sp ójnych (zgo d n y ch ) w yników A H P/A N P [np. Vargas 1982, Finan & H u rley 1997, A postolou & H assel 1993; 2002, Alonso & L am ata 2005; 2006, Costa 2006, E rgu et al. 2011]. D użo mniej inform acji m o ż n a zn aleźć n a tem at "op era cy jn y ch " (praktyczn ych ) aspektów A H P/A N P d o ty czący ch m .in. sposobu g ro m a d zenia dan ych . Tym czasem n a pod staw ie b ad ań em p iryczn ych zaobserw ow an o, że k oń cow e rezu ltaty są zależne m .in. od sposobu prezentacji kw estionariusza [np. W ebber et al. 1996] oraz ro d zaju użytej skali [W eathers et al. 2005].
P rz y cz y n y n iezgod n ości re z u lta tó w A H P /A N P ju ż od d aw n a stanow iły p rzed m iot b ad ań n a całym świecie. G łów nym obszarem , n a k tó ry m sk on cen tro w an e są bad an ia d oty czące n iezgodności, jest w sp ółczyn n ik CR. Istniejąca litera tu ra w ty m zakresie p róbow ała o dp ow ied zieć n a trzy głów ne p ytan ia badaw cze. Po pierw sze, czy ustalona p rzez S aaty 'eg o w arto ść w spółczynnika niezgodności (CR) n a poziom ie < 0,10 p ow in n a b yć tylko w skazów ką, czy też szty w n ą regułą, o d n o szącą się do k ażd ego przypad k u . Po drugie, czy w sp ółczyn n ik C R jest od p ow ied n ią m iarą p oziom u n iezgodności. Po trzecie, czy i jak m o żn a zred u k o w a ć w spółczynnik C R na poziom ie m acierzy. Pytan iem , do którego p raktycznie brak jest w literaturze odniesienia, to jakie czynniki n a etapie g rom ad zen ia d a n y ch (np. liczba p o ró w n y w a n y ch elem en tów ) w p ły w ają n a p ozio m zgodności wyników.
W odniesieniu do pierw szej kwestii, część a u to ró w su g eru je, że poziom w spółczynnika C R u stalony n a stałym poziom ie C R <0,10 jest zbyt restrykcyjny.
[Apostolou & H assel 1993] próbow ali u d ow od n ić za p o m o cą ek sp erym en tu , że w arto ść w spółczynnika CR p rzek raczająca 0,10 nie w p ły w a w sposób istotny na k oń cow e w yniki badań. E k sp ery m en t ten został zak w estion ow an y p rzez [Chu & Liu 2001], którzy z kolei znaleźli istotną ró żn icę p om ięd zy w ynikam i z C R < 0,10, a tym i gdzie C R > 0,10. Inny problem był ro z w a ż a n y m .in. p rzez [Alonso & La-m ata 2006], k tórzy zap ropon ow ali od La-m ien n y sposób p oLa-m iaru p ozioLa-m u n iezgod ności w yn ików p ro w a d z ą cy do akceptacji, b ąd ź o d rzu cen ia m acierzy. To, czy d an a m acierz jest spójna b ądź nie, zależy od d w ó ch czynników :
a) indeksu zgod n ości (IC), za który au to rzy u w ażają najw iększą w arto ść w łasną m acierzy Amax;
b) w ym ag an ego p oziom u zgod n ości (
a
), 0 < a < 1, p rzy czy m a jest ad ap tow aln y w zależności od b ad an eg o problem u ; u żytk ow n ik w ró ż n y ch sytuacjach m oże p otrzeb o w ać ró żn eg o poziom u zgod n ości i ten p oziom określa p ro cen tow o.A u torzy p o n ad to kw estion ują stablicow ane w artości R I, w y g e n e ro w a n e p rzez S aaty 'eg o n a pod staw ie sym ulacji 500 000 macierzy. Te bow iem są ró żn e dla każ dej podobnej sym ulacji.
Trzecie zagad n ien ie d o ty cz y redukcji w sp ółczyn n ik a C R n a poziom ie m a cierzy. N a p rzykład, [Costa et al. 2006] zastosow ał w tym celu tzw. algorytm ge n e ty cz n y (G enetic A lgorithm — GA). Polega on n a w yg en erow an iu w m atrycy, gdzie n iezg o d n o ść w ynosi pow yżej 10% oraz ro zw iązań z C R m n iejszym lub ró w n y m 10% . P ro g ram n ajp ierw analizuje zg od n ość, jeśli C R > 10% , algorytm losow o generuje serię m a try c z w artością niższą niż 10% , zbliżonych do m acie rz y pierw otnej. Z kolei [Ergu et al. 2011] z ap ro p o n ow ał trzysto p n io w ą p ro ced u rę redukcji CR op artą n a identyfikacji najbardziej n iezg o d n y ch elem en tów m acie rzy, [Finan & H u rley 1997] za p o m o cą sym ulacji M onte C arlo u dow odnili, że m a te m a ty cz n a redukcja w artości C R zw iększa w iary go d n ość rezu ltatów analizy. W ielu b ad aczy p ro p o n ow ało i p ropon u je ró żn e p ro ced u ry i algorytm y m ające na celu zm niejszenie niezgodn ości, ale w ątpliw ość budzi fakt, iż w w ielu p rz y p a d kach tego typ u operacje p ro w a d z ą do zm ian y orygin aln ych inform acji uzyska n y ch p od czas p ro w ad zen ia b ad ań [np. Tung & Tang 1998].
P on iew aż C R <0,10 n ad al jest je d y n ą ak cep tow aln ą i p o w szech n ie sto so w a n ą m iarą p oziom u niezgodn ości w yn ików AHP/ANP, istnieje silna p otrzeb a w yp racow an ia określonych zaleceń d oty czący ch redukcji m ożliw ości uzyskania z g o d n y ch w yników już n a etapie g rom ad zen ia d an ych . D o takich „działań p re w e n cyjn ych " n ależy p rzed e w szystkim u p ew n ien ie się m .in. że istnieje d osta teczn a ilości inform acji n a tem at b ad an ego problem u, a m odel decyzyjn y został odp ow ied n io u stru k tu ryzow an y. D użą rolę o d g ry w a także w ied za ekspertów , która w p rzy p ad k u otrzy m an ia n iezg o d n y ch w yników , p ow in n a b yć p o d d an a dodatkow ej ocenie [Szczypińska & Piotrow ski 2009]. In n ą p rz y cz y n ą g en eru jącą sp rzeczn e rezu ltaty m o że być fakt stosow an ia w A H P /A N P 9-stopniow ej skali liniowej, p od czas g d y w iększość p roblem ów nie m a ch arak teru liniow ego. Dla
tego też jako bardziej w iary g o d n ą su g ero w an o skalę m u ltiplikatyw ną (geo m e tryczn ą) [H older 1990].
5. E K S P E R Y M E N T
5 . 1 . O p i s e k s p e r y m e n t u
C elem p rz e p ro w a d z o n e g o ek sp erym en tu było zbad an ie, jaka jest em p iryczn a frakcja n iezg o d n y ch ocen, d ok o n yw an ych p rzez ek sp ertów w ed łu g k ryteriu m o cen y zgod n ości zap ropon ow an ej p rzez S aaty 'eg o (w sp ółczyn nik CR), w zależ ności od liczby p o ró w n y w a n y ch param i kryteriów . O kreślono h ip otezę b ad aw czą, która b rzm iała, że dla liczby k ryteriów większej od 5 liczba sp rzeczn y ch (niezgod n ych ) o cen będzie b ard zo w ysoka (w iększa od 30% ). Badanie polegało n a obliczeniu w skaźnika C R u zysk an ego n a pod staw ie zastosow an ia p rzez eks p ertó w m eto d y A H P Zostali oni p op roszen i o p orów n an ie p aram i k ryteriów d o ty czący ch pięciu obiektów. Zostały one dobrane w taki sposób, aby ankietow ani (ze w zględ ów organ izacyjn ych byli to najczęściej studenci krakow skich uczelni) m ogli b yć traktow ani jako eksperci.
1. Telefon k om órkow y (T) 2. M ieszkanie (M)
3. Kom unikacja m iejska (K) 4. D rukarka (D)
5. L ap to p (L).
Ze w zględ u n a m ożliw ość popełnienia p od czas bad an ia błędu sy stem atycz n ego p olegającego n a tym , że p orów n yw an ie p ierw szego obiektu „zd eterm i nuje" kolejne p orów n an ia zd ecy d ow an o w k ażd ym zestaw ie — w sposób losow y — ustalić in n ą kolejność p o ró w n y w a n y ch obiektów.
K ażd y obiekt był ch a ra k te ry z o w a n y m aksym alnie p rzez osiem kryteriów , które zostały p rzed staw ion e w tabeli 2.
Ze w zględ u n a m ożliw ość popełnienia p od czas bad an ia błędu sy stem atycz n ego polegającego na tym , że p oczątk ow e k ryteriu m „zd eterm in u je" kolejne p o ró w n an ia zd ecy d o w an o p od czas k ażd ego b adania — w sposób losow y — ustalić in n ą kolejność kryteriów . K ażd y z obiektów był ocen ian y ze w zględ u na:
1. Pięć kryteriów 2. Sześć kryteriów 3. Siedem kryteriów 4. O siem kryteriów
K ażd y z an k ietow an ych został p op ro szo n y o o cen ę czterech z pięciu obiek tó w (T, M , K, D, L). Liczba k ryteriów dla k ażd ego z obiektów była ró żn a (ułożona w sposób losow y), co o znacza, że jeśli ankietow any oceniał np. (T) ze w zględu na 5 kryteriów , to pozostałe obiekty m ógł ocenić ze w zględu n a 6, 7 lub 8 kryteriów.
Jako k ryteriu m zgod n ości p rzyjęto o m ów ion y w cześniej w sp ółczyn n ik C R, któ reg o w arto ść nie pow inn a p rzek raczać 0,10.
Tabela 2
K ryteria ch arakteryzujące p o ró w n y w a n e obiekty
Telefon kom órkow y (T) M ieszkanie (M) K om unikacja m iejska (K) • Wielkość w yśw ietlacza
• Radio
• A parat fotograficzny • W ym iary (długość, szero
kość)
• Ciężar telefonu • Czas pracy (bateria) • Sygnał w ibracyjny • Wielkość klaw iatu ry
• Wielkość łazienki • O d p o w ie d n ie piętro • W łaściw a technologia • Piw nica
• Wielkość m ieszkania • Czas d o ja zd u do cen tru m • Wielkość k u chni
• Lokalizacja
• P unktualność
• W olne miejsca siedzące • Czas oczekiw ania na pojazd • C ena biletu
• Brak tłoku • Czystość • B ezpieczeństw o • Szybkość p o ru szan ia się
D ru k ark a (D) L aptop (L) • Rozdzielczość
• Czas w y d ru k u strony • M ożliw ość d ru k u w kolorze • M ożliw ość d ru k u o b u stro n
nego
• Głośność pracy • W ym iary
• Koszty eksploatacji • Czas bezaw aryjnej pracy
• Pojem ność dysku • Szybkość pracy (procesor) • Wielkość pam ięci operacyj
nej • K am era • O d p o w ie d n ia wielkość ek ran u • O d p o w ie d n i kolor o b u d o w y
• Liczba m iesięcy gw arancji • Ciężar
Źródło: Opracowanie własne.
5 . 2 . W y n i k i e k s p e r y m e n t u
Dla każdej liczby kryteriów obliczono frakcję ankiet, dla k tórych C R > 0,1 w ed łu g w zoru :
w . = ^ (5)
gdzie:
n — liczba kryteriów
W n — frakcja ankiet w k tó ry ch C R > 0,10 N n.f — liczba ankiet, dla k tórych C R > 0,10 N n — liczba w szystkich ankiet.
N a ry su n k ach rys. 2 — rys. 5 zostały p rzed staw ion e em p iryczn e ro zk ład y w spół czynnika zgod n ości dla różnej liczby k ryteriów (5, 6, 7, 8).
4 0 % 3 5 % 3 0 % ---2 5 % --- — — ---2 0 % ---1 5% --- ---1 0% ---5% - -- ---0%
Źródło: Opracowanie własne.
Rys. 2. R ozkład w spółczynnika CR dla 5 k ry terió w (przedział 0,05)
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
Źródło: Opracowanie własne.
35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 40%
Źródło: Opracowanie własne.
Rys. 4. R ozkład w spółczynnika CR dla 7 kry terió w (przedział 0,05)
40% 35% 30% 25% 20% 15% 1 0%
---Źródło: Opracowanie własne.
Rys. 5. R ozkład w spółczynnika CR dla 8 k ry terió w (przedział 0,05)
P rzed staw ion e pow yżej w yk resy w y m ag ają kom entarza. Przed e w szystkim m o żn a zau w aży ć, że o d setek n iezg o d n y ch p o ró w n ań rośnie w raz ze w zrostem liczby kryteriów . Dla 6, 7 oraz 8 k ryteriów (rys. 3, rys. 4 oraz rys. 5) najczęściej w arto ść w skaźnika n iezgodn ości znajduje się w przedziale p om ięd zy 0,1 a 0,15.
Dla w szystkich b ad ań ch arak tery styczn a w łaściw ością jest w ystęp ow an ie w a rto ści CR w iększych od w artości 0,5.
Wyniki ek sp erym en tu dla 5, 6, 7 i 8 k ryteriów zestaw ion o w sposób zbiorczy w tabeli 3 jako frakcje ankiet, dla k tó ry ch w arto ść C R jest w iększa od zak ład a n ego p rzez S aaty 'ego p oziom u 0,10. Rys. 6 p rzed staw ia w yk res frakcji n iezg o d n y ch ocen w zależności od liczby p o ró w n y w a n y ch kryteriów . Jak się sp od zie w an o , im w yższa liczba kryteriów , tym w yższa frakcja n iezg o d n y ch ankiet. Dla 5 k ryteriów p oziom ten w ynosi 68,22% , co budzi w ątpliw ości d oty czące założe nia m eto d y A H P m ów iącego, że człow iek jest zd oln y d o efektyw nego dokonania p orów n ań 7 ± 2 elem entów . Jak p on ad to w yk azan o, w przypad k u większej liczby k ryteriów (od 6 w zw y ż), frakcja ta sięga p on ad 80% , jednakże różn ice w liczbie n iezg o d n y ch ankiet dla 6, 7, i 8 k ryteriów są b ard zo niewielkie (W 6 = 83,02% , W 7 = 83,33% , W 8 = 85,29% ).
Tabela 3
W yniki b a d a ń dla poszczególnej liczby k ryteriów jako frakcja ankiet CR>0,10
5 kryteriów 6 kryteriów 7 k ryteriów 8 kryteriów Liczba ankiet p o p raw n ie
w y p ełn io n y ch (Nn) 107 106 108 102 Liczba ankiet z CR > 0,10 (N nf 73 88 90 87 Frakcja ankiet z CR > 0,10 (W n) 68,22% 83,02% 83,33% 85,29% 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
Źródło: Opracowanie własne. 0 A cc o . c o -o ■O O 6 7 Liczba kryteriów
Wyniki p ow y ższeg o ek sp erym en tu skłoniły au to ró w do zad an ia sobie p yta nia, jakie w yniki o trzy m am y p rzy niższej liczbie kryteriów . D latego też p rz e p ro w ad zo n o ek sp erym en t uzupełniający, k tórego celem było zb adanie, jak w ysoka jest frakcja n iezg o d n y ch p orów n ań w przypadku 3 kryteriów. Jako b ad an y obiekt w yb ran o sklep sp ożyw czy, k tóry był an alizow an y ze w zględ u n a trzy kryteria: — Szybkość obsługi,
— ł a tw o ś ć dojazdu, — W ybór produktów .
Wyniki pokazały, że dla 108 p op raw n ie w yp ełnionych ankiet frakcja n iezg o d n y ch ocen, obliczona n a podstaw ie w yżej p rzed staw io n ego w zoru , w yniosła aż 52,78% . R ozkład w spółczynnika C R został n atom iast p rzed staw io n y n a rys. 7.
:
=
n
40% - 35% - 30% - 25% - 20% - 15%- 10%- 5% 0%Źródło: Opracowanie własne.
Rys. 7. R ozkład w spółczynnika CR dla 3 k ry terió w (przedział 0,05)
6. W N IO S K I ^ ■ o -ł '
W niniejszej p racy p rzed staw io n o, n a pod staw ie b ad ań em p iryczn ych , skalę w y stęp ow an ia jed n eg o z głó w n y ch p roblem ów zw iązan y ch ze stosow an iem m etod A H P /A N P a m ianow icie tru d n o ść w uzyskaniu z g o d n y ch (spójnych) w yników , n a w e t p rzy niewielkiej liczbie p o ró w n y w a n y ch elem entów . Początkow e założe nie, że dla liczby k ryteriów większej od 5 liczba sp rzeczn ych (niezgod n ych ) ocen będzie b ard zo w ysoka (w iększa od 30% ), zostało p otw ierd zon e. Co w ięcej, b ad a nia w ykazały, że b ard zo w ysok a frakcja n iesp ójn ych odp ow ied zi (p o n ad 50% ) w ystęp u je ju ż p rzy analizie 3 kryteriów , n atom iast w p rzy p ad k u 8 k ryteriów p rzek racza 80% . R ezu ltaty ek sp ery m en tu p ok azały ró w n ież, iż w p rzypad k u
większej liczby k ryteriów różn ice w e frakcji liczbie n iezg o d n y ch ankiet dla 6, 7, i 8 k ryteriów są b ard zo niewielkie. K onieczne są z a tem dalsze bad an ia w ty m za kresie, w szczególności biorąc p o d u w ag ę takie czynniki, jak:
a) w ielkość próby; celem uzyskania m iarod ajn ych w yników , b adania n ależy p o w tó rzy ć n a większej próbie,
b) d ob ór an k ietow an ych do b adania; w p rzed staw io n ych ek sp erym en tach , na pod staw ie b adania nielosowej p róby krakow skich stu d en tó w w nioskow ano o całej populacji,
c) w ielkość ankiety; p rzep ro w ad zan a ankieta była zbyt obszerna, g d y ż ocenia jący o trzy m y w ał je d n o ra z o w o p o n a d 20 stron (na każdej stronie były trzy p orów n an ia), co m ogło p o w o d o w a ć zm ęczen ie i w konsekw encji „losow e" odpow iedzi.
Biorąc p o d u w ag ę p o d staw o w ą w łaściw ość op eracyjn ą m eto d y A H P jaką jest gen erow an ie n iesp rzeczn y ch w yników , problem ten w y m a g a dalszych b ad ań i precyzyjnego zdefiniowania w arunków , p rzy których m etod ę tę należy stosować.
B IB L IO G R A F IA
A dam us W 2006. Wejście Polski do strefy euro w ujęciu korzyści, kosztów, szans i ryzyka, [w:] N ow e w y z w an ia w z arząd za n iu organizacjam i (red. W A dam us), Acta Academiae Modrewianae, K raków 2006.
A dam us W , Lasak P 2010. Zastosowanie m etody A H P do wyboru umiejscowienia nadzoru nad rynkiem finansow ym , Bank i K redyt, 41(4): 73-100.
A karte M.M. et al. 2001. Web based casting supplier evalu- ation u sin g A nalytic hierarchy process, Journal of th e O p eratio n al R esearch Society, 52(5): 511-522.
Alonso J.A., Lam ata M.T. 2005. A Statistical Criterion o f Consistency in the A nalytic Hierarchy Process, [w:] V Torra et al. (Eds.), MDAI 2005, pp. 67-76, Springer-Verlag Berlin H eidelberg.
Alonso J.A., Lam ata M.T 2006. Consistency in the analytic hierarchy process: a new approach, In te rn a tional Jo u rn al of U ncertainty, Fuzziness a n d K now ledge-B ased System s, 14(4): 445 - 459. A postolou B., H assel J.M. 1993. A n empirical examination of the sensitivity of the analytic hierarchy pro
cess to departures from recommended consistency ratios, M athem atical a n d C o m p u ter M odeling, (4/5): 163-170.
A postolou B., H assel J.M. 2002. N ote on Consistency Ratio: A Reply, M athem atical a n d C om puter M odeling, (35): 1081-1083.
Arbel A., O rg er Y.E. 1990. A n application of A H P to bank strategic planning: The merger and acquisitions process, E u ro p ean Jo u rn al of O p eratio n al R esearch, 48(1): 27-37.
Badri M. 1999. C ombining the A H P and GP for global facility location-allocation problem, Intern atio n al Jo u rn al of P rod u ctio n Econom ics, 62(3): 237-248.
Belton V, G ear t 1983. O n a shortcoming of Saaty's method o f analytic hierarchies, O m ega, 11(3): 228-230. B eynon M.J. 2005. A method of aggregation in D S /A H P for group decision-making w ith the non-equivalent
importance of individuals in the group, C om p u ters a n d O p erations Research, 32: 1881-1896. Costa J.F, W anderley A.J.M., C osenza C.A.N. 2006. A p ro p o sitio n to solve inconsistency problem
in decision m atrices u sin g genetic algorithm s, th ird In tern atio n al C onference o n P roduction R esearch — A m ericas' R egion 2006 (ICPR-AM06).
Ergu D., Kou G., P eng Y., Shi Y. 2001. A Simple M ethod to Improve the Consistency Ratio of the Pair-wise Comparison M a trix in A N P , E u ro p ean Jo urnal of O p eratio n al Research, In press.
Finan J.S., H urley WJ. 1997. The A nalytic Hierarchy Process: Does adjusting a pairwise comparison matrix to improve the consistency ratio help?, C om puters a n d O p eratio n s R esearch, 24(8): 749-755. F o rm an E., P eniw ati K. 1998. Aggregating individual ju d g m en ts and priorities w ith the A nalytic Hierar
chy Process, E u ro p ean Jo u rn al of O p eratio n al R esearch, 108: 165-169.
H o ld er R.D. 1990. Some Comments on the A nalytic Hierarchy Process, The Jo u rn al of th e O perational R esearch Society, 41(11): 1073-1076.
C hin K.S., C hiu S., Tumm ala VM.R. 1999. A n evaluation of success factors u sin g A H P to im plem ent ISO 14001 based E M S , In tern atio n al Jo u rn al of Q uality & Reliability M an ag em en t, 16(4): 341-361. C hu P, Liu J.K.-H. 2002. P Chu and Note on consistency ratio, M athem atical a n d C o m p u ter M odeling,
35: 1077-1080.
Lai V, W ong B.K., C h eu n g W 2002. Group decision m aking in a multiple criteria environment: A case using the A H P in the software selection, E u ro p ean Jo u rn al of O p eratio n al R esearch, 137(1): 134-144. Miller D. 1956. The Magical N um ber Seven, Plus or M in u s Two: Some Limits on O ur Capacity for Process
in g Information, The Psychological Review, 63: 81-97.
Perez J., Jim eno J.L., M okotoff E. 2001. A nother potential stro n g shortcoming of A H P (h ttp ://id eas. repec.org/p/alc/alcddt/8-02.htm l).
Saaty T 1994. Fundamentals of Decision M a kin g and Priority Theory w ith the A nalytic Hierarchy Process, P itssburgh, PA: RWS Publications.
Saaty T.L. 1996. Decision M a k in g for Leaders: The Analytical Hierarchy Process for Decisions in a Complex World, The A nalytical H ierarchy Process Series, 2: 71-74.
Saaty T 2001. The seven pillars of the analytic hierarchy process, (w w w .creativedecisions.net).
Saaty T. O zd em ir M. 2003. W h y the magic number seven plus or m inus two, M athem atical a n d C om p u te r M odeling, 38: 233-244.
Saaty TL. 2008. Relative M easu rem en t a n d Its G eneralization in D ecision M aking W hy Pairwise C om parisons are C entral in M athem atics for th e M easu rem en t of Intangible Factors The A na lytic H ierarchy/N etw ork Process, RACSAM Rev R. Acad. Cien. Serie A. M at., 102(2): 251-318. S ingpurw alla N ., F orm an, E., Z alkind D. 1999. Prom oting shared health care decision m aking u sin g the
analytic hierarchy process, Socio-Economic P lan n in g Sciences, 33(4): 277-299.
Solms, S. 2009. Hom ogeneity and choice aggregation in the analytic hierarchy process, ISAHP, P ittsburgh, Pennsylvania, USA, 29 July-1 A ugust 2009.
S tefanów P, P rusak A. 2011. Badanie wiarygodności i skuteczności skali porównań Saaty'ego w metodzie A H P i A N P , Przedsiębiorcze aspekty organizacji i biznesu, p o d red. A. C hodyńskiego.
Szczypińska A., P iotrow ski E.W 2009. Inconsistency o f the ju d g m e n t m atrix in the A H P method and the decision maker's knowledge, Physica A, 388: 907-915.
Tung S.L., Tang S.L. 1998. A comparison of the Saaty's A H P and modified A H P for right and left eigenvec tor inconsistency, E u ro p ean Jo u rn al of O p eratio n al R esearch, 106: 123 128.
Vaidya O.S., K um ar S. 2006. Invited R eview A nalytic hierarchy process: A n overview of applications, E u ro p ean Jo urnal of O p eratio n al Research, 169: 1-29.
Saaty TL., Vargas L.G. 1982. The Logic of Priorities, K luw er N ijhoff P ublishing, M assachusetts. W atson S.R., Freeling A.N.S. 1982. Assessing A ttribute Weights, O m ega, 10: 582-583.
W eathers D., S harm ab S., N iedricha R.W 2005. The impact of the num ber of scale points, dispositional factors, and the status quo decision heuristic on scale reliability and response accuracy, Jo urnal of Busi
ness Research, 58: 1516-1524.
W ebber S.A., A postolou B., H assel J.M. 1996. The sensitivity of the analytic hierarchy process to alterna tive scale and cue presentations, E u ro p ean Jo u rn al of O perational R esearch, 96: 351-362. W eber M. 1997. Remarks on the paper “O n the M easurem ent of Preferences in the A nalytic Hierarchy Pro
