Badanie poziomu efektywności technicznej i kosztowej jednostek gospodarczych metodą DEA

Pełen tekst

(1)Artur. Prędki. Katedra EkonometrII. •. •. pOZIOmU tec .cznej i kosztowej jednostek gospodarczych metodą DEA l. Wprowadzenie Celem niniejszego opracowania jest przedstawienie podstaw teoretycznych i wybranych zastosowań metody DEA (ang. Data Envelopmellt Analysis) , dotyczących badania poziomu efektywności technicznej i kosztowej jednostek gospodm·czycl1. Jest to metoda deterministyczna wykorzystująca elementy programowania liniowego. Jej początki datuje się na koniec lat siedemdziesiątych, kiedy to ukazał się artykuł żródłowy A. Chamesa, W.W. Coopera i E. Rhodesa [1978] dotyczący sposobu pomiaru efektywności technicznej jednostek gospodarczych. Metoda DEA stosowana jest do analizy efektywności technicznej, alokacyjnej, kosztowej i przychodu zarówno obiektów nie zorientowanych na zysk (Iloll-profit) (np. szkoły, szpitale - [Fried, Lovell, Schmidt 1993]), jak również jednostek, których głównym celem działania jest osiągnięcie maksymalnego zysku (np. banki [Oral, Yolalan 1990]), farmy [Wang 1997]) lub minimalnego kosztu (np. administracja [Fried, Lovell, Schmidt 1993], kopalnie [Bymes, Fare 1987]). W związku z tym pojawiło się zapotrzebowanie na pomiar poziomu efektywności kosztowej, przychodu i zysku. W metodologii DEA zaowocowało to powstaniem szeregu nowych modeli liniowych, które definiowałyby odpowiednie mierniki ([Fare, Grosskopf, Lee 1990], [Oral. Yolalan 1990]). Skonstruowano także modele służące do pomiaru efektywności alokacyjnej oraz efektywności skali ([Banker , Chames, Cooper 1984 J), jako że zagadnienia te są ściśle związane z osiąganym kosztem, przychodem czy zyskiem. Pojawiły się także elementy analizy przekrojowo-czasowej (np. zmiany efektywności technicznej w czasie - [Fare, Grosskopf, Norris, Zhang 1994]). W literaturze przedmiotu spotykamy się także z problemem stałych i zmiennych czynników produkcji związanych z analizą krótko- i długookresową [Wang.

(2) Artur. Prędki. 1997] . Obecnie. po ponad dwudziestu lalac h zakres zast osowań melod y DEA jest znaczny, a kierunki dal szych badań różn orod ne (bibliografia prac dotyczą cych DEA liczy ponad pięćset pozycji , patrz ISe iford 1996]). W Pol sce metoda ta pojawi la si ę w literaturze naukowej dopiero z końce m lat d ziewięćdziesi ątych ([Rogowski 1996], IKopczewski 1999], IGospodarowicz 2000)). 2. Technologia,. efektywność. techniczna I alokacyina. Metoda DEA wykorzystywana jest do badania poziomu efektywności grupy II obiektów. Zaklada się, że dane są ilości m nakl adów i wytwarzanych s produktów. Uwzględniając powyższe, jednostkę gospodarczą m ożn a przedstawić w postaci wektora nakładów i produktów (X, gdzie) = l, .. ., II oraz Xj = lXIi ' "" X,,), Yj = [Y'j' ... , Y'j ] , Zakłada się, ż~ obiekt y tc charakteryzuj~j się jednorod n ą teChno logią , d zięki czemu możliwc staje si" ich wzajemne porównywanie m.in . pod wzg l ędem poziomu efcktyw nośc i technicznej . Technologia zostanie zdefiniowana za pomocą zbioru możli wośc i produkcyjnych T = {(X, Y): y m ożna u zys kać z X}. Przyj mujemy dalej , i ż zbi ór ten s pełnia cztery poniższe aksjomaty [Banker , Chames, Cooper 1984]:. n,. l . Wypukło ść zbi oru możliwo śc i produkcyjnych: J eś li (Xj ' Y) E T, to [\fAJ > O: L j\ = l, (Lj\Xj' L j \ Y) 2. Postulat nieefektywności: a) J eś li (X. Y) E T /\ K > X, to (X, Y) E T; b) Jeś li (X. Y) E T /\1::< y, to (X,D E T.. E. T. gdzie) = I, ... , 11].. 3 . Nie ogra nic zoność radialna zbioru T: J eśli (X, Y) E T , to (kX, kY) E T, \fk > O. 4. Minimalność rozszerzenia: T jest to część wspólna wszystkich zbiorów I oraz takich , że : (Xj , Y} E I,) = l, ... , II .. spe łni ającyc h. aksjomaty ł - 3. W zapi sie aksjomatów oraz później szych defini cj i i twierdzen uży to notacji wektorowej w cel u skrócenia zapi su. Wykorzystano rów nież definicje działań algebraicznych na wektorach, tzn .: - mnożcnie wektora przez li czbę , np . kX = (h" "' , lu",), - dodawanie wektorów, np. L j\ Xj = (1. j \x ,)' .. ., LjAi X",). Odpowiednio nale ż y również rozumieć relacj~ nierówności pomiędzy wektorami (po współrzędnych):. x >X ~. \j. i = l, .. o,I11:.J.i ~ Xi '. Ak sjomat l mówi, że kombinacje wypukle ob iek tów ze zbioru T również należą do tego zbioru, czyli są technologiczni e os i ąga ln e (za ło żenie wypukło śc i technologii - patrz [Varian 1997, s. 333]. Innym i slowy, zakl ada się, że jest.

(3) Badanie. c.c=-"-"-'. :. technicz nej i. technologicznie moż liwe osi',gnięcie wartośc i pośredni c h nakładów i produktów w zbiorze T. Aksjomat 2 stwierdza . że jeże li z nakł adów X można uzyskać produkty Y, to tym bardziej można to zrobi ć przy w i ęk s zej ilo śc i nakładów. Z drugiej strony z nakladów X bez problem u można wytworzyć mn i ej szą ilo ść produktu niż obecnie (z alożenie m o n oto ni cz n o śc i technologii - patrz [Varian 1997. s. 333]. Aksjomat 3 zaklada . iż proporcjonalne zmiany w ilo ś ci wszystkich nakladów um ożliwiają identyczną proporcjonalną z mianę w ilości wszystkich produktów. Aksjomat ten jest równ oważny za loże niu z góry stalych, globalnych efektów skali, o czym będzie mowa w dalszej c zęśc i pracy. Aksjomat 4 postuluj e wzięcie pod uwagę najmniej szego ze zbiorów spełniających aksjomaty 1-3. Dokladną postać zbioru T. spelniającą powyższe aksjomaty, przestawiono w definicji 2.1.. Definicja 2.1 (X, Y) E T <=> 3Aj > O: X > 'i}'j Xj " Y ~ Lj Aj Yj ,. j = l , ... , II.. spełnia wszystkie powyższe aksjomaty i posiada jasną interpretacj ę ekonomiczną. Jest to zbiór , którego elementami s ą badane obiekty , a jego brzeg, czyli obiekty efektywne technicznie, stanowią niektóre , nieujemne kombinacje liniowe tychże obiektów. zwane "wzorcami" technicznymi. Są one bowiem wzorcami postępowa ni a dla jednostek tworzących wnętrze zbioru T, które uznawane są za nieefektywne techn icznie i dla których co najmniej jedna nie rów no ść z definicji zbioru T jest silna.. Tak zdefini owany zbiór T. Podajmy teraz definicję efektu skali, który charakterystyk technologii.. będzie jedną. z podstawowych. Definicja 2.2 Technologia przejawial: - staly efekt skali (CRS) <=> 'Ik > O: T = kTo - ni erosO<lcy efekt skali (NIRS ) <=> 'Ik E (O, I] : T;J kT <=> 'Ik > l: T c kTo - ni e mal ejący efekt sk ali (NDRS) <=> 'Ik E (O , I] : T <;;;, kT <=> 'I k > l: T C) kT. Warto podkre ś li ć, iż na mocy aksjomatu 3 zbiór T z defini cj i 2. 1 s pełnia rów ność T = J.IT, dla każdego J.I > O' . Oznacza to , że defi niując technologię zakł ada s i ę z góry rodzaj efektów skali . Jest to charakterystyczne dla tej metody badania efek tyw nośc i . Wprowadzając odpowiednie nierów no śc i co do sum y współczynników kombinacji , można wprowadzić defini cję nierosnącego i niemalejącego efektu skali.. ] CRS - cO I/Slam return to scale: NIRS - nOI/ increasil/g retUnl ro scale: NDRS - non Jecreas;lIg r erum to scale. 2 Zbi ór z definicji 2.1 jest więc oznaczany przez T(CRS ) w lite raturze dotycZi}Cej tej metody..

(4) Artur. Pr ędki. Definicja 2.3. (X.Y) E T(NIRS) <=> 3Aj > 0:"0 \S I . X> L j\ Xj.Y < L jAJj' j=I .. .. • I1. (X. Y). E. T (NDRS) <=> 3Aj >0: L .1.1 A ~ I. X> L),X. Y< L·A . Y.. j= I ....• // . J11 1 .11. Z czasem uchyl ono krępujący aksjomat 3. co zaowocowalo powstaniem modeli . w których za kłada się zmie nn y efekt skali [Banker. C hames. Cooper 1984] . Dzięki temu możliwe stało s ię badanie efektów skali. którymi charakteryzuje się dana jedn ostka gospodarcza . ich typ nie był bowi em z góry zał ożo ny. Oto kolejna. zmieni ona definicja zbioru T: Definićja. 2.4. (X. Y) E T(VRS) <=> 3A; ~ O : LjA; S I . X> LjAj Xj • Y < L j)'j Yj • j= I . .... /l . Obecnie ta postać zbioru T (spełniaj ąca jedynie aksjomaty 1.2 i 4) jest naj czę ściej stosowana i w dalszej części pracy nazwą "zbiór możliw ośc i produkcyjnych" będzi e s ię okre ś lać zbiór T(VRS)' . Kolejn ym. podstawowy m pojęc i e m . śc i ś le zw i ąza n y m z poprzednimi poj ę ci ami jest efektywn ość techniczna. Def/l1icja 2.5. jako efektywny tec hnicznie względem nakład ów. jeśli niem ożliwe jest proporcjonalne zmniejszenie iłośc i wszystkich jego nakładów X i jednoczesne utrzymanie iłości produktów Y. Defini cja ta wykorzystana jest m.in. w pracy M.J. Farrella [1957]. gdzie zdefini owane są równi eż mierniki efektywności. Na podstawie tej definicji . na gruncie programowani a liniowego. zbudowano miarę efektywności technicznej zorientowaną na nakład y . Obiek t (X. Y). okre ś la s ię. Definicja 2.6 ETN = min{ 8 ~ O:. (ex. Y) E D.. gdzie (X . Y) jest dowolnym obiektem. którego efe kt yw ność techniczna jest badana . Minimum istnieje. poniewa ż zbiór jest domknięt y i ograniczony od do lu (dowód - zob . [Fare. Grosskopf. Lovell 1994]). Miara ETN nal eży do przed ziału [O. I] i jest równa I . gdy obiekt n al eży do brzegu zbioru T. czyli jest efektywny technicznie. a mniejsza niż I . gdy obiekt niejest efektywny. Warto również zwrócić uwagę . iż miara ta jest niezmi enni cza wz g lęd e m przyjętyc h jednostek nakładów lub produktów. Powy ższa definicja jest rów noważna następujące mu programowi liniowemu :. :\ V R S - varia ble return 10 sw le . I1ustr:Jcje gra ficzne zw ią za ne w pracy IFricd. Lovell , Schm id( 1993J .. I.C. zbiorem T można znal eić.

(5) i kosztowej. ... Budanie. ETN = minO. P.l. ex >- "'. L.J A·J X.J' Y < - "' ~J.A· J YJ' '" L.J i,J = l ' 0>0, \;::O,j = l , ... ,11. Obiekt (Q'X, Y) jest efektywny technicznie , ponieważ minimum po zbiorze domkniętym osiągane jest na jego brzegu (O' jest warlością optymalną O uzyskaną w wyniku rozwiązania P.l). Czy jednak możliwe są dalsze zmiany nakła dów , tyle że nieproporcjonalne? Aby od powiedzieć na to pytanie, należy najpierw podać definicję efektywności alokacyjnej.. Definicja 2.7 Obiekt (X, Y) określa s ię jako efektywnyalokacyjnie, gdy jest on efektywny tec hnicznie oraz niemożliwe są dalsze, nie proporcjonalne zmian y w iloSc i nakładów przy jednoczesnym utrzymaniu ilośc i produktów Y. Rysunek l ma na celu zilustrowanie omawianych pojęć, przy wykorzystaniu przez obiekty tylko dwóch rodzaj ów nakładów.. X,. L(Y). B. o Rys. 1. Ilustracja. pojęcia efek t ywności. X,. technicznej i alokacyjnej. Źród l o : opracowanie własne.. Zbiór L(Y) to zbiór możliwo śc i produkcyjnych T przy ustalonych produktach Y. Dane są dwa, nieefektywne technicznie obiekty A i 8. Ich wzorce techni czne AT, BT znajdują się odpowiedni o na przecięciu półprostych DA i OB z brzegiem zbioru mo żliwości produkcyjnych (proporcjonalne obniżenie nakła dów). O ile punkt AT jest również efektywnyalokacyjnie w myśl definicji 2.7, o tyle punkt BT nie jest jeszcze efektywny w tym sensie . Jego wzo rzec alokacyjny B AL również umieszczono na rysunku ..

(6) Artur. Prędki. Biorąc pod uwagę program liniowy równoważny definicji 2.6, wprowadza się równości do warunków ograniczających tego programu związanych z nakładami, za pomocą zmiennych sztucznych. Jeśli po dokonaniu optymalizacji choć jedna z optymalnych wartości zmiennych sztucznych będzie niezerowa, będzie to oznaczało występowanie nieefek t yw ności alokacyjnej. Powyższa uwaga nie rozwiązuje jednak problemu, jak mierzyć stopień owej nieefektywności alokacyjnej. W literaturze spotyka się dwa sposoby. Pierwszy, z którego modyfikacj i skorzystano w dalszym ciągu rozważań, polega na utworzeniu dwuetapowego zagadnienia programowania liniowego następującej po-. staCI.. Model dwuetapowy addytywny: P.2 Etap I: ETN = mine. ex> '<'AK Y< '<'A Y '<'A = I , L. l l' - L. l .I' L.)) l. l. 8>0' . ,Ą > _ 0'-1 .J , .... n, j Etap II:. Max(I j Fj ej + I, T, s,l ETN· X - e= I J·A.X. Y+s= I J·A.Y. I ·A. ) l' ) l' j l. =I,. Aj > O.i = l . .... 1l; ei • sr ~ O. i = ] . .... m; r = ] ..... s. Drugi sposób pozwala na rozwiąza nie problemu badania efektywności za pomocą bardziej skomplikowanego programu jednoetapowego. Model ze "stalą niearchimedesową": minIe - E(Ije j + I,s,l]. P.3. e ·x- e. =I. e >0. Aj > O.J =. ·AX y+s J J'. 'j. l ..... n; ei , Sr. ~. =I. ·A.J y.l' I J·A.J. 'j. = l,. 0, i = 1, .... m; r = 1. .... s,. gdzie E określana jest jako dostatecznie mała stała dodatnia'. Obie powyższe propozycje mają jednak wady. W modelu dwuetapowym występują trudności zw iązane z arbitralnym doborem wag przy zmiennych sztucznych ej oraz s, IWang 1997] . Natomiast w modelu drugim największe problemy wiążą s ię z odpowiednim doborem owej stałej niearchimedesowej . Wykazano [Wang 1997], że od wiełkości tej stalej zależy nie tylko wartość funkcji celu, ale także istnienie rozwiązania optymalnego programu. Poza tym w obu modelach funkcja celu często nie ma ustalonej jednolitej jednostki miary. Zmienne sztuczne są mierzone w różnych jednostkach jako zmiany niepro-. .; Omówienie Iych modeli mo żna z nale żć np . w pracy D . Wanga 11 997 )..

(7) technicznej i. Badanie. • •. porcjonalne w nakładach i efektach konkretnej jednostki gospodarczej , a w funkcji celu " I one dodawane (ewentualnie z odpowiednimi wagami). Propozycja autora [Prędki 2002) mająca na celu rozwiązanie pow y ższych problemów, jest na s tępująca: wykorzystać model dwuetapowy addytywn y i przyj ąć szczegó lne wagi w etapie drugim. Zakładamy, że dane dotyczące bad anej grupy obiektów obejmują również ceny jednostkowe nakładów (inne dla ka żdej jednostki ) . Oznaczono je przez P = [p" ... . P",J. Ceny te będą wagami w ctapie drugim. Ostatecznie więc do pomiaru poz iomu efektywności alokacyjnej będ z i e s łu żył następujący program dwuetapo wy: P.4 Etap I:. ETN = min e ex> '<' ·A·X. y < '<' .A y. '<' ·A· = I ' - L l l l' - L J J l' L l J. e>o, lej> O,j= l. .... I! . Etap 11 : Max(L;p;e). ETN · X-e>"' .A. X . Y < '<' .Ie . Y., '<' .A. = I ' - L l J J' - L.,;l J l L j J Aj > 0, e i. E. R, j. = 1, ... . n; i = l, ... , m.. Zalety takiej innowacji są następujące: l. Funkcja celu w etapie drugim nie tylko posiada jednolitą jednostkę, lecz równie ż klarowną interpretację ekonomiczną. Jej wartość optymalna określa, jakie są mak symalne oszczędności uzyskane przez obiekt (efektywny technicznie po etapie pierwszym) na zmianach nieproporcjonalnych określonych przez wektor .,Iuzów" (slack s) oznaczony literą e. 2. Poprzez wprowadzenie cen występuje śc i s ły związek z problemem minimalizacji kosztów i jej pomiarem, co jest naturalne w analizie (mikroekonomicznej) zachowania jednostki gospodarczej. Teraz można już zdefiniować pewną miarę efektywności ałokacyjnej obiektu .. Oefinicja 2.8 Addytywna miara. efektywności. alokacyjnej :. EA A = I -. L. p . . e' " , Lp· " . x ,·. Suma w mianowniku oznacza koszt rzeczywisty badanego obiektu O. natomiast licznik to maksymalne oszczędności na zmianach nieproporcjonalnych nakład ó w. czyli optymalna wartość funkcji celu z etapu drugiego powyższego programu (ei oznacza wartość optymalną zmiennej eJ Miara EA A należy do prze d z iału [O, J) oraz jest niezmiennicza ze wzgl ędu na jednostki nakładów i produktów (podobnie jak poprzedni miernik ETN)..

(8) ArTUr. Prędki. 3. Miernik efektywności kosztowe I I lego zwlqzek z miarami efektywności technicznel I alokacyinel W poprzednim punkcie do rozważali włączono ceny nakladów i wykorzystan o tradycyjną formulę kosztu w celu kon strukcji miary efektywności alokacyjnej . Przejd źmy zatem do pojęcia efektywn ości kosztowej. DeJiniGja 3.1 Obiekt okre ś la się jako efektywny kosztowo . gdy nic jest mo ż liwa technologicznie zmiana jego nakładów. która spawodowałaby ob niżkę kosztów rzejednaczesnym utrzy maniu ilo śc i produktów na tym czywistych .jednostki. przy . sam ym pozIomIe. Z powyższej definicji wynika sposób pomiaru efektywnaści kosztu w metod zie DEA. Definicja 3.2 Miara efektywności kosztu abiektu. eX. Y):. n. min{P o X ' : (X", Y) E EK = - - - -- - - -. p oX. P oznacza wektor danych cen nakł adów badanej jednostki. Podobnie jak dwi e omówione wcześniej miary ma ona własność niezmienniczośc i względem jednostek nakładów i produktów . a jej wartość należy do przedziału [O. l]. W mianawniku znajdują się koszty rzeczywiste badanego. abiektu, a w liczniku podana jest formuła na koszty minimalne odpowiadające nieznanym " nakładom idealnym" X '. Definicję 3.2 można zap isać równoważnie za pomocą odpowiedniego programu liniowego: P.5. EK. ~. min(L p . x.,) I. I. I. LP' " . x, X" :2: LLX, y < LA Y, L·),· = I. 'J.l J .I i . ! .Ii. X" >O , Aj>O,.i = I , ... , 11 . W pracy tej wykażemy ścis ły związek występujący pomiędzy tak zdefiniowanymi miarami efektywności technicznej. kosztu i alokacji. Twierd zenie 3. 1. EA A = I - (ET" - EK). Powyższy. wzór byl przez wiele lat traktawany w literaturze doty cząc ej metody jako definicja addytywnej miary efektywności alokacyjnej [Fare. Grosskopf, Lovell 1994] . Tak więc definicja 2.8 miary EA" jest równoważ na tej powszechnie używanej definicji ujętej w pastaci twierdzenia 3.1. Warto zwróc i ć uwagę , iż.

(9) Badan;e pnz;omu efekrywno.\'ci tcclm;c::'l1ej ; ko.\'ztmvej. ... wspomniana wc ześni ej własność EA" E [O, l] jest równowa żn a własności EK < ~ ETN . Dowód tej ni e ró wności zostanie podany w dalszej części pracy. Istnieje także multiplikatywna miara efektyw ności alokacyjnej definiowana w literaturze [Fare , Grosskopf, Lovell 1994] ró wn ież za pomoc,! miar ETN oraz EK. D efinicja 3.3 Multiplikatywn a miara. efektywn o śc i. alokacyjnej:. miara EA,II również nal eży do przedzialu [O, l) (E K < ETN ) oraz jcst niezmiennicza ze względu na jednostki nakladów i produktów. Miarę t ę także można obli czyć za pomocą, rów n oważnego defini cji 3.3. programu lini owego : P.6 Etap I: Oczywiście. ETN =min8. eX> "' ~j.A.X. j j ' Y< _ "' ~j.A.Y. j j ' "' L.j .1.j . = 1, 8 > 0 . Aj 20.j= 1• ...• n.. Etap II : Min[L i Pi (ETN. . Xi .. E)]. ET" X . E > '" '"J icJ Y./' '" L.J AJ XJ' Y < - L. L.]A ] = l, H. Aj 20 , Ei > O. j= I , .... n ; i= l .... , 111 . Etap pierwszy tego programu jest taki sam jak w dwuetapowym modelu add ytywnym PA. Dz i ęk i niemu tworzy s i ę ob iekt efektywny tec hnicznie , którego nakłady zmieniane są nieproporcjonalnie w etapie drugim tym razem za pomocą wektora E = [E" ... , Em] o współrzęd ny c h nieujemnych . Jego funkcja j est analogiczna jak wektora .. luzów" e w poprzednim programie . Za pomocą tego programu mo żna ni eza leżnie otrzym ać multiplikatywną miarę efektywności alokacyjnej. o czym mówi poni ższe twierdze nie . Twierdzenie 3.2. wartość opty małną zmiennej Ei z programu P .6. Dowody twierd zeń 3. 1,3.2 oraz własno ści EK < ETN m oż n a znależć w pra[Prędki 2002], j ed nak dła kompł etn ośc i wywodu przytoczono je poni żej .. E; oznacza cy.

(10) Artur. P rędki. DmvJd wlasno,i'ci EK < ETN. Wprowadza s i ę do programu liniowego P5 dodatkowy warunek ograniczający: = Sx; . D z ięki temu otrzymuje s i ę na st ę pując ą modyfikację programu .. x! . wYJscl owego: min(L, P, . Sx,) ,. ex > Lj Aj X;, e>o.LA,. = j. _. I,. A.,J. y:::; Lj Aj Yi ,. ? O,i• = I. ... ,11.. Oc zy wi śc i e minimum tego programu z dodatkowym warunkiem jest większe bądź równe minimum programu wyjś ciowego . Ponadto: min(L, P, . 8x) =. = (L,p ,' x;l min 8. a więc minimalizacja funk cji celu sprowadza się do minimali zacji wspólczy nnika 8. Oznacza to, że program zmod yfikowany jest ró wnoważny programowi lini owe mu P.l , czyli wartość optymaln a wspomnianego współczy nnika 10 ETN . Wykazano w ięc , że:. LP , ' x"1 1 1 A. 10. oznacza.. O. = min(L. p · ' XC) < (Lp' x I.) min 8 = (LP ' . x fo· )ET,... 1 I I l in ,". 11. że : "L,'. p ,. . X i' 0. EK= -=-'-LP , . x " ,. c.b.d.o.. DowJd twierdzenia 3.1. Model P.4 ma s łużyć do pomiaru efektywn ości alokacyjnej w sensie addytywnym . N a l eży więc udowodnić, że:. (L, P, . e;) ---==---,---'-- = I - (ET N - E K) . l -. Lp · . x " ,. Po rozpi saniu tej rów nośc i i kilku prostych przek ształceniach o trzymuje s ię :. L P . e;. ". LP' . ", T· I J Wy starczy. L P . x;o. L , P, (ETN . x . - xi"). LP , . xI I l. LIJ · . x I· I I. = ETN - -:c:-'-,-'- - = ----:::---'-'---. dowieś ć , że:. .. , •., ( .u ') 'r:f l = l ... . ,m :ei =ETN ·x , - Xi <=>Xj = ETN,x . - Ci, , ,. gdzie x;" to optymalna ilość i-tego nakł adu z punktu widzenia minimalizacji kosztów , natomiast ETN . X. to ilość i-tego n akład u gwarantująca efektywność tech ni czn ą· Po wy ższa równość oznacza, że aby otr zymać wielkość nakładów obiektu efektywnego kosztowo, należy najpierw w wyj śc i owych ilościach nakład ów d o k o n ać zmian technicznych i alokacyjnych ..

(11) Badallie E!~~ ~~""':IŚ"~~~~ '---_ -=--''-. '---_ __ _ _ _ _ __. W modelu addytywnym P.4 stosuje zmiennyc h: Etap II ma wtedy. postać:. s ię następnie. jednoznaczni!. zmianę. .. Max[LP(EL· r i - VO)] = Lp e;', . l I IV I l I v. ETN · X - (ETN · X - VO) S Lj"jXJ, Y S V". L/"j Y j. ,. = l, i'J > O, j = l , ... , n (zm ienne decyzyjne).. > O, Lj AJ. Maksymalizacja powyższej funkcji celu jest rów noważna minimalizacji Ostatecznie więc otrzymuje się model: funkcji L ;P;. vr. Min (L ;p ; v7), v"> ~ .A . x. -L.) J J'. =. Y< -. ~ .' . Yl . ,. 4..Jl\,j. I ,Aj . ~ O ,. VO> O, LJ·AJ. ,'=l , .... .. , /L. Jest to model równoważny programowi P.5 , który slu ży do minimalizacj i kosztów . Oznacza to , że: ~o·o. Vi. = Xi. ·. '0. c.b.d.o.. oraz ei = ETN . Xi - Xi .. D owód twierdzenia 3.2. Model P.6 ma s łużyć do uzyskania multiplik atywncj miary alokacyjnej. Wystarczy więc udowodnić, że:. •. L/' , , x, Po rozpisaniu tej. rów ności. efektywności. i kilku prostych. przekształceniach. otrzymuje. "" , p ,.x ,.' o L.J·. L;Pi (xi' Ei). LP = _--,,' ,-,-'' x-,'·c........ ETN. LPX. , , , ~. ~ LP '(X, ' E') = I I I I. 'o L." p. Xi. ". ET. N. Aby. ud o wodnić ostatnią. '0. Xi. .). = L iP; x;· E;' - -- =0. ETN •. z równości, wystarczy. wykazać, że:. '0. \;f i. = l,. ,.. x·I. ... , m: Xi . E; - --'ETN. = O (~. ~. ETN . x . . Ei '. ~o. = X;. ).. się:.

(12) Artur. Prędki. Oznacza to, że wielkość nakładów efektywnych technicznie zm ieniona odpowiednio (za pom ocą " luzów") w celu osiągnięcia efektywn ośc i alokacyjnej powinna być taka sama jak wielkość nakladów efektywnych kosztowo. Dokonu jemy zmiany zmiennyc h: o. Vi. E·, = - --. w etapie II otrzymuje się wtedy: Min (IiPi. v/l,. v" > "'. L ) A) X, J Y< - "L '--) ) Y) ' V. O. ~ 0, I j Aj = I , Aj. > 0 , j = l, ... ,11 (zmie nne decyzyjne) .. Powyższy. program jest ponownie równoważny modelowi P.5, definiujące mu miarę efektywności kosztu. Oznacza to . iż Vi"o ;::; xtO,a tym samym udowod. . mono, ze:. x:O , ETN. 4. Ilustracla graficzna miar. = O.. c.b.d .o.. efektywności. Rysunek 2 ilustruje wszystkie omówione miary na plaszczyźnie. Zaklada się więc z koniecznośc i, iż badane obiekty uży wają dwóch rodzajów nakładów w celu wytworzenia swoich produktów .. x, II L( )'). - - ' - . . -- - - - ...... - ... :. ,~\x l + 1";X 2 = minunkosl l. o Rys . 2. Ilustracja miar omówionych w punktach 2 i 3 Zródło : opracowa nie w ł a s ne ..

(13) Badanie ~~,,-,,-~efir:.e0.k!J')~ 'W~I~lO~.\:~c~i!'.te~c~"':.nI~·c~ZI~le'1'j'-'-i!.!:.~~ ::.:..:._ _ _ _ _ _ _ __. W metodz ie DEA obiekty efektywne techni cznie tworzą pewną lamaną w przestrze ni nakladów , a obiekty nieefe ktywne technic znie leżą " nad" tą lamaną · Niech będ z ie dany pewien obiekt nieefek tyw ny technicznie oznaczony jako A = (x~,X'~,Y'l, .. , )";) . Linie przerywane na rys unku to izokosty dla obiektu A ( w metodzie o toczki danych zaklada się najprostszą, liniową formul9 kosztów). Nato miast L ( Y) to zbiór możliwo śc i produkcyjnych w przestrzeni nakladów (przy ustalonym wektorze produktó w Y). Oznaczmy przez: AT - wzo rzec efektywny technicznie dla ob iektu A, AK - wzorzec efektywny kosztowo dla obiektu A , AK - punkt przec ięcia izokosty związa n ej z minimalnym kosztem z odcinkiem OA . Defin icje miar omówione w punktach 2 i 3 można teraz przedstawić nastę pUjąc o:. IOA']. lOdKI IOAI ; EAM = IOA ' ] ,. EK. =. lOdKI IOAI ; EA A. Id KA'l = I - IOAI. Obiekty te m oż na więc ze sobą porówn ywać, mimo i ż każdy z nich charakte ryzuje się róż nymi cenami czynników produkcj i. Jednostka znajduje się wtedy po prostu na innej izokoście, a mierniki są tworzone względem wspólnego dla wszystkic h obiektów zbioru możliwości produkcyjnych.. 5. Stale I zmienne czynniki produkcll Anali zę jednostki gos podarczej można podzie li ć na dlugo- i krótkookresową· Analiza krótk ookresowa charakteryzuje si9, w przypadku procesu produkcyjnego, uw zg lędni e niem stalych czynników produkcji , w przec iwieństwie do analizy dlugookresowej, kiedy to wszystkie naklad y s~1 z mienne . W modelach liniowyc h u żyw any c h w metodzie DEA mo żna , w bardzo prosty sposób,. przed s tawi~ czynniki , które nie ulegają z mianie w krótkim okresie. Przy kłado wo, poni żej za pi sano postać modelu slużącego do obliczania poziomu efektywnośc i. tec hn icznej , gdzie wektor czynni ków stal ych oznaCzono przez K:. ETN = min e, eX>"'Ax K="'AK Y <"'.), Y "'),= ł , - L.) ) l' L.) .I.1' - ~I ) .!' ~)) 8 > O, Aj > 0, j. = I, .. ., n .. Wprowadzenie równości do odpowiednich warunków ograniczających powoduje , że również wzorzec efektywny techniczni e dla obi ektu O będzie zużywal identyczne wiel k ośc i nakladów uznanych za stale . Analogiczne zmiany można wprowadzić do pozostalych modeli i w ten prosty sposób przejść od analizy dlu-.

(14) Artur. Prędki. gookresowej do analizy krótkookresowej . Dokładną analizę sytuacji krótkookresowej oraz ilustrację empiryczną można znałeźć w pracy [Pręd ki 2002] .. 6. Przykład emplryn:ny 6.1. Uwag i. wstępne. W przykladzie wykorzystano dane rzeczywiste dotyczące polskiego sektora ene rgetycznego z 1995 r. W skład badanej grupy obiektów wchodzą 32 polskie elektrowni e i elektrociepłownie. Za naklad y tych jednostek przyjęto: - kapitał (wa rtość brutto środków trwalych li czona w zl) , - pracę (liczba pracowników). - energi ę wsadu ( li czo ną w TJ). Tabela I . Dane dotyczące polskiego sektora energelycznego (1995 r.) Lp. I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II. 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 75 76 27 28 29 30 31. 32. Kapitał. (:1.1). 4453 039 .7 769796.6 I 408093.0 950768.6 2357441.6 I 152842.6 I 126615,9 95 4 553,0 I 648 63 1,6 I 270206.3 547787,3 6666579,9 828724,3 589864,9 441 469 ,2 378370,8 377 29 1,0 225282.5 332627.9 206713.5 420620 .1 385322.7 322211.3 320969.2 138 156,0 191445.3 163589,9 111 33 1,3 94 102,4 77 688,8 59697,6 65256,9. Praca (I io .ba. Energia. Energia. pracowników). wsadu (TJ). wytworzona (TJ ). 5895 4364 5463 1553 3270 3242 2884 3307 2464 2556 2273 1640 1519 1249 790 1399 11 93. 274 452 158639 63939 86343 98488 793 29 85 11 9 33305 40355 78037 22 71 l. 51 163 48527 22219. 100 749.0 54677.0 51 499,5 34356,7 3399 1,7 33731,4 32 164,4 29404,3 28615,7 28536,7 20160,4 19 731.6 17874,2 16 620.7 16428,7 153 18 ,7 14641.1 12757.9 101 85 ,1. l PS 836 11 38 828 465 503. 24 11 5 32506 37 182 14 444 11 964 23748 16443 2467 1 9274 9216. 528. 12 20 l. 4900,7. 53 7 567 526 420 320 637 336. 7 729 7208 7257 4802 93 16 5 3 13 2393. 4533,9. J?54. Źródło : [Wróbe l-R otl er. Osicwalski 2002].. 10 J 19,2. 9406.5 8 964 ,0 7 9?2 ,1 6530,0 4472,5. 4424,7 39?6,6 3320,9 3153,1. I 939,0.

(15) Badanie poz;omH efektywno.k i. Jedynym prod uktem działalności jedn ostek jest wytworzona energia (liczona w TJ). Dane zestawiono w tabeli I . Rozważono dwie sytuacje ekonomi czne : - zmienne czynniki produkcji , - zmienne i stał e czynniki produkcji. W wariancie pierwszy m wszystkie trzy naklady zostaly uznane za zmienne, dzięk i czemu miary alokacji zos ta ł y policzone za p o m ocą dodatku Sol ver w Excelu (algorytm simpleksowy) wprost z definicji za p o mocą programów P . I, PA-P.6. Rezultaty ob liczeń zostały zestawione w tabeli 2. Tabela 2. Poziom y efek t ywnośc i technicznej, kosztowej i alokacyjnej - zmienne czynniki produkcji Lp. I. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27. 28 29 30 31 32. ćTN. EK. EA A. 1.000 1,000 1,000 1,000 0,680 0,773 0 ,74 7 1,000 0 ,964 0.692 1,000 0,636 0.583 0,975 1,000 0 ,825 0 ,826 1,000 0.968 0,960 0,659 0 ,629 1,000 0 ,860 0 ,818 0 ,760 0 .754 0,89 1 1.000 1,000 1.000 1,000. 1,000 0,938 1,000 0 ,802 0,474 0,689 0,661 0,9 14 0 ,738 0,568 0 ,930 0,272 0.523 0 ,805 0 ,917 0 .7 15 0 ,658 1,000 0.787 0,729 0,597 0,508 0 ,8 15 0,693 0 ,676 0 ,683 0,723 0,816 1,000 0,755 0 ,879 1,000. 1,000 0,938 1,000 0,802 0,795 0,9 16 0 ,9 13 0 ,9 14 0 ,774 0 ,876 0,930 0,636 0,941 0 ,8 30 0 ,917 0 ,89 1 0 .833 1,000 0,819 0.769 0,938 0,878 0,815 0,832 0,858 0 ,923 0,969 0,925 1,000 0,755 0,879 1,000. Żródio: opracowanie w łasne.. EAM. 1.000 0,938 1,000 0,802 0,698 0 .891 0 ,884 0 .9 14 0.766 0,82 1 0,930 0.428 0,898 0.826 0 ,9 17 0.867 0.797 1,000 0.813 0,759 0,906 0,807 0,815 0.805 0 .826 0 ,899 0 ,959 0,9 16 1.000 0.755 0,879 1,000.

(16) Artur. W warianc ie drugim kapitał został uznan y za s t a ł y czy nni k prod ukcj i. Po zio my e fek t yw n ośc i technicznej i kosztowej jednostek zosta ł y więc wyznaczone za p omocą zmodyfikowanych programów lin iowych P.I , PA- P.6. w kt órych dodano warunek ograniczają cy z równ ością (patrz punkt 5 pracy). Rezultaty ob li c zeń zestawiono w tabe li 3. Tabela 3 . Poz iomy efe kt ywnośc i technicz nej. kosztowej i alokacyjncj - zmien ne i s t a łe czynnik i produ kcji Lp. I 2 3 4 5. 6 7 8 9 10. ". 12 JJ 14 15 16. 17. 18 19 20 21. 22 23 24 25 26 27 28 >9. 30 31 32. ETN. EK. EA A. 1.000 1.000 1.000 1.000 Q.7 13 0.758 0.728 I ,0 00 1.000 0.701 1.000 I ,O(JO 0 ,602 0.983 I ,000 0,656 0.645 I ,000 0 ,977 0 .926 0 ,68 1 0,617 1.000 0.8 81 0 ,744 0 .732 0,734 O.R 12 I .om 1,000 I ,om 1,000. IIIUU 1,000 1.000 0.718 0.591 0.644 1l.59 1. 1,000 I .000 I .(lOO 0,7 18 0.878 0 .887 Q,863 1,0 00 (1,980 0 .88 7 0.990 I .000 0 ,965 (J ,98 I I ,000 0,998 0.935 I ,IIUU 0 .9 14 0 ,687 0 ,976 0 ,867 1,000 0 ,986 0 ,8 18 0 ,982 0 ,995 0,957 I ,CKKI 0 .672 I ,lW 1,000. 1,000. 0.980 05 88 0 .990 I .000 0.567 0 ,964 1,000 0,655 0 .580 I .000 0.890 0 ,6 13 0 .657 OA83 1.000 0,8 66 0,563 0 ,7 13 0.729 0.768 I .000 0 .672 1,000 1.000. EAM 1.000 I ,0 00 I mo 0,7 18 0,829 0.850 OJ~. 12. I .noo Q,980 0,839 0,990 I .000 0 .942 0 ,98 1 I .000 0.997 0 ,900 I .000 0.9 12 0 ,662 0.965 0.784 1.000 0.984 0 .7 56 0 .975 0 ,993 0 ,947 I ,(KIO 0.672 I.mo 1.000. Źród ł o: opracowanie własn e .. Dodatkowym . ale rów nie ważnym, rezultatem dokon an ych obi i czeń było otrzyman ie wzorców e fe ktywnośc i kosztowej dla obu rozwa ża n yc h wari antów . W ta belach 4 i 5 zestawiono koszty rzeczywiste i minimalne k ażdego obiektu.

(17) oraz odpowiadające im zużycie poszczególnych nakładów (tzw. nakłady wzorcowe lub idealne). W ostatniej kolumnie znajdują się numery jednostek tworzących wzorzec efektywny kosztowo dla danego obiektu. Tabela 4. Koszty minimalne, Lp. I 2 3 4 5 6 7 8 9 !O II. 12 13 14 15 16 17 18 19. 20 21 22 73 24 25 26 27 28 29 30 31 32. nakłady. Koszty. Koszty. rzeczywiste. minimalne. (zł). (zł). I 5XI 557.4 996516.1 989392,8 704273.B. 1581557.4 934957.2 989392,8 564874.4 556490.0 594145.6 682950.7 535 156,1 462370,5 611 461,9 333319,3 187831.0 263643,0 247234,2 745037,3 229740,7 214590,7 196801.7 140970,8 176177,2 99312,9 111500,0 102654,3 96741.4 92 769,2 53 868,2 55214.4 59337,2 84973,7 63728,5 61 829,7 50524,8. 1173235,8. 862746.8 I 033 844,7 585330,4 626295,0 I 076573,6 358 327,8 690 006,8 503 694.4 307279,5 267114,3 321213.1 325984,5 196801.7 179047,7 241 777.0 166381.9 219660,6 125 999,8 139637,2 137334,0 78851,8 76331,2 72 779,4 84973,7 84384.8 70350,9 50524,8. idealne i numery wzorców - wariant I. Kapitał. Praca (liczba. Energia. Numery. (zl). pracowników). wsadu (T)). wzoreow. 4453040.0 I 604548.0 I 408093.0 884777.8 873635.5 865689.4 817853,9 733596,8 709523,3 707111,7 45 I 409,9 438320,0 381619.5 343354,1 337493,0 303608,2 282923,2 225282.5 187118.8 186139.4 175546,9 168970,3 153485.2 132795,2 108579.9 103 128,3 102215,8 101505.4 94 102,4 85312,04 82876,8 65256,9. 5895.0 5490.9 5463.0 3600.8 3 561.1 3532.9 3362.6 3062,8 2977 .2 2968,6 2058,7 2012.1 1810,3 16742 I 653,3 I 532,7 1459.1 I 254,0 1011.4 I 005.1 937.8 896,0 797,5 666,0 512,0 477,4 471 ,6 467,1 420,0 394.4 387,3 336,0. "74452.0 77 57 I .0 63939,0 42040.7 41574.5 41242.0 39240,3 35714.5 34707,2 34606,3 23 906.4 23358.6 20986,0 193B4.7 19139.5 17721,6 16 856,0 14444.0 II 638.9 I I 566,9 10 788,3 10304,9 9 166.8 7646,0 5866.1 5465.4 5398.4 5346.1 4802,0 4067,9 3864,5 2393,0. {I}. •. { 1.3}. {3 } {3.IS} {3,IS}. {3,18} n.IB} {3,IS} {3,IS} {3.18} {3,IS} {3.18) {3.1 B} n.IB} (3.18) {3,IB} {3.IB} { I R) {18,29} {18,29} {18,29} {18,29} {18,29} {18.29} {18,29} {18,29) {IS.29} {18.29} {29} {29 ,32} (29,32) {32}. Zródło: opracowanie własne.. w tabeli 5, zgodnie z ideą wariantu drugiego, znajdują się rzeczywiste wartości kapitału jednostek (czynnik stały), a koszty minimalne i rzeczywiste to koszty zmienne, czyli nie zawierające kosztów stałych związanych z kapitałem. Warto. zwrócić uwagę, że.

(18) Artur. Tabela 5. Koszty minimalne, Koszty Lp. I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 "9 30 31 32. nakłady. rzeczywiste. Koszty minimalne. (zl). (zl). I 066944,6 782860,6 594947,3 44S 981,5 677996,4 5iO 910.6 SOg 427,0 326799,0 377 995,9 476081,9 206980,0 279598,2 300404,0 168804,8 147634,7 204037,3 210 535,8 125235,0 104449,1 148981,4 107662,? 151612,0 63967,2 78919,5 75407,8 51741,9 51 248,6 52 101,8 52489,0 56205,2 51 264,4. I 066945 782860,6 594947,3 322375 400744,1 329247,3 300 663,3 326799 370483,2 279953,7 204 900 279598.2 170476,5 162810 147634,7 1335642 122 183.1 125 235 93009,17 91 324,2 70756,09 73 257,8 63967,2 68382,92 42420,41 36907,43 37374,02 40040,1 52489 37785,75 51 264,4 26641,1. 26641,1. Prędki. idealne i numery wzorców - wariant II. Kapitał. (zl). Numery. Praca (liczba pracowników). Energia wsadu (TJ). wzorcow. 5895 4364 5463 3179,685 3221 ,427 3611 ,162 3451,853 3307 3143,149 2805,745 2165,174 1640 1561 ,686 1615,(137 790 922,0969 865,3002 1254 799,6139 964,592 657,8454 569,4293 465 444,2162 453,7525 394,273 398,2486 447,7001 420 476,5205 637 336. 274452 158639 63939 44514,61 48998,06 40559,41 38454,93 33305 35969,17 36361,86 22855,36 51 163 22 768.62 19060,16 24 115 21 237,83 20222,26 14444 II 750,52 II 579,98 11196,18 10 798,28 9274 7956,891 5884,923 5448,834 5329,523 5352,379 4802 4544,267 5313 2393. { l} {2} {3} {3,9,15} {3,9,12} {3,8,9} {3,8,9} {8} {8,12} {8,9,15} {3,8,18} {12} {S,9,23} {S,12,23} { 15} {15,18,23} {15.18,23} { 18} {8,18,23} {18,23,29} {8,1223} {8,9 ,23} {23} {12,23,32} {18,23,29} {12,23,32} {23,29,32} {18,23,29} {29} {29.31,32} {31} {32}. 4453039,7 769796,6 I 408093,0 950768,6 2357441,6 I 152842,6 1126615,9 954553,0 1648631,6 I 270 206,3 547787,3 6666579,9 828724,3 589864,9 441469.2 378370,8 377291,0. 225 282,5 332627,9. 206713,5 420620,1 385 322,7 322211 ,3 320969,2 138156,0 191445,3 163589,9 111331,3 94 102,4 77 688,8 59697,6 65256,9. Żródło: opracowanie własne.. 6.2. Int2rpretacja wyników - wariant I Rozważono. najpierw wariant ze zmiennymi czynnikami produkcji (tabele 2 i 4). Obiektów efektywnych technicznie jest w całej grupie 13 (ET,,! = l), z tego 5 jest również efektywna kosztowo, gdyż EK =1 (nr {l, 3,18,29, 32}). Oczywiście szczególne kombinacje wypukłe tych pięciu jednostek stanowią wzorce efektywności kosztowej dla innych obiektów z grupy. Wśród obiektów nieefektywnych kosztowo na uwagę zasługuje 8 jednostek (o nr {2, 4, 8, 11, 15,23,30, 31}), które są efektywne technicznie, lecz nie alokacyjnie. Oznacza.

(19) to, iż w ich przypadku istnieje jedynie możliwość dokonania zmian nieproporcjonalnych w ilości nakładów, których celem jest minimalizacja formuły kosztów całkowitych (EK = EA A = EA M) . Pozostałe jednostki w grupie, w celu osiągnięcia efektywności kosztowej , powinny dokona ć zarówno zmian proporcjonałnych , jak i nieproporcjonalnyc h w ilo śc i poszczególnych nakła dów . Dła jednostek nieefektywnych kosztowo warto śc i miar EK, EA A i EAM znajdują się odpowiednio w przed ziałac h [0,272; 0,938], [0,636; 0 ,969] i [0,428; 0,959]. Lewe krańce przedziałów wskazują na zbyt ni s ką efektywność ko sztową i alokacyjną niektórych jednostek. Warto jednak zwróc ić uwagę, że jednostka nr 12 jest z tego względu obserwacją nietypową, ponieważ to wła ś nie ona zaniża dolne progi efektywno śc i. Pomijając ją, wartości poszczególnych miar nale żą do następujących przedziałów: EK E [0 ,474 ; 0,938], EA A E E [0.755 ; 0 ,969], EAM E [0 ,698 ; 0 ,959] . Poziomy efektywnośc i są jednak dalej bardzo niskie w niektórych przypadkach. Pierwszą przyczy ną takiego stanu rzeczy mogą by ć błędy w danych wykorzystanych w obliczeniach. Dane te są bezpośrednio współczynnikami w warunkach ograniczających i funkcji celu odpowiednich programów liniowych i nawet drobna ich zmiana (zafałszowa nie) może spowodować zmianę optymalnej wartości funkcji celu, a tym samym poziomu którejś z rozważanych miar efektywności. Druga przyczyna, istotna szczególnie w przypadku jednostek nietypowych , to niespełnieni e założenia o jednorodności technologicznej grupy. Jeżeli proces technologiczny obiektu nr 12 służący otrzymaniu produktu (energii) różni s ię zasadniczo od tego, który zachodzi w innych jednostkach, to nie możemy go porównywać z innymi jednostkami w grupie. Wszystkie bowiem mierniki mają charakter względny (porównawczy) i są konstruowane za pomocą zbioru możliwości produkcyjnych T, który wyra ża jednorodność technologiczną grupy rozważanych obiektów. I wreszcie trzecią, choć nie najmniej ważną, przyc zy ną zaniżonych poziomów efektywnośc i może być niekompletność danych . Oznacza to ni e uw zg łędnienie jaki egoś istotnego elementu bądż infomlacji o rozważanym procesie produkcyjnym. Od strony teoretycznej oznacza to pominięcie jednego lub większej liczby warunków ograni czając ych w odpowiednich programach liniowych. Ponieważ funkcje celu we wszystkich programach dotyczących efektywności kosztowej i alokacyjnej są minimalizowane. to dodatkowe (a pominięte ) warunki ograniczające mogą zwiększyć ich wartość . Tym samym poziom miernika może ulec zwiększeniu . W punkcie 63 rozwa żono występowanie s tałego czynnika produkcji (kapitału) i sprawdzono , czy poziomy różne go typu efektywności obiektów ułegły istotnemu zw ięk sze niu . W przypadku odpowiedzi twierdzącej oznaczałoby to, iż występowanie stałe go czynnika produkcji stanowi istotny element procesu produkcyjnego, który został pominięty w wariancie pierwszym . Na koniec przedstawiono dokładniej szą analizę otrzymanych rezultatów na przykładzie wybranego obiektu nr 5 . Jednostka ta jest najbardziej nieefektywna kosztowo (EK = 0 ,474). Wartość miernika oznacza , że koszty rzeczywi ste.

(20) Artur. Prędk i. tego obiektu moż n a by zmniejszyć o ponad połowę, gdyby dokonać odpowiednic h zmian w iłości nakładów. Na kłady wzorcowe (minimalizujące koszt przy zachowanej wi elk ości produkcji ) dla tej jednostki wynoszą:. x; = 873635,5 zł (kapitał), xi = 3561 ,1 osoby (praca) ,. x; = 41574,5 TJ (energia wsadu).. Zestawiono je z XI. wielkością nakład ów. = 2357441,6. zł,. x2. rzeczywistych:. = 3270 osób.. x3. = 98488 TJ .. Jak widać, nakł ady m ożna obni żyć zarówno proporcjonalnie o 32% (ETN = = 0,68), a następnie nieproporcjonałnie , tak iż koszty ca łkowite spadną jeszcze o ok. 30% (EM = 0,698) . Na taką m oż liwo ść wskazuje istnienie wzorca efektywności kosztowej tego obiektu, który nale ży do zbioru mo ż liwości produkcyjnych r(VRS) przy u stałonej produkcji tego obiektu na poziomie rzeczy wistym (y = 33991 ,7 TJ ). Tworzy go kombinacja wypukła obiektów onr 3 i 18. W spółc zy nniki kombinacji to j'3 = 0,54 8 oraz Ais =0,452 . Wskazują one na ud ział poszczegółnych elementów wzorca w całości. 6.3. łnterpretacJa wyników - wariant II. Uznanie kapitału za czynnik stały spowodowało wzrost poziomów efektywności kosztowej i alokacyjnej 17 jednostek, natomi ast nieznacznemu zmniejszeniu uległy poziomy efektywności pozostalych 15 obiektów. Jest to spowodowane pojawieniem się kołejnego, wiążącego warunku ograniczającego z równością. Obiekt poddany zo stał analizie krótkookresowej poprzez wprowadzenie stałego czynnika produkcji . Obecnie liczba obiektów efektywnych kosztowo zwiększyła się do łl (nr{ł , 2,3,8, 12, ł5 , l8, 23,29,3 ł,32}) , aefektyw nych technicznie do 15. Kombinacje wypukłe tych że 11 jednostek s tanowią jak zwykle wzorce efektywności kosztowej dla pozostałych obiektów. Wyjątek stanowi jednostka nr 9, której poziom e fektywności kosztowej choć wysoki (EK' = = 0,98) nie jest równy jeden . Pomimo to obiekt ten stanowi składowe wzorców dla innych jednostek. Oc zyw iście , skoro nie jest on efektywny kosztowo, nie może stanowić wzorca sam dla siebie , lecz jest porównywany z kombinacją wypukłą obiektów o nr. 8 i 12. Warto zwrócić uwagę, że obiekt ten jest jednak efektywny technicznie, co oznacza, iż znajduje się on na brzegu zb ioru m oż li· wości produkcyjnych, a w takim razie może stanowi ć element składowy wzorców wypukłych dla innych jednostek. Jeszcze trzy inne jednostki o nr. 4, 11 i 30 są efektywne technicznie, lecz nie kosztowo. Nic s tanowią one jednak składo wych wzorców inn ych jednostek . Warto przypomnieć, że w celu polepszenia poziomu efektywn ości tego typu obiektów należy dokonać odpowi ed nich zmian nieproporcjonalnych w ilośc i zu żywanych przez jednostkę nakład ów. Pozostałe jednostki w grupie, w celu osi'lgnięcia efektywności kosztowej , powinny dokonać zarówno zm ian proporcjonałnych ,ja k i nieproporcjonalnych w ilości poszczególnych nakładów. Dla jednostek nieefektywnych kosztowo wartości miar.

(21) EK, EA A i EAw znajdują s ię odpowiedni o w przedziałach [0,483: 0,990], [0,672; 0 ,9981 i [0,662: 0,9971 . Jednostka nr 12 , w wariancie I uznana za nietypow ą. z powodu zbyt ni skiego poziomu efe ktyw n ośc i kosztowej , w tym przypad ku jest w pełni efektyw na. Lewe kraJice p rzed zi a łó w wci ąż jednak ws kazują na zbyt ni s ką efekt yw n ość koszto wą i al o kacyj n ą niektórych jednostek. Przyczyny taki ego stanu rzeczy został y ju ż wymienione i omów ione w punkc ie 6 .2 . Na u wagę zasługuj e równi eż obiekt nr 16 , lecz z zupelnie innych powodów . Jest to jedn ostka praktyczni e efektywna al okacyj nie (EA A = 0,998, EA M = 0,997), a mimo to jej efe ktywnoś ć techniczna oraz kosztowa si ęg a zaledwie ok. 65 % (ETN =0,656, E K =0,655) . Oznacza to, że w celu poprawy efektyw ności kosztowej tego obiekt u wys tarczy d oko nać jedynie zmian proporcj ona lnych w ilośc i ponoszonych przez j ednostkę nakł adów . Na koniec przedstawiono, podobnie jak w punkcie 6.2 , do kładniej szą ana li zę otrzymanych rezu ltatów na przykładzi e wy branego obiektu . B ędz ie to ponownie jednostka nr 5 . Jej poziom efekt yw n ośc i kosztowej jest w dalszym c i ą gu bardzo niski (EK = 0,591). Jest to spowodowane g ł ó wni e koniecznością proporcjonalnego obni że nia ilości n ak ł ad ó w rzeczywi stych o ponad 28 % (ETN = 0,7 \3), a n astę pni e dokonania jeszcze pewnych zmi an nieproporcjonalnych , które spo wo duj ą dal sze obn iże ni e kosztów zmiennych o ponad 17% (EA M = 0 ,829). N a kład y wzorcowe ( minimalizujące koszt przy zac howanej w iełkośc i produkcji ) dła tej jednostki wy noszą :. x; = 322 1,4 osoby (praca), x; = 4 8998,06 TJ (energia wsadu). Warto przypo mni eć , że wielkość k a pit ału jako czynnika s tał e go nie ulega zmianie, a celem zmi an jest minimali zacja kosztów zmiennych jednostki . Porównano te il ośc i n a kład ó w z nakł ada mi przedstawionymi w wariancie I (xi = 3561 ,1 osoby (praca) , xj = 41574,5 TJ). Widoczne jest , l,e przy stało śc i k apit a łu pozostałe ił ośc i nakładó w wzorcowych ulegną nieznacznym zmianom . W sytuacji przedstawionej w wariancie li jedn ostka powinna nieco z mniejs z yć il ość n akładu pracy, a zw i ęks zyć używa n ą e nergię wsadu , Warto zwrócić uw agę, iż wszystki e p o w yżs ze wielk ości zostały otrzymane za po mocą wzorca efekty wności kosztowej tego obiektu, który t worzą jednostki o nr . 3,9, 12. W s pó łczy nnik i kombinacji to A; = 0 ,295 , 1.9= 0,549, Ai ~ = 0 ,156. W skaz ują one na ud z i a ł poszczególnych elementów wzorca w całośc i .. 7. Uwagi. końcowe. Metoda D EA poz wala na bardzo szybki e , w porównaniu np . z metodami stochastycznymi, uzy skanie wyników. Rezu ltaty te nal eży jednak traktować z du żą ostrożn ośc i ą (patrz przy kł ad empiryczny). Metodę t ę stos uje s ię najczę śc i ej w sytuacji, gdy nie jest m oż li wy opi s tec hn oł og ii za po m ocą funkcji ana-.

(22) Artur. Prędki. litycznej (np. funkcji produkcji, kosztów) i konieczne staje się konstruowanie zbioru możliwości technologicznych w inny sposób. Może by ć ona stosowana również w celu porównania wyników z innymi metodami analizy efektywności [Prędki 2002]. Za pomocą bardzo prostych modeli można analizować efektywność techniczną , kosztową i alokacyjną jednostek z próby . Przy czym miary te mają charakter względny, tzn. np . poziom efektywności kosztowej otrzymuje się poprzez porównanie kosztów danego obiektu z kosztami otrzymanego wzorca wypukłego . Literatura Banker RD .. Chames A ., Cooper W.W. [1984] , Same Mode/s for E.'iliuUII;lIg Teclmical and Scale IlleJficiencies i/z DEA, "Management Scie nce", vol. 30(9) . Byrnes P., Fi:irc R. [19871. Swface Minill g of Coal: Efficiell cy oj U.S. Interior Min es . "Applied Economics". vol. 19. Chames A .. Coope r W .W ., Rhodes E. r1978], M easuring the E.ffic;ency ofDl'cision Making Units, "European Joumal of Operationa] Research", vol. 2(6). Farc R .. Grosskopf S ., Lee H. [1990J. A Nonparal1ll'tric Approach fO Expenditure-ColIstrained ProJit Maxillli zatioll. "A meri ca n Jo urn al ol' Agricultural Economics", August. Fare R .. Grosskopf S., Lovell C .A.K. [19941, Production Frollliers , Ca mbridge Universiry Press, London . Fare R ., Grosskopf S., Norris M., Zhang Z . (1994], ProduCli vity Growth. Teclmical Progres.\', and Efficien cy Change in Indrtstrialized Coulltries. "The American Economi c Review". vol. 84(1). Farrell M.J. [1957]. Th e Measuremellt of Prodtlctive Efficiency, ..loumaI of the Royal Statistical Society Series A, General", vol. 120(3). Fried H.O., Lovell C .A.K., Schmidt S. r1993 J, The Measuremellt oj Productive Efficiellcy Techniques and AppJicatiolls, Oxford University Press, London . Gospodarowicz M . (2000] , Procedury Qlwlizy i oceny banków. "Materiały i Studia NBP". Kopczewski T . [1999] , Ra(jonalność zachowali balików komercyjnych IV Polsce IV latach 1994-/997, praca doktorska, Uniwersytet Warszawski, Warszawa. Meeusen W., Broeck J . van den [1977] , Elficiem,:y Estimationfrom Cobb-Doug las Production FUI/ctions with Composed Error, "International Economic Revie w", vol. 8. Oral M., Yolalan R. [1 990], An Empirical S'udy on Mea~'uring Operwing Ejjicieflcy and Projitability oj Balik Bral/ches, "European J ouma ł of Operational Re searc h", vol. 46 . Prędki A. 12003], Analiza ejektywllm:ci za pomocą metody DEA : podsIawyjormalnc i ilustracja ekonomiczna , " PrLegląd Statystyczny" , nr 50(1). Prędki A. 120021 . Stale ; Vllienlle czynniki produkcji w badaniu efek tywn ości kosztowej za pomocą metody DEA, "Przegląd Statystyczny", nr 49(3). Rogowski G. [19961, Analiza i ocena działaln ości banków z wykorzystaniem metody DEA, .. Bank i Kredyt", nr 9. Seiford L.M.[1996], DEA: The Evolution ofthe Stare ofthe Art (1978-1995). "Joumal of Productivity Analy sis", vol. 7, No 2/3 . Sueyos hi T. [1997], Measuring Efficien ces alld RelHrns to Scale oj Nippan Te1egraph .... " Management Science" , vol. 43(6). Varian H .L. [19971, Mikroekonomia , Wydawnictwo Naukowe PWN , Warszawa..

(23) Badanie 1!!!!:!.~~~~~~:0-"-:~ ~i~~ ~_. _. _. _. _. _. Wa ng D. [1 997 1.0" the Mew,-urem ellT oj Efficiellcy. The Roya l Veterinary and Agri cullura l University. Denmark . Wróbe l·R oll er R .. Os iewa iski J .j2002], Blł)'esolVski model efektów losowych w analizie efektywHO j:ci ko,\'ztmvej ella przykllldzie elektrowni i elektrm. :ieplo\Vlli polskich), "Przeg l ąd Statystyczny". nr 49(2) .. Research of Level Technical and Cost Efficlency Decision Making Units with the Help of Dea Method This anic ie includes a theoretical basis of the DEA method and applying it to the measurcmem af technical. aJl ocative and cost efficiency of Decision Maki ng Units (DMU). Graphi cal illustrat ions of these measures of efficiency are pre senred and empirical ex ample ot' applying the meth od is given (based on the real data) . The problem of definition return to scal e is mentioned , 100. The question of fixed and variable input s is discussed. T hese problems are connected wirh "piecewise linear" technology, whi ch i5 a base of ope ration of the DEA method ..

(24)