Wykad nr 8 (Rwnanie przewodnictwa cieplnego)

(1)

8 Równanie przewodnictwa cieplnego

Niech Ω ⊂ R3 b¦dzie obszarem. Zaªó»my, »e u(t, x) oznacza g¦sto±¢ pewnej

substancji w chwili t > 0 i w punkcie x ∈ Ω. O substancji tej zakªadamy, »e nie powstaje ani nie znika w obszarze Ω, natomiast mo»e dyfundowa¢ (od miejsc o wi¦kszej g¦sto±ci do miejsc o mniejszej g¦sto±ci). Nie jest te» wykluczone, »e substancja to wpªywa i wypªywa z obszaru Ω na zewn¡trz.

Oznaczmy przez F strumie« substancji.

We¹my obszar ograniczony U, o dostatecznie regularnym brzegu ∂U, taki, »e ¯U = U ∪ ∂U ⊂ Ω. Niech 0 < t1 < t2. Zmiana ilo±ci substancji w U od

chwili t1 do chwili t2 jest równa

Z U u(t2, x) dx − Z U u(t1, x) dx.

Poniewa» substancja ani nie powstaje ani nie zanika w obszarze U, zmiana jej ilo±ci mo»e by¢ spowodowana tylko poprzez przenikanie przez brzeg ∂U. Ilo±ciowo zmiana ta jest równa

− t2 Z t1 Z ∂U hF, nxi dSx dt.

Zakªadamy odt¡d, »e strumie« substancji nie jest bezpo±rednio zale»ny od czasu. Ró»niczkuj¡c równo±¢

Z U u(t2, x) dx − Z U u(t1, x) dx = − t2 Z t1 Z ∂U hF, nxi dSx dt po czasie, otrzymujemy Z U utdx = − Z ∂U hF, nxi dSx.

Po zastosowaniu twierdzenia o dywergencji, jako »e U jest dowolne, dostaje-my równanie

ut= − divxF.

Zaªó»my dalej, »e strumie« jest proporcjonalny do gradientu g¦sto±ci sub-stancji, czyli

F = −a(x)∇xu,

gdzie a(x) > 0, otrzymujemy równanie

(2)

Zaªo»enie, »e a jest niezale»ne od punktu x ∈ R daje równanie przewodnic-twa cieplnego (w skocie równanie ciepªa), zwane te» równaniem dyfuzji:

ut= a ∆xu.

8.1 Rozwi¡zanie fundamentalne równania

przewodnic-twa cieplnego

Rozwa»my równanie przewodnictwa cieplnego w caªej przestrzeni Rn (RC) ut− ∆xu = 0, t > 0, x ∈ Rn,

gdzie szukana funkcja to u = u(t, x).

Zauwa»my, po pierwsze, »e równanie (RC) zachowuje sw¡ posta¢ po pod-stawieniu

˜

x = ax, ˜t = a2t, (a > 0). Zatem, po takiej zmianie, kxk2

t nie zmienia si¦. Rozwa»my rozwi¡zania wykªadnicze

u(t, x) = ei(λt+hx,ξi),

gdzie λ ∈ C, ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn.

Zachodzi ut= iλu oraz ∆xu = −kξk2u, co daje iλ = kξk2, czyli

(8.1) u(t, x) = eihx,ξi−kξk2t,

Otrzymali±my rodzin¦ rozwi¡za«, sparametryzowan¡ przez ξ ∈ Rn_, równa-nia (RC).

Rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe (zagadnienie Cauchy'ego) dla równa-nia przewodnictwa cieplnego na Rn:

(8.2)    ut− ∆xu = 0, t > 0, x ∈ Rn, u(0, x) = f (x), _{x ∈ R}n_.

Od funkcji u »¡damy, by byªa ci¡gªa na [0, ∞)×Rni klasy C2 na (0, ∞)×Rn. Chcieliby±my, by rozwi¡zanie zagadnienia (8.2) byªo zªo»eniem rozwi¡-za« postaci (8.1); mówi¡c bardziej formalnie, by wyra»aªo si¦ jako caªka, po

ξ, rozwi¡za« tej postaci.

Zastosujmy teori¦ przeksztaªcenia Fouriera. Zachodzi

f (x) = 1

(2π)n/2

Z

Rn

(3)

Oczekujemy u(t, x) = 1 (2π)n/2 Z Rn eihx,ξi−kξk2tf (ξ) dξ.ˆ Podstawiaj¡c wzór ˆ f (ξ) = 1 (2π)n/2 Z Rn e−ihy,ξif (y) dy

do powy»szej równo±ci, otrzymujemy

u(t, x) = 1 (2π)n Z Rn eihx,ξi−kξk2t Z Rn e−ihy,ξif (y) dy dξ = = 1 (2π)n Z Rn Z Rn eihx−y,ξi−kξk2tdξ f (y) dy. Zdeniujmy (8.3) K(t, x, y) := 1 (2π)n Z Rn eihx−y,ξi−kξk2tdξ.

Dokonujemy zamiany zmiennych

ξ = i 2t(x − y) + 1 √ tη, czyli η = √ tξ − i 2√t(x − y), co daje

expihx − y, ξi − kξk2t= exp

−kx − yk2 4t e−kηk2. Ponadto dξ = t1/2dη, zatem K(t, x, y) := 1 (2π)nexp −kx − yk 2 4t t−n/2 Z Rn e−kηk2dη. Lecz _Z Rn e−kηk2dη = Z R e−s2ds n = πn/2, wi¦c ostatecznie K(t, x, y) = 1 (4πt)n/2 exp −kx − yk 2 4t .

Powy»ej zdeniowan¡ funkcj¦ nazywamy rozwi¡zaniem fundamentalnym rów-nania przewodnictwa cieplnego (lub j¡drem GaussaWeierstrassa).

(4)

Lemat 8.1. J¡dro GaussaWeierstrassa ma nast¦puj¡ce wªa±ciwo±ci: (a) K(t, x, y) jest klasy C∞ _{na (0, ∞) × R}n

× Rn_. (b) _∂ ∂t− ∆x K(t, x, y) = 0 dla t > 0. (c) K(t, x, y) > 0 dla t > 0. (d) Z Rn K(t, x, y) dy = 1 dla t > 0, x ∈ Rn.

(e) Dla δ > 0 i x ∈ Rn zachodzi lim t→0+

Z

ky−xkδ

K(t, x, y) dy = 0.

Dowód. Cz¦±ci (a) i (c) s¡ natychmiastowe.

Cz¦±¢ (b) wynika z denicji (8.3) i z tego, »e przy takiej regularno±ci mo»na zamienia¢ caªkowanie po ξ i ró»niczkowanie po t lub x.

Aby udowodni¢ (d) i (e), podstawmy y = x + 2√tξ: Z Rn K(t, x, y) dy = 1 (4πt)n/22 n_tn/2Z Rn e−kξk2dξ = 1, oraz _Z ky−xkδ K(t, x, y) dy = 1 πn/2 Z kξk δ 2√t e−kξk2dξ t→0−→ 0.+

Twierdzenie 8.2. Zaªó»my, »e f : Rn _{→ R jest mierzalna i ograniczona.} Wówczas u(t, x) = Z Rn K(t, x, y)f (y) dy = 1 (4πt)n/2 Z Rn exp −kx − yk 2 4t f (y) dy  jest klasy C∞ _{na (0, ∞) × R}n_;  speªnia ut− ∆xu = 0 na (0, ∞) × Rn;

 dla ka»dego punktu ci¡gªo±ci ξ ∈ Rn funkcji f zachodzi:

(5)

Dowód. To, »e funkcja u(t, x) jest dobrze okre±lona, wynika z Lematu (8.1)(c),(d) i z tego, »e f jest ograniczona.

Pierwsze dwie wªasno±ci funkcji u(t, x) wynikaj¡ z Lematu (8.1)(a),(b) i z tego, »e mo»na zamienia¢ ró»niczkowanie po t lub x i caªkowanie po y (gdy

f jest tylko mierzalna, trzeba tu u»y¢ twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci

zmajoryzowanej). Poªó»my M := sup

Rn

|f |. Niech ξ b¦dzie punktem ci¡gªo±ci funkcji f. Dla ε > 0 znajdziemy δ > 0 takie, »e je±li ky − ξk < δ to |f(x) − f(ξ)| < ε.

Pierwszy skªadnik jest równy ε (z Lematu (8.1)(d)), za± drugi skªadnik jest mniejszy od ε dla t > 0 dostatecznie maªych (na podstawie Lematu (8.1)(e)).

Rozwi¡zanie otrzymane powy»ej ma t¦ (niezyczn¡) wªasno±¢, »e zabu-rzenia rozchodz¡ si¦ z niesko«czon¡ pr¦dko±ci¡: niezale»nie od tego jak maªy jest no±nik funkcji nieujemnej f, rozwi¡zanie w dowolnej chwili t > 0 jest wi¦ksze od zera dla ka»dego x ∈ Rn_.

Mo»na wykaza¢, »e rozwi¡zanie otrzymane w Twierdzeniu 8.2 jest funkcj¡ analityczn¡ na (0, ∞) × Rn_.

Inn¡, bardzo wa»n¡ wªasno±ci¡ takiego rozwi¡zania, jest jego ograniczo-no±¢, a dokªadniej inf Rn f ¬ u(t, x) ¬ sup Rn f, _{t > 0, x ∈ R}n

(jest to wniosek z Lematu 8.1(c),(d)).

Twierdzenie 8.2 mo»na uogólni¢ na przypadek, gdy o mierzalnej funkcji

f zakªadamy tylko, »e istniej¡ M > 0 i a > 0 takie, »e |f(x)| ¬ Meakxk2 dla

wszystkich x ∈ Rn_{. Wówczas rozwi¡zanie u jest okre±lone na (0,} 1 4a) × R

(6)

8.1.1 Brak jednoznaczno±ci

Rozwi¡zanie otrzymane w Twierdzeniu 8.2 nie jest jedynym rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego (8.2). Na przykªad, funkcja

x

tK(t, x, 0)

speªnia jednowymiarowe równanie przewodnictwa cieplnego na (0, ∞) × R i, dla ustalonego x ∈ R, d¡»y do zera przy t → 0+_.

Przykªadowi temu mo»na zarzuci¢, »e warunek pocz¡tkowy jest speªniany w zbyt sªaby sposób. Jednak»e, w 1935 Tichonow(1) _{pokazaª, »e funkcja u =}

u(t, x), t ∈ R, x ∈ R, wyra»ona (formalnym) szeregiem pot¦gowym u(t, x) = ∞ X k=0 g(k)_(t) (2k)! x 2k_, gdzie g(t) =      exp −1 tα dla t > 0, 0 dla t ¬ 0,

α > 1, jest dobrze okre±lona, klasy C∞na R×R, i speªnia ut = uxx na R×R. Ponadto, dla ustalonego t ∈ R, funkcja u(t, ·) jest analityczna na R (cho¢ nie jest analityczna wzgl¦dem t: u(t, 0) = 0 dla t ¬ 0 i u(t, 0) 6= 0 dla t > 0).

Funkcja opisana powy»ej (jak i inne funkcje tego rodzaju) maj¡ pew-n¡, bardzo niezyczn¡, wªasno±¢: s¡ nieograniczone z doªu. W 1944 Wid-der(2) _{wykazaª, »e jedynym nieujemnym rozwi¡zaniem równania}

przewodnic-twa cieplnego

ut− uxx = 0, t > 0, x ∈ R,

które d¡»y, przy ustalonym x ∈ R, do zera gdy t → 0+_{, jest funkcja stale}

równa zeru.

8.2 Zasada maksimum dla równania przewodnictwa

ciepl-nego

Niech Ω ⊂ Rn _{b¦dzie obszarem ograniczonym, i niech T > 0. Oznaczmy}

Q := { (t, x) : 0 < t < T, x ∈ Ω }.

Brzegiem parabolicznym obszaru Q nazywamy

∂0Q := { (t, x) : (0 ¬ t ¬ T i x ∈ ∂Ω) lub (t = 0 i x ∈ Ω) }.

(1)_{Andriej Nikoªajewicz Tichonow (19061993), matematyk rosyjski (w j¦zykach} zachod-nich stosowana jest pisownia Tikhonov lub Tychono).

(7)

Twierdzenie 8.3 (Sªaba paraboliczna zasada maksimum). Zaªó»my, »e u jest ci¡gªa na ¯Q, i »e ut, uxjxj s¡ ci¡gªe na Q i speªniaj¡ tam ut− ∆xu ¬ 0.

Wówczas

max

¯

Q u = max∂0_Q u.

Dowód. Zaªó»my, »e ut− ∆xu < 0 na Q. Dla 0 < ε < T oznaczmy Qε :=

{ (t, x) : 0 < t < T − ε, x ∈ Ω }. Funkcja u jest ci¡gªa na zbiorze zwartym

¯

Qε, zatem istnieje (˜t, ˜x) ∈ ¯Qε takie, »e u(˜t, ˜x) = max

¯

Qε

u.

Gdy (˜t, ˜x) ∈ Qε, zachodzi ut(˜t, ˜x) = 0, ∆xu(˜t, ˜x) ¬ 0, co jest niemo»liwe.

Gdy (˜t, ˜x) ∈ ∂Qε\ ∂0_Q_{ε, zachodzi ut(˜}_{t, ˜}_{x) 0}_{, ∆}

xu(˜t, ˜x) ¬ 0, co jest znów

niemo»liwe. Zatem (˜t, ˜x) musi nale»e¢ do ∂0_Q

ε oraz max

¯

Qε

u = max

∂0_Qε u ¬ max_∂0_Q u. Lecz ka»dy punkt (t, x) ∈ ¯Q taki, »e t < T nale»y do ¯Qε dla pewnego ε, i u jest ci¡gªa na ¯Q, wi¦c max

¯ Q u = sup 0<ε<T (max ¯ Qε u).

Zaªó»my teraz, »e ut − ∆xu ¬ 0 na Q. Niech v(t, x) := u(t, x) − αt,

gdzie α > 0. Zachodzi vt− ∆xv = ut− ∆xu − α < 0. Zatem, na podstawie

poprzedniej cz¦±ci dowodu, max ¯ Q u = max ¯ Q (v + αt) ¬ max ¯ Q v + αT = max ∂0_Q v + αT ¬ max_∂0_Q u + αT, i przechodz¡c z α do zera otrzymujemy tez¦.

Zaªó»my, »e u jest ci¡gªa na ¯Q i ma ci¡gªe pochodne ut i uxjxj na Q.

Wówczas ze sªabej parabolicznej zasady maksimum wynika, »e u jest jedno-znacznie okre±lona przez warto±ci ut−∆xuna Q i warto±ci u na ∂0Q. Istotnie,

je±li u1, u2s¡ takimi funkcjami, »e (u1)t−∆xu1 ≡ (u2)t−∆xu2 na Q i u1 ≡ u2

na ∂0_Q_{, podstawiaj¡c w := u}

1−u2 widzimy, »e wt−∆xw ≡ 0na Q i w ≡ 0 na

∂0Q. Stosuj¡c zasad¦ maksimum do w otrzymujemy, »e max

¯

Q

w = 0, a stosuj¡c

zasad¦ maksimum do −w otrzymujemy, »e max_¯ Q

(−w) = 0.

Niech Ω ⊂ Rn _{b¦dzie obszarem ograniczonym. Zagadnieniem} brzegowo--pocz¡tkowym Dirichleta nazywamy

       ut= ∆xu, t > 0, x ∈ Ω, u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω, u(0, x) = f (x), x ∈ Ω.

O funkcji f zakªadamy, »e jest ci¡gªa na ¯Ω, oraz »e f(x) = 0 dla wszystkich

x ∈ ∂Ω (jest to tzw. warunek zgodno±ci).

Z wniosku z parabolicznej zasady maksimum wynika, »e istnieje co naj-wy»ej jedno rozwi¡zanie zagadnienia brzegowo-pocz¡tkowego Dirichleta.

(8)

W przypadku zagadnienia pocz¡tkowego dla równania przewodnictwa cieplnego na caªym Rn _{nie zachodzi jednoznaczno±¢. Jednak»e sytuacja} po-prawia si¦, gdy ograniczymy si¦ pewnej klasy rozwi¡za«.

Twierdzenie 8.4. Zaªó»my, »e funkcja u: [0, T ] × Rn _{→ R, gdzie T > 0,} jest ci¡gªa na [0, T ] × Rn, i »e ut i uxjxj s¡ ci¡gªe na (0, T ) × Rn. Ponadto zakªadamy, »e

(a) ut− ∆xu ¬ 0 na (0, T ) × Rn;

(b) istniej¡ M > 0 i a > 0 takie, »e u(t, x) ¬ Meakxk2

dla wszystkich 0 < t < T i x ∈ Rn;

(c) u(0, ·) jest ograniczona na Rn. Wówczas

u(t, x) ¬ sup

Rn

u(0, ·)

dla 0 < t < T , x ∈ Rn_.

Dowód. Zaªó»my, »e 4aT < 1. Niech ε > 0 b¦dzie takie, »e 4a(T + ε) < 1. Ustalmy y ∈ Rn_{, i zdeniujmy, dla µ > 0,}

vµ(t, x) := u(t, x) − µ 4π (T + ε − t)n/2 exp kx − yk2 4(T + ε − t) =

= u(t, x) − µK(T + ε − t, ix, iy), 0 ¬ t ¬ T. Zauwa»my, »e

∂

∂tK(T + ε − t, ix, iy) = ∆xK(T + ε − t, ix, iy), 0 < t < T + ε, x ∈ R

n_. Zatem ∂ ∂tvµ− ∆xvµ= ut− ∆xu ¬ 0, 0 < t < T, x ∈ R n_. Oznaczmy Ω := { x ∈ Rn: kx − yk < % }, Q := (0, T ) × Ω

(% > 0 b¦dzie ustalone pó¹niej).

Zauwa»my, »e, na podstawie zasady maksimum (Twierdzenie 8.3), zacho-dzi

vµ(t, y) ¬ max

(9)

Dalej, na {0} × ¯Ω mamy vµ(0, x) ¬ u(0, x) ¬ sup Rn u(0, ·) za± na [0, T ) × ∂Ω vµ(t, x) ¬ M eakxk 2 − µ 4π (T + ε − t)n/2 exp _%2 4(T + ε − t) ¬ ¬ M ea(kyk+%)2 − µ 4π (T + ε)n/2 exp _%2 4(T + ε) .

Ostatni wyraz b¦dzie, dla % > 0 dostatecznie du»ych, ograniczony z góry przez sup

Rn

u(0, ·) (przypomnijmy, »e 1/(4(T + ε)) > a).

Wykazali±my, »e

max

∂0_Q vµ ¬ sup

Rn

u(0, ·).

Stosuj¡c paraboliczn¡ zasad¦ maksimum (Twierdzenie 8.3) do funkcji vµ na

Q otrzymujemy vµ(t, y) = u(t, y) − µ 4π (T + ε − t)n/2 ¬ sup Rn u(0, ·).

D¡»¡c z µ do zera, otrzymujemy »¡dany wynik, gdy 4aT < 1.

W przypadku, gdy 4aT 1, dzielimy przedziaª [0, T ] na l podprzedziaªów równej dªugo±ci τ, mniejszej ni» 1/(4a), i wnioskujemy, »e

u(t, x) ¬ sup

Rn

u(jτ, ·), _{jτ ¬ t ¬ (j + 1)τ, x ∈ R}n

dla j = 0, 1, . . . , l − 1.

Rozwa»my teraz zagadnienie pocz¡tkowe

(RC-ZP)    ut= ∆xu, 0 < t < T, x ∈ Rn, u(0, x) = f (x), _{x ∈ R}n,

gdzie f : Rn_{→ R jest funkcj¡ ci¡gª¡ speªniaj¡c¡ |f(x)| ¬ Me}akxk2

dla wszyst-kich x ∈ Rn. Z uwagi pod dowodem Twierdzenia 8.2 wynika, »e wzór

(8.4) u(t, x) = 1 (4πt)n/2 Z Rn exp −kx − yk 2 4t f (y) dy

(10)

okre±la rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (RC-ZP) okre±lone na (0,_4a)× Rn, i speªniaj¡ce tam oszacowanie

|u(t, x)| ¬ M eakxk2_.

Z Twierdzenia 8.4 mo»na wywnioskowa¢, »e wzór (8.4) okre±la jedyne roz-wi¡zanie zagadnienia (RC-ZP) speªniaj¡ce powy»sze oszacowanie na (0, 1

4a)×

Rn.

W szczególno±ci, gdy f jest ci¡gªa i ograniczona, wzór (8.4) okre±la jedyne ograniczone rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (RC-ZP).

8.2.1 Mocna paraboliczna zasada maksimum

Dla obszarów ograniczonych zachodzi mocna paraboliczna zasada maksimum. Istotnie, niech oznaczenia b¦d¡ takie jak przed Twierdzeniem 8.3. Wówczas, je±li funkcja u ci¡gªa na ¯Q, klasy C2 _{na Q, speªniaj¡ca równanie}

przewod-nictwa cieplnego na Q, ma t¦ wªasno±¢, »e jej maksimum na ¯Q jest osi¡gane

w pewnym punkcie (˜t, ˜x) ∈ Q, to u jest staªa na zbiorze [0, ˜t] × ¯Ω.

8.3 Regularno±¢ rozwi¡za« równania przewodnictwa

ciepl-nego

Niech Ω ⊂ Rn _{b¦dzie obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω klasy C}2. Niech

Q := (0, T ) × Ω.

Zaªó»my, »e funkcja u oraz jej pochodne ut, uxjxk, s¡ ci¡gªe na ¯Q, oraz »e ut− ∆xu = 0 na ¯Q. Dla dowolnej funkcji v klasy C2 na ¯Qzachodzi

(8.5) 0 = Z Q v(ut− ∆xu) dx = − Z Q u(vt+ ∆xv) dx + + Z t=T x∈Ω vu dx − Z t=0 x∈Ω vu dx − T Z 0 dt Z ∂Ω v ∂u ∂nx − u ∂v ∂nx dSx.

Ustalmy ξ ∈ Ω i ε > 0. Niech v(t, x) := K(T + ε − t, x, ξ). Tak okre±lone v jest, na ¯Q, klasy C2 _{i speªnia tam vt}_{+ ∆}

xv = 0. Zatem pierwszy skªadnik po

prawej stronie wzoru (8.5) redukuje si¦ do zera. Dalej, przeksztaªcamy Z t=T x∈Ω vu dx = Z Ω K(ε, x, ξ)u(T, x) dx = Z Ω K(ε, ξ, x)u(T, x) dx.

(11)

Modykuj¡c odpowiednio dowód Twierdzenia 8.2 otrzymujemy, »e powy»sze wyra»enie d¡»y, przy ε → 0+_{, do u(T, ξ).}

Funkcja K(T + ε − t, x, ξ) oraz jej pochodna normalna s¡ jednostajnie ci¡gªe wzgl¦dem ε 0, x ∈ ∂Ω i 0 ¬ 0 ¬ T . Ponadto K(T + ε, x, ξ) jest jednostajnie ci¡gªa wzgl¦dem ε 0 i x ∈ Ω. Mo»emy zatem zapisa¢

(8.6) u(T , ξ) = Z Ω K(T, x, ξ)u(0, x) dx + + T Z 0 dt Z ∂Ω K(T − t, x, ξ)∂u(t, x) ∂nx − u(t, x)∂K(T − t, x, ξ) ∂nx dSx.

Po do±¢ »mudnych szacowaniach mo»na wywnioskowa¢ ze wzoru (8.5), »e, przy ustalonym t > 0, rozwi¡zanie u = u(t, x) jest, na Ω, funkcj¡ analityczn¡ wzgl¦dem x.

Skoro pochodne u po zmiennych x, dowolnego rz¦du, s¡ ci¡gªe, zachodzi w szczególno±ci ∆x(uxj) = (∆xu)xj. Dalej, utxj = (∆xu)xj jest ci¡gªe, wi¦c

utxj = uxjt. Wobec tego, v := uxj speªnia vt = ∆xv i ma te same wªasno±ci

regularno±ci co u. Powtarzamy powy»sze rozumowanie dla vxj = uxjxj, i dla

ut = ∆xu. Zatem ut ma ci¡gªe wszystkie pochodne cz¡stkowe po x. Mo»na

st¡d wywnioskowa¢ przez indukcj¦, »e u jest funkcj¡ klasy C∞_{na (0, ∞)×Ω.} Natomiast rozwi¡zanie u nie musi by¢ funkcj¡ analityczn¡ wzgl¦dem t.

8.4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego.

Zasada Duhamela

(3)

Rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe dla niejednorodnego równania przewod-nictwa cieplnego (8.7)    ut− ∆xu = g, t > 0, x ∈ Rn, u(0, x) = 0, _{x ∈ R}n_, gdzie g : [0, ∞) × Rn

→ R jest zadan¡ funkcj¡.

Idea zasady Duhamela polega na szukaniu rozwi¡zania powy»szego za-gadnienia w postaci u(t, x) = t Z 0 U (t, x; s) ds,

(12)

gdzie, dla ustalonego s > 0, funkcja U(·, ·; s): [s, ∞) × R → R jest

rozwi¡-zaniem zagadnienia pocz¡tkowego (chwil¡ pocz¡tkow¡ jest s)

 



Ut(·, ·; s) − ∆xu(·, ·; s) = 0, t > s, x ∈ Rn,

U (s, x; s) = g(s, x), _{x ∈ R}n_. Formalne rachunki daj¡ nam

ut(t, x) = U (t, x; t) + t Z 0 Ut(t, x; s) ds = g(t, x) + t Z 0 ∆xU (t, x; s) ds = = g(t, x) + ∆x t Z 0 U (t, x; s) ds ! = g(t, x) + ∆xu(t, x).

Podstawiaj¡c wzór na U(·, ·; s) z Twierdzenia 8.2 otrzymujemy, po przeksztaª-ceniach, u(t, x) = t Z 0 1 (4π(t − s))n/2 Z Rn exp −kx − yk 2 4(t − s) g(s, y) dy ! ds.

Okazuje si¦, »e przy pewnych zaªo»eniach odno±nie funkcji g (na przykªad, g jest funkcj¡ ci¡gª¡ o zwartym no±niku) powy»szy wzór rzeczywi±cie okre±la rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (8.7).

8.5 Informacja o metodzie rozdzielania zmiennych.

War-to±ci i funkcje wªasne.

Rozwa»my zagadnienie brzegowo-pocz¡tkowe typu Dirichleta

(8.8)        ut = ∆xu, t > 0, x ∈ Ω, u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω, u(0, x) = f (x), x ∈ Ω,

gdzie Ω ⊂ Rn _{jest obszarem ograniczonym i f : Ω → R jest zadan¡ funkcj¡.} Poszukajmy rozwi¡za« powy»szego zagadnienia w postaci

u(t, x) = v(t)w(x), t 0, x ∈ Ω.

Zachodzi

(13)

wi¦c

0 = ut(t, x) − ∆xu(t, x)

wtedy i tylko wtedy, gdy

v0(t)

v(t) =

∆w(x)

w(x)

dla wszystkich t > 0 i x ∈ Ω takich, »e v(t) 6= 0 i w(x) 6= 0. Jako »e lewa strona powy»szej równo±ci zale»y tylko od t, a prawa strona zale»y tylko od

x, jest to mo»liwe tylko wtedy, gdy istnieje staªa µ taka, »e

(8.9) v0 = µv

i

(8.10) ∆w = µw.

Trzeba zatem rozwi¡za¢ ukªad równa« (8.9)+(8.10) wzgl¦dem zmiennych µ,

v i w.

Gdy µ jest znane, rozwi¡zaniem równania (8.9) jest v(t) = ceµt_{, gdzie c} jest dowoln¡ staª¡.

Mówimy, »e λ ∈ C jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora −∆ na obszarze Ω, z warunkami brzegowymi Dirichleta na ∂Ω, gdy istnieje funkcja w, nie równa stale zeru, b¦d¡ca rozwi¡zaniem zagadnienia brzegowego

(8.11)    −∆w = λw na Ω, w = 0 na ∂Ω.

Funkcj¦ w nazywamy funkcj¡ wªasn¡ odpowiadaj¡c¡ warto±ci wªasnej λ. Równanie −∆w = λw nazywamy równaniem Helmholtza.

Warto±¢ wªasna λ ma (sko«czon¡) krotno±¢ m, je±li odpowiadaj¡ce jej funkcje wªasne tworz¡, po dopisaniu funkcji stale równej zeru, przestrze« liniow¡ wymiaru m.

Zachodzi nast¦puj¡ce twierdzenie:

Twierdzenie 8.5. Zaªó»my, »e Ω ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym. Wów-czas:

(i) Wszystkie warto±ci wªasne operatora −∆ z warunkami brzegowymi Di-richleta s¡ rzeczywiste, o sko«czonej krotno±ci, i jest ich przeliczalnie wiele.

(14)

(ii) Je±li wypiszemy ka»d¡ warto±¢ wªasn¡ tyle razy, ile wynosi jej krotno±¢, otrzymamy 0 < λ1 < λ2 ¬ λ3 ¬ . . . , oraz lim k→∞λk→ ∞.

(iii) Ka»da funkcja wªasna jest klasy C∞ _{na Ω; je±li ponadto brzeg ∂Ω jest} klasy C∞_{, to ka»da funkcja wªasna jest klasy C}∞ _{na ¯Ω.}

(iv) Istnieje baza ortonormalna (wk)∞_k=1 przestrzeni L2(Ω), w której wk jest

funkcj¡ wªasn¡ odpowiadaj¡c¡ warto±ci wªasnej λk.

(v) Funkcj¦ wªasn¡ w1 mo»na wybra¢ tak, by przyjmowaªa warto±ci

dodat-nie na Ω.

Dowód wykracza poza ramy niniejszego kursu.

Z powy»szego twierdzenia natychmiast wynika, »e ka»da sko«czona kom-binacja liniowa u = l X k=1 cke−λktwk

jest rozwi¡zaniem równania przewodnictwa cieplnego z warunkami brzego-wymi typu Dirichleta.

Gdy chcemy znale¹¢ rozwi¡zanie speªniaj¡ce warunek pocz¡tkowy u(0, x) =

f (x), x ∈ Ω, narzucaj¡c¡ si¦ metod¡ jest wzi¦cie sumy szeregu

niesko«czo-nego u = ∞ X k=1 cke−λktwk,

gdzie (ck)∞_k=1 jest ci¡giem wspóªczynników w rozwini¦ciu funkcji f w bazie ortonormalnej (wk)∞_k=1 przestrzeni Hilberta L2(Ω).

Okazuje si¦, »e gdy tylko f ∈ L2(Ω), to suma powy»szego szeregu

niesko«-czonego jest jedynym rozwi¡zaniem (w pewnym sªabym sensie) równania przewodnictwa cieplnego speªniaj¡cym (równie» w pewnym sªabym sensie) warunek brzegowy Dirichleta. Warunek pocz¡tkowy jest speªniony w nast¦-puj¡cym sensie:

lim

t→0+ku(t, ·) − f kL2(Ω) = 0.

Je±li brzeg ∂Ω jest klasy C∞ _{i f jest funkcj¡ klasy C}∞ _{na ¯Ω, speªniaj¡c¡} pewne warunki zgodno±ci, to okre±lone powy»ej rozwi¡zanie jest w istocie rozwi¡zaniem klasycznym zagadnienia brzegowo-pocz¡tkowego (8.8). Ponad-to, rozwi¡zanie to jest klasy C∞ _{na [0, ∞) × ¯Ω.}