Index of /rozprawy2/10797

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska. mgr inż. Jerzy Wołoszyn. BADANIA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA WYMIENNIKÓW NA EFEKTYWNOŚĆ PODZIEMNYCH MAGAZYNÓW ENERGII Praca doktorska. Promotor: prof. dr hab. inż. Andrzej Gołaś. KRAKÓW 2014.

(2) Spis treści Wykaz ważniejszych skrótów i oznaczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Streszczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.1.. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.2.. Cel i zakres rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2. Przegląd rozwiązań technicznych podziemnych magazynów ciepła . . .. 13. 2.1.. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.2.. Magazynowanie z wykorzystaniem otworowych wymienników ciepła . . . .. 14. 2.3.. Magazynowanie ciepła w warstwach wodonośnych . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.4.. Magazynowanie ciepła w jaskiniach (kawernach) . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 3. Przegląd modeli otworowych wymienników ciepła z podziemnym magazynem ciepła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.1.. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.2.. Modele analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.3.. Modele numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 4. Modelowanie otworowego wymiennika ciepła z wykorzystaniem elementu skończonego o wielu stopniach swobody . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.1.. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.2.. Opis matematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.3.. Określenie współczynników wymiany ciepła . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4.4.. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 5. Stanowisko badawcze do weryfikacji opracowanego przez autora pracy nowego modelu numerycznego (MDF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 5.1.. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 5.2.. Opis stanowiska badawczego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 5.3.. Opis zastosowanej aparatury pomiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 5.4.. Pomiary kontrolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 1.

(3) 6. Weryfikacja opracowanego przez autora pracy nowego modelu numerycznego (MDF) w warunkach laboratoryjnych . . . . . . . . . . . .. 57. 6.1.. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 6.2.. Porównanie opracowanego przez autora pracy nowego modelu numerycznego (MDF) z innymi modelami dostępnymi w literaturze . . . . . . . . . . . . .. 58. 6.3.. Estymacja parametrów modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 6.4.. Wyniki przeprowadzonego eksperymentu oraz symulacji na stanowisku. 6.5.. laboratoryjnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93. 7. Weryfikacja opracowanego przez autora pracy nowego modelu numerycznego (MDF) w warunkach eksploatacyjnych . . . . . . . . . . .. 95. 7.1.. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 7.2.. Warunki początkowe oraz brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 7.3.. Wyniki obliczeń numerycznych oraz pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . .. 99. 7.4.. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. 8. Wpływ rozmieszczenia otworowych wymienników ciepła na efektywność magazynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.1.. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 8.2.. Obiekt badań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. 8.3.. Warunki początkowe oraz brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. 8.4.. Wyniki obliczeń numerycznych oraz analiza wrażliwości . . . . . . . . . . . 108. 8.5.. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. 9. Podsumowanie i wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. 2.

(4) Wykaz ważniejszych skrótów i oznaczeń A, a. pole powierzchni, m2 ; dyfuzyjność cieplna, m2 /s. B, b. grubość, m; współczynnik wymiany ciepła, W/(m2 · K). c D, d. ciepło właściwe, J/(kg · K) średnica, m. E. energia, J. ef. efektywność. F. wektor źródeł ciepła. H, h. długość wymiennika, długość charakterystyczna, m. K, k. macierz przewodności cieplnej, współczynnik filtracji, m/s. L, l. długość, m. M. macierz pojemności cieplnej; cząstkowe funkcje celu. N, n. funkcja kształtu; wektor normalny. P, p. macierz; parametr; ciśnienie, P a. Q, q. moc otworowego wymiennika ciepła, W ; strumień ciepła W/m. R. residuum; opór cieplny (m2 · K)/W. R2. współczynnik determinacji. r. promień, m. S. długość, m; wrażliwość. t. czas, s. T. temperatura, K. T0. temperatura średnia górotworu, K. U, u. napięcie, V ; prędkość przepływu, m/s. V, v V˙. objętość, m3 ; składowa prędkości przepływu, m/s. W, w. funkcja wagi, współczynnik wagi, rozstaw U-rur wymiennika, m. x, y, z. współrzędne układu kartezjańskiego, m. x, y. wielkości wejściowe, wyjściowe. Y. kryterium jakości. strumień objętości, m3 /s. Symbole greckie: α. współczynnik poprawkowy 3.

(5) α β. współczynnik wnikania ciepła, W/(m2 · K) kąt, rad. δ, ε. rozbieżności, %. γ. stała Eulera. ψ, ξ. parametry. λ. przewodność cieplna, W/(m · K). µ ρ. lepkość dynamiczna, P a · s gęstość, kg/m3. Φ. funkcja celu. ψ. współczynnik poprawkowy. Indeksy: adv. adwekcja. bal. równowaga. b. otwór wiertniczy (borehole). con. przewodzenie. f. płyn. g. uszczelnienie. g1,2,3. uszczelnienie obszar 1, 2, 3. i, in. wpływ. mag. magazynowanie. odz. odzysk. o, out. wypływ. ot. otoczenie. p. rura, pomiar. s. górotwór. Skróty: ATES. Aquifer Thermal Energy Storage Magazynowanie ciepła w warstwach wodonośnych. BTES. Borehole Thermal Energy Storage Magazynowanie ciepła z wykorzystaniem otworowych wymienników ciepła. BHE. Borehole Heat Exchanger Otworowy wymiennik ciepła. CTES. Cavern Thermal Energy Storage Magazynowanie ciepła w kawernach. GSHP. Ground Source Heat Pump Pompy ciepła z dolnym źródłem jako grunt. LSM. Line Source Model 4.

(6) Model Źródła Liniowego MDF. Multi Degree of Freedom Wiele stopni swobody. MES. Metoda Elementów Skończonych. PE. Polietylen. PEHD. Polietylen High Density Polietylen o dużej gęstości. TRCM. Thermal Resistance Capacity Model Model oporu cieplnego i pojemności. TRT. Thermal Response Test Test Reakcji Termicznej. UTES. Underground Thermal Energy Storage Podziemne magazynowanie ciepła. q3D. quasi 3-Dimensional Niepełny trójwymiarowy. 5.

(7) Streszczenie Praca dotyczy podziemnego magazynowania ciepła z wykorzystaniem otworowych wymienników ciepła. Zbadano jak rozmieszczenie otworowych wymienników ciepła w górotworze wpływa na ilość wprowadzonej oraz odebranej energii. Coraz powszechniejsze wykorzystanie instalacji z podziemnym magazynowaniem ciepła, które generuje duże koszty inwestycyjne wymaga przemyślanych działań i analiz. Badania wpływu parametrów konstrukcyjnych, materiałowych i eksploatacyjnych na efektywność magazynu nabiera zatem dużego znaczenia. Przeprowadzenie badań na obiekcie rzeczywistym w celu realizacji podjętego tematu jest niezwykle kosztowne, wobec czego zdecydowano się na przeprowadzenie badań symulacyjnych. Po dokonaniu przeglądu literatury stało się jasne, że istnieje potrzeba opracowania nowych dokładniejszych i szybszych technik obliczeniowych w szczególności dla dużych instalacji. Praca przedstawia nowy numeryczny model otworowego wymiennika ciepła współpracującego z podziemnym magazynem ciepła. Nacisk położony jest na rozwój elementu skończonego opisującego procesy wymiany ciepła. W pracy wykorzystuje się element jednowymiarowy o wielu stopniach swobody. Opracowany nowy element skończony, a tym samym nowy model otworowego wymiennika ciepła, wymaga przeprowadzenia weryfikacji. Weryfikację prowadzono w dwóch etapach – pierwszy to porównanie wyników z innymi modelami dostępnymi w literaturze, natomiast drugi to porównanie z wynikami uzyskanymi eksperymentalnie na przygotowanym stanowisku badawczym. Porównując wyniki z innymi modelami prezentowanymi w literaturze otrzymano dobrą zgodność, a średnie rozbieżności otrzymane na podstawie eksperymentu weryfikacyjnego wynoszą mniej niż 5 %. Przeprowadzono również weryfikacji nowego modelu numerycznego w warunkach eksploatacyjnych na 180 metrowym testowym otworowym wymienniku ciepła zlokalizowanym w Centrum Jana Pawła II w Krakowskich Łagiewnikach. Również w tym przypadku otrzymane średnie rozbieżności wynoszą mniej niż 5 % a obliczenia jednego kroku czasowego zajmuje zaledwie 80s. Stanowi to znaczne zredukowanie czasu obliczeń w porównaniu do modeli w pełni trójwymiarowych, dla których obliczenie jednego kroku czasowego zajmuje 60min. Po pozytywnej weryfikacji nowego modelu wymiany ciepła zbadano wpływ rozmieszczenia otworowych wymienników ciepła na efektywność podziemnego magazynu 6.

(8) energii dla trzech różnych wariantów zasilania. Do zrealizowania tego zadania zastosowano technikę planowania eksperymentu oraz metodologię powierzchni odpowiedzi jak również opracowany nowy element skończony. Z trzech rozpatrywanych wariantów największą efektywnością charakteryzuje się wariant z zasilaniem równoległym i zwartym rozmieszczeniem wymienników. Praca została zakończona podsumowaniem i wnioskami dotyczącymi zaproponowanej metodologii oraz wnioskami ogólnymi. Ponadto wskazane zostały dalsze kierunki badań.. 7.

(9) Abstract The dissertation concerns the underground thermal energy storage using borehole heat exchangers. Location of borehole heat exchangers in the rock mass on amount of energy supply and received, was investigated. An increasing number of installations with underground thermal energy storage, which generates high investment costs requires deliberate action and analysis. Research of the influence of design, materials and operating parameters on thermal energy storage efficiency therefore becomes of great importance. Conducting research on the real object is extremely expensive, so it was decided to conduct simulation studies. After literature review, it became clear that there is a need to develop new more accurate and faster computational techniques, in particular for large installation. This dissertation shows a new numerical model for a borehole heat exchanger working with underground thermal energy storage. Emphasis has been put on developing a finite element which describes the process of heat exchange. A one-dimensional element with multiple degrees of freedom was used in this work. A new finite element, and thus a new model of borehole heat exchanger requires verification. The verification was conducted in two stages – the first is to compare the results with other models available in the literature, and the second is a comparison with the results obtained experimentally in laboratory. Comparing the results with other models presented in the literature, a good agreement was obtained, and the average deviation is less than 5 %. Verification research was also conducted under operating conditions on 180 meter length test borehole heat exchanger, which is located in the John Paul II Center in Krakow Lagiewniki. Also in this case received the average deviation less than 5 % and the calculation of one time step takes only 80s. It is a significant shortening of calculation time as compared to a fully three-dimensional models, in which the calculation of one time step takes 60 minutes. After successful verification of a new model of heat transfer, the effect of the location of borehole heat exchangers on underground thermal energy storage efficiency for three different variant, was investigated. To achieve this aim, the design of experiment technique and response surface methodology as well as a new finite element, was used.. 8.

(10) Of the three variants under consideration, the most efficient variant is this, with the serial supply and compact location of borehole heat exchangers. The dissertation was finished with summary and conclusions concerning proposed methodology and general conclusions. Moreover, ways of development were indicated.. 9.

(11) 1. Wstęp 1.1. Wprowadzenie Pierwsze dokumenty postulujące zwiększenie udziału energii odnawialnej w ogólnym bilansie zużycia energii pierwotnej pojawiają się w 1994 roku w postaci Deklaracji Madryckiej. Zgodnie z nią w krajach Unii Europejskiej zwiększeniu ma ulec udział energii odnawialnej w ogólnym bilansie zużycia energii pierwotnej do 15 %. Kolejny dokument to tzw. „Biała Księga” przygotowana przez Komisję Europejską trzy lata po ogłoszeniu Deklaracji Madryckiej. W księdze pt. „Energia dla przyszłości, odnawialne źródła energii” stwierdzono, że wykorzystanie odnawialnych źródeł energii w UE jest niezadowalające i w różnym stopniu zaawansowane, w zależności od kraju. Jednocześnie zadeklarowano, że do 2010 roku 12% energii brutto i 22,1% energii elektrycznej pochodzić ma ze źródeł odnawialnych. Polska przystępując w 2004 roku do Unii Europejskiej również powinna spełniać postulaty „Białej Księgi” [63]. W grudniu 1997 roku na konferencji w Kioto sporządzono protokół do Ramowej Konwencji Narodów Zjednoczonych w sprawie zmian klimatu. Traktat wszedł w życie 16 lutego 2005 roku. Jest prawnie wiążącym porozumieniem, w ramach którego kraje uprzemysłowione są zobligowane do redukcji ogólnej emisji gazów powodujących efekt cieplarniany. Kolejnym dokumentem jest Dyrektywa Parlamentu Europejskiego i Rady Unii Europejskiej nr 2009/28/WE z dnia 23 kwietnia 2009 roku w sprawie promowania stosowania energii ze źródeł odnawialnych. W ramach przyjętego przez Parlament Europejski pakietu projektów legislacyjnych, UE chce ograniczyć do 2020 roku emisję gazów cieplarnianych o 20%, zwiększyć udział źródeł odnawialnych w bilansie energetycznym do 20% oraz podnieść o 20% efektywność energetyczną. Wspomniane powyżej szeroko poruszane zagadnienia poszanowania energii, zrównoważonego rozwoju i redukcji emisji CO2 w ostatnich latach powodują konieczność wdrażania coraz bardziej efektywnych technologii pozyskiwania energii odnawialnej między innymi prace [6, 7, 18, 65, 66, 67, 90, 91, 92]. W praktycznych zastosowaniach najpoważniejszym problemem jest sezonowy i losowy charakter źródeł odnawialnych. Wzajemne dopasowanie wydajności źródła energii do również zmiennego zapotrzebowania na energię, właściwie jest problemem efektywnego magazynowania energii. Od wielu lat stosowano różne urządzenia, układy, substancje, w których magazy10.

(12) nowano energię do różnych celów [5]. W starożytnym Egipcie odpowiednio ukształtowane kanały w ścianach świątyń pozwalały na pasywne ich ogrzewanie w ciągu dnia promieniowaniem słonecznym i oddawanie ciepła w porze nocnej [19]. W Polsce i na świecie magazynowanie energii jest wciąż aktualną tematyką badawczą a w ostatnich latach uaktualnioną z racji rosnącego zapotrzebowania na energię przy zmniejszających się zasobach naturalnych. Przy coraz powszechniejszym wykorzystaniu odnawialnych źródeł energii zagadnienie optymalnego wytwarzania, konwersji i magazynowania energii nabiera istotnego znaczenia. Jednym z ważnych kierunków prac badawczych rozwijanych w Polsce i na świecie jest rozwiązywanie problemu magazynowania różnych form energii. Sposobem taniego magazynowania energii w ilości mającej znaczenie gospodarcze są akumulatory podziemne. Sezonowe magazynowanie energii w górotworze jest ciekawym i rokującym duże nadzieje przykładem wykorzystania energii ze źródeł odnawialnych i ciepła odpadowego.. 1.2. Cel i zakres rozprawy Dokonany przegląd literatury pozwala stwierdzić, że dotychczas w ograniczonym zakresie prowadzono badania wpływu rozmieszczenia otworowych wymienników ciepła na efektywność podziemnego magazynu energii. Można natomiast znaleźć informacje na temat przeprowadzonych badań dotyczących wpływu właściwości materiału uszczelniającego oraz rozmieszczenia U-rurek w wymienniku na efektywność otworowego wymiennika ciepła, jako podstawowego elementu podziemnego magazynu ciepła [41]. Na efektywność podziemnego magazynu energii wpływa jednak dużo większa liczba parametrów. Można je podzielić na kilka głównych grup: • parametry konstrukcyjne magazynu oraz samego otworowego wymiennika ciepła, • właściwości materiałowe górotworu oraz materiału uszczelniającego w wymienniku, • parametry eksploatacyjne. Celem niniejszej pracy jest zbadanie wpływu rozmieszczenia w górotworze otworowych wymienników ciepła o konstrukcji pojedynczej U-rurki na efektywność podziemnego magazynu energii. Aby zrealizować tak postawiony cel pracy rozwiązano szereg problemów cząstkowych: • opracowano efektywne narzędzie obliczeniowe – nowy element skończony do modelowania otworowego wymiennika ciepła, • przeprowadzono weryfikację modelu numerycznego w warunkach laboratoryjnych, 11.

(13) • przeprowadzono weryfikację modelu numerycznego w warunkach eksploatacyjnych, • przeprowadzono analizę wrażliwości efektywności podziemnego magazynu ciepła na zmiany rozmieszczenia wymienników. Przeprowadzenie badań na obiektach rzeczywistych w celu realizacji podjętego tematu jest niezwykle kosztowne, wobec czego zdecydowano się na przeprowadzenie badań symulacyjnych, a opracowany model numeryczny zweryfikowano na stanowisku laboratoryjnym oraz w warunkach eksploatacyjnych. Na podstawie dokonanego w rozdziale 2 i 3 studium analityczno – krytycznego aktualnego stanu wiedzy w zakresie podziemnego magazynowania energii oraz modelowania otworowych wymienników ciepła stwierdzono, że nie ma efektywnego i dokładnego narzędzia obliczeniowego. Dodatkowo należy stwierdzić, iż jest to niezwykle trudny obiekt do prowadzenia badań symulacyjnych, ze względu na duże proporcje wymiarów wymiennika. Niezbędne zatem okazało się opracowanie nowego, efektywnego i dokładnego narzędzia obliczeniowego. W celu rozwiązania tego problemu w rozdziale 4 opracowano nowy element skończony do modelowania metodą elementów skończonych transportu ciepła w otworowym wymienniku ciepła. Opracowanie nowego elementu skończonego, a tym samym nowego modelu otworowego wymiennika ciepła, wymagało przeprowadzenia weryfikacji (rozdział 6). Weryfikację prowadzono w dwóch etapach – pierwszy to porównanie wyników z innymi modelami dostępnymi w literaturze, natomiast drugi to porównanie z wynikami uzyskanymi eksperymentalnie na przygotowanym stanowisku badawczym. Opis stanowiska badawczego zawarto w rozdziale 5. Nieznane parametry numerycznego modelu wymiany ciepła opracowanego stanowiska badawczego wymagały przeprowadzenia procesu identyfikacji. W tym celu zastosowano technikę planowanie eksperymentu i metodologię powierzchni odpowiedzi, a wyniki przedstawiono w rozdziale 6. Dokonano również weryfikacji nowego modelu numerycznego w warunkach eksploatacyjnych, która przeprowadzona została na 180 metrowym testowym otworowym wymienniku ciepła zlokalizowanym w Centrum Jana Pawła II w Krakowskich Łagiewnikach. Badania prowadzono w ramach grantu badawczego pt. „Opracowanie zintegrowanego systemu otworowych wymienników ciepła i kolektorów słonecznych w aspekcie poprawy efektywności gospodarowania ciepłem w górotworze”. Wyniki z tej weryfikacji z uwzględnieniem nowych modeli zamieszczono w rozdziale 7. Po pozytywnej weryfikacji nowego elementu skończonego zbadano wpływ rozmieszczenia otworowych wymienników ciepła na efektywność podziemnego magazynu energii, co opisano w rozdziale 8. Do zrealizowania tego zadania zastosowano technikę planowania eksperymentu oraz metodologię powierzchni odpowiedzi jak również opracowany nowy element skończony. W rozdziale 9 zawarto wnioski i podsumowanie..

(14) 2. Przegląd rozwiązań technicznych podziemnych magazynów ciepła. 2.1. Wstęp Przed przystąpieniem do omówienia zasadniczego tematu rozprawy niezbędne jest określenie różnych rozwiązań podziemnego magazynowania ciepła oraz prześledzenie trendów w tej dziedzinie nauki. Pozwoli to na wstępne ukierunkowanie pracy i uniknięcie ewentualnych błędów. Biorąc pod uwagę magazyny ciepła wykorzystujące pojemność cieplną danego medium magazynującego możemy wyróżnić dwa zasadnicze rodzaje magazynów: podziemne zbiorniki ciepła (ang. Underground Thermal Energy Storage – UTES ) oraz naziemne zbiorniki wodne. Podziemne magazynowanie ciepła może być realizowane na kilka sposobów tj. poprzez: kanały przewodowe w ziemi (ang. Borehole Thermal Energy Storage – BTES ), otwory drążone w skałach lub kawerny (jaskinie skalne ang. Cavern Thermal Energy Storage – CTES ) oraz warstwy wodonośne (ang. Aquifer Thermal Energy Storage – ATES ), rysunek 2.1 [54].. Rysunek 2.1. Podziemne magazyny ciepła. 13.

(15) 2.2. Magazynowanie z wykorzystaniem otworowych wymienników ciepła Magazynowanie energii z wykorzystaniem otworowych wymienników ciepła (BTES rys. 2.2) to metoda podziemnego magazynowania ciepła oparta na wykorzystaniu dużej liczby otworowych wymienników ciepła, które umożliwiają zarówno pozyskiwanie ciepła, jak i przekazywanie go do górotworu. Stosowana jest na coraz większą skalę w instalacjach grzewczo – chłodniczych, we współpracy z kolektorami słonecznymi, jak również z pompami ciepła, jako dolne źródła ciepła. Systemy BTES zaprojektowane są w ten sposób, aby sezonowo magazynować i odbierać ciepło, w przeciwieństwie do często spotykanych instalacje GSHP (z ang. Ground Source Heat Pump), które mają na celu tylko odprowadzić ciepło z górotworu. BTES wykorzystuje górotwór jako rezerwuar ciepła. Wykonywane obecnie instalacje grzewczo – chłodnicze na bazie. Rysunek 2.2. Podziemny magazyn ciepła z wymiennikami otworowymi [96]. otworowych wymienników ciepła składają się coraz częściej z dużej liczby otworów, nieraz nawet kilkuset. Otwory o średnicy 150−200mm drążone są do głębokości około 50 − 200m. Wymienniki mogą być rozmieszczone pionowo lub pod pewnym kątem do. powierzchni gruntu (rys. 2.3), co pozwala na wykorzystanie górotworu znajdującego się pod obiektami budowlanymi [28]. Typowy otworowy wymiennik ciepła to rura umieszczona w wydrążonym otworze, z materiałem uszczelniającym, który wypełnia przestrzeń otworu wokół rury. W rurze przepływa woda lub ciecz niezamarzająca. Często jest to roztwór wody z glikolem. Obieg nośnika ciepła jest obiegiem zamkniętym. Najczęściej spotykane w praktyce konstrukcje wymienników (rys. 2.4) to otwory z pojedynczą U-rurką (składają się z rury wlotowej, rury powrotnej oraz materiału uszczelniającego), z podwójną U-rurką (składają się z dwóch rur wlotowych, dwóch powrotnych oraz materiału uszczelniającego) oraz wymienniki koncentryczne (składa14.

(16) jące się z rury powrotnej zawartej w rurze wlotowej oraz materiału uszczelniającego). Spotykane są również konstrukcje z potrójną U-rurką. W otworach wykonywanych specjalnie do celów magazynowania ciepła możliwe jest zastosowanie dowolnej konstrukcji otworowego wymiennika ciepła. Najczęściej do głębokości 100 − 150m wykonuje się instalacje w postaci U-rurek, a przy większych. głębokościach instalacje z wymiennikiem koncentrycznym. Wymienione głębokości otworów wynikają głównie z wymaganej techniki i technologi ich wiercenia. U-rurki otworowych wymienników ciepła wykonuje się z polietylenu (PEHD lub PE 100), natomiast rury wymienników koncentrycznych mogą być stalowe, z włókien szklanych lub z polipropylenu [28].. Rysunek 2.3. Otworowe wymienniki ciepła – rozmieszczenie pionowe oraz pochyłe. Rysunek 2.4. Typowe konstrukcje otworowych wymienników ciepła. Obecnie otworowe wymienniki ciepła znajdują coraz szersze zastosowanie dzięki swym zaletom, do których należy zaliczyć: • pewność inwestycji w każdych warunkach geologiczno-złożowych, • prostą konstrukcję i wykonanie, • efektywność ekonomiczną w perspektywie kilku – kilkunastu lat eksploatacji, • wysoką niezawodność systemu w długiej perspektywie czasu, • możliwość pracy wymiennika jako źródła ciepła i chłodu, • minimalne oddziaływanie na środowisko, 15.

(17) • znaczna oszczędność energii podczas procesów chłodniczych, w porównaniu z metodami tradycyjnymi. Pomimo przedstawionych powyżej wielu zalet, główną barierą w zastosowaniu otworowych wymienników ciepła są znaczne początkowe koszty inwestycji związane z wykonaniem otworów, zakupem pomp ciepła oraz wykonaniem odpowiedniej instalacji. Inwestycje tego typu są zatem uzasadnione ekonomicznie tylko w dłuższej perspektywie czasu [28]. Na świecie wykonano wiele instalacji BTES. Do największych można zaliczyć pracujący od 2004 roku magazyn ciepła w Uniwersytecie Technicznym w Ontario w Kanadzie (rys. 2.5). System magazynujący obsługuje osiem budynków Uniwersytetu, a zbudowany jest z 384 otworów, każdy o głębokości 213m. Koszt instalacji wyniósł około 5 mln USD, co zwróciło się po około 7.5 latach użytkowania [97]. Innym przykładem praktycznego zastosowania magazynu BTES jest Centrum Inżynierii Chemicznej na Uniwersytet w Lund w Szwecji. System magazynujący składa się ze 153 wymienników o głębokości 213m każdy. Koszt instalacji wyniósł około 4.8 mln USD, co zwróciło się po około 10 latach użytkowania.. Rysunek 2.5. Podziemny magazyn ciepła (Uniwersytet w Ontario) [97]. 2.3. Magazynowanie ciepła w warstwach wodonośnych Magazynowanie ciepła w warstwach wodonośnych (ATES) to efektywna technologia sezonowego magazynowania ciepła i chłodu w podziemnych warstwach wodonośnych. Technologia ta opracowana została w Europie w latach 90-tych ubiegłego stulecie i jest powszechnie stosowana w Holandii oraz Skandynawii. Często jest wykorzystywana w połączeniu z odnawialnymi źródłami energii. To najbardziej efektywna 16.

(18) metoda podziemnego magazynowania ciepła i chłodu. Nie można jej jednak zastosować wszędzie, gdyż wymaga specyficznej budowy geologicznej. Do działania system ATES wymaga odpowiedniej warstwy wodonośnej, w której zainstalowane są co najmniej dwie studnie. Aplikacje ATES zwykle obejmują magazynowanie i odzysk chłodu, chociaż również pracują jako magazyny ciepła, szczególnie jeśli występuje nadmiar ciepła dostępny w miesiącach letnich z kolektorów słonecznych lub instalacji kogeneracyjnych. Podstawowy cykl pracy systemu to magazynowanie ciepła i odzysk chłodu w okresie letnim, natomiast w okresie zimowym magazynowanie chłodu i odzysk ciepła. Cały cykl powtarza się okresowo.. Rysunek 2.6. Instalacja ATES – budynek Bundestagu w Berlinie [73]. Jedną z pierwszych tego typu instalacji jest magazyn ciepła i chłodu w Berlinie (rys. 2.6). Instalacja ATES wykorzystywana od 2003 roku na potrzeby ogrzewania i chłodzenia obiektów Bundestagu pozwala na odebranie 77% ciepła w stosunku do ciepła zmagazynowanego oraz 92% chłodu w stosunku do chłodu zmagazynowanego [73].. Rysunek 2.7. Instalacja ATES - port lotniczy Sztokholm-Arlanda (okres letni oraz zimowy) [95]. 17.

(19) Natomiast największą do tej pory instalacją jest ta przy porcie lotniczym Sztokholm-Arlanda przedstawiona na rysunku 2.7. Zastosowana instalacja zmniejsza zużycie energii elektrycznej o 4GW h/rok i ciepła o około 15GW h/rok co daje w sumie 19GW h/rok. Odpowiada to energii zużywanej przez 2000 domów jednorodzinnych. Oszacowano, że system obniża koszty za energię o co najmniej 1 mln euro rocznie. Koszt inwestycji wyniósł około 5 mln euro, a szasowany czas zwrotu inwestycji to 5 lat [95].. 2.4. Magazynowanie ciepła w jaskiniach (kawernach) Magazyny ciepła w jaskiniach (kawernach – CTES) są magazynami ciepła wykorzystującymi wodę jako medium magazynujące. Do zasadniczych właściwości tego typu magazynu zaliczyć można: stabilność mechaniczną, szczelność, dobrą izolacyjność cieplną oraz odizolowanie od otoczenia. Zaletą magazynowania w kawernach jest duża moc zasilania i odbioru energii, podczas gdy wadą są duże nakłady finansowe. Natomiast można znaleźć przykłady adaptacji starych kawern do gromadzenia oleju w celu wykorzystania ich jako magazyny ciepła [54]..

(20) 3. Przegląd modeli otworowych wymienników ciepła z podziemnym magazynem ciepła. 3.1. Wstęp Pomimo, iż od wielu lat wykonuje się instalacje magazynowania ciepła i chłodu, to między innymi prace badawcze [13, 18, 40] przyczyniły się do szerszego stosowania technologii magazynowania ciepła z wykorzystaniem otworowych wymienników ciepła. W Polsce problem magazynowania energii z wykorzystaniem otworowych wymienników ciepła podjęto w pracach [23, 45, 50, 76, 77, 80, 85, 86] oraz wykorzystania pomp ciepła w pracach [31]-[36]. Nadal ważnym obszarem badań jest modelowanie, które jest istotnym narzędziem do optymalizacji systemu, badania długoterminowej wydajności oraz określenia efektywnej przewodności cieplnej górotworu. Szczegółowe symulacje konieczne są również do oszacowania korzyści ekonomicznych i ekologicznych takich instalacji. Przewymiarowanie instalacji lub instalacja ze zbyt małą liczbą wymienników prowadzą do dużych kosztów i strat. Dlatego wymagane jest opracowanie efektywnego, niezawodnego i dokładnego narzędzia obliczeniowego. Transport ciepła w podziemnym magazynie energii jest problem sprzężony z przepływem płynu. Sprzężenie polega na transporcie ciepła na drodze konwekcji z płynu do ścianki U-rurki, a następnie na drodze przewodzenia do uszczelnienia otworu i dalej do górotworu, w którym wymiana ciepła odbywa się w wyniku przewodzenia, konwekcji wód gruntowych oraz jej adwekcyjnej działalność. Dodatkowe trudności powodują anizotropowe właściwości górotworu oraz możliwe do wystąpienia przemiany fazowe. Na rysunku 3.1 przedstawiono ogólny schemat przepływu ciepła w podziemnym magazynie energii wykorzystującym otworowe wymienniki ciepła. Istniejące modele znacznie upraszają przedstawiony na rysunku 3.1 schemat przepływu ciepła. Można je podzielić na analityczne oraz numeryczne, które z kolei dzielą się na modele globalne dotyczące transportu ciepła i masy w górotworze oraz wy19.

(21) Rysunek 3.1. Schemat przepływu ciepła w podziemnym magazynie energii. mienniku oraz modele lokalne dotyczące wyłącznie transportu ciepła i masy w obrębie wymiennika. W pracy skupiono się na podziemnym magazynie ciepła z otworowym wymiennikiem ciepła z pojedynczą U-rurką, ze względu na fakt, że taki układ ma najczęstsze zastosowanie w praktyce.. 3.2. Modele analityczne Obecnie istnieje wiele modeli analitycznych, dzięki którym można określić zmienny w czasie przepływ ciepła w obrębie pionowego U-rurowego wymiennika ciepła. Również w Polsce opracowano teoretyczny model otworowego wymiennika ciepła (ang. Borehole Heat Exchanger – BHE ) przedstawiony w pracy [79]. Wiele modeli analitycznych opiera się na rozwiązaniu zaproponowanym przez Ingersolla i Plassa [44] tzw. modelu źródła liniowego oraz zaprezentowanym przez Carslawa i Jaegera [12] tzw. modelu źródła cylindrycznego. Dlatego zostały obszernie opisane w dalszej części tego rozdziału. 20.

(22) Rysunek 3.2. Schemat wymiany ciepła w modelu źródła liniowego [26]. 3.2.1. Model wymiany ciepła w postaci źródła liniowego Model źródła liniowego (Kelvin’s Line Source) jest pierwszym modelem opisującym transport ciepła wokół otworowego wymiennika ciepła. W modelu tym U-rurka i uszczelnienie są aproksymowane liniowym źródłem ciepła z zaniedbanym wymiarem promieniowym, w związku z tym nie uwzględnia się ciepła właściwego czynnika, U-rurki i uszczelnienia (rys. 3.2). Model LSM zakłada, że: • źródło otworowego wymiennika ciepła jest źródłem nieskończonym liniowym o stałej mocy, • rozważany górotwór jest medium nieskończonym o jednolitej temperaturze początkowej, • pominięty zostaje przepływ ciepła od powierzchni górnej w głąb górotworu, • model jest modelem jednowymiarowym. Równanie opisujące rozkład temperatury w funkcji czasu i odległości od osi wymiennika (promień) przedstawiono poniżej: ql 4at T (r, t) − T0 = ln −γ 4πλs r2 . . . . (3.1). gdzie; γ ∼ = 0.5772 . . . – stała Eulera, T0 – niezakłócona temperatura górotworu,. ql – strumień ciepła źródła liniowego, λs – współczynnik przewodzenia górotworu, a – dyfuzyjność cieplna górotworu, t - czas, r – promień w cylindrycznym układzie współrzędnych [26]. Wadą modelu jest nieuwzględnianie efektów wymiany ciepła w samym otworze, gdyż założono przewodzenie ciepła tylko w kierunku radialnym. Następnym przybli-. żeniem jest modelowanie wewnętrznej struktury otworu, gdzie zastosowano ogólny 21.

(23) współczynnik wymiany ciepła, który jest wspólny dla rezystancji cieplnej zarówno skał, jak również konstrukcji otworu. W końcu model źródła liniowego bazuje na stałej wartości strumienia ciepła. W celu modelowania zjawisk wymiany ciepła w wymienniku otworowym w funkcji czasu przyjmuje się średni strumień ciepła w każdym miesiącu [28]. W pracy [37] Hart i Couvillion przedstawiają model stałej wymiany ciepła miedzy górotworem i źródłem liniowym. W wyniku zastosowania modelu uzyskuje się rozkład temperatur wokół źródła liniowego zależny od czasu eksploatacji. Efekt interferencji cieplnej pomiędzy otworami modelowany jest przez superpozycję rozwiązań z pojedynczych wymienników. Model ten ma jednak podobne ograniczenia, jak model źródła liniowego [28]. W pracy [61] zaprezentowano nowy model analityczny oparty na modelu źródła liniowego i uwzględniający przepływ wód gruntowych. Jeszcze innym modelem opartym na teorii źródła liniowego jest model prezentowany w pracy [14]. Pozwala on na analizę wymienników ciepła pochylonych względem powierzchni gruntu. Pomimo przedstawionych powyżej krytycznych uwag, metoda źródła liniowego znalazła szerokie zastosowanie do wyznaczenia przewodności cieplnej górotworu w tzw. teście reakcji termicznej (ang. Thermal Response Test – TRT ). Przykładem tego są prace prowadzone w latach 1996-2000 przez Eklöfa i Gehlina, Gehlina i Nordella, Sannera oraz Cruickshanksa [26]. 3.2.2. Model wymiany ciepła w postaci źródła cylindrycznego W modelu źródła cylindrycznego Carslawa i Jaegera [12] otwór traktowany jest jako nieskończony walec otoczony jednorodnym materiałem o stałych własciwosciach. Strumień ciepła jest wprost zadany na powierzchni bocznej otworu, co oznacza, że pojemność cieplna U-rurki i uszczelnienia jest całkowicie pomijana. Model ten znany jest również pod nazwą „hollow” (rys. 3.3). Równanie opisujące rozkład temperatury w funkcji czasu i odległości od osi otworu (promienia) przy założeniu, że źródło jest źródłem cylindrycznym ze stałą mocą, przedstawiono poniżej [26]: . . Z∞ J (ur)Y (ur ) − Y (ur)J (ur ) qc  −au2 t 0 1 b 0 1 b θ(r, t) = 2 e −1 du 2 2 2 π λ s rb u [J1 (urb ) + Y1 (urb)] 0. (3.2). gdzie: J0 , J1 , Y0 , Y1 – funkcje Bessela, θ = T (r, t) − T0 , qc – strumień ciepła źródła cylindrycznego, rb – promień otworu wymiennika.. Bazując na teorii źródła cylindrycznego, Kavanaugh [48] przedstawił model do określania rozkładu temperatury w górotworze. Model ten również zakłada kilka 22.

(24) Rysunek 3.3. Schemat wymiany ciepła w modelu źródła cylindrycznego [26]. uproszczeń. Górotwór jest jednorodnym nieskończonym medium, zakłada się stałą temperaturę powierzchni ściany otworu lub stały strumień ciepła miedzy górotworem a ścianą otworu. Założono również, że wymiana ciepła między nośnikiem w otworze a górotworem odbywa się przy doskonałym kontakcie mediów, w wyniku czystego przewodzenia ciepła, bez uwzględnienia wnikania ciepła, które zależy między innymi od prędkości przepływu nośnika ciepła [28].. 3.2.3. Model wymiany ciepła zaproponowany przez Eskilsona. Modele źródła liniowego oraz źródła cylindrycznego pomijają przepływ ciepła wzdłuż wymiennika, z tego powodu nie są odpowiednie do długo-czasowych analiz pracy takich systemów. Dodatkowo źródło ciepła jest źródłem zadanym na nieograniczonej prostej w przypadku źródła liniowego oraz na powierzchni bocznej walca o nieskończonej długości w przypadku źródła cylindrycznego (tzw. nieskończone źródło ciepła). Eskilson w pracy [21] przedstawił nowy model, w którym zaproponował ograniczenie długości źródła ciepła i założył że: • górotwór jest jednorodny ze stałą temperaturą na brzegu i stałymi warunkami brzegowymi, • pojemność cieplna takich elementów jak: płyn, U-rurki oraz uszczelnienie jest pomijalna. Podstawowe równanie opiera się na równaniu przewodzenia ciepła we współrzędnych cylindrycznych: 23.

(25) ∂2T 1 ∂T ∂2T 1 ∂T + + = 2 2 ∂r r ∂r ∂z a ∂t T (r, 0, t) = T0. (3.4). T (r, z, 0) = T0. (3.5). ql =. 1 H. D+H Z D.

(26) ∂T

(27)

(28) 2πrλ

(29). ∂r. (3.3). (3.6). dz r=rb. gdzie: H – długość wymiennika; D – górna część otworu, która może zostać zaniedbana w praktyce inżynierskiej. Do wyznaczenia rozkładu temperatury górotworu w otoczeniu pojedynczego wymiennika ze skończoną długością wykorzystano metodę różnic skończonych w walcowym układzie współrzędnych. Ostatecznie otrzymano rozwiązanie równania (3.3), które przedstawia rozkład temperatury na ścianie bocznej otworu wymiennika jako funkcję t/ts i rb /H, tzw. funkcję ”g”: t rb ql g , Tb − T0 = − 2πλs ts H . gdzie ts =. H2 9a. . (3.7). oznacza, że po czasie ts występuje wymiana ciepła w stanie ustalony.. Opisane w modelu funkcje „g” reprezentują specyficzne konfiguracje otworów. Określenie konfiguracji otworowych wymienników ciepła odnosi się do geometrycznego układu większej ich liczby. Model Eskilsona [21] opisuje zmienność obciążenia źródła ciepła w postaci wymienników otworowych w zależności od konsumpcji ciepła, przewodności cieplnej górotworu, konstrukcji otworu i użytych materiałów oraz efektu interferencji cieplnej pobliskich wymienników ciepła. Główną wadą tego modelu jest to, że nie uwzględnia zmian przewodności cieplnej od temperatury oraz wpływu przemian fazowych wody w górotworze na strumień ciepła [28]. Eskilson dość obszernie opisał swoje dokonania na temat otworowych wymienników ciepła w swojej pracy doktorskiej [21]. 3.2.4. Model wymiany ciepła w postaci skończonego źródła liniowego Model skończonego źródła liniowego bazuje na modelu Eskilsona. Uwzględnia głębokość otworu, a powierzchnię górotworu traktuje jako brzeg. Model ten zakłada, że: • grunt jest jednorodnym, półnieskończonym medium o stałych właściwosciach termicznych, • warunki brzegowy i początkowy są stałe, • zaniedbany jest promieniowy wymiar otworu, więc otwór może być traktowany jako źródło liniowe rozciągające się od pewnej granicy do określonej głębokości „H”, 24.

(30) • moc źródła ciepła jest stała. Równanie opisujące rozkład temperatury w górotworze przedstawiono poniżej [89]: ql T (r, z, t) − T0 = 4πλs. ZH 0. . erfc. q. . 2 r 2 +(z−h) √ 2 at. . r 2 + (z − h)2. erfc. . 2 r 2 +(z+h) √ 2 at. .  dh −q r 2 + (z + h)2. (3.8). W równaniu 3.8 można zauważyć, że temperatura na ściance otworu, gdzie r = rb , zmienia się z czasem i głębokością otworu. Czas całkowania tego równania jest dużo krótszy niż czas rozwiązania tego samego problemu numerycznie. Należy zwrócić uwagę na fakt, że gdy czas dąży do nieskończoności, temperatura w modelu źródła liniowego wzrasta do nieskończoności, podczas gdy temperatura z modelu źródła liniowego o skończonej głębokości dąży do wartości stałej, co odpowiada rzeczywistemu procesowi wymiany ciepła. W odniesieniu do analiz długo-czasowych mogą występować znaczne rozbieżności pomiędzy tymi modelami [26]. Oba modele: Eskilsona i model skończonego źródła liniowego pomijają pojemność cieplną uszczelnienia, U-rurki oraz płynu. Rozkład temperatury jest poprawny tylko dla analiz, w których czas jest większy od wartości. 5r 2 , a. co wyznaczył Eskilson w pracy. [21]. Wszystkie omówione do tej pory modele analityczne należą do grupy modeli globalnych, dla których transport ciepła rozpatrywany jest tylko wokół wymiennika, a nie w nim samym. Takie podejście znacznie skraca czas obliczeń, jednak nie zapewnia odpowiedniej dokładności, ponieważ nie uwzględnia szeregu zjawisk występujących wewnątrz wymiennika. 3.2.5. Modele uwzględniające przepływ ciepła wewnątrz otworu Kluczowym elementem analizy wymiany ciepła w wymienniku otworowym jest uwzględnienie wpływu konfiguracji U-rurki oraz materiału uszczelniającego na transport ciepła. Można tego dokonać na kilka sposobów. Najpopularniejszy zakłada, że U-rurka jest pojedynczą rurą o ekwiwalentnej średnicy [29]. Jednakże metoda ta nie uwzględnia relacji termicznych pomiędzy rurami wymiennika i zaniedbuje zmiany temperatury płynu wzdłuż wymiennika. Pojemność cieplna otworu oraz osiowy przepływ ciepła w uszczelnieniu i w U-rurce również są pomijane. Alternatywą dla modelu z ekwiwalentną średnicą rury jest proponowany w pracy Paula [69] współczynnik kształtu, który sprowadza wpływ konfiguracji U-rurek oraz materiału uszczelniającego do dwóch głównych współczynników określonych na podstawie wielu eksperymentów. Wadą tej metody jest to, że współczynniki kształtu zostały wyznaczone tylko dla typowych i podstawowych konfiguracji, stąd nie są uniwersalne i nie mogą być stosowane dla wszystkich konfiguracji wymiennika. 25.

(31) Ostatnio zaprezentowaną w pracy [57] metodą analityczną jest tzw. metoda „conformal-mapping”. Pozwala ona na prowadzenie analizy procesu wymiany ciepła zarówno wewnątrz otworu, jak i w górotworze. Wadą tej metody jest zastosowanie modelu skończonego źródła liniowego do określenia rozkładu temperatury w górotworze. Jednym z ważniejszych podejść analitycznych jest to zaprezentowane przez Eskilsona oraz Claessona [22]. Zakładając stałe w czasie warunki, promieniowy transport ciepła w wymienniku może być opisany z wykorzystaniem modelu oporu cieplnego w układzie trójkąta (rys. 3.4). Opory cieplne w układzie trójkąta można z dużą do-. Rysunek 3.4. Przekrój poprzeczny wymiennika oraz model oporu cieplnego w układzie trójkąta; T1,2 - temperatura płynu, Tb - temperatura ścianki otworu, R1,2,12 - opór cieplny, q1,2,12 - strumienie ciepła [22]. kładnością obliczyć analitycznie stosując tak zwaną metodę „Multipole Method” [9]. Hellstrom w pracy [40] przedstawił opory cieplne w następujący sposób: Ra =. R12 (R1 + R2 ) R1 + R2 + R12. (3.9). R1 R2 (3.10) R1 + R2 Wykorzystując przedstawiony powyżej model, analizy należy prowadzić z czasem Rb =. większym niż wartość tb =. 5d2b , 4a. stanowi to jedną z jego głównych wad [22].. Uwzględniając pojemność cieplną elementów wymiennika w modelu oporu cieplnego, otrzymano tak zwany „model oporu cieplnego i pojemności”(TRCM). Przeprowadzając obliczenia z wykorzystaniem modelu TRCM można znacznie skrócić czas tb , ponieważ model nie zakłada warunków dla stanu ustalonego. W ostatnich latach powstało kilka modeli tego typu [1, 2, 43]. W celu połączenia wysokiej dokładności modelu oporu cieplnego w układzie trójkąta dla analiz długo-czasowych z modelem nieustalonym TRCM, został opracowany nowy dwuwymiarowy model TRCM dla różnych typów wymienników, co przedstawiono w pracy [8]. W pracy [68] poprawiono 26.

(32) model TRCM uwzględniając pojemność cieplną płynu oraz rury wymiennika oraz poprawiono obliczenia związane z rozstawem U-rurek.. 3.3. Modele numeryczne W ostatnich latach dynamiczny rozwój numerycznych technik i metod obliczeniowych oraz wzrost mocy obliczeniowej komputerów przyczynił się do opracowania wielu modeli numerycznych. Eskilson [21] określił temperaturę gruntu wokół otworowego wymiennika ciepła (BHE) wykorzystując jawną metodę różnic skończonych w dwuwymiarowym układzie współrzędnych. Zaproponował również bezwymiarowy współczynnik nazywany funkcją „g” do określenia wydajności wymiennika otworowego dla różnych konfiguracji. Hellstrom [40] opracował model dla zespołu pionowych wymienników ciepła i określił wydajność takiego zespołu, opierając się na superpozycji lokalnego stałego strumienia ciepła i rozwiązania globalnego. Kavanaugh [47] wykorzystał dwuwymiarowy model różnic skończonych do badania wydajności koncentrycznego otworowego wymiennika ciepła. Lei [55] zastosował metodę różnic skończonych do opracowania modelu U-rurowego wymiennika ciepła. Wprowadził podwójny dwuwymiarowy cylindryczny układ współrzędnych do uproszczenia problemu z trójwymiarowego do dwuwymiarowego. Wykorzystując jawną metodę różnic skończonych, Rottmayer [72] opracował numeryczny model U-rurowego wymiennika ciepła. Również Lee i Lam [53] opracowali numeryczny model otworowego wymiennika ciepła wykorzystując jawną trójwymiarową metodę różnic skończonych. Oppelt [64] wykorzystał metodę różnic skończonych do analizy wymiany ciepła w uszczelnieniu dla podwójnego U-rurowego wymiennika ciepła. Zaproponował nowy sposób aproksymacji uszczelnienia poprzez dokonanie jego podziału na trzy podobszary. Muraya [62] w swojej pracy zastosował metodę elementów skończonych do badania zależności pomiędzy rurami U-rurki. Li i Zheng [56] zaprezentowali trójwymiarowy model pionowego U-rurowego wymiennika ciepła wykorzystując metodę objętości skończonych. Powstało również wiele modeli wykorzystujących metodę elementów lub objętości skończonych. W pełni dyskretne modele wymienników otworowych są w stanie rozwiązywać efekty przejściowe oraz określać poprawną geometrią otworu [38, 52, 75, 78]. Aby zmniejszyć czas obliczeń niektóre modele zostały ograniczone do dwuwymiarowych. Przykładem tego są modele opracowane przez Yavuzurk [87] i Austin [4]. Jednakże, do kompletnego opisu wymiany ciepła, tylko modele trójwymiarowe uwzględniają przepływ ciepła wewnątrz i na zewnątrz otworu, różne warstwy gruntu, gradient geotermiczny, zmienny w czasie przepływ płynu w U-rurze, poprawne warunki brzegowe. W pełni dyskretne modele BHE oferują uzyskanie dokładnych wyników symulacji 27.

(33) nawet przy szybko zmieniających się warunkach brzegowych. Z drugiej jednak strony, pomimo nowoczesnych komputerów oraz możliwości przetwarzania równoległego, w pełni dyskretne modele prowadzą do długo-czasowych analiz, ze względu na dużą liczbę elementów niezbędnych do dyskretyzacji otworu wymiennika. Z tego powody procedura estymacji parametrów może być zadaniem nierozwiązywalnym. Dodatkowo wysiłek włożony w wykonanie modelu jest znaczący. Dzieje się tak z powodu ekstremalnych wartości proporcji geometrii wymiennika (mała średnica w porównaniu do długości – duża smukłość), co z kolei wymaga bardziej zaawansowanych i wydajnych numerycznie strategii obliczeniowych. Nowa technika została zaproponowana przez Al-Khoury’ego [1, 3] oraz Al-Khoury’ego i Bonnier’a [2], którzy jako pierwsi używają jednowymiarowego elementu skończonego reprezentującego otwór wymiennika i element U-rurowy. Tak zwany model oporu cieplnego i pojemności (TRCM), opracowany przez Bauer’a [8], poprawia sposób aproksymacji elementów wymiennika wprowadzając dodatkowe węzły dla obszaru uszczelnienia. Bauer wykazał, że aproksymacja zaproponowana w pracy Al-Khour’ego jest nie wystarczająca i mniej dokładna dla analiz zmiennych w czasie. W pracy Diersch’a [15, 16] poprawiono model Al-Khour’ego stosując aproksymację zaproponowaną przez Bauer’a [8]. Wspomniane powyżej modele, traktujące otwór wymiennika jako element jednowymiarowy, nie uwzględniają faktu, że podczas odbioru lub dostarczania ciepła do górotworu występuje duża różnica temperatur pomiędzy rurami wymiennika, zwłaszcza w początkowej fazie procesu, co zostało zaobserwowane w pracach [41, 64, 78]. Z tego powodu autor podjął próbę opracowania własnego modelu numerycznego.. 3.3.1. Numeryczny model otworowego wymiennika ciepła w pakiecie ANSYS CFX Model ten zaprezentowany został w pracy [30], a następnie zweryfikowany podczas symulacji testu reakcji termicznej (TRT), co zostało opisane w artykule [78]. Zaproponowany model zakłada, że transport ciepła w najbliższym otoczeniu otworowego wymiennika ciepła jest zagadnieniem opisywanym w funkcji współrzędnych przestrzennych i czasu. Jest to również problem sprzężony z przepływem płynu. Sprzężenie polega na transporcie ciepła na drodze konwekcji z płynu do ścianki U-rurki, a następnie na drodze przewodzenia do uszczelnienia otworu i dalej do górotworu (rys. 3.5). Przyjęto, że wymiana ciepła w górotworze na drodze konwekcji jest pomijalna (brak warstw wodonośnych z filtracją wody). Założenie takie można przyjąć dla skał o małej przepuszczalności. W modelu uwzględniono zmiany przewodności cieplnej górotworu wraz z głębokością, jak również zmiany warunków brzegowych w czasie 28.

(34) Rysunek 3.5. Schemat wymiany ciepła w wymienniku i górotworze. i przestrzeni. Transport ciepła w górotworze został opisany równaniem różniczkowym nieustalonego przewodzenia ciepła: ∂Ts ∂ λs (z) ∂x ∂x. !. ∂ ∂Ts + λs (z) ∂y ∂y. !. ∂ ∂Ts + λs (z) ∂z ∂z. !. = cs ρs. ∂Ts ∂t. (3.11). gdzie: Ts – temperatura górotworu, λs – współczynnik przewodzenia ciepła górotworu, cs – ciepło właściwe górotworu, ρs – gęstość górotworu, t – czas, x, y, z – współrzędne w kartezjańskim układzie współrzędnych. Aby wyznaczyć pola prędkości, temperatury oraz ciśnienia w całym analizowanym obszarze płynu, przepływ czynnika opisano równaniami w układzie kartezjańskim. W modelu założono, że płyn jest newtonowski, jego właściwości termo-fizyczne takie jak przewodność, ciepło właściwie, gęstość są stałe, ponadto nie występują reakcje chemiczne oraz przemiany fazowe, natomiast lepkość czynnika jest zależna od temperatury. Dla tak określonych właściwości płynu otrzymuje się następujące równania: • Naviera–Stokesa: ρf. ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z. ρf. ∂vy ∂vy ∂vy ∂vy + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z. !. =−. !. =−. ∂p + ∂x ! ∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx + µf (Tf ) + ρf gx (3.12) + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂p + ∂y ! ∂ 2 vy ∂ 2 vy ∂ 2 vy + + + ρf gy (3.13) + µf (Tf ) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 29.

(35) ρf. !. ∂p + ∂z ! ∂ 2 vz ∂ 2 vz ∂ 2 vz + µf (Tf ) + + + ρf gz (3.14) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2. ∂vz ∂vz ∂vz ∂vz + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z. =−. • ciągłości przepływu: ∂ ∂ ∂ ∂ρf + (ρf vx ) + (ρf vy ) + (ρf vz ) = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z. (3.15). • transportu ciepła w płynie: ∂Tf ∂Tf ∂Tf ∂Tf λf + vx + vy + vz = ∂t ∂x ∂y ∂z ρf · cf. ∂ 2 Tf ∂ 2 Tf ∂ 2 Tf + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2. !. (3.16). gdzie: vx , vy , vz – składowe wektora prędkości przepływu płynu, Tf – temperatura płynu, p – ciśnienie, λf – współczynnik przewodzenia płynu, cf – ciepło właściwe płynu ρf – gęstość płynu, µf – lepkość dynamiczna płynu, gx,y,z – składowa siły grawitacji. Po przyjęciu warunków początkowych oraz brzegowych odpowiednio dla rozpatrywanego przypadku (rozdział 7.2), powyższe równania rozwiązano z wykorzystaniem pakietu Ansys CFX. Wykorzystujący metodę objętości skończonych pakiet Ansys CFX pozwala rozwiązywać cząstkowe równania różniczkowe o zmiennych warunkach brzegowych. Główną wadą przedstawionego modelu oraz proponowanego sposobu rozwiązania z wykorzystaniem oprogramowania Ansys jest długi czas obliczeń, który w zależności od przyjętej siatki elementów wynosi od kilkunastu godzin do kilku tygodni, dla obliczeń prowadzonych na ośmio-rdzeniowym komputerze z 16GB pamięci RAM. 3.3.2. Model MES quasi-3D otworowego wymiennika ciepła Kolejną próbą opracowania własnego modelu numerycznego jest model upraszczający transport ciepła w płynie i U-rurce z trójwymiarowego do jednowymiarowego natomiast transport ciepła w materiale uszczelniającym modelowany jest jako trójwymiarowy. Model ten nazwano ang. quasi-3D (q3D). W pełni trójwymiarowe numeryczne modele obliczeniowe dają możliwość uwzględnienia przepływu ciepła wewnątrz i na zewnątrz otworu, anizotropię właściwości termicznych górotworu oraz szybko zmieniające się w funkcji czasu i współrzędnych np w układzie kartezjańskim warunków brzegowych. Niestety, jak wspomniano wcześniej, wymagają długiego czasu obliczeń (od kilkunastu godzin do kilku tygodni) ze względu na dużą liczbę elementów. Często niezbędna jest dyskretyzacji na kilka milionów elementów. W celu skrócenia czasu obliczeń przy zachowaniu dokładności rozwiązania na 30.

(36) zadowalającym poziomie, w pracy [84] zaprezentowano nowy quasi-3D model numeryczny. Nowe podejście polega na uproszczeniu transportu ciepła w płynie i U-rurce z trójwymiarowego do jednowymiarowego przy zachowaniu trójwymiarowego opisu w materiale uszczelniającym oraz górotworze (rys. 3.6).. Rysunek 3.6. Schemat zastosowanych uproszczeń w otworowym wymienniku ciepła. Transport ciepła w najbliższym otoczeniu otworowego wymiennika ciepła opisano równaniem różniczkowym nieustalonego przewodzenia ciepła (3.11). Do opisu transportu ciepła w U-rurkach wymiennika zastosowano następujące równania: ∂Ti ∂Ti ∂Ti ∂ ρf cf λf + ρf cf ui − ∂t ∂z ∂z ∂z. !. − big (Tg − Ti ) = 0. (3.17). ∂To ∂To ∂ ∂To λf + ρf cf uo − ρf cf ∂t ∂z ∂z ∂z. !. − bog (Tg − To ) = 0. (3.18). gdzie: Ti – temperatura płynu na wpływie do U-rurki, To – temperatura płynu na wypływie z U-rurki, Tg – temperatura materiału uszczelniającego, ui = u – prędkość przepływu płynu dla rury zasilającej, uo = −u – prędkość przepływu płynu dla rury. powrotnej, big,og – współczynniki wymiany ciepła pomiędzy płynem a materiałem uszczelniającym uwzględniające konwekcję i przewodzenie. Równania (3.17)-(3.18) przedstawiają jednowymiarowy adwekcyjno-przewodnościowy model opisujący transport ciepła w płynie w pojedynczej U-rurce. Pomimo 31.

(37) uproszczenia transportu ciepła w płynie z modelu trójwymiarowego do jednowymiarowego zachowano rzeczywisty przepływ ciepła we wszystkich elementach wymiennika, jak również wzajemne oddziaływanie pomiędzy tymi elementami. Reprezentacja nośnika ciepła w postaci jednowymiarowego elementu skończonego powoduje, że uwzględnione są zmiany temperatury wzdłuż jego osi, natomiast zaniedbuje się zmiany temperatury w kierunku promieniowym. Ten ostatni warunek jest istotny ze względu na dużą smukłość wymiennika otworowego. Normalne do powierzchni styku płynu z materiałem uszczelniającym strumienie ciepła wzdłuż osi pionowej są w pełni zachowane. W celu określenia współczynników wymiany ciepła pomiędzy płynem a wypełnieniem wymiennika wyznaczono odpowiednie opory cieplne. Opór cieplny definiowany jest na podstawie parametrów materiałowych i geometrycznych wymiennika. Pomiędzy płynem a obszarem uszczelnienia jest on zdefiniowany przez adwekcję ciepła w elemencie rurowym oraz przewodzenie przez ściankę rury. Mamy zatem klasyczny przykład transportu ciepła przez dwuwarstwową ściankę cylindryczną [70]: Rig = Rog = Radv + Rcon. (3.19). Opór cieplny w wyniku adwekcji w elemencie rurowym opisany jest za pomocą równania: Radv = gdzie α=. 1 α2πrp,i. (3.20). Nuλf dp,i. (3.21). Ponieważ liczba Nusselta zmienia się w zależności od rodzaju przepływu, określono ją zgodnie z pracą [15] w następujący sposób:. Nu =.                                 . 4.364. dla. Re < 2300. (ξ/8)RePr. √. 1+12.7. ξ/8(Pr2/3 −1). (1 − γ)4.364 + γ. . . 1+. . dp,i 2/3 lp. . dla. (0.0308/8)104 P r. √. 1+12.7. dla 2300 ¬ Re < 104. 0.0308/8(P r 2/3 −1). Re > 104 . 1+. . dp,i 2/3 lp. . gdzie, Pr reprezentuje liczbę Prandtla, a Re liczbę Reynoldsa, określone jako Pr =. cf µ f ρf udp,i , Re = λf µf. oraz ξ = (1.8 log Re − 1.5)−2 32. (3.22).

(38) Re − 2300 (0 ¬ γ ¬ 1) 104 − 2300 Opór cieplny w wyniku przewodzenia w materiale rury jest określony poniższą zależγ=. nością. Rcon =. ln. . rp,o rp,i. 2πλp. . (3.23). gdzie: rp,o – promień zewnętrzu U-rurki wymiennika, rp,i – promień wewnętrzny U-rurki wymiennika, dp,i – średnica wewnętrzna U-rurki wymiennika, lp – długość U-rurki, λp – współczynnik przewodzenia ciepła U-rurki wymiennika. Po przyjęciu warunków początkowych oraz brzegowych odpowiednio do rozpatrywanych przypadków, przedstawionych w rozdziałach 6.3, 6.4 i 7.2 , powyższe równania można rozwiązać z wykorzystaniem pakietu Ansys. Opracowany model numeryczny przeznaczony jest dla wymienników z pojedynczą U-rurką, choć można go również stosować dla wymienników zbudowanych z dwóch i więcej U-rur. Zaproponowane podejście pozwala na znaczne skrócenie czasu obliczeń..

(39) 4. Modelowanie otworowego wymiennika ciepła z wykorzystaniem elementu skończonego o wielu stopniach swobody. 4.1. Wstęp Większość przedstawionych we wcześniejszych rozdziałach modeli analitycznych oraz numerycznych nie uwzględnia faktu, że podczas magazynowania lub odbioru ciepła z górotworu występuje znaczna różnica temperatur pomiędzy rurami wymiennika, szczególnie w początkowej fazie tych procesów. Z kolei modele w pełni dyskretne uwzględniają to zjawisko, natomiast nie mają większego praktycznego zastosowania ze względu na długi czas obliczeń. W pracy zaproponowano nowy, oryginalny model, który jest rozwinięciem modeli numerycznych bazujących na metodzie elementów skończonych proponowanych w pracach Al-Khour’ego [1] i Diersch’a [15]. Przedstawiony model nazwano MDF (ang. Multiple Degrees of Freedom).. 4.2. Opis matematyczny Prezentowany w niniejszym rozdziale model matematyczny dotyczy wymiennika otworowego, składającego się z otworu wypełnionego uszczelnieniem, w którym znajdują się dwie rury tworzące kształt U. Na rysunku 4.1 przedstawiono przekrój poprzeczny pionowego otworowego wymiennika ciepła z pojedynczą U-rurą. Procesy cieplne w obrębie otworu traktowane są jako lokalne, powiązane z górotworem poprzez relacje termiczne. Ograniczono się do przedstawienia modelu lokalnego, dotyczącego wymiany ciepła w obrębie otworu wymiennika. Nowy model sformułowano za pomocą równań zachowania energii (4.1)-(4.5), dla każdego obszaru wymiennika. Wykorzystując metodę różnic skończonych, Oppelt [64] jako pierwszy zaproponował aproksymację uszczelnienia do trzech węzłów dla wymienników z podwójną U-rurką. Opierając się na jego pracy oraz stosując metodę elementów skończonych dokonano 34.

(40) podziału uszczelnienia na podobszary jak na rys. 4.3. Jak stwierdzono wcześniej duża. Rysunek 4.1. Przekrój poprzeczny pionowego otworowego wymiennika ciepła z pojedynczą U-rurą. smukłość wymiennika powoduje wiele trudności natury numerycznej. Problem ten rozwiązany został w pracy Al-Khury’ego [1]. Zaproponowane sformułowanie pozwala przedstawić elementy otworu jako jednowymiarowy element skończony opisujący rury oraz uszczelnienie. Pomimo takiego uproszczenia zachowano rzeczywisty przepływ ciepła we wszystkich elementach wymiennika, jak również wzajemne oddziaływanie pomiędzy tymi elementami. Reprezentacja otworu w postaci elementu skończonego jednowymiarowego powoduje, że zachowane są zmiany temperatury wzdłuż osi tego elementu, natomiast zaniedbuje się zmiany temperatury w kierunku promieniowym. Ten ostatni warunek jest istotny ze względu na dużą smukłość wymiennika otworowego i jego elementów. Strumienie ciepła normalne do powierzchni styku otworu z górotworem wzdłuż osi wymiennika są zachowane. Badania przedstawione w pracach [41, 64] oraz [78] potwierdzają, że pomiędzy rurami wymiennika występuje znaczna zmiana temperatury podczas odbioru lub dostarczania ciepła do górotworu. Stąd zdecydowano się na podział obszaru wypełniania na trzy podobszary: rdzeń oraz pozostałą przestrzeń otworu podzieloną na pół w celu odtworzenia różnicy temperatury pomiędzy częścią wlotową i częścią powrotną (rys. 4.3). Wymiennik modelowano z wykorzystaniem funkcji kształtu stopnia drugiego. Dla takiej reprezentacji wymiennika z pojedynczą U-rurą uzyskuje się 5 stopni swobody w każdym węźle elementu. Na rysunku 4.2 przedstawiono schemat strumieni ciepła w otworowym wymienniku ciepła, na podstawie którego wyprowadzono równania (4.1)-(4.5). 35.

(41) Rysunek 4.2. Schemat przepływu ciepła w otworowym wymienniku ciepła [1], gdzie: qi oznacza strumień ciepła płynu wpływającego, qo – strumień ciepła płynu wypływającego, qg,1,2,3 – strumienie ciepła materiału uszczelniającego odpowiednio podobszary g1, g2, g3, qs – strumień ciepła od górotworu. 4.2.1. Równania opisujące przepływ ciepła w elemencie Traktując elementarny wycinek wymiennika otworowego jako objętość kontrolną o długości dz, (rys. 4.3) można napisać następujące równania dla każdego z podobszarów wymiennika odpowiednio dla rury wlotowej, powrotnej oraz podobszarów uszczelnienia g1, g2, g3: ρf cf. ∂Ti ∂Ti ∂ 2 Ti + ρf cf ui − λf 2 − big1 (Tg1 − Ti ) − big3 (Tg3 − T i) = 0 ∂t ∂z ∂z. (4.1). ∂To ∂ 2 To ∂To + ρf cf uo − λf 2 − bog2 (Tg2 − To ) − bog3 (Tg3 − To ) = 0 (4.2) ∂t ∂z ∂z ∂Tg1 ∂ 2 Tg1 ρg cg − λg − big1 (Ti − Tg1 ) − bg1g2 (Tg2 − Tg1 ) − bg1g3 (Tg3 − Tg1 ) = 0 (4.3) ∂t ∂z 2 ρf cf. ρg cg. ∂Tg2 ∂ 2 Tg2 − λg − bog2 (To − Tg2 ) − bg2g1 (Tg1 − Tg2 ) − bg2g3 (Tg3 − Tg2 ) = 0 (4.4) ∂t ∂z 2. ρg cg. ∂Tg3 ∂ 2 Tg3 − λg − bg3g2 (Tg2 − Tg3 ) − bg3g1 (Tg1 − Tg3 ) ∂t ∂z 2 − bg3o (To − Tg3 ) − bg3i (Ti − Tg3 ) = 0 (4.5). gdzie: Ti – temperatura płynu na wpływie do U-rurki, To – temperatura płynu na wypływie z U-rurki, Tg1,g2,g3 – temperatura materiału uszczelniającego odpowiednio obszar g1, g2, g3, ui = u – prędkość przepływu płynu dla rury zasilającej, uo = −u – prędkość przepływu płynu dla rury powrotnej, b – współczynniki wymiany 36.

(42) ciepła pomiędzy podobrzarami wymiennika uwzględniające konwekcję i przewodzenie (indeksy oznaczają odpowiednie podobszary), ρg – gęstość materiału uszczelniającego, cg – ciepło właściwe materiału uszczelniającego, λg – współczynnik przewodzenia materiału uszczelniającego. Równania (4.1)-(4.5) przedstawiają model opisujący sprzężony adwekcyjno-przewodnościowy przepływ ciepła w pojedynczej U-rurce otworowego wymiennika ciepła z podziałem uszczelnienia na trzy podobszary g1, g2 oraz g3.. Rysunek 4.3. Przekrój otworowego wymiennika ciepła z podziałem na podobszary oraz reprezentacja elementu skończonego. 4.2.2. Warunki początkowe oraz brzegowe W czasie pracy otworowy wymiennik ciepła umieszczony jest w górotworze, stąd jako warunek początkowy na całej długości wymiennika przyjmuje się temperaturę równą temperaturze górotworu: Ti,o,g1,g2,g3 (z, t) = T. dla. t=0. (4.6). Zakładając, że znana jest temperatura płynu na wpływie do U-rurki przyjmuje się warunek brzegowy Dirichleta: Ti (z, t) = T (t). dla 37. z=0. (4.7).

(43) W celu uwzględnienia wymiany ciepła pomiędzy otworem wymiennika a górotworem na styku tych obszarów przyjęto warunek brzegowy von Neumanna – strumień ciepła z otoczenia gruntowego w kierunku normalnym do osi otworu: −λ. ∂Tg1 = bg1s (Tg1 − Ts ) ∂n. (4.8). −λ. ∂Tg2 = bg2s (Tg2 − Ts ) ∂n. (4.9). Ze względu na obszerność wymiana ciepła pomiędzy poszczególnymi elementami wymiennika została omówiona w rozdziale 4.3. 4.2.3. Dyskretyzacja na elementy skończone Do rozwiązania równań opisujących transport ciepła w wymienniku otworowym (4.1)-(4.5) zastosowano metodę elementów skończonych. Do dyskretyzacji równań (4.1)-(4.2) opisujących U-rurę wymiennika wykorzystano metodę Petrova-Galerkina [39], natomiast do dyskretyzacji równań (4.3)-(4.5) opisujących uszczelnienie wymiennika – metodę Galerkina [39, 81]. Wymienione powyżej metody prowadzą do następujących równań: Z. Wi Ri dVi = 0. (4.10). Z. Wo Ro dVo = 0. (4.11). NRg1 dVg1 = 0. (4.12). NRg2 dVg2 = 0. (4.13). NRg3 dVg3 = 0. (4.14). Vi. Vo. Z Z Z. Vg1. Vg2. Vg3. gdzie: Vo,i,g1−3 – objętości poszczególnych podobszarów, Wi,o – funkcje wagi odpowiednio dla równań opisujących przepływ płynu w rurze zasilającej oraz powrotnej, N – funkcje kształtu, Rg1−3 – reszty ważone. Należy zwrócić uwagę, że: • w drugiej rurze U-rurki płyn powraca, więc ui = u i uo = −u,. • w celu eliminacji numerycznych oscylacji rozwiązania równań (4.1)-(4.2), czyli równań z członem adwekcyjnym, badacze z dziedziny metod różnic skończonych a następnie elementów skończonych proponują modyfikację polegającą na dodaniu członu dyfuzyjnego do równania bilansu energii (4.15), zastosowano zatem funkcje wagi Petrova-Galerkina [39], zaproponowane po raz pierwszy do modelowania otworowych wymienników ciepła w pracy [1]: 38.

(44) αuh − λ + ρc 2. !. ∂2T ∂T + ρcu =0 2 ∂z ∂z. (4.15). Wi = N +. αh dN 2 dz. (4.16). Wo = N −. αh dN 2 dz. (4.17). gdzie α jest równe:. α=.         . 0.0. jeżeli. ctgh Pe 2 2 1 − Pe. −. Pe ¬ 0.1. jeżeli. 2 Pe. 0.1 ¬ Pe ¬ 8.0. jeżeli. Pe > 8.0. natomiast Pe = uh/λ (h jest długością charakterystyczną). Równanie (4.16) dotyczy funkcji wagi dla rury zasilającej, natomiast równanie (4.17) – rury powrotnej. Stosując procedurę dyskretyzacji na elementy skończone, zgodnie z którą przyjmuje się, że T ≡ NT e oraz po przegrupowaniu równań zachowania energii, otrzymujemy macierzowe równanie elementów skończonych [39, 81]:. M. . .      +    .          . dT + KT = F dt. Mi. 0. 0. 0. 0. Mg1. 0. 0. 0. 0. Mg3. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Ki. Kig1. Kig3. Kg1i. Kg1. Kg1g3 Kg1g2. Kg3i Kg3g1 0 0. Kg3. Kg2g1 Kg2g3 0. Kog3. (4.18). 0 0. Kg3g2 Kg3o Kg2. Kg2o. Kog2. Ko 39. 0. Mg2. 0           . T˙ e  i   e   0   T˙g1     ˙e  0   Tg3 . 0 Tie. . e Tg3 e Tg2 Toe.       . . . 0.    .  e  ˙ Tg2   T˙ e. Mo . . e  Tg1 . 0. =.          . Fi. o.  . Fg1 + Fg1s   Fg3. Fg2 + Fg2s Fo.       . (4.19).

(45) gdzie:. Ki = +. Z. Vi. Z. Kig3 = −. Ko = +. Z. +. Z. +. Z. Z. Sog3. Z. bog2 WoT NdSog2 +. Sog2. bog3 WoT NdSog3. Sg1i. Z. Sg1g3. Sg1s. Sg1g2. bg1g2 N T NdSg1g2 +. bg1s N T NdSg1s. bg1g2 N T NdSg1g2 bg1g3 N T NdSg1g3. ρg cg N T NdVg1 T. λg B BdVg2 +. (4.20) Z. Sg2o. T. bg2o N NdSg2o +. bg2g3 N T NdSg2g3 +. Sg2o. Z. Sg2s. bg2o N T NdSg2o. Z. Sg2g1. Sg2g3. Vg2. Z. Z. bg1i N NdSg1i. Sg1g2. Z. Sg1i. bg1i N T NdSg1i +. bg1g3 N T NdSg1g3 +. Z. Z. Z. T. Sg2g3. Kg2g3 = −. Z. bog2 WoT NdSog2. λg B T BdVg1 +. Z. Vg2. Kg2g1 = −. . ρf cf WoT NdVo. Z. Kg2o = −. Mg2 =. Sog2. Vg1. Z. big3 WiT NdSig3. bog3 WoT NdSog3. Sg1g3. Kg1g3 = −. big1 WiT NdSig1. λf PoT Bo + ρf cf uo WoT Bo dVo +. Z. Vg1. Kg1g2 = −. Kg2 =. . Z. Z. Sig1. big1 WiT NdSig1 +. ρf cf WiT NdVi. Vo. Kg1i = −. Mg1 =. Sig3. Sog3. Kog3 = −. Kg1 =. Z. Vo. Kog2 = −. Mo =. Sig1. Vi. Z. big3 WiT NdSig3. Z. Z. Z. . λf PiT Bi + ρf cf uiWiT Bi dVi +. Sig3. Kig1 = −. Mi =. . bg2g1 N T NdSg2g1 bg2g3 N T NdSg2g3. ρg cg N T NdVg2 40. Z. Sg2g1. bg2s N T NdSg2s. bg2g1 N T NdSg2g1 +.

(46) Kg3 = +. Z. Vg3. Z. Kg3o = − Kg3g1 = − Kg3g2 = −. Fg1s = Fg2s = zaś; Pi =. ∂Wi , ∂z. λg B BdVg3 +. Sg3g1. Kg3i = −. Mg3 =. T. Z. Sg3i. Z. Sg3o. Sg3g2. bg3g2 N T NdSg3g2. bg3g1 N T NdSg3g1 bg3g2 N T NdSg3g2. ρg cg N T NdVg3. Z. Sg1s. Sg2s. Bi =. Sg3g2. Sg3o. bg3o N T NdSg3o +. bg3o N T NdSg3o. Sg3g1. Z. Z. Z. bg3i N T NdSg3i. Z. Z. Sg3i. T. bg3i N NdSg3i +. bg3g1 N T NdSg3g1 +. Z. Vg3. Z. bg1s Ts N T dSg1s bg2s Ts N T dSg2s. ∂Ni ∂z. itd.. Do rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego (4.18) zastosowano metodę Krank-Nicolcon.. 4.3. Określenie współczynników wymiany ciepła W zaprezentowanych powyżej równaniach występuje wiele parametrów materiałowych oraz geometrycznych. Większość z nich jest określona przez producentów przy zastosowaniu standardowych procedur pomiarowych. W tym rozdziale przedstawiono, w jaki sposób określone zostały współczynniki wymiany ciepła bjk (indeksy j, k odpowiadają konkretnym elementom wymiennika) pomiędzy odpowiednimi elementami wymiennika (rys. 4.4), oraz pomiędzy wymiennikiem a górotworem bg1s , bg2s . Na podstawie analogii prawa Fouriera dla przepływu ciepła oraz prawa Ohma, można wyznaczyć proste zależności opisujące powyższe współczynniki jako opory cieplne. W oparciu o pracę [42, 60, 64, 83] dokonano modyfikacji zależności opisujących współczynniki wymiany ciepła. 4.3.1. Parametry geometryczne Obszar uszczelnienia, oznaczony jako g3 w wymienniku, został tak podzielony, aby zawierał 1/4 obwodu z każdej rury. Na rys. 4.5 przedstawiono parametry geometryczne wykorzystane w procesie budowy modelu numerycznego. Promień rg3 obszaru 41.

(47) Rysunek 4.4. Przekrój poprzeczny otworowego wymiennika ciepła z zaznaczeniem współczynników wymiany ciepła pomiędzy podobszarami wymiennika. Rysunek 4.5. Przekrój poprzeczny otworowego wymiennika ciepła z wyszczególnieniem parametrów geometrycznych. g3 zależy od rozstawu rur wymiennika i zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa może być określony jako: rg3 =. s . w − 2. r. rp,o 2. 2. +. 2 rp,o 2. (4.21). Powierzchnię przekroju poprzecznego obszaru g3 określono z podstawowej zależności na pole fragmentu koła:. 2 Ag3 = πrg3 − 2 (Ap,s + Ag3,s ). 42. (4.22).