Praca opisuje dwa nowatorskie algorytmy równoległe do rozwiązywania niestacjonarnych równań różniczkowych cząstkowych oraz ukazuje ich wydajność na przykładzie kilku problemów numerycznych. Pierwszy algorytm pozwala zwiększyć wydajność symulacji na maszynach z pamięcią rozproszoną wykorzystujących metody adaptacyjne do rozwiązywania problemów stacjonarnych poprzez umożliwienie równoległego wykonania kilku kroków czasowych. W porównaniu do klasycznych podejść, metoda ta oferuje większe możliwości zrównoleglenia, co obrazują testy numeryczne (przepływ ciepła, równanie Pennesa). Możliwe jest też połączenie jej z tradycyjnymi metodami zrównoleglania hp-adaptacyjnego MESu opartymi na dekompozycji dziedziny. Taka strategia hybrydowa pozwala osiągnąć jeszcze lepsze przyspieszenie (do 30 razy przy użyciu 96 rdzeni). Drugi algorytm umożliwia wydajne obliczanie prawej strony dla problemu L2-projekcji izogeometrycznej z wykorzystaniem bazy B-splajnów skonstruowanej jako iloczyn tensorowy baz jednowymiarowych na maszynach z pamięcią współdzieloną. Znajduje on zastosowanie m. in. w przeprowadzaniu symulacji problemów niestacjonarnych z wykorzystaniem jawnych schematów czasowych. Wydajność potwierdzają testy numeryczne dla kilku różnych problemów - transfer ciepła, rozchodzenie się fali sprężystej, nieliniowy przepływ w ośrodku porowatym oraz rozwój guza nowotworowego. W zależności od złożoności problemu, rozmiaru siatki oraz stopnia splajnów, zaprezentowana strategia pozwala osiągnąć niemal idealne przyspieszenie do co najmniej 32 rdzeni.
Efficient algorithms for non-stationary problems simulations on different
parallel architectures
The thesis presents two novel parallel algorithms for solving time-dependent partial differential equations. The first algorithm is designed to increase the efficiency of simulations carried out on distributed memory machines and using adaptive finite element method to solve the stationary problem in each time step (e.g. hp-adaptive FEM) by allowing parallel execution of several consecutive time steps. The algorithm is compared with the classical approaches and demonstrated to offer superior parallelization potential. This is confirmed by the numerical tests, where the strategy is applied to the heat transfer problem and the Pennes equation. A hybrid approach combining the parallel time step execution'with the standard domain decomposition-based parallelization of hp-adaptive FEM for stationary problems is also investigated and found superior to either of these two methods alone, delivering speed-up factor of roughly 30 using 96 cores. The second algorithm is an efficient shared-memory parallel integration algorithm for the isogeometric L2-projection problems using tensor product B-spline basis functions on regular domains, which can be used for solving non-stationary problems using explicit time marching schemes. Efficiency of the proposed approach is demonstrated on several time-dependent problems - heat transfer, elastic wave propagation, non-linear flow in heterogeneous porous medium and tumor growth model. Depending on complexity of the problem, mesh size and order of the basis functions, the parallel strategy can achieve near perfect scalability up to at least 32 cores.
