Index of /rozprawy2/10504

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo – Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska. Mgr inż. Maciej Husak. ROZPRAWA DOKTORSKA. Badania zastosowania sedymentacji wielostrumieniowej do oczyszczania zawiesin nieziarnistych Promotor Prof. dr hab. inż. Włodzimierz Piotr Kowalski. KRAKÓW 2012.

(2) 2.

(3) Autor składa serdeczne podziękowanie Ministerstwu Nauki i Szkolnictwa Wyższego, które zechciało finansować projekt badawczy promotorski nr N N502 455239, dzięki czemu możliwa była realizacja niniejszej rozprawy..

(4) 4.

(5) Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń ................................................................................. 9. 1. Geneza, cele, teza i zakres pracy ...................................................................... 11 1.1. Geneza pracy ....................................................................................... 11 1.2. Cele pracy ........................................................................................... 11 1.3. Teza pracy ........................................................................................... 12 1.4. Zakres pracy ........................................................................................ 12 1.5. Główne założenia ................................................................................. 12 2. Zagadnienia ogólne ............................................................................................ 14 3. Istota procesu sedymentacji.............................................................................. 16 3.1. Opadanie pojedynczej cząstki w nieruchomym ośrodku ............................. 17 3.2. Efektywność procesu sedymentacji zawiesin .............................................. 23 4. Sedymentacja wielostrumieniowa .................................................................... 26 4.1. Sedymentacja przeciwprądowa .................................................................... 28 4.2. Sedymentacja prostopadłoprądowa .............................................................. 30 4.3. Sedymentacja współprądowa ....................................................................... 31 5. Sedymentacja wielostrumieniowa zawiesin nieziarnistych ............................ 32 5.1. Teoria fraktali ............................................................................................... 33 5.2. Podsumowanie ............................................................................................. 42. 5.

(6) 6. Przegląd metod modelowania sedymentacji wielostrumieniowej ................44 6.1. Model Culpa, Hansena i Richardsona [18], [36] ...................................... 44 6.2. Model Yao [102] .................................................................................. 45 6.3. Model Olszewskiego i Suchaneckiej [87] ............................................... 47 6.4. Model McMichaela [79] ........................................................................ 47 6.5. Model Haby, Nosowicza i Pasińskiego [35] ............................................ 49 6.6. Model Willisa [101] .............................................................................. 53 6.7. Model Czajkowskiego [21] .................................................................... 54 6.8. Model Niedźwieckiego [83]................................................................... 59 6.9. Model Kowalskiego [75] ....................................................................... 63 6.10. Model Gęgi [32] ................................................................................. 66 6.11. Podsumowanie .................................................................................... 68 7. Badania statyczne procesu sedymentacji wielostrumieniowej ......................72 7.1. Cel badań ............................................................................................. 72 7.2. Wstęp teoretyczny................................................................................. 72 7.3. Opis stanowiska .................................................................................... 78 7.4. Metodyka badań ................................................................................... 79 7.5. Wyniki badań ....................................................................................... 80 7.6. Podsumowanie ..................................................................................... 85 8. Badania przepływowe procesu sedymentacji w skali laboratoryjnej ..........89 8.1. Cel badań ......................................................................................................89 8.2. Opis stanowiska............................................................................................89 8.3. Schemat układu pomiarowego .....................................................................92 8.4. Metodyka badań ...........................................................................................93 8.5. Wyniki badań ...............................................................................................93 8.6. Podsumowanie ........................................................................................... 104 9. Badania przepływowe procesu sedymentacji na stanowisku w skali ułamkowo-technicznej .................................................................................. 106 9.1. Opis Zakładu Uzdatniania Wody „Dłubnia” .............................................. 106 9.2. Opis stanowiska.......................................................................................... 108 9.3. Metodyka badań ......................................................................................... 110 9.4. Wyniki badań zawiesiny surowej ............................................................... 114 9.5. Podsumowanie badań zawiesiny surowej .................................................. 122 9.6. Wyniki badań zawiesiny pokoagulacyjnej ................................................. 122 9.7. Podsumowanie ........................................................................................... 140. 6.

(7) 10. Badania procesu sedymentacji wielostrumieniowej na stanowisku w skali pół-technicznej .................................................................................. 141 10.1. Informacje wstępne .................................................................................. 141 10.2. Opis stanowiska ....................................................................................... 141 10.3. Metodyka badań ....................................................................................... 142 10.4. Wyniki badań ........................................................................................... 144 10.5. Podsumowanie ......................................................................................... 153 11. Empiryczny model procesu sedymentacji wielostrumieniowej dla zawiesiny pobranej ze stacji uzdatniania wody ......................................... 155 11.1. Opis algorytmu Levenberga – Marquardta ......................................... 156 11.2. Model empiryczny procesu sedymentacji wielostrumieniowej zawiesin nieziarnistych ................................................................................... 159 11.3. Podsumowanie ................................................................................. 162 12. Wytyczne do projektowania lub modernizacji przemysłowych urządzeń sedymentacyjnych z wykorzystaniem wypełnienia wielostrumieniowego ..................................................................................... 163 13. Podsumowanie ............................................................................................... 167. Literatura ............................................................................................................... 172. Spis rysunków ....................................................................................................... 180 Spis tabel ............................................................................................................... 185. 7.

(8) 8.

(9) Wykaz ważniejszych oznaczeń. ρ, ρ0 ν 0 , µ0 α ϕ. -. gęstość materiału cząstek fazy stałej. -. kinematyczny, dynamiczny współczynnik lepkości cieczy. -. kąt nachylenia dna osadnika, kąt nachylenia przewodu udział objętościowy fazy stałej zawiesiny (stężenie objętościowe) ciężar właściwy płynu współczynnik oporu droga opadania cząstki, wysokość osadnika długość osadnika prostokątnego, długość przewodu masa stężenie zawiesiny powierzchnia właściwa pakietu wielostrumieniowego. γ ψ h l m S. -. pw F , F1 , F2 - pole powierzchni sedymentacji Q q D dg r -. natężenie przepływu zawiesiny obciążenie powierzchniowe wielkość cząstki wielkość cząstki granicznej promień cząstki. η - efektywność sedymentacji v V u Indeksy n, p, w -. prędkość opadania cząstki objętość prędkość przepływu zawiesiny. nadawa, przelew, wylew. 9.

(10) 10.

(11) 1. Geneza, cele, teza i zakres pracy. 1.1. Geneza pracy Rozwój gospodarczy i przemysłowy niesie za sobą wiele korzyści, ale stanowi także pewne zagrożenia dla przyszłości ludzkości. Coraz rzadziej można znaleźć miejsce, z którego napicie się wody nie zagrozi naszemu zdrowiu lub życiu. Ludzie odpowiedzialni za to, byśmy mogli pić czystą wodę muszą dbać o jej odpowiednią jakość. Z tego powodu w Polsce wykonywane są obecnie liczne prace modernizacyjne oczyszczalni ścieków oraz stacji uzdatniania wody. Zaistniały fakt jest ściśle związany z akcesją Polski w Unii Europejskiej. Zmniejszenie mętności i zawartości części stałych wypływających z osadników pracujących w zakładach oczyszczania i uzdatniania wody realizowane może być przy użyciu wkładów wielostrumieniowych. Pakiety wkładów wielostrumieniowych stosowane są z powodzeniem do oczyszczania zawiesin ziarnistych pochodzenia przemysłowego, w przypadku oczyszczania zawiesin nieziarnistych jest to projekt pionierski.. 1.2. Cele pracy Celem poznawczym projektu jest teoretyczne i doświadczalne poznanie procesu sedymentacji wielostrumieniowej zawiesin nieziarnistych. Celem praktycznym jest uzyskanie danych potrzebnych do projektowania wysokosprawnych urządzeń sedymentacyjnych. Powyższe cele wynikają z następującej tezy: zastosowanie pakietów wielostrumieniowych zwiększa powierzchnię sedymentacji, przez co zwiększa się stopień klarowności zawiesin nieziarnistych.. 11.

(12) 1.3. Teza pracy Sedymentacja wielostrumieniowa zwiększa efektywność oczyszczania zawiesin nieziarnistych pochodzących ze stacji uzdatniania wody.. 1.4. Zakres pracy Zakres dysertacji obejmuje realizację następujących zadań: 1. Analiza stanu wiedzy w zakresie sedymentacji wielostrumieniowej ze szczególnym zwróceniem uwagi na zawiesiny o charakterze nieziarnistym. 2. Badania statyczne zawiesiny w przewodzie pochylonym. 3. Przepływowe badania laboratoryjne na stanowisku do badania sedymentacji wielostrumieniowej. 4. Badania na stanowisku w skali ułamkowo – technicznej. 5. Badania w skali półtechnicznej na rzeczywistym obiekcie – zastosowanie mikrowypełnienia w postaci pojedynczego pakietu wielostrumieniowego. 6. Empiryczny model procesu sedymentacji wielostrumieniowej. 7. Sformułowanie wytycznych do konstruowania lub modernizacji przemysłowych urządzeń sedymentacyjnych z wykorzystaniem wypełnienia wielostrumieniowego w stacjach uzdatniania wody.. 1.5. Główne założenia Katedra Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska dysponuje wysoce wykwalifikowaną kadrą oraz odpowiednimi stanowiskami laboratoryjnymi, oraz ułamkowo – technicznymi do badań sedymentacji wielostrumieniowej. Stanowiska badawcze zostały zakupione lub wytworzone m.in. w ramach realizacji projektów finansowanych przez KBN. Osiągnięcie pozytywnego efektu końcowego, jakim jest zmniejszenie mętności zawiesiny na przelewie, otrzymanie czystszego produktu końcowego (sklarowanej zawiesiny), pozwoliłoby na zmniejszenie ładunku zanieczyszczeń zrzucanego z oczyszczalni ścieków lub dostarczanego do odbiorców w postaci wody pitnej. W efekcie uzyskamy lepszą jakość wody, mniejsze zanieczyszczenie środowiska, przez co poprawi się jakość życia obywateli. Efektem końcowym dysertacji są wytyczne odnośnie projektowania urządzeń wspomaganych wypełnieniem z pakietami wielostrumieniowymi. Wypełnienie takie może być zastosowane dla całego lub części osadnika pracującego w zakładach zajmujących się oczyszczaniem zawiesin.. 12.

(13) Alternatywnie istnieje możliwość zmniejszenia liczby pierwotnie projektowanych osadników w nowo powstających zakładach, ponieważ powierzchnia czynna osadników wypełnionych pakietami wielostrumieniowymi jest odpowiednio większa od powierzchni czynnej osadników konwencjonalnych (o tej samej powierzchni zabudowy). Dysertacja ukierunkowana jest na praktyczne zastosowanie wyników badań w jednostkach nowo powstających, a także takich, w których planowana jest modernizacja. Kierując się względami ekonomicznymi, a także ochroną środowiska, praca zapełnia pewną lukę, wychodząc naprzeciw potrzebom modernizacji układów uzdatniania i oczyszczania zawiesin. Sedymentacja wielostrumieniowa w układach oczyszczalni ścieków komunalnych i stacji uzdatniania wody jest zagadnieniem stosunkowo nowym, do tej pory badania ukierunkowane były na ścieki pochodzenia przemysłowego, o rozpoznanym i stabilnym składzie. Opracowanie wytycznych do konstruowania lub modernizacji przemysłowych urządzeń sedymentacyjnych będzie miało bardzo duże znaczenie praktyczne. Nowe rozwiązania konstrukcyjne urządzeń pozwolą na uzyskanie wymiernych efektów technicznych, ekonomicznych oraz związanych z ochroną środowiska.. 13.

(14) 2. Zagadnienia ogólne. Sedymentacja zawiesin znajduje w ostatnich latach coraz szersze zastosowanie w technologiach wielu gałęzi przemysłu, oraz w ochronie środowiska naturalnego. Zjawisko wykorzystywane jest przez zakłady przemysłowe uciążliwe dla otoczenia, jak huty metali, cukrownie, przetwórnie ziemniaków, zakłady mięsne, a także górnicze zakłady przeróbki kopalin oraz komunalne oczyszczalnie ścieków czy stacje uzdatniania wody. Rozdzielenie układów zawiesin wieloskładnikowych można prowadzić dwutorowo. Przy pierwszej metodzie wykorzystuje się operacje dyfuzyjne, podczas których występują przemiany fazowe, lub ruch masy między fazami. W drugiej stosujemy operacje mechaniczne, które powodują wydzielanie cząstek ciała stałego lub kropel cieczy z układu heterogenicznego. Technika rozdziału oparta jest na różnicach własności fizycznych składników układu, takich jak: wielkość cząstek, ich kształt oraz gęstość składników układu. Do wydzielenia cząstek ciała stałego z cieczy zaliczamy takie operacje mechaniczne jak: filtrację, flotację, odwirowanie - sedymentację w odśrodkowym polu sił i sedymentację. 1. Filtracja polega na oddzieleniu ciała stałego od cieczy w wyniku przepływu zawiesiny przez warstwę porowatą. Rozróżnia się filtrację właściwą, podczas której filtruje warstwa ciała stałego (placek filtracyjny), oraz klarowanie - filtruje przegroda filtracyjna. Siłą napędową procesu jest różnica ciśnień po obu stronach przegrody.. 14.

(15) Proces filtracji opisuje ogólne prawo Darcy’ego:. u=. ∆h µ ( R p + Ro ). (2.1). gdzie: u – prędkość filtracji,. ∆h. µ. R p , Ro. m s. – strata ciśnienia na przewodzie, Pa – lepkość dynamiczna, Pa*s opór hydrauliczny przegrody i warstwy placka – utworzonego na przegrodzie, m −1. Proces filtracji może być prowadzony przy stałym ciśnieniu lub przy stałym wydatku. 2. Flotacja opiera się na wytworzeniu w zawiesinie pęcherzy gazowych, do których przyczepiają się cząstki ciała stałego i wspólnie, pod wpływem siły wyporu, są transportowane do powierzchni. Stosowana jest do rozdziału ziarn różniących się między sobą hydrofobowością, czyli zdolnością do powierzchniowego zwilżania się wodą w obecności gazu. Substancje hydrofilowe powinny być całkowicie zwilżone wodą, hydrofobowe zaś łatwo przyłączają się do pęcherzyka gazowego. Charakter ziarna (hydrofilowy, hydrofobowy) wynika z bilansu sił działających na granicach fazowych utworzonych w wyniku kontaktu ziarna z pęcherzykiem. W wyniku przytwierdzenia się ziarna mineralnego do pęcherzyka gazowego powstaje agregat ziarno-pęcherzyk gazowy. Jeżeli powstały agregat ma gęstość mniejszą niż roztwór wodny to unosi się ku górze – podlega flotacji. 3. Odwirowanie jest operacją wykorzystującą działanie siły odśrodkowej w celu wydzielania cząstek ciała stałego z wirującego płynu, przy czym ściany aparatu mogą być nieruchome (hydrocyklony), lub w ruchu obrotowym (wirówki). 4. Sedymentacja, czyli zjawisko zakłóconego opadania cząstek ciała stałego cieczy, służy do zagęszczania zawiesiny pod wpływem działania pola grawitacyjnego. Zaistnienie różnicy gęstości ciała stałego i cieczy jest w tym przypadku warunkiem koniecznym.. 15.

(16) 3. Istota procesu sedymentacji. Sedymentacja jest jednym z podstawowych procesów wykorzystywanych w oczyszczaniu zawiesin. Polega na usuwaniu z niej cząstek opadających (których gęstość jest większa od gęstości wody). Pojęcie zawiesiny wprowadzone zostało przez A. Portiera. Została ona określona jako nietrwały układ dyspersyjny, składający się z dwóch faz: fazy rozproszonej i rozpraszającej. Określenie to oddziela zawiesiny od układów koloidalnych (trwałych układów dyspersyjnych). Zawiesinę tworzą najczęściej ciało stałe (faza rozproszona) i płyn (faza rozpraszająca). Jednak pojęcie zawiesiny jest ogólniejsze. Przykłady zawiesin podano w Tabeli 3.1: Tabela 3.1. Przykładowe zawiesiny. 1 2 3 4. Faza rozproszona Ciało stałe (pył) Ciało stałe (pył) Ciecz (woda) Ciecz 1. Faza rozpraszająca Gaz (powietrze) Ciecz (woda) Gaz (powietrze) Ciecz 2. 5. Gaz. Ciekła stal. 6. Gaz. Ciecz. L.p.. 16. Nazwa zawiesiny Aerozol Hydrozol Mgła Emulsja, mleko Ciekła stal z gazowymi wtrąceniami Piana.

(17) Sedymentacja jest zjawiskiem bardzo złożonym i zależy między innymi od stężenia cząstek, wymiaru, gęstości, kształtu, temperatury, a także prędkości i kierunku przepływu fazy rozpraszającej. Ze względu na warunki hydrauliczne można wyróżnić: - opadanie swobodne, - opadanie skupione. Opadanie swobodne zachodzi przy małej liczbie cząstek, które opadają oddzielnie nie oddziałując na siebie i nie zmieniając własności fizycznych. Opadanie skupione ma miejsce w przypadku znacznego zagęszczenia cząstek, gdy oddziałują one na siebie nawzajem. Poprzez wzajemne zderzanie tworzą aglomeraty zakłócając prawa rządzące opadaniem cząstek pojedynczych. W takich warunkach cząstki mniejsze mogą opadać z prędkością większą niż cząstki większe. Zjawisko takie występuje w przypadku opadania cząstek kłaczkowatych powstałych w wyniku procesu koagulacji. Dla zawiesin ziarnistych opadanie skupione nazywane jest opadaniem zakłóconym, podczas którego wiry powstające przy opadaniu cząstek większych powodują wypieranie cząstek mniejszych ku górze, zmieniając ich prędkość opadania.. 3.1. Opadanie pojedynczej cząstki w nieruchomym ośrodku Aby wyznaczyć równanie opisujące ruch pojedynczej cząstki można przyjąć pewne założenia znacznie upraszczające obliczenia, a nie wpływające w wyraźny sposób na dokładność obliczeń. Do obliczeń przyjęto następujące założenia: - cząstka ma kształt kuli, - ośrodek, w którym odbywa się ruch jest nieruchomy, jednorodny i izotropowy, - lepkość i gęstość ośrodka są stałe w czasie i przestrzeni, - ruch odbywa się w przestrzeni jednowymiarowej.. Ogólna postać równania ruchu jest następująca:. r n r dv m = ∑ Pi dt i =1. (3.1). 17.

(18) Lewa strona równania to siła bezwładności, prawa – to suma wszystkich sił czynnych działających na cząstkę fazy stałej. W danym układzie będziemy rozpatrywać tylko te siły których wpływ na cząstkę jest największy. Na cząstkę poruszającą się w cieczy działają: r - siły bezwładności – B ,. r -. siły ciężkości – G ,. -. siły wyporu – W ,. -. siły oporu ruchu ziarna – R .. r r Równanie możemy więc zapisać w postaci:. r r r r B = G +W + R. (3.2). Siłę bezwładności określa zależność:. B = ( m s + mc ). dν dt. ν – prędkość sedymentującej cząstki,. (3.3). m s. t – czas, s ms – masa sedymentującej cząstki, masa cieczy otaczającej sedymentującą cząstkę mc – podlegająca sedymentacji łącznie z nią, nazywana masą towarzyszącą. Ogólnie można przyjąć ze masa towarzysząca wynosi 0,5 masy wypartej przez cząstkę cieczy (Orzechowski 1990). Uwzględniając założenie:. B = V ( ρ + 0,5 ρ c ) V – objętość sedymentującej cząstki, – gęstość sedymentującej cząstki, – gęstość cieczy.. ρ ρc. 18. dν dt. (3.4).

(19) Ciężar cząstki to siła wynikająca z grawitacji i wynosi:. G = m* g. (3.5). m – masa ziarna, g – natężenie grawitacyjnego pola sił (przyśpieszenie ziemskie). Wypór to siła wynikająca z różnicy ciśnień na dolną i górną powierzchnię cząstki. Siła wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez cząstkę. Możemy ją wyrazić jako:. W = V *γ =. πd 3 6. * ρ0 * g. (3.6). γ. – ciężar właściwy płynu, d – średnica cząstki.. Siła oporu ośrodka jest wynikiem sił tarcia płynu przeciwdziałającego ruchowi cząstki. Zapisujemy ją jako:. R = ψ * F * p dyn = ψ *. πd 2 4. *. ρ0v 2 2. (3.7). ψ. – współczynnik oporu, F – powierzchnia oporu, p dyn – ciśnienie dynamiczne. W zależności występuje współczynnik oporu ψ . Sposób obliczania tego współczynnika podał G.G. Stokes. Współczynnik oporu zależy od właściwości płynu (gęstość i lepkość), od prędkości i wielkości ziarna. Istotnie zależy on także od zjawisk charakterystycznych dla opływu ziarna towarzyszących jego opadaniu. Bardzo wygodna do charakteryzowania różnego rodzaju zjawisk w mechanice płynów jest liczba Reynoldsa. Przedstawia ona stosunek sił bezwładności do sił lepkości:. Re =. vdρ 0. µ0. =. vd v0. (3.8). v. – prędkość ruchu ziarna, d – średnica ziarna, µ 0 – dynamiczny współczynnik lepkości płynu.. 19.

(20) Ogólne równanie ruchu płynu lepkiego jest następujące:. ρ0. ∂u + ρ 0 u (∇u ) = − grad p + µ 0 ∇ 2 u + ρ 0 g ∂t. (3.9). u – prędkość ruchu płynu, p – ciśnienie płynu, ∇ – operator nabla, ∇ 2 – operator Laplace’a. W równaniu wyrażenie ρ 0 u (∇u ) określa wpływ sił bezwładności. Pomijając ten wpływ i zakładając, że prędkość jest stała, równanie upraszcza się do postaci:. grad p = µ 0 ∇ 2 u + ρ 0 g. (3.10). Taką uproszczoną postać równania ruchu płynu opływającego kulę z prędkością u rozpatrywał Stokes. Prędkość płynu opływającego kulę u może być interpretowana jako równa prędkości ruchu kuli v w nieruchomym płynie. Wynikiem rozważań Stokesa było m.in. obliczenie siły oporu:. R = 3πµ 0 dv. (3.11). Zależność ta nazywana prawem Stokesa mówi nam, że: w ruchu ustalonym siła oporu nieruchomego płynu na opadającą cząstkę jest proporcjonalna do prędkości ziarna v oraz do jego wielkości d. Porównując siłę oporu R z równania, do siły oporu z wzoru otrzymamy:. 3πµ 0 dv = ψ *. πd 2 4. *. ρ0v 2 2. (3.12). Stąd obliczamy ψ :. ψ =. 24 * µ 0 24 24 = = ρ 0 vd Re ρ 0 vd. µ0. Zależność ta jest słuszna dla tzw. „małych” liczb Reynoldsa.. 20. (3.13).

(21) Pod pojęciem „małych” liczb Reynoldsa rozumie się zwykle liczby Reynoldsa z zakresu 10 −4 < Re < 0,25 .. Rys. 3.1. Przykłady krzywych opadania zawiesiny w wodzie W wyniku wypierania cieczy przez sedymentującą cząstkę powstaje ruch zwany opływem. W zależności od charakteru opływu wyróżnia się trzy charakterystyczne rodzaje ruchu sedymentującej cząstki: - ruch laminarny – w czasie opadania nie tworzą się ruchy wirowe (występuje najczęściej przy małych wartościach liczby Reynoldsa), - ruch przejściowy – obserwuje się tworzenie lokalnych zawirowań wokół cząstki, - ruch turbulentny (burzliwy) – pojawiają się silne zawirowania wokół opadającej cząstki. Granica przejścia pomiędzy poszczególnymi typami ruchu zależy nie tylko od liczby Reynoldsa, ale także od kształtu i chropowatości opadającej cząstki. W literaturze znaleźć można wiele formuł empirycznych opisujących zależność ψ = f (Re) (Tabela 3.2).. 21.

(22) Tabela 3.2. Dostępne formuły empiryczne opisujące zależność ψ = f (Re) Wartość liczby Re. Zależność określająca współczynnik oporu. Charakter ruchu. Wg Tesarika (1980). Re < 0,1 0,1 < Re < 50 50 < Re < 1600 Re > 1600. ψ = ψ =. 24 Re 24. Re 3 47 ψ =3 Re ψ = 0,4 4. Laminarny Przejściowy. Przejściowy. Wg Palarskiego (1982). Re ≤ 0,2 Re ≤ 1,0 0,1 ≤ Re ≤ 4000 1 ≤ Re ≤ 10000 10000 ≤ Re ≤ 20000 20000 ≤ Re ≤ 100000. 24 Re 24 3 ψ = (1 + Re) Re 16 24 6 ψ = 0,28 + + Re Re 20,8 ψ = 0,4 + Re ψ = 0,35 + 5 ⋅10 −6 Re ψ = 0,47. ψ =. Laminarny Przejściowy Przejściowy Przejściowy Przejściowy Turbulentny. Wg Gawrońskiego (1996). Re < 1,0 1 ≤ Re ≤ 100 3 ≤ Re ≤ 400. 0,1 ≤ Re ≤ 1000 Re > 1000. 22. 24 Re 18,5 ψ = −0 , 6 Re 24 4 ψ= + Re 3 Re 24 3 ψ = 0,34 + + Re Re ψ = 0,44. ψ =. Laminarny Przejściowy Przejściowy Przejściowy Turbulentny.

(23) Zależność określająca współczynnik oporu. Wartość liczby Re. Charakter ruchu. Wg Orzechowskiego (1990). ψ =. 0,0001 < Re < 0,4. ψ =. 0,4 < Re < 1000 Re > 100. 24 Re. 24 (1 + 0,15 Re 0, 687 ) Re ψ = 0,44. Laminarny Przejściowy Turbulentny. 3.2. Efektywność procesu sedymentacji zawiesin Urządzenia do sedymentacji wielostrumieniowej zawiesin projektuje się wykorzystując teorię Hazena i Campa. Na prawie sedymentacji Hazena opierają się obliczenia miary zdolności urządzenia sedymentacyjnego jaką jest efektywność sedymentacji. Aby rozpocząć rozważanie problemu należy założyć, że osadnik jest prostokątny, o długości l i szerokości b, oraz głębokości h. W osadniku tym zawiesi-. m3 na w ilości Q przepływa poziomo z prędkością u równą: h Q u= bh. (3.14). Ziarna o wielkości granicznej d g opadają z prędkością v g (d g ) . Zasięg tych ziaren równy jest długości osadnika l . Porównując czas przepływu ziarna przez osadnik t1 i czas opadania tego ziarna z wysokości h na dno osadnika t 2 , otrzymamy:. t1 =. l u. t2 = l h = u v g (d g ). h v g (d g ) (3.15). 23.

(24) skąd:. hu = v g (d g ) = l. h. Q bh = Q = Q l bl F. (3.16). Równanie to można przekształcić do postaci wyrażającej prawo Hazena:. v g (d g ) =. Q =q F. (3.17). Prawo Hazena mówi, że: prędkość opadania ziaren o wielkości granicznej jest równa ilorazowi natężenia przepływu zawiesiny i pola powierzchni osadnika.. Rys. 3.2. Szkic do wyprowadzenia prawa Hazena. Iloraz (3.17) nazywamy wskaźnikiem obciążenia powierzchniowego q. m3 . m2h. Podaje on ile m 3 zawiesiny oczyszcza się na 1 metrze kwadratowym osadnika w czasie 1 godziny. Jest to bardzo ważny parametr, ponieważ wiąże wymiary osadnika, natężenie przepływu zawiesiny, oraz właściwości materiału cząstek. W osadnikach w których zainstalowano pierścień wkładów wielostrumieniowych następuje wzrost powierzchni sedymentacji według równania:. F = F1 + F2. 24. (3.18).

(25) F1 – powierzchnia sedymentacyjna zawarta w strefie centralnej, F2 – powierzchnia sedymentacyjna zawarta w pakietach. Powierzchnia F2 jest iloczynem powierzchni posadowienia warstwy pierścienia pomnożonej przez charakterystykę zastosowanych pakietów p w . Charakterystyka ta wyraża iloraz wzrostu powierzchni sedymentacyjnej w stosunku do powierzchni zajmowanej przez pakiety.. F = F1 + F2 p w. (3.19). Współczynnik p w przyjmuje się zazwyczaj 4 ÷ 7 . Kolejne obliczenia oparte są na teorii sedymentacji Campa. Teoria ta mówi, że ziarna opadające na dno osadnika można podzielić na dwie grupy: 1) większe od ziarna granicznego, 2) część ziaren mniejszych od ziarna granicznego. Efektywność sedymentacji jest więc sumą masy wszystkich ziaren o wielkości większej od granicznej, oraz częścią masy ziaren o wielkościach mniejszych od granicznych proporcjonalnie do ilorazu ich prędkości opadania i prędkości opadania ziaren granicznych. Przy założeniu, że rozkład wielkości ziaren jest interpolowany jako zmienna losowa o funkcji gęstości f(d), efektywność sedymentacji można zapisać:. η=. ∞. ∫. dg. f (d )dd +. dg. v(d < d g ). ∫ v(d = d 0. * f (d )dd. (3.20). dd = I 1 + I 2. (3.21). g. ). lub po przekształceniach:. η=. ∞. dg. ∫ f (d )dd + ∫ f (d )d. 2. 0. dg. lub z wykorzystaniem funkcji rozdziału Trompa T(d): ∞. η = ∫ T (d ) f (d )dd. (3.22). 0. 25.

(26) 4. Sedymentacja wielostrumieniowa. Proces sedymentacji zawiesin polidyspersyjnych znajduje bardzo szerokie zastosowanie w wielu gałęziach przemysłu. Jego zaletą są niskie koszty eksploatacyjne, a wadą wysokie koszty inwestycyjne. Wada ta może być w części wyeliminowana poprzez zastosowanie procesu sedymentacji wielostrumieniowej. Geneza tego procesu wywodzi się ze znanego efektu Boycotta. Pracując w laboratorium w Londynie Boycott zaobserwował, że krew pacjentów w pochylonych probówkach klarowała się znacznie szybciej niż w probówkach ustawionych idealnie pionowo. Efekt ten tłumaczy się wzrostem powierzchni sedymentacji w pochylonych przewodach. W takim przypadku powierzchnia sedymentacyjna zawarta jest zarówno w rzucie prostokątnym na powierzchnię poziomą dna osadnika, jak i w rzucie prostokątnym dolnej powierzchni przewodu.. 26.

(27) Rys. 4.1. Istota procesu sedymentacji wielostrumieniowej (Mat. Firmy Sala Inc. 1980) Proces sedymentacji wielostrumieniowej jest zależny od wielu istotnych czynników, których ujęcie w modelu matematycznym nie jest łatwe. Jednakże opracowano modele matematyczne o dokładności wystarczającej do zastosowań przemysłowych i projektowania wielostrumieniowych urządzeń sedymentacyjnych. Stworzono je dla efektywności sedymentacji i stężenia końcowego w zależności od właściwości zawiesiny, a zwłaszcza od uziarnienia cząstek fazy stałej, od parametrów konstrukcyjnych urządzenia i od sposobu prowadzenia procesu, w tym rodzaju przepływu zawiesiny przez przewody wielostrumieniowe. Proces sedymentacji wielostrumieniowej zachodzi w wydzielonych częściach przestrzeni nazywanej elementarnymi przewodami wielostrumieniowymi. W zależności od wzajemnego ułożenia kierunku przepływu zawiesiny w przewodach wielostrumieniowych, oraz kierunku zsuwania się osadu wyróżnia się trzy podstawowe procesy lub układy realizacji procesów:. a) przeciwprądowy, b) współprądowy, c) prostopadłoprądowy.. 27.

(28) Rys. 4.2. Układy realizacji procesów sedymentacji wielostrumieniowej. 4.1. Sedymentacja przeciwprądowa Najszerzej rozpowszechnionym procesem jest proces sedymentacji przeciwprądowej. W układzie przeciwprądowym kierunki przepływu zawiesiny i zsuwania się osadu są równoległe i przeciwnie skierowane. Zawiesina przepływa ku górze ukośnego przewodu, a osad zsuwa się równolegle ku dołowi przewodu. Proces ten jest stosowany w osadnikach konwencjonalnych. Żaden inny proces sedymentacji wielostrumieniowej nie ma zastosowania w tym przypadku. Na rysunkach przedstawiono szkice rozwiązań konstrukcyjnych osadników konwencjonalnych z warstwami pakietów wielostrumieniowych.. Rys. 4.3. Osadnik prostokątny (komorowy) z wypełnieniem wielostrumieniowym. 28.

(29) Rys. 4.4. Osadnik Dorra z pierścieniem wkładów wielostrumieniowych 1 - konstrukcja wsporcza, 2 - pakiety wielostrumieniowe Podstawowe, specyficzne cechy konstrukcji osadnika z wkładami wielostrumieniowymi to: 1. Pakiety wkładów wielostrumieniowych stanowią warstwę usytuowaną w strefie klarowania zawiesiny. 2. Od pozostałej części przestrzeni osadnika warstwa jest odgrodzona za pomocą pionowej przegrody wystającej ponad poziom zawiesiny i wspartej na konstrukcji podtrzymującej wkłady. 3. W kołowych osadnikach Dorra pakiety wkładów wielostrumieniowych stanowią warstwę w kształcie pierścienia, który rozciąga się od progu przelewowego ku środkowi osadnika, lub także do ściany osadnika, jeśli okólne koryto przelewowe jest od ściany odsunięte. 4. W osadnikach prostokątnych warstwa pakietów wkładów wielostrumieniowych ma kształt prostokątny z wyłączeniem ewentualnych obszarów zajmowanych przez elementy konstrukcji napędu zgarniacza osadu.. 29.

(30) 5. W przestrzeni osadnika z wkładami wielostrumieniowymi o podanych wyżej cechach można wyróżnić następujące strefy sedymentacji: − strefa nie zawierająca wkładów wielostrumieniowych zawarta między miejscem wpływu zawiesiny a pionowa przegrodą, − strefa znajdująca się pod warstwą wkładów wielostrumieniowych, − strefa składająca się z wielu elementarnych przestrzeni zawartych w przewodach pakietów wkładów wielostrumieniowych.. 4.2. Sedymentacja prostopadłoprądowa Efektywność sedymentacji a także wydajność urządzenia sedymentacyjnego są tym większe, im większa jest powierzchnia sedymentacji. Ta natomiast jest tym większa im większa jest długość przewodów, a zarazem mniejszy przekrój poprzeczny. Jednakże wykonanie pakietu o długich i wąskich przewodach jest trudne. Obecnie do sedymentacji przeciwprądowej stosowane są pakiety pozwalające uzyskać 6 ÷ 7 - krotny wzrost powierzchni sedymentacyjnej. W przypadku prostopadłoprądowego układu zawiesina przepływa w kierunku poziomym, a osad zsuwa się po pochyłych płaszczyznach pod kątem prostym do kierunku przepływu zawiesiny. W tym układzie wzrost powierzchni sedymentacyjnej nie jest ograniczony względami konstrukcyjnymi tak jak w przypadku układów przeciwprądowych, ponieważ ukośne powierzchnie „nakładają” się, tworząc „stos” przypominający swym kształtem jodełkę.. Rys. 4.5. Zasada rozwoju powierzchni sedymentacyjnej w pakiecie prostopadłoprądowym. 30.

(31) 4.3. Sedymentacja współprądowa Proces sedymentacji współprądowej jest najmniej rozpowszechniony spośród trzech przedstawianych. Powodem tego jest wspólny odpływ zawiesiny sklarowanej i odpływ osadu. Powoduje to mieszanie się tych dwóch strumieni zawiesiny. Dzięki tej właściwości układ współprądowy wykorzystywany jest do zagęszczania osadów. Szersze zastosowanie znalazła koncepcja wykorzystująca jednocześnie współprądową i przeciwprądową sedymentację. Jest to układ jednoczesnego klarowania i zagęszczania.. Rys. 4.6. Układ realizacji jednoczesnego klarowania i zagęszczania Nadawa dostarczana jest pomiędzy dwie warstwy wkładów. W górnej warstwie odbywa się przeciwprądowa sedymentacja (klarowanie zawiesiny), w dolnej współprądowa sedymentacja (zagęszczanie osadu). Dzięki zastosowaniu takiego rozwiązania możemy zmniejszyć liczbę potrzebnych urządzeń do wykonania zadania, przez co proces technologiczny może być mniej energochłonny. Zastosowanie jednego urządzenia, które jest w stanie oczyścić zawiesinę na tym samym, lub lepszym poziomie, co dwa osobne urządzenia, pozwala na zmniejszenie obszaru potrzebnego na umiejscowienie oddzielnych urządzeń. Dzięki temu zostaje znacznie obniżony koszt całego procesu.. 31.

(32) 5. Sedymentacja wielostrumieniowa zawiesin nieziarnistych. Proces sedymentacji wielostrumieniowej zawiesin ziarnistych, poprzez szereg prac wykonanych w przeciągu ostatnich lat, jest procesem dość dobrze poznanym. Zawiesiny ziarniste charakteryzują się znaną, ustabilizowaną i jednorodną strukturą, a jej cząstki opadają na dno osadnika niezależnie od siebie, z jednakową prędkością. Zawiesiny nieziarniste ze względu na swój nietrwały charakter były często pomijane, przez co proces sedymentacji wielostrumieniowej zawiesin nieziarnistych nie jest do końca rozpoznany. Niezbadany pozostaje także obszar dotyczący zastosowania wkładów wielostrumieniowych do oczyszczania zawiesin nieziarnistych. Wkłady takie z powodzeniem są stosowane do oczyszczania zawiesin o charakterze ziarnistym. Sedymentacja zawiesin nieziarnistych (kłaczkowatych) odbywa się przy jednoczesnej flokulacji, polegającej na łączeniu się cząstek w czasie opadania w większe agregaty i konglomeraty, przez co prędkość ich opadania nie jest stała, (zwiększa się wraz z głębokością osadnika), oraz następuje zakrzywianie się trajektorii toru opadania. Cechy zawiesin kłaczkowatych wykazują na przykład wodorotlenek żelazowy, osad czynny oraz bardzo drobny miał węglowy. Zawiesiny kłaczkowate występują w ściekach surowych o zawartości cząstek stałych poniżej 500 mg/dm3, oraz w ściekach po koagulacji i chemicznym strącaniu. Wytworzone w procesie flokulacji zawiesiny kłaczkowate w warunkach stagnacji ulegają sedymentacji, podczas której następuje zagęszczenie kłaczków pod wpływem ich ciężaru i grawitacyjne oddzielenie od nich wody wolnej, co prowadzi do powstania osadu pokoagulacyjnego.. 32.

(33) Rys. 5.1. Schemat sedymentacji zawiesin kłaczkowatych Opadanie zawiesin kłaczkowatych jest procesem złożonym i trudnym do opisania, ponieważ w trakcie sedymentacji zmienia się masa i kształt opadających cząstek. Istotny wpływ na przebieg sedymentacji i grawitacyjnego zagęszczenia osadu pokoagulacyjnego ma gęstość kłaczków. Przyczyną tak małej gęstości, równej w przybliżeniu gęstości wody, jest bardzo duży udział masowy wody w masie kłaczków, który najczęściej wynosi 95÷99%. Objętość, skład i właściwości osadu pokoagulacyjnego zależą przede wszystkim od składu oczyszczanej wody, dawki i rodzaju koagulantu oraz warunków mieszania. Kłaczki powstałe w procesie koagulacji charakteryzują się bardzo dużą zmiennością kształtu, wielkości i wytrzymałości, co znacznie utrudnia ich klasyfikację. Ze względu na nieregularność kształtów, pomiar wielkości kłaczków nastręcza wiele problemów. Osad pokoagulacyjny charakteryzuje się dużą porowatością i nieregularnością, oraz luźną strukturą o ograniczonej wytrzymałości. Porowatość kłaczków wynika z olbrzymiej liczby kanalików powstających w wyniku zlepiania się cząstek koloidalnych. Najbardziej aktywne są świeżo powstające kłaczki, a powierzchnia dostępna do adsorpcji zanieczyszczeń jest wówczas największa, natomiast w miarę zbijania i starzenia się kłaczków ulega ona zmniejszeniu. Powyższe cechy charakterystyczne zawiesin nieziarnistych sprawiają, że rozpoczęto próby opisu procesu sedymentacji i budowy cząstki zawiesiny nieziarnistej wykorzystując teorię fraktali.. 5.1. Teoria fraktali Cząstki nieziarniste charakteryzują się niekulistym, nieregularnym kształtem, do tego tworzą agregaty z drobniejszych cząstek. Duża trudność w opisie budowy i składu za pomocą wymiarów geometrycznych spowodowała rozwój nowego kierunku rozwoju prac związanych z próbami opisu procesu sedymentacji i budową cząstki zawiesiny nieziarnistej. Zamiast klasycznej geometrii euklidesowej spró-. 33.

(34) bowano zastosować geometrię fraktalną. Związane jest to z chęcią odwzorowania wizualnego rzeczywistości w sposób jak najbardziej zbliżony do pierwotnego. Przykłady zawiesiny nieziarnistej pokazano na rysunku poniżej.. Rys. 5.2. Przykładowy kształt zawiesiny nieziarnistej Teoria fraktali jest działem geometrii, który zajmuje się opisem obiektów wykazujących nieregularności nawet przy dowolnie dużym powiększeniu. W związku z tym obiekty te nie mogą być opisane przy pomocy odcinków, płaszczyzn czy brył geometrycznych. W fizyce i chemii teoria fraktali znalazła szerokie zastosowanie między innymi do opisu obiektów silnie rozdrobnionych lub charakteryzujących się chropowatą powierzchnią. Wspólną cechą fraktali jest własność wewnętrznego podobieństwa, a wielkością charakterystyczną jest wymiar fraktalny, który najczęściej nie jest liczbą całkowitą. Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są bardzo podobne do całości), albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów trudno jest podać ścisłą definicję fraktali, dlatego przyjmuje się, że zbiór fraktali jest to zbiór charakteryzujący się: - nietrywialną strukturą w każdej skali (są to zbiory o bardzo skomplikowanej budowie niezależnie od tego jak mały ich fragment będziemy oglądać), - struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, - jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym (dowolnie mały fragment, odpowiednio powiększony, przypomina do złudzenia cały wyjściowy zbiór lub jego część), - jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, - ma względnie prostą definicję rekurencyjną, - ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.. 34.

(35) Jako fraktal przyjmuje się zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki, lub przynajmniej większość z nich. Pojęcie fraktala do matematyki wprowadzone zostało już w latach siedemdziesiątych XX wieku przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota (zwany także żukiem Mandelbrota), nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa.. Rys. 5.3. Żuk Mandelbrota Fraktalami zajmowała się także geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa. Szczególnymi fraktalami zajmowali się także Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy, czy Donald Knuth i Abraham Bezikowicz. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku.. 35.

(36) Jednymi z najbardziej znanych fraktali są: zbiór Cantora, dywan Sierpińskiego czy krzywa von Kocha. Przykłady pokazano na Rys. 5.4.. Rys. 5.4. Typowe przykłady fraktali na podstawie a) zbioru Cantora, b) dywanu Sierpińskiego Konstrukcję krzywej von Kocha zaczyna się od inicjatora, którym jest odcinek prostej (Rys. 5.5. a). Następnie inicjator zastępuje się generatorem, składającym się również z odcinków prostej (Rys. 5.5. b). W kolejnych krokach każdy z odcinków składowych generatora zastępuje się takim samym co do kształtu, ale odpowiednio mniejszym generatorem (Rys. 5.5. c). Przeprowadzając tego typu operacje nieskończenie wiele razy powstaje fraktal (Rys. 5.5. d).. Rys. 5.5. Kolejne przybliżenia krzywej von Kocha. 36.

(37) Wyróżnia się trzy główne typy fraktali: 1. Systemy funkcji iterowanych (ang. IFS - Iterated Function Systems) - fraktale tworzone iteracyjnie, jako unie elementów rekurencyjnego ciągu zbiorów, poprzez kopiowanie „samego siebie”. IFS wyróżniają się prostota wizualizacji, oraz bardzo ciekawymi własnościami. Przykłady to: zbiór Cantora, krzywa Kocha, dywan Sierpińskiego. 2. Fraktale definiowane rekurencyjną zależnością punktów przestrzeni (np. płaszczyzny zespolonej) – tworzą bardzo efektowne wizualizacje. Przykładem jest zbiór Mandelbrota. 3. Fraktale losowe - generowane stochastycznie (np.: krajobrazy, linie brzegowe, mapy wysokościowe powierzchni). Za jedną z charakterystycznych cech fraktali uważa się samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo fraktala do jego większej części. Co więcej, zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne przekształcenie afiniczne. W matematycznym modelu fraktali własność samopodobieństwa przenosi się na następną generację nieskończenie wiele razy. Determinowało to powstanie pojęcia wymiaru. Jest to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk fraktali. Matematycy podają kilka różnych definicji wymiaru, a wszystkie mówią, że są miarami samopodobieństwa, a równocześnie miarami skomplikowania. Jako przykłady definicji wymiaru możemy wyróżnić: - wymiar topologiczny – mówi, że dowolny wymiar d należący do N, oznacza ilość liczb potrzebnych do opisania współrzędnych punktu w przestrzeni d-wymiarowej, - wymiar Hausdorffa - najczęściej określany jako taka liczba d 0 , dla której granica lim α (d 0 , ε ) ma skończoną wartość dodatnią, ε →0. -. wymiar samopodobieństwa D - zakłada, że dla dowolnego obiektu samopodobnego istnieje związek pomiędzy współczynnikiem redukcji s, a liczbą części a, na które obiekt może być podzielony w postaci:. D=. -. log a log 1 s. (5.1). wymiar korelacyjny, wymiar pudełkowy - pomiar polega na pokryciu obiektu zbiorem kostek o bokach równych ε i zliczeniu kostek zawierających fragmenty badanego obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od długości boku pojedynczej kostki ε, dlatego wynik to N1(ε). W kolejnych kro-. 37.

(38) kach zmniejsza się stopniowo ε, otrzymując wyniki N2, N3, itd. Następnie sporządza się wykres określony zależnością:. ( ( ε )). log( N (ε )) = f log 1. -. Ostatecznie do otrzymanych punktów należy dopasować prostą i zmierzyć jej nachylenie D’. Wymiar pudełkowy to wartość D’, wymiar pojemnościowy - zwany także wymiarem Kołmogowa, jest wymiarem, który ściśle łączy się z wymiarem Hausdorffa – Besicovitcha. Wymiarem pojemnościowym obiektu geometrycznego X nazywa się liczbę:. log N (ε ) ε →0 log 1. dim X = lim. -. (5.2). ( ε). (5.3). wymiar informacyjny, wymiar Lyapunowa, wymiar euklidesowy, wymiar cyrklowy - zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D’’ definiowany jako:. D' ' = 1 + d. (5.4). Współczynnik d jest współczynnikiem kierunkowym wykresu logarytmów, który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu dokładności pomiaru 1/s, gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta przedstawia się wzorem:. ( ( s )). log(u ) = f log 1. (5.5). Należy jednak pamiętać, że niektóre definicje charakteryzują wyłącznie geometryczne właściwości obiektu (np. definicja Hausdorffa), inne opisują także gęstość rozkładu punktów na tym obiekcie (np. wymiar Lyapunowa). Poprzez to określają pośrednio algorytm, za pomocą którego dany obiekt jest tworzony. W związku z tym sensowność danej definicji ściśle zależy od warunków w jakich się ją stosuje. Zawiesiny występujące w zakładach przemysłowych (w tym w zakładach uzdatniania wody) są układami polidyspersyjnymi i najczęściej tworzą je cząstki. 38.

(39) o nieregularnej strukturze i szerokim zakresie wielkości. Dlatego aby określić budowę przestrzenną cząstek zawiesin wykorzystuje się geometrię fraktalną. Dodatkowo podczas procesu koagulacji zawiesin nieziarnistych dochodzi do łączenia mniejszych agregatów zawiesin w większe. Można sobie wyobrazić, iż kilka cząstek łącząc się pozostawiają pomiędzy sobą wolną przestrzeń. W wyniku takiego procesu powstawać mogą struktury przestrzenne przypominające swoim kształtem kostkę Mengera.. Rys. 5.6. Kostka Mengera Geometryczny wymiar fraktalny D wyznaczany może być w różny sposób w zależności od narzucanych warunków. Dla warunku konturowego wymiary fraktalne cząstek wyznacza się jako:. S ∝ A Db / 2. (5.6). gdzie: S – obwód zbioru cząstek zawiesin, A – pole rzutu. Dla warunku 1-wymiarowego geometryczny wymiar fraktalny D1 odnosi się do nieregularności obwodu tworzonego przez cząstki zawiesin. Dodatkowo udowodniono, iż wartości D1 nie są powiązane z tzw. okrągłością cząstek zawiesin. Związane są one natomiast z nieregularnością ich granic.. 39.

(40) Geometryczny wymiar fraktalny dla tego przypadku może być wyznaczony z zależności:. S ∝ l D1. (5.7). gdzie: l – maksymalna długość zbioru cząstek zawiesin. W przypadku 1-wymiarowego wymiaru fraktalnego może on być określony także w zależności od średnicy zastępczej cząstek:. S ∝ Rz. D1. (5.8). gdzie:. Rz. – średnica zastępcza cząstek.. Dwuwymiarowy wymiar fraktalny D2 definiuje zależność pomiędzy odległością l od środka układu cząstek tworzących zawiesiny, a wzrostem masy zawierającej się na zakreślonej powierzchni w odległości l . Przy promieniowym rozkładzie masy może zachodzić równość l = r , a wymiar fraktalny definiuje związek:. S ∝ r D2 = S ∝ l D2. (5.9). gdzie: A –. suma powierzchni wszystkich cząstek znajdujących się w okręgu o promieniu r lub w odległości l.. Wartość D2 może być także określona wykorzystując związek pomiędzy wielkością badanej powierzchni cząstek zawiesiny A, a obwodem zbioru cząstek zawiesin S. Wymiar fraktalny D2 oparty na wartości obwodu agregatu można wyznaczyć z zależności:. A ∝ S 2 / D2. (5.10). Wymiar fraktalny D3 określany jest jako objętościowy i odnosi się do morfologii zawiesin. Wskazuje on na stopień upakowania pojedynczych cząstek w określonej objętości.. 40.

(41) Wartość D3 wyznaczyć można z zależności:. V ∝ l D3. (5.11). gdzie:. V. – objętość cząstek zawiesin.. Przy małych wartościach D3 kształt cząstek zawiesin coraz bardziej przypomina odcinki, natomiast w miarę wzrostu wartości D3 następuje rozbudowa powierzchni zawiesin tworzących przestrzenne struktury. Cząstki opisane mogą być również poprzez fraktal masowy. Fraktalem masowym nazywamy agregat masowy zbudowany z cząstek połączonych ze sobą. Wymiar fraktala masowego Dm określa zależność:. M ( R) ∝ R Dm. (5.12). gdzie:. M (R) R. – masa cząstek zawiesiny, – liniowy rozmiar cząstki.. Masowy wymiar fraktalny Dm ∈ (1; 3) . Aby wyznaczyć wymiar fraktalny stosuje się różne metody takie jak: metoda kwadratów, metoda pręta, a także analiza obrazu i dyfrakcja promieni świetlnych. Techniki pomiaru oparte na analizie obrazu mogą powodować zmiany struktury podczas przygotowywania próbek do analizy, ponadto stosowane są przy analizie struktur o wymiarze fraktalny mniejszym niż 2. Wadą tej techniki jest także czasochłonność i brak wiernego odzwierciedlenia obrazu rzeczywistego, ze względu na zakłócenia pochodzące z przyrządu pomiarowego (mikroskopu), oraz elementów archiwizujących obraz. Znacznie krótszy czas otrzymania wyników uzyskuje się stosując technikę pomiaru polegającą na rozproszeniu światła laserowego. Podstawą metody jest założenie, że rozproszenie światła na cząstkach stałych uzależnione jest od rozkładu wielkości cząstek, a także ich właściwości optycznych (indeksu refrakcji i współczynnika absorpcji), oraz struktury przestrzennej. Metoda ta sprawdza się przy wyznaczaniu wymiaru fraktalnego cząstek o luźnej strukturze i charakteryzujących się niskimi wartościami indeksu refrakcji.. 41.

(42) W dyfraktometrii laserowej wyznaczenie wymiaru fraktalnego opiera się na analizie zmian intensywności rozproszenia fali światła lasera I (Q ) . Liczbę falową Q wyznaczyć można z zależności:. Q = (4π / λ )sin (θ / 2 ). (5.13). gdzie:. θ λ. – kąt rozproszenia światła lasera, – długość fali światła lasera.. Analiza pozwala na wyznaczenie zależności pomiędzy intensywnością rozproszenia fali światła lasera I (Q ) a liczbą falową. Zależność ta przedstawia się następująco:. I (Q) ∝ Q D3. (5.14). 5.2. Podsumowanie Pierwsze próby opisu zawiesin wykorzystujące teorię fraktali pokazują jak bardzo przyszłościowe jest to narzędzie. Tym bardziej, że optyczna miara czystości zawiesiny, czyli mętność zawiesiny, oznaczana jest najczęściej metodą rozpraszania światła. Wtedy wartości podawane mogą być w jednostkach NTU (Nephelometric Turbidity Unit – pomiar rozproszenia światła pod kątem 90°), lub FTU (Formazin Turbidity Unit – dla dowolnego kąta). Metoda dyfraktometrii laserowej jest nowoczesną metodą, którą można wykorzystać do wyznaczenia wymiaru fraktalnego zawiesin. Do najważniejszych zalet tej metody należy zaliczyć szybkość wykonania pomiarów, oraz dużą powtarzalność wyników. Równolegle z badaniami składu granulometrycznego istnieje możliwość identyfikacji budowy przestrzennej cząstek budujących zawiesiny. Zakładając, że cząstki wchodzące w skład zawiesin nieziarnistych mają budowę przestrzenną, zbliżoną do struktur liniowych z dużą ilością otwartych przestrzeni, teoria fraktali wydaje się być odpowiednią do opisu cząstek. Taka budowa cząstek wpływa korzystnie na ich powierzchnię właściwą i zdolności sorpcyjne. Analiza składu granulometrycznego zawiesin obecnych w wodach naturalnych, oraz powstających w procesach oczyszczania wody i ścieków, zwiększa możliwości badania tak mało poznanego środowiska cząstek, jakim są zawiesiny nieziarniste.. 42.

(43) Pierwsze próby opisu cząstek nieziarnistych dokonywane przy wykorzystaniu teorii fraktali wykonywane między innymi przez C. P. Chu, D. J.Lee, X.F. Peng, B.-M. Wilen, B. Jin, P. Lant, czy też polskich znanych naukowców jak Ewa Burszta-Adamiak, Janusz Łomotowski, Magdalena Kęszycka czy Marian Banaś pokazują, iż teoria ta będzie coraz szerzej stosowana i na pewno przyniesie wymierne korzyści. Wykorzystując granulometr laserowy można analizować zawiesiny kłaczkowate tworzone w procesach koagulacji, co przyniesie dodatkowe informacje odnośnie sedymentacji tych zawiesin.. 43.

(44) 6. Przegląd metod modelowania sedymentacji wielostrumieniowej. W literaturze znaleźć można wiele modeli opisujących proces sedymentacji. Odnoszą się one przede wszystkim do urządzeń o charakterze przepływowym. Wśród najbardziej znanych odnaleźć można modele matematyczne opracowane w Katedrze Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska.. 6.1. Model Culpa, Hansena i Richardsona [18], [36] Podstawowe założenia do wyznaczenia równania opisującego proces sedymentacji to: - trajektoria cząstki jest linią prostą, - rozkład prędkości cieczy w przewodzie jest linią prostą, - aby cząstka przebyła odległość l równą długości przewodu musi minąć czas równy czasowi potrzebnemu na przemieszczenie się cząstki wzdłuż średnicy D przewodu (wysokości przewodu). Biorąc pod uwagę wyżej wymienione założenia można otrzymać zależność:. w p − w0 g sin α l. 44. =. w0 g cos α. wp. – prędkość przepływu,. w0 g. – graniczna prędkość opadania,. D. (6.1).

(45) α l D. – kąt pochylenia przewodu, – długość przewodu, – średnica przewodu.. Rys. 6.1. Schemat przewodu słuszny dla modelu Culpa, Hansena i Richardsona Po przekształceniach zależności otrzymano wyrażenie na względną długość przewodu L:. L=. ( w p − w0 g sin α ) l = D w0 g cos α. (6.2). 6.2. Model Yao [102] Aby wyznaczyć ogólne równanie uwzględniające wszystkie najważniejsze parametry wpływające na proces sedymentacji Yao przyjął następujące założenia: - przepływ cieczy w elemencie wypełnienia jest uwarstwiony i jednokierunkowy, - cząstki ciała stałego w zawiesinie są cząstkami dyskretnymi i nie ulegają łączeniu. Aby rozpocząć rozważania należy wziąć pod uwagę: - warunek równowagi sił działających na cząstkę, - rodzaj ruchu cząstki, - rozkład prędkości w przewodzie.. 45.

(46) Autor do rozważań wprowadza parametr S wyrażany poprzez zależność:. S=. wo (sin α + L cos α ) wp. (6.3). Jeżeli rozważamy przypadek, w którym droga opadania cząstek równa jest głębokości przewodu, parametr S przyjmuje wartość krytyczną Sk. Jeżeli do przepływu dochodzi pomiędzy równoległymi płytami, wówczas parametr S przyjmuje wartość 1. Dla przepływu przez przewód o przekroju kołowym S = dla przewodu o przekroju kwadratowym S =. 4 , natomiast 3. 11 . 8. W swoich rozważaniach Yao przyjmuje, że obciążenie powierzchniowe q jest takie samo jak graniczna prędkość opadania w0 g :. q = w0 g. (6.4). Przekształcając można uzyskać zależność na względną długość przewodu. L=. Sw0 D − Dtgα q cos α. (6.5). Przedziałową skuteczność sedymentacji określa zależność podana w pracy Thomasa:. ηi = 1 +. 2. π. (2ω 3 β − ωβ − arcsin β ). gdzie: 1.  3ω 3 ω =  0 (sin α + L cos α )  4ω p . β = (1 − ω 2 ). 46. (6.6).

(47) 6.3. Model Olszewskiego i Suchaneckiej [87] Na podstawie badań wypełnienia płytowego, oraz opierając się na formule Yao, Olszewski i Suchanecka opracowali doświadczalne równanie opisujące skuteczność sedymentacji, wyrażające się zależnością:.  1  η = 1 − 0,7  (sin α + L cos α )  w p . −0 , 45. (6.7). gdzie:. wp. – średnia prędkość przepływu cieczy, mm/s.. 6.4. Model McMichaela [79] Model zaproponowany przez McMichaela słuszny jest dla przewodu rurowego i w przewodzie pochylonym pod kątem α do poziomu określa dwa obszary ruchu cząstki: - strefę wewnętrzną 0 < r < r0 , gdzie składowa prędkości sedymentacji równoległa do osi przewodu jest mniejsza od całkowitej prędkości przepływu cieczy, - strefę zewnętrzną r0 < r < R , gdzie składowa prędkości sedymentacji jest większa od lokalnej prędkości przepływu.. Rys. 6.2. Schemat przewodu kołowego w modelu McMichaela. 47.

(48) Zgodnie z założeniami modelu cząstki w strefie wewnętrznej poruszają się wraz ze strumieniem, natomiast ruch cząstek w strefie zewnętrznej odbywa się przeciwnie do ruchu strumienia oczyszczanego. Zatem cząstka zostanie usunięta, gdy jej tor przetnie powierzchnię rozdzielającą strefy. Promień r0 powierzchni rozdzielającej strefy określony jest równaniem:.   w 2 r0 = R 2 1 − 0 sin α    2w p  . (6.8). Składowe prędkości cząstki można opisać zależnościami:.  y2 + x2 dx = 2 w p 1 − dt R2 .   − w0 sin α . (6.9). dy = − w0 cos α dt. (6.10). dz =0 dt. (6.11). Równanie toru cząstki można opisać zależnością:.  y2 + x2 2 w p 1 − R2 dx  = dy − w0 cos α.    + tgα. (6.12). Analizując rozważania McMichaela, zależność na względną długość przewodu można przedstawić w postaci: 3.  w0 g sin α  2  1 − L= 3w0 g cos α  2 w p  4w p. 48. (6.13).

(49) Skuteczność przedziałową sedymentacji oblicza się ze wzoru:. ηi = 1 +. 2. π. (2ω 3 β − ωβ − arcsin β ). (6.14). gdzie: 1 3 3    3lwo cos α  w0 g sin α  2    1 − ω =  2 w p    4 Dw p   . (6.15). 6.5. Model Haby, Nosowicza i Pasińskiego [35] Podstawowe założenia do opisania procesu sedymentacji to: - przepływ cieczy jest uwarstwiony, - opadanie cząstek przebiega w sposób niezakłócony. Aby wyznaczyć równanie toru ruchu cząstki należy przyjąć, że w dowolnym punkcie pomiędzy płytami składowe prędkości cieczy w(z ) i cząstki w0 leżą w płaszczyźnie x, z, a tor ruchu cząstki można przedstawić jak na Rys. 6.3.. Rys. 6.3. Schemat przepływu między płytami w modelu Haby, Nosowicza i Pasińskiego. 49.

(50) Przemieszczenie cząstki w czasie dt w kierunkach z i x wynosi odpowiednio:. dz = − w0 z dτ = − w0 cos αdτ. (6.16). dz = [w( z ) + w0 z ]dτ = [w( z ) + w0 sin α ]dτ. (6.17). Równanie różniczkowe toru cząstki przyjmuje postać:. w0 cos α dz =− dx w( z ) + w0 sin α. (6.18). lub po przekształceniach:. w0 cos α w sin α w( z ) dz + 0 dx + dz = 0 wp wp wp Stosunek prędkości. w( z ) wp. (6.19). w płaszczyźnie x, z, przy przepływie laminar-. nym pomiędzy płytami równoległymi wynosi:.  z   z  2  w( z ) = 6   −    wp  h   h   Po wprowadzeniu stosunku prędkości. (6.20). w( z ) wp. do równania różniczkowego. toru cząstki otrzymuje się zależność:.  z   z  2  w0 sin α w0 cos α dz + 6   −    dz = 0 dx + wp wp  h   h  . (6.21). Następnie całkując i po przekształceniach otrzymuje się: 2. 3. w0 x w z z z cos α + 0 sin α + 3  − 2  = C wp h wp h h h. 50. (6.22).

(51) Przy projektowaniu osadników płytowych bardzo duże znaczenie ma tor cząstek przechodzących przez punkt o współrzędnych x = 1 , z = 0 . Wyznaczając na tej podstawie stałą całkowania otrzymuje się rozwiązanie szczególne równania: 2. 3. w0 x w z wl z z cos α + 0 sin α + 3  − 2  = 0 cos α wp h wp h wp h h h. (6.23). Wprowadzając liczbę Hazena, która jest stosunkiem czasu przepływu τ p zawiesiny przez osadnik do czasu opadania cząstki τ 0 , równanie toru cząstki dla osadników płytowych współprądowych przyjmie ostateczną postać:. Hz =. τ p lw0 = τ 0 hw p. h x  Hz =  cos α + z sin α  + 3 z 2 − 2 z 3 = Hz cos α l l . (6.24). (6.25). Równanie toru cząstki dla osadników płytowych przeciwprądowych przyjmie postać:. h x  Hz =  cos α − z sin α  + 3 z 2 − 2 z 3 = Hz cos α l l . (6.26). gdzie:. z=. z h. Przedziałowa skuteczność sedymentacji obliczana jest jako stosunek natężenia przepływu danej frakcji ciała stałego na wypływie z dołu osadnika do natężenia na wlocie, czyli: z0. η (d ) =. ∫ w( z )dz 0 1. (6.27). ∫ w( z )dz 0. 51.

(52) a po przekształceniach:. η (d ) = 3z 0 2 − 2 z 0 3. (6.28). Wielkość z 0 jest pierwiastkiem równania toru cząstki dla x = hctgα . Ogólna skuteczność sedymentacji oblicza się z równania:. η0g =. dg. f (d )η (d )dd +. ∫ d min. d max. ∫ f (d )dd. (6.29). dg. W równaniu (6.29) f (d ) oznacza gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wielkości cząstek. Aby wyznaczyć średnicę cząstki granicznej należy wyznaczyć graniczną prędkość opadania cząstki. Graniczną wartość liczby Hazena obliczyć można z równania (6.25), oraz z równania (6.26) przyjmując z = 1 i x = hctgα . Porównanie obu zależności prowadzi do wyznaczenia granicznej prędkości opadania cząstki w osadniku współprądowym:. w0 g =. wp h 2h   1 −  cos α  sin 2α . (6.30). Podobnie na podstawie równań (6.25) i (6.26) wyznaczyć można prędkość graniczną cząstki w osadniku przeciwprądowym:. w0 g =. − w p h sin α 2h cos 2 α − l sin α cos α − h. (6.31). Średnicę cząstki granicznej oblicza się z zależności:. dg = 3. 52. 2η c w0 g (ρ s − ρc )g. (6.32).

(53) i stosuje jako granicę całkowania w równaniu (6.29) na ogólną skuteczność sedymentacji.. 6.6. Model Willisa [101] Model procesu sedymentacji zaproponowany przez Willysa opiera się na następujących założeniach: - ruch płynu w przewodzie jest uwarstwiony, - czas przebywania cząstki wpływającej do przewodu w jego najwyższym punkcie wejściowym powinien być taki, aby cząstka opadła na dolną powierzchnię przewodu, - prędkość przepływu zawiesiny przez przewód nie może powodować porywania warstwy osadu i usuwania go ze strumienia cieczy, - objętość przewodu musi pozwalać na gromadzenie się osadu oraz niezakłócony przepływ cieczy. Liczbę przewodów wypełnienia rurowego nachylonego pod kątem α do poziomu można obliczyć wykorzystując zależność:. N=. Fc sin α kFp. (6.33). gdzie:. k. –. współczynnik uwzględniający grubości ścianek i „martwe” przestrzenie.. Czas przebywania cząstki w przewodzie oblicza się z zależności:. τp =. lFc sin α kV. (6.34). Zgodnie z modelem Willisa cząstka sedymentuje pokonując odległość y równą wartości odcinka w pionie pomiędzy końcem przewodu, a przeciwległą dolną powierzchnią przewodu (Rys. 6.4).. 53.

(54) Rys. 6.4. Schemat pojedynczego przewodu w modelu Willisa Czas sedymentacji wynosi:. τp =. γD cos α. (6.35). gdzie:. γ. – wielkość związana z prędkością sedymentacji.. Na podstawie zależności (6.33) i (6.34) otrzymuje się wzór na względną długość przewodu w postaci:. L=. γkV Fc cos α sin α. (6.36). 6.7. Model Czajkowskiego [21] Model procesu sedymentacji zaproponowany przez Czajkowskiego opiera się na następujących założeniach: - cząstki fazy stałej zawiesiny stanowią układ polidyspersyjny, - przepływ cieczy ma charakter uwarstwiony jednoosiowy,. 54.

(55) -. -. opływ cząstek ciała stałego jest uwarstwiony, pole temperatur jest jednorodne i stałe (w rozważanej objętości cieczy), dynamiczne współczynniki lepkości zawiesiny i jej fazy ciekłej są sobie równe, cząstki ciała stałego zawiesiny osadzone na dnie przewodu są usuwane w sposób ciągły dzięki pochyleniu pod kątem większym od kąta samospływu, promień zastępczy cząstki r jest umowną wielkością charakteryzującą wymiary geometryczne rzeczywistej cząstki, skład poszczególnych frakcji jest taki sam w całym poprzecznym przekroju wlotowym elementu, prędkość unoszenia cząstki ciała stałego jest równa prędkości otaczających ją cząstek cieczy.. Promień zastępczy cząstki określa się jako promień kuli o gęstości równej gęstości cząstki opadającej w nieruchomym ośrodku ciekłym pod wpływem działania sił pola grawitacyjnego i sił stanowiących opory ruchu z prędkością równą prędkości opadania w tych samych warunkach rzeczywistej cząstki. W dalszych rozważaniach promień zastępczy cząstki będzie nazywany promieniem cząstki. Promień cząstki jest zmienną losową o rozkładzie logarytmiczno-normalnym. Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wyraża się funkcją: 1  ln r − mr    −  1 2  σ r   e f (r ) =  2π σ r r  0. 2. gdy r ∈ R. (6.37). gdy r ∉ R. Aby znaleźć zależność opisującą tor ruchu cząstki opadającej w cieczy przepływającej w przewodzie nachylonym pod kątem α do poziomu należy rozpatrzeć ruch cząstki o promieniu r , która w chwili τ = 0 została wprowadzona do układu w punkcie P0 (0, Y0 ) :. w0 cos α dz =− dx w − w0 sin α. (6.38). 55.

(56) Rys. 6.5. Tor ruchu cząstki w modelu Czajkowskiego Całkując, a następnie dzieląc równanie przez średnią prędkość przepływu zawiesiny można otrzymać:. w0. ∫w. dy +. p. w w0 y sin α + 0 x cos α = C wp wp. (6.39). Stałą C obliczyć można z rozkładu prędkości przepływu cieczy w przekroju poprzecznym. W zbiorze cząstek o promieniu r największy zasięg X m osiągają te cząstki, które w chwili τ = 0 znajdowały się w punkcie P (0,1) :. Xm =. ηc wp − tgα A( ρ s − ρ c ) gr 2 cos α. gdzie: A – zależy od rodzaju wypełnienia.. 56. (6.40).

(57) Aby określić objętość cząstek Vs , które osadzą się na dnie przewodu o objętości V , wykorzystać należy zależność otrzymaną na podstawie przyjętych założeń i przeprowadzonych rozważań w postaci: X. Vs = V ⋅ ∫ 0. 1 2σ r 2π ( X + tgα ). 5 2. ×.  1  ln ( X + tgα ) − m  2 3 9 2  x m σ r dX + − × exp−  x  2σ r 2 2   2   . (6.41). gdzie:. ηc wp   m x = ln   − 2m r 2 ( ) cos A g r ρ − ρ α s c  . (6.42). Dzieląc równanie przez V otrzymano udział objętościowy cząstek K ( X ) : X. K(X ) = ∫ 0. 1 2σ r 2π ( X + tgα ). 5 2. ×.  1  ln ( X + tgα ) − m  2 3 9 2  x × exp−   + m x − σ r dX 2σ r 2 2   2   . (6.43). Wartość funkcji K ( X ) określonej równaniem równa jest wartości dystrybuanty rozkładu normalnego N (0,1) dla argumentu:. p=. ln ( X + tgα ) − m x + 3σ r 2σ r. (6.44). 57.

(58) Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu objętości cząstek fazy stałej zawiesiny, które osadziły się w strefie osadzania na dnie przewodu ma postać:. k(X ) =. 1 2σ r 2π ( X + tgα ). 5 2. ×.  1  ln ( X + tgα ) − m  2 3 9 2  x + − × exp−  m σr  x  2 2 2 2 σ   r  . (6.45). Model matematyczny, który został przedstawiony powyżej dotyczy procesu cienkowarstwowej sedymentacji polidyspersyjnych cząstek fazy stałej zawiesiny. Pozwala on na opracowanie metody obliczania głównych wymiarów osadników wielostrumieniowych, przy wykorzystaniu trzech wariantów obliczeniowych. Wariant 1 Obliczanie długości względnej przewodu dla założonego obciążenia osadnika i wymaganej skuteczności sedymentacji osadnika. Ogólną skuteczność sedymentacji można określić na podstawie początkowego c p i końcowego (c k ) stężenia ciała stałego w zawiesinie. Wykorzystać do tego. ( ). należy zależność:. η og =. c p − ck. (6.46). cp. Następnie z tablic rozkładu normalnego odczytuje się wartość argumentu p dla wartości całki Gaussa równej skuteczności sedymentacji:. η og. 1 = 2π. p.  1. ∫ exp − 2 X. −∞. 2.  dX . Na koniec wyznacza się względną długość L = X =. L=. 58. Aη c w p. (ρ s − ρ c )g cos α. (6.47). l , z zależności: h. exp[2( pσ r − 3σ r−mr )] − tgα. (6.48).

(59) Wariant 2 Obliczanie skuteczności osadnika dla złożonego obciążenia i założonych wymiarów układu. W celu określenia ogólnej skuteczności sedymentacji należy obliczyć wartość wyrażenia:.  A( ρ s − ρ c ) g cos α  (L + tgα ) + 2 mr + 3σ r2 ln  ηc wp   p=  2σ r. (. ) (6.49). Następnie należy wyznaczyć ogólną skuteczność sedymentacji z równania jako wartość całki Gaussa dla rozkładu normalnego. Wariant 3 Obliczanie obciążenia osadnika dla wymaganej skuteczności sedymentacji i przy założonych wymiarach układu. Z tablic rozkładu normalnego odczytuje się wartość argumentu p dla wartości całki Gaussa równej skuteczności sedymentacji. Prędkość przepływu zawiesiny w p oblicza się z zależności:. wp =. A( ρ s − ρ c ) g cos α. ηc. ( X + tgα ) exp[2(mr + 3σ r2 − pσ r )]. (6.50). 6.8. Model Niedźwieckiego [83] Podstawowe założenia określone w modelu są następujące: - sedymentacja przebiega bez zaburzeń, - cząstki ciała stałego zawiesiny mają kształt kulisty, - cząstki ciała stałego zawiesiny są duże w porównaniu z cząstkami fazy ciekłej, - między cząstkami ciała stałego a cieczą nie zachodzi poślizg, - prędkość opadania cząstek znajduje się w zakresie Stokesa, - nie ma oddziaływań między opadającymi cząstkami ciała stałego, - wpływ deformacji pola prędkości cieczy wywołany ruchem opadających cząstek jest znikomy,. 59.

(60) -. istnieje symetria (w czasie i przestrzeni) sił wywołanych rotacją cząstek. Siły te związane są z efektem Magnusa i mogą pojawić się w obszarach dużych gradientów prędkości cieczy.. Rys. 6.6. Układ współrzędnych przyjęty w modelu Niedźwieckiego. Na podstawie opisu przepływu cieczy (Rys. 6.6) o stałej gęstości i lepkości, za pomocą układu równań Naviera-Stokesa, oraz po uwzględnieniu równania ciągłości otrzymano następujące rozwiązanie szczegółowe: Prędkość przepływu cieczy:.  x x2 w y = 4 wmax  − 2 h h.   . (6.51). 2 l w p = ∫ w y dx = wmax 3 h0. (6.52). Średnia prędkość przepływu cieczy: h. 60.

(61) Ciśnienie:. p = p0 −. 8η c wmax y ρc h2. (6.53). Ruch cząstki granicznej w przewodzie opisuje równanie różniczkowe w postaci:. dy d2y +A = − Lx 2 + Kx − B 2 dτ dτ gdzie:. A=. B=. (6.54). 18η c d g2 ρ s. (ρ s − ρ c )g ρs. (6.55). sin α. (6.56). K=. 4 wmax A h. (6.57). L=. 4 wmax A h2. (6.58). Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków brzegowych otrzymuje się rozwiązanie szczególne w formie:. τ 2 τ   Aτ 3 τ 2τ −τ 2 + y = (S − 2 Z ) −  + (− S − Z − B ) − Z  A A  2 A  3 Z + 2 A 2τ 2 exp(− Aτ ) + 2 Aτ exp(− Aτ ) + 2 exp(− Aτ ) + A Z S + 2Z − exp(− 2 Aτ ) − exp(− Aτ )( Aτ + 1) + 2 A2 2A B  B 9Z 3S  2S 4Z −  2 + 2 + 2  exp(− Aτ ) + + 2 + 2 2 A A  A A 2A A. [.   + . ]. (6.59). 61.