Untersuchungen über drehmanöver und kurs-stabilität von schiffen

SllIFFSTEt!llUk

FOILSCIIUNGSIIEFTE FVR SCIIIFFIUU LID sdllIFFsMAsdll1EN:BAE:

Heft 29, November 1938 (.i. Band)

Untersuchungen über

Drehmanöver und Kursstabilität von Schiffen

F. Horn und E. A. Walinski

A. Einführung

I. In einer früheren Arbeit [11 1) hatte der erstgenannte

Verfasser zu dem Thema der Steuereigenschaften von Schiffen.

deren nähere, bisher nodi nicht ausreichend gelungene

Er-forschung neuerdings mit Recht zunehmende Beachtung findet,

einige theoretische Beiträge zu liefern versucht. Die dabei

ver-wendeten Ansätze bezogen sich zunächst auf den Sonderfall

eines Tragflächenbootes, der aus dem Grunde ein besonders

einfaches Beispiel darstellt, weil die Strömungs- und

Kraft-verhältnisse an den isolierten Tragflächen in guter Näherung

mit linearen Ansätzen und daher auch quantitativ bequem

erfaßt werden können und weil die in Anbetracht des

teil-weise instationären Verlaufs der Vorgänge ins Spiel kommen.

den sogenannten mitbewegten Wassermassen in diesem Fall

keine nennenswerte Rolle spielen. Unter diesen erleichiernden

Umständen werden die Bewegungsgleichungen leicht lösbar

und die Ergebnisse gut übersehbar.

Ungleich verwidcelter liegen die Verhältnisse béi

Verdrän-gungsfahrzeugen. Für diese liefert die bisherige Theorie nur

einige, wenn audi wertvolle, allgemeine Richtlinien, die für

eine unmittelbare. d. h. ohne Zuhilfenahme

von Versuchen zu

erreichende Erfassung der Vorgänge bei weitem nicht

aus-reichen. Aber audi wenn in Synthese mit der Theorie

Modell-versuche

für die Sondereinrichtungen geschaffen werden

müssen - zu Hilfe genommen werden, ist es bisher fraglich.

oh diese Versuch

wenigstens wenn sie

in einem praktisch

vertretbaren Ausmaß gehalten werden und keine übermäßigen

Auswertungsschwierjgkeiten im Gefolge haben

sollen, zu

einem ausreichend brauchbaren Ziele führen. Insbesondere

ist

i) Die in Klammern gesetzten Ziffern beziehen sieh

auf das

ScIirifttumsverzeiehnjs am Schluß der Arbeit.

Inh alt dieses Heftes:

1 HORN UND

EA. WÁLiVSKJ

_{Untersuchungen über Drehmanöver und Kursstabilitt}

_{von SchifTen}

173

R. ARÑI)T UND S. BODEN

Stabilität bei vor- und achterlieheni Seegang

₁₉₂

O. KRAPPIíVCEII

_{'erfahren zur Berücksichtigung der Stabilität beim Schiffsentwurf}

200

K. H. KREKELER

_{Vergleich der Ergebnisse von Stabilitätsreehnungen mit gemessenen Werten}

208

L-L. WERERL ING ...Stückgutumseblag

_{bei Ostsee-Linienfrachsdiiffen}

215

G. HAGEDOR!V

_{Die Dämpfung von Drehschwingungen durch die elektromagnetische}

Sehlupfkupplung

- 173 - Schiffstec!-injk Bd. 5 - 1958 - Heft 29

es im Hinblick auf das extreme Seitenverhältnis des ..Profils,

welches der Unterwasserkörper eines normalen Schiffes

auf-weist, zunächst zweifelhaft, ob es überhaupt noch sinnvoll ist:

mit linearen Ansätzen zu arbeiten, oder ob man die

außer-ordentlichen Erschwerungen, die mit dem Hinzutreten

qua-dratischer oder noch höherer Glieder verbunden wären, in

Kauf nehmen müßte.

Wie an dieser Stelle gleich bemerkt sei, ist in

neueren

Ver-öffentlichungen gerade diese Frage bereits näher behandelt

worden. Die eine von diesen [2] lag sogar schon y o r der

eingangs zitierten Arbeit vor: da sie aber erst bei deren Druck

bekannt wurde, hatte nur noch in einer kurzen, im letzten

Augenblick eingefügten Bemerkung auf sie Bezug

genommen

werden können. Die Autoren dieser Arleit kommen

hinsicht-lich der soeben berührten Frage im wesenthinsicht-lichen zu dem

Er-gebnis, daß die Verwendung rein linearer Ansätze. wenn audi

nicht durchweg, so doch immerhin in recht weitgehendem

Um-fange gerechtfertigt sei

- im einzelnen kommen wir später

hierauf noch zurück. desgi. atf neuereArbeiten

_{von Thierne.}

u. a. [3] nach denen sich der Einbau quadratischer Glieder als

erforderlich erweis!.

Auf alle Fälle aber erschien es schon im Hinblick auf diesen

einen Kardinalpunkt wichtig, durch weitere Untersudiungen

zu dessen Klärung beizutragen. Es liegt auf der Hand, daß

dies nur auf experimentellem Wege. und zwar durch

Modell-versuche, geschehen kann. Es lag nahe, im Zusammenhang

mit solchen Versuchen möglichst auch noch die mitbewegten

Wassermassen und deren Trägheitsmomente. die ja in den

heim Manövrieren in Frage kommenden instationären

Be-wegungsstänclen bei Verdrängungsfahrzeugen eine erhebliche

Rolle spielen, an Hand der dafür bekannten Ansätze einer

Nachprüfung zu unterziehen.

(

In diesem Sinne

: sind im wesentlidien die Versuthe

vor-genommen worden, über die im folgenden beriditet wird. Sie

verfolgen also vorwiegend praktische Zwethe, indem eine

Nathpriifung versutht werden soll, ob bzw. bis

zu welthen

Grenzen das Arbeiten mit linearen Ansätzen zu Ergebnissen

führt, die für die Beurteilung der Steuereigensdiaften noch

mit praktisch ausreichender Näherung maßgebend sind. Diese

vorwiegend praktischen Ziele werden nicht dadurch

beein-trächtigt, daß die Versuche mit reinen Sthiffsmodellen, ohne

Propeller, ausgeführt wurden. Dies rechtfertigt sich dadurch,

daß es bei der vorliegenden Forschungsarbeit nicht auf die

Gewinnung unmittelbar quantitativ verwertbarer Ergebnisse

ankam, sondern in allererster Linie auf die Erprobung einer

bestimmten

vereinfachten M e t.ho de auf

praktisch

aus-reichendeBewährung. Diese Methode ist, ein positives

Ergeb-nis der Nachprüfung vorausgesetzt, dann ohne weiteres auf

den Fall eines propellerangetriebenen Modells anwendbar.

Die praktische Bedeutung einer solchen Methode ist darin

zu sehen, daß man durch geeignete Modellversuche diejenigen

Gróßen zu ermitteln in die Lage versetzt wird, auf Grund

deren man individuell für den zu untersuchenden

Schiffs-entwurf den Ablauf eines Drehmanövers sowie das Maß der

Kursstabilität in einfacher und übersichtlicher Weise mit

praktisch ausreichender Näherung feststellen kann.

Bei der Durchführung der Versuche mußten, trotz deren

dankenswerter und großzügiger Förderung durch die Ver.

suchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau, Berlin, in der sie

durchgeführt wurden, aus äußeren Gründen manche Wünsche

unerfüllt bleiben - ganz abgesehen davon, daß anfänglich

manches Wünschenswerte nicht gleich ausreichend erkannt

wurde, und daß sich dann später teilweise keine Gelegenheit

zum Nachholen mehr bot. So weist das, was schließlich

zu-standegekommen ist und was in dem vorliegeñden Bericht

be-handelt wird, mancherlei Lücken auf, die der Geschlossenheit

des Ganzen Abbruch tun. Wie schließlich erwähnt sei, mußten

aus verschiedenen äußeren Gründen die Versuche mehrfach

'auf mehr oder weniger lange Zeit unterbrochen werden,

was

dazu führte, daß sie sich alles in allem über mehrere Jahre

erstreckten.

Der Schilderung der Versuche

_{- deren Programm,}

Ein-richtungen und Ergebnisse

- sind einige theoretische

Erörte-rungen' vorangestellt worden, die im wesentlichen die in der

früheren Arbeit [1] enthaltenen theoretischen Untersuchungen

für, deren Anwendung auf Verdrängungsfahrzeuge ergänzen

sollen. Sie beschränken sich bewußt auf solche Fragen, die in

unmittelbarem Zusammenhang mit dem genannten praktischen

Ziele unserer Arbeit stehen.

Den Abschluß der Arbeit bildet eine eingehende kritische

Erörterung der Ergebnisse sowie eine Zusammenfassung der

'Hauptpunkte mit Hinweisen für Weiterarbeit. Die in

der

Arbeit verwendeten Bezeichnungen sind am Ende des

Auf-satzes zusammengestellt.

B. Theoretische Gesichtspunkte

2. Für den Ansatz der Bewegungsgleichungen der

Steuer-fahrt werden die gleichen Definitionen, Bezeichnungen.

Ko-ordinatensysteme und Vorzeichenregeln verwendet wie bei [1}.

Zur heiseren Orientierung ist die in Bild i von [1] enthaltene

Bild i Prinztpsklzze für. Sthlff beim Drehmanöver

Prinzipskizze für das Schiff beim Drehmanöver hier nochmals,

wiederun als Bild i, mit aufgenommen,

_{jedoch mit der}

Ande-rung, daß außer dem dort verwendeten

_sogenannten

natür-lidien Koordinatensystem, das seinen Ursprung im

Massen-schwerpunkt G hat und bei dem die Achsen durch Tangente

und Normale zur Schwerpunktsbahn sowie durch die zu beiden senkrecht stehende Hochachse (Z-Achse) gebildet werden, auch

noch ein schiffsfestes Koordinatensystem x y z eingezeichnet

ist. Für das Vorzeichen der Kräfte,

_{Geschwindigkeiten und}

Beschleunigungen sind die Richtungen

_{der Koordinatenathsen}

maßgebend. Momente, Winkel,

_{Winkelgesthwindigkeiten und}

Winkelbeschleunigungen sind positiv,

wenn entgegen dem

Uhrzeigersinn gerichtet. Die in den Bildern eingezeichneten

Pfeile kennzeichnen, je nachdem sie in positive oder negative

Richtung weisen, die betr. Größen als

positiv oder negativ.

Ferner wurden auch die in

[1] verwendeten Näherungen

beibehalten,

_{nach denen erstens die Krängungsbewegung}

vernachlässigt, zweitens mit einer k on sta n t e n

Bahn-geschwindigkeit y gerechnet wird. Unter diesen Umständen

bleiben wie bisher nur die Bewegung in der Querrichtung und

die Drehbewegung um den Massenschwerpunkt G übrig.

Von den entsprechenden Bewegungsgleichungen muß

die

für die Querbewegung gegenüber

_{(1] eine Umgestaltung}

insofern erfahren, als bei Verdrängungsfahrzeugen die

mit-bewegten Wassermassen eine ungleich größere Rolle spielen

als bei den in [lj vorwiegend behandelten Tragfläthenbooten

und daher auch eine genauere Erfassung erfordern. Da die

hierfür in der Literatur zu findenden Formulierungen nicht

ganz einheitlich sind, sei die entsprechende Ableitung hier kurz

eingeschaltet. Es sei zunächst das schiffsfeste

Koordinaten-system x y zugrunde gelegt. Bei einer beschleunigten

Bewe-gung in x-Richtung

tritt

eine

_{scheinbare Masse m' =}

m (i+k)

(V (1+k5) in Erscheinung, bei einer

beschleu-nigten Bewegung in y.Richtung eine solche m'V(1+k),

wobei die sogenannten Trägheitskoeffizienten

k,

und k.

das Verhältnis des Volumens der jeweils mitbewegten

Wasser-masse zum Körpervolumen bedeuten.

Bei langgestreckten

Körpern, wie es Schiffe.sirid, besitzt k

(Längsbewegung) die

Größenordnung von 0,1, k

(Querbewegung) eine solche von

1,0 und darüber.

ed)

Bild 2 Zur Ableitung der Massenglieder In der Gleithung der Querbewegung, an Hand sthiffsfesten Koordinatensystems

Nun ist zu beachten, daß gemäß Bild 2. das einem

ganz

allge-meinen Fall entspricht, die beiden lmpulsvektoren rn (1 + k)

x

und m (1 + k) y infolge der überlagerten Drehung im

Zeit-teilchen dt je um den Winkel (Odt gedreht werden, wobei

O)

die totale Winkelgeschwindigkeit bedeutet und definiert ist

durch

(i) = Ci) + ₍₁₎

mit

w' =

= Winkelgeschwindigkeit der momentanen

Bahnkrümmung,

= zeItliche Änderung des Driftwinkels am Ort von G.

Infolgedessen sind beim Ansatz nach dem dynamischen

Grund-gesetz in seiner allgemeinen Form

dv

Prn--dt

-außer den unmittelbáren in die bereffendeBewegungsridltung

fallenden Besthleunigungskräften auch noch

die Glieder zu

berüdtsichtigen, die den durch die Drehung hervorgerufenen:

in Bild 2 durch ein Kreuz bezeichneten

Impulsänderungen

entsprechen. Demgemäß gilt für die Kräfte, die in die - uns

nach obigem allein interessierende - v-Richtung fallen, die

Beziehung

(1 ±k)-+m(l +k)v'w

=

\7 [

(1 ± k) + xw (1 ± k)J.

(2)

Wir führen nun unter der Annahme genügender

Kleinheit von b, die Näherungen ein (vergi.Bild 1, Geschwindigkeitsseck)

= v = v 'sin b(, vb ). somit

=

V.60.

Im Sinne der gleichen Näherung können wir ferner für die

Strömungskräfte in der y-Richtung setzen

= Q'cosö0Q

und erhalten somit schließlich mit Bezug

auf das natürlidie

Koordinatensystem

Q

V'v[w(1 + k)-60(1 + kr)]

(3)

eine Gleichung, die unter Aufteilung von w

laut (1) auch in

der Form esthriehen werden kann

Q =

' V y w' (1 + k5)

b0 (k - k5)]

(3a)

Da die Ableitung der Gleichungen (3)

und (3a) an keine

besonderen Voraussetzungen außer an die

konstanter

Ge-schwindigkeit y gebunden ist, müssen diese Gleichungen

auch

dann gültig bleiben, wenn, anders als beim normalen

Dreh-manöver, das Schiff oder das Modell auf einer vorgegebenen

Bahn geführt wird, wie dies bei den hier in

Frage

kommen-den, späLer zu behandelnden Modeliversuchen der Fall

ist.

Diese Gültigkeit wird iñ der Tat durch die

nachstehende

Nach-prüfung bestätigt, bei der auf entsprechende Ableitungen in

[4] Bezug genommen wird:

En Bild 3 stellt die Kurve

= f(s) die Bahnlinie

dar, auf

der der Massenschwerpunkt G des Modells geführt wird.

=

e'

8sqzeth la, 8aMt'n'

dr . (wap,r«,e-?)

f

Bild 3 Zur Ableitung der Massengileder

In der Gleichung der Querbewegung. an Band KoordinatenSYStems einer vorgeschriebenen Bahn

Dann gilt, mit q gleich dein momentanen Winkel, den die

Längsachse (x-Achse) des Modells mit der Achse bildet, auf

die die Bahnlinie bezogen ist, in

Anbetracht der

vorausgesetz-ten Kleinheit der einschlägigen Winkel (

und ô)

.d1ds'q + dydx'tp + dy\

dr1

= --

- = q' x 1

y cIt

ij = qx + x 'tj + s

Ersetzen wir in dem Ansatz (2) für

das schiffsfeste

Koordi-natensystem, der selbstverständlich

gültig bleibt. durch

ijvw, so erhalten wir

yQ=oV(i1v'w)'(l +k,j+v.U)'(l±ks).

') Nach GeschwindigkeitSeClc tn

Bild I

entspricht einem posi-tiven 5

ein negatives v.

Nach dem bekannten Zusammenhang zwischen Kurvenver

lauf und Krümmungsradius ist. mit einer bei den

nachfolgen-den Anwendungen als voll ausreichend erkannten Näherung.

r

- ,, d l d2 v

I dt \

ii 1 iii

Nun ist 1

(s) =

=

'

=

und

ds dt2

\ds/

v r y il (O

-sOmit - -- »

l V W -»)__ V Hiernach wird

Q = iVv [(w' -__-w) (1 ± k) ± ei (1 ±

k))

= V'v[w(1 ± k)-60(1 + k)J

in Qbereinstimmung mit (3).

Die Gleichung für die Drehbewegung bleibt unverändert

in der Form

dw

M=J.,

dt

bestehen. ein Ansatz, den wir mit

J' =

\r i

_{(1 + k)}

(4)

(i = Trägheitsradius des reinen Sdiiffskörpers). in der Form

schreiben

M = V'i(l ±

(5)

(k = Trägheitskoeffizient der Drehbewegung)

Wir wenden uns jetzt den auf den linken Seiten der

beiden

Gleichungen (3) und (5) stehenden Größen zu. die die

Strö-mungskräfte bzw. deren Momente mit Bezug auf G darstellen.

Die dafür in

[I]

verwendeten Beziehungen lauteten.

mit

q = /2 y2 = Staudru&

Q = q (K'5,K,'U)/v

+ K113)

(6)

M==q(Nò0_No'(0tvl:'t)

(7)

'Wie hierzu zunächst bemerkt sei. entsprechen dieVorzeichen

der ersten beiden Klammerglieder der

Tatsache, daß der

Drift-winkel b mit dem Längsort veränderlich ist

gemäß der

Bezie-hung (vgl. [1]. Gl. (13), jedoch die

laufende Koordinate a

durch x ersetzt)

X

=

. O).

V

Der auf G bezogene Abstand x11 des Punktes n der Längs'

achse rechnet hierbei im Sinne der

Vorzeic+ienregeln positiv.

wenn vor, negativ, wenn hinter G

gelegen-Vermerk : In sämtlichen weiteren Rechnungen

im

Rah-men dieser Arbeit geht nur

noch der auf die

Schwer-punktsbahn bezogene Driftwinkel ô0 ein. Dieser

wird

daher der Einfachheit halber fortan ohne

Index geschrie-ben und mit Ô bezeichnet (entsprechend 6 und li).

Wir wollen zunächst, im Sinne der Erzielung

möglichster

AIlgemeingültigkit, die Gleichungen (6) und (7) in der

Weise

umformen, daß die bisherigen dimensionsbehafteten

Konstan-ten K und N dimensionslos

gemacht werden - als solth

werden sie fortan mit

und N bezeichnet. Zu diesem Zwecke x V.

O, 4 = O)

bedienen wir uns der Sthiffslänge

L und der Fläche F1 des

-

TJnterwasserlateralplafls als Bezugsgrößen

und, setzen

(6a)

M =

wobei die Beziehungen gelten

V cOL -N11' (8)

-175-

Schiffstethflik Bd. 5-1958 - Heft 29

)

(7a)

Für den gesamten Verlauf eines Drehnianövers väre es ohne Zweifel prinzipiell wichtig. mit genaueren. also nidit auf lineare Glieder hesihränkien analytischen Ansätzen zu arhei-ten und die Ergebni5se solcher Redin Lingen mit denen ent-sprechender Messungen zu vergleichen. Hierauf ist im vor-liegenden Rahmen verzichtet worden. Es ist vielmehr mit deni beschränkten Ziel gearbeitet worden, auf Grund von geeig-neten Versuchen l i L!. a. (lit' hei eint-!!, a uf Bahnen ver-änderlicher Krümmung bei gleichzeitiger eränderliehkeit des Driftwinkels geführten Schiffs- bzw. Modelikiirper auftreten-den St römungskräfte und -!ilonlcnte laufend sii niessen ge-statten - nach Möglichkeit dic Grenzen der praktisdien An-wendliarkeit der linearen Ansätze an Hand der Abweichun-gen der Ergebnisse von Re-hnung und Messung festzustellen. wobei (lie Versuche au-h solche Bereiche umfassen. hei denen. wie beispielsweise bei einer Drehkreishahn. lineare Ansiitzc voti vornherein kaum mehr anwendbar erscheinen.

-Es ist die Frage aufgeworfen worden i-l]. li]. oh es he-reditigt sei, in den die Abhängigkeit der Strönìungskriifte und -momente von der Winkelgesdiwiniligkcit darstellenden

Clic-dem der Gleichungen (6) und (7) bzw. (6a) und (7a) die

Aul-teilung von w in w' und ô gemäß (I) unl'criicksiditigt zu las-sen: mit anderen Worten. 01) die Beitriigt'. ulie ,lie .'ntu'ilu' iii' und der gesamten Winkelgeschwindigkeit ii 'iii den Strö-mungskräften ulid -momenten liefern. grundsätzlich einen gemeinsamen Proportionalitätsiaktor (K,,, }yzw N,,,) aufwei-sen, wie dies in (6a) und (7a) vorausge-etzt ist, oder oh nati! den Ansätzen

/

,

oL

-.

ô-L

(K

--

-r K,,'

V V

/_

w'L

-

ò-L\

-± N,-

j

(12)

für jedes Teilglied ein eigener Proportionalitiitsfaktor

ein-geführt werden muß. Für die erstere Annahme scheint folgen-des Argument maßgebend zu snrechen:

Bild 4 zerlegung der Gesamtbewegung beim Drehmanöver

- in Translation und Drehung um Massenschwerpunkt

Wenn auch gemäß Bild 4 die der geradlinigen Fortbewe-gung mit V üherlagerte. der Bahnkrümmung entspredtcntic Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit w um den taktischen Drehpunkt P vor sich geht. die Drehung mit dagegen uni (len Massenschwerpunkt G. so ist doch die erstere bereits ini Sinne (1er bisherigen Ableitungen ersetzt zu denken durch eine Translation in v-Richtung mit der Geschwindigkeit

v,,, = - x,, w' - eine Translation.

(lie zusammen mit der Geschwindigkeit in x-Richtung eine unter dem Driftwinkel (Anstellwinkel) ò ,/r gegen die x-Riditung geneigte Sdiiehehewegung des Schiffes hervorruft (1er (lie Kraft- bzw.

Momentglider K, .

und N,, ' entsprechen -. und (lurch

eine Drehung um G. Wenn nun aher auf diese Weise (lie mit der Drehung um O bzw. P für den Massenschwerpunkt G ver-bundene Quergeschwindigkcit v,,

= - X,, -

to' als eine für das ganze Fahrzeug vorhandene Translationsgesd-twincligkcit aus dem Vorgang der Drehbewegung herausgenommen und durch

Sthiffsteehriik Bd. 5 - 1958 Heft 29 -176

-Kò=-z K,,

K,,,

-

KR ₍₉₎₃₎

F1 F1 L F1

N, =

N, N... = N...

N =

N:

(1O))

F1 - L F, L1 F1 L

Zu den obigen beiden Gleichungen (6) und (7) bzw (6a) und (7a) ist nun folgendes zu sagen:

Die Konstanten K und N bzw. und Ñ sind als unab-hängig von der Geschwindigkeit y angenommen. die somit nur in dem vor der Klammer stehenden Staudruth q = /2 v in Erscheinung tritt. Die hierin zum Ausdrudc kommende An-nahme, daß die Strömungskräfte proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit verlaufen, sdiließt im wesentlichen ein. daß die , Wellenbildung nodi ohne nennenswerten Einflu3 bleibt. Ob und wie weit diese Annahme zutrifft. muß durch Versuche geprüft werden. Bei früherenc Versuthen 121 ist an-nähernde Unabhängigkeit der Strömungskräfte von der Ge-scJwindigkeit bis zu einer Froudesclien Zahl 0.25 fest-gestellt worden.

Als Haupt- und Kernfrage ist zu betrachten. oh die

Linearität der Ansätze für die Strömungskräfte gemäß (6) und (7) bzw. (6a) und (7h) soweit zu recJitfertigen ist, daß sie sich wenigstens vom praktischen Standpunkt für die hauptsäch-lidien Vorgänge des Drehmanövers als hinlänglich brauchbar erweist.

Daß die Linearität einer exakteren wissenschaftlichen Prii-fung nicht standhält, steht angesichts des extremen Seiten-' verhältnisses des Unterwasserlateralpianes normaler Schiffe

von vornherein fest. Neuerdings hat Thieme [3] hierüber

nähere theoretische Untersuchungen vorgenommen und hält daraufhin die Einführung zusätzlicher quadratischer Glieder

für erforderlich, woraufhin in den Gleichungen (6) und (7)

bzw. (6a) und (7a) zu den Gliedern mit ö und w solche mit ò2 und w2 hinzutreten würden. Das Entstehen dieser Glieder fiihrt er auf einen durch Zähigkeit bedingten Drudverlust bei der Spantumströmung zurüth. Im übrigen führt er wegen der auch bei normalen Ruderflächen immer nodi relativ großen Seitenverhältnisse auch für die Ruderquerkraft ein mit dem Quadrat des Ansteliwinkels veränderliches zusätzliches Glied ein.

Auf der anderen Seite leuchtet es ein, daß hei denjenigen die Dreheigenschaften von Schiffen betreffenden Vorgängen.

bei denen nur kleine Driftwinkel und

Winkelgeschwindig-keiten

in Frage kommen, die linearen Ansätze eine

gut brauchbare Arbeitshypothese abgeben werden. Dies wird s'or

allen Dingen für die Fahrt normaler Schiffe auf geradem

Kurs zutreffen, bei der, sofern nicht ausgesprochener Mangel an Kursstabilität vorliegt, die durch äußere Störungen hervor-gerufenen Abweichungen vom geraden Kurs unbedeutend bleiben werden; ferner auch für kleinere Wendemanöver. Auf alle Fälle wird sich das Kriterium der K u rss t a b i lit ä t in' glattm Wasser einwandfrei auf der Basis der linearen An-sätze ableiten lassen.

Unter diesen Umständen braucht u. E. die große Bedeu-tung, die den analytischen Untersuchungen auf der Basis (le! linearen Ansätze audi vorn praktischen Standpunkt aus bei-zumessen ist, nach wie vor nicht unterschätzt zu werden. Auf die außerordentliche Erleichterung. die damit für solche Rech-nungen verbunden ist, und auf die daraus resultierende Ober-sk-htlithkeit der Ergebnisse braucht nicht erst noch beson-ders hingewiesen zu werden.

3)in den bisierigen Größen K - N,)und N11 warendzeAbstande

- X der betr. Längsorte von G. wN die Quadrate x' enthalten. An

ihrer Stette erscheinen jetzt in den überstrichenen dimensions-losen Größen

R. Ñ,

und die Ufmensionsloscn Abstände x L

die Glieder ' ö bzw. Ñ ô gesondert berücksichtigt wird. scheint kein Anlaß mehr zu bestehen. voñ einem Wesensuntèr-schied der Glieder mit w' und hzu sprechen. Dies wird auch durch die Überlegung bestätigt, daß in den Gleichungen (6a)

und (7a) die Größen w' L/

und ô L/v

ohne weiteres als

Winkel gedeutet werden können, die aus dem Grunde unmit-telbar vergleichbar sind, weil die im Zähler stehenden Quer-geschwindigkeiten w' L und ô L zu ein und derselben Bezugs-länge gehören. Nach alledem erscheint, sofern beide Winkel so klein bleiben, daß auch ihre Summe noch-mit praktisch zu lässiger Näherung_in den linearen Bereich fällt, eine gemein-same Konstante K,. bzw. N,., für beide Glieder berechtigt. Dieses Ergebnis der Theorie muß natürlich an Hand von Ver-suchsergèbnissen nachgeprüft -werden:

es wird jedoch auf

Grund vorstehender Überlegungen bei Formulierung der An-sätze zunächst einmal die Richtigkeit dièses Ergebnisses unter-stellt.

4. In der vorangegangenen Arbeit [11 war für den Fall des Tragfiächenboots nachgewiesen worden. -daß die Größe N mit K.. identisch

ist. Das gleiche gilt. wie ebenfalls

nach-gewiesen wurde, für in idealem unbegrenztem Medium sich bewegende Verdrängungskörper. Inzwischen iSt von Thieme [31 festgestellt worden. (laß für (len allgemeinen Fall von Ver-drängungslahrzeugen in wirklichem, also zähigkeitsbehafte-tern Medium die Identität nicht mehr streng gilt, sondern daß der-Einfluß der Zähigkeit gewisse Korrekturen bedingt. Auch diese Zusammenhänge müssen nach Möglichkeit an Hand von Versuchen näher untersucht werden. Auf alle Fälle aber er-scheint es nicht angebracht. die beiden genannten Größen von

vornherein einfach zu identifizieren und, wie es in [1]

ge-schehen ist, durch die gleiche Bezeichnung (N,,) auszudrücken. Nach alledem hat sich, wenn die bisherige Näherung in Ge-stalt der linearen Ansätze im Hinblick auf die Ausführungen unter 2. zunächst beibehalten wird, an den in 1]

aufgestell-ten Bewegungsgleichu ngen. von rein formalen

Ande-rungen abgesehen. bisher nichts weiter geändert. als daß in - der Gleichung fur die Querbewegung die Massenkraft nach Cl. (3). rechte Seite, anzusetzen ist. Die Bewegungsgleichun-gen für das Drehmanöver lauten demzufolge. indem gleich-zeitig noch von den dimensionslosen Konstanten K und N

ge-mäß (9) und (10) Gebrauch gemacht wird, nunmehr folgen-dermaßen: -

V [w (1 +k) - (1 +k)]

f-

-

(I)L

=q'F1KòK...-V

-Vi(l+k,)b=

.Fi

.L(N.ô_N..

wL

+

(14) In den Differentialgleichuíigen. dié sich hieraus.

tantn_

Ruderwinkelorgçtzt. durch Trennung der

Veränder-lichen ô und w bilden lassen und die in ihrer allgemeinen

Form

-Ô ± 2w'Ò ± p-ô =

(15) und

(16) - offenbar unverändert bleiben, nehmen die darin auftretenden

Konstanten jetzt die Werte an

--

v'F1

- L

2w- ----

±

'N..,

2v

I+k.

i2(1±k,)

_(u1k)

N1

-(13) v2.F1 -L

(2v (1 ± k)

+

4 Vi (1 ±

kj (1

k,) \ F1 - L (19) - . --

(K,N1:N,Kt:)

(20 4V2j2 (1 ± k

(I ±

- C.

Ver'.uehe

I. Verstichsprogramiiì

.3 - -1//gemeine Riel, iii,,

i'n

Nach den vorangegangenen Ausfiihrungen handelt 's sich bei den vorliegenden Untersudiungen in erster Linit' tini dir

Aufgabe. die Giiltigkeit hzw_ (len Guilt igkitshrreit'l1 (lI'r aid I mearen Ansätzen aufgebauten Näherungt Iwork. dit' zu den Bewegungsgleichungen ( 13) uil ( 14) geführt hatten. tn liantl von Versuchen nachzuprüfen. Es wird dabei offenbar i.wrrk-mäßig sein. die Versuche zu unterteileit in soithe. ilirfiir ihr Ermittlung der Schiflskörperkonstanten K,. K.... N.. N... inaü gehend sind. hei denen also das in Nullage hehirullirhe R ,idir lediglich als Teil des Lateraiplans in Ersdicinung tritt. und in solche. die der Ermittlung der Rudervirkung dienen. Hier-nadi werden sich die \Tersuche nach folgenden Richtungen zu

erstrecken haben: .

-a) Ruderlage Null

Ermittlung der Trägheitskoefíizienten k .

k, und k.,

Messung der im allgemeinen zeitlich veran(lerhi('hu'ui -Q uerkornponenten -Q und deren auf den Massens('hwer-punkt bezogenen Momente M für ein mit (zeitlich werl-seinder) Anstellung auf einer gekrümmien Bahn

gcfiihr-tes SchifTsmodell:

Aufteilung der Querkräfte Q und Momente l. an hand einer Synthese von Näherungstheorie und Versurhi. nauli Gliedern. (lie von der Größe (les (momentanen)

Drift-winkels ô einerseits. der (momentanen) Winkelgesdiwin-cligkeit (i) andererseits abhängen : dies kommt auf dur Ermittlung der Größen K.. K... . N.,. N,., heraus.

4: Feststellung. ob bzw. huis zu welchem Grade und bis 'zu

welchen Grenzen die ¿tuf der Basis von I. und 3. zu er-rechnenden Verläufe von Q und ?ul mit (len gemessenen

\erläufen nach 2. iibereinstinnien. Hierin ist

uninittu:l-bar das Hauptziel der ganzen Versurhe und Ieren Aus-wertLing zu erblicken.

5. Kontrolle der Kursstahihitätsverhältnisse durch geeignete Versuche.

Da das Steuerruder. audi wenn zunachst nur dessen Rolle in Betracht gezogen wird. (lie CS als Teil des Lateraiplun-spielt, bekanntlich einen erheblichen Einfluß auf die l)ru:h-eigenschaften (les Schiffes besitzt, wird man diese ganze Versuchsreihe a) zweckmäßig sowohl ini Zustand des Modells mit Ruder als auch ohne Rucher

durchführen-- Man erhält hierdurch auf besonders einfache Weise zwei

Varianten. die sich in ihren Dreheigensehaften erheblich voneinander unterscheiden und die daher zwei getrennte Fälle darstellen. deren getrennte Untersuchung im vor-liegenden Rahmen grundsätzlich lohnend erscheint. auch wenn dem einen Fall - ohne Ruder - keine prakti --he Bedeutung zukrnmt.

b) Versuche mit angestelltem Ruder

Ermittlung der durch Ruderlegen am Svsteni Modell-körper plus Ruder wadigerufenen Strömungskräfte und deren auf G bezogene Momente, in Gestalt der. GrbJcui

ki: und Nu :

-

-Wenn möglich. Kontrolle der Dreheigenschaften des Mo-dells durch geeignete Versuche.

4V-i2 (I

±

k) (1

-+ k,)

--

\

F1; L

J

- (18)

Die rein versuthsmäßigen Aufgaben sind in den Punkten

a) 1., 2., 5. und b) 1., 2. enthalten. Das entsprechende

Ver-sudisprogramm wird des näheren in den nadifolgenden

Para-graphen entwidcelt.

4. Ermittlung der Triigheitskoe/fizienten k, k und k

Die bekannten von Lamb für die Bewegung von Ellipsoiden

in idealem unbegrenztem Medium in exakter Theorie

ab-geleiteten Trägheitskoeffizienten k, k

und k

lassen sich

auf den hier zur Rede stehenden Fall nicht mehr mit

aus-reichender Näherung anwenden, weil bei den hier

vorliegen-den Horizontal- bzw. Gierbewegungen der Einfluß der freien

Wasseroberfläche auf die mitbewegten Wassermassen eine

nicht zu vernadilässigende Rolle spielt.

In diesem Sinne bedeuten die neueren Arbeiten von

Wen-del [6] und insbesondere von Grim [7] einen bedeutenden

Fortsdiritt. Die Rechnungen, die hiernach für die Quer- und

Gierbewegungen an und für sich auth bereits für

schiffskör-perähnlithe Querschnittsformen durchführbar wären, wurden

sich aber, wenigstens bei den im vorliegenden Fall

vorhan-denen Modellen (Bild 11. 13 und 12, 14), so schwierig

gestal-tet haben, daß davon Abstand genommen wurde, zumal auf

unmittelbare Versuche mit den betr. Schifismodellen doch nicht

hätte verzichtet werden können.

Als solche Vérsuthe wurden zunächst

Ausschwingungs-versuche in Aussicht genommen, und zwar in Längs-.

Quer-und Drehrichtung (Drehung um Massenschwerpunkt G).

Aus den bei den erstgenannten beiden Versuchen

vorzu-nehmenden Messungen der Eigenschwingungsperioden T und

T sowie der Federkonstanten c

und c ergeben sich in

be-kannter Weise, unter Vernachlässigung der das Ergebnis

praktisch nicht beeinflussenden Dämpfung. die Größen

k -

c,«T2

4 2 - - V

k, =

_fy -T2

1

4 2 - - V

Die Ausschwingungsversuche in Drehriditung müssen, urn

die wenig zuverlässige rechnerische Ermittlung des

Massen-trägheitsmoments des reinen Modellkörpers zu vermeiden,

so-wohl in Wasser wie in Luft vorgenommen werden. Aus den

dabei gemessenen Ausschwingungsperioden T' (im Wasser)

ûnd T (in Luft) ergibt sich

(22)

J

L2

Um eine etwaige Frequenzabhängigkeit der

hydrodvna-mischen Massen bzw. Massenträgheitsmomente festzustellen,

sollten die Aussthwingungsversuthe grundsätzlich bei

mehre-ren Schwingungsperioden bzw. Federkonstanten

vorgenom-men werden.

Aus dem Bedenken heraus, daß bei den

Aussthwingungs-versuchen der Ablauf der aufeinanderfolgenden

Schwingun-gen durch die Wasserbewegung, die dùrch die vorangegan

genen verursacht wird, störend beeinflùßt werden

könnte,

wurde ferner für die Ermittlung der zur beschleunigten

Querbewegung gehörigen, größenmäßig bekanntlich stark

ins Gewicht fallenden hydrodynamischen Masse noch ein

anderes Verfahren in Erwägung gezogen, bei der das Modell

einer, nur in e i n e r Richtung wirkenden konstanten

Beschleu-nigung untèrworfen werden sollte. Wie hier gleich

vorweg--genommen sei,' konnte bei probeweise in diesem Sinne

aus-geführten Versuchen kein ausreichend brauchbares Ergebnis

bezüglich der Größe von k erzielt werden, und es wird daher,

mit Ausnahme einer in § 9 unter b) erwähnten Feststellung.

auf diese Versuche nicht weiter eingegangen.

Schiffstednik Bd. 5 - 1958 - Heft 29 178

-Dagegen eröffnete sich ein aussichisreither weiterer Weg zur

versuchsmäßigen Ermittlung der wichtigen Größen k und k,

im Rahmen der der Feststellung der

- und N-Konstanten

dienenden, in § 5 unter c) I. und e) 2. näher zu erläuternden.

unter Zwangsführung des Modells vorgenommenen Quer- und Giersthwingungsversuthe.

"ie vorweg bemerkt sei, hat sich

dieser Weg fur die Ermittlung von k

as redit zuverlässig

erw iese n.

.5, i'ersuche zur Ermittlung der Str,i,:,1,,u'.çA'r(7fte

a) Allgemeine

Wenn man Strömungskräfte an einem SdiifTsmodell niessen

will. muß man dieses an eine vorgegebene Baliii fesseln. Es

brandit dies keineswegs die Bahn zu sein. die das Modell bei

eineni bestimmten 1'1anövrierfall - dessen Aldauf man

vor-erst ja nodi gar nidi kennt - einschlägt. sondern (lie

Bahn-bedingungen brauchen nur so geartet zu sein. daß sie dic den

E 1 e ni e n t e n einer allgemeinen Manörrierhewegung

eilt-sprechenden Stiüniungskräfte zu erfassen gestatten.

Diese

Elemente sind nach den Aussagen der Theorie [GI.

(13)

und (14)]:

schräge Translation entapredien(l (l(li ,Iit:ihrnmit

)

Gierbewegung uni

Massensdiwerpuiikt (

mit

veränder-licher Winkelgeschwindigkeit entspre*hiuiI ilitiì Glied ò ¡ii

GI. (13). Die Bahn von G kann dalwi ohne i%eiteres

gerad-linig sein. - Da die Größe ô auch in w =

+ 6 (Cl. 1)

enthalten ist und da nach (len theoruistiieti Erörterungen

zu GI; ( I i) und ( 12) erwartet werden kann. (laß die l)ei(len

Winkelgeschwindigkeiten w' und ò in ihrer \Virkung auf

die Ströniungskräfte und -momente als gleichwertig

alizu-sehen sind. würde die der Bahn k r ii ni ni u ii g entsprechende

Winkelgeschwindigkeit rn' an und fur sili keine besondere

Berücksichtigung erfordern, sondern durch

mit erfaßt

sein. Aher erstens bedürfen die ebeti erwähnten

theure-tischen Erörterungen und Schlüsse der Besitigung durch

das Experiment. Zweitens mußte e im Rahmen des

vor-liegenden Forschungsvorhabens als grufl(lsiitï-lidi untunlicli

erscheinen. das wichtige Element der Bewegung auf einer

gekrünimten Bahn lediglich auf indirektrni Wege zur

Gel-tung zu bringen. Infolgedessen muß im \'i-r-udisprograrnm

als drittes Element das der Bewegung auf einer

gekriirnn-ten Bahn, entsprechend den Gliedern mit

nu'. hinzutreten. In dieseuii Sinne sind bekanntlich Versuche und Messungen

mit einem R u n dia u f gerät üblich. Ein .olt'hes gestattet

offenbar ohne weiteres, den Einfluß von w' auf (lie

Strö-mungskräfte zu erfassen, audi unabhängig von den beiden

anderen Elementen b und h

Steht ein Rundlaufgerät nicht

zur Verfügung, ist man also auf die

Durdufährung der

Ver-suche in einer Schiepprinne angewiesen. wie (lies bei dem

vorliegenden Forschungsvorhaben zutraf. so erscheint als

gegebener Weg der über die Führung des Modells auf einer

Sc h länge iba h n.

Bei solchen Versuchen kommen verschiedene Varianten in

Betracht. Der allgemeine FalL bei dem zu der reinen

Krüm-mungsbewegung eine irgendwie definierte Drehbewegung 'des

Modells um dessen Massensdiwerpunkt hinzutritt. bei dem

also neben w' der Driftwinkel b und dessen Ableitungen eine

zusätzliche Rolle spielen - ein Fall, der ja auch hei dem

wirklichen Drehmanöver eines Schiffes aktuell ist -: muß

selbstverständlich in erster Linie miterfaßt werden. Daneben

sind aber gerade im Rahmen des vorliegenden

Forschungs-vorhabens zwei Reihen von Sonderversudien naheliegend und

erwünscht. Die eine sollte so gestaltet sein, daß die Längsachse

des Modells bei der Schlängelbewegung durchweg nur reine

Querverlagerungen

erfährt,

die der gleichförmigen

Fort-sthrittsgeschwindigkeit in x-Rithtung (Wagengesdiwindigkeit)

I

lenden Auswanderung von G aus der Längsachse cine Quer. kraft W ' sin e auf. Diese ist aber. da in allen hier vorkoni-menden Fällen der Widerstand W unter L4 kg und der Win-kel unter 6° bleibt. im Rahmen der erreichbaren Gesamt-Versuchsgenauigkeit so unbedeutend, daß sie audi bei den Versuchen zu 3. praktisch vernachlässigt werden konnte.

w

IIIJIIlLIFI11'I'I1l!LiI

Q,

III II!III!iI1iIIl IlI I

Bild 5 Situationsskizze zur Führung des Modelts auf einer Zwangsbahn

Infolgedessen gelten in diesem allgetticinsten Fallr anstelle lier Gleichungen (13) und (14) die Gleichungen

.\'-v[ii1(l±k)Ò(1+k)] =

= (1F'

tUL

±

±

(29) V - y -

z (I ± k/) c =

= tl'F1'L(Nò'_N..

-

(IlL

±N111i) ±M, -

-

-V

I)a bei den instationär vor sich gehenden \'ersul'lten zu 2. und 3. clic Größen von Q urd M, veränderlich sin(l. IlliiSsl:Il (lie Meßeinrichtungen so besehallen sein. daß sie laufende Eessung und Registrierung dieser Größen bzw. von Q1 end

Ç) ermöglichen.

-b) Shrägschleppversuche (Stationärer Bewegungsvorgattg) I n diesem stationären Fall vereinfachen sich, mit Il = O unti

ô O und unter der weiteren bisher vorausgesetzten

ile(Iin-gong Ruderwinkel 1 = O die obigen Gleichtingen in

Q = --q

- ô (31)

= q- F

L N,yh.

(32) Man erhält also sofort clic gesuchten Größen

=

(33)

qFj,ô

--

N = -

- -, - - - .

(-34)

M

q' F1; L'h

Um einen genügenden Anhalt für dit: etwaige Abhängig-keit der Größen K.1 und N,1 von der Fortsuhrittsgesdiwindig-keit y zu gewinnen, sollten in diesem einfachsten Full mmdc-siens drei Gescbwindigkeitsstufen untersucht- werden. ¿liè mög-lidist die in (1er bereits zitierten Arbeit 121 als wahrscheinliche Grenze tier Abhängigkeit bezeichnete Frotidesche Zahl

025 einschließen sollten.

Der untersuchte Anstellwinkel solite sil-ii bis zu niindestens 15 erstrecken.

Aus den in § 3 nähei erläuterten Gründen sollten clic Ver-stiche sowohl mît als auch ohne Ruder durchgeführt werden. - 179 - Schiffstechnik Bd. 5 - 1958 - Heft 29 ili)crlagert ind; (lie andere so. daß (lie Mittellinie (les Modells

stets in Rithtung der momentanen Bahntangente gehalten wird, wobei es dann gelänge. den Einfluß von w' auf die Strö-mungs- und Massenkräfte ungestört von anderen Einflüssen zu erhalten. Wie hier gleich vorweggenommen sci, mußte aus ausuiihrungstechnisdien Griinden (s. Seite 180) auf die Ver-wirk lidiung dieser letzteren Versuchsreihe verzichtet werden. Hiernach wurden in das Versuchsprogranim aufgenommen:

auf Grund von

1.

einfache Schrägschleppversuche.

auf Grund von 2. Gierschwingungsversuche mit dem

Massensthwerpunkt G als dem auf gerader Bahn in Längs-richtung geführten Festpunkt; auf Grund von 3. schließlich Versuche unter Führung von G auf einer Sc h lä n geib a h n. und zwár Versuche von zweierlei Art: erstens solche unter reiner Querversetzung des Modells (Que rse h w i ngu

ngs-versuce). zweitens solche unter Uierlagerung der reinen

Krümniungshewegttng durch eine Drehbewegung des Modells um G hei irgendwie denierter Änderung cies Drifiwinkels (in der Folge einfach als Schlängelversuche bezeichnet).

Was die Versuchsgeschwindigkeiten anbelangt, so

sind zumindest hei den Schrägschleppversudìen. die unter stationären Bedingungen und somit hei weitem am einfach-sten vorzunehmen sind. einige Geschwindigkeitsstufen er-wünscht, um wenigsten

(lie Größen K, und

N,'1. gewisser-maßen als Stichprobe. auf ihre etwaige Abhängigkeit von der Fortsdirittsgeschwindigkeit y zu priifen. Die Winkelgeschwin-digkeiten der Bahnkriimmung (Versuche zu 3.) wären wegen

(IlL

-L

zweckmäßig derart zu wählen, daß in Verbindung y -r

mit der jeweiligen Fortsehrittsgeschwindigkeit y ein normales Verhältnis r1) (r11 = Drehkreisradius) mit erfaßt wird.

L

Die einfachen Schrägsehleppversidie sind ferner besonders zur Nachprüfung geeignet, über welchen Bereich des Drift-winkels h (Anstellwinkel) hei praktisch ausreichender Nähe-rung mit einer Konstanz von K,'1 und N, gerechnet werden kann. Der Anstellwinkelbereich war entsprechend zu wählen. Um die Bewegungen der Modelle nach cIen Bedingungen zu regeln, wie sie nacheinander den vorgenannten Aufgaben entsprechen. müssen sie Z w a n g sk r ä fien unterworfen werden, und die Größe dieser Kräfte muß gemessen werden. Offensichtlich müssen in Querrichtung zwei solcher Kräfte. Q1 und Q.). angehracht werden. Es ist dann die gesamte Quer-Zwangskraft

Q=-Q1+Q..

(27)

und das Zwangsmoment mit- Bezug auf G

M1 = Qa1 ±

(28)

Wird, wie es itn vorliegenden Fall geschah (siehe Prinzi'j. skizze Bild 5), die Querkraft Q am Ort von G ausgeiiht. so vereinfacht sich letztere Gleichung. mit a = Abstand der bei-den Stangen. in

M1-1 = Q., a - (28a) Als eitere Zwangskraft W kommt nìtürlich die hinzu, die dem Modell die Fortschrittsgeschwindigkeit (Wagwgeschwin-cligkeit) aufzwingt. Die entsprechende Zugstange liegt bei den Versuchen I. und 2. in Fortschrittsrichtttng des Schleppwagens. besitzt also keine Querkoniponente. und da sie an einer durch (len Massenschwerpunkt. G gehenden Achse angreift (s. Bild 5), übt sie bei keiner dieser Versuchsreihen ein Moment mit

Be-zug auf G aus. Es triti lediglich hei den

Versuchen zu- 3.

(Schlängelfahrten) infolge der hierbei sich periodiich einstel-4) Zwangskräfte und Zwangsmomeflte sind durch über Q bzw. M1 gesetzte Querst riche gekennzeichnet. (Zwangsk rüf! e posit i e als

-.c) Instationäre Bewegungsvorgänge

Zu diesen rechnen im Sinne der unter a) entwkkelten

all-gemeinen Richtlinien

Giersthwingungsiersudie

Querschwingungsversuche Sthlängelversuche.

Grundsätzlich wäre es offenbar wünschenwert gewesen. all

diesen Versuchen reine Sinusscliwingungen zugrundezulegen.

Dafür hätte ein Kurbelschleifentrieb vorgesehen werden

mus-sen. Da sich ein solcher aber nur mit erheblichen praktischen

Schwierigkeiten hätte einrichten lassen. wurde statt dessen ein

K url)eltrieb gewählt. Die bekannten mit dem Vorhandensein

einer endlichen Länge der Pleuelstange verbundenen

Nach-teile, die sich im vorliegenden Falle allgemein in einer

Vei-zerrung (1er Sinusschwingungen und in einer entsprechenden

Erschwerung der Auswertungen auswirkten

und hei den

Sdilängelfahrten überdies die Verwirklichung der einen als

wünschenswert zu betrachtenden Versudisreihe verhinderten,

bei welcher der Anstellwinkel des Modells gegen die

momen-tine Richtung der Schwerpunktsbahn durchweg gleich Null

sein sollte, mußten dabei in Kauf genommen werden.

Ganz allgemein gehört gemäß Bild 6 hei einem

Kurbel-trieb mit Kurbelradius k und Pleuelstangenlänge I zu einem

dem Zeitpunkt t entsprechenden Kurbelwinkel (L hei einem

- im vorliegenden Fall zutrefferiden -

geniigend kleinen

Verhältnis k/I mit guter Näherung eine Querverlagerung

des Angriffspunkts der Pleuelstange am Modell 'on (1er Größe

cosu)

/

1k

= - k f sin

(L

cos!(L

21

Außer gleichförniiger Fortschrittsgeschwindigkeit y

des Mo-dells (Wagengesthwindigkeit) sei gleichförmige Winkel-geschwindigkeit

(36)

(les Kurbeltriebs (n = Drehzahl i. d. Sek.) vorausgesetzt.

Als-dann ist. mit

(35) s0

= y T =v

2.r

(I) V n (37)

gleich der während der Dauer 1' einer vollen Kurbelumdrehung

zurückgelegten Sire&e, der Kurbelwinkel u inì Zeitpunkt i.

dem die, von der Mittellage

((L

= 0) aus geredinete Strecke s

entspricht,

u=t2

2t-

. (3H)

T s0

Somit kann (35) auch in der, in Zukunft häufig verwendeten

Form geschrieben werden

SchitTstechnik Bd. 5 - 1958 1-left 29 180

-/

2.-is k

2s\

= _k(sin

-

cos2

)39)

\

s 21

Bei Kurbelschleifantrieb wäre. mit I =

-

nur das erste

Glied dei- rechten Seite vorhandn.

Als Größen. die hei cien weitren Untcrsucliungeii otTenhar

ebenfalls eine Rolle spielen werden, seien auf G rund von (39)

gleich nodi die erste und zweite Ableitung von

(s) hierunter

k

::: '-)

(40) its

).

- (-H)

Aus der letzteren Gröl3e ergih1t sich auf Grund tier

Itikann-ten Gleichung für den Kriimmungsradiiis r

tIlt'

Witt-(s)

kelgeschwindigkeit der Bahnkriimmung

S

='1ì(S)=

Lrkv ¡

_s'ti

2s

\

Ersetzt man in den Gleichungen (40) und (4f) bzw. (42) die

Größe s laut (37) durch v/n -

si erkennt nian. (laß man third,

Anderung der Fortschrittsgeschwindigkeit

y einer'-eits.

dir

l)rehzahl n dès Kurheltriehes aolcrerscits ivi-itgchit-iide

M1g-lidikeiten besitzt. um sowohl dit Gradiente der Balinkurve als

auch deren Krünimungsradius bzw. die

Winkelgesrliwiiidig-keit der Bahnkrümniung zu vaiicren. Hiervot, mtiLh in diii,

Sinne Gebrauch gemacht werdn. (laß nach Möglichkeit

lit

praktisch in Frage kommenden Bereiche von r bzw. ii

und

ò erfaßt werden.

Wir gehen zu tIer Anwendung der soeben ahigeli-itettii

R-ziehungen auf die genannten dri \Ter_it.h_riihen tiber.

/

-Bei diesen wird der Schwerpunkt G. durch die Stange

I iii

Querrichtung und durch die Stange 3

iii lJingsriilit tiii lesi

-gehalten. auf geradem Kurs in, Längsrichtung geflihrt.

will,-rend die durch den Kurheltrich beweit- Stange 2

iii .-\hstii,uIa_

hinter (

¿t ngreift. Bi Id angegeben:

i( (s) =

2rk

cos (IS

d1

4:.T:ik/

(s) = -

=

I ds-

_s-

_\

(I) =

A 's f. 2LTS k J

- I

L â'ytarfl. drr

-i' 1.4d

1/?

¡

_,tí, ¿ir

Bild 7 Prinzipskizze fLIT Giersthwingungen

In diesem Falle

ist w = (t

-omit

t,, = ô

und t ô

Dic Gleichungen (29) unl (30) nehmen darati 1h in. wiedtr,i ii,

mit = .0. - jetzt iie spezielle } orni an:

-

¡

ò-L\

-drFIkrò_K

₎

Q

i>-V-i(l +k)=

O d.1L 1/?

r

n',

¿K

Bild 6 Zur Abtettung der Gleichung der Zwangsbahn bet Kurbeltrieb

ens (-1.2)

(I

Il icrin i-t fur den niomentanen Driftwinkel ò gemäß Bild 7 (111 \t'rl /Ll set/eli -a i. griiiiil. (39) k.

/

=---

- (sin

2-

L

21

2-

(o--man hieraus. nut s V i die Ableitungen Ô und

uarli t bildet,

erhält man nach einfacher

Rechnung fur

Lwunkraft Q und Zwangsrnonient M1

die nachstehenden

fli-zichungen - bei denen der

Abkürzung hall)er anstatt

.iiiäL

(3() der Kiirhelvinkel u

esdirichen wur(le

2ovk.,1

FL

51fl(L)(USU

¡

_lfl((

L

_(0-(L

(46) 21

(t

L

_2(L)

0.v2k}'1L2 Ñ,,.(l

₊

L

sa

1 k. 21

(4a)

Sifl (L)COS (L (47)

Hierin stellen Q

=

Q1

±

Q.. und M-1

Q,'

a Meßgrößen

dar, die auf geeignetem Wege Iau1eid registriert werden und daher fur jeden. Wert von u greiFl)ar sind. Aus diesen Mes-sungen sind auf Grund von (46) und (47) -die Größen K..,.

N,.,. K, N,, zu ermitteln. Wie mit

Bezug auf (lie letzteren

beiden- Größen hinzugefügt sei, erscheint es nicht empfehlens-wert, sie einfach aus den Schrägschleppversuchen zu überneh-men: Vielmehr muß ihre gesonderte Ermittlung aus (len Gier-schwingungsversudien aus dem Grunde von besonderem Wert erscheinen, weil alsdann durch Vergleich der etwaige Einfluß instationärer Strömung (Giersdiwingungefl) gegenüber stalin-iiärer (Schrägsch!ePPversuche) festgestellt werden kann.

Die Ermittlung der genannten vier Größen aus den Glei-chungen (46) und (47) geht am einfachsten derart vor sich.

daß man die Werte für bestimmte

spezielle Stationen

zu-grunde legt, bei denen - alle anderen Größen bis auf eine herausfallen. So lassen sich. die Werte von g... und Ñ,0 leicht dadurch ermitteln, daß man sich der D!fferenzen der Meß-rößcn bedient, die für die Querkräfte Q einerseits, für die Momente M0 andererseits für die speziellen Werte s = O und

s = sf2. also

für a = O und u

r. zutreffen. Es ist

näm-lich, wie man sich an Hand einer einfaçlien Rechnung leicht überzeugen kann.

--

2(k--k)V

-- - FQ(°) Q('T)]

2v'k'Fi.'L

F1'L

a fMQ

(t) -

ìL

(o]

(49)

2.v'k'Fi.'L

-9 Der Index 2 kennZeichnet die

u dem hinteren

Kurbeltrieb

- der im Fat! der

ierschWiflgUflgefl allein in Tdtigkeit

f st -

ge-höriqen Größen: Index I (später) die des vorderen. - Der Hebel a ist bei der vorliegenden nordflUflg. bei der Stange 2 hinter G angreift, negativ einzusetzen.

- Wenn fian diese Auswertungen bei ein und deniselben

Modell für eine Reihe verschiedener Versuche durchfuhrt.

wird man erwarten diirfen. (laß man

durch Mittelung der

Einzelergebnisse ausreichend zuverlässige Werte ron K... und

N... erhält. Dies gilt auch fur

alle weiteren entsprechenden

Fälle.

Auf ganz ähnlichem 'ege kann nìan audi di Griißeui K. tlfl(l , aus den G irsdiwingung5n1e55tmg

ermitteln. indem man nämlich die Diflerenzen heranzieht. (lie fur Q bz%% - fur M, in den speziellen Lagen u = 3 "2 und i2 gelten. Unii zwar ergibt sich

a

-- /\

_/:\

=

. Q _\ -

)QI,

.

)

L F1

2,

2 a

v-k'F1;L

'\2J

,2

8 r2

-

. V - i2

l + k,)

- F'1'L

\lan kann GI. ( 1) auch dazu benutzen. uni daraus den

Träglieitskoeffizieiiteli k., zu ermitteln. In diesenu Fall iuiütlie nian die GriiUe N, aus einem anderen \ersuuli iilo-rni'hmen. A tif Grund einer oben zu lindenden Bemerkung durit" es sich in Anbetracht der instationärcti \erhältnisse bei ilen Gierscliwingungsversu('hcn nicht empfehlen. ilaì au deui sIal io. nären Schrägschleppversuchtn festgestellte N. zu vCr%s enden wohl aher wurde sich das aus den QuersdiwingungsVer5t11'T1 aluzuleitende N, dafür eignen. Alsdann ergibt sich aul- ( I

a's,,2

21

'\2

I 2

-

"

N.1-1.

(pila)

Vi2 8t2

\on dieser Beziehung ist bei der Auswertung der Cur-verqichs-Messungen in der Tai Gebrauch gemacht worden.

181

-k7

=

.

2. Quersdiwingungsversui1w

I)ie Querschwingungen werdendadurch erzeugt, daß gleich-zeitig zwei Kurbeltriehe mt gleichem Kurhelradius k in gICi-('lier Phase arbeiten. Bild 8. Infolge der alsdann vorliegenden.

LI _,5,L!s

BIld 8 PrinziPSkizZe für QuerschWingungen

der F'ortsehtittsheweguflg überlagerten reinen Quer.'chwi n-gungen des Modells dessen Achse also durchweg in

Längs-ri('htung bleibt. ist zcar sowohl

eine periodisch wechselnde

Winkelgeschwindigkeit W' (1er Bahnkrümmung vorhanden wie auch eine periodisch wechselnde Änderung des Driftwinkels ò (Winkel zwischen Längsachse des Modells un(l Tangente an Schwerpunktbahfl. vgl. Bild 8) und damit der Winkelgeschwifl digkeit u. aber beide Winkelgesdiwifldigkeit sind durdiv.eg entgegengesetzt gleich. so (laß die resultierende Winkel-geschwindigkeit ou = ni' + durchweg gleich Null ist,

Infolge-Schifistechnik Bd. 5 - 1958 - Heft 29

dessen ergeben sidi jetzt laut (29) und (30) Zwangskraft und

Zwangsmoment

± k)q'F1-

(52)

= q' F1' L Na ô

- (53)

Nun ist nach Bild 8 mit der Vorzeidiendefinition nach Bild i

ds

d. i. auf Grund von (40)

2k

2rs/

k

co"

Il

so s I

Wird dieser Wert und dessen Ableitung nadi der Zeit

4vk/

2rs

k

4.rs\

=

_-

f Sin - - (O

()

dt

2

\

f

/

in (52) und (53) eingesetzt. so lassen sich aus den Meßkurven

von Q und M zunächst wiederum die Größen K und Na

er-mitteln. Obwohl diese bereits aus den Sehrägschleppversuuhen als auch aus den Gierschwingungsversuchen abgeleitet werden. ist es zum Zwecke des \Tergleichs doch jedenfalls von \Vert. sie

auch noch aus den Querschwingungsversuchen festzustellen.

Und zwar geht die Auswertung zweckmäßig wiederum auf

Grund der Differenz der Meßwerte für zwei spezielle

Kurbel-winkel. in diesem Falle (L = O und

= T. vor sli.

Es ergibt sieh so

Q ()

- Q (0) (56)

2 r

v- k - F1 iM (

- -

M,, (0)1.

=

2.s\

Sin (:)4)

2vLk.F1. L

Von wesentlicher Bedeutung ist es nun ferner, daß nach (52) aus der Differenz der Meßwerte fur (lie Kurhelwinkel u

und (L

-- Kurbelwinkel. fur (lie cias zweite Glied auf

2

der rechten Seite von (52) wcgen(54) gleich Null viri

lie'

Größe des Trägheitskoeffizienten k. abgeleitet werden kann.

Und zwar ergibt sich auf Grund von (52) und (55)

-

br\

_/3r\

k. =

Q i

I Ql

I

-- i

(58)

8v-k-V

\2/

\ 2/

Die besondere Bedeutung dieses Ermi td ungsweges

liegt

darin, daß erstens das mit der Wagengesdiwindigkeit y

fort-schreitende Modell

bei

seinen Querhewegungen stets auf

ungestörtes Wasser trifft, zweitens die Frequenz. hei (ler k

gemessen wird, hier eo ipso mit der cies zu untersu(llendefl

Falls identisch ¡st. Es sei vorweggenommen. daß sich dieser

Weg zur Ermittlung von k

ais besonders zuverlässig

e:weist.-zuverlässiger als die in § 4 behandelten Wege. und daß daher

das aus den Quersd-iwingungsversuchen abgeleitete k

auch

der Auswertung der anderen Versuchsreihen zugrunde zu

legen sich empfiehlt. Wie allerdings im Auge behalten werden

muß, ist der der Gleichung (58) entsprechende Wert von k

an

die bisher stillschweigend gemachte Voraussetzung K,..- = K.s

(vgl. (Il)) gebunden. Sollte sich bei der Auswertung der

vor-liegenden Versuchsreihen K,- * K herausstellen. so wäre in

von g,., fOL

zu setzen \ g,..

t' L mit

K

-Wie noch erwähnt sei,

steht selbstverständlich

nichts im

Wege. den Quersdiwingungsversuch auch im Stand, also fur

y = 0. vorzunehmen. Zum \'ergleich mit den

Quer-Aii.sehwin-gungsversuchen nach

4 muß dies als wünsdienswert

hezeidi-net werden.

(57)

Schiffstechnik Bd. 5 - 1958 Heft 29 182

-d'

r

3hZ

I

Bild 9 Prinzipskizze für Schlängelschwingungen

.. SliIWl'rl.IIliifl'(Ifl('fl (Bild 9)

l)ii'si- \t'rsutlìe

art'n au fokencli-n Uriliulen als ite,'onilt-rs tvi(hlig anzusehen:

l)ir bisher hrhaiidrltin (;ii-r- und Qurrschwingungsvrrsuctie

sollten in erster Linie der

ersuchsmä[hgen Ermittlung der

K- utici \-Kunstantemi so%% ii- br Triigheitskoefiizivnten L, timol

k, dieneii. In (lit'semfl iI1TW (tr(ien oliese (;rüßt-ui. wit- unter

-

md 2. dargelegt. auf cillent \\ege ermittelt. der fur

i-in-zelne ta1iumlen bzw. K iirhrlsti'tlungen eine (lu-reinstinittiumig

tier rechnerischen \erte von Ç) und \l,

mit urn gcmiie5el1eii on vornlit'rein si-herstellt. Umiter uliesen Immistanolen kiinnemi

die Gier- und Quersrhwingungen

für sieh alIt-in zur

Nach-priifung der Haupt frage.

l. i. iiat-h oler prakt ischemi Zulässig-keit rit-r linearen Ansätze. ofiensichtlirb nu-lit uusreiu-iii'n. Sie bed ii rfen s-ielnieh r unbedingt ei ncr Ergii UZII 1g du riti Versucii

- iiiicl

dieser Aufgabe

(iiemlt'Ti die u11lämigelsi1Ì W ii1LI

ngs-versuche --.

bei denen einerseits sämnt licht' K- und

N-Kon-stantenin (lie rechnerische Ermittlung tier \ t'rlaitfu' der

Quer-kräfte Q und Momente M, eingehen. a noiu-rersi'its und dies ist voti besonderer Vichtigkeit - alle diese Grüßen. auf denen sieh ¡a im Sinne der vorliegenolen i lamiptamifgaite der \'erglei-li zwist-heu ditn rechnerischen \erläu fi-n mit it den geumiesseuit-ul

att fitaut.

unabhängig von

di-mi Silo länge1 ver-ut-heu, ti. h. i ni Rahmen amiderer Versuo-hsgriippi-n. o'ruiiittelt worden sinol.

Wenn es alit-li aus demi an andin-r Stet te angi'fii h rten (;riin-cle. did- zur Anwendlung eines K urhel t rit-lis ami Stelle ('ines Kurbeischleifenantriebs gefiihrt hatten, nicht nmiiglii1i war. bi-i den Seli iängelso+twi migungsfub rteui oit-n onuií'rfa Il zu vo-ra i rL-lichen. bei ítem die Längsa-hse oies \looiell-' dtirm-hwi-g in

8h-ii-lung oler Tangente an die Sdilängel ha lin

gu.fii h rt wäre. de r l)riftwinkel ô und seine Ableitungen also oiuro-liweg gleich Null ausgefallen

ären. so ht-stand

día-Ii. 11111 ini urspriingth-hen

Sinne ci ieser \'ersuche dem E in fi tul.) iii-r Ra h uk rü mmu ng a uf

dii' St rürn ungsk räfte tinti Monu-mite den \'orrung zu gelwn.

ein wesentl ¡o-hes Interesse ciaran, ti it- l)ri ft a in Li-i ô a en igstrmis mugi it-list

klein zu halten.

Dies bedimlgte. a ir t'i ne Sonder-reeh n ummig rrgah_ auf tue h icr n ülit näher t-i ncegangen sei, fit r

i-iii Io-siimuiuuies -rhiiltmiis mutim uit-mit si'llust-rstiindiieli

n

luci

di-ii verschiedenen Fahrten variiert

%teruii'ui muni) lii-st inimte Grüßen cies Phasemia imikels t' uuid tic \ erIiältmiuso's

k.,!k1 der .lwiden Kurbeiraoiien (u_-rgl. Bild 9. Trotz dieser

Maßuiahtne waren Driftwinkel ô bis zu eta a

I.5 al" Folgt-der (-n(ili(lleui Pleuelstangenlängt zu era arlen. l)ies t'rgiiot ieh

aus der

miao-listehencleii. aus tier t-ra äh mitt-Il Suntls-rroulinmumig

2.-t k1 Co-UI s» ki

_{jfl (L1 -}

\

k1!.

_{( sin Ui} I J

a\

I - k1/1

- i k1/1

0.25

zueinander stehen. Bei einem Verhältnis k1/I =

= 0.25.

1.0

wie es hei Durchführung der

Schlängelversuche vorhanden

ge-1.25

wesen ist, ergab sich sonach ein Verhältnis

=

_0.75

= 1.67. Hieraus wird der

erhebliche Einflu1. der Picuel-stangenlänge ersichtlich.

Für die Errechnung der - \Terläufe der Querkrälte

und -momente M,

ergeben sich auf Grund der vorstehend

ail-gegebenen Beziehungen nach einfacher Zwischenrecli im

ng die

Gleichungen

Q=

4Q2k1v2

_{V-(1 +k) + F'1L}

'

(sinu1_

k1 cos2IL, 2

_\

_.V[\T(kV_k\)_F.Lk]ív/2FL..h (63)

= V i2 (1 + k7)

u±

2k1 sin 2u1)

+Vi(I +k7)

2k1v2

/

k1

±

_{- 2} l'i. - L - . (sin (Lt I 2

±

FLÑ,«b--

F1'L-ò

(64) 2 2

g---

cos2a1 21 (59) (61) (62)

wobei ò, und

durch die Gleichungen (59). (60) und (61)

gegeben sind. Die in (63) und (64) enthaltenen K- und

N-Konstanten sowie die T.rägheitskoeffizienten k sind nach den

Ergebnissen der betr. vorangegangenen Versuche einzusetzen.

Wie nodi erwähnt sei. hat eine Sonderrechnung ergeben. daß

eine Ungenauigkeit in der Einstellung der Kurhelversetzung

e von der Größe tF eine Anderung des l)riftwinkels h von

ler Größe

(05 F sill E

= - --(:05 -

Sill (L -r

a a

±

k

(sin2

.t. os2U1cos2E'sin2(Li)

k'!\e

2aI

-nach sich zieht. Der Fehler \h kann hier-nach hei (len unter den

durchgeführten Versuchen

vorliegenden Verhältnissen die Größenordnung Ah

0.5 L\e annehmen. Auf sorgfältige

Ein-Stellung der Kurhelverseizung war daher besonderer Wert

zu hegen.

6. Nach dein bisherigen Ver-iiili-programnm ist ilie

Feststcl-lung derjenigen fLir den Schili-kiirper (lmarukterisii(hen

';rii-LIeu vorgesehen. (lie nudi (len linearen Ansätzen fur dic

Kennt-fis und Beurteilung seiner Dreheigensehaften maßgebend

sind und sich nur auf dem Wege des Versuchs ermitteln

las-sen. Außerdem sieht das bisherige Progranini die Nachprüfung

dieser Größen auf ihre Brauchbarkeit im Sinne (lcr linearen

Theorie insofern vor, als der Vergleich (lcr durch \'ersizche

einerseits, durch Rechnung unter Verwendung der besagten

charakteristischen Größen andererseits ernmittelten Verläufe

bestimmter Bewegungen von Modellen auf gekrümnìtcr Bahii

je nach dem Grad (lcr Übereinstimmung bereits ein weseill

-lidies Urteil über die Brauchbarkeit erlaubt.

Darüber hinaus

ist

aher eine

clirektere

Kontrolle der

Brauchbarkeit uflensiditlidi erwunsdit. un(l cille solche kanii

in einfacher Weise durch Nachprüfung der K u r ssta b i

li-t ä li-t geschaffen werden. Für diese besli-tehli-t. wie bekannli-t (vgl.

u. a. (I j).

ini Rahmen der tinearen Ansätze das Kriterium.

darin, daß (lie in den Gleichungen (15) und (16) auftretende

und durch (18) definierte Größe p im Falle positiver

Kurs-stabilität einen positiven Wert besitzt. Hierfür ist offenbar

lediglich der in der erkigeii Klaninier

on (18) enthaltene

Ausdruck

/2V(1+k)

-D=N..-KI

\

+K., jN,

(65)

\

F - L _J

niaßgehend. und (lie-er Ausdruck. in (1cm. nel,eii (leiB

(un-bedeutenden) Trägheitskóeffizienten k . sämtliche in (len

linearen Ansiitzeii auftretenden Schiflskörperkonstanten

ver-treten sind. kann auf Grund von deren

experimenteller

Er-mittlung ohne weiteres nach Größe und Vorzeichen errechneI

werden.

Eine experimentelle Kontrolle auf Kursstabilität- läßt

sich

grundätzlich mittels eines A u sI a uf versuches des betr.

Mo-dells erreichen, indem bei einem solchen festgestellt

wird. ob (ja

zunächst auf geraden Kurs geführte Modell

nach seiner

Freigabe wieder in einen geraden Kurs einläuft.

oder ob es in,

zunehmendem Mal.le ausschert. In ersterem Fall hängt es von

Art und Größe de bei der Freigabe des Modells vorhandenen

Störimpulses ab. in welchem Grade (1er neue gerade Kurs von

(leni ursprünglichen ahweitht (vgl.

Ii. S. 85). Da der

An-farigsstrimpuls stark von Zufälligkeiten abhängt

und sieh

praktisch kaum genauer feststellen läßt, wird man von

vorn-herein derartige Versuche als zienilich

roh einschätzen

mils-sen. lninierhin wird man hoffen dürfen. tiicht nui dic

Fest-stellung. oh kursstahil oder nichl, treffen zu können, ondern

audi ein ungelähres Urteil iiber (las

Mall der Kursstahilität

- 183 - Schiffstechnik Bd. 5 - 1958 Heft 29

a 21

-

-in (u1 - e) - -

co2 (Ui - e)

Die entsprechende Griiße der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich zu

42kv/

k1

= -

in

i -

co- 2 «

so---Sifl

(Li)

(0'(L1 (1 +

k1

2 t k1v

a

-

±

k sin ((L1 - e) (60)

2 t k- y

'i

I

und der Wi nkelbesdileunigung

8tkiv1/

2k1

h = -

- -

co (Li + sin 2 U s,3

\

I

4.r2kiv2f

k1

+

(sinU--

CO52(Li

y"a \

I 4 r2 k y2 k.

.4

-

sin (u1 F) tos 2 (Ui

-a

Für den zweiten - und hier im Vordergrund

stehenden Anteil von . nämlich

die Winkelgeschwindigkeit w

(lcr

Bahnkrümmung. gilt

die bereits

früher angegebene

Glei-chung (42). Für deren Ableitung nach der Zeit

ergibt sich

8k1v

/

2k

(i) =

( cos u +

sin 2 (L1

:(

\

I

Wie aus (42) ohne weiteres zu entnehmen. wirkt sich das

endliche Pleuelstangenverhältnis an den

Orten -stärkiter

Krümmung. d. i. für

i =

s/4 und sii = 3 ,/4. in (1er Weise

aus, daß die entsprechenden Absolutwerte

der

Winkel

geschwindigkeit w' in einem Verhältnis