Wykad nr 2 (Rozwizania oglne rwna rniczkowych czstkowych liniowych pierwszego rzdu)

(1)

2 Rozwi¡zania ogólne równa« ró»niczkowych

cz¡st-kowych liniowych pierwszego rz¦du

2.1 Rozwi¡zania funkcyjnie niezale»ne. Rozwi¡zania

ogól-ne

Rozwa»my liniowe równanie ró»niczkowe cz¡stkowe pierwszego rz¦du (RRCz) f (x, y, z)ux+ g(x, y, z)uy+ h(x, y, z)uz = 0,

gdzie o funkcjach f, g i h zakªadamy, »e s¡ klasy C1 _{na obszarze Ω ⊂ R}3_.

Zakªadamy ponadto, »e

|f (x, y, z)| + |g(x, y, z)| + |h(x, y, z)| > 0 dla ka»dego (x, y, z) ∈ Ω.

Analogicznie jak w przypadku równa« quasiliniowych rozpatrywanych w Wykªadzie nr 1, mo»emy zastosowa¢ metod¦ charakterystyk: rozwi¡zanie u =

u(x, y, z) równania (RRCz) jest funkcj¡ staª¡ wzdªu» rozwi¡zania ukªadu

równa« ró»niczkowych zwyczajnych

(U)                    dx dt = f (x, y, z) dy dt = g(x, y, z) dz dt = h(x, y, z).

W szczególno±ci, ka»da caªka pierwsza(1) _{ukªadu (U) jest rozwi¡zaniem}

rów-nania (RRCz).

Caªki pierwsze ϕ: Ω → R i ψ : Ω → R ukªadu (U) nazywamy funkcyjnie niezale»nymi, gdy

grad ϕ(x, y, z) × grad ψ(x, y, z) 6= 0 ∀ (x, y, z) ∈ Ω.

Przypomnijmy, »e gradient jest w ka»dym punkcie prostopadªy do po-ziomicy funkcji. Z denicji funkcyjnej niezale»no±ci wynika, »e w »adnym punkcie gradient funkcji ϕ nie jest równolegªy do gradientu funkcji ψ. Pozio-mice funkcji ϕ przecinaj¡ si¦ z poziomicami funkcji ψ wzdªu» krzywych klasy

C1_.

Cz¦sto zdarza si¦, »e caªki pierwsze, rozwi¡zania, itp., s¡ okre±lone na pewnym wªa±ciwym podobszarze obszaru Ω.

(1)_{Caªk¡ pierwsz¡ ukªadu (U) nazywamy funkcj¦ ϕ klasy C}1_{, speªniaj¡c¡ f}∂ϕ ∂x+ g

∂ϕ ∂y +

(2)

Twierdzenie 2.1. Dla ka»dego (x0, y0, z0) ∈ Ω istniej¡: otwarte i

spój-ne otoczenie U punktu (x0, y0, z0) oraz funkcyjnie niezale»ne caªki pierwsze

ϕ : U → R i ψ : U → R ukªadu (U).

Dowód. Ustalmy (x0, y0, z0) ∈ Ω. Z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola

wektorowego (klikn¡¢ tu) wynika istnienie otwartego i spójnego otoczenia U punktu (x0, y0, z0) i zamiany zmiennych H : U → R3, H(x, y, z) = (ξ, η, ζ),

klasy C1_{, takiej, »e w nowych zmiennych ukªad (U) przybiera posta¢}

(2.1)                    dξ dt ≡ 0 dη dt ≡ 0 dζ dt ≡ 1.

Dla ukªadu (2.1) funkcje ˜ϕ(ξ, η, ζ) = ξ i ˜ψ(ξ, η, ζ) = η s¡ funkcyjnie

nieza-le»nymi caªkami pierwszymi. Szukane caªki pierwsze (w wyj±ciowych wspóª-rz¦dnych) to ϕ := ˜ϕ ◦ H, ψ := ˜ψ ◦ H

Fakt 2.2. Niech u1, u2 b¦d¡ rozwi¡zaniami równania (RRCz). Wówczas dla

ka»dej funkcji rzeczywistej F dwóch zmiennych rzeczywistych klasy C1,

któ-rej dziedzina zawiera iloczyn kartezja«ski zbiorów warto±ci funkcji u1 i u2,

funkcja zªo»ona F (u1, u2) jest rozwi¡zaniem równania (RRCz).

Twierdzenie 2.3. Niech ϕ i ψ b¦d¡ funkcyjnie niezale»nymi rozwi¡zaniami równania (RRCz), i niech u b¦dzie rozwi¡zaniem równania (RRCz). Wów-czas dla ka»dego (x0, y0, z0) ∈ Ω istniej¡: otoczenie U punktu (x0, y0, z0) i

funkcja F klasy C1_{, ϕ(U) × ψ(U) ⊂ dom F , takie, »e}

u(x, y, z) = F (ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)) ∀ (x, y, z) ∈ U.

Dowód. Zauwa»my, »e ukªad równa« liniowych

       f · ux+ g · uy + h · uz = 0 f · ϕx+ g · ϕy+ h · ϕz = 0 f · ψx+ g · ψy + h · ψz = 0

jest speªniony dla wszystkich (x, y, z) ∈ Ω. Jako »e (f, g, h) jest wsz¦dzie w Ωniezerowy, musi zachodzi¢

ux uy uz ϕx ϕy ϕz ψx ψy ψz = 0.

(3)

Z funkcyjnej niezale»no±ci wynika, »e w ka»dym punkcie co najmniej jeden z minorów ϕx ϕy ψx ψy , ϕx ϕz ψx ψz , ϕy ϕz ψy ψz

musi by¢ niezerowy.

Wykazali±my wi¦c, »e pochodna odwzorowania Φ: Ω → R3,

Φ(x, y, z) := (u(x, y, z), ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)),

ma w ka»dym punkcie (x, y, z) ∈ Ω rz¡d 2. Teza jest wnioskiem z twierdzenia o rz¦dzie (patrz Dodatek 2.3).

W ±wietle powy»szego twierdzenia, wyra»enie F (ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)), gdzie

ϕi ψ s¡ (ustalonymi) funkcyjnie niezale»nymi rozwi¡zaniami równania (RRCz),

za± F jest dowoln¡ funkcj¡ klasy C1_{, nazywamy rozwi¡zaniem ogólnym}

rów-nania (RRCz).

2.2 Praktyczne metody szukania rozwi¡za« funkcyjnie

niezale»nych

Ukªad (U) mo»na zapisa¢ w postaci symetrycznej :

dx f (x, y, z) = dy g(x, y, z) = dz h(x, y, z).

Przykªad 1. Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe (2.2) xux+ yuy + xy(z2+ 1)uz = 0.

W postaci symetrycznej ma ono posta¢:

dx x = dy y = dz xy(z2_{+ 1)}.

Nakªadaj¡c caªk¦ nieoznaczon¡ na dwa wyra»enia po lewej stronie otrzymu-jemy, po standardowych przeksztaªceniach, »e funkcja

ϕ(x, y, z) = y x

jest caªka pierwsz¡ ukªadu równa« ró»niczkowych zwyczajnych

(2.3)                    dx dt = x dy dt = y dz dt = xy(z 2_{+ 1),}

(4)

zatem jest rozwi¡zaniem wyj±ciowego równania ró»niczkowego cz¡stkowego. Rozwa»my teraz dx x = dz xy(z2_{+ 1)}.

Ale y/x = C1, czyli y = C1x. Podstawiaj¡c to do powy»szej równo±ci

otrzy-mujemy, po standardowych przeksztaªceniach

C1x dx = dz z2_{+ 1}, co daje C1 2 x 2 _{= arc tg z + C} 2.

Lecz C1 = y/x, wi¦c

1

2xy − arc tg z = C2. Zatem

ψ(x, y, z) = 1

2xy − arc tg z

jest caªka pierwsz¡ ukªadu (2.3), zatem rozwi¡zaniem równania (2.2). Przypominam, »e równaniu ró»niczkowemu cz¡stkowemu w postaci syme-trycznej dx f = dy g = dz h

odpowiada ukªad równa« ró»niczkowych zwyczajnych

                   dx dt = f dy dt = g dz dt = h.

Mo»na wzi¡¢ kombinacj¦ liniow¡ równa« z powy»szego ukªadu

d(ax) dt + d(bx) dt + d(cx) dt = af + bg + ch, a, b, c ∈ R, otrzymuj¡c dx f = dy g = dz h = d(ax + by + cz) af + bg + ch .

(5)

Przykªad 2. Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe w postaci syme-trycznej dx y + z = dy y = dz x − y. Z równo±ci d(x + z) x + z = dy y otrzymujemy, »e ϕ(x, y, z) = x + z y jest rozwi¡zaniem. Za± z równo±ci d(x − y) z = dz x − y otrzymujemy, »e ψ(x, y, z) = (x − y)2− z2 jest rozwi¡zaniem.

2.3 Dodatek: Twierdzenie o rz¦dzie

Poni»szy wynik mo»na traktowa¢ jako uogólnienie zarówno twierdzenia o funkcji odwrotnej, jak i twierdzenia o funkcji uwikªanej.

Twierdzenie o rz¦dzie. Niech F: U → Rn_{, gdzie U ⊂ R}m _{jest obszarem,}

b¦dzie odwzorowaniem klasy C1 _{o tej wªasno±ci, »e rz¡d pochodnej DF jest}

na U stale równy p ¬ min{m, n}. Ustalmy punkt x0 ∈ U, i oznaczmy A :=

DF(x0). Ponadto, niech X oznacza obraz A, i niech Y b¦dzie podprzestrzeni¡

dopeªnicz¡ w Rn _{podprzestrzeni X. Wówczas istniej¡:}

(i) homeomorzm H: V → W klasy C1_{, gdzie V jest otoczeniem punktu} x0, W ⊂ Rm jest otwarty(2), taki, »e odwzorowanie odwrotne H−1: W →

V te» jest klasy C1;

(ii) odwzorowanie ϕ: A(W ) → Y(3)_{, klasy C}1,

(2)_{To, »e obraz otwartego podzbioru R}m _{przez odwzorowanie ci¡gªe i}

ró»nowarto±cio-we jest otwartym podzbiorem Rm_{, jest tre±ci¡ twierdzenia Brouwera o niezmienniczo±ci}

obszaru, zwanego te» niekiedy twierdzeniem Brouwera o odwzorowaniu otwartym, dalece nietrywialnego wyniku.

(3)_{Z faktu, »e A jest odwzorowaniem liniowym o obrazie X, wynika, »e A(W ) jest} otwar-tym podzbiorem X.

(6)

o tej wªasno±ci, »e

(F ◦ H−1)(ξ) = Aξ + ϕ(Aξ) dla ka»dego ξ ∈ W .

Twierdzenie o rz¦dzie mo»na traktowa¢ jako uogólnienie zarówno twier-dzenia o funkcji odwrotnej jak i twiertwier-dzenia o funkcji uwikªanej. Dowód mo»-na zmo»-nale¹¢, np., w rozdziale 9 podr¦cznika Waltera Rudimo»-na Podstawy amo»-nalizy matematycznej , wydanie szóste, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002. Monograa: S. G. Krantz(4)_{, H. R. Parks, The Implicit Function}

The-orem. History, Theory and Applications, Springer, 2003, zawiera obty ma-teriaª na temat historii (pocz¡wszy od I. Newtona) i wspóªczesno±ci tych trzech twierdze«.

(4)_{Stephen G. Krantz (ur. w 1951), matematyk ameryka«ski, specjalista w zakresie} funk-cji zespolonych wielu zmiennych.