Zjawiska transportu.

Pełen tekst

(1)Zjawiska transportu. 22.. 22-1. Zjawiska transportu. Zjawiska transportu są zjawiskami, które występują jeżeli układ termodynamiczny nie jest w stanie równowagi: ! i. v ≠ const - w układzie występuje makroskopowy przepływ gazu lub cieczy, ii. n ≠ const - w układzie występują różnice stężeń, iii. T ≠ const - w układzie występują różnice temperatury. W przypadku i. występuje zjawisko nazywane lepkością albo transportem pędu. W przypadku ii. występuje zjawisko dyfuzji albo transportu masy. W przypadku iii. występuje przewodnictwo cieplne albo transport energii. Zjawiska transportu związane są z oddziaływaniami między cząsteczkami jakie mają miejsce w czasie ich zderzeń, są zatem konsekwencją specyficznych sił międzycząsteczkowych i skończonych rozmiarów cząsteczek. Zjawiska transportu można wyjaśnić, jeżeli przyjmie się model cząsteczek – kul bilardowych o określonej średnicy i oddziałujących tylko w czasie sprężystych zderzeń. −10. Średnice cząsteczek są rzędu d ~ 10 m . W warunkach normalnych w −7 gazie średnie odległości między cząsteczkami są rzędu 10 m . Średnia droga swobodna cząsteczki i średni czas między zderzeniami. Do zderzenia dochodzi jeżeli r < d.

(2) Zjawiska transportu. 22-2. W czasie ∆t cząsteczka przebywa średnio drogę. v ⋅ ∆t , zakreślając objętość. ∆V = v ⋅ ∆t ⋅ π ⋅ d 2 . W tej objętości średnio znajduje się. ∆N = ∆V ⋅ n środków innych cząsteczek gazu, z którymi wybrana cząsteczka zderza się. Zatem w czasie ∆t cząsteczka zderza się średnio z. ∆N = n ⋅ v ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ ∆t razy. W jednostce czasu zachodzi zatem średnio zderzeń. s=. ∆N =π ⋅d2 ⋅n⋅v. ∆t. Ponieważ inne cząsteczki też się poruszają, to we wzorze powinna występować średnia względna prędkość cząsteczek, która jest 2 razy większa. Ostatecznie średnia częstość zderzeń wynosi. s = 2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n ⋅ v. ~ 109 s-1 ,. a średni czas między zderzeniami. τ=. 1 2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n ⋅ v. ~ 10 −9 s ..

(3) Zjawiska transportu. 22-3. Średnia odległość przebywana przez cząsteczkę między kolejnymi zderzeniami nazywa się średnią drogą swobodną i wynosi. λ = v ⋅τ =. 1 2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n. ~ 10 −7 m .. W warunkach normalnych w gazie. λ >> d . Zjawisko lepkości w gazie rozrzedzonym ( λ >> d ) Między dwiema płaszczyznami, które poruszają się względem siebie z prędkością v znajduje się warstwa rozrzedzonego gazu.. Poruszająca się płaszczyzna wprawia w ruch dodatkowe masy gazu z czym związana jest siła oporu nazywana siłą lepkości. W warstwie gazu o grubości h prędkość przepływu gazu zmienia się od v do 0. ! " Występuje zatem gradient średniej prędkości v = u (z ) skierowany prostopadle do prędkości przepływu. Siła lepkości występuje również w samym gazie między sąsiednimi warstwami poruszającymi się z innymi prędkościami. Jej źródłem jest wymiana cząsteczek między warstwami. Zaznaczoną warstwę cząsteczki opuszczają i wnikają do niej w wyniku ruchu termicznego cząsteczek. Wymiana cząsteczek przez dolną granicę powoduje spowolnienie !" warstwy i przyspieszenie dolnej. Wymiana cząsteczek przez górną granicę powoduje przyspieszenie !" warstwy i spowolnienie górnej..

(4) Zjawiska transportu. 22-4. Prędkość przepływu gazu ma składową poziomą u x << v dużo mniejszą od średniej prędkości ruchu termicznego i zmieniającą się wraz ze współrzędną z. Weźmy pod uwagę umowną powierzchnię graniczną między warstwami gazu na wysokości z. Cząsteczki poruszają się w przypadkowych kierunkach i w czasie ∆t średnio przejdzie przez powierzchnię ograniczającą warstwę z góry w dół. 1 n ⋅ v ⋅ ∆t ⋅ ∆S 6 i taka sama liczba przejdzie z dołu do góry. Cząsteczki przechodzące z dołu do góry ostatni raz zderzyły się z innymi średnio w odległości λ poniżej, czyli w miejscu o współrzędnej z + λ . Zatem ich składowa pozioma prędkości wynosi u x ( z + λ ) . Przenoszą one wszystkie składową pędu p x (związaną z przepływem) w ilości. 1 n ⋅ v ⋅ m ⋅ u x ( z + λ ) ⋅ ∆t ⋅ ∆S . 6 Podobnie cząsteczki przechodzące z góry w dół przenoszą przez powierzchnię graniczną pęd. 1 n ⋅ v ⋅ m ⋅ u x ( z − λ ) ⋅ ∆t ⋅ ∆S . 6 Wypadkowy transport pędu przez powierzchnię między warstwami wyniesie. 1 n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ [u x ( z − λ ) − u x ( z + λ )] . 6 ∂u x λ ∂z ∂u ux ( z − λ ) ≈ ux ( z ) − x λ ∂z. ux ( z + λ ) ≈ ux ( z ) +. Ostatecznie wynosi on. ∂u 1 − n ⋅ v ⋅ m ⋅ λ x ∆t ⋅ ∆S . 3 ∂z.

(5) Zjawiska transportu. 22-5. Zgodnie z II zasadą dynamiki zmiana pędu na jednostkę czasu równa jest sile (lepkości). ∂u ∂u 1 Fzx = − n ⋅ v ⋅ m ⋅ λ x ∆S = −η ⋅ ∆S x . 3 ∂z ∂z Nowy współczynnik nazywa się współczynnikiem lepkości (tu obliczony dla gazu rozrzedzonego). 1 η = n⋅v ⋅m⋅λ . 3 W naszym przykładzie. ∂u x u = , czyli wartość siły lepkości ∂z h F = η ⋅ ∆S ⋅. u ~u h. jest proporcjonalna do prędkości. W gazie. λ=. 1 3kT oraz v ≈ 2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n m. zatem. 1 1 m kmT v = η = n⋅v ⋅m⋅λ = . 3 3 2 πd 2 6πd 2. η~ T Lepkość nie zależy od ciśnienia gazu jeżeli tylko gaz jest rozrzedzony ( λ >> d ) ale nie za bardzo. W gazie bardzo rozrzedzonym ( λ > D ) dominują zderzenia z poruszającymi się powierzchniami i siła lepkości zleży od ciśnienia..

(6) Zjawiska transportu. 22-6. Przewodnictwo cieplne (transport energii) w gazie rozrzedzonym. W stanie stacjonarnym (ustalonym) w gazie ustali się rozkład temperatury wzdłuż osi z od T1 do T2. Przez gaz przepływa ciepło. Gaz nie jest w stanie równowagi (występuje gradient temperatury). Cząsteczki przechodzą przez umowną powierzchnię graniczną z = const w obie strony przenosząc energię (kinetyczną ruchu termicznego).. 1 n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ E ( z − λ ) 6. Energia przenoszona przez cząsteczki z dołu do góry. 1 n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ E ( z + λ ) 6. i z góry na dół. Wypadkowy transport energii (ciepła) przez powierzchnię graniczną z = const wynosi. ∂E 1 ∆Q = − n ⋅ v ⋅ m ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ 2λ ∂z 6 ∆Q W  - strumień ciepła  m 2  ∆S ⋅ ∆t. ∂ E ∂ E ∂T = ⋅ ∂z ∂T ∂z ∂E np.: E = 23 kT i c = 23 k c≡ ∂T. Strumień ciepła – ilość ciepła przewodzonego przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu..

(7) Zjawiska transportu. 22-7. Strumień ciepła (energii) jest wektorem o kierunku gradientu temperatury i przeciwnym zwrocie.. 1 ∂T SQz = − n ⋅ v ⋅ λ ⋅ c ⋅ 3 ∂z SQz = −κ. ∂T ∂z. κ - współczynnik przewodnictwa cieplnego. ! ! SQ = −κ ⋅ gradT = −κ ⋅ ∇T. równanie przewodnictwa cieplnego. Dla gazu rozrzedzonego κ wynosi. 1 1 c 1 c v = κ = n⋅v⋅c⋅λ = 3 3 2 πd 2 6 πd 2. kT m. dla argonu w T = 273 K. κ = 1.65 ⋅ 10− 2. κ~ T κ c CV = = η m M. CV – ciepło molowe M – masa molowa. W rzeczywistości. κ CV. η M. ∈ (1.3, 2.5). W mK.

(8) Zjawiska transportu. 22-8. Dyfuzja (transport masy) Dla uproszczenia rachunków zajmiemy się zjawiskiem samodyfuzji. Z samodyfuzją mamy do czynienia jeżeli gaz składa się z cząsteczek jednego rodzaju, z których część jest oznaczona (np. radioaktywna albo różniąca się składem izotopowym). Np. CO2: 12C16O18O i. 14. C16O16O. n1 – koncentracja cząsteczek znaczonych W stanie równowagi n1 = const jest stała w całej objętości. Załóżmy, że z jakiegoś powodu w gazie został wytworzony nierównomierny rozkład cząsteczek znaczonych. n1 = n( z ) przy czym ciśnienie jest stałe. nC = const . W takiej sytuacji układ nie jest już w stanie równowagi. Oznaczmy przez J z - strumień cząsteczek znaczonych przez powierzchnię z = const. Jz =. ∆N 1 ∆S ⋅ ∆t. Strumień cząsteczek – liczba cząsteczek przechodzących przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu Podobnie jak poprzednio możemy zapisać. 1 1 1 ∂n J z = vn1 ( z − λ ) − vn1 ( z + λ ) = − vλ 1 6 6 3 ∂z J z = −D. ∂n1 ∂z. Powyższe równanie to jednowymiarowe równanie samodyfuzji..

(9) Zjawiska transportu. 22-9. D – współczynnik samodyfuzji Dla gazu rozrzedzonego D =. 1 vλ 3. 1 1 D= 6 pπd 2 D~. 1 1 ~ n p. D ~T. 3. ( kT ) 3 m dla T = const. dla p = const. 2. dla N2 w temperaturze T = 273 K i pod ciśnieniem p = 1 atm. D = 0,185 ⋅ 10 D 1 1 = = η n⋅m ρ. −4. m2 s. gdzie ρ - jest gęstością gazu. Rzeczywista wartość stosunku. D. η ∈ (1.3, 1.5) ρ.

(10)