krypt13.pdf ,

(1)

Kryptografia

z elementami kryptografii kwantowej

Ryszard Tanaś

http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

(2)

Spis treści

19 Algorytmy kwantowe

3 19.1 Bit kwantowy — kubit (qubit)

. . . .

3 19.2 Twierdzenie o nieklonowaniu

. . . .

5 19.3 Bramki logiczne

. . . .

7 19.4 Problem Deutscha

. . . .

13 19.5 Kwantowy paralelizm

. . . .

16 19.6 Algorytm Shora

. . . .

19

(3)

19 Algorytmy kwantowe

19.1 Bit kwantowy — kubit (

qubit

)

•

Klasyczny bit może przyjmować dwie wartości {0, 1}.

•

Układ kwantowy, który ma dwa możliwe stany {|0i, |1i} może się znajdować w każdym z nich, ale także w stanie będącym

syperpozycją stanów bazowych

|Ψi = a|0i + b|1i

i taki stan nazywamy kubitem.

•

Oznacza to, że z prawdopodobieństwem p0 = |a|2 układ znajduje się

w stanie |0i i z prawdopodobieństwem p₁ = |b|2 w stanie |1i, oczywiście p₀ + p₁ = 1. Stan układu kwantowego możemy przedstawić jako wektor na sferze Blocha

(4)

19 Algorytmy kwantowe

19.1 Bit kwantowy — kubit (

qubit

)

•

|Ψi = a|0i + b|1i

•

(5)

19 Algorytmy kwantowe

19.1 Bit kwantowy — kubit (

qubit

)

•

|Ψi = a|0i + b|1i

•

(6)

19 Algorytmy kwantowe

19.1 Bit kwantowy — kubit (

qubit

)

•

|Ψi = a|0i + b|1i

•

(7)

|0i

|1i

|Ψi

(8)

19.2 Twierdzenie o nieklonowaniu

•

Nie istnieje transformacja unitarna U taka, że

U |Ψi|0i = |Ψi|Ψi

dla dowolnego |Ψi.

•

Dowód:

Przypuśćmy, że istnieje U takie, że

U |Ψi|0i = |Ψi|Ψi U |Φi|0i = |Φi|Φi

dla dowolnych |Ψi i |Φi.

•

Transformacja U reprezentowała by maszynę klonującą, gdyby taka istniała.

(9)

19.2 Twierdzenie o nieklonowaniu

•

dla dowolnego |Ψi.

•

Dowód:

•

(10)

19.2 Twierdzenie o nieklonowaniu

•

dla dowolnego |Ψi.

•

Dowód:

•

(11)

19.2 Twierdzenie o nieklonowaniu

•

dla dowolnego |Ψi.

•

Dowód:

•

(12)

•

Z unitarności U wynika jednak, że

hΨ|h0|U†U |Φi|0i = hΨ|ΦihΨ|Φi hΨ|Φih0|0i = hΨ|ΦihΨ|Φi

co nie jest prawdziwe dla dowolnych |Ψi i |Φi, natomiast może zachodzić dla stanów ortogonalnych hΨ|Φi = {0, 1}.

•

Stany ortogonalne (klasyczne bity) mogą być kopiowane, natomiast dowolne stany kwantowe nie.

(13)

•

Z unitarności U wynika jednak, że

hΨ|h0|U†U |Φi|0i = hΨ|ΦihΨ|Φi hΨ|Φih0|0i = hΨ|ΦihΨ|Φi

co nie jest prawdziwe dla dowolnych |Ψi i |Φi, natomiast może zachodzić dla stanów ortogonalnych hΨ|Φi = {0, 1}.

•

Stany ortogonalne (klasyczne bity) mogą być kopiowane, natomiast dowolne stany kwantowe nie.

(14)

19.3 Bramki logiczne

klasyczne _kwantowe

x x a_{|0i + b|1i}

a_{|0i + b|1i} a|1i + b|0i

a_{|0i − b|1i}

|1i _√21 (|0i + |1i) S

R

(15)

klasyczne _kwantowe x x x x y y y x ∧ y x ⊕ y x ⊕ y CNOT

(16)

• W bazie stanów

{|0i, |1i}

, mamy

|0i ≡





1

0 



,

|1i ≡





0

1 



• Wtedy operacje na stanach kwantowych mają

reprezentację

macierzową

, i tak na przykład

U

_NOT

=





0

1

0 



U

_NOT

|0i =





0

1

0 







1

0 



=





0

1 



≡ |1i

(17)

• W bazie stanów

{|0i, |1i}

, mamy

|0i ≡





1

0 



,

|1i ≡





0

1 



• Wtedy operacje na stanach kwantowych mają

reprezentację

macierzową

, i tak na przykład

U

_NOT

=





0

1

0 



U

_NOT

|0i =





0

1

0 







1

0 



=





0

1 



≡ |1i

(18)

• Operacja

przesunięcia fazy

, która nie zmienia stanu

|0i

zaś

stan

|1i

zmienia na

−|1i

, ma postać

U

_S

=





1

0

0 −1





• Operacja

Hadamarda

, czasem nazywana pierwiastkiem

kwadratowym z NOT (

√

NOT

), ma postać

H

=

√

1

2 



1

1 −1





(19)

• Operacja

przesunięcia fazy

, która nie zmienia stanu

|0i

zaś

stan

|1i

zmienia na

−|1i

, ma postać

U

_S

=





1

0

0 −1





• Operacja

Hadamarda

, czasem nazywana pierwiastkiem

kwadratowym z NOT (

√

NOT

), ma postać

H

=

√

1

2 



1

1 −1





(20)

• Istnieje nieskończenie wiele bramek kwantowych generowanych

przez

rotacje

o kąt

θ

U

_R

(θ)

=





cos θ

− sin θ

sin θ

cos θ





• oraz

przesunięcia faz

U

_P

(ϕ

₁

, ϕ

₂

)

=





e

iϕ1

₀

0 e

iϕ2





(21)

• Istnieje nieskończenie wiele bramek kwantowych generowanych

przez

rotacje

o kąt

θ

U

_R

(θ)

=





cos θ

− sin θ

sin θ

cos θ





• oraz

przesunięcia faz

U

_P

(ϕ

₁

, ϕ

₂

)

=





e

iϕ1

₀

0 e

iϕ2





(22)

• Operacja

CNOT

(kontrolowane NOT) na dwóch kubitach ma

postać

U

_CN

=







1

0

1

0

1

0

1

0 





(23)

19.4 Problem Deutscha

• Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą

funkcję

f (x)

, tzn. wykonującą transformację unitarną na

dwóch kubitach przedstawioną poniżej

|xi

?

|f (x)i

f : {0, 1} → {0, 1}

U

_f

: |xi|yi → |xi|y ⊕ f (x)i

• Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera

możemy stwierdzić, że

f (0) = f (1)

?

(24)

19.4 Problem Deutscha

• Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą

funkcję

f (x)

, tzn. wykonującą transformację unitarną na

dwóch kubitach przedstawioną poniżej

|xi

?

|f (x)i

f : {0, 1} → {0, 1}

U

_f

: |xi|yi → |xi|y ⊕ f (x)i

• Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera

możemy stwierdzić, że

f (0) = f (1)

?

(25)

19.4 Problem Deutscha

• Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą

funkcję

f (x)

, tzn. wykonującą transformację unitarną na

dwóch kubitach przedstawioną poniżej

|xi

?

|f (x)i

f : {0, 1} → {0, 1}

U

_f

: |xi|yi → |xi|y ⊕ f (x)i

• Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera

możemy stwierdzić, że

f (0) = f (1)

?

(26)

19.4 Problem Deutscha

• Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą

funkcję

f (x)

, tzn. wykonującą transformację unitarną na

dwóch kubitach przedstawioną poniżej

|xi

?

|f (x)i

f : {0, 1} → {0, 1}

U

_f

: |xi|yi → |xi|y ⊕ f (x)i

• Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera

możemy stwierdzić, że

f (0) = f (1)

?

(27)

• Weźmy następujący

obwód kwantowy

|0i

H

Pomiar

|1i

H

U

_f

(28)

• Weźmy następujący

obwód kwantowy

|0i

H

Pomiar

|1i

H

U

_f

(29)

19.4.1 Działanie obwodu

H : |0i →

√

1

2 (|0i + |1i),

|1i →

1 √

(30)

19.4.1 Działanie obwodu

H : |0i →

√

1

2 (|0i + |1i),

|1i →

1 √

2 (|0i − |1i)

|0i|1i →

1

(31)

19.4.1 Działanie obwodu

H : |0i →

√

1

2 (|0i + |1i),

|1i →

1 √

2 (|0i − |1i)

|0i|1i →

1

2 (|0i + |1i)(|0i − |1i)

→

1

2

(32)

19.4.1 Działanie obwodu

H : |0i →

√

1

2 (|0i + |1i),

|1i →

1 √

2 (|0i − |1i)

|0i|1i →

1

2 (|0i + |1i)(|0i − |1i)

→

1

2 (−1)

f (0)

|0i + (−1)

f (1)

|1i

(|0i − |1i)

→

1

2 (−1)

f (0)

+ (−1)

f (1)

|0i

+

(−1)

f (0)

− (−1)

f (1)

|1i

1 √

2 (|0i − |1i)

(33)

19.4.1 Działanie obwodu

H : |0i →

√

1

2 (|0i + |1i),

|1i →

1 √

2 (|0i − |1i)

|0i|1i →

1

2 (|0i + |1i)(|0i − |1i)

→

1

2 (−1)

f (0)

|0i + (−1)

f (1)

|1i

(|0i − |1i)

→

1

2 (−1)

f (0)

+ (−1)

f (1)

|0i

+

(−1)

f (0)

− (−1)

f (1)

|1i

1 √

2 (|0i − |1i)

|mi =







±|0i

dla

f (0) = f (1)

±|1i

dla

f (0) 6= f (1)

(34)

19.5 Kwantowy paralelizm

•

Przypuśćmy, że mamy funkcję działającą na N bitów o 2N

możliwych wartościach. Aby obliczyć tablicę funkcji f (x)

musielibyśmy policzyć wartość funkcji 2N razy (dla N = 100 ∼ 1030)!

•

Na komputerze kwantowym działającym zgodnie z

U_f : |xi|0i → |xi|f (x)i

możemy wybrać stan początkowy (kwantowy rejestr) w postaci

|ψ0i = 1 √ 2(|0i + |1i) N = 1 2N/2 2N−1 X x=0 |xi

(35)

19.5 Kwantowy paralelizm

•

|ψ0i = 1 √ 2(|0i + |1i) N = 1 2N/2 2N−1 X x=0 |xi

(36)

19.5 Kwantowy paralelizm

•

|ψ0i = 1 √ 2(|0i + |1i) N = 1 2N/2 2N−1 X x=0 |xi

(37)

i obliczając f (x) tylko raz otrzymujemy stan

|ψi =

1

2

N/2 2N−1

X

x=0

|xi|f (x)i

•

Stan ten jest superpozycją wartości funkcji dla wszystkich wartości jej argumentów. Mamy tu do czynienia z kwantowym paralelizmem.

(38)

i obliczając f (x) tylko raz otrzymujemy stan

|ψi =

1

2

N/2 2N−1

X

x=0

|xi|f (x)i

•

Stan ten jest superpozycją wartości funkcji dla wszystkich wartości jej argumentów. Mamy tu do czynienia z kwantowym paralelizmem.

(39)

•

Na przykład, dla N = 2, stan początkowy może mieć postać

|ψ

₀

i =

1

2 (|00i + |01i + |10i + |11i)

|00i → |0i

|01i → |1i

|10i → |2i

|11i → |3i

|ψ

₀

i =

1

2 (|0i + |1i + |2i + |3i)

•

Otrzymujemy superpozycję czterech liczb, na których komputer kwantowy wykonuje operacje w jednym kroku!

(40)

•

Na przykład, dla N = 2, stan początkowy może mieć postać

|ψ

₀

i =

1

2 (|00i + |01i + |10i + |11i)

|00i → |0i

|01i → |1i

|10i → |2i

|11i → |3i

|ψ

₀

i =

1

2 (|0i + |1i + |2i + |3i)

•

Otrzymujemy superpozycję czterech liczb, na których komputer kwantowy wykonuje operacje w jednym kroku!

(41)

19.6 Algorytm Shora

Rejestr A Rejestr B 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0

Etap 1. Przygotowujemy rejestr A komputera

kwantowego w superpozycji wszystkich możliwych stanów

(42)

19.6 Algorytm Shora

Etap 2. Liczba, którą chcemy sfaktoryzować jest N,

N = 15. Wybieramy liczbę losową X,

1 < X < N − 1, X = 2. Wykonujemy operację

B = XA (mod N )

np. dla X = 2 mamy wyniki przedstawione w tabelce

(43)

19.6 Algorytm Shora

B = XA (mod N )

Etap 3. Obliczamy P = Xf /2 − 1; f = 4 i sprawdzamy czy P jest dzielnikiem N

w naszym przypadku

P = 24/2 − 1 = 3,

(44)

19.6 Algorytm Shora

B = XA (mod N )

Etap 3. Obliczamy P = Xf /2 − 1; f = 4 i sprawdzamy czy P jest dzielnikiem N

w naszym przypadku P = 24/2 − 1 = 3, P = 24/2 + 1 = 5; Hurra !!! 15/3 = 5 15/5 = 3