GPS a teoria względności
Einsteina
Co oznaczają te terminy?
• GPS (ang. Global Positioning System) –
system nawigacji satelitarnej (USA, 1994)
• Teoria względności Einsteina:
♦ szczególna (1905) – efekty
ruchu względnego
♦ ogólna (1916) – efekty pola
grawitacyjnego
Szczególna teoria względności
Poruszające się zegary chodzą wolniej
, 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 c v c v 1 2
Zegar 1 porusza się szybciej niż zegar 2, dlatego zegar 1 chodzi wolniej niż zegar 2
Szczególna teoria względności - przykład
1
Układ nieruchomej Ziemi 2 1
Układ wirującej Ziemi 2 1 m/s 0 m/s 270 m/s 271 m/s
2
1 2 2 2v
v
c
2
1
1
2 1
15 2 1
1
3
10
Po 10 latach (0,3 Gs) poruszania się różnica między zegarami wyniesie 1 mikrosekundę = 1 000 ns
Ogólna teoria względności
Zegary w silniejszym polu grawitacyjnym chodzą wolniej
Zegar 2 chodzi wolniej niż zegar 1 Pole grawitacyjne w punkcie 1 jest słabsze niż w punkcie 2
W ciągu 100 lat (3 Gs) oba zegary będą różniły się o 3 mikrosekundy=3 000 ns
Ogólna teoria względności - przykład
Zegar 1 znajduje się o h=30 m dalej od środka Ziemi niż zegar 2
Teoria względności – praktyczny wniosek
dla nas
Chcesz wolniej się starzeć – dużo biegaj na morskiej plaży.
Będziesz żył o kilka mikrosekund dłużej niż
System GPS
31 satelitów na orbitach kołowych o nachyleniu 55° lub 63° względem płaszczyzny równika na wysokości 20 183 km. Obieg Ziemi przez satelitę trwa około 12 h
28 satelitów jest stale czynnych, a pozostałe są testowane bądź wyłączone z przyczyn technicznych.
Działanie systemu GPS
Położenie obiektu na Ziemi jest wyznaczane na podstawie znajomości
jego odległości od czterech satelitów.
ODLEGŁOŚĆ = PRĘDKOŚĆ CZAS
GPS - dokładność zegarów
• Zegary na GPS odmierzają czas z
dokładnością
4•10
-9sekundy (4 ns) na dobę
• Doba ma 24 • 3600 • 10
9= 8,64 • 10
13ns
• Niepewność względna pomiaru wynosi
• Oznacza to pomiar wielkości 10
14z
dokładnością do 5.
• Niepewność względna wyrażona w
procentach wynosi (5
10
-12)%
100
10
5
10
5
10
8,64
4
14 12 13
• Po upływie jednej doby zegary atomowe na
pokładach satelitów muszą być korygowane z
dokładnością do 4 ns!
• Efekty przewidziane szczególną i ogólną teorią
względności są rzędu
setek i tysięcy ns!
Nie uwzględnienie efektów
relatywistycznych uczyniłoby GPS
bezużytecznym!
,
2
1
2
1
2 2c
R
GM
c
R
GM
S Z Z Z
S Zd
d
gdzie Z (S) to czas mierzony na Ziemi (satelicie), MZ —masa Ziemi, G – newtonowska stała grawitacji
RZ (RS) — promienie orbit kołowych zegara na powierzchni Ziemi (na orbicie)
GPS - efekt pola grawitacyjnego
R
S=26 561 km; (1-x)
1/2 1-x/2; d
Z=GM
Z/(R
Zc
2)
=6,98
•10
-10i d
S=GM
Z/(R
Sc
2)=1,67•10
-10
10 S Z 2 S Z 2 Z Z1
d
d
1
5
,
3
10
c
R
GM
c
R
GM
1
•
d
d
S Z
GPS - efekt pola grawitacyjnego
• Zegar na orbicie spieszy się względem
zegara na powierzchni Ziemi (zegary na
orbicie chodzą szybciej).
• W ciągu doby różnica we wskazaniach
obu zegarów osiąga t= 45 800 ns
• W tym czasie światło przebywa odległość
l = 13 740 m 14 km.
GPS – efekt ruchu zegarów
, 1 1 d d 2 2 2 2 S Z c v c v S Z
v
v
1
8
,
22
10
,
c
2
1
1
c
2
v
c
2
v
1
2 11 Z 2 S 2 2 2 S 2 2 Z
•
d
d
S Z
vs=3 874 m/s, vZ=465 m/s; (1-x)1/2≈1-x/2 S vS v• Zegar na orbicie spóźnia się względem zegara na
powierzchni Ziemi (idzie wolniej).
• W ciągu doby różnica we wskazaniach obu zegarów
osiąga
t= 7 100 ns
• W tym czasie światło przebywa odległość
l = 2 130
GPS - sumaryczny efekt relatywistyczny
Wypadkowa różnica czasu na zegarze ziemskim i
satelitarnym wynosi t= 38 700 ns.
W rezultacie zegar atomowy na orbicie spieszy się względem
ziemskiego (idzie szybciej) o 38 700 ns na dobę.
W tym czasie światło przebywa odległość l = 11 610 m 12 km.
11 2 2 S 2 S Z 2 2 Z 2 Z Z
1
45
10
c
2
v
c
R
GM
c
2
v
c
R
GM
1
•
d
d
S Z
Jak rozwiązano technicznie ten problem w GPS?
Nominalna częstotliwość pracy systemu wynosi 10,23 MHz. Zmniejszono więc częstotliwość pracy satelitów do wartości
