Dyskretna analiza modeli reologicznych

M E C H A N I K A TEORETYCZN A I STOSOWAN A 1/2, 22 (1584)

D YSKRETN A AN ALIZA M OD E LI REOLOG ICZ N YCH1

)

ROM U ALD  Ś WITKA, BOG D AN  H U SIAR

Poznań , Politechnika Poznań ska

I . Wstę p

Problemy zwią zane z wyznaczaniem naprę ż eń i odkształ ceń w ciał ach lepkosprę ż ystych komplikują  się  przede wszystkim z powodu Teologicznych równań stanu, które wystę pują z reguł y w postaci zwią zków róż niczkowych bą dź cał kowych [l- r- 5]. Trudnoś ci z tym zwią zane rozwią zuje najogólniej znana analogia sprę ż ysto- lepkosprę ż ysta ALFREY'a i LEE [2], Analogia ta dotyczy podobień stwa pomię dzy transformatami Laplace'a zwią z-ków opisują cych ciał o lepkósprę ż yste a równaniami teorii sprę ż ystoś ci. Tą  drogą  moż liwe jest rozwią zanie niektórych podstawowych zadań, co unaocznia znana monografia N

o-WACKIEGO [2], Jednakże moż liwoś ci tej analogii są  ograniczone trudnoś ciami natury ma-tematycznej, które pojawiają  się  przy wyznaczaniu transformacji odwrotnej.

Rozwią zania wię kszoś ci problemów praktycznych lepkosprę ż ystoś ci należy wię c szukać n a drodze metod numerycznych.

PEDACHOWSKI [6] zaproponował  pewną  metodę  „ kontinualno- dyskretną " opartą  n a znajomoś ci funkcji peł zania. Sumują c przyrosty odkształ ceń Teologicznych otrzymał  on zwią zek mię dzy odkształ ceniem w danej chwili a naprę ż eniami we wszystkich chwilach poprzednich.

D o rozwią zywania zadań lepkosprę ż ystych w uję ciu metody elementów skoń czonych powszechnie stosowane są  metody iteracyjne. Spoś ród nich moż na wymienić sposób naprę ż eń począ tkowych i sposób odkształ cenia począ tkowego, obydwa opisane przez ZIEN KIEWICZA [7]. Sposób odkształ cenia począ tkowego był  stosowany przez wielu auto-rów, m.in. przez ZIEN KIEWICZA [8] oraz ARG YRISA [9].

D o rozwią zywania problemów reologii mają  też szerokie zastosowanie metody nu-merycznego cał kowania liniowych i nieliniowych równań ruchu. Metody te, a mają  one również charakter iteracyjny, dzieli się  n a proste (explicit) i zł oż one (implicit). D o metod prostych zalicza się  n p. m etodę  Eulera i metodę  Rungego- Kutty, do zł oż onych jn.in. me-todę  stycznych [10] i m eonych jn.in. me-todę  czasoprzestrzennych elementów skoń czonych KĄ

CZKOW-l

! Praca został a wykonana w ramach problemu wę złowego 05.12 „Wytrzymałość i optymalizacja konstrukcji maszynowych i budowlanych" — koordynowanego przez Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii N auk.

210 R . Ś WITKA, B. HUSIAR

i SK.IEGO [11]. Ta ostatnia metoda stwarza, jak się  wydaje, nowe moż liwoś c i również w dzie-dzinie lepkosprę ż ystoś ci.

Autorzy niniejszego opracowania wybrali inną  drogę . Opierają c się  n a opisie ciał a lepkosprę ż ystego za pomocą  zwią zku róż niczkowego aproksymują  przebieg naprę ż eń w poszczególnych przedział ach czasu wielomianem. Takie uję cie pozwala n a opis zjawisk peł zania w ciał ach liniowo lepkosprę ż ystych. W rezultacie otrzymuje się  zwią zki reku-rencyjne, w których odkształ cenie w danej chwili jest okreś lone przez naprę ż enie w tejże chwili i przez stan ukł adu w chwili poprzedniej. Przedł oż oną  metodę  m oż na wię c zakwa-lifikować do metod prostych. Przedział  czasu dzielą cy obie chwile może być, w wielu przypadkach dowolnie dł ugi, co jest zaletą  metody, w pozostał ych — dł ugość przedział u czasowego należy regulować w oparciu o kryterium dokł adnoś ci. Powyż sza m etoda był a już stosowana w pracach [12, 13].

W niniejszej pracy problem został  uogólniony przez dopuszczenie niecią gł oś ci funkcji

a(t) i jej pochodnej a(t) oraz funkcji e(t) i k(t). Z astosowano aproksymację  liniową

 i kwad-ratową  funkcji a(t). Przeprowadzono analizy wyników dla podstawowych modeli reolo-gicznych (Kelvin- Voigt, Zener, Burgers) i analizy bł ę dów obliczeń w zależ noś c i od apro-ksymacji i dł ugoś ci kroku.

Jakkolwiek ograniczono analizy tylko do modeli reologicznych, t o jedn ak uzyskane wyniki pozwalają  na dalsze zastosowanie metody w zł oż onych ukł adach lepkosprę ż ystych. Jako przykł ad moż na podać wstę pnie napię tą  siatkę  cię gnową . N ad problemem peł zania siatki cię gnowej są  prowadzone obecnie prace.

2. Równanie konstytutywne ciał a lepkospreż ystego w uję ciu dyskretnym

Równanie konstytutywne dla materiał u lepkosprę ż ystego m oż na przedstawić w po-staci zwią zku róż niczkowego [2]

P(D)a(t) -  Q(D)e(t) (2.1)

w którym D = d/ dt jest operatorem róż niczkowania wzglę dem czasu t, P(D) i Q(D) są liniowymi operatorami róż niczkowymi (wielomianami argumentu D w ogólnoś ci stop-nia n, przy czym stopień może być niż szy, jeś li czę ść współ czynników wielomianu bę dzie równa zeru), a jest naprę ż eniem i e — odkształ ceniem.

N a osi czasu wyodrę bniamy chwile tT ( T =  0 , 1 , 2 , . . . ) dzielą c oś n a przedział y &t =

Przyję to, że przebieg naprę ż enia w czasie jest funkcją  niekoniecznie cią gł ą . Miejsca nie-cią gł oś ci bę dą  wę zł ami n a osi czasu. P oza tym inne wę zł y rozmieszcza się  stosownie do potrzeb obliczeniowych. Tak wię c w ogólnoś ci w wę ź le T naprę ż enie może doznawać przyrostu o

Aa_x -  <y'_t~a_r,

a prę dkość naprę ż enia — skoku o

AN AU ZA MODELI REOLOGICZNYCH

Wprowadzono oznaczenia

Or =  [o>(OŁ- <r- 0» Ci =  [0(.t)]l- t_x+O,

T

~ L * L,

r 0 >

  "• • [ "

T

Podział  osi czasu i przebieg funkcji a(t) ilustruje rys. 1.

211

N aprę ż enie o"(ż) w przedziale czasu &r — ?r — fr_x moż na aproksymować za pomocą

wielomianu stopnia m :

(2.2) Jeś li /n =  1 (aproksymacja liniowa), to

oto =   °V- I J

Jeś li m — 1 (aproksymacja kwadratowa), to

i

(2.3)

(2.4) Z wyż szyc h stopni wielomianu (2.2) w niniejszej pracy nie korzystano. Krzywe aproksy-mują ce funkcję  a(t) przedstawiono n a rysunkach 2 (aproksymacja liniowa) i 3 (aproksy-macja kwadratowa).

Rozwią zanie równ an ia (2.1), w którym a(t') dane jest wzorem (2.2), bę dziemy poszu-kiwać w przedziale t' e (0, oo), przyjmują c najpierw, że funkcje o(t') i s(t') są  w cał ym tym przedziale okreś lone i są  funkcjami rzę du wykł adniczego, co pozwala n a zastosowa-nie transformacji cał kowej Laplace'a. Z przedział u (0, co) moż na nastę pnie wyodrę bnić

212 R. Ś WITKA, B. HUSIAR

przedział  (O, #

T

). Po wykonaniu transformacji Laplace'a na równaniach (2.1) i (2.2)

otrzymuje się

P(p)a{p)- P

₀

(p„ DM0) =  Q(p)e(p)- Q

₀

(p, D)e(0),

1 1 2 m

W równaniach (2.5) <r(p) i e(p) są  transformatami Laplace'a funkcji 0(1!') i e(t'), p jest

parametrem cał kowania, a wielomiany P, Q, P

o

 i Q

o

 mają  postać:

PoiP, D) =  ]?(aj + a

_J+i

p+ ... +a

_n

p-

J

) D

J

~\  (2.6)

; = i

Qo(.P,D)=Y(b

J

+b

Ji

.

l

p+ ... +b

ttP

Operację  D

1

~

i

a(0) lub D

J

~

i

s(0), j = 1, 2, ..., « należy rozumieć jako granicę

 lewo-stronną  funkcji i ich pochodnych w punkcie t' =  0:

Jest t o zwią zane z niecią gł oś cią funkcji transformowanych w punkcie t = t

T

. M oż na się

tu powoł ać na rozważ ania zawarte n p. w [14] str. 75 -  76

2 )

Z równania (2.S)

_l

 oblicza się  transformatę  s(p). D alsze rozważ ania wymagają

 bliż-szych ustaleń w odniesieniu do zwią zku konstytutywnego (2.1) i aproksymacji (2.2).

Przyję to model Teologiczny co najwyż ej pię cioparametrowy, t o znaczy model opisany

równaniem

aatf+diCt+aza ~ boe+bi'e+bz'e, (2.7)

w którym niektóre współ czynniki a

t

 i 6

f

 mogą  być równe zeru, oraz aproksymację

 co naj-wyż e

j kwadratową  (m — 2). W równaniu (2.7) wystę puje 6 współ czynników, z których

jednakże tylko 5 jest niezależ nych.

Rozwią zanie zadania bę dzie tak uję te, że wyniki bę dą  sł uszne również dla modeli niż szych

rzę dów.

2

> D obrym przykł adem istoty problemu jest funkcja H eaviside'a H(t). Transformata Laplace'a pochodnej funkcji H eaviside'a jest równa

Taki sam wynik uzyskamy n a podstawie twierdzenia o róż niczkowaniu oryginał u

Se[H\ t)\

AN AL I Z A MOD ELI REOLOG ICZ N YCH 213

U wzglę dniając w (2.5) powyż sze uwagi oraz warunki począ tkowe a(0) =  crr_t, ó(0) = ór- i, e(0) =  er_ , , e(0) =  £ *_ !, otrzymuje się

+ c3( p ) (2ax a2

(2.8) We wzorze (2.8):

1 'TT I

Ę <i ^.  II ||

„ 5J-  a,-  v - .[- « «r #  - T«

  _v

« i |  •& 4

1

u

 -  a -  s ^ §

 K

 v v  r ~

^f t »« -i ^ v v - f« f -

u

i« i  i i /  /

*  - 14 -  a «« v *  ^ - U f '

 a s

« *T> - Tj - TJ - - S S-  &•

i ,  ,  ^ «" f f f f

i^ł O . 1 O i * I O M

t tf *-  ł 8°

•a « 5 ' £ n i

i  r

h rt 3

 «.  i

S  ' l i

1  ^

j.  .  « ©

1 1 1 3

S o -  -  -  |  1 ?  > -  '» 1

»•  M  + TH -  V* II ^ II o *  o II o II o II o *  o 7 ^ "T

T 3 • "< I I **  I I " ^  M J "^  S l * ^  " U  ^ 1 1

O *  « P ł  « P i  „ t S  n N K< S  « M  o | H

g> O- O  O O O- O O<S O- O O- Q - g =  ^ -O |>O

-  (S % o" II o" II o" II o" K-  o" H.  o" % >)(. - ł), ||

'. • II o -.M ( l li O II O II ° Ml  i i M M

»Q II »Q 11* >Q i! >Q 11 >Q II  < l ( K £ 1* £ O

AN ALI Z A MOD ELI R EOLOG I C Z N YC H  215

Po wykonaniu transformacji odwrotnej otrzymuje się

+ [a

1

c

s

(t')+a

2

c

6

(t

r

)K<x

0

- a

r

-

1

)+a

2

c

5

(t')(a

l

- a

t

„

l

). (2.10)

Podstawiają c t' —  #

r

 i uwzglę dniają c, że e(&

T

) = e

tf

 dostajemy

+ c

₃

 ,

_T

(2a

_t

  a

₂

+ a

₀  a

i ) +  c

_{4p T}

 •  2a

₀

 a

₂

 +

• +(aiC5.i:+a2c6tr)(ciQ- 0T_1) + a2cs,A<Zi  - ^ - i ) -  (2.11)

D la prostoty zapisu oznaczono:

Ą , t - c , ( #

T

) , /  =  0 , 1 , . , . , 6 .

Zestawienie współ czynników c,- .

T

 dla róż nych postaci wielomianu 2(D

) zawiera tab-lica 1,

Wykorzystanie tej tablicy i dobór współ czynników a

0

, a

l

 i a

2

 we wzorze (2.11) pozwala

wykorzystać ten zwią zek dla każ dego modelu co najwyż ej pię cioparametrowego.

Zwią zek rekurencyjny (2.11) pozwala obliczyć e w chwili t

t

 jeś li jest w tejże chwili

okreś lone a oraz jeś li dany jest stan ukł adu w chwili poprzedniej ?

r

_

t

. W równaniu (2.11)

wystę puje również prę dkość odkształ cenia e i niezbę dny jest wzór dla jej obliczenia. Prę

d-kość odkształ cenia otrzymamy obliczają c pochodną  s(ł ') ze wzoru (2.10) i podstawiają c

t' =  #

_T

. W wyniku otrzymuje się

+ ć

3 iT

(2

a

J L

- ó '

I

_

1

) , (2.12)

Współ czynniki ć

i i T

 zestawiono w tablicy 2. Wzory (2.11) i (2.12) są  sł uszne zarówno

dla aproksymacji kwadratowej, jak i liniowej. W tablicach 1 i 2 został y zestawione współ

-czynniki cj,

T

 i ć

i i T

 dla wszystkich moż liwych teoretycznie kombinacji współ czynników

bo> bj. i b

₂

. N iekoniecznie musi to oznaczać, że wszystkie podane kombinacje są  fizycznie

moż liwe. N p . po d pozycją  1 przypadek b

0

 ^ 0, b

x

 =  0, b

2

 -  0 oznaczał by w ogólnoś ci,

że odkształ cenie jest kombinacją  liniową  a, a, a, co raczej wydaje się  być przypadkiem

fizycznie niemoż liwym. Jeś li jednakże przyją ć, że a

0

 j= 0 i a± =  a

2

 — 0, t o przypadek 1

doprowadzi nas do ciał a H ooke'a. Podobnie pojawianie się  dystrybucji <5(#

r

) i jej pochod-nych przy niektórych współ czynnikach c

6 > 1

 trudne jest do fizycznego zinterpretowania.

N ależy jednak zwrócić uwagę , że współ czynnik c

6

,

x

 wystę puje w iloczynie ze współ

czyn-nikiem a

₂

. M oż na by wię c postawić pytanie, czy istnieją  takie modele Teologiczne, dla

których wystę puje w równaniu stanu przyspieszenie naprę ż enia i jednocześ nie współ

czyn-niki b

0

, b

L

 i b

2

 odpowiadają  przypadkom poz. 2 i poz. 6 omawianych tablic? N

a to py-tanie brak jest w tej pracy odpowiedzi, choć autorzy są dzą , że odpowiedź był

aby negatyw-n a. D o takiego są du skł aaby negatyw-nia aaby negatyw-naliza wszystkich zaby negatyw-naaby negatyw-nych autorom modeli reologiczaby negatyw-nych.

W dalszych rozważ aniach przyjmuje się  wię c, że jeś li zachodzi przypadek 2 lub 6, to a

2

 = 0.

­u ^ ^ ­; Ij? 1 « *> « i ,

:­ ­u­ f­ "

rf

. T i 4 = t

" l * > . ' i

1 ­. o ,. *

w

 7 ­f 1

 ­

5

"

i „­ ?

r

 . x

 i

x

*

 ?•

! 1 °

 9

 ­ ' I ° 3 * 1: i ^

rl 8 * I' 1 * " i

a C J 8. g a

& X

*: . i 4­T J­ i

.5"

 o o o o ­g ­

8

 f §

 o H

 | ­

f

 f  ^ | 1 * \ i i

^ ­i ­i

^ " o t o II o  ­ H ­ o II o  * ° 7 V  T1

^ «• II  J ? II uJ. % ^ *  j ? % * U o <=l Q P;  O < I O ­ Q O ­ O  o < s cT­<a cT •«?

a % o" II o" 11 o" II o" H> o" ~H~ o" ­^ ^ ^

j ? II  j ? U.  4 " H ­s * 4 II  ­ o * ^ ^  j ?

AN ALI Z A M OD ELI REOLOG IC Z N YC H  217

W przypadku aproksymacji liniowej podstawia się   a₀ i oc_t zgodnie ze wzorami (2.3) oraz uwzglę dnia się , że a2 =  0. P o przekształ ceniach otrzymuje się  nastę pują cy zwią zek

rekurencyjny dla odkształ cenia -7:—{aT_t- a'x„2). (2.13) We wzorze (2.13): T * =  - §~ (fl o c3 ,r +  at c2 >T +  «2 c5  ,r) , / If f , . = ar^— OT.

We wzorze (2.13) wystę puje pon adto prę dkość odkształ cenia, którą  oblicza się  wzorem

,

t

~—

1

W przypadku aproksymacji kwadratowej otrzymuje się : er =  C o . T fir - i+ c1.Ter_1+ yT( Tr +  (flroc (2.16) 2

yt =  - ^2 (a0cĄ,r+asc3iX+a2c2tX),

et = ć0,ret_a+ ć1,Tgt_1

2

Yt =   ^₂ ( «o i - ' 4 . T + a i ć_{3 > r}+ a₂ć_{2 > r}) , (2.17)

2

2

Wzory (2.13) i (2.16) pozwalają  obliczyć er, to znaczy granicę  lewostronną  funkcji s(t) w punkcie t = tr. Jeś li funkcja jest w tym punkcie niecią gł a, to zachodzi potrzeba

obliczenia również granicy prawostronnej e'_x. G ranicę  tę  obliczymy za pomocą  wzoru

(2.10), bowiem e(0)  - d

-M oż na wykazać, że wył ą czywszy przypadek 1 w tablicy 1 jako mogą cy prowadzić tylko do ciał a H ooke'a, dla wszystkich pozostał ych przypadków otrzymuje się  co(0) =  1,

218 R . Ś wiTKA, B. H U SI AR

Ci(O) =  c2(0) =  c3(0) -  c4(0) =  O oraz c5(0) =   y - , jeś li ^ «p* 0 i Z>2 « 0 oraz cs(0) =  0

jeś li b2 ^  0. W  koń cu c6(0) = T -  jeś li fc2

 ^ 0, a w przypadkach 2 i 6 uzasadnione zo-«2

stał o już, że a2 = 0. Otrzymuje się  wię c w postaci ogólnej

lub, z uwzglę dnieniem powyż szych wywodów

g; =  ez+j- Aar, (2.18)

jeś li bx T^ 0 i b2 =  0, oraz

' B J - ^ + ^ - J O , , (2.19)

jeś li &2 T^ 0.

Wzory (2.18- 2.19) są  sł uszne dla aproksymacji liniowej i kwadratowej. Z e wzorów tych wynika też, że funkcja e(t) jest cią gł a (mimo niecią gł oś ci funkcji a(t)), jeś li a₁ — 0

w przypadkach 2 i 6, lub a2 =  0 w przypadkach pozostał ych. Jest tak n

p. w modelu Kel-vina- Voigta (przyp. 6), w którym ax =  0. D la modelu M axwella (przyp. 2) jest aL = ~ Et

i skok funkcji a(t) powodxije niecią gł ość s(t).

W podobny sposób moż na okreś lić granice prawostron n e funkcji e(t) jeś li jest nie-cią gł a. Otrzymuje się :

& =  e,T + -U

° "7 M l

 •  • Aor+ ~ -  Aar, (2.20)

jeś li bx #  0 i b2 — 0, oraz

4 I - M - ^ T2 I ^ + TŁ ^T,

 (2.21)

o2 62 jeś li Z>₂ 7^ 0. 3. D yskretna analiza modeli Teologicznych

3.1. Model Kelvina- Voigta. Wł asnoś ci fizyczne ciał a Kelvina- Voigta opisuje zwią zek róż-niczkowy

a(t) =  E&(t)+i)'s(t) (3.1)

w którym wystę pują  dwa param etry: E i rj.

M odel Kelvina- Voigta jest wię c przypadkiem szczególnym m odelu opisanego równa-niem (2.7), w którym należy przyją ć:  a0 =  1> «i =  a2 =  0, 60 =  E, &! ==  i?, 62 =  0.

W uję ciu dyskretnym równanie stanu ciał a Kelvina- Voigta m a postać

AN ALIZA MODELI REOLOGICZNYCH  219

w przypadku aproksymacji liniowej, oraz

w przypadku aproksymacji kwadratowej. We wzorach (3.2) i (3.3)

— e "t

2

e- »

3.1.1. Wyznaczmy krzywą  peł zania przyjmują c w tym celu

tf(0 -  o°H(t), (3.5)

H(t) — funkcja H eaviside'a.

Rozwią zanie ś cisłe jest ogólnie znane

fi(O =   ~ O - e - f > -  (3.6)

Ponieważ dla t > 0 jest a(t) =  0, wię c ó C i  = 0 oraz cv_j =  aT =  <T°, wobec czego

A- e - S fc - i +  ^Cl- e- f?), (3.7)

zarówno dla aproksymacji b'niowej, jak też kwadratowej. Wyniki uzyskane za pomocą wzoru (3.7) pokrywają  się  dokł adnie z wynikami ś cisłymi wg (3.6) i to niezależ nie od doboru dł ugoś ci kroku #T w (3.7).

3.1.2. Przebieg naprę ż eń w przedziale t e 10, — I dany jest funkcją

a(t) = o°ń ncot. (3.8)

Rozwią zanie ś cisłe ma postać [1]:

1 +

 U 7 (3- 9)

<P =  a r c t g— . a

D o dalszych obliczeń przyję to dane wedł ug monografii [15] s. 170 zawierają ce wy-niki badań J. Kmity nad parametrami lepkosprę ż ystymi lin stalowych: E =  2 •  105 MPa, n = 4 249 000 kG dni/ cm

2

 =  42,49-  104 M Pa dni =  102-  105 MPah. Przyję to, że wol-nozmienne obcią ż enie przebiega w przedziale (0; 14 dni) wg pół fali sinusoidy; m =

=  T 7 - AT -   ^ ^ T T -  Ł "_{14 dzień 24- 14} 1. w0 =  6- 10- 3 MPa. Obliczenia wykonano

1° wedł ug wzoru ś cisł ego (3.9);

2° wedł ug zwią zku rekurencyjnego (3.2) (aproksymacja liniowa) ze stał ym krokiem rów-równym kolejno: • & = 24h, • & -  2 •  24/;, #  =  4 •  24h;

"H  O p

•3 8  5

I ° a  2

? I"*-  00  O

• 1 {  s.  ą  s

|  4  ° =,  8  

?

3

i s " »- <  m  * t  as  ^t  O\  »n S  . ,  oo m u i "n «s O\  oo E M  < S  f n *- *  * - l t " -  *£>  W"ł > i l l \ O VO ©<   t » • *  »- i \ O 8 " O • *" m" - T vo vt>  - T  J " " n c f e >- t  N  N  W <S »H H f lj ^ "^ł* 00 O O O O O ^5  O O O C C? • n  O N O O O M ^ O ' - O ' — t1 ^  t ^ *S vo es <5  »o 11  O r t  ^ M  W 00   ^ l ^ ł f l l ^ ^ ^ H ^ r t O X ' 3  N  • *  S

C '0  8  S S

V *  S K 3

II 0 0  O "O _ " O »S" 1O CT\ " ) tfc r H M  "

1  1

• B g   ' 5  h - o o o o o o »•   1 — t w m m f*~i —1  r- 1  Ch v£j e d f s t  m « S f O T t - Q l v - - ' r t -. 2 -. ^^  o o o f ^ ' ^ i ^ o o v o y u 1 0  • *  >n r j ^ CJ,  •  r -  " * 3 0  • *" t ń <- T «? «3   0 " —* | M |ł 0  r- i  t " 00 t»{  h «-i ^ vo" r*" \o  " ł  <H \ D H •

1

.,. m ^^  " * * o o o o o o o o o o m < ? o

^a, , , ,  n«o no 0 5 i»iO f Cł * H i»» • * 13 >   - . n r t N M P I M N N r t - i

„ C L H m A m 00 >o * n 0 0  o\  a\  tn *- *

X r j  t n r o o o l n c s  C h v ^ Q Q t n w ^ ^^sS  f l O ^ *  Q  ^t ^ O 5  T O <O

1

 V,  ' 3   0 - ^ r ^ m T f « \ o r - o o ^ O ' - H M m ' *

»5  ^ t «- ^ »- ł TH  ł - l

AN ALI Z A MODJGLI R E O U XJI C Z N YC H 221 ff!tl 0 .1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 0 1  2  3  U 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  *„ Łltl Rys. 4 alt) 20* o" 0 T 2T 3T a 5T 6T 7T . »h, 2 4 h. 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T S x i f f6 -Rys. 5

3° wedł ug zwią zku rekurencyjnego (3.3) (aproksymacja kwadratowa) ze stał ym krokiem równym kolejno & = 24h, #  =  2 •  24h, 0 =  4 •  2Ak, & =  7 •  2Ah.

Wyniki zestawiono w tablicy 3 oraz n a rysunku 4. Widoczny jest wpł yw dł ugoś ci kroku n a dokł adność obliczeń oraz przewaga aproksymacji kwadratowej n ad liniową . N iemniej moż na stwierdzić, że aproksymacja liniowa daje dostatecznie dokł adne dla celów praktycznych wyniki nawet przy znacznej dł ugoś ci kroku.

3.13. Przebieg naprę ż eń jest funkcją  niecią gł ą  przedstawioną  na rysunku 5:

cr(t) =

7 "

0 < t < T, 2<r°, 2<r° 0. 2T < 3T< t < t < t < t >

2T,

37, AT,

AT.

(3.10)

222 R. Ś WITKA, B. H U SIAR

Otrzymuje się  nastę pują ce rozwią zanie ś cisł e:

te [1,21). s(t) -  - = - li  ^ r - e * e [42\  oo): s( 0 =   - ^ ™ (1  - ea T - a 7 ' e2 a r - 2 e3 a r + 2 e4 a r ) e ^ ' . W uję ciu dyskretnym przyjmujemy  #r = T  uwzglę dniają c się , że

o'0  = 0 , ffj =  ffi =  cr°, cr2 =  cr°, o'2 - 2o °, 0- 3 =  03 =  2o- °, <TĄ  = a*. =  O,  o₅ =  aś =  O, . . . , o r a z

D la aproksymacji liniowej otrzymuje się  zwią zek rekurencyjny w postaci

"»

 w I

~

1

'

 E

 \   « r / "

 E

ską d, przy warunku począ tkowym e0 =  0, oblicza się  kolejno:

l - e - a T ' 61

 "Tl

1

"

a T / ' ar i E 2 ~ BV OL T .0  /  „ ar i 1  - 3 °e T ., 2 e—  _ ^

-—

AN AU Z A MODELI RKOLOG IC/ .N YCH 223

Wyniki otrzymane za pomocą  wzoru (3.13) są  identyczne z otrzymanymi ze wzoru (3.12) oraz, jak ł atwo sprawdzić, z wynikami rozwią zania ś cisł ego (3.11).

3.1.4. Przebieg naprę ż eń dany jest funkcją

(3.14)

ff°,

_T.

W tablicy 4 zestawiono wartoś ci funkcji s(t). Aproksymacja kwadratowa daje wyniki pokrywają ce się  ze ś cisł ymi, ponieważ dokł adnie opisuje przebieg naprę ż eń w cał ym za-kresie zmiennoś ci t. Wykresy a(t) i s(t) pokazane są  na rysunku 6.

o(t) 0 T  2 T 3 T CT 5T 0 T 2T 3T 4T 5T  tr 10"8 6 { t ) Rys. 6 Tablica 4 f Igodz.] 0 6 12 18' 24 48 72 96 120 144 o(t) x 103 [M P a] 0 2,625 4,500 5,625 6,000 6,000 6,000 6,000 6,000 6,000 wartość dokł adn a 0 0,77750 2,71353 5,26316 7,94196 16,22330 21,39553 24,62593 26,64352 27,90364 e(r)xlO9 aproksymacja liniowa 0 0,74282 2.64802 5,17024 7,82468 16,15007 21,34982 24,59740 26,62573 27,89255 % bł ę du 4,46 2,41 1,76 1,48 0,45 0,21 0,12 0,07 0,04 3.2. Model Zenera (rys. 7) Równanie stanu ma postać E , 12 (3.15)

224 R-  Ś WI T K A, B. H U SI AR

Przyjmują c stał y krok $T =  T, otrzymuje się  dla aproksymacji liniowej

+  ~ES  \ Et+ E2 oraz dla aproksymacji kwadratowej

E,

+ •

+ E2 ~uT

E,

 r 2

a = D la granicy prawostronnej otrzymuje się  wzór zlcrr ° ' - c 'n   E1 +E2 -N iech przebieg naprę ż eń przedstawia wykres na rysunku 8. To znaczy

0 < t < T,

T <t <2T,

0, 2T < t < oo-Oil) n' 1

s.

s,

zr

3T t

eiu

10-2T 3T 96h  , | , 96h | Rys. 8 (3.16) (3.17) (3.18) (3.19)

AN AL I Z A MOD ELI REOLOG ICZN YCH 225

Rozwią zanie ś cisłe ma postać: /  6( 0, T):

te(T ,2T ):

te(2T , oo):

l + e - (3.20)

W uję ciu dyskretnym przyjmujemy stał y krok #T =  T i uwzglę dniamy w obliczeniach,

że a'o =  o°, Aa0 =  o-0

, ax =  <r°, crj =  2a°, Aat =  ff°, a2 =  a°, a'2 -  0, /J<x2 =  - o-0

, a3 =  a'3 =  ... =  0; bo =  ^ =  0, er i =  tf2 =  -   y , ^ =  ^3 =   ^ 3 =  ... =  0.

Aproksymacja liniowa (3.16) i kwadratowa (3.17) daje identyczne nastę pują ce wyniki: E2 E i+ E j (3.21) G ranice prawostronne funkcji e(t) są równe: e'o = p , „ , ei =  £1 +

E , + E

₂

'

(3.22) e₂ = e₂

-Ł atwo moż na sprawdzić, że za pomocą wzorów ś cisł ych (3.20) otrzyma się identyczne wartoś ci odkształ ceń w chwilach t_x = T*_a 2T*, 3T", .... W celu sporzą dzenia wykresu

e(/ ) zagę szczono wę zły n a osi czasu przyjmując #T =  - ~T. Wyniki obliczeń dla T =  96 h,

a0  =  5 M P a, Ei =  9,5 •  103  M P a, E2 =  22,5 •  10 3  M Pa, r/2 =  49,92 •  10 5  M Pah ilu-struje wykres na rysunku 8. Powyż sze dane został y wzię te z monografii I. KISIELA. [15] wedł ug badań A. M itzla i A. D ziendziela dotyczą cych betonu.

Rys. 9 15 Mech. Teoret. i Stos. 1—2/ 84

226 R . Ś WITKA, B. H usiAR

3.3. Model Burgersa (rys. 9)

W czteroparametrowym modelu Burgersa jest a0 =  1,

Przyjmując stał y krok #T =  T otrzymuje się dla aproksymacji liniowej \ - e~XT .

E2 XT

tyi EiE2 \Vl  E j XT

1 / l i \  i- e- » 1 J__l

B~ I'M VI A I T 1

 ~E~ 1  1 . - 1  l - e- J ! r E J T D la aproksymacji kwadratowej otrzymuje się £ T =   ST -7X ElE2 E2 XT 2 'l~ — " T - 1 + 16i? 2  / E1 +Ę2 2 + 6»! T

 E₂A \  EjEa T

 E2AT, 1 /  1 1 \   l - e - *rl . 1  l - e - *T  , . | ' | 2  E1 +E2 2  l -c r—1 ~ 2  l - e - A r \  ,

[E

E₂2 AJ E1 +E2 1

(  }

J

1

( }

J

 r

"

(3.24) (3.25) (3.26)

AN AL I Z A M OD ELI REOLOGrczNYCH  227

3.3.1. Dla obcią ż eni

a

or(0 -  a°H(t) (3.27)

otrzymuje się

e(t) = - £[f +  (a, -   j ] (1 - z-

M

)+a

2

h- A. (3.28)

Jest to wynik ś cisł y

. Identyczne wyniki otrzymuje się za pomocą wzorów rekurencyj-nych, co wynika stą d, że każ da aproksymacja opisuje dokł adnie funkcję typu (3.27).

Krok #

T

 może być dowolnie dł ugi.

W aproksymacji liniowej w pierwszym kroku należy przyją ć

: e

0

 =  0, ś

0

 =  0, a

0

 = 0,

a'

o

 =  ff°, Aa

0

 = o

0

, tf

t

 =  a°, czyli dla r = 1 (0, =  T);

G ranice prawostronne odkształ cenia i prę dkoś c

i odkształ cenia dla t =

 0 obliczamy wzo-rem (2.19)

i wzorem (2.21)

Identyczne wyniki otrzymamy z (3.28)

Dla T =  2, 3, ... otrzymuje się

l - e -

A r

 . a°T

—j—A^ . , +  —

Dla aproksymacji kwadratowej należy dodatkowo przyjąć Aa

x

 = 0 dla wszystkich r.

3.3.2. Przyję t

o program obcią ż eni

a

a(t) = ahincot. (3.29)

Bezpoś rednie rozwią zani

e równania róż niczkoweg

o metodą transfonnacji Laplace'a

daje wynik

, \  o° r i •

  / 1 \  /

 A A

 . i

eu) =  - r- 1—- r- +Ae~ — —.r + / 4 coscof+  a

2

H  A] sinaiM,

b

2

 \ _toX \ o>l I \  (o I J

 3 Q

^

(S "*f OS • C O\  M  OS f s >n o m -  <r> <s \ o II o os" os  " i

=6 ' 7

j? © vo r- .  . - i > „ —.  oo r-  ui 2 u R,  * i.  * i *"« • a " o oT "•  » o |  *  -   - ,  | •S H o o" t^*1  ocT  r i i- H1  o"  t ^ i*^1  r*  o" o.  *  1  1  1  1  ' <

II  O " ) " Ó ' W T ' | ^' O C 0 0 « > ( N ' >£>rt *  O *  f- " OO  ^ " Ifl rt VO O"

*  ' 1  1  1  1  1  1  1  ' '

„ S S 3  S

2 rt C5  N x 11  o » o" 4 £ *   i i to « f ^ CT*  C^-  O

l i I i 1  i

H d " o °o O oo  o

-^ *  -  7  i

S.  _  m O N — i o o y s M - t - T - i M * g °  » o \ - > ? 5 \ — i O K m S > n \ o

D< II o o " (- ^ oo" w  ^*  o " (- • " t~^ rn1

 cT

< es,  7  7  7  7  i

w

  ^ £ i o o T - H O \ ł - i T t o o o \ ' — i h - O ^ n i o ^ i o v i T t ^

It o v{  o" >n h-" cT « \o* N " \O t -  rj- " O • *" K oo h- " <o ^ ^o o

*  ' 1  1  1  ! 1  1  1  ' '

• O SO  O T W ' O ' t O ' n ^ N O O O O ^ V O a ^ ' t ^ Q O O ^ f ri ^  ' O 0 0 i - t O \ł- H r t - O © < j \T- ł t ^ © T l - f O » n 0 \ > ^ ł n

i

< t - ^ 0 ri 22 © »n ©" *n o-  oC oo" ^o" n" ^o ^ r f © - ^t" t*- ' oo" t ^ <n *-< ^o o • « *  ' |  |  |  |  |  |  |  ' '

O —i O • *   • r f O ^ - iO  O r t O T j -  - >t O —i O

,   T - t t ^T —t m f n • —i t—•  »—^ H  t ^ r 4  m  C * I ^ * ^ ^ H

• ~^,?  T t v o - i t > o  < o - * ^ o - *   r t « Tf vp vo - ^i- vo - ^-^• Oi  ' n r - l ' n O O n M  1   > O < S w - l O O m N " 1 ^ E  o o m o o r ^ o t ^ o o v n o o  o o t n o o ^ o t ^ o o w - i o o Q

£ ,  o H cn  ' t in y ) i n  ^f rn - H o f- i m  i t in" ^ >n TJ- m H

1  1  1  1  1  1  1  1  1

f ^  ( S T t V O O O O M T j - V O O D O f ^ ' ^ ' O O O O f S ^ V O O O O

AN AL I Z A M OD ELI R E OLOG I C Z N YC H 229

Obliczenia numeryczne wykonano przyjmują c dla polistyrenu KA w temperaturze 293 K (~ 20°C ) za [16] nastę pują ce dan e:

E i =  3,32 •  103

 M P a, E2 =  4,30 •  10* M P a, tji -  6,45 •  108 M P a •  s, rj2 = 9,62 •  10

7

 M P a •  s.

Przyję to róż ne dł ugoś ci kroku w celu zbadania, jaki t o m a wpł yw n a dokł adność obliczeń (0 =  0,2/ r, 0 =  0,4A, • & = \ h, & =  1,2A), Przyję to n adto a =  6 M P a i co =  —h'1

.

W pierwszym kroku należy przyją ć nastę pują ce wartoś ci począ tkowe: e0 =  0, e0 =  0,

tfo =  <f'- i — o'o =  0, Aa0 =  0, ć >ó =  coa°, Aa0 =  ma 0

. G ranicę  prawostronną  prę dkoś ci

odkształ cenia dla t =  0 oblicza się  wzorem :

P- 0 =

co

a°

Wyniki zestawiono w tablicy 5. Widoczne jest, że aproksymacja kwadratowa daje przy tej samej dł ugoś ci kroku znacznie dokł adniejsze wyniki.

4. Uwagi koń cowe

P rzedstawiona m etoda pozwala opisać zjawisko peł zania materiał ów, przy czym w ni-niejszej pracy ograniczono się  do jednoosiowego stanu naprę ż enia. M etoda jest dobrze przystosowana do skoń czonej liczby niecią gł oś ci funkcji a(t) i jej pochodnej a(t). Punkty niecią gł oś ci muszą  być wę zł ami na osi czasu.

M etoda jest obcią ż ona tylko bł ę dem aproksymacji przebiegu naprę ż eń. Oznacza to,

ie jeś li funkcja a{i) jest odcinkami liniowa lub paraboliczna i jeś li wę zł y umieś ci się

 przy-aproksymacja liniowo -  aproksymacja kwadratowa

230 R. Ś WITKA, B . HUSIAR aproksymacja liniowa ——— aproksymacja kwadratowa Rys. 11

najmniej we wszystkich punktach niecią gł oś ci funkcji a(t) i jej pochodnej cr(t), to otrzy-mamy we wszystkich wę zł ach wyniki ś cisłe niezależ nie od dł ugoś ci kroku.

Przebieg naprę ż eń w ogólnoś ci może być bardziej zł oż ony . W takim przypadku otrzy-muje się  wyniki obarczone bł ę dem zależ nym od dł ugoś ci kroku. P roblem ten został  prze-analizowany dla przebiegu sinusoidalnego w przypadku modelu Kelvina- Voigta opisa-nym w pkt. 3.1.2 i w tablicy 3 (rys. 10) oraz w przypadku modelu Burgersa opisanym w pkt. 3.3.2 i w tablicy 5 (rys. 11).

N a wykresach przedstawiono bł ą d bezwzglę dny Ae (róż nica mię dzy rozwią zaniem ś cis-ł ym a rozwią zaniem wg opisanej metody) jako funkcję  czasu (lub ś ciś lej: wskaź nika ko-lejnych chwil r) oraz w zależ noś ci od rodzaju aproksymacji i dł ugoś ci kroku. Z wykresów tych wynika oczywista zresztą  przewaga aproksymacji kwadratowej n ad liniową  i wyraź na stabilność metody. Jest charakterystyczne, że przebieg bł ę du aproksymacji liniowej jest w przybliż eniu proporcjonalny do przebiegu funkcji aproksymowanej, n atom iast przy aproksymacji kwadratowej bł ą d oscyluje zmieniają c zn ak krok za krokiem. „ Am plituda"

AN AL I Z A M OD ELI R E OLOG I C Z N YC H 231

aproksymacja kwadratowa

tej „ krzywej oscylują cej" jest, praktycznie rzecz biorą c, stał a w cał ym badanym przedziale czasu. O stabilnoś ci m etody ś wiadczy też przebieg bł ę du zanotowany w tablicy 4.

N a rysunku 12 przedstawiono ś redni bł ą d kwadratowy jako funkcję  dł ugoś ci kroku. D la modelu Kelvina- Voigta i danych dotyczą cych lin stalowych ś redni bł ą d kwadratowy obliczono w przedziale czasu (0, 14 dni). K rok • & — 7 dni odpowiada ć wiartce sinusoidy przebiegu n aprę ż en i— T\ . Widoczne jest na rysunku 12a, że jeś li dł ugość kroku zbliża

się  do - -  T , t o bł ą d m etody szybko roś nie nawet przy zastosowaniu aproksymacji kwadra-towej.

Wykresy n a rys. 12b dotyczą  modelu Burgersa i danych przyję tych dla polistyrenu K A. Ś redni bł ą d kwadratowy obliczono w przedziale czasu (0, 4h ). N ależy zwrócić uwagę  n a

T

zjawisko zbliż ania się  obu krzywych bł ę du do siebie dla • & > - j- , co się  tł umaczy tym, że przy tak dł ugim w stosun ku do okresu funkcji kroku, aproksymowanie sinusoidy od-cinkami parabol staje się  równie mał o przydatne, jak aproksymowanie jej odcinkami prostych.

Stą d należy wnosić postulat takiego doboru dł ugoś ci kroku ż eby w przedziale (f, _ i, U) funkcja aproksym owan a i jej pochodn a był y m onotoniczne.

232 R . Ś WITKA, B. HUSIAR

D ł ugość kroku moż na wię c n a ogół  przyjmować znaczną , co ma istotne znaczenie przy badaniu dł ugotrwał ych procesów peł zania i stanowi zaletę  opisanej m etody.

Literatura cytowana w tekś cie

1. W. D ERSKI, S. ZIEMBA, Analiza modeli reobgicznych, PWN , Warszawa 1968. 2. W. N OWACKI, Teoria peł zania, Arkady, Warszawa, 1963.

3. I. KISIEL, Reologiczne równania stanu oś rodków quasiliniowych, Wyd. PAN Oddz. we Wrocł awiu, 1980. 4. F . J. LOCKETT, Nonlinear Viscoelastic Solids, Akademie Press, London, N ew York, 1972.

5. Y. C. F U N G , Podstawy mechaniki ciał a stał ego, PWN , Warszawa 1969.

6.  H .  H . IlEflAXOBCKHttj RucKpemHO- KOHtnuHyajibHuu Memod « Auuemou meopuu ynpyzo—no/ ią yneeo

mejia, ITpHMeHeHHe 3JieKTpoH H bix BLiqacJiH TentH bix AianiHH  B crpoH TeJisH OH  MexaHHKe, H ayi< o5a

flyMKa, KneB, 1968.

7. O. C. ZIEN KIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych, Arkady, Warszawa, 1972.

8. O. C. ZIEN KIEWICZ, M . WATSON , I. P. K I N G , A numerical method of visco- elastic stress analysis, I n t. J. of Mech. Sci., 1968.

9. J. H . ARG VRIS, H . BALMER, J. S. DOLTSIN IS, Nieliniowoś ć materiał u w analizie metodą  elementów skoń

-czonych, Metody obliczeniowe w mechanice nieliniowej, Ossolineum, 1977.

10. Zastosowanie metody elementów skoń czonych w geotechnice, praca zbiorowa, Ossolineum, 1980, s.

130- 135.

11. Z. KĄ CZKOWSKI, Metoda czasoprzestrzennych elementów skoń czonych, Arch. ln ż. Lą d., 22, 3, 1976. 12. B. HUSIAR, R. Ś WITKA, Quaslstatyczne peł zanie cię gna lepkosprę ż ystego w uję ciu dyskretnym, Arch,

lnż. Lą d., 25, 1, 1979.

13. B. HusrAR, R. Ś WITKA, Statyka lepkosprę ż ystej siatki cię gnowej ze wstę pnym napię ciem, 7ASZ. N auk. PP, Budownictwo Lą dowe nr 24, 1979.

14. G. DOETSCH, Praktyka przekształ cenia Laplace'a , PWN , Warszawa, 1964. 15. I . KISIEL, Reologia w budownictwie, Arkady, Warszawa, 1967.

16. J. ZAWAD ZKI, Problemy wytę ż enia i znuż enia polimerów jako tworzyw konstrukcyjnych, PWN , War-szawa, 1978.

P e 3io M e

flH CKPETH Llfł  AHAJIH3 PEOJIOri- mECKH X

B pa6oTe n peflcraBjraercH  Merofl flH CKpeTH 3aipni ypaBHeHHH  COCTOHHHH JIH H CH H O-  BH 3KoynpyrH X Ten . MeTOfl COCTOHTCH B p asflen em n i OCH BpeMeiiH  Ha H H TepBaJiM, u K O io p u x H anpjD KeH H e anpoKCK-MHpyeTCH  n in ieiin o ń H JIH KBaflpaTHMHoii 4>yHi«mieft. KoHCTwryTHBHoe ypaBH em ie BH 3i< oyn pyroro  i e n a npinm TO B BHfle flH (J)c])epeH qH ajiBH oił  3aBHCHiwocTH3 B KOTopyio BxoflHT  n e 6ojn>ine BTopoń n p0H 3B0flm .ie

n o BpeiweHH. florrj'CKaeTCH  KOHe^Hoe tjncjio pa3pwBH 0CTeH  (JiyHKqHH  a(t), a TaiOKe npoHSBOAHoft b(t). ypaBI KH H e COCTOHHHH  flJI H  flaHHOH annpOKCHMaUHH  B npOH3B0J!BH0M  H H TepBa^e MO>KHO pelH H Tb TO^IHO. B pe3j'Ji6TaTe n on yn aeM  pei<ypeH TH yio (J)opMyjryj B KOTopoft fled)opiwai;H H  B flaH H OM  MOMeme B b i p a wa c r o i i e p e 3 H anp»i< eH H e B TOM caiwoM  MoiweHTe H  ve p e 3 cocTom n ie cn creM bi B n peflin ecTByiom eM  M OM C H TC <t>opMyjia oSpeMeHeHa TOJIŁKO onniG Koii annpoKCH Mainł H .  3 T O o 6o 3H aiaeT ,  m o fljw  jm H e t e o r o H JI H  n a -paSojiiP iecKoro n p o 6e r a H an pH wen irii KBaflpaTHUHaa annpoKCHMaqHH  flocraBJiaeT TOJffiwe pe3yjn .T aiw He3aBHCHMO OT fljiH H M  m a r a . B flpyrnx cjiyqaH x fljunra H H TepBana peryjin pyeivia H a ocHOBe npH 3H ai<a TOMHOCTH  M0>KeT BbITŁ 3HaxiHTejIBH0Hj a 3TO H Meei CymeCTBeHHOe 3HaMeHHe TipH  HCnblTaHHHX ^JIHTeJlbHbtX n poi?eccoB n o ji3yn eciH .

IIpoBefleH O p«H  H cn brraTen tH bix BbWH cneH H ń «H H pa3H biK peon orH qecKH X MOReneH  (KenbBH H  — 3H H ep, Byp r ep c ) H HJIH pa3H bix n po rpaM  H arpyweH H H . n poBefleH O aH0JiH3 OI H H 6OK flJiH

ANALIZA MODELI, REOLOGICZNYCH 233 S u m m a r y

DISCRETE ANALYSIS OF RHEOLOGICAL MODELS

The discretization method of the equation of state for the linear visco-elastic materials has been pro-posed. The time axis has been divided into seperate time intervals; within each time interval the stresses have been approximated by means of the linear or quadratic functions. The constitutive relation for a visco-elastic material has been assumed in the form of a differential relation with the time derivatives at most of the second order. It has been assumed that the number of points at which functions a(t), &(f) suffer discontinuities is finite. The constitutive relation for the given approximation can be solved in the exact form.

As a result the reccurence relation has been obtained for which the state of derfomation at a given instant is determined by the state of stress at the same instant and by the state of the body in the preced-ing (discrete) time instant. Thus for the linear and parabolic time distributions of stress, the quadratic approximation leads to the exact results for any length of steps. In other cases the length of the step, con-trolled by the criterion of accuracy, can be rather big; this fact plays an essential role when long time creep processes are considered.

A number of test calculations for different Theological models (Kelvin-Voigt, Zener, Burgers) and for different loading programs have been performed. The error analysis for some special approximations and different step lenghts has been given.