Kosztowna weryfikacja jako element relacji
bank-kredytobiorca
Andrzej Paliński*
Nadesłany: 3 listopada 2008 r. Zaakceptowany: 20 maja 2009 r.
Streszczenie
W artykule dokonano próby wyjaśnienia przyczyn tego, że standardowa umowa kredytowa jest tak powszechnie spotykanym kontraktem dłużnym. Rozumowanie oparto na kilku ważniejszych mode-lach finansowych zaliczanych do grupy modeli kosztownej weryfikacji. W rozważanych modemode-lach wykazuje się – za pośrednictwem formalnego – dowodu, że kredyt jest optymalną umową dłużną w warunkach kosztownej weryfikacji przez kredytodawcę rzeczywistych wyników przedsięwzięcia inwestycyjnego. Szczegółowej analizie poddano cztery modele opisujące relację kredytodawca – kredytobiorca: model pełnej symetrii informacyjnej, model kosztownej weryfikacji w warunkach asymetrii informacji, model kosztownego wymuszenia płatności oraz model heterogenicznych ocen zwrotu z przedsięwzięcia.
Okazuje się, że standardowa umowa kredytowa jest efektywna zarówno ex ante, jak i ex post w warunkach asymetrii informacji, kosztownej weryfikacji wyników przedsięwzięcia oraz kosztow-nego wymuszenia sądowego. Muszą być jednak spełnione określone warunki, aby była to optymal-na umowa dłużoptymal-na.
Słowa kluczowe: umowa kredytowa, kosztowna weryfikacja, asymetria informacji JEL: D82, G33
A. Paliński
94
1. Wstęp
W mikroekonomicznej teorii bankowości relacja kredytodawca – kredytobiorca (lender-borrower
relationship) stanowi jeden z kilku głównych obszarów badawczych, m.in. oprócz między innymi: pośrednictwa finansowego, równowagi i racjonowania na rynku kredytowym, zarządzania ryzy-kiem bankowym czy regulacji i nadzoru bankowego (Freixas, Rochet 1997).
Teoria relacji kredytodawca – kredytobiorca obejmuje z kolei takie zagadnienia jak: 1) modele kosztownej weryfikacji,
2) umowy jedno– lub wielookresowe, 3) umowy niepełne,
4) modele selekcji heterogenicznych dłużników.
Modele kosztownej weryfikacji (Costly State Verification – CSV) zapoczątkowane przez Towsen-da (1979) są zastosowaniem teorii kontraktu do umów kredytowych w warunkach niedoskonałego rynku i asymetrii informacji. Teoria kontraktu obejmuje zagadnienia kosztów transakcji (ich konse-kwencją są modele CSV) oraz teorię umów niepełnych (incomplete contracts). Z kolei zagadnienia kontraktowania wynikają z ogólniejszej teorii przedstawicielstwa (lub inaczej teorii agencji – agency
theory).
Relacja przedstawicielstwa (agency relationship) powstaje wówczas, gdy jeden podmiot – moco-dawca (principal) zleca do wykonania pewne działanie drugiemu podmiotowi – przedstawicielowi (agent), przekazując mu równocześnie uprawnienia decyzyjne niezbędne do wykonania tego dzia-łania. Podejmowanie decyzji zostaje więc oddzielone od ich kontrolowania. Strony kierują się przy tym własnym interesem, co powoduje, że ich cele nie są w pełni zbieżne.
Problem przedstawicielstwa, czyli występowanie konfliktów wynikających z teorii agencji, związany jest z istnieniem asymetrii informacji pomiędzy przedstawicielem a mocodawcą. Drugą przyczyną powstawania problemu przedstawicielstwa, związaną pośrednio z asymetrią informacji, jest konieczność ponoszenia kosztów związanych z przygotowaniem, monitorowaniem i realizacją kontraktów pomiędzy stronami relacji przedstawicielstwa.
Asymetria informacji może dotyczyć (por. Mesjasz 1999; Stradomski 2004; Varian 2002): • Ukrytego działania przedstawiciela (hidden action) – przedstawiciel podejmuje działania (wysiłek), które ze względu na koszty uzyskania informacji nie mogą być obserwowane przez mocodawcę (np. poziom starań przy realizacji przedsięwzięcia inwestycyjnego). W związku z tym mocodawca nie potrafi określić związku pomiędzy wysiłkiem przedstawiciela a wynikiem. W tym przypadku w problemie przedstawicielstwa występuje pokusa nadużycia (moral hazard) w literatu-rze wręcz utożsamiana z pojęciem ukrytego działania.
• Ukrytej informacji (hidden information) czy ukrytej wiedzy (hidden knowledge) posiadanej przez przedstawiciela – przedstawiciel ma wiedzę o zmiennych środowiskowych niedostępną dla mocodawcy. Zmienne opisujące środowisko mogą mieć przy tym charakter losowy, niezależny od wpływu przedstawiciela (np. stopa zwrotu z projektu inwestycyjnego). W problemie przedstawi-cielstwa w sytuacji ukrytej informacji pojawia się negatywna selekcja (adverse selection), prowa-dząca np. do podejmowania zbyt ryzykownych projektów, których niepowodzenie w przypadku ograniczonej odpowiedzialności dłużnika przerzuca zbyt dużą część ryzyka na wierzyciela. Ko-nieczne jest zatem określenie właściwych bodźców, aby przedstawiciel nie mógł odnosić korzyści z nierzetelnego ujawniania lub wykorzystania swych prywatnych informacji.
W zależności od siły przetargowej obydwu stron mocodawca i przedstawiciel starają się uzgod-nić kontrakt spełniający następujące warunki (Mesjasz 2000; Watson 2005):
– warunek racjonalności podmiotu (individual rationality constraint – IR) albo warunek uczest-nictwa (participation condition – PC), oznaczający, że podmiot nie może podejmować działań zmniejszających własne korzyści, co przejawia się w tym, że każda ze stron ma pewną graniczną wartość użyteczności (reservation utility) lub inaczej indywidualny poziom użyteczności
(indivi-dual rationality level), albo po prostu poziom odniesienia będący użytecznością podjęcia zupełnie innego działania;
– warunek zachowania zgodności bodźców (incentive compatibility constraint – IC) albo inaczej warunek motywacyjny (incentive condition), według którego przedstawiciel powinien być motywo-wany w taki sposób, aby działał zgodnie z interesem mocodawcy nawet wtedy, gdy ten nie może obserwować działania agenta.
Głównym celem artykułu jest wykazanie, że na gruncie teorii agencji, w warunkach asymetrii informacyjnej i kosztów realizacji kontraktów standardowa umowa kredytowa jest optymalną for-mą umowy dłużnej. Nie jest to oczywiste, gdyż umowa kredytowa mogłaby zostać skonstruowana np. według zasady spłaty proporcjonalnej do wyników przedsięwzięcia finansowanego kredytem. W praktyce gospodarczej nie spotyka się jednak powszechnie umów dłużnych uzależniających wy-sokość spłaty zadłużenia od stanów natury, czyli wyników przedsięwzięcia. Standardowa umowa kredytowa jest natomiast najczęściej zawieranym kontraktem dłużnym.
Dodatkowym celem artykułu jest przedstawienie rozwoju modelowania relacji kredytodawca – kredytobiorca w powiązaniu z postępem teorii gier i ekonomii informacji, począwszy od symetrii informacji, przez statyczną grę bayesowską po dynamiczną grę bayesowską i grę sygnalizacyjną.
Dalsza część artykułu jest zorganizowana następująco. W części drugiej przedstawiono klasycz-ny model kredytowania w warunkach pełnej symetrii informacyjnej. Okazuje się, że w takich wa-runkach optymalna umowa dłużna wiąże wysokość spłaty zadłużenia z wynikami przedsięwzięcia i umowa ta nie przypomina standardowej umowy kredytowej. W części trzeciej poddano analizie model kosztownej weryfikacji Gale’a i Hellwiga (1985), w którym istnienie asymetrii informacyj-nej i kosztów weryfikacji wyników kredytobiorcy powoduje, że standardowa umowa kredytowa staje się optymalnym kontraktem dłużnym. Wpływ kosztów sądowych egzekwowania umowy na kształt optymalnej umowy dłużnej jest rozważany w części czwartej. Stosując model kosztownego wymuszenia Krasy i Villamila (2000), wykazano, że w sytuacji kosztownego wymuszenia spłaty zadłużenia standardowa umowa kredytowa jest również optymalną umowa długu. W części piątej, korzystając z modelu Carliera i Renou (2005), znaleziono warunki, w których standardowa umowa kredytowa jest optymalnym kontraktem dłużnym, w sytuacji gdy oceny kredytodawcy i kredyto-biorcy na temat zwrotu z przedsięwzięcia są różne. Artykuł kończy się podsumowaniem.
2. Optymalny kontrakt w warunkach symetrycznej informacji
Ważnym zagadnieniem dotyczącym teorii finansów jest określenie optymalnego kształtu umowy kredytowej. Jej warunki mogą być dowolnie precyzowane przez kredytodawcę i kredytobiorcę w zależności od siły przetargowej obydwu stron. Wydawać by się mogło, że najlepszym rozwiąza-niem byłoby szczegółowe zdefiniowanie wszystkich stanów natury i przypisanie do nich zachowań
A. Paliński
96
wymaganych od obydwu stron kontraktu, w tym wysokości spłaty kredytu. Byłby to tak zwany kon-trakt zależny od stanów natury (state contingent). Najczęściej spotykaną formą umowy dłużnej jest jednak standardowa umowa kredytowa. Jest to kontrakt (standard debt contract – SDC), w którym dłużnik zobowiązuje się spłacić określoną w umowie stałą kwotę R1, a niemożność jej spłaty
po-zwala bankowi przejąć całe przepływy pieniężne wygenerowane przez przedsięwzięcie. W dalszej części pracy spróbujemy wyjaśnić, dlaczego standardowa umowa kredytowa jest powszechnie używana.
Rozważmy gospodarkę o dwóch okresach t = 0, 1, w której wytwarzane jest jedno dobro (Freixas, Rochet 1997). W okresie t = 0 kredytobiorca może uzyskać kredyt, który w całości zainwe-stuje w technologię wytwarzającą w okresie t = 1 wielkość dobra będącą zmienną losową Y = f(L). Zakładamy, że kredytobiorca w okresie t = 0 nie posiada własnych środków finansowych i całość środków L musi pożyczyć od kredytodawcy. Preferencje kredytobiorcy uB i kredytodawcy uL
scha-rakteryzowane funkcjami użyteczności von Neumana-Morgensterna są klasy C2, wklęsłe i ściśle
rosnące.
Zakładamy także, iż wymuszenie realizacji kontraktu (enforcement) jest w pełni skuteczne i pozbawione kosztu. Kredytodawca, w sytuacji niewywiązania się z umowy przez kredytobiorcę, może zatem bez jakichkolwiek dodatkowych warunków (np. zgody sądu) i bez ponoszenia kosztów przejęcia aktywów kredytobiorcy egzekwować swoje należności. Wyniki przedsięwzięcia są obser-wowalne dla wszystkich stron bez żadnego kosztu.
W sytuacji pełnej symetrii informacyjnej kredytodawca i kredytobiorca obserwują realizację przedsięwzięcia ex post. Możliwe jest zatem podpisanie umowy określającej ex ante podział pomię-dzy strony kontraktu wielkości dobra y, będącego realizacją zmiennej losowej Y w okresie t = 1.
Umowa kredytowa R = R(y) jest funkcją określającą płatność kredytobiorcy na rzecz kredyto-dawcy w zależności od stanu natury stanowiącego wynik podjętej inwestycji. Umowa kredytowa określa zatem podział dobra y będącego realizacją zmiennej losowej pomiędzy strony umowy. Niech R(·) będzie funkcją ciągłą i różniczkowalną klasy C1. Charakterystykę optymalnej umowy
kredytowej R(·) można znaleźć, rozwiązując następujące zadanie optymalizacji: )] ( ( [ maxE uB Y R Y R 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' y R y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c s i y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax,i, , ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (1) przy następujących ograniczeniach:)] ( ( [ maxR EuB YRY 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w y R y R u y R y R y u y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' R y y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax,i, , ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (IR) (1.1) )] ( ( [ maxR EuB YR Y 1 0 ))] ( ( [uL R Y uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' R y y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax, i, , ( , ) (1 ) ( ,) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (LL) (1.2)Przy tak skonstruowanym zadaniu cała siła przetargowa zostaje umieszczona po stronie kredytobiorcy, dla którego funkcja użyteczności jest malejąca względem R(·), gdyż otrzymuje on w wyniku spłaty dochód równy y – R(y). Rozwiązanie powyższego programu jest określone przez graniczną wartość użyteczności kredytodawcy u0
L ze względu na monotoniczność warunku
indy-widualnej racjonalności (IR). Oczekiwana użyteczność kredytodawcy, która jest rosnąca względem
R(·), jest sprowadzana do wartości granicznej u0
L, co odpowiada w pełni konkurencyjnemu rynkowi
Lemat 1. W warunkach doskonałego rynku kredytowego optymalna umowa dłużna jest funkcją o nachyleniu określonym przez indeksy bezwzględnej awersji względem ryzyka kredytobiorcy IB
i kredytodawcy IL, której pochodna jest wyznaczona wzorem:
0 ))] ( ( [uL R Y uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' y R y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c s i y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax, i, , ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (2) Dowód. Pomińmy dla uproszczenia warunek ograniczonej odpowiedzialności kredytobiorcy (LL – limited liability). Funkcja Lagrange’a przyjmuje wówczas następującą postać dla każdego y będącego realizacją zmiennej losowej Y:(3) )] ( ( [ maxR E uB YRY 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' y R y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax,i, , ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13Warunek konieczny istnienia ekstremum wymaga między innymi spełnienia następującego kryterium: )] ( ( [ maxR EuB YR Y 1 0 ))] ( ( [uL R Y uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' R y y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax,i, , ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (4) co po przekształceniach prowadzi do )] ( ( [ maxE uB Y R Y R 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' y R y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax,i, , ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (5) Różniczkując powyższe równanie względem y, otrzymujemy)] ( ( [ maxR EuB YRY 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w y R y R u y R y R y u y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' R y y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y s i ric si B s hs i ds B R C imax, i, , ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( ,) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (6) Po wprowadzeniu indeksów bezwzględnej awersji względem ryzyka (zob. np. Jajuga, Jajuga 2001) dla kredytodawcy i kredytobiorcy postaci:)] ( ( [ maxEuB Y R Y R 1 0 ))] ( ( [uL R Y uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' y R y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c s i y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y s i r ics i B s h si ds B R C imax, i, , ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( ,) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 oraz )] ( ( [ maxR EuB YRY 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w y R y R u y R y R y u y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' R y y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i,maxi, ,>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax,i, , ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (7) uzyskujemy ostatecznie zależność)] ( ( [ maxR EuB YRY 1 0 ))] ( ( [uL R Y uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' R y y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y
]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i, i, , max>
@
³s y s i r ics i B s h si ds B R C imax, i, , ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( ,) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13A. Paliński
98
Bank mający zdywersyfikowany portfel kredytowy charakteryzuje się neutralnością względem ryzyka i tym samym liniową zależnością użyteczności od dochodu. Stąd druga pochodna funkcji użyteczności uL''(·) = 0, co prowadzi do IL(·) = 0. Przedsiębiorca zwykle charakteryzuje się awersją
względem ryzyka, zatem uB''(·) ≠ 0 i IB(·) ≠ 0, a stąd R'(y) = IB(·)/IB(·) = 1.
Wniosek 1. W sytuacji pełnej symetrii informacyjnej pomiędzy agentami optymalną umową finansową nie jest standardowa umowa kredytowa, ale kontrakt uwzględniający płatności dla wszystkich stanów natury (state contingent contract – SCC), o funkcji liniowej względem y i kącie nachylenia π/2, co obrazuje wykres 1.
W warunkach doskonałego rynku, na którym nie byłoby asymetrii informacyjnej oraz nie występowałyby koszty transakcyjne, dług przypominałby kapitał własny, a spłata dla dostar-czyciela kapitału zależałaby od obserwowanych wyników przedsięwzięcia. Wynik inwestycji byłby dzielony między strony umowy zgodnie z awersją do ryzyka. W praktyce rynkowej nie obserwujemy jednak takiej sytuacji – umowy dłużne przybierają zwykle formę standardowej umowy kredytowej. Przedstawiony model nie tłumaczy zatem powszechności występowania standardowej umowy kredytowej. Niemniej jednak spotyka się w praktyce bankowej umowy, które zawierają element podziału ryzyka, np. ryzyka stopy procentowej – przez wprowadzenie zmiennego oprocentowania – lub ryzyka walutowego przez wprowadzenie do umowy różno-rodnych instrumentów pochodnych. Spotykane są również obligacje zamienne na akcje lub akcje uprzywilejowane zamienne na obligacje. Nie zmienia to jednak znaczenia wniosku 1, gdyż ryzyko wyniku przedsięwzięcia w większości umów dłużnych nie jest dzielone pomiędzy strony umowy kredytowej.
Wykres 1
Standardowa umowa kredytowa (SDC) i kontrakt finansowy zależny od stanu natury (SCC) w warunkach pełnej symetrii informacyjnej
y R(y) R1 y1 SDC SCC
3. Optymalny kontrakt kredytowy w warunkach asymetrii informacyjnej
– model kosztownej weryfikacji
W sytuacji asymetrii informacyjnej, gdy stan natury po zawarciu kontraktu jest znany tylko jed-nemu z agentów, nie można uwzględnić w kontrakcie warunków płatności w uzależnieniu od nieobserwowalnych dla wszystkich stron umowy stanów natury. Zgodne z intuicją i praktyką gospodarczą jest przyjęcie założenia, że można poznać stan natury dzięki zastosowaniu kosz-townego mechanizmu weryfikacji wyników przedsięwzięcia. Koszty weryfikacji mogą obejmo-wać koszty zatrudnienia firmy audytorskiej, koszty związane z postępowaniem układowym bądź upadłościowym lub inne. Możliwe jest zatem pośrednie powiązanie płatności z wynikami przedsięwzięcia za pośrednictwem procesu weryfikacji. Pierwszym modelem, za pomocą którego dokonano próby kompleksowego wyjaśnienia wpływu kosztów weryfikacji na kształt optymalnej umowy był model Towsenda (1979). Model ten wykazał optymalność standardowej umowy kredytowej dla kontraktu deterministycznego, tzn. takiego, w którym kosztowny audyt jest podejmowany na pewno, ale tylko w warunkach określonych w umowie. W pozostałych warunkach audyt nie jest podejmowany w ogóle. Model Towsenda wskazał również na to, że kontrakt stochastyczny, w którym audyt jest podejmowany losowo, dominuje w sensie Pareto standardową umowę kredytową.
Rozwinięciem ogólnego modelu finansowego Towsenda w odniesieniu do instytucji kredyto-wo-depozytowych jest model Gale’a i Hellwiga (1985), którego główne wyniki zostały następnie potwierdzone przez Williamsona (1986; 1987). Model Gale’a-Hellwiga przedstawia się następująco. Przedsiębiorca i kredytodawca w okresie t = 0 zamierzają zawrzeć kontrakt dotyczący finanso-wania przedsięwzięcia, którego wynik będący zmienną losową nastąpi w okresie t = 1. Nakłady inwestycyjne przewyższają wartość majątku netto przedsiębiorcy, zatem w celu realizacji projektu przedsiębiorca musi pozyskać zewnętrzne źródło finansowania pochodzące od jednego kredyto-dawcy (inwestora). Kredytodawca może pozyskiwać na konkurencyjnym rynku środki finansowe o stopie procentowej wolnej od ryzyka równej r, gdzie r > 0.
Początkowy majątek netto przedsiębiorcy wynosi W0 = A0 – R0, gdzie A0 oznacza aktywa
począt-kowe, a R0 – początkowe zadłużenie. Do poniesienia nakładów inwestycyjnych w wysokości i
wy-magane są wkład (kapitał) własny przedsiębiorcy Ci oraz kredyt L = i + R0 – Ci, gdzie 0 ≤ Ci ≤ A0, oraz A0 – R0< i. Przedsiębiorca maksymalizuje wartość oczekiwaną swojego majątku w okresie t = 1.
Kredytodawca i kredytobiorca charakteryzują się neutralnością względem ryzyka. Dzięki temu problem podziału ryzyka staje się mało istotny, a cała uwaga może być skoncentrowana na przychodach i kosztach przedsięwzięcia. W momencie podpisywania kontraktu obaj agenci mają w pełni symetrycz-ną informację. Zwrot z projektu inwestycyjnego realizowany jest już w warunkach asymetrii informa-cyjnej – przedsiębiorca obserwuje realizację projektu bez żadnych kosztów, podczas gdy kredytodawca musi ponieść koszt audytu c = c(s,i), dzięki któremu uzyskuje pełną informację o zwrocie z projektu, gdzie s oznacza stan natury s∈S = ℜ+. Koszt audytu jest faktycznie funkcją aktywów kredytobiorcy, gdyż
i = L + Ci – R0 ≤ A0 + L – P0. Inwestycja w okresie t = 0, o nakładzie i przynosi w okresie t = 1 przy stanie natury s zwrot y = y(s, i), będący zmienną losową o gęstości h(s, i).
Założenie 1. y: ℜ+ x ℜ+ → ℜ+ jest klasy C2 oraz c: ℜ+ x ℜ+ → ℜ+ jest klasy C2, ponadto y(0, i) =
A. Paliński
100
)] ( ( [ maxR EuB YRY 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' R y y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y]
)
1
(
)
,
(
[
max
arg
0 *E
y
s
i
r
i
i
i t 8 EW B R C i, i, , max>
@
³s y si r ic si B s h si ds B R C imax, i, , ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12³
s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13co w uproszczeniu oznacza wklęsłość funkcji przychodu oraz wypukłość funkcji kosztu audytu – obydwie względem wielkości inwestycji.
Przedsiębiorca, dążąc do maksymalizacji wartości oczekiwanej swojego majątku, stara się zapewnić warunek uczestnictwa (PC) kredytodawcy. Zadanie można zdefiniować jako grę sygnali-zacyjną (signaling game) Г≡(i, Ci, R, W, M, B) (por. Attar, Campioni 2003). Jeden z graczy –
kredyto-biorca – kontroluje w niej informację i wysyła sygnał na temat zwrotu z przedsięwzięcia, podczas gdy drugi gracz – kredytodawca – obserwuje sygnał, ocenia rzeczywisty zwrot z projektu za pomocą reguły Bayesa i na tej podstawie podejmuje akcję – przeprowadza audyt lub nie. W oryginale Gale i Hellwig nie stosowali koncepcji gry sygnalizacyjnej, lecz jedynie oznaczali zgłaszany przez przed-siębiorcę stan natury jako s dla rzeczywistego stanu. Sposób modelowania finansowego jako gry sygnalizacyjnej stał się bowiem popularny pod koniec lat 90. ubiegłego wieku, mimo ważnej pub-likacji Spence’a z 1973 r. dotyczącej rynku pracy. Ostateczny kształt grom sygnalizacyjnym nadali dopiero Cho i Kreps w 1987 r.
W grze kredytobiorcy i kredytodawcy W oznacza wartość majątku przedsiębiorcy w okresie
t = 1, M stanowi przestrzeń sygnałów kredytobiorcy, czyli zgłaszany przez kredytobiorcę przychód wygenerowany przez przedsięwzięcie, R = R(m) określa funkcję spłaty kredytu, będącą funkcją zgłoszonego przez kredytobiorcę stanu natury m. Przy raportowaniu zgodnym z rzeczywistością zachodzi m = s. Funkcja określająca obszar audytu B = B(m) przyjmuje dwie wartości – B = {0, 1},
przy czym B = 1 wyznacza zbiór, w którym kredytodawca podejmuje audyt. Ze względu na wysokie
koszty audytu, którymi w przypadku fałszywej sprawozdawczości zostanie obciążony kredytobior-ca, zbiór ten może być utożsamiany z obszarem upadłości (B – bankruptcy). B = 0 oznacza brak audytu – zbiór ten stanowi dopełnienie zbioru B i zwykle oznaczany jest Bc.
W warunkach symetrii informacyjnej możliwe byłoby uzyskanie pierwszego najlepszego
(first-best) poziomu inwestycji w drodze maksymalizacji wartości oczekiwanej przychodu z inwestycji. Pominięcie wartości oczekiwanej użyteczności obydwu agentów i zastąpienie jej wartością oczeki-waną przychodu jest możliwe dzięki założeniu o neutralności względem ryzyka (liniowa funkcja użyteczności względem przychodu).
W warunkach symetrii informacji lub braku kosztu monitoringu zadanie optymalizacji, którego celem jest maksymalizacja wartości oczekiwanej zwrotu z przedsięwzięcia ponad alternatywny koszt inwestycji, przedstawiałoby się następująco:
)] ( ( [ maxR EuBYRY 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( ( )) ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' y R y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) () ( ) ( ' '' L L L uu I ) () ( ) ( ' '' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y ] ) 1 ( ) , ( [ max arg 0 * E y si ri i i t 8 EW B R C i,maxi, ,
>
@
³s y si ricsi Bs hsids B R C imax,i,, ( , ) (1 ) ( ,) ( ) ( ,) 12 ³s R(s)h(s,i)ds (1r)(iR0Ci) 12.1 °¯ ° ® t ' 1 ' 1 1 0 ' R y gdy R y gdy B 13 (8) Zadanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie ze względu na założenie 1 o wklęsłości funkcji przychodu względem wartości inwestycji i. Wartość, ta zgodnie z przyjętym wcześniejszym warun-kiem, musi być większa od wartości początkowej majątku przedsiębiorcy W0.W przypadku asymetrii informacji mamy jednak do czynienia z grą z niekompletną informacją, w przypadku której problem kontraktu można sprowadzić do znalezienia równowagi Nasha w grze bayesowskiej. Uzyskany wynik będzie jedynie drugim najlepszym (second-best) rozwiązaniem problemu.
Wartość majątku przedsiębiorcy dla stanu natury s w sytuacji raportowania przez niego stanu
m, ale takiego, dla którego B(m) = 0, czyli nie występuje audyt, wynosi:
W(s,m) = y(s,i) + (1 + r)(A0 – Ci ) – R(m). (9)
Zgłoszenie stanu natury m jest możliwe wtedy, gdy W(s,m) ≥ 0. Lemat 2. Warunek zgodności bodźców (IC) zachodzi, jeżeli: 1) istnieje stała R1taka, że R(m) = R1, jeżeli tylko B(m) = 0,
2) dla każdego (s, m) takiego, że B(s) = 0, B(m) = 1 i W(s, m) ≥ 0, zachodzi R1 – R(m) ≥ c(m, i).
Szkic dowodu. Sposób dowodzenia warunku (1) jest względnie oczywisty – jeżeli spłata nie jest stała, a przychód z projektu jest wysoki w obszarze bez audytu, to kredytobiorca może zawsze zgłosić niższy przychód i nadal unikać audytu. Warunek (2) nakłada wymóg, aby zwrot dla kredy-todawcy był wyższy niż koszt audytu, gdyż w przeciwnym wypadku przedsiębiorcy opłacałoby się zapłacić wyższe R1 dla uniknięcia kosztu audytu. *
Zasada ujawnienia – revelation principle (Mayerson 1979) zastosowana do umów dłużnych sta-nowi, że dla kontraktów bez możliwości renegocjacji każda bayesowska równowaga Nasha w grze sygnalizacyjnej jest słabo dominowana przez równowagę, w której agenci zgłaszają prawdziwy stan natury (Dewatripont, Maskin 1990). W rozważanym zadaniu, przy założeniu braku renegocjacji, przestrzeń sygnałów jest zatem równa przestrzeni stanów natury m = s. Przyjęcie założenia o braku renegocjacji jest możliwe, gdyż to przedsiębiorca jest projektantem kontraktu (mechanism designer) i w umowie uwzględniona już jest wartość ewentualnej restrukturyzacji finansowej. Przy takich założeniach rozwiązaniem zadania będzie bayesowska równowaga Nasha w grze statycznej.
Kontrakt zostaje zatem zdefiniowany jako wektor (i, Ci, R, W, B), a celem optymalizacji jest
obec-nie znalezieobec-nie umowy maksymalizującej wartość oczekiwaną majątku przedsiębiorcy EW przy zapewnieniu nieujemnej wartości oczekiwanej przychodu kredytodawcy (warunek indywidualnej racjonalności kredytodawcy – IR) oraz zgodności bodźców (IC). Dodatkowo bierzemy pod uwagę jedynie zbiór strategii czystych kredytodawcy (B = 0 albo B = 1). Optymalny kontrakt jest określony przez następujące zadanie
)] ( ( [ maxR EuB YRY 1 0 ))] ( ( [uL RY uL E t 1.1 y y R d d ( ) 0 1.2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 2 ] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), ( ( 0 L L B y R y u R y u u y y R L O O 3 0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) , ), ( ( ' ' ' ' w w u y R y R y u R y R y y y y R L L B O O 4 O )) ( ( )) ( ( ' ' y R u y R y u L B 5 0 ) ( )) ( ( )) ( ( )] ( 1 [ )) ( ( )) ( ( ' ' '' ' '' y R y R u y R u y R y R y u y R y u L L B B 6 ) ( ) ( ) ( ''' L L L uu I ) ( ) ( ) ( ''' B B B uu I 7 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ' y R I y R y I y R y I y R L B B 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 2 2 2 2 2 t w w t w w t w w ! w w w w w ! w w s c i c i c i s y i y i y
