Wektor krętu układu punktów materialnych
Wektor krętu układu względem nieruchomego bieguna
Rozważmy układ materialny złożony z n punktów, na który działają siły zewnętrzne. Obieramy pewien stały punkt O. W punkcie tym zaczepimy układ odniesienia, względem którego będziemy opisywać zjawisko ruchu. Oznaczamy przez ̅ promień wodzący dowolnego punktu układu, poprowadzony z punktu O (rys. 20). Wektor pędu i-tego punktu wynosi:
̅ ̅ (1)
Możemy wyznaczyć moment pędu układu punktów materialnych:
̅ ∑ ( ̅ ̅) (2)
Jest to tzw. wektor krętu układu punktów materialnych określony względem bieguna O. Jest to więc suma geometryczna wektorów momentów pędu wszystkich punktów materialnych określonych wzglądem bieguna O. Wielkość tę możemy zapisać inaczej w postaci wyznacznikowej:
̅ ∑ | ̅ ̅ ̅
̇ ̇ ̇
|
(3)
Powyższy wyznacznik możemy przedstawić w postaci:
Wartość wektora krętu wyznaczymy z zależności:
√ (5)
Wielkości pod pierwiastkiem wyznaczamy, wykorzystując zapis wyznacznikowy,
wówczas: { ∑ ( ̇ ̇) ∑ ( ̇ ̇) ∑ ( ̇ ̇) (6)
Podane wzory (6) to rzuty wektora krętu określonego wzglądem bieguna O na poszczególne osie. Są to również wartości wektora krętu układu punktów materialnych, określonego względem odpowiednich osi. Równanie (4) możemy zapisać w postaci:
̅ ̅ ̅ ̅ (7)
gdzie: ̅ -wektor krętu układu punktów materialnych określony względem osi x, ̅ - wektor krętu określony względem osi y,
̅ - wektor krętu określony względem osi z. Jednostką krętu w układzie SI jest [ ].
Równanie (2) różniczkujemy względem czasu i otrzymujemy:
̅̇ ∑ ( ̅ ̇ ̅) ∑ ( ̅ ̅̇ ) (8) Wiemy, że: ̅̇ ̅, ̅̇ ̅ co uwzględnimy w podanym wzorze i otrzymamy:
∑ ( ̅̇ ̅) ∑ ( ̅ ̅) , ponieważ iloczyn wektorowy dwóch równoległych wektorów wynosi O . W konsekwencji otrzymamy:
̅̇ ∑ ( ̅ ̅̇ ) ∑ ( ̅ ̅) (9) Ponieważ ̅ ̅ ̅, możemy więc zapisać:
̅̇ ∑ ( ̅ ̅) ∑ ( ̅ ̅) ∑ ( ̅ ̅) (10) W równaniu tym:
∑ ̅ ( ̅) ∑ ( ̅ ̅) to geometryczna suma wektorów momentów wszystkich sil zewnętrznych działających na układ punktów materialnych określonych względem bieguna O,
∑ ̅ ( ̅) ∑ ( ̅ ̅) to geometryczna suma wektorów momentów pochodzących od wszystkich sił wewnętrznych układu punktów materialnych określo-nych wzglądem bieguna O, ten moment jest równy 0.
Uwzględniając powyższe wielkości, możemy zapisać, że:
̅̇ ∑ ( ̅ ̅) ∑ ̅ ( ̅) (11)
Z równania (11) wynika, że pierwsza pochodna po czasie wektora krętu określonego względem bieguna O jest równa wektorowi momentu ogólnego sil zewnętrznych określonego względem tego samego bieguna. Jeżeli wzór (11) zrzutujemy na osie układu odniesienia, to dostaniemy układ równań:
{ ̇ ∑ ( ̈ ̈) ∑ ( ̅) ̇ ∑ ( ̈ ̈) ∑ ( ̅) ̇ ∑ ( ̈ ̈) ∑ ( ̅) (12) Jeżeli ∑ ̅ ( ̅) , to ̅̇ , czyli: ̅ (13)
Wektor ten pokazano na rys. Zależność (13) to tzw. zasada zachowania krętu układu punktów materialnych. Po zrzutowaniu na osie układu odniesienia, równanie (13) zapiszemy w postaci:
{
Ruch obrotowy bryły wokół nieruchomego punktu (ruch kulisty)
Opis ruchu kulistego bryły
Bryła obraca sią wokół nieruchomego punktu, co pokazano na rys. Obierzmy pewien punkt O w przestrzeni i umieśćmy w nim początek układu współrzędnych Oxyz. Załóżmy, że punkt ten związany z dowolną bryłą jest stale nieruchomy. Mówimy wtedy, że bryła ta jest w ruchu kulistym i posiada trzy stopnie swobody.
Opis ruchu wymaga podania trzech równań ruchu. W celu określenia tych równań, za podstawą najkorzystniej przyjąć równanie krętu względem nieruchomego punktu, czyli punktu O. Kret bryły określony wzglądem tego punktu wynosi:
̅ ∑ ( ̅ ̅) (1)
Po zrzutowaniu tego równania na układ odniesienia dostaniemy:
{
∑ ( ̇ ̇) ∑ ( ̇ ̇) ∑ ( ̇ ̇)
(2)
Są to wzory na wyznaczenie krętu bryły wzglądem nieruchomych osi układu odniesienia Oxyz. Prędkość i-tego punktu jest określona zależnością:
̅ ̅ ̅ ∑ |
̅ ̅ ̅
|
Po rozwinięciu wyznacznika dostajemy składowe prędkości na osiach układu odniesienia: { ̇ ̇ ̇ (4)
Wzory (4) wstawiamy do układu równań (2) i dostajemy:
{
∑ ( ) ∑ ∑
∑ ∑ ( ) ∑
∑ ∑ ∑ ( )
(5)
Równanie (5) możemy zapisać w postaci:
{
(6)
gdzie:
I
x, l
y, l
z, I
xy, I
xz, I
yz - masowe momenty bezwładności i dewiacji bryły względemW równaniach tych rzuty prędkości kątowej oraz masowe momenty bezwładności są funkcją czasu. Jeżeli zróżniczkujemy wzory (6) po czasie, to dostaniemy:
{
̇ ∑ ( ̅) ̇ ∑ ( ̅) ̇ ∑ ( ̅)
(7)
Aby równania (7) opisywały obrót bryły wokół osi xyz, konieczna jest znajomość, jak masowe momenty bezwładności i dewiacji występujące w równaniach (6) zmieniają sią w czasie. Zagadnienie to jest bardzo złożone, dlatego lepiej jest nie opisywać ruchu względem układu xyz, lecz względem osi x1y1z1, które są związane z bryłą i są głównymi
osiami bezwładności. Kręt bryły względem punktu O możemy przedstawić następująco: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (8)
Kret względem osi ruchomych określimy przez analogię do układu równań (6):
{
Jeżeli osie x1y1z1 będą głównymi osiami bezwładności, to wówczas: { (10)
Interesuje nas zmiana w czasie wektora krętu, czyli:
̅̇ ̇ ̅ ̇ ̅ ̇ ̅ ̅̇ ̅̇ ̅̇ (11)
Pochodna wektora jednostkowego jest równa prędkości liniowej końca tego wektora, czyli: { ̅̇ ̅ ̅ ̅̇ ̅ ̅ ̅̇ ̅ ̅ (12)
Zależności (12) wstawiamy do wzoru (11) i dostajemy:
̅̇ ̇ ̅ ̇ ̅ ̇ ̅ ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) ∑ ̅ ( ̅) (13) gdzie: ̅ ̅ ̅ ̅ .
Określimy jeszcze prędkość, z jaką porusza się koniec wektora krętu bryły względem osi ruchomych x1y1z1: ̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ | (14)
Po rozwinięciu wyznacznika będziemy mieli:
̅ ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅
(15) Pochodna krętu będzie się więc wyrażała następująco:
̅̇ [ ̇ ( )] ̅ [ ̇ ( )] ̅ [ ̇ ( )] ̅ ∑ ̅ ( ̅)
(16)
Sumę momentów pochodzących od sił zewnętrznych względem punktu O możemy zapisać:
∑ ( ̅) ̅ ∑ ( ̅) ̅ ∑ ( ̅) ̅ ∑ ̅ ( ̅)
Ostatecznie równania opisujące zjawisko ruchu będą mieć postać: { ̇ ( ) ∑ ( ̅) ̅ ̇ ( ) ∑ ( ̅) ̅ ̇ ( ) ∑ ( ̅) ̅ (18)
Równania (18) opisują ruch kulisty jako trzy obroty wokół osi x1y1z1. Jeżeli osie te są
głównymi osiami bezwładności, to wówczas:
{
̇ ( ) ∑ ( ̅) ̅ ̇ ( ) ∑ ( ̅) ̅ ̇ ( ) ∑ ( ̅) ̅
(19)
Zależności (19) to tzw. równania Eulera opisujące ruch kulisty bryły jako trzy obroty wokół osi x1y1z1, (nieruchomo związanych z bryłą), które są głównymi osiami
bezwładności. Rozwiązanie tych równań znane jest tylko dla szczególnych przypadków ruchu. Określenie, jak w ruchu kulistym bryły zmieniają się kąty Eulera, wynika z układu (19) oraz dodatkowych równań wynikających z kinematyki ruchu kulistego.
Opisując kinematykę ruchu kulistego bryły, podajemy tzw. kąty Eulera, co pokazano na rys.
Oxyz - nieruchomy układ odniesienia
x1y1z1 - ruchomy układ odniesienia związany z bryłą N - tzw. linia węzłów (krawędź przecięcia płaszczyzny xy z płaszczyzną x1y1)
̇ - tzw. prędkość kątowa obrotu własnego ̇ - tzw. prędkość kątowa precesji
̇ - tzw. prędkość kątowa nutacji ( ) - tzw. kąt obrotu własnego ( ) -tzw. kąt precesji
Zgodnie z rys. rzuty wektora chwilowej prędkości kątowej na odpowiednie osie będą następujące: { ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (20)
Uproszczona teoria ruchu kulistego
Zbadamy szczególny przypadek ruchu kulistego. Załóżmy, że bryła ma oś symetrii, i że środek ruchu kulistego O leży na tej osi. Elipsoida bezwładności takiego ciała w punkcie O jest elipsoidą obrotową. Oś symetrii i każda oś do niej prostopadła są głównymi osiami bezwładności ciała w punkcie O. Załóżmy, że ciało wykonuje specjalny rodzaj ruchu polegający na tym, że obraca się wokół osi symetrii ze stałą co do wartości prędkością kątową ω1, a jednocześnie oś ta obraca sią wokół innej osi nieruchomej
przecinającej się z osią obrotu własnego w punkcie O, ze stałą prędkością kątową ω2.
Ruch taki nazywa się precesją regularną. Zbadamy, jakie siły należy przyłożyć do ciała, aby utrzymać go w takim ruchu.
Przyjmijmy początek układu ruchomego i nieruchomego w środku ruchu kulistego O (rys.). Oś z układu nieruchomego skierujemy wzdłuż wektora ̅ . Oś z1
układu ruchomego wzdłuż osi symetrii, a jednocześnie osi obrotu własnego, czyli zgodnie z wektorem ̅ . Wektor wypadkowy prędkości kątowej jest złożeniem geometrycznym prędkości kątowej obrotu własnego ̅ i prędkości kątowej precesji ̅ . Mamy więc:
{
̇ ̇
Równania (1) opisują prędkość kątową ruchu kulistego. Ponieważ ω3=0 (prędkość
kątowa nutacji), to mówimy, że ruch taki jest precesją regularną. Jeżeli ω1>>ω2, to
można przyjąć, że:
̅ ̅ ̅ (2)
gdzie Iz1 - moment bezwładności bryły względem osi obrotu własnego.
Przyjmujemy więc, że kręt rozpatrywanego ciała leży na osi obrotu i jego wartość nie zależy od ω2:
̅ ̅ ̅ (3)
Zmiana krętu wywołana jest więc tylko obrotem wektora krętu razem z osią z1 wokół
nieruchomej osi obrotu z. Zmianę tę zapiszemy w postaci:
̅̇ ̅ ̇ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ ( ̅) (4)
Wzór (4) jest to tzw. twierdzenie Resala, opisujące ruch kulisty będący precesją regularną. W równaniu tym ̅ , zgodnie z iloczynem wektorowym, jest wektorem prędkości końca wektora krętu ̅ i jest równy sumie wszystkich sił zewnętrznych działających na bryłę.
Przykład 12
Określić reakcję podłoża działającą na krążek toczący się po powierzchni jak na rys.
Dane:
P1=P - siła ciężkości działająca na bryłę [N],
ω2 - const. - prędkość kątowa precesji [rad/s]
r,R - odpowiednie wielkości geometryczne [m].
Szukamy prędkości kątowej obrotu własnego. Aby ją znaleźć, musimy określić położenie chwilowej osi obrotu. Oś chwilowa zawiera punkty, których prędkość liniowa w danej chwili wynosi 0. Jeden taki punkt to środek ruchu kulistego O, drugi to punkt B zetknięcia krążka z nieruchomym podłożem. Na osi tej leży wektor prędkości kątowej ω. Przyjmijmy punkt O za początek nieruchomego układu współrzędnych xyz oraz ruchomego układu odniesienia x1y1z1. Oś z przyjmujemy tak, aby kierunek prędkości ̅ pokrywał się z
kierunkiem osi z. Oś z1 układu ruchomego jest osią obrotu własnego bryły. Prędkość
kątowa obrotu własnego jest składową prędkości bezwzględnej. Jej wartość znajdziemy z warunku:
gdzie
czyli
Zgodnie z uproszczoną teorią ruchu kulistego kręt krążka względem środka ruchu kulistego będzie wynosił:
̅ ̅ ̅
Pochodna krętu po czasie zgodnie ze wzorem (4) jest równa: ̅̇ ̅ ̇ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ ( ̅) gdzie
Uwzględniając wartość wektora krętu, otrzymamy:
prędkość obrotu własnego , co po podstawieniu do podanego wcześniej wzoru da:
Jest to wartość siły nacisku w punkcie B. Widzimy, że wartość ta w dużej mierze zależy od prędkości kątowej precesji ω2. Zjawisko to jest wykorzystywane np. w młynach
walcowych do zwiększania siły nacisku walca na rozdrabniany materiał. Uwaga!
Jeżeli bryła obraca się wokół własnej osi symetrii, a oś ta zmienia swoje położenie w czasie, to wówczas bryłę nazywamy żyroskopem. Analizując ruch żyroskopu, mówimy o występowaniu tzw. efektu żyroskopowego.
Na przykład na płynącym statku (rys.) prostopadle do płaszczyzny symetrii osadzony jest krążek. Układ wał - krążek obraca się ze stałą prędkością kątową ω1. Łódź może
przechylać się z burty na burtę, co opisuje współrzędna kątowa ψ. W naszym przypadku ten ruch statku jest ruchem precesyjnym. Prędkość kątowa precesji wynosi ̇. Środek ruchu kulistego znajduje się w punkcie O.
̅ ̅ ̅
jeżeli kąt precesji: ( ), to
prędkość kątowa precesji: ̇ ( ), prędkość liniowa końca wektora krętu:
( ) .
Pochodna krętu względem czasu jest równa algebraicznej sumie momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na układ wał - krążek, co zapiszemy odpowiednio:
̅ ∑ ̅ ( ̅) ̅
Krążek jest umocowany w środku wału, wobec tego: . Reakcje w łożyskach będą wice wynosiły:
( ).
Z pokazanego przykładu wynika, że jeśli w układzie występuje żyroskop, w łożyskach mają miejsce reakcje o charakterze dynamicznym. Pochodzą one od tzw. zjawiska żyroskopowego, któremu towarzyszy pojawienie się momentu zwanego momentem żyroskopowym. Moment ten to oddziaływanie żyroskopu na krępujące więzy, które wywołują ruch żyroskopowy:
̅ ̅
Ruch bąka symetrycznego
Bąk wiruje z prędkością ω1, wokół własnej osi z1, która
w danej chwili pokrywa się z osią z układu nieruchomego xyz (rys).
Kręt bąka względem środka ruchu kulistego wynosi odpowiednio:
̅ ̅ ̅ co do wartości:
bo
Bąk podparty jest w punkcie O podporą typu przegub kulisty. W punkcie tym wystąpi reakcja podpory nieznana co do kierunku i wartości. Przewidujemy ją jako trzy składowe ̅ , ̅ , ̅ równoległe do odpowiednich kierunków osi układu nieruchomego. Wprowadzamy do układu chwilową siłę ̅.
̅ ∑ ̅ ( ̅) ̅̅̅̅ ̅ który co do wartości wynosi:
Zgodnie z twierdzeniem Resala mamy:
̅̇ ̅ ̇ ̅ ̅
czyli oś z wychyli się w płaszczyźnie xz o kąt α, a z nią wychyli się w tej płaszczyźnie bąk, co pokazano na rys., natomiast siła ̅ znika.
Wówczas:
̅ ̅̅̅̅ ̅ co do wartości:
̅̇ ̅ ̇ ̅ ̅
Porównując te wielkości ze sobą, otrzymujemy:
Z równania tego określimy prędkość kątową bąka wokół osi z:
.
Jest to prędkość kątowa precesji bąka. Analizowany bąk jest żyroskopem, który wykonuje ruch nazywany precesją regularną.
Uwaga! W urządzeniach nawigacyjnych wykorzystuje się żyroskop, którego rozwiązanie konstrukcyjne pokazano schematycznie na rys.
Na rysunku ω1 = const., 1, 2, 3 - ramki.
Osie obrotu tych ramek przecinają się w punkcie S, który jest środkiem masy krążka 4. Krążek 4 obraca się ze stałą prędkością kątową wokół własnej osi obrotu z1, łożyskowanej w ramce 1, oś
z1 jest główną centralną osią
bezwładności krążka.
Takie rozwiązanie nazywane jest zawieszeniem Cardana. Pozwala ono na to, aby: ̅ czyli: ̅ ̅ co do wartości:
