14. Zasady zachowania dla punktu i układu punktów materialnych: pędu, krętu, energii, zasada d’Alemberta.

1

14. Zasady zachowania dla punktu i układu punktów materialnych:

pędu, krętu, energii, zasada d’Alemberta.

x

z

O y

m υ υ υ υ υ

p=

pęd (ilość ruchu) punktu materialnego

F

( )

dt F m

d r r

υ

pochodna względem czasu pędu równa jest sile działającej na dany punkt

(

)

∫

1

1 2

t

t

dt F m

v r v

υ υ

przyrost pędu równy jest impulsowi (popędowi) siły działającej na ten punkt

Jeśli na punkt materialny nie działa żadna siła (lub działają siły równoważące się) to jego pęd pozostaje stały.

x

z

O y

m υ υ υ υ r

υ ^r r r

m r

K

= × kręt (moment pędu) punktu materialnego

F

( )

O

O r F M

dt m r d dt m

r d dt K

d r r r r

r r r

r

=

×

=

× +

×

=

υ

υ

pochodna względem czasu krętu K

punktu materialnego względem nieruchomego biegu- na O równa jest momentowi M

względem tegoż bieguna siły zewnętrznej F działającej na dany punkt

Jeżeli moment względem wybranego nieruchomego bieguna O wypadkowej sił działających na punkt materialny równy jest zeru, wówczas kręt punktu wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały

K

=const

2

υ

E_k =m

energia kinetyczna

Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt

( ) ( )

2 , 1 1

2

E W

E

E

=

−

=

∆

W zachowawczym (potencjalnym) polu sił praca sił pola równa jest różnicy energii potencjalnych

( )1 ( )2 2

,

1 Ep Ep

W = −

Gdy punkt materialny porusza się w zachowawczym polu sił, suma jego energii kinetycznej i potencjalnej, zwana energią mechaniczną, jest stała.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

1 1

m m

k p k p

E E

E E

E E

=

+

= +

Jeśli na punkt działają siły niezachowawcze (niepotencjalne) to przyrost energii mechanicznej punktu równy jest pracy tych sił

( ) E ( ) W

E

−

=

3

Układ punktów materialnych

x

z

O y

m

υ υ υ υ

F

m

F

υ υ υ υ

F

υ υ υ υ

m

i n i

mi

p^r

∑ υ

=

=

1

pęd układu punktów materialnych

∑

=

=

n i

Fi

dt p d

1

r r

pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych równa jest sumie wszystkich sił zewnętrznych działających na punkty tego układu

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Jeśli na układ punktów materialnych nie działają siły zewnętrzne, to pęd układu pozostaje stały.

x

z

O y

m

υ υ υ υ

r

F

1

m

r

F

υ υ υ υ

r

F

υ υ υ υ

m

i n

i

i i

O r m

K ^r

υ

r

∑

=

×

=

1

kręt układu punktów materialnych

∑

=

×

=

n i

i i

O r F

dt K d

1

r r r

pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego bieguna równa jest sumie momentów wszystkich sił zewnętrznych względem tegoż bieguna

ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU

Jeżeli momenty wszystkich sił zewnętrznych układu punktów materialnych względem nieruchomego bieguna są równe zeru,

to kręt układu względem tego bieguna pozostaje stały.

Zadanie 1/14

Człowiek o masie m siedzi na wózku o masie M₁poruszającym się z prędkością υ₁. W pewnej chwili przeskakuje na wózek o masie M₂poruszający się z prędkościąυ₂ odbijając się z prędkością υ względem pierwszego wózka. Obliczyć prędkości wózków po przeskoczeniu człowieka. Opory toczenia się wózków pominąć.

υ

υ

M

M

m

Zadanie 2/14

Klocek o masie m ustawiono na równi nachylonej pod kątem α i pchnięto z wysokości h z prędkością υ₀. Jaką odległość l przebędzie klocek po poziomym odcinku toru do chwili zatrzymania się, jeśli współczynnik tarcia o podłoże wynosi µ?.

m h

l α

Zadanie 3/14

W górę równi nachylonej pod kątem α pchnięto klocek z prędkością początkową υ₀. Jaką drogę przebędzie on do chwili zatrzymania się i z jaką prędkością powróci do miejsca, z którego został wypchnięty, jeśli współczynnik tarcia o równię wynosi µ? Przeprowadzić dyskusję rozwiązania.

Zadanie 4/14

Klocek o masie m zsuwa się bez prędkości początkowej wzdłuż równi nachylonej pod kątem α przebywając drogę l do chwili uderzenia w sprężynę o sztywności k. Jaką drogę l₁przebędzie klocek po odbiciu się od sprężyny, jeśli współczynnik tarcia o równię wynosi µ? Masę sprężyny pominąć.

Przeprowadzić dyskusję wyniku.

m

l

l₁ k

α

5 Zadanie 5/14

Z wierzchołka gładkiej półkuli o promieniu r zsuwa się z pomijalnie małą prędkością początkową punkt materialny o masie m. Znaleźć kąt α₀określający położenie punktu, w którym oderwie się on od powierzchni półkuli.

r m

α

^A

Zadanie 6/14

Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym pręcie AB, którego sztywność na rozciąganie równa jest k₁.Koniec B pręta opiera się o śrubową sprężynę o sztywności k₂. Obliczyć największe wydłużenie pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez prędkości

początkowej. Masę pręta i sprężyny pominąć.

A

B m

k₁ H

k₂

Zadanie 7/14

Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której nić zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?

Zadanie 8/14

Skoczek o masie m odbija się od ławki z prędkością υ₀i zjeżdża ze skoczni o wysokości h. Obliczyć reakcję podłoża na narty w punkcie A jeśli promień krzywizny toru w tym miejscu wynosi ρ. Tarcie i opór powietrza pominąć.

h

A υ₀

ρ

Zadanie 9/14

W celu pomiaru prędkości υ pocisku karabinowego o masie m oddano strzał w tzw. wahadło balistyczne, które odchyliło się od pionu o kąt α Obliczyć prędkość pocisku, jeśli wiadomo, że masa wahadła równa jest M, zaś jego długość wynosi l.

α l

M m

υ

Zadanie 10/14

Sprężynę o sztywności k i długości swobodnej lzamocowano w punkcie A i połączono z tuleją B mogącą ślizgać się bez tarcia po poziomej prowadnicy. Tuleję wychylono do punktu C i puszczono bez prędkości

początkowej. Jaka będzie jej prędkość υ_Dprzy przejściu przez punkt D? Dany jest wymiar a oraz masa tulei równa m.

l

a B m

C D

A

k

Zadanie 11/14

Z jakiej wysokości h należy puścić bez prędkości początkowej punkt materialny, aby:

a) nie oderwał się od toru w najwyższym punkcie pętli o promieniu r,

b) oderwał się od pętli i przeszedł dokładnie przez jej środek O.

Opory ruchu pominąć.

r h

O

Zadanie 12/14

Punkt materialny o masie m₁przywiązany do nierozciągliwej, nieważkiej nici porusza się po okręgu w płaszczyźnie poziomej. W pewnej chwili punkt ten zderza się i skleja z punktem o masie m₂, który przed zderzeniem był nieruchomy. Obliczyć, w jakim stosunku zmieniło się napięcie nici.

m₁ m₁ m₂

S₁

S₂

υ

υ

r

Zadanie 13/14

Kulka o masie m przywiązana do nierozciągliwej nici porusza się po gładkiej, poziomej płaszczyźnie. Drugi koniec nici wciągany jest do otworu w płaszczyźnie ze stałą prędkością u.

Wyznaczyć równanie ruchu kulki ϕ(t) jeżeli w chwili początkowej odległość kulki od otworu równa była R, zaś rzut jej prędkości na kierunek transwersalny υ₀.

R

υ₀

u

ϕ(t) u m

x y