Postępy Astronomii nr 1/1966

POSTĘPY

A S T R O N O M II

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

W I E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J

PTA

T O M XIV - Z E S Z Y T 1

1966

W A R S Z A W A • S T Y C Z E Ń - M A R Z E C 1966

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

P O S T Ę P Y

ASTRONOMII

K W A R T A L N 1 K

T O M XI V — Z E S Z Y T 1

1966

W A R S Z A W A • S T Y C Z E N - M A R Z E C

1966

K O L E G IU M R E D A K C Y JN E

Redaktor Naczelny Stefan Piotrowski, W arszawa

C zło n k o w ie : Józef W itkow ski, Poznań W łodzim ierz Zonn, Warszawa

Sekretarz R ed ak cji: Ludosław C ichow icz, Warszawa

Adres R e d ak cji: Warszawa, ul. Koszykowa 75 O bserw atorium Astronom iczne Politechniki

W Y D A W A N E Z ZASIŁKU POLSKIEJ A K A D E M II NAUK

Printed in P o la n d

Państwowe W ydaw nictw o N aukow e O d d z ia ł w Łodzi 1966

W y d a n ie I. N a k ła d 433 + 147 egz. A rk . w y d. 5,25 ark. druk. Papier offsetowy kl. I I I , 70 g. 70 x 100. O d d a n o do d r u k u I t II D ru k uk o ń c zo n o w luty m 1966 r. Z am . n r 425 N*9. C en a z ł 10,—

Zak ład G raficzny PW N Ł ódź, ul. G dańska 162

£

5 2/16. 1%6 r.

CAŁKOWANIE RÓWNAŃ BUDOWY WEWNĘTRZNE] GWIAZD B O H D A N P A C Z Y Ń S K I

MHTErPMPOBAHME

yPABHEHMfó

BHYTPEHHOrO

CTPOEHMfl 3BE3

J\

B. riaiM HbCKH

Pe3iOMe

OnMcaHbi MeTOflbi KOHCTpyHpoBaroia 3Be3flHbix MOflejieft. CneipaJibHO oro-

BopeH MeTOfl Fenes MHTerpMpoBaHMH ypaBiieiwii BHyTpeHHero CTpoeHHsi m no-

Ka3aHbi npeuMymecTBa 3Toro MeTOfla.

INTEGRATION OF THE EQUATIONS OF STELLAR STRUCTURE A b s t r a c t

A brief description of the methodes used to construct stellar models is given. In particular the Henyey’s method of integration of the equations of stellar structure is described and adventages of this method are explained.

I. w s t ę p

Budowę wewnętrzną gwiazdy o symetrii sferycznej, znajdującej się w sta­ nie równowagi hydrostatycznej, można opisać przy pomocy czterech cząstko­ wych równań różniczkowych:

4 B. P a c z y ń s k i

d L r

dr - 4 tr r1 p

_dt

r d< W_

= o

(3)

dT 3k p

~5r + 4oc

T*4

ir r2 = ® (równowaga promienista) (4a)

— - + P ^ = 0 (równowaga konwektywna adiabatyczna) (4b)

W powyższych równaniach t je s t czasem , r — o d le g ło śc ią od centrom gw ia­ zdy, p — g ę sto śc ią, T — temperaturą, P — ciśnieniem , U — energią wewnętrzną jednego grama m aterii, Mr — m asą zaw artą w k uli o promieniu r, L r — ilo ś c ią energii w yd zieloną we wnętrzu tej kuli, k — w spółczynnikiem nieprzezroczy-

s to ś c i, zaś e określa tempo produkcji energii w procesach jądrowych. W spół­ czynnik nieprzezroczystości k uw zględnia efekt przewodnictwa elektronowego,

które jest istotne dla materii częściow o zdegenerowanej. W ielk ości P , U, k

, e

s ą znanymi funkcjam i g ęstości, temperatury i składu chem icznego. Funkcje te znamy w szczególnych wypadkach w postaci analitycznej (np. energię wewnętrz­ n ą), bądź też w p o sta ci tablic (dotyczy to przede w szystkim w spółczynnika absorp cji). W tym ostatnim wypadku stosuje się często formuły analityczne aproksymujące m ożliw ie dobrze funkcję zadaną tabelarycznie (np. wzór Kramersa d la nieprzezroczystości).

Rów nanie (1) opisuje warunek równowagi hydrostatycznej. R ów nanie (2) je s t trywialne: podaje zmianę masy z promieniem. Rów nanie (3) opisuje przy­ rost jas n o śc i gw iazdy z promieniem. W wypadku, gdy gw iazda znajduje się w stanie równowagi term icznej, mamy:

d L .

— 4 ir r2 p ć = 0 , (3')

tz n . tylko reakcje jądrowe dostarczają energii. J e ż e li temperatura we wnętrzu gwiazdy zm ienia się w czas ie , lub je ż e li zachodzi ek sp an sja lub kontrakcja gw iazdy, p o ja w ia ją się dwa ostatnie wyrazy w równaniu .(3). Rów nanie (4) określa nam gradient temperatury w wypadku (a), gdy transport energii w gwie- ździe zachodzi na drodze prom ienistej bądź na skutek przewodnictwa, oraz w wypadku (b), gdy transport odbywa się d zię k i konw ekcji. P oza warstwami bardzo b lisk im i pow ierzchni gw iazdy, gdzie gęstość materii i je j pojemność cieplna je s t mafe, konwekcja je s t na tyle wydajnym sposobem transportu energii, że w warstwie konwektywnej u sta la się równowaga niem alże adiaba­ ty czna, opisana równaniem (4b). Rów nanie (4a) stosuje się dopóki gradient

Całkowanie równań budowy wewnętrznej gwiazd 5

d J _

dP (5)

Gdy wyliczony z równania (4a) gradient temperatury staje się bardziej stromy od adiabatycznego, należy stosować równanie (4b).

Dla gazu doskonałego mamy:

dU = cv dT P = (cp - cv) p T

i równanie (4b) można zapisać w bardziej znanej postaci: 1 d l y - 1 1 dP

1 dr y P dr ~

(

6

)

(4b'l

gdzie

W wyniku reakcji jądrowych zmienia się skład chemiczny wnętrza gwiazdy. Oznaczmy zawartość wo'doru, helu i pierwiastków ciężkich przez X, Y i Z . Niech Z c n o oznacza zawartość węgla, azotu i tlenu. Je że li ograniczymy się do procesu spalania wodoru w hel, to wpływ reakcji jądrowych na skład che­ miczny można zapisać następująco:

~ RppX* ~ ^ c n o % Z c n o

dY dX

dt dt (7)

dZ d l _CNO

d l dt

=

0

,

gdzie R i i?CN0 określają tempo reakcji jądrowych w cyklu proton-proton i w cyklu węglowym. Wielkości te są znanymi funkcjami gęstości i temperatury Równanie (7) można stosować bezpośrednio do każdego punktu w gwieździe, je że li nie zachodzi mieszanie materii. W wypadku istnienia konwektywnego jądra, węwnątrz którego następuje dokładne wymieszanie, zmiana zawartości wodoru określona jest wzorem:

6

B . Paczyński

(8)

o ile jądro nie rośnie z czasem. Jeżeli jądro zwiększa się, należy stosować w z or:

o

gdzie:

m*

jest masą jądra,

X'

zawartością wodoru tuż za jego granicą.

Równania (1—4) i (7—8) opisują budowę wewnętrzną gwiazdy i jej zmiany w czasie. Zmiennymi niezależnymi są promień

r

i czas ż; zmiennymi zależnymi p,

T, L r, M r

oraz X, Y, Z . Pozostałe wielkości występujące w równaniach (1—4) i (7—8) dają się wyrazić poprzez wymienione już zmienne.

wagi termicznej, czyli gwiazdy na ciągu głównym. Model taki jest opisany równaniami (1), (2), (30 oraz (4a,b). Ten układ równań możemy całkować od centrum gwiazdy z warunkami początkowymi:

r

-

L r

-

M r

- 0

,

T

- T c, p

=

pc. W wyniku całkowania otrzymamy dwuparametrową rodzinę rozwiązań; parame­ trami będą temperatura i gęstość centralna. Ponieważ rozwiązanie staje się rozbieżne w pobliżu powierzchni gwiazdy (ze względu na malenie tempera­ tury), zatrzymajmy nasze całkowanie po osiągnięciu masy

M r

=

M f < M

.

W punk­ cie tym będziemy mieli:

II. MODELE W RÓWNOWADZE TERMICZNE.!

Rozważmy model gwiazdy jednorodnej chemicznie, będącej w stanie

równo-(9)

Warunki na powierzchni gwiazdy są określone przez jej skład chemiczny, temperaturę efektywną

T g

i przyspieszenie grawitacyjne /?. Mamy:

t

_L

_{G M}

e R2,

T

_{e (10)}

a

4 tr ft2

gdzie

a

jest stałą Stefana — Boltzmana. Zatem przy ustalonej masie i skła­ dzie chemicznym gwiazdy, model atmosfery zależy tylko od jasności i

pro-C ałkowanie równań budowy w e w n ę t r z n e j g w ia zd 7

mienia gwiazdy. Pozwala to na uzyskanie modelu atmosfery i następnie na całkowanie równań budowy wewnętrznej od powierzchni w głąb jeżeli ustalimy wartości L i R. Zatem całkując równania budowy wewnętrznej od powierzchni, otrzymamy dwuparametryczną rodzinę '•ozwiązań. Przeprowadźmy to całkowanie

aż do momentu, gdy = Mf . W punkcie tym otrzymamy:

r fe = H e (L > R ) Lfe = L f e ( L , R)

( 11) Tfe = Tfe (L, R)

P/e = Pfe R)

Oczywiście wynik całkowania od powierzchni powinien byó zgodny z wy- nikiem[ całkowania od centrum gwiazdy, tzn. powinny zachodzić równości:

rfe = r fc

Lfe ~ Lfe

h e = Tfc P/e = P/c

( 12)

Równości (12) zachodzić będą tylko przy określonych wartościach T , Pc) L, R, a zatem cztery warunki (12) pozwolą na wyznaczenie wartości czte­ rech parametrów 7c> pc, L, R. W ten sposób mamy jednoznacznie określony model gwiazdy na ciągu głównym, jeżeli zadamy jej masę i skład chemiczny. W praktyce model jest uzyskiwany metodą dopasowywania rozwiązania dla otoczki z rozwiązaniem dla jądra gwiazdy w procesie kolejnych przybliżeń. W szczególnych, uproszczonych przypadkach, kiedy przyjmujemy potęgową zależność współczynnika nieprzezroczystości i tempa produkcji energii od gęstości i temperatury, oraz je że li zaniedbamy ciśnienie promieniowania i degenerację gazu elektronowego, możemy wprowadzić odpowiednie zmienne bezwymiarowe i zredukować ilość parametrów, od których zależą rozwiąza­ nia równań budowy wewnętrznej. D zięki takiemu uproszczeniu znacznie zmniej­ sza się ilość rachunków konieczna do uzyskania modelu drogą dopasowywania. W ogólności jednak, przy dokładnym uwzględnieniu zależności r , U, k, e od

temperatury i gęstości, taka redukcja ilo ści parametrów jest niemożliwa. Metoda dopasowywania daje się prosto stosować jedynie przy konstruowa­ niu modeli gwiazd leżących na ciągu głównym. W wyniku ewolucji powstają

8

fi. Paczyński

niejednorodności w składzie chemicznym gw iazdy, a następnie pewne c zęśc i gwiazdy za czy n ają ekspandow ać, inne zaś kontrahować, w zw iązku z czym pojawiają, się dwa ostatnie wyra/y w równaniu (3). Metoda dopasowywania zaczy na się kom plikow ać, staje się konieczny podział- gwiazdy na w iele stref i następnie należy dopasowywać wszystkie te strefy do sie b ie . Poprawne uw zględnienie w ydzielania energii w bezwodorowyni jądrze w czasie jego kon­ trakcji staje się trudne lub nawet niem ożliw e. P oniew aż na różnych etapach ew olucji gwiazdy należy stosow ać różne sposoby dopasowywania do siebie różnych warstw, w z a le żn o ś c i od składu chemicznego tych warstw, sposobu w ydzielania energii i sposobu je j transportu, trudne a może nawet niem ożliwe jest uło żenie programu rachunków, który pozw oliłby na lic i^ n ie ewolucyjnego ciągu m odeli, poczynając od stadium kontrakcji na ciąg główny, a kończąc na stadium czerwonego olbrzyma. Tym niem niej metodą tą uzyskano większość danych o ew olucji gw iazd. Szczegółowe omówienie stosow ania metody dopa­ sowywania na różnych etapach ew olucji zn a jd zie c zy te ln ik w książce M. S c h w a r z s c h i l d a (1958) Structure and E volutio n o f the Stars.

III . METODA H EN Y EY A

W iększość modeli gwiazd od lat je s t konstruowana przy u ży c iu szybko liczących maszyn cyfrowych. 7e względu na ogromną ilo ś ć operacji, które mogą wykonywać w krótkim c z a s ie , w szelkie kontakty ze światem zew nętrz­ nym, c zy li z programistą, powinny być zredukowane do minimum. Ingerencja człow ieka w czasie pracy maszyny powoduje znaczne zm niejszenie tempa jej pracy. W zw iązku z tym jest pożądane, a nawet konieczne, aby program według którego prowadzone s ą rachunki, p ozw alał na automatyczne liczenie nie tylko pojedynczych m odeli, ale całych ciągów m odeli, pokrywających m ożliw ie d u ż ą c zęść ew olucji gw iazdy. Stosując metodę dopasow yw ania, o p is a n ą w poprzed­ nim ro zdziale , je s t to praktycznie niem ożliw e.

Is to ta metody Henyeya ( H e n y e y , W i l e t s , B o h m , L e L e v i e r , L e v e e 1959, H e n y e y , F o r b e s , G o u l d 1964, I l o f m e i s t e r , K i p p e n h a h n , W e i g e r t 1964a, L a r s o n , D e m a r q u e 1964) je s t niezwykle prosta. P o le g a ona na podzieleniu gwiazdy na wiele warstw sferycznych i na następnym d o ­ pasowywaniu tych warstw do sie b ie . W zasadzie mamy więc to samo, co w oma­ w ianej poprzednio m etodzie. Poniew aż jednak warstw je st w iele, można układ równań różniczkow ych (1—4) za stąp ić odpowiednim układem równań różnico­ wych. Maszyna musi w tym wypadku pam iętać wartości w szystkich zm ien­ nych w ystępujących w równaniach w każdym punkcie podziału (granicy między kolejnym i warstwami). Praktyka pokazała, że ilo ść warstw, na które należy podzielić gwiazdę waha się od k ilk u d zie sięc iu do kilkuset. Poniew aż m aszyna musi pamiętać kilka modeli jednocześnie, przeto konieczna je st d u ża pamięć i zarazem du ża szybkość lic z e n ia , ze względu na d u ż ą ilo ść operacji

ko-C ałk o w a n ie rów nań budowy w e w n ętrzne j g w ia zd O

nieczną. do rozwiązania układu kilkuset równań z taką samą ilością niewiado­ mych. Do tego bowiem sprowadza się konstrukcja modelu w nowej metodzie. Wprowadźmy nową zmienną niezależną x, związaną, „sztyw no” z mate­ rią tworzącą gwiazdę. Zmienna ta zastąpi nam dotychczasową zmienną nie­

zależni} r, która stanie się teraz zm ienną zależną. Rędziemy mieli:

# , . * ( * ) * = r w (13)

Funkcja U{x) może być zadana analitycznie bądź w postaci tabelarycznej. Funkcja ta nie zależy od czasu, tzn. dla danej gwiazdy podczas całej ewolu­ cji zależność między Mr i x jest jednakowa. Innymi słowy x możemy uważać

za pewną transformatę Mr . Wygodnie jest przyjąć:

>1/(0) = 0 M(\)=U. (14)

Możemy teraz zapisać równania (1—4) w postaci: dP G Hl(x)

p

dr ')x r2 ć)x- o (ir> ) M'(x) -

4

TT r2

p -1 = o

(ir,)

nx w ' w - r w r)x

(97

Tk p

L

_{(x) (7r}

dU i_

<9p

6

<

9

1 V rlt

= 0

(17)

-ł '9* 16ttnc 73r2 ć)x

= 0 (równowaga promienista) (18a)

dU I

r9p

Ihc ~ p 2 ~0x = ° (r<^wnovvaBa konwektywna adiabatyczna) (18b)

1’ odzielmy gwiazdę na ] sferycznych warstw, czyli wybierzmy i - 1 punktów rozmieszczonych wzdłuż promienia gwiazdy:

X n , X y , X J - , X 0

0

X j

1 ,

(10)

tzn. punkt zerowy znajduje się w centrum gwiazdy, punkt / na jej powierzch­ ni. W każdym punkcie wyliczamy M(x) i M'(x) z zależności (13). Oznaczmy:

10 B. Paczyński

gdzie

w ; = M'(Xj)

Mi+% = M(xj + V2) (20)

(21)

W każdym z punktów Xj mamy pewne wartości zmiennych zal«żnych Lj, rp P/> Tj oraz P-, f/y, , e;- będących znanymi funkcjami p ; i 7y. Ponadto w każdym z tych punktów mamy określony skład chemiczny.

Równania różniczkowe (15—18) zastąpimy teraz odpowiednimi równaniami różnicowymi: 0 Mj+y2 Py+i/j P i+1 " P i + ~ 1 ---( r , + i -

Ti) =0

(22) r/>v2 L ; + l — Lj M j + lĄ ( * ; + X — * / ) W/+ya (*;■+1 4 TT ry+v2 p /+łj (r/+ x - r; ) = 0 (23)

y /+y, “ ^ A 1/, P/+ya - pf+ya

At = 0 (24)

t rr

,

3 Ki+Vi p i +l/i L i+V

2,

. . . .

;+1 ' / 16 trac T1 5 ' r/+l ~ Ti’ ~ 0 (równowaga promienista) (25a) ;+y2 r/+y2

U i+i - U j --- -—~ ( P +1 ~ P p = 0 (równowaga konwektywna adiabatyczna) (25b) P;+V2

gdzie

7 = 0 , 1, . . . . 7-2

Całkowanie równań budowy wewnętrznej gwiazd 11 ri * % (r /+1 + Ti ] r ; ł V l = I (7’/>i + 7'>) Pj+ % = y (p/+1 +Py) Pj+y2 = ^ ( P i + l + P i) (26) I/y +Vl = J ( f / ; + l + i/>) 1 , ^ K; +

l/2

=2

(k>+1

+ K' ' 1 i E;+V2 = 2" ,+ 1 6 7

W ielkości z indeksem n o zn a c z a ją w artości zmiennych w c h w ili czasow ej

t n , z a ś w ie lk o ś c i bez indeksu o dn oszą się do następnego momentu, ( n+1.

W u k ła d zie równań (22—25) w idać symetrię ze względu na punkty przestrzenne (lub masowe) j oraz /+1, nie ma natom iast sym etrii względem czasu — w ielko­ ś c i w momentach t n i t n+l w ystępują w różny sposób. Wynika to z dąże nia do u z y sk a n ia s ta b iln o śc i w numerycznym rozw iązaniu tego układu równań. Sche­ mat różnicowy symetryczny względem czasu je s t z reguły niestabilny — w pro­ cesie rozw iązyw ania układu równań metodą iteracji p o ja w ia ją się oscylacje, w wyniku których proces je s t wolno zbieżny i dodatkowo zm n iejsza się obszar, w którym je s t on zbie żny.

Indeks / w równaniach (22—25) przebiega w artości od zera do / —2, mamy zatem 4(7—1) równań. Dodatkowo potrzebny je s t specjalny podprogram, do o b lic za nia modelu atmosfery w fu nk cji ja s n o ś c i i promienia gwiazdy (masa gw iazdy je s t zadana). Podprogram taki u m o żliw ia obliczen ie w artości czte­ rech zmiennych zależnych w punkcie 7—1 w funkcji L j i r j . Mamy zatem:

L j _ i = i (^/» ry)

rJ - l = rJ - l

(

L J> rs )

12 S. Paczyński

T ] - \ = 7y _ l (^7> rJ)

(27) P / _ l = P y _ i ( ^ y *

r/)-O czyw iście zach o dzi L j - L oraz ry = /?. Tak więc ogólna ilo ść równań dla danego momentu czasowego je s t równa 4 /. O gólna ilość niewiadomych jest te ż równa 4 / , ponieważ Tj oraz py nie w ystępują w naszych równaniach

i ponadto zawsze zachodzą równości:

L o = o r0 = 0 (28)

Zatem problem je s t oznaczony.

Ze w zględu na to, że równania, które należy rozw iązać są nieliniow e, konieczne je s t stosowanie metody kolejnych przybliżeń. Przypuśćm y, że dysponujemy przybliżonym rozw iązaniem , tzn. znamy przybliżone wartości L j, rjt p; , Tj i chcemy zna leźć poprawki 5 L j, 6r;-, 6p;-, 5 D la uproszczenia zapisu wprowadźmy wektory:

Dwa pierwsze równania budowy wewnętrznej, (22) i (23), zapiszmy jako je ­ dno równanie wektorowe:

<P/+y3 (“ /> Vj\ «y+1, vh l ) = 0 / = 0, 1, . . ., J —2, (30) zaś następne dwa rów nania, (24) i (25), jako wektorowe równanie:

V i+% («/» f ; ! u /+] > v/+i) =

0

/ =

0 , 1

...J - 2 . (

31

)

Rów nania (27) i warunek (28) zapiszmy w postaci:

“ , _ ! = / ( « ; ) (32)

v j - \ ~ K (u j) (33)

“ o = 0 .

Poprawki bu,, Sv. powinny spełniać następujące równania:

C a ł k o w a n i e ró w n a ń b u d o w y w e w n ę t r z n e j g w i a z d 13

d 9/+V- <5 <P/+y2 >9 tp/+i/ ć» 9 -+i,

<Py+i/ f 5 u y--- _ + 6 t > . — --- + 6 u ;+1 + g t , --- - O ( 3 5 ) <?u;- d v j c l uj + 1 d v i + l 19^/+Vj f^ /+ V j <ty/+y, ^ y + V j

V * ,Su7 - ^ —

--- + 5“/ +i - j --- +

---= 0

(36)

O U j 1 d v j » « / + ! ^ v /+l 7 = 0 , 1 , . . . , / —2 d f = O (37) (V/ - 1 - g ) + S r / _ 1 - 6 i i y T-^- = 0 (38) Cm y s «0 = 0. (39)

Mamy ogółem 2] lin io w y c h równań w ek to r o w y c h (35—38) na 2 / n i e w i a d o ­ mych wektorów 5 Uj (j - 1 , 2 .../ ) i 6 Vj(j = 0 , 1 , . . . , / - 1 ) . P o n i e w a ż znam y p r z y b liż o n e w a r t o ś c i u-, Vj, z a te m możemy w y lic z y ć lic z b o w e w a r t o ś c i w s p ó ł ­ c z y n n ik ó w w ró w n a n ia c h (35—38). Ze w z g lę d u n a to , że poch o d n e fu n k cji |> i w y s t ę p u j ą ja k o w s p ó ł c z y n n i k i w n a s z y c h r ó w n a n i a c h , pochodne te powinny i s t n i e ć . O z n a c z a to , ż e powinny i s t n i e ć p o c h o d n e w s p ó ł c z y n n i k a a b s o r p c j i i te m p a produkcji e n e r g ii w p r o c e s a c h ją d ro w y c h po g ę s t o ś c i i te m p e r a t u r z e . N a l e ż y p a m ię t a ć o tym w y b ie r a ją c formuły i n t e r p o l a c y j n e n a k i e .

U k ła d ró wnań (35—38) można r o z w i ą z a ć d r o g ą e l im in a c j i n ie w ia d o m y c h . P o k a ż e m y n a j p ie r w , ż e d ro g ą e l i m i n a c j i n ie w ia d o m y c h można u z y s k a ć ró w n a n ia p o s t a c i : 5Uj + S v j a:/+ Yj -0 / = 0, 1... / —1, (10) g d z i e oty i y ;- s ą m a c ie r z a m i. D la j - 0 ró w n a n ie (40) sp r o w a d z a s i ę do w arun­ ku (39) i mamy a o = 0 y 0 = 0 (41) P r z y p u ś ć m y , że ró w n a n ie w p o s t a c i (40) z a c h o d z i d la p e w n e g o /. Podstawia^ j ą c 6uj z r ó w n a n ia (40) d o równań (35) i (36) otrzym amy:

1 4 B. Paczyński

V _ f d 9/+V2 \ <9<P/+‘/3 d 9/+Va

(’ '*« ■r')+^ c * r ' v ł 6"'* > i^rr

1

^ 7 '

0

<42)

d v ,

(^/+y, - yy) + 6t>y

- - «/ j + s»f ł !

+ s P /ł! ^ — 1 - 0.

(43)

“/+1 d v

/+ 1 /dvj>y+y

Mnożąc rów nanie (42) przez ( - _ ---i - a / ) zad rów nanie (43) przez

'd 9/+y2 (9v;

dvj

a j )i odejm ując rów nania stronam i, otrzymamy:

'<? V/+y, + 5 V l dvj d 9/+V£/<? V/+y2

o,

-5 9; + ‘/2

dv j

d Vj+% fi 9y+ya

a i + St>;+l <9»/+l \ <3t>y y (9u/+1 \ dvj

d

9/+Va/<5 HJy+Vj \ <9 V z + y V d 9/+V2 d v ;+ l \ dry

.<&>/+1 \ <5

ł

>;

R ów nanie to można n a p isa ć w p o sta c i:

6 b / + 1 + 5 w; + 1 oty+1 + y ; + 1 = 0 gdzie

(44)

(45) “ ;+ l = d u j w Yi+ 1 = d 9/+>/2 / . <9v/+1 \ dv f ( d Vi+% \ 9 v , _i f d V i+14 (9;+ v ryj) \ <?«>y - a ; -d M>/+ y /<? 9y+% 5 ^ Z + V ,/9 9/+ya du₇₊₁ dvy (5_ 9 y+ ,/2 doj - - a (46) x (47)

Całkowanie równań budowy wewnętrznej gwiazd 15 <5 9j+V2( + _<?u/ +

1

_{\V dvi} d V j+ vS d 9/+y2 a, --l (47)

Ja k więc w idzim y, otrzymanie równań w postaci (40) je st istotnie możliwe i wzory (46), (47) p odają sposób o b lic za nia liczbow ych w artości współczyn­ ników a j, Yj dla kolejnych wartości indeksu /. D la j = / —I równanie (40) da nam:

Su

/ _ i + 5vj- 1 aJ- 1 + Yj-\ ~ 0 (48) Rów nanie (48) wraz z (37) i (38) daje nam trzy warunki, które m uszą speł­ niać trzy niewiadome: S Uj, 8 ^ vj _ i' Możemy stąd łatw o obliczyć 5 Uj rugując pozostate dwie niewiadome:

6 Uj =

Uj

_ i - f - f j - i + a/ _ i (vJ - i - g ) d f_{duj + aJ - 1}dg_(9Uj (49) N astępnie m ając b u

j

możemy z równań (37) i (38) w yliczyć Su

j_ j

oraz Teraz dla j = / —2 w układzie dwu liniowych równań wektorowych (35) i (36) mamy tylko dwa niewiadome wektory: S iły _2 i 6 f y _ 2 , a zatem układ ten możemy prosto ro zw iąza ć. N astępnie będziemy mogli rozw iązać układ równań (35) i (36) dla / = 7—3 itd. W ten sposób kolejno wyznaczymy w szystkie popraw­ ki Su., Sv., lub inaczej mówiąc w szystkie poprawki 5 L-, Sr-, 5 7y, 6p;. i zna­ le ź ć poprawione w artości L j + 5 L j, Tj + 5 r;-, Tj + ST j, py + 6p;-. Jeże li ^popraw­ ki będą zbyt d u że , możemy proces iteracyjny powtarzać tak długo, aż poprawki

stan ą s ię dow olnie małe.

R ów nania różnicow e (22—25) należy uzup ełnić równaniami różnicowym i opisującym i zmianę składu chemicznego z czasem. O graniczając się do procesu sp a la n ia wodoru w h e l, zapiszem y w postaci różnicow ej równanie (7):

A * / - '

+ i

( * c n o) ; ( * ; M K c"n oM * / )

(50) Zc n oIa*,

gdzie: /J" i X " o z n a c z a ją odpowiednio tempo przemian jądrowych i zawartość wodoru w punkcie / w c h w ili i" ; Rj i Xj odnoszą się do momentu i " +1. Mając obliczony model gwiazdy w ch w ili t » im a ją c pierwsze przybliżenie modelu tn+1 możemy obliczy ć zmianę X w pierwszym p rzy b liże niu i otrzymać pierwsze przybliżenie zaw artości wodoru w modelu t n+1:

16 B. Paczyński

X . = X " + AXy. (51)

P o otrzymaniu prowizorycznych w artości X j z równania (51) liczymy popraw­ ki 6Uj, 5v ■ w sposób poprzednio opisany i otrzymujemy drugie przybliżenie modelu w momencie tn+1. Możemy wtedy dokładniej obliczyć zmianę zaw arto­ ś c i wodoru z a pom ocą wzoru (50), a następnie przy pomocy (51) otrzymać po­ praw ioną zaw artość wodoru w momencie t n + 1. Tak w ięc poprawiamy skład chemiczny gwiazdy po każdej ite ra c ji. W wypadku istnie nia stref konwektyw- nych w gw ieździe należy uśredniać każdorazowo skład chemiczny po całej strefie.

Model dla ch w ili t° d la gwiazdy rozpoczynającej ew olucję na ciągu głów ­ nym możemy bez trudu otrzymać metodą op isan ą w rozdziale II, poniew aż gw ia­ zda je s t wtedy jednorodna chem icznie i znajduje się w stanie równowagi ter­ m iczn e j. Pierw sze przybliżenie dla modelu w ch w ili t 1 otrzymać możemy uw zględniając zm iany składu chem icznego w modelu t° i pom ijając zm iany pozostałych w ie lk o ś c i. N astępnie model końcowy dla c h w ili t 1 będziemy mo­ g li otrzymać metodą kolejnych ite ra c ji. Pierw sze przybliżenie dla modelu t2 można najprościej otrzymać ekstrapolując w yniki dla modeli t° i t' itd. Na w czesnych etapach ew olucji w ystarcza kilka iteracji dla uzyskania konsysten- tnego modelu; w późnie jszy ch fazach ew olucji zw ięk sza się ilo ść iteracji koniecznych do ń z y sk a n ia kolejnego modelu. W czasie “ helium fla sh ” H a r m i S c h w a r z s c h i 1 d (1964) potrzebow ali 75 iteracji przy każdym kroku cza­ sowym.

N ie co kłopotu s p ra w ia ją w metodzie Henyeya granice stref będących w rów­ nowadze prom ienistej i konwektywnej. O kazuje s ię , że najpraktyczniej jest lic zy ć model I przy z a ło że n iu , że granica strefy pokrywa się z punktem np. j, oraz model II przyjmując granicę strefy w punkcie y+1. P o otrzymaniu m odeli, liczym y w punkcie j modelu I i w punkcie j+\ modelu II w ielkość:

J e ż e li prawdziwa granica dwu stref leży pomiędzy punktami j oraz /+1, to w ielkość S będzie m iała przeciwny znak w obu modelach. Końcowy model

obliczamy jako średnią w a żo n ą obu modeli:

(model końcowy) = -■ (model I) +tćT ^ TcT (model II). (53) P il "*■ P2I P il + 1^2!

N ależy je szc ze zwrócić uwagę na odpowiedni dobór zmiennych za le żn y c h . W dotychczasowym wywodzie dla prostoty jako takie zmienne przyjęto L r,

Całkowanie równań budowy wewnętrznej gwiazd ₁₇

r, T, p. C h od zi jednak o to, aby w ie lko śc i te zm ieniały się m ożliw ie linio w o z x, wtedy bowiem wystarcza m niejsza ilo ść punktów podziału dla u zy sk a n ia o kreślonej dokładności modelu. Tak więc często zam iast L r używ a się L r/ r 2

oraz pH, lub też stosuje się zm ienne logarytmiczne.

IV . Z A K O Ń C Z E N IE

Do c h w ili obecnej u k a za ło się stosunkowo niew iele prac dotyczących ew olucji gw iazd, w których modele lic zo no metodą Henyeya. D otyczyły one zarówno w czesnych etapów ew olucji, następujących bezpośrednio po ciągu głównym ( H e n y e y , L e L e v i e r , L e v e e 1959, D e m a r q u e , P e r r y 1964

,

D e m a r q u e , L a r s o n 1964), ja k też i bardziej zaawansowanych stadiów ( H o f m e i s t e r , K i p p e n h a h n , W e i g e r t 1964b,c, H a r m , S c h w a r z - s c h i l d 1964), a także stadiów poprzedzających c ią g główny ( B o d e n h e i - m e r 1965). Prace te w ykazały, że nowa metoda je s t niezwykle skuteczna w śledzen iu ew olucji gwiazdy nawet w c za s ie tak niezwykłych warunków, ja k ie mają m iejsce przy „ h e liu fla s h ” . Przy użyciu metody Henyeya maszyna może liczyć pełny c iąg ew olucyjny, poczynając od kontrakcji prestellarnej kondensacji na ciąg główny, a kończąc na fazie czerwonego olbrzyma, bez jak iejk o lw ie k ingerencji programisty w trakcie wykonywania rachunków. W szy­ stko w skazuje na to, że ju ż w na jb liższy m czasie praktycznie biorąc w szy­ stkie prace nad ew olucją gw iazd będą prowadzone przy użyciu dużych maszyn cyfrowych, liczących modele gw iazd metodą o p isan ą w tym artykule.

L I T E R A T U R A B o d e n h e i m e r , P . 1965, A p .J., 142,451. D e m a r q u e , P .R ., L a r s o n , R .B . 1964, A p .J ., 140, 544. D e m a r q u e , P .R ., P e r c y , J .R . 1964, A p .J ., 140,541. H a r m , R ., S c h w ar z s c h i I d, M. 1964, A p .J., 139, 594. H e n y e y , L .G ., L e L e v i e r , R. , L e v e e , R .D . 1959, A p .J . 129, 1. | H e n y e y , L .G ., W i l e t s , L. , B o h m , K .H ., L e L e v i e r , R. , L e v e e R .D . 1959, A p .J. 129, 628. H e n y e y , L .G ., F o r b e s , J .E ., G o u l d , N .L ., 1964, A p .J. 139, 306. H o f m e i s t e r , E. , K i p p e n h a h n , R. , W e i g e r t , A. 1964a, Z fA p. 59, 215. H o f m e i s t e r , E. , K i p p e n h a h n , R. , W e i g e r t , A. 1964b, ZfA p. 59, 242. H o f m e i s t e r , E. , K i p p e n h a h n , R. , W e i g e r t , A. 1964c, Z fA p . 60, 57. L a r s o n , R .B ., D e m a r q u e , P .R . 1964, A p .J . 140, 524.

Sc h w ar z s c h i Id , M. 1958, Structure and Evolution of the Stars (Princeton: Prince­ ton University Press).

HYDROMAGNETYCZNE O S C Y L A C J E PLAZMY

K A Z I M I E R Z S T Ę P I E Ń

TM/IPOMArHHTHWE

KOJlEEAHM fl nJlA3MhI K. C T e M n e H b

P e 3 io m e

C'raTbJi flaeT of)3op pa3Hbix TiinoB rHApoMarmiTHhix bojih b njia3Me, naxo- fljmieHCH bo BHemHeM MarHMTHOM nojie. CHaMaJia paccMOTpeH npocToft cjiy- Maft OflHOpOAHOii, HeBH3K0M M HeOKMMaeMofi IUa3Mb] B OflHOpO/lHOM MaTHMT- hom nojie. 3aTeM ywrbroaeTCJi cjKMMaeMocTb w B jm o cT b . Bo BTopoił rjiase paCCMaTpMBaK)TC51 BOJlHbl B OflHOpOflHOft JUia3Me C HeOflHOpOflHblM MarHMTHbIM nojieM. PaccMorpeubi Asa cjiy^aa: 1) jim m MarHMTHoro nojiii npsMbie, u cy- aiecTByeT ppaflMeHT naripiDKemm nepneHAMKyjiapHbiM nojiio, 2) I\ mm iiojih hc- KpviBJieHHbiei PaccMOTpeH TaK>Ke cJiyMafi njia3Mbi c rpaAweiiTOM njlOTHOcTH h c oa- HopoflHbiM MarHMTHbiM nojieM. B Konne npeacTaBJieH 3t})cf)eKT bjimjihmh HeKTpajib- Hbix MacTHU Ha AMccmiaiwio rMApoMariiHTHbix bojih.

H YD RO M A G N E T IC O S C IL L A T IO N O F PLASMA A b s t r a c t

Review is given o f several types o f hydromagnetic waves in the plasma embedded in the external magnetic field. F irst, the sim plest case of uniform nonviscous and noncompresible plasma with the uniform magnetic field is discussed. Next, the compresibility and dissip ativ e effects are introduced. In second chapter a d iscu ssio n of o sc illa tio n s of the uniform plasma with nonuni­ form magnetic field is given. There are two cases: one when the lines of force of the magnetic field are straight but there is a gradient of the magnetic field perpendicular to the vector of the field and second when the lines of force are curved. In this chapter plasma with constant magnetic field and density gradient is also discussed. F in a lly the effect of the presence of neutral particles °n the dissipatio n of the hydromagnetic waves is shown.

20 K. Stępień

1. WSTĘP - WIADOMOŚCI OGÓLNE

Artykuł zawiera wszystkie ważniejsze rozwiązania równań hydroraagnetyki

w postaci fal. Omówione s ą najważniejsze typy fal hydromagnetycznych bez

podawania ich zastosowań oraz bez dyskusji przypadków szczególnych (np.

konkretne wartości współczynników decydujących o dyssypacji, szczególny

k ształt pola magnetycznego itp.). Artykuł j e s t dostępny dla studentów

zna­

jących

rachunek różniczkowy

oraz elektrodynamikę i elementy mechaniki

ośrodków ciągłych (równanie ruchu cieczy, równanie ciągłości).

Badania plazmy zajmują coraz isto tn iejszą pozycję w astrofizyce. J e s t

to spowodowane tym, że praktycznie cały w szechświat zbudowany j e s t z gazu

z jonizowanego. Jednym z działów fizyki plazmy je s t magnetohydrodynamika

obejmująca badania zależności między polami elektromagnetycznymi i ruchami

materii, w której te pola się znajdują. Opiera się ona na układzie równań opi­

sującym pewne średnie wielkości i charakteryzującym plazmę w danym obsza­

rze, np. średnia prędkość czy średnia temperatura lub gęstość, nie wnikając

głębiej w charakterystyki indywidualnych c z ąstek . Ten układ równań można

otrzymać albo poprzez obliczenie kolejnych momentów równania kinetycznego

Boltzmanna, albo przez włączenie efektów elektromagnetycznych do równań

hydrodynamiki.

W ten sposób otrzymujemy równanie ciągłości:

dp

+ grad (p v) = 0,

(1)

gdzie p i v s ą g ę s to ś c ią i prędkością plazmy, oraz równanie ruchu:

P

+ grad p - £ E “ “

J

x H + p grad ? - T]

+ y r|j grad div v = 0

(2)

gdzie p je s t ciśnieniem,

e —

gęstością ładunku przestrzennego, E, H i J ozna­

c z a j ą odpowiednio pole elektryczne, magnetyczne i gęstość prądu,

9

je st po­

tencjałem grawitacyjnym, a r| i £ s ą współczynnikami lepkości. W większości

rozważań zakłada się, że nie ma ładunków przestrzennych i wówczas trzeci

człon w równaniu ruchu je s t równy zero. My również przez cały cz as będzie­

my robić to założenie.

Do powyższych równań należy jeszc ze dodać równania Maxwella (zakła­

damy identyczność wektora natężenia pola magnetycznego i wektora indukcji):

rot II

=iZLj

+ 1 ^ - 1

(3)

Hydromagnetyczn\e o s c y l a c j e p la z m y 21

„ p

1 3H

rot E ---c d t d i v E = 4 t t e (4) (5) div H = 0 . (6)

Na ogół w równaniu (3) zaniedbujemy prąd p rz e s u n ię c ia .

W przypadku p o ru szająceg o s i ę ośrodka, pole elektryczne zw ią z a n e j e s t z g ę s t o ś c i ą prądu poprzez zw iązek:

J ~ cr (E + — v

x

H),

(7)

c

gdzie a j e s t przewodnictwem.

W pewnych wypadkach (np. s iln e pole magnetyczne) dochodzi j e s z c z e prąd lla lla i powyższy z w iązek n a le ż y z ą s t ą p i ć innym:

J - (Jo E|] +

ct

,E] + aa-^ -x E ,

(8)

g dzie E jj j e s t składow ą pola elek try czn eg o równoległą do pola m agnetycznego, E j j e s t s k ła d o w ą p ro s to p a d łą a a 0, a i i a } s ą przewodnictwami dla prądów płynących w odpowiednich kierunkach.

O ile zakładamy, że ruchy plazmy m ają charakter adiabatyczny, to n a l e ­ ży j e s z c z e w z ią ć pod uwagę równanie:

l9 )

gdzie y j e s t stosunkiem c i e p e ł w łaściw ych.

O c z y w iśc ie w przypadku ogólnym, gdy uwzględni się skończone przewod­ nictwo cieplne, prawa s tro n a tego równania nie będzie zn ik ać. W ten sposób mamy uk ład 6 rownan: (1)—(4), (7) lub (8) i (9) na 6 niewiadomych p, p, v, J , E i H oraz dwa dodatkowe warunki (5) i (6). Z n a ją c lepkość, przewodnictwo, zew nętrzne pole grawitacyjne oraz zew nętrzne pole elektrom agnetyczne może­ my teoretycznie znaleźć przebieg wszystkich niewiadomych w c z a s i e i prze­ s trz e n i przy u stalo n y ch warunkach początkowych i brzegowych.

22 K. Stępień

2. F A L E HYDROMAGNETYCZNE W PLAZM IE JEDNORODNEJ 2.1. PLAZM A NIEŚCIŚLIWA BE Z DYSSYPACJI

W tyra najprostszym przypadku zakładamy, że p = const,oraz że <P = const. NastępnieJ przyjmujemy, że nie nja zewnętrznego pola elektrycznego, oraz że

ę = T | = E = 0 i c T = ° ° .

W ten sposób z początkowego układu równań pozostają:

d\ ] -J- = ---H x rot H - grad p (10) a t 4 tt p

<?B

,

,IX

- j p = r o t ( v x H ) (11) div v = 0. (12)

Zakładając, że zewnętrzne pole magnetyczne jest stałe i równe He , oraz że odchylenie od stanu równowagi jest małe, tzn. H = H0 + h, gdzie h oraz v są małymi pierwszego rzędu, mamy po odrzuceniu małych wyższego rzędu:

grad^ h + grad ^ 0 (13)

<9h

■jfi- = rot (v x H J . (14)

Biorąc div (13) i korzystając z (6) i (12) otrzymujemy: H 0 * h

A ( p - j ^ - ) = 0 . ( 1 5 )

Oczywiście poza obszarem'zaburzonym h = 0 i p — const. W takim razie . B . • h . .

P + — — jest rozwiązaniem równania Laplace?a stałym poza pewnym obsza-rem — stąd wynika, że musi być ono stałe wszędzie. A więc grad (p +-2?__ —)- 0

4 TT

Hydromagnetyczne oscylacje plazmy 23

P o n ie w a ż (16) je s t rów naniem wektorow ym , więc je s t rów now ażne u k ła d o w i trze c h rów nań s k a la r n y c h . Są to ró w n a n ia lin io w e jednorodne o s ta ły c h w s p ó ł­ c z y n n ik a c h , a ich r o z w ią z a n ia s ą p o s ta c i e*'(wt - k • r)> g d zie co je s t c z ę s to ­ ś c ią , k w ektorem falow ym a r prom ieniem w o d zący m . W ybierzm y u k ła d w ten s p o s ó b , by po le H 0 le ż a ło w z d łu ż o s i z , a w ektor falow y l e ż a ł w p ła s z c z y ź n ie

x, z „ W ów czas p o d s ta w ia ją c z a ło ż o n e r o z w ią z a n ie do (16) otrzym ujem y z w ią ­

z e k dy sp e rsy jny m iędzy co i k:

-coa + V* k\ = 0 , (17)

, • „ a H *

g d zie VA = 4 TT p

Z pom ocą (16) i (17) zn a jd u je m y w y ra że nie n a v, a n a s tę p n ie na w s zy s tk ie potrzebne zm ie n n e . W ten s p o s ó b otrzym ujem y ja k o r o z w ią z a n ie tzw . falę A lfv e n a :

vx = C ~vA z \ v y = v z = 0 , hx = \J 4 u p o vx, h y - hz - 0 . (18)

R o z c h o d z i s ię ona w z d łu ż p o la m ag ne ty czn eg o i je s t f a lą p o p rze c zn ą, s p o la ry z o w a n ą lin io w o . M ów iąc o b razo w o, lin ie po la m ag ne ty czn ego , .w yg i­ n a ją s ię ” w s in u s o id y p o d o b n ie , ja k sz n u r przy p o k a zie fal p o p rze czn y ch .

2.2. PLAZM A ŚCIŚLIWA B E Z DYSSYPACJI

O drzucam y teraz z a ło ż e n ie p = c o n s t, u trzy m u jąc w mocy p o z o s ta łe . Z a ­ k ła d a ją c ja k p o p rze d n io , że o d c h y le n ie od stan u rów now agi je s t n ie w ie lk ie , otrzym ujem y n a s tę p u ją c y u k ła d rów nań lin io w y ch :

+ p div v = 0 (19) d l 0 <9v 1 u p o ~3T + s rad p + 1— H o x rot " " 0 _{O l 4} * TT (20) <9h dt - rot (v x H u) (21)

dr

_ 2 J>p

<

9

1 Ol (22)

24 K. Stępień

1

gdzie p 'j e s t małjym odchyleniem gęstości, s prędkością dźwięku, a indeksem

„ o ” oznaczone s ą wielkości w równowadze. Równanie (22) otrzymane jest z (9) przy założeniu, że mamy do czynienia z gazem doskonałym.

Rugując p', p i h mamy:

d2\ 1

Po -T-j- - s2p0 grad div v + t — H0 x rot rot (v x H0) = 0. (23)

Ot 4 Tr

Ten układ równań jest również liniowy, jednorodny, a więc możemy znów założyć rozwiązania postaci - k • r) j wybierając układ jak poprzednio dostajemy po rozpisaniu na współrzędne:

[-w1 + s2k2% + VA(kx + &2>] vx + s 2 kxk2vz = 0 (-coJ + V\ k*) v = 0_{z ' y} s2kxkzvx + (-W1 + s 2kt) vz = 0 . (24) (25) (26) Równanie (25) jest niezależne od pozostałych. Dostajemy z niego znany już związek dyspersyjny opisujący fale Alfvena. Z (24) i (26) wynika nastę­ pujący związek dyspersyjny:

D =

- w J + s2k[ + V\ (** + k\), s2kxk z

s2k k

X Z -<oJ + s2k*g

= 0 (27)

Po uproszczeniu można przedstawić go w postaci:

co4- coł (V*A + s*) k2 + v\ S2k* cos2 0 = 0 , ₍₂₈₎

gdzie k2 = k 2+ k2 i cos1 0 = — . k2

Pierwiastki tego równania s ą następujące:

{

J « ... i ir 2 2 2 a 2 a 'Z-,1 2 (^<4 + s i j k \{VA + s ) - 4 ^ s cos e] |

1

2 r 2 2 2 _{S i*} (29) 'i

_

H y drom agnetyczne o s c y l a c j e/ plazm y 25

O p is u ją one dwa typy fa l. W przypadku, gdy pole magnetyczne je s t siln e , t z n . gdy VA » s, pierw iastki te doprow adzają do n a stę p u ją c y c h z a leżn o ści:

= k% (V2a + s ’ s i n 2 Q) (30a)

“ i = k 2 s 1 c o s 10 . (30b)

✓

O ile pole magnetyczne j e s t słabe (tzn. gdy Vą « s), równanie (29) daje:

co’ = k \ s 2 + V \s i n 2 0 ) ( 3 1 a )

co' = k1 V\ c o s 2 9 . (31b)

P ale typu pierw szego wyróżnione indeksem ,, 1 ” nazywamy falami szybkimi ze względu na to , że ich prędkość fazowa v<p = -— je s t z aw sze nie m niejsza

za-K

równo od prędkości Alfvena, jak i od prędkości dźwięku, natom iast fale dru­ giego typu wyróżnione indeksem , , 2 ” nazywamy falami wolnymi, gdyż ich prędkość fazowa j e s t z aw sze nie w ię k s z a od V A i s (rys. 1). Niekiedy fale te nazywa s ię odpowiednio zmodyfikowanymi falami hydromagnetycznymi i zmo­ dyfikowanymi falami dźwiękowymi.

O s ta te c z n ie dochodzimy do wniosku, że o ile w c ieczy n ie ś c iś liw e j mogą rozchodzić się tylko fale Alfvćna, a więc poprzecznego tyle w c ie c z y ś c i ś l i ­ wej obok nich w ystępuje na ogól powiązanie fal poprzecznych z podłużnymi (ciśnieniowymi), d ając w efekcie fale szybkie i wolne. Tylko w przypadku gdy kx = 0 (wektor falowy równoległy do H0) p o w iązan ia tego nie ma.

2. 3 P L A Z M A ŚCIŚLIWA

Z U WZ G L Ę DN I EN I EM F. F EKTÓW D Y S S Y P A TY WNY C H

Odrzucamy kolejne za ło ż e n ie braku lepkości i nieskończonego przewod­ nic tw a . A więc obecnie zarówno r) jak i a mogą mieć w artości sko ń czo n e. Z a ­ kładamy jednak d la prostoty, że w szystkie te współczynniki s ą izotropowe. Przyjmujemy również, że przewodnictwo cieplne j e s t równe 0. W tym wypad­ ku mamy do c z y n ien ia po lin eary zacji z następującym układem równań:

26 K . Stępień <9h ■757—= rot (v x H 0) + --- A h O l 4 TT <J <?p ' 1

dt

dt

(34) (35)

Rys. 1. Prędkości fazowe fal szybkich (a), wolnych (b) i fal Alfvena (c) w funkcji kąta między zewnętrznym polem magnetycznym i wektorem falowym. Pole magnetyczne skierowane jest wzdłuż osi odciętych. Prędkości fazowe wyrażone są w jednostkach

Vą, tzn. np. V'p = V p / V A itp. Rysunek la) jest dla s / V ^ = 0.2, Ib) jest dla &/Vą - 1 i lc) jest dla s/ Vą - 2

Hydromagnetyczne oscylacje plazmy

27 Podobnie jak poprzednio układ ten można rozwiązać zakładając rozwią­ zania postaci e‘ ( » ł ~ k r), a wyznacznik macierzy współczynników da nam związek dyspersyjny. W tym wypadku związek ten ma jednak bardzo skompli­ kowaną, a przez to mało czytelną postać. Dlatego ograniczymy się do prze­ dyskutowania paru prostszych przypadków.Otóż gdy ciecz jest nieściśliw a, tzn. gdy s 2 -* oo, p '= 0 i div v = 0, mamy:

u l _ i. / 4 j n V + jn_\ k2 c o sł 0 _ 4 n c ł n y , Q (3g)

\ a PoJ ft> a

Przyjmując, że k =-^-(n - i k) , gdzie n — ik jest zespolonym współczynni­

kiem załamania, oraz dodatkowo zakładając, że dyssypacja jest niewielka

(k « n ) , dostajemy następujące wyrażenie na k:

_ 2 TT CO C / 4 TTCł P o ,

H 2 cos2 0 ^ a dla fal Alfvena i fal wolnych.

W drugim granicznym przypadku, gdy s 2 = 0 dostajemy związek:

( 3 7 ) . 4 tr c , , T/J

c o - i --- h

1

- V

2 A cos2 0 sin 2 0 +

-co

- i^ L k

2

co - i(ź. JL + _L _\t

2 3 Po f k * = ° * ( 3 8 ) z k t ó r e g o p r z y j m u j ą c m a ł e t ł u m i e n i e m o ż e m y w y z n a c z y ć k: 2 TT CO C

H 2 cos2 0

f TE£_e« + n + 0 L + £ )sinJ0

( 3 9 )

dla fal szybkich i Alfvena.

Przypadek nieadiabatyczności drgań (a więc uwzględnienie również prze­ wodnictwa cieplnego) był dyskutowany przez B e r n s t e i n a i T r e h a n a

( 1 9 6 0 ) . Wniosek z tych rozważań jest taki, że je że li pole magnetyczne jest

silne, dla dyssypacji fal istotna jest tylko lepkość i przewodnictwo.

Aby w ogóle był sens mówić o fali biegnącej, musi być spełniony warunek małości okresu fali względem charakterystycznego czasu tłumienia (jest to czas, w którym amplituda fali maleje o czynnik e). Stąd przyjmując za pręd­ kość fazową Vą dostajemy przybliżony warunek na krytyczną długość fali \c,

28

K. Stępień

* .•£ - ( — +-V

C VA \4 TTCT Po/

<«>

3. FALE HYDROMAGNETYCZNE W PLAZMIE NIEJEDNORODNEJ 3.1. PLAZM A NIEŚCIŚLIWA Z GRADIENTEM P O L A MAGNETYCZNEGO

Z poprzedniego rozdziału widzieliśmy, że w plazmie nieściśliwej w jedno­ rodnym polu magnetycznym mogą rozchodzić się tylko fale Alfvćna, które są poprzeczne, spolaryzowane i rozchodzą się wzdhiż linii sił’ pola magnetycz­ nego. Interesujące jest pytanie, czy sytuacja jest taka sama w przypadku, gdy linie sit są nadal proste, ale odległość między nimi jest zmienna, tzn. — mówiąc językiem matematycznym — gdy występuje gradient natężenia pola magnetycznego prostopadły do wektora pola. Zbadajmy ten wypadek. Zakłada­ my (jak zresztą w całym tym rozdziale), że nie ma żadnych efektów dyssypa- tywnych. Wyjściowy układ równań po zlinearyzowaniu (zaniedbujemy przy tym efekty ciśnieniowe) jest następujący:

dv

1

P-5P+ z— (Ho x rot h + h x rot H0 + H0 x rot Ho) + grad p0 = 0 (41)

dt 4 TT

rot ( v x H 0) (42)

div h = div v = 0. (43)

Ponieważ w stanie równowagi musi zachodzić równość—— H0 x rot H0 + 4 TT

+ grad p0 = 0, więc pole IJ0 musi spełniać zależność:

rot (Hq x rot H0) = 0. (44)

Jeżeli układ współrzędnych wybierzemy w ten sposób, by pole magne­ tyczne miało postać H0 = [0, 0, Ha (*)] i z (41) wyrugujemy h za pomocą (42), to otrzymamy:

d\

—-j= \A x rot rot (v x V*) + [rot ( v x V j x rot \ A. (45)

dt

Niech v zależy od czasu poprzez czynnik exp(tcot). Ponieważ ma tylko składową zetową, więc:

Hydromagnetyczne oscylacje plazmy 29

co’v = grad (v\ - i - v . grad Vk)-V\ d\

A d z 1 ' (46)

Weźmy rot (46). Jej składowa *-owa będzie:

i l i/2 d2 (rot* v) , ._v

co2 rot, v = - V A -- " " g p - (47)

a stąd wynika:

rotx v = A (x, y) e l k A z (48)

Jest to równanie liniowe niejednorodne. Znajdźmy więc najpierw rozwią­ zanie szczególne równania niejednorodnego. Z (48) oraz z trzeciego równa­ nia (46) wynika, źe wektor v zależy od z tylko poprzez czynnik e*‘ * Az, tzn.:

v = V (*,y) e l kA x . (49)

Również z trzeciego równania (46) można znaleźć związek:

Vz - i - i -*22 k- A Vx (50)

2 dx co

i warunek div v = 0 zapisze się:

Stąd wynika, że Vx = 0 (gdyż równanie musi być spełnione dla każdego z), a więc i Vz = 0 . Na Vy mamy wyrażenie:

dVY

- - 0 , (52)

dy

czyli V y = V y ( x ) .

Ostatecznie rozwiązanie szczególne przedstawia się nam w postaci:

= vz = 0 vy = Fy (*) e“ kA 2 (53)

Opisuje ono dobrze znane fale Alfvena o tych samych własnościach jak w polu jednorodnym.

30 K . S t ę p i e ń

Rozpatrzmy teraz ro z w ią z a n ia sp e łn ia ją c e warunek:

ro** v = 0.

(54)

Różniczkując drugie równanie (46) po y a trz e c ie po z oraz k orzystając z (43) i (54), dostajemy:

2

dvx _

1

dV \ ( d \

d \ \

dx 2 dx \ d y 2 + d z 2/

Rozw iązując je przez rozd zielen ie zmiennych otrzymujemy:

Va / \ \ V

2

v x =

c i

exp (56 a)

gdzie A i |i s ą stałymi, a rozw iązanie pełne j e s t sumą rozw iązań ze znakami +** i » » T 1 M • Z (46) znajdujemy w yrażenia n a v y i v z : 1 d Va y2 , > V = - -— 5 - -5— n 2 v „ (56c) 2 2 o f d x *

Aby wektor v sp e łn ia ł pierw sze z równań (46), wyrażenie Vą musi s p e ł­ nia ć w c ie c z y niezaburzonej n a stę p u ją c e równanie nieliniowe:

1 * V A x 1 ( ^ \ ( W aY

Wa Va) dx2 2coJ V + 2ti + co1 \ d x ) V A + 2co2 = 0 (57)

P o d s ta w ia ją c t możemy rozwiązać równanie na f, a s tą d ko­ rz y s ta ją c ze związku/jY ( ^ )J ^ ^ — x ~ xo gdzie j e s t s t a ł ą całkowa­ n ia, można zn a le ź ć (*). N ie s te ty , rozwiązanie równania n a f j e s t już bardzo

skomplikowane i w yliczenie całki w tym związku napotyka na duże trudności form alne. Tym niemniej w razie potrzeby można tę c a łk ę , np. numerycznie, z n a le ź ć . W ten sposób dostajem y rozwiązanie na V*ą (*, X, n, co). J e ż e l i więc pole magnetyczne HQ ma w łaśnie taki k sz ta łt jak założyliśm y na w stę p ie , to mogą rozchodzić się również fale p o sta c i (56). N ależy tu zauw ażyć, że wów­ c z a s parametry A, p i co s ą całkow icie i je dnoznacznie określone, co m.in.

H y drom agnetyczne o s c y l a c j e p l a z m y 31

o z n a c z a, że w takim polu może się rozchodzić f a l a tylko z j e d n ą c z ę s t o ś c i ą . N ie is tn ie je więc na ogół zw iązek d yspersyjny. W jednym tylko wypadku, gdy

W

=

0

i A =

0

dostajem y:

a stąd od razu:

v\

W = ^ o

+2« 2

HO"**.

(58)

(59)

Widać stą d , że w polu magnetycznym, w którym c iś n ie n ie magnetyczne (proporcjonalne do VA) zależy liniowo od *:

P = P„ + ax (60)

rozchodzą się fale p o staci:

a i

vx = Cexp ^—2 — * + 2 i — y j, vy = - i v x, t>z = 0 . (61)

O 0 0 0eoo

R y s . 2 . T o ry c z ą s t e k p o d c z a s p r z e c h o d z e n i a f a li o p i s a n e j r ó w n a n i e m (61). P o l e ma- g n e t y c z r e s k i e r o w a n e j e s t w z d ł u ż o s i x, a f a l a r o z c h o d z i s i ę w z d ł u ż o s i y

S ą to fale rozchodzące s ię wzdłuż osi y z am plitudą z a l e ż n ą eksponen- c ja ln ie od Są one kołowo spolaryzowane w p ła s z c z y ź n ie *, y. C z ą s tk i zata­ c z a j ą tory, jak na r y s . 2. W tym wypadku is tn ie je zw iązek dyspersyjny:

i, .1 “

_{* a}

(62)

i p r ę d k o ś ć f a z o w a f a l i v , = - ! — . ’ 2 co

Tak więc widzimy, że obok fal Ąlfvóna w piazmie z polem magnetycznym mającym gradient prostopadły do wektora n a tę ż e n ia mogą i s tn ie ć fale innego

32

K . Stepieii

rodzaju. Rozchodzą się one prostopadle do kierunku pola i mają własności podobne do wewnętrznych fal grawitacyjnych rozchodzących się w cieczy znajdującej się w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Na zakończenie warto podkreślić, że nasze rozważania tracą sens w po­ bliżu tzw. lin ii neutralnej, tzn. lin ii, na której natężenie pola magnetycznego jest zero. Nie można tu stosować założenia małości h względem Ha i należy rozwiązywać równania nieliniowe. W tym wypadku efekty nieliniowości mogą znacznie zmienić podany tu obraz.

Drugim przypadkiem, który będziemy dyskutować jest pole magnetyczne o liniach zakrzywionych. Musimy tu poczynić pewne upraszczające założe­ nia, gdyż problem jest i tak skomplikowany. Pierwszym naszym założeniem będzie przyjęcie cieczy nieściśliw ej, tzn. warunku div v = 0. Następnie przyj­ miemy, że w stanie równowagi nie płyną żadne prądy, a więc zachodzi:

rot Hq = 0. (63)

Zaniedbujemy również wszelkie czynniki dyssypatywne i przyjmujemy, że H 0 nie jest funkcją czasu, natomiast funkcje zmienne w czasie zale żą od niego tylko poprzez czynnik e*«t.

Jak pamiętamy, w polu jednorodnym przy tych założeniach mogły rozcho­ d zić się tylko fale Alfvćna. Otrzymaliśmy je jako wynik rozwiązania równań zlinearyzowanych, ale krótki rachunek pokazuje, że są one również rozwią­ zaniem równań ścisłych. Indukowane pole magnetyczne i prędkość związane

, 2

były zależnością v2 = — --- którą można przedstawić w postaci

4 TT p ’

y P v - — • (64)

Mówi nam ona, że w fali Alfv«5na istnieje równowaga pomiędzy gęstością energii kinetycznej i magnetycznej i podczas przechodzenia fali jeden rodzaj energii przechodzi w drugi i odwrotnie. W przypadku pól niejednorodnych intere­ sujące jest pytanie, jakie muszą być nałożone warunki, by rozwiązanie równań zlinearyzowanych spełniało również równania ścisłe, oraz jakie będzie za­ chowanie się tych rozwiązań. Nazwijmy je & priori falami Mfvćna, umawiając się stosować ten termin dla wszystkich rozwiązań spełniających warunek div v = 0.

Ponieważ dalsze nasze rozważania będziemy prowadzili dla wygody i zwięz­ ło ści zapisu w formalistyce tensorowej, więc przypomnimy na wstępie kilka podstawowych pojęć z jej zakresu.

Przez symbol a r lub ar rozumiemy układ trzech liczb tak, że aT = [a1,a 2,a*] oraz or = [al ,o2,a J]. Podobnie przez

ars> a', afs

rozumiemy układ dziewięciu

Hydromagnetyczne o scy lacje plazmy 33

lic z b , a ogólnie przez m; rozumiemy układ 3k + l U c z b o odpowied­ nich w skaźnikach, z których każdy zm ienia się od 1 do 3. Gdy w ystępuje ilo ­ czyn dwu układów postaci a ' ’br, w którym jeden indeks pow tarza się dwukrot­ nie, rozumiemy to jako sumę po r, a więc:

a r b r = c i 6, + a\ b, + a\ bt.

W skaźniki wysumowane nie mogą być obydwa na dole lub obydwa na górze, lecz zaw sze jeden musi być na dole a drugi na górze. U kład lic z b nazwiemy tensorem, je ż e li przy transformacji układu w spółrzędnych postaci x r = c j gdzie X s s ą starymi w spółrzędnym i, a x T nowymi i c £ s ą stałym i, transformuje się w odpowiedni sposób a m ianow icie:

a * - c r a*

ar = c r* o,

gdzie C * je st minorem w y znacznika |cj| odpow iadającym elementowi c j ,

^ = c * c Z C Q a np itd.

m n p m q

Tensor m ający tylko górne indeksy nazyw a się kontrawariantnym, na­ tom iast m ający tylko dolne — kowariantnym. J e ż e li tensor ma obydwa rodzaje w skaźników , nazywa się m ieszany.

Tensorem metrycznym gmn nazywamy tensor, który definiuje w danym u k ła ­ dzie element drogi:

ds1 = gmn dxm dxn ,

natom iast g" gdzie Gmn je st minorem w yznacznika g = |gmn| odpow ia­ dającym gmn. W u kła d zie kartezjańskim

Sm n —

1, 0, o’

o, 1, o

[ o, o, l j

W każdym układzie ortogonalnym g mn = g mn = 0 je ż e li m ^ n . Z w iąze k m ię­ dzy składowymi kowariantnymi i kontrawariantnymi wektora je s t następujący:

34 K. Stępień

A r = gr* A s,

Ar m grs A s*

r)Ar

T e n so r m ożna różn iczk ow ać po w sp ółrzęd n ych albo cz ą stk o w o - ■ , ale

d x s

w tedy w wyniku n a o g ó ł n ie dostan iem y ten so ra alb o, j e ś l i w wyniku chcem y B Ar

miec? ten so r, bierzem y p och odn ą k ow arian tn ą,--- • 8 x s

6J

l,źdl I '

L-8x* d x * + [m, s j m I A S x s d x s |_r, s j m’

g d zie :

i

l

j e s t tzw . sym bolem C h r isto ffe la drugiego rodzaju i j e s t równy

Lm> * J

f 1 = -L a - r p f d & t p j_ d g p m _ d g m s

,SJ 2

\

d x m d x

*

d x r

P o d sta w o w e prawa a n a liz y w ektorow ej m ożna z a p is a ć w fo rm a listy ce te n ­ sorow ej w n a stę p u ją c y sp o só b : A x B = \ f g ^ mn it A nB k lub = - L Emnk A n B k V g rot A = \ f g t mnk A k : n lub = - L £ mnk A V« d iv A = A m;m

g d z ie śred nik o z n a c z a różn iczk o w a n ie kowariantne i

;

0 , gdy k tórek olw iek dw a w sk a ź n ik i s ą s o b ie równe 1, gdy m , n , h tworzy p a r z y stą perm utację lic z b 1 ,2 ,3 —1, gdy m , n , k tw orzą n ie p a r z y stą perm utację lic z b 1 ,2 ,3 .

A teraz możemy p rzystąp ić do sform ułow ania i ro z w ią za n ia problemu. Układ równań ś c is ły c h j e s t następu jący:

d iv H = d iv v = 0 (65)

dH

Hydromagnetyc zne oscylacje p lazmy 3 5

>

~ jr ~ ---grad p t- 7---- (rot II) x II. (67)

f i t O n ' t TT p

P rz y jm u ją c jak p o przedn io H - I l 0 * h i lin e a r y z u ją c u k ła d otrzym ujem y:

div h - div v = 0 (68) <91i -jj- rot (v x H0) (69) ! r = j ^ ( r o t h ) > < H ° (70) Z (*>3) w y n ik a , że is tn ie je ta k a fu n k c ja O , że : Hu = A grad O (7 la)

g d z ie : A = co n st. Aby u zm y s ło w ić sob ie se n s A zw róćm y u w a g ę, że d la p o la jed no rodn eg o grad $ = [0,0, l l i r i0 = [0,0, /II,

W ybierzmy teraz n a s tę p u ją c y uk ła d w spółrzędn ych k rzy w o lin io w y c h : n iec h le ż y w z d łu ż H u , x2 w z d łu ż n orm alne j g łó w n e j, a x3 w z d łu ż b in o rm a ln e j. Z (71) w y n ik a , że m ożem y v y b ra ć x l = O . W tym u k ła d z ie , który je s t o c z y w iś c ie orto go naln y zachod zi:

= t

A,

0, 0]

v'« = [0 , 0 , v J]

h k [0, 0 , hJ]

= S11 + g21 (rf x 2) 2 + g „ (d x*)2.

Z a łó ż m y te ra z, że v k je s t dane i p o szu k a jm y r o z w ią z a n ia n a h k. W nowym u k ła d z ie rów nan ie (69) z a p is z e s ię :

h l = 0 (71b)

A2 = 0 (71c)

(71d)

36 K. Stępień

gdzie p rz e cin ek o z n a c z a zwykłe różniczkow anie cz ą s tk o w e po w spółrzędnej z odpowiednim indeksem. Zbadajmy te ra z , czy i kiedy to rozw iązanie otrzymane z równań zlinearyzow anych s p e łn i a równania ś c i s ł e . O c z y w i ś c ie , ponieważ v x h = 0 , więc (65) i (66) s ą sp ełn ion e . N ależy je d y n ie w y k azać, że s p e łn io ­ ny j e s t zw iązek:

(v grad) v = - — grad p + 7 -^— (rot h) x h , (72) p

0

4 u p

W nowym układzie współrzędnych z a p i s z e s i ę to:

— - h * ha + - f + vcc „ f r ---- ł _ ha AP = o,

" P P/ I 1 i i r p >

8 TT p

o j

i

4

TT p

a po wprowadzeniu symbolu C h risto ffe ia :

(73)

\ 8 tt p P / 4 t t p / ( 3 , 3

O c z y w i ś c i e , obydwa skład niki m u szą być równe 0 . P ie r w s z y d a je nam po prostu warunek n a c i ś n ie n ie :

h2 p . .

+ — = c o n s t. (75)

8 i r p p

Drugi składnik b ęd zie zn ik a ł, j e ż e l i :

,

h

2

4 TT p lub

(7 6 a)

{ 3 ^ 3} = f * * ' + " g„ , c ) = ° (?6b)

(76b) z a jd z ie tylko j e ż e l i g „ = co n st. Odpowiada to takiemu układowi współ­ rzędnych, w którym o ś ** j e s t pro sta i zmienne nie z a l e ż ą od n i e j , tzn. j e s t s y m etria p ła sk a .

W e f e k c i e dochodzimy do wniosku, że ro zw iązan ia równań zlin earyzow anych s p e ł n i a j ą również równania ś c i s ł e wtedy, gdy albo h 2 = 4 tt p v 2, albo gdy j e s t sy m e tria p ł a s k a , a v j e s t prostopadłe do p ł a s z c z y z n y symetrii.

Załóżmy te raz najpierw , że mamy wypadek symetrii p ł a s k ie j i poszukajmy rozwiązań układu równań zlin earyzow anych. Równania te możemy łatw o prze­ k s z t a ł c i ć , otrzymując równanie falow e:

Hydromagnetyczne oscylacje plazmy 37

Ho

4 TT p x rot rot (v x

H0)-W naszym układzie współrzędnych zapisze się ono następująco: = h l = h * = H I = H i = 0

(77)

(78) 4 TT p

coJ « > * = - g " (g» „»M),t . (79)

Należy podkreślić, że x2 nie występuje w równaniu (79), tzn. istnieją nie­ zależne rozwiązania dla każdej powierzchni x2= const.

Rozwiązaniem (79) jest:

v = t>+ (x1) eikf*u dxl + v~ ( x J) i d*1 gdzie k ~ c o \J 4 t tp ' >4 l

Łatwo stąd otrzymujemy rozwiązania na h:

(80)

h = ±A v°. gl l f e ikfsn <**1 ) +±jL^S_gli( e-ikftu J * 1) , i A vZ (81)

gdzie g“ = — . Sn

Aby obliczyć gtl zwróćmy uwagę, że jeżeli płaszczyznę kartezjaAską X - = x + iy przekształcimy w powierzchnię 0 = § + ir\ za pomocą transformacji:

X = /(© ), (82)

gdzie f spełnia wszystkie wymagane przy transformacji warunki, to:

ds2 = dx2 + dy2 - dX AL

de

de

d i

de

dę

2

+ <fr| (83) Stąd mamy g u = g „ =

M

de

D la przykładu weźmy pole bieguna liniowego: