Zadania z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa Zadanie 0
Mamy 6 ciastek i 3 talerzyki.
Liczba rozmieszczeń ciastek na talerzykach zależy od tego, czy ciastka i talerzyki są rozróżnialne.
1. ciastka jednakowe - talerzyki jednakowe 2. ciastka różne - talerzyki jednakowe 3. ciastka jednakowe - talerzyki różne 4. ciastka różne - talerzyki różne
Na ile sposobów można rozmieścić ciasteczka na talerzykach dla każdej z czterech sytuacji?
Zadanie 1
Na ile różnych sposobów można umieścić w n komórkach k1 ponumerowanych kul białych i k2 ponumerowanych kul czarnych.
Zadanie 2 (brydż)
Obliczyć liczbę rozdań przy grze w brydża, w których każdy z grających otrzyma jednego asa i jednego króla.
Zadanie 3 (podziały)
Niech k1, k2, …, kn będą liczbami całkowitymi, takimi, że kj ≥ 0, j=1,2,…,n; k1+k2+…+kn = k.
Wykazać, że liczba sposobói k2, itd… jest równa k! / (k1! k2! … kn!)
Zadanie 4 (permutacje z powtórzeniami)
Załóżmy, że mamy k1 elementów typu 1, k2 elementów typu 2, … kn elementów typu n (elementy tego samego typu są nierozróżnialne, np. kule tego samego koloru).
Na ile różnych sposobów można uporządkować elementy tego zbioru, gdzie dwa
uporządkowania uważamy za różne, gdy na co najmniej jednym miejscu występują elementy różnych typów?
Zadanie 5
Ile różnych liczb pięciocyfrowych można otrzymać z cyfr 1, 1, 3, 3, 5? Zadanie 6 (dni urodzin)
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: wśród k losowo wybranych osób a) każda będzie obchodziła urodziny innego dnia roku
Zadanie 7
Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy rozmieszczeniu k kul w n komórkach ustalona komórka będzie zawierała co najmniej jedną kulę.
Zadanie 8 (cd. zadania 7)
Znaleźć najbardziej prawdopodobną liczbę kul w ustalonej komórce.
Zadanie 9 (kości do gry)
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 12 rzutach kostką każdą liczbę oczek otrzymamy dokładnie dwa razy.
Zadanie 10 (dni urodzin)
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w grupie 20 wybranych losowo osób, 3 spośród nich urodziły się w sobotę, a 5 w niedzielę.
Zadanie 24
Na ile różnych sposobów można rozmieścić w n komórkach k1 kul białych i k2 kul czarnych?
Zadanie 25
Rzucamy pięcioma identycznymi kostkami. Ile jest różnych "optycznie" wyników?
Zadanie 26
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w losowym uporządkowaniu talii złożonej z 52 kart żadne dwa asy nie występują obok siebie.
Zadanie 27
Ile jest różnych rozwiązań równania x1 + x2 + … + xn = k
w zbiorze liczb całkowitych a) dodatnich,
b) nie mniejszych niż m? Wskazówki:
a)
( (k-1) nad (n-1) ) b)
Zadanie 28
Ile jest różnych rozwiązań równania 3x1 + x2 + x3 + x4 = 10
w zbiorze liczb całkowitych a) nieujemnych,
a) dodatnich, Wskazówki:
