SYMULATOR WIĄZKI PEŁNODOSTĘPNEJ OBSŁUGUJĄCEJ ZINTEGROWANE NIE-POISSONOWSKIE STRUMIENIE ZGŁOSZEŃ

(1)

Adam Kaliszan Mariusz Głąbowski

Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych Politechnika Poznańska

ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań e-mail: akalisz@et.put.poznan.pl

SYMULATOR WIĄZKI PEŁNODOSTĘPNEJ OBSŁUGUJĄCEJ ZINTEGROWANE NIE-POISSONOWSKIE STRUMIENIE ZGŁOSZEŃ

Streszczenie: W artykule przedstawiono sposoby prowadze- nia badań symulacyjnych wiązki pełnodostępnej obsługują- cej ruch zintegrowany, której oferowane są strumienie zgło- szeń Bernoullego, Pascala i Poissona. Opisany symulator opiera się na metodzie planowania zdarzeń. Metoda ta ofe- ruje więcej możliwości niż popularne symulacje typu Monte Carlo stosowane często w inżynierii ruchu. W artykule opi- sano sposoby symulowania różnych strumieni zgłoszeń oraz sposób ich obiektowej implementacji.

1. Wprowadzenie

Podstawowym systemem z ruchem zintegrowanym jest tzw. wiązka pełnodostępna, która jest modelem poje- dynczego łącza z nieograniczonym dostępem do zaso- bów. Wiązce tej oferowane są niezależne strumienie zgłoszeń. Jeśli założymy, że strumienie te są Poisso- nowskimi strumieniami to system taki może być symu- lowany metodą Monte Carlo [1]. Jeśli system rozsze- rzymy o obsługę nie-Poissonowskich strumieni zgło- szeń, takich jak strumienie Pascala lub Bernoullego, to konieczne jest stosowanie symulacji czasowej. Moż- liwości takie zapewnia m.in. metoda planowania zda- rzeń. Celem artykułu jest zaprezentowanie symulatora wiązki doskonałej z ruchem zintegrowanym o rozkła- dzie Poissona, Bernoullego i Pascala. Artykuł zorga- nizowany jest w następujący sposób. W rozdziale 2 opisano model wiązki pełnodostępnej oraz strumienie zgłoszeń Poissona, Bernoullego i Pascala. W rozdzia- le 3 przedstawiono metodę symulacji opisanych stru- mieni zgłoszeń. Rezultaty symulacji wybranych wią- zek oraz czasy trwania symulacji zostały przedstawio- ne w rozdziale 4. Rozdział 5 zawiera podsumowanie.

2. Wiązka pełnodostępna i oferowane jej strumienie zgłoszeń

Wiązka pełnodostępna obsługuje m klas zgłoszeń.

Każdą klasę opisują parametry takie jak: zasoby żąda- ne do obsługi pojedynczego zgłoszenia, strumień na- pływania zgłoszeń oraz strumień obsługi. Strumienie zgłoszeń mogą mieć różne rozkłady. Najpopularniej- sze rozkłady zostały opisane w artykule w następ- nych podrozdziałach. Czasy obsługi zgłoszeń wszyst- kich klas mają charakter wykładniczy z parametrami:

µ

1

, µ

2

, . . . , µ

m

.

Wiązka 1 2 3. . . V Klasa nr 1: z

1

, λ

1

, µ

1

-

Klasa nr 2: S

2

, z

2

, γ

2

, µ

2

-

Klasa nr m: N

m

, z

m

, γ

m

, µ

m

-

Rys. 1. Model systemu multi-rate z pojedynczym (separowanym) łączem

2.1. Model wiązki pełnodostępnej

Przyjmijmy, że zasoby wiązki żądane dla realizacji zgłoszeń poszczególnych klas ruchu stanowią wielo- krotność pewnej wartości przepływności, tzw. Podsta- wowej Jednostki Pasma

¹

. Wiązka pełnodostępna ma pojemność V PJP, które są dostępne dla wszystkich pojawiających się zgłoszeń. Oznacza to, że w wiąz- ce pełnodostępnej nie występuje zależność strumienia zgłoszeń od stanu, w którym system się znajduje [3].

Zgłoszenie klasy i wymaga z

i

PJP do zestawienia po- łączenia. Opisany model wiązki pełnodostępnej obsłu- gującej m klas zgłoszeń przedstawiono na rysunku 1.

Parametry, które określają każdą klasę zgłoszeń, zo- stały omówione w dalszej części artykułu.

2.2. Strumień zgłoszeń Poissona

Strumień zgłoszeń Poissona określany jest często ja- ko strumień najprostszy. Posiada on następujące ce- chy: pojedynczość, brak następstw i stacjonarność [4].

Prawdopodobieństwo, że w czasie t napłynęło n zgło- szeń klasy i jest równe:

P

n

(t) = (λ

i

· t)

ⁿ

n! · e

^−λⁱ^t

. (1) Na podstawie wzoru (1) prawdopodobieństwo, że w czasie t nie pojawiło się żadne zgłoszenie, jest równe P

0

(t) = e

⁻^λⁱ^t

, (2)

1

Przy konstruowaniu modeli multi-rate dla systemów szero- kopasmowych B-ISDN przyjmuje się, że PJP jest największym wspólnym podzielnikiem pasm równoważnych wszystkich ofero- wanych systemowi strumieni zgłoszeń [2, 3].

2006

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne

Poznań 7 - 8 grudnia 2006

(2)

natomiast prawdopodobieństwo pojawienia się jedne- go zgłoszenia w czasie t jest równe:

P

1

(t) = λ

i

t · e

⁻^λⁱ^t

. (3) Prawdopodobieństwa te zależne są od długości prze- działu czasu t. Nie zależą one od czasu pojawienia się poprzedniego zgłoszenia. Na podstawie wzorów (2), (3) można obliczyć dystrybuantę F (t) pomiędzy ko- lejnymi zgłoszeniami, która określa prawdopodobień- stwo, że czas pomiędzy zgłoszeniami T będzie krótszy od zadanego czasu t. Prawdopodobieństwo takie jest równoważne prawdopodobieństwu, że w czasie t poja- wi się jedno lub więcej zgłoszeń klasy:

F (t) = X

∞ n=1

P

n

(t) = 1 − P

0

(t) = 1 − e

^−λⁱ^t

. (4)

Na podstawie dystrybuanty F (t) można zamienić próbki z generatora o rozkładzie równomiernym na próbki o rozkładzie opisanym przez dystrybuantę F (t). W tym celu próbki otrzymane z rozkładu rów- nomiernego o przedziale od 0 do 1 oznaczone jako p

F

należy podstawić do funkcji dystrybuanty:

F (t) = p

F

. (5)

Wzór (5) można tak przekształcić, by na podstawie znajomości funkcji F (t) rozkładu Poissona (wzór (4)) obliczyć t, które jest próbką z generatora losowego o rozkładzie Poissona:

t = − ln(p

F

) λ

i

. (6)

Gęstość rozkładu Poissona jest równa

f (t) = λ

i

e

^−λⁱ^t

. (7) Rozkład ten jest rozkładem wykładniczym. Średnia wartość tego rozkładu to λ

⁻¹_i

. Niech π

i,1

(t) oznacza prawdopodobieństwo, że w przedziale czasu o długości t pojawi się choć jedno zgłoszenie klasy i oraz niech Λ

i

(t) oznacza intensywność strumienia zgłoszeń kla- sy i w czasie t, która jest równa:

Λ

i

(t) = lim

∆t→0

π

i,1

(t + ∆t)

∆t . (8)

Na podstawie właściwości strumienia Poissona, takich jak pojedynczość i brak następstw, można wykazać, że

Λ

i

(t) = λ

i

. (9)

2.3. Strumień zgłoszeń Bernoullego

Strumień zgłoszeń Bernoullego ma ograniczoną licz- bę źródeł ruchu. Przyjmijmy, że liczba źródeł ruchu klasy i, która oferuje strumień zgłoszeń o rozkładzie Bernoullego, jest równa S

i

. Odstępy pomiędzy nowy- mi zgłoszeniami wygenerowanymi przez pojedyncze źródło mają rozkład wykładniczy. Źródła mogą być w dwóch różnych stanach. Jeśli źródło klasy i jest w stanie aktywnym, to jego intensywność generowania

zgłoszeń jest równa γ

i

, a gdy jest w stanie nieaktyw- nym, to jego intensywność jest równa 0. Źródło jest w stanie nieaktywnym, gdy jest obsługiwane zgłosze- nie pochodzące od tego źródła. Czasy pomiędzy no- wymi zgłoszeniami pojedynczego źródła mogą być lo- sowane w taki sam sposób, co odstępy czasu pomiędzy zgłoszeniami w strumieniu Poissona:

t = − ln(p

F

) γ

i

. (10)

Nie jest określany moment pojawienia się nowego zgło- szenia, gdy źródło jest w stanie nieaktywnym. Inten- sywność strumienia zgłoszeń Bernoullego zależy od liczby źródeł, które są w stanie aktywnym. Liczba ak- tywnych źródeł zależy od liczby aktualnie obsługiwa- nych zgłoszeń y

i

(t) i jest równa S−y

i

(t). Można wyka- zać, że intensywność strumienia zgłoszeń Bernoullego jest równa

Λ

i

(t) = (S

i

− y

i

(t)) · γ

i

. (11) 2.4. Strumień zgłoszeń Pascala

W strumieniu Pascala początkowa liczba źródeł kla- sy i jest równa N

i

. Każde źródło generuje zgłoszenia z intensywnością γ

i

. Liczba źródeł klasy i zależy od liczby zgłoszeń w systemie i jest równa N

i

+ y

i

(t). In- tensywność zgłoszeń w strumieniu Pascala zależy od liczby źródeł tego strumienia i jest równa

Λ

i

(t) = (N

i

+ y

i

(t)) · γ

i

. (12) 2.5. Strumień obsługi

W artykule przyjęto, że czasy obsługi zgłoszeń mają rozkład wykładniczy i pojedyncze zgłoszenie klasy i obsługiwane jest z intensywnością µ

i

. Generator liczb losowych o rozkładzie wykładniczym, odpowiadający czasom obsługi pojedynczych zgłoszeń, można zaim- plementować w analogiczny sposób co generator opi- sujący strumień pojedynczego źródła zgłoszeń:

t

obsł

= − ln(p

F

) µ

i

, (13)

gdzie P

F

jest próbką z generatora o rozkładzie równo- miernym o wartościach od 0 do 1. Należy podkreślić, że t

obsł

określa czas obsługi pojedynczego zgłoszenia w systemie, a system może obsługiwać wiele zgłoszeń równocześnie. W symulacji dla każdego takiego zgło- szenia należy indywidualnie wylosować czas obsługi.

Intensywność strumienia obsługi zgłoszeń klasy i za- leży od liczby obsługiwanych zgłoszeń tej klasy y

i

(t).

Można wykazać, że intensywność strumienia obsługi klasy i jest równa [4]

N

i

(t) = µ

i

y

i

(t). (14)

Model, w którym systemowi oferowany jest Poisso-

nowski strumień zgłoszeń, a czas obsługi pojedynczego

zgłoszenia jest wykładniczy, nazywany jest modelem

Erlanga. Model ten został przedstawiony na rysunku 2

dla systemu, który obsługuje tylko zgłoszenia poje-

dynczej klasy i. Rysunek 3 przedstawia model Engse-

(3)

0 λ

i

z

i

2z

i

3z

i

4z

i

5z

i

. . . µ

i

λ

i

2µ

i

λ

i

3µ

i

λ

i

4µ

i

λ

i

5µ

i

λ

i

6µ

i

Rys. 2. Diagram stanów procesu obsługi zgłoszeń w modelu Erlanga

0 z

i

2z

i

3z

i

4z

i

5z

i

. . .

S

i

γ

i

µ

i

(S

i

−1)γ

ⁱ

2µ

i

(S

i

−2)γ

ⁱ

3µ

i

(S

i

−3)γ

ⁱ

4µ

i

(S

i

−4)γ

ⁱ

5µ

i

(S

i

−5)γ

ⁱ

6µ

i

Rys. 3. Diagram stanów procesu obsługi zgłoszeń w modelu Engseta

ta, w którym strumień zgłoszeń ma rozkład Bernoulle- go a czas obsługi pojedynczego zgłoszenia ma rozkład wykładniczy. Zakładamy przy tym, że S > V . Po- dobnie zilustrowany system obsługuje tylko zgłosze- nia pojedynczej klasy i. Rysunek 4 przedstawia dia- gram stanów dla systemu ze strumieniem zgłoszeń o rozkładzie Pascala obsługującym tylko zgłoszenia kla- sy i. Zilustrowane systemy mają tylko stany o wielo- krotnościach z

i

. Przez numer stanu rozumiemy licz- bę zajętych PJP przez zgłoszenia klasy i. Pojedyncze zgłoszenie tej klasy żąda z

i

PJP, zatem po przyjęciu do obsługi kolejnego zgłoszenia tej klasy system prze- chodzi ze stanu n do stanu n + z

i

. Jeśli założymy, że system obsługuje tylko zgłoszenia klasy i (tak jak na rysunkach 2–4) to stany, które nie są wielokrotnością z

i

nie są dozwolone.

3. Badania symulacyjne wiązki pełnodostępnej 3.1. Metoda planowania zdarzeń

W metodzie planowania zdarzeń występuje czas syste- mowy, według którego posortowane są zdarzenia prze- chowywane na liście zdarzeń. Proces symulacji pole- ga na pobieraniu pierwszego zdarzenia z listy zda- rzeń, przestawianiu czasu systemowego do czasu tego zdarzenia i „wykonaniu” pobranego zdarzenia. Przez

„wykonanie zdarzenia” należy rozumieć reakcję symu- lowanego systemu na to właśnie zdarzenie. Na przy- kład wykonywanie zdarzenia typu zakończenie obsłu- gi zgłoszenia polega na zwolnieniu zasobów zajętych przez to zgłoszenie w symulowanym systemie. Wyko- nanie zdarzenia często pociąga za sobą zaplanowanie nowych zdarzeń, które są dodawane do listy zdarzeń.

Przed rozpoczęciem symulacji konieczna jest jej inicja- cja, która polega na ustaleniu stanu początkowego sys- temu. W procesie inicjacji planowane jest też pierw- sze (lub kilka) zdarzenie, które zapoczątkuje proces

0 ^N z

i

2z

i

3z

i

4z

i

5z

i

. . .

i

γ

i

µ

i

(N

i

+1)γ

i

2µ

i

(N

i

+2)γ

i

3µ

i

(N

i

+3)γ

i

4µ

i

(N

i

+4)γ

i

5µ

i

(N

ⁱ

+5)γ

ⁱ

6µ

i

Rys. 4. Diagram stanów procesu obsługi strumienia zgłoszeń Pascala

symulacji. Należy podkreślić, że po inicjacji w czasie procesu symulacji lista zdarzeń nigdy nie może być pusta.

3.2. Symulowanie wiązki obsługującej Poisso- nowskie strumienie zgłoszeń

Rozważmy symulację systemu obsługującego m klas z Poissonowskimi strumieniami zgłoszeń. W procesie inicjacji dodawane jest m zdarzeń typu pojawienie się nowego zgłoszenia klasy 1, 2, . . . , m i stan syste- mu ustawiany jest na n = 0.

W procesie symulacji zawsze wykonywane jest pierw- sze zdarzenie z listy zdarzeń. Jeśli tym zdarzeniem jest zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia klasy i, to należy sprawdzić, czy system dysponuje wy- starczającymi zasobami by przyjąć do obsługi to zgło- szenie (n < V − z

i

):

Tak Planowane jest nowe zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia. Jego czas określany jest na podstawie rozkładu wykładniczego z intensywno- ścią λ

i

. Następnie zajmowane są zasoby systemo- we (przechodzi on ze stanu n do stanu n + z

i

i planowane jest zdarzenie typu zakończenie ob- sługi zgłoszenia klasy i. Jego czas określany jest na podstawie rozkładu wykładniczego z intensyw- nością µ

i

,

Nie Planowane jest nowe zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia. Jego czas określany jest na podstawie rozkładu wykładniczego z intensywno- ścią λ

i

.

Jeśli wykonywanym zdarzeniem w procesie symulacji jest zdarzenie typu zakończenie obsługi zgłoszenia klasy i to zwalniane są zasoby zajęte przez obsłużo- ne zgłoszenie (system przechodzi ze stanu n do stanu n − z

i

).

Podsumowując w symulacji m Poissonowskich stru- mieni zgłoszeń są dwa typy zdarzeń: pojawienie się no- wego zgłoszenia i zakończenie obsługi zgłoszenia. Na liście zdarzeń może być maksymalnie m + V elemen- tów.

3.3. Symulowanie strumienia zgłoszeń Berno- ullego

Rozważmy symulację wiązki, która obsługuje tylko zgłoszenia jednej klasy i. Przyjmijmy, że strumień zgłoszeń klasy i ma rozkład Bernoullego o S źródłach.

W procesie inicjacji należy dodać S zdarzeń typu poja- wienie się nowego zgłoszenia klasy i oraz ustawić stan zajętości systemu na n = 0.

W procesie symulacji, wykonując zdarzenie typu po- jawienie się nowego zgłoszenia klasy i, należy sprawdzić czy system dysponuje wolnymi zasobami by przyjąć do obsługi zgłoszenie klasy i:

Tak Planowane jest zdarzenie typu zakończenie ob-

sługi zgłoszenia klasy i oraz zajmowane są zaso-

by systemu. Czas zakończenia obsługi zgłoszenia

określany jst za pomocą losowego rozkładu wy-

kładniczego z intensywnością µ

i

,

(4)

Nie Planowane jest zdarzenie typu pojawienie się no- wego zgłoszenia klasy i. Czas tego zgłoszenia określany jest zgodnie ze wzorem (10).

Wykonując zdarzenie typu zakończenie obsługi zgłoszenia klasy i należy zaplanować zdarzenie ty- pu pojawienie się nowego zgłoszenia i zwolnić zasoby systemu.

Podsumowując, w symulacji pojedynczego strumienia Bernoullego dla każdego źródła tego strumienia pla- nowane jest osobno zdarzenie typu pojawienie się no- wego zgłoszenia. Zatem strumień pojedynczej klasy i o rozkładzie Bernoullego ma zawsze S

i

zdarzeń typu pojawienie się nowego zgłoszenia lub jego zakończenie.

Opisana metoda pozwala na badanie systemu, które- mu oferowane jest wiele różnych strumieni zgłoszeń.

3.4. Symulowanie strumienia zgłoszeń Pascala Rozważmy symulację wiązki, w której klasa i oferuje strumień zgłoszeń o rozkładzie Pascala. W momencie inicjacji symulacji należy dla klasy i dodać N zdarzeń czasowych typu pojawienie się nowego zgłoszenia kla- sy i.

W procesie symulacji, wykonując takie zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia klasy i, należy sprawdzić czy system dysponuje wolnymi zasobami by przyjąć do obsługi kolejne zgłoszenie:

Tak System przyjmuje do obsługi nowe zgłoszenia, planuje zdarzenia typu pojawienie się nowego zgłoszenia oraz zakończenie obsługi zgłoszenia.

Następnie system dodaje nowe źródło zgłoszeń, które powiązane jest z obsługiwanym właśnie zgłoszeniem. Dla nowego źródła planowane jest również zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia pochodzącego od nowo dodanego źró- dła,

Nie System odrzuca przychodzące zgłoszenie i pla- nuje nowe zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia.

Jeśli w symulacji wykonywane jest zdarzenie typu za- kończenie obsługi zgłoszenia klasy i, to zwalniane są zasoby zajmowane przez zgłoszenie tej klasy. Na- stępnie usuwane jest z symulacji źródło powiązane z wykonanym zdarzeniem (źródło, które zostało doda- ne do systemu w momencie rozpoczęcia obsługi te- go zgłoszenia) i zdarzenie typu pojawienie się nowego zgłoszenia, które pochodzi od usuwanego źródła.

Podsumowując pojedyncza klasa ze strumieniem zgło- szeń Pascala może mieć maksymalnie N +2V zdarzeń.

4. Porównanie wyników i czasów trwania symulacji

Badane systemy dysponowały pojemnością V = 50 PJP i obsługiwały 4 klasy zgłoszeń. Dla wszystkich badanych systemów intensywności strumieni zgło- szeń poszczególnych klas podzielono według proporcji:

a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1 i zgłoszenia tych klas żądały odpowiednio z

1

= 1, z

2

= 3, z

3

= 1,

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

klasa 1, 3 klasa 2, 4

Rys. 5. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu, któremu zaoferowano 4 Poissnowskie strumienie

zgłoszeń (V = 50, z

1

= z

3

= 1, z

2

= z

4

= 3, a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1)

z

4

= 3. Nie-Poissonowskie strumienie wraz ze wzro- stem liczby źródeł coraz bardziej przypominają stru- mienie Poissonowskie. Z tego względu pierwszy bada- ny system obsługiwał tylko klasy, które oferowały Po- issonowskie strumienie zgłoszeń. Rysunek 5 przedsta- wia zależność prawdopodobieństwa strat B

i

(n) zgło- szeń klasy i od natężenia ruchu oferowanego jednost- ce pasma a = P

m

i=1

a

i

t

i

/V . Badania przeprowadzo- no dla a ∈ (0.6 ÷ 1.5) Erlanga. Na rysunkach 6 – 8 zamieszczono charakterystyki dla systemów, którym oferowano 2 klasy o Poissonowskich strumieniach zgło- szeń i 2 o strumieniach zgłoszeń o rozkładzie Bernoul- lego. Badane systemu różnią się liczbą źródeł dla nie- Poissonowskich strumieni zgłoszeń. Na rysunkach 9 – 11 zamieszczono charakterystyki dla systemów, któ- rym zaoferowano 2 klasy o Poissonowskich strumie- niach zgłoszeń i 2 o strumieniach zgłoszeń o rozkładzie Pascala.

Zamiana Poissonowskiego strumienia zgłoszeń na

strumień zgłoszeń o rozkładzie Bernoullego nie ma

znaczącego wpływu na wydłużenie procesu symula-

cji. Wzrost czasu trwania symulacji spowodowany jest

wydłużeniem się listy zdarzeń czasowych. Na rysun-

ku 12 przedstawiono zależność czasu symulacji od ru-

chu oferowanego dla systemów obsługujących strumie-

nie zgłoszeń Poissona i Bernoullego. Charakterystyki

tych systemów zostały przedstawione na rysunkach 6 –

8. Czasy te porównano z czasem symulacji dla systemu

obsługującego tylko Poissonowskie strumienie zgło-

szeń (rysunek 6). Na rysunku 12 można zaobserwo-

wać, że wzrost czasu symulacji jest proporcjonalny do

wzrostu liczby źródeł zgłoszeń w nie-Poissonowskich

strumieniach zgłoszeń. Fakt ten można wytłumaczyć

tym, że wraz ze wzrostem liczby źródeł wzrasta śred-

nia długość listy zdarzeń czasowych. Dodając do tej li-

sty nowe zdarzenie, należy je umieścić tak, by lista by-

ła nadal posortowana względem czasów zdarzeń. Czas

przeszukiwania listy jest proporcjonalny do jej długo-

ści.

(5)

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa 4

Rys. 6. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie

zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie Bernoullego (V = 50, z

1

= z

3

= 1, z

2

= z

4

= 3,

a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1, S

3

= 15, S

4

= 5)

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa 4

Rys. 7. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie

zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie Bernoullego (V = 50, z

1

= z

3

= 1, z

2

= z

4

= 3,

a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1, S

3

= 45, S

4

= 15)

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa 4

Rys. 8. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie

zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie Bernoullego (V = 50, z

1

= z

3

= 1, z

2

= z

4

= 3, a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1, S

3

= 135,

S

4

= 45)

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa 4

Rys. 9. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie strumienie zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie Pascala

(V = 50, z

1

= z

3

= 1, z

2

= z

4

= 3, a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1, S

3

= 15,

S

4

= 5)

(6)

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa 4

Rys. 10. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie

strumienie zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie Pascala (V = 50, z

1

= z

3

= 1, z

2

= z

4

= 3,

a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1, S

3

= 45, S

4

= 15)

1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa 4

Rys. 11. Prawdopodobieństwo strat B(t) dla systemu, któremu zaoferowano 2 Poissonowskie

strumienie zgłoszeń i 2 strumienie zgłoszeń o rozkładzie Pascala (V = 50, z

1

= z

3

= 1, z

2

= z

4

= 3,

a

1

z

1

: a

2

z

2

: a

3

z

3

: a

4

z

4

= 1 : 1 : 1 : 1, S

3

= 135, S

4

= 45)

0 500 1000 1500 2000

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 a

Czas [ms]

System z rysunku nr 5 System z rysunku nr 6 System z rysunku nr 7 System z rysunku nr 8

Rys. 12. Zależność czasu symulacji od ruchu oferowanego a dla różnych systemów

5. Podsumowanie

W artykule zaprezentowano sposób symulowania Pois- sonowskich i nie-Poissonowskich strumieni zgłoszeń za pomocą metody planowania zdarzeń. Opisana meto- da pozwala nie tylko na symulowanie dowolnych stru- mieni zgłoszeń lecz również na symulowanie dowol- nych wiązek jak na przykład wiązka z ograniczoną do- stępnością. Czas trwania symulacji zależy od długości listy zdarzeń. Implementując bardziej zaawansowane struktury danych do przechowywania zdarzeń można zmniejszyć czasy symulacji.

Literatura

[1] N. Metropolis, S. Ulam. The Monte Carlo method.

Journal American Statistical Association, (247):335–

341, 1949.

[2] J.W. Roberts, redaktor. Performance Evaluation and Design of Multiservice Networks, Final Report COST 224. Commission of the European Communities, Brus- sels, Holland, 1992.

[3] J.W. Roberts, V. Mocci, I. Virtamo, redaktorzy. Bro- adband Network Teletraﬃc, Final Report of Action COST 242. Commission of the European Communi- ties, Springer, Berlin, 1996.