EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI *
IDENTYCZNOBC, PEWNE ZAIMKI FUNKTOROWE I DESKRYPCJE
Z logicznego punktu widzenia, wRród zaimków szczególnie interesujVcymi sV tak zwane zaimki wskazuj*ce (zwYaszcza: ten|ta|to, tamten|tamta|tamto), zaimki
nie-okre2lone (jaki2|jaka2|jakie2), zaimki okre2lone (jedyny|jedyna|jedyne) oraz zaimki kwantyfikuj*ce (ka7dy|ka7da|ka7de, wszelkie|wszystkie, pewien|pewna|pewne). W
od-ró_nieniu od zaimków nazwowych (np. ja|ty|on) sV one de facto funktorami (kategorii n/n).
MajVc na uwadze wYasnoRci logiczne zaimków, mo_emy zarysowac pewnV ich klasyfikacjd.
Ujmiemy jV w postaci drzewa (zob. schemat na nastdpnej stronie).
Istotne jest tu rozró_nienie na zaimki nazwowe (n) i funktorowe (n/n). Rozró_-nienia tego nie ma w gramatyce tradycyjnej. Samo okreRlenie zaimek (od Yac. pro
nomine) sugeruje, _e wyra_enia te funkcjonujV w zastdpstwie nazw, co w
odniesie-niu do zaimków funktorowych jest jednak mylVce. Zaimki funktorowe dopiero wraz z nazwV (argumentem funktora zaimkowego) tworzV nazwd. W teoriach jdzyka i w pracach lingwistycznych RwiadomoRc tego faktu jest obecna, lecz w inny sposób jest wyra_ana, i to najczdRciej w odniesieniu do konkretnych sYów tego typu1.
Badania ni_ej przedstawione ograniczajV sid do determinujVcych zaimków funktorowych (wskazujVcych, okreRlonych i nieokreRlonych2), przy
wykorzy-Dr hab. EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI,prof.UR – ZakYad Filozofii Przyrody, Uniwersytet Rolniczy im. Hugona KoYYVtaja w Krakowie; adres do korespondencji: al. 29 Listopada 46, 31-425 Kra-ków; e-mail: rlwojcie@cyf-kr.edu.pl
1 PrzykYadowo w odniesieniu do zaimków wskazujVcych zob. K. B ü h l e r, Teoria j:zyka,
Kraków 2004, s. 93 oraz W. D o r o s z e w s k i, O zaimku ‘ten’ jako o ha2le s?ownikowymi, [w:] t e n -_ e, J:zyk – My2lenie – Dzia?anie, Warszawa 1982, s. 253-257.
2 Zaimki nieokreRlone (jaki2|jaka2|jakie2) pokrywajV sid znaczeniowo w naszym ujdciu ze
szcze-góYowymi zaimkami kwantyfikujVcymi (pewien|pewna|pewne), które sV tu reprezentowane przez funktor r, scharakteryzowany formalnie.
staniu wYasnoRci logicznych wyra_es kwantyfikujVcych, bddVcymi równie_ zaim-kami funktorowymi, wszystkie i pewne – ujdtych formalnie w bezkwantyfikato-rowym rachunku nazw.
Zaimki
t
u Nazwowe
t u Kwantyfikuj*ce
t t u Osobowe (kto2, nikt) t t v Nieosobowe (co2, nic)
t u Niekwantyfikuj*ce
t t u Singural (ja, ty, on|ona|ono) t t v Plural (my, wy, oni|one) t v Relatywne (którego|której|które, których) v Funktorowe
u Determinuj*ce
t u Wskazuj*ce (ten|ta|to, tamten|tamta|tamto)
t u Okre2lone (jedyny|jedyna|jedyne) t v Nieokre2lone (jaki2|jaka2|jakie2) u Kwantyfikuj*ce
t u Ogólne (ka7dy|ka7da|ka7de, wszystkie|wszystko) t u Szczegó?owe (pewien|pewna|pewne)
t v Porównuj*ce (wi:kszo2O|mniejszo2O, wiele|ma?o) v Posesywne
u Singular (mój|twój|jego|jej, moje|twoje|jego|jej) v Plural (nasz|wasz|ich, nasze|wasze|ich)
1. PRELIMINARIA
Toshiharu Waragai zaproponowaY pewien system logiki identycznoRci, uwzgldd-niajVcy demonstrativa (LID)3. Na jego sYownik skYadajV sid:
1. zmienne nazwowe: a,b,c,...,x,y,z (kategorii n);
2. zmienne zaimkowe: X,Y,Z,... (kategorii n/n), reprezentujVce demonstrativa; 3. funktory logiczne: ~,ҍ,Ҏ, x , y (pierwszy kategorii s/s a pozostaYe – s/ss); 4. funktor identycznoRci: = (kategorii s/nn);
5. kwantyfikatory: {,|; 6. nawiasy: (,).
Aksjomatami specyficznymi tej konstrukcji sV:
3 T. W a r a g a i, Basic Construction of a System of Logic Based on Identity and
AI a= b y |x(x = a) ҍ {xy(x = b ҍ y = b x x = y) ҍ {x(x = a x x = b)
AD1 a= a x a = Xa
D1 ab y |X(a = Xb)
AD2 |x(xa) x Xa = Xa AD3 {XY(Xa = Ya) x a = a
Aksjomat AI determinuje funktor identycznoRci. Sens pozostaYych aksjomatów i definicji D1, w zamyRle autora, jest nastdpujVcy:
(AD1) JeRli a jest indywiduum, to nie jest indywidualizowalne.
(D1) a jest b wtedy-i-tylko-wtedy-gdy a jest-identyczne-z pewnV instatacjV b.
(Np. Sokrates jest cz?owiekiem znaczy tyle co Sokrates jest identyczy
z pewnym indywiduum, b:d*cym cz?owiekiem).
(AD2) JeRli a istnieje, to wszelka instatacja a jest indywiduum. (AD3) JeRli wszelkie instatacje a sV identyczne, to a jest indywiduum.
W systemie przyjmowane sV reguYa podstawiania (dla nazw i dla funktorów zaim-kowych), reguYa odrywania oraz reguYy operowania kwantyfikatorami4. Jest on ufundowany na klasycznym rachunku zdas. Zawiera on pewien fragment ontolo-gii elementarnej, bez definicji typu ontologicznego.
2. IDEA
Szczególnym przypadkiem zaimka nieokreRlonego jest sYówko pewien (r) w znaczeniu jednostkowym, dajVcym sid zastVpic wyra_eniem jakie2. Za pomocV tego funktora z zakresu nazwy jest wybierany jeden z jej desygnatów, bddVcy in-statacjV tej nazwy. Funktor ten jest granicznym przypadkiem funktora nieokreRlo-noRci ()5.
Fragmenty systemu LID mo_na wyrazic w pewnych sYabszych konstrukcjach, budowanych metodV zaYo_eniowV. Mamy tu na uwadze gYównV ided realizowanV w tym systemie:
4 ReguYy te mo_na zbudowac w standardowy sposób. Zob. w tej sprawie: J. S Y u p e c k i, St.
Le2niewski’s calculus of names, „Studia Logica” 3 (1955), s. 7-70. SV one tu odpowiednio rozsze-rzone: kwantyfikatory mogV wiVzac równie_ zmienne zaimkowe (n/n).
5 Funktor nieokreRlonoRci wystdpowaY w historii logiki w ró_nych realizacjach idei
kwantyfika-cji orzeczników. Zob. w tej sprawie: E. W o j c i e c h o w s k i, Zwischen der Syllogistik und den Systemen von Le2niewski: Eine Rekonstruktion der Idee der Quantifizierung der Prädikate, „Grazer Philosophische Studien” 48 (1994), s. 165-200.
(1) ab to tyle co: a jest identyczne z pewn* instatacj* b
Jedna z tych konstrukcji poRrednich jest zbudowana w duchu bezkwanty-fikatorowego rachunku nazw.
Z uwagi na to, _e w jdzyku naturalnym nie ma kwantyfikatorów (pojmowa-nych jako operatory), preferowanym przez nas narzddziem do analizy jdzyka na-turalnego jest bezkwantyfikatorowy rachunek nazw (BRN). Rachunek ten charak-teryzuje wYasnoRci funktora (jest – w znaczeniu jednostkowym):
(2) ab to tyle co: a istnieje, a jest jednostkowe i a zawiera si: w b
Powy_sze idee (1) i (2) dadzV sid poYVczyc w jednV i mo_na je wyrazic na gruncie odpowiednio rozszerzonego bezkwantyfikatorowego rachunku nazwowe-go BRND.
Z kolei, zaimek funktorowy jedyne (), scharakteryzowany tu za pomocV reguY, powiV_emy z operatorem deskrypcji okre2lonych (tak samo oznaczanym), nawiV-zujVc do pewnej koncepcji Borkowskiego. Jego odpowiednik na gruncie naszego rachunku jest szczególnym przypadkiem – z uwagi na nazwd, przed którV stoi – zaimka okreRlonego.
3. BEZKWANTYFIKATOROWY RACHUNEK NAZW Z ZAIMKAMI FUNKTOROWYMI
S O W N I K. SYownik jdzyka bezkwantyfikatorowego rachunku nazw z zaimkami
funktorowymi (BRND) tworzV:
(a) zmienne nazwowe: a,b,c,x,y,z kategorii n (z indeksami lub bez);
(b) staYe nazwowe: A,B,C kategorii n (z indeksami lub bez);
(c) zmienne funktorowe: f,g,h kategorii n/n (z indeksami lub bez);
(d) zmienne zaimkowe: X,Y,Z kategorii n/n (z indeksami lub bez);
(e) staYe zaimkowe: D,E,F kategorii n/n (z indeksami lub bez);
(f) staYe funktorowe: ~ kategorii s/s ҍ,Ҏ,x,y kategorii s/ss ; (g) specyficzne staYe nazwowe:
V, kategorii n ; (h) specyficzne staYe funktorowe:
n, ,r, kategorii n/n
,! kategorii n/nn
, ,!,= kategorii s/nn ;
(i) nawiasy: (,).
Powy_sze wyra_enia tego sYownika krótko scharakteryzujemy.
Ad (a). Zmienne nazwowe reprezentujV nazwy – podobnie jak w ontologii LeR-niewskiego – w szerokim znaczeniu: zarówno nazwy referencjalne, jak i niere-ferencjalne (puste). Nazwy reniere-ferencjalne dzielone sV na ogólne (np. cz?owiek,
zwierz:) i jednostkowe (np. Platon, Arystoteles, twórca pierwszego systemu geo-metrii).
Ad (b). StaYe nazwowe peYniV tu jedynie technicznV funkcjd w dowodach. SV one odpowiednikami nazw wYasnych jdzyka naturalnego.
Ad (c). Zmienne funktorowe (f,g,h) reprezentujV funktory relatywne typu: ojciec,
autor, twórca, planeta... PojawiajV sid one w kontekstach takich jak: ojciec Piotra
czy ojciec pisarza, autor ‘Pana Tadeusza’, twórca mechaniki klasycznej, planeta
Uk?adu S?onecznego.
Ad (d). Zmienne zaimkowe (X,Y,Z) reprezentujV zaimki funktorowe (o kategorii
n/n). W szczególnoRci zaimki wskazujVce (demonstrativa), takie jak: ten|ta|to, tamten|tamta|tamto czy bardzej zYo_one np. ten-na-drzewie-siedz*cy6, ta-stoj*ca-po-lewej-stronie...
Ad (e). StaYe zaimkowe (D,E,F) peYniV tu funkcjd jedynie technicznV (podobnie jak staYe nazwowe).
Ad (f). StaYe funktorowe oznaczajVce negacjd zdaniowV i klasyczne spójniki logiczne.
Ad (g). Specyficzne staYe nazwowe V, sV czytane odpowiednio: „przedmiot”, „przedmiot-sprzeczny”.
Ad (h). Specyficzne staYe funktorowe:
n, ,r, pojawiajVce sid w kontekstach nx, x,rx i x sV czytanie
odpo-wiednio: „nie x”, „ka7de x”, „pewne x“ i „jedyne x”;
,Ґ pojawiajVce sid we frazach xy i xҐy sV czytane odpowiednio: „x
i y” (np. matematyk i fizyk) oraz “x lub y” (np. matematyk lub fizyk); ex,sol pojawiajVce sid w kontekstach ex(x) i sol(x), które sV czytane:
„ist-nieje x” i „co-najwy7ej-jedno x”;
, ,!,= pojawiajVce sid we frazach xy, x y, x!y i x = y czytane odpo-wiednio: „x jest y”, „x zawiera-si:-w y”, „pewne x jest y”7 oraz „x
jest-identyczne-z y”.
6 PosYugujemy sid tu YVcznikami (-) dla zaznaczenia, _e dana fraza jest tu traktowana jako
lo-gicznie nieanalizowalna.
TE R M I N Y
Zmienne nazwowe x,y,z... sV terminami. StaYe nazwowe A,B,C...,V, sV terminami.
Je_eli a jest terminem, to na, a,ra,a jak równie_ fa,ga,ha..., Xa,Ya,Za... i Da,
Ea,Fa... sV te_ terminami.
Je_eli a i b sV terminami, to terminami sV równie_ ab i aҐb. Terminy bddziemy dzielic na okre2lone i nieokre2lone: TE R M I N Y O K R E B L O N E
Zmienne nazwowe x,y,z... sV terminami okreRlonymi. StaYe nazwowe V,, A,B,C... sV terminami okreRlonymi.
Je_eli a jest terminem okreRlonym, to na i aa sV równie_ terminami okreRlonymi. Je_eli a i b sV terminami okreRlonymi, to ab i aҐb sV równie_ terminami okreRlonymi.
TE R M I N Y N I E O K R E B L O N E
Terminami nieokreRlonymi sV te terminy, które nie sV terminami okreRlonymi. FO R M U Y
Je_eli a jest terminem, to ex(a) i sol(a) sV formuYami.
Je_eli a i b sV terminami, to ab,a b, a!b i a = b sV formuYami. Je_eli jest formuYV, to ~ jest równie_ formuYV.
Je_eli i sV formuYami, to formuYami sV równie_ ҍ,Ҏ, x i y . FormuYy dzielimy na atomowe i zYo_one.
FO R M U Y A T O M O W E
Je_eli a jest terminem, to ex(a) i sol(a) sV formuYami atomowymi.
Je_eli a i b sV terminami, to ab,a b, a!b i a = b sV formuYami atomowymi. FO R M U Y Z O O N E
FormuYy nie bddVce formuYami atomowymi sV formuYami zYo_onymi.
RE G U Y. Oprócz reguYy odrywania dla implikacji (MP) przyjmiemy reguYd podstawiania dla terminów (ST) postaci:
ST / [x/b] gdzie b jest terminem okreRlonym
oraz dwuczYonowV reguYd podstawiania (SF) dla funktorów (kategorii n/n): SF / [f/] / [X/]
Przyjmiemy równie_ nastdpujVce reguYy specyficzne: R1 xy/xx
R2 xyҍyz/xz
Mamy tu równie_ reguYy opuszczania i wprowadzania funktorów istnienia, jedy-noRci, sYabej inkluzji i inkluzji czVstkowej:
Oex ex(x)/Ax
Iex xy/ex(y)
Osol sol(x)/zx x xz
Isol zxҍux x zu/sol(x)
O x y/zx x zy
I zx x zy/x y
O!" x!y/AxҍAy
I!" zxҍzy/x!y
gdzie ‘A’ jest staYV nazwowV, nie powtarzajVcV sid w wierszach w przypadku zastosowania tej reguYy (widcej ni_ jeden raz) w dowodzie. Zmienna ‘z’ zaR nie wystdpuje w zaYo_eniach dowodu. Ponadto w systemie przyjmowane sV reguYy opuszczania i wprowadzania funktorów kwantyfikujVcych wszystkie ( ) i pewne (r). Wyra_enia ka7dy i pewien, bddVce substytutami kwantyfikatorów, wprowa-dza sid tu za pomocV reguY8:
O ( x)/zx x (z)
I zx x (z)/( x), gdzie zmienna z nie wystdpuje w zaYo_eniach dowodu
Or (rx)/Axҍ(A) Ir zxҍ(z)/(rx)
FormuYy typu ( a) i (ra) sV formuYami atomowymi sensownymi na gruncie tego jdzyka, takimi jednak, _e wyra_enia a i ra pojawiajV sid jako pierwsze z lewej strony formuYy ( a) (i odpowiednio (ra)), tj. nie sV poprzedzone _ad-nym kontekstem o postaci b lub rb9. Zmienna z obecna w formule (z) wy-stdpuje w niej tylko jeden raz.
8 Pomijamy tu konteksty typu f x i frx, gdzie f jest funktorem kategorii n/n. Dla nich zostanV
podane oddzielne reguYy.
9 Zob. L. B o r k o w s k i, Bezkwantyfikatorowy za?o7eniowy system rachunku nazw, cz. I
„Rocz-niki Filozoficzne” 28(1980), z. 1, s. 133-148. Zob. równie_: E. W o j c i e c h o w s k i, Pewien bezkwantyfikatorowy rachunek nazw, [w:] Logika & Filozofia Logiczna. FLFL 1996-1998, red. J.Perzanowski i A.Pietruszczak, Torus 2000, s. 109-126.
Ponadto, przyjmuje sid odpowiedniki tych reguY, funkcjonujVce w przypadkach pojawiania sid tych wyra_es kwantyfikujVcych w kontekRcie relatywnych funk-torów nazwotwórczych10: O f xf y/xxҍ(zy x xfz) I f xxҍ(zy x xfz)/xf y Orf xfry/AyҍxfA Irf zyҍxfz/xfry
ReguYami specyficznymi tego systemu sV równie_ reguYy opuszczania (O) i
wpro-wadzania (I) dla funktora jedyne oraz reguYy opuszczania i wprowadzania de-terminuj*cych funktorów zaimkowych:
O (a) / (a)ҍsol(a) I (a)ҍsol(a) / (a) OD (Xa) / (ra)
ID (ra) / (Da) xa / Xa=Xa
gdzie staYa D pojawia sid po raz pierwszy w dowodzie i X jest ró_ne od .
StaYe nazwowe przedmiotu i przedmiotu sprzecznego sV zdefiniowane nastdpu-jVco11:
DV xV y xx x jest przedmiotem
D x y xxҍҢxx x jest przedmiotem-sprzecznym
Definicyjnie wprowadzone sV równie_ funktory bycia przedmiotem, mocnej in-kluzji, identycznoRci zakresowej, identycznoRci (jednostkowej), negacji, iloczynu nazwowego, sumy nazwowej i speYniania:
Dob ob(x) y xx jest-przedmiotem x
Dӵ xӵy y ex(x)ҍx y x zawiera-si:-w-mocnym-sensie-w y
D xy y x yҍy x x jest-identyczne-zakresowo-z y
D= x=y y xyҍyx x jest-identyczne-z y
Dn xnyy xxҍҢxy x jest nie y
D xy zy xyҍxz x jest y i z
D! xy!zy (xyҎxz) x jest y lub z
Dstsf xstsf// y xxҍ(x) x spe?nia
10 DotyczV one takich przypadków, jak: x jest znawc* wszystkich dzie? tego autora, a tak_e x jest
twórc* pewnych rozwi*zah w tym projekcie.
CaYoRc jest nadbudowana nad klasycznym rachunkiem zdas (KRZ), równie_ zaYo_eniowo zbudowanym. ReguYV wtórnV jest tu12: R3 xyҍyz/yx Dem. (1) xy [z] (2) yz [z] (3) yxҎҢyx [KRZ] (4a) Ңyx [zd1] (4b) yy [2×R1] (4c) ynx [4a,4b,Dn] (4d) xnx [1,4c×R2] (4e) Ңxnx [Dn,KRZ] sprz. [4d,4e] (4) yx [3,4a x sprz.]
Wa_nV reguYV wtórnV tego rachunku jest reguYa ekstensjonalnoRci: RE x=y / (x) x (y)
Prostymi konsekwencjami powy_szych reguY i definicji sV tezy: T1 xy x xx T2 xyҍyz x xz T3 xyҍyz x yx T4 xy y xxҍx y T5 xx y ex(x)ҍsol(x) T6 xyҍy x x yx
T7 sol(x)ҍzxҍux x zu
T8 xy x x!y
12 Dowody bddV budowane metodV zaYo_eniowV. Wyra_enia „z”, „zd”, „zdn” i „sprz.” sV
od-powiednio skrótami wyra_es: „zaYo_enie”, „zaYo_enie dodatkowe”, „zaYo_enie dowodu niewprost” i „sprzecznoRc”. Z kolei, Hp(...) i T znaczV odpowiednio: za?o7enie(liczba przes?anek) oraz teza (=dowodzony nastdpnik implikacji).
Na to, _e ta reguYa mo_e byc wtórna na gruncie bezkwantyfikatorowego rachunku nazw, zwró-ciY mi uwagd jeden z recenzentów.
TE Z Y Z E P S I L O N O W Y M I F O R M U A M I E L E M E N T A R N Y M I. Poka-_emy pewne inferencje formuY epsilonowych, gdzie przynajmniej po jednej stro-nie epsilona pojawiajV sid funktory zaimkowe X,Y – a w szczególnoRci – ,r i 13: T9a a b x sol(b) (ø )
Dem.
Hp(1) x
(2) xb x ax [1×O ]
(3) yb x ay [1×O ]
(4) xbҍyb x axҍay [2,3]
(5) xbҍyb x axҍxbҍay [4]
(6) xbҍyb x xaҍay [5,R3]
(7) xbҍyb x xy [6,R2]
(8) T [7×Isol]
Zdania typu a b zasYugujV na szczególnV uwagd. MajV one interesujVce kon-sekwencje:
T9b a bҍex(b) x ab (ø ) [Oex,O ,R2,MP]
T9c a b x ba (ø ) [Iex,T9b,Osol,MP,R2,I ]
T9d arb x ab (ør) [Or,R2]
T9e aXb x ab (øX) [OD,(ør)]
T9f ab x a = b (ø) [O,BRN]
T10a ab x a b ( ø) [O ,I ]
T10b baҍsol(a) x a b ( ø) [O ,MP,Osol,I ]
T10c a b x (xa x ba) ( ) [O ,MP,(ø ),R2,I ]
T10d arb x ab ( r) [O ,MP,(ør),I ]
T10e aXb x ab ( X) [O ,MP,(ør),I ]
T10f ab x a = b ( ) [O ,MP,(ø),I ]
T11a rab x a!b (rø) [Or,I!]
13 PosYugiwac sid bddziemy równie_ alternatywnymi oznaczeniami dla tych tez (lub grup tez)
typu (fg), gdzie f oznacza funktor po lewej stronie epsilona, a g – funktor z prawej strony epsilona. Dalej f,g䳲{ ,r,X,Y,ø}, gdzie ø symbolizuje brak funktora.
T11b ra b x ba (r ) [O ,(ø ),O ,R2,I ]
T11c rarb x a!b (rr) [Or,(ør),I!]
T11d raXb x a!b (rX) [Or,(øX),I!]
T11e rab x ra = b (r) [Or,(ø),Ir]
T12a Xab x a!b (Xø) [OD,(rø)]
T12b Xa b x ba (X ) [OD,(r )]
T12c Xarb x a!b (Xr) [OD,(rr)]
T12d Xab x ra = b (X) [OD,(r)]
T13a ab x ab (ø) [O]
T13b a b x baҍsol(a) ( ) [O,(ø )]
T13c arb x ab (r) [O,(ør)]
T13d aXb x ab (X) [O,(øX)]
T13e ab x a = b () [O,(ø)]
Konsekwencje logiczne elementarnych zdas epsilonowych z tymi funktorami zestawimy w poni_szej tabeli:
ø r X
ø ab x aa a b x sol(b) a b x ba a b x b a a bҍxb x ab
arb x ab aXb x ab ab x a = b
ab x a b a bҍxa x ba a bҍxa x b a arb x ab arb x a b aXb x ab aXb x a b ab x a = b r rab x a!b ra b x ba
ra b x b a
rarb x a!b raXb x a!b rab x ra = b
X Xab x a!b Xa b x ba
Xa b x b a
Xarb x a!b XaYb x a!b Xab x ra = b ab x ab a b x sol(a)
a b x ba a b x b a
W pewnych miejscach tej tabeli tezy z czYonami typu ab zostaYy powtórzone z jego równowa_nikiem a b. Przypomnijmy w tym kontekRcie, _e nazwy typu a
i ra sV terminami nieokreRlonymi. PociVga to za sobV to, _e z koniunkcji np. typu
x aҍ ab (czy xraҍrab) nie wynika zdanie xb, bo w regule R2 (jak
i w pozostaYych reguYach i tezach) – zgodnie z reguYV podstawiania – nie mo_na podstawiac terminów nieokreRlonych za terminy okreRlone. Tabela ta pokazuje, w jaki stopniu funktory te modyfikujV epsilonowe zdania elementarne.
PrzykYadowo:
(wiersz ø, kolumna ) KonsekwencjV zdania elementarnego a b jest jego odwró-cenie – ba;
(wiersz r, kolumna ) Zdanie pewne a jest jedynym b pociVga za sobV to, _e
pewne a jest-identyczne-z b (a to z kolei, na mocy Or,D= i R2, przechodzi
w: b jest a);
(wiersz , kolumna ) Ze zdania jedyne a jest jedynym b mamy: a
jest-identyczne-z b.
FR A G M E N T Y Z SU M Y L O G I C Z N E J OC K H A M A. Pewne tezy,
zamiesz-czone poni_ej, zilustrujemy przykYadami z Sumy logicznej Ockhama. PrzykYady te sV bardziej zYo_onymi przypadkami formuY typu (ø ) i ( ). Zdania Ockhama wraz z odpowiednim kontekstem przytoczymy po prawej stronie w wersji orygi-nalnej i w tYumaczeniu polskim14:
T14 abҍsol(b) x a bҍ b a Dem. Hp(2) x (3a) xaҍyb [zd1] (3b) xa [3a] (3c) yb [3a] (3d) xa x xb [1×O ] (3e) xb [3b,3d×MP]
(3f) yb x by [2×Osol]
(3g) xb x bx [2×Osol]
(3h) by [3c,3f×MP]
(3i) bx [3e,3g×MP]
(3j) xy [3e,3h×R2]
Summa Logicae, Pars II, Cap. 4:
Unde si non esset nisi tantum unum animal, puta unus homo, haec esset vera 'omnis ho-mo est omne animal' et similiter ista 'omne animal est omnis homo' [...].
[...] gdyby istnia?o tylko jedno zwierz:, na
przyk?ad tylko jeden cz?owiek, nast:pujace zdanie by?oby prawdziwe: „Ka7dy cz?owiek jest ka7dym zwierz:ciem”, a i podobnie i to: „Ka7de zwierz: jest ka7dym cz?owiekiem”.
[Komentarz:] Poprzednik implikacji T14 zawiera presuponowanV tu przesYankd ka7dy 14 Cytaty Yacisskie za: G u i l l e l m u s d e O c k h a m, Summa Logicae, ed. G. Gal & S. Brown,
St. Bonaventura, NY 1974. Cytaty polskie za: Suma logiczna, przeY. T. WYodarczyk, Warszawa 1971. Tam, gdzie w grd wchodzi implicite przyjmowana przesYanka, co jest typowe dla rozumowas przeprowadzanych w jdzyku naturalnym, dany przykYad – rezultat pewnego wnioskowania – zo-stanie opatrzony stosownym komentarzem.
(3k) yx [3c,3i×R2]
(3l) xyҍyx [3j,3k]
(3) xaҍyb x xyҍyx [3a x 3l] (4) xa x (yb x xy) [3]
(5) yb x ay [4×I ]
(6) a b [5×I ]
(7) xa x (yb x yx) [3]
(8) yb x y a [7×I ]
(9) b a [8×I ]
(10) T [6,9]
cz?owiek jest zwierz:ciem ( ab) oraz
zaYo-_enie co najwy7ej jeden obiekt jest
cz?owie-kiem (sol(b)). Bardziej adekwatna
rekon-strukcja wymagaYaby dodania przesYanki
ex(b), co – z uwagi na nastdpnik – jest
lo-gicznie zbddne.
T15a abҍҢsol(a) x Ң a b
Dem.
Hp(2) x
(3) a b [zdn]
(4) ex(a) [2,BRN]
(5) Aa [4×Oex]
(6) Aa x A b [3×O ]
(7) A b [5,6×MP] (8) sol(b) [7,tabelka] (9a) xaҍya [zd1] (9b) xbҍyb [1,9a,BRN] (9c) xb [9b] (9d) yb [9b]
(9e) yb x by [8×Osol]
(9f) by [9d,9×MP]
(9g) xy [9c,9f×R2]
(9) xaҍya x xy [9a x 9g]
(10) sol(a) [9×Isol]
sprz. [2,10]
Summa Logicae, Pars II, Cap. 4
[dalej, chodzi o te same zdania: omnis homo
est omne animal i omne animal est omnis homo]:
[...] sed si essent plures homines vel si
es-sent quaecumque plura animalia haec esset falsa.
Gdyby jednak istnia?o wielu ludzi lub wiele ró7nych zwierz*t, to zdania te by?yby zda-niami fa?szywymi.
[Komentarz:] Konkretyzacja pierwszej prze-sYanki tezy T15a ka7dy cz?owiek jest
zwie-rz:ciem (o formie ab) mo_e byc
traktowa-na jako wysYowienie expressis verbis prze-sYanki milczVco zakYadanej w tym przykYa-dzie. KonsekwencjV logicznV tej tezy jest a bҍҢsol(a) x Ң ab, co wyra_a fraza tego cytatu – zdania te by?yby zdaniami
fa?-szywymi. T15b abҍҢsol(a) x Ң b a Dem. Hp(2) x (3) b a [zdn] (4) ex(a) [2,BRN] (5) Aa [4×Oex]
(6) Aa x Ab [1×O ]
(7) Ab [5,6×MP]
(8) Ab x A a [3×O ]
(9) A a [7,8×MP]
(10) sol(a) [9,tabelka]
T16 abҍex(a)ҍsol(a)ҍҢsol(b) x Ң a b Dem. Hp(4) x (5) a b [zdn] (6) Ax [2×Oex] (7) ba [5,6,tabelka] (8a) xbҍyb [zd1] (8b) xb x xa [7×O ] (8c) xa [8a,8b]
(8d) yb x ya [7×O ]
(8e) ya [8a,8d]
(8f) ya x ay [3×Osol]
(8g) ay [8e,8f×MP]
(8h) xy [8c,8g×R2]
(8) xbҍyb x xy [8a x 8h]
(9) sol(b) [8×Isol] sprz. [4,9] T17 abҍex(a)ҍsol(a) x rb a Dem. Hp(3) x (4) Aa [2×Oex]
(5) Ax x Ab [1×O ]
(6) Ab [4,5×MP]
(7) Aa x aA [3×Osol]
(8) aA [4,7×MP]
(9a) xa [zd1]
(9b) xA [8,9a×R2]
(9c) Ax [4,9b×R3]
(9) xa x Ax [9a x 9c]
(10) A x [9×I ]
(11) T [6,10×Ir]
Summa Logicae, Pars II, Cap. 4
[dalej, w tym samym akapicie]:
Et ideo haec est falsa ‘omnis phoenix est omne animal’ [...].
I z tej racji fa?szywe jest zdanie: „Ka7dy Feniks jest ka7dym zwierz:ciem” [...].
[Komentarz:] Przy interpretacji tego zdania przyjdto, _e ukrytV przesYankV jest tu ka7dy
Feniks jest zwierz:ciem (o formie ab)
oraz to, _e nazwa Feniks jest u_ywana przez Okhama jako nazwa referencjalna jedno-stkowa15 (ex(a)ҍsol(a)). MilczVco
przyjmo-wana jest tu równie_ przesYanka, _e nazwa
zwierz: jest nazwV ogólnV referencjalnV
ogólnV Ңsol(b). Pierwsze trzy przesYanki te-zy T16 sV równowa_ne formule: ab, która jest formV zdania – Feniks jest zwierz:ciem – w zgodzie z zakYadanymi tu intuicjami. W nastdpnym akapicie mamy:
[...] sicut si non esset nisi unus homo,
quamvis essent plura animalia, haec esset vera ‘aliquod animal est omnis homo’.
[...] gdyby istnia? tylko jeden cz?owiek, to
mimo 7e istnia?oby wiele zwierz*t, praw-dziwe by?oby zdanie: „Pewne zwierz: jest ka7dym cz?owiekiem”.
[Komentarz:] Tu równie_ mamy ukrytV przesYankd. Jest niV: ka7dy cz?owiek jest
zwierz:ciem (o formie ab).
T18 sol(a) x a a
Dem.
Hp(1) x
(2) ya x ay [1×Osol]
Summa Logicae, Pars II, Cap. 4
[akapit wy_ej ni_ poprzedni]:
[..] haec tamen est vera 'omnis phoenix est
omnis phoenix'.
15 W przykYadach Ockhama w roli reprezentanta terminów pustych wystdpowaYa nazwa chimera
(chimaera).
16 Funktor jedynoRci mo_e byc zatem wprowadzony definicyjnie do systemu BRN, poprzez
definicjd (Dsol): sol(x) y x x. RozwiVzanie takie byYo proponowane w jednym ze sformuYowas
(3) xaҍya x xaҍay [2] (4) xaҍya x xy [3,R2] (5) xa x (ya x xy) [4]
(6) xa x x a [5×I ]
(7) T [6×I ]
Implikacja odwrotna jest u nas równie_ tezV16:
T19 a a x sol(a)
Dem.
Hp(1) x
(2a) xaҍya [zd1]
(2b) xa x x a [1×O ]
(2c) x a [2a,2b]
(2d) ya x xy [2c×O ]
(2e) xy [2a,2d]
(2) xaҍya x xy [2a x 2e]
(3) T [2×Isol]
[...] natomiast nast:puj*ce zdanie jest
prawdziwe: “Ka7dy Feniks jest ka7dym Feniksem”.
[Podobnie w] Cap. 5:
Haec tamen potest esse vera ‘omnis homo est omnis homo’ et similiter ista ‘omne album est omne album’ et ‘omne animal est omne animal’, quia si esset tantum unus homo vel tantum unum animal vel tantum unum album, esset vera.
Jednak nast:puj*ce zdanie mo7e byO praw-dziwe: „Ka7dy cz?owiek jest ka7dym cz?o-wiekiem”, a i podobnie i to: „Ka7da biel jest ka7d* biel*” oraz „Ka7de zwierz: jest ka7dym zwierz:ciem”, albowiem gdyby ist-nia? tylko jeden cz?owiek lub jedno zwierz: lub jeden przedmiot bia?y, to zdanie to by?oby prawdziwe.
PE W N A K O N W E N C J A N O T A C Y J N A. Dla zwidkszenia czytelnoRci formuY bardziej zYo_onych, przyjmiemy konwencjd notacyjnV dla opuszczania i wprowa-dzania funktorów i r:
O * ( fx) / f(x)ҍ( x)
I * f(x)ҍ( x) / ( fx)
Or* (rfx) / f(x)ҍ(rx)
Ir* f(x)ҍ(rx) / (rfx)
dla dowolnego funktora f, kategorii s/n.
Tak zapisane frazy proponujemy odpowiednio czytac: fx – ka7de x, które (spe?nia) f
rfx – pewne x, które (spe?nia) f
PrzykYadami tez zapisanych w tej notacji sV: T20a a exb x a=b
Dem.
Hp(1) x
(2) ex(b) [1×O *]
(3) a b [1×O *]
(5) ba [3,(ø )] (6) b a [5,BRN] (7) ba [4,6,BRN] (8) T [4,7,D=] T20b ex ab x aӵb [O *,BRN] T20c exa exb x ba Dem. Hp(1) x (2) ex(a) [1×O *] (3) a exb [1×O *] (4) Aa [2×Oex]
(5) Aa x A exb [3×O ]
(6) A exb [4,5×MP] (7) A bҍex(b) [6×O *] (8) Ab [7,(ø )] (9) bA [7,(ø )] (10) bb [8,9,BRN] (11) bb x bA [9×O ] (12) bA [10,11×MP] (13) T [4,12×R2]
Tezy T20a-T20c mo_emy czytac nastdpujVco:
(a) Je7eli a jest ka7dym b, które istnieje ( = ka7dym istniej*cym b), to a
jest-iden-tyczne-z b;
(b) Je7eli ka7de istniej*ce a jest b, to a zawiera-si:-w (mocna inkluzja) y; (c) Je7eli ka7de istniej*ce a jest ka7dym istniej*cym b, to b jest a.
T21a a ob b x a=b Dem. Hp(1) x (2) ob(b) [1×O *] (3) a b [1×O *] (4) ex(b) [2,BRN] (5) ab [3,4,(ø )] (6) bb [2,Dob] (7) ba [5,6×R3] (8) T [6,7,D=]
T21b oba obb x a=b Dem. Hp(1) x (2) ob(a) [1×O *] (3) a ob b [1×O *] (4) aa [2,Dob]
(5) aa x a obb [3×O ]
(6) a ob b [4,5×MP] (7) T [6,T21a] T21c ob ab x ab Dem. Hp(1) x (2) ob(a) [1×O *] (3) ab [1×O *] (4) aa [2,Dob]
(5) aa x ab [3×O ]
(6) T [4,5×MP]
Podobnie tezy T21a-T21c dajV sid wysYowic nastdpujVco: (a) Je7eli a jest ka7dym przedmiotem b, to a jest-identyczne-z b;
(b) Je7eli ka7dy przedmiot a jest ka7dym przedmiotem b, to a jest-identyczne-z b; (c) Je7eli ka7dy przedmiot a jest b, to a jest b.
Bardziej zYo_one formuYy pod które podpadaYy analizowane wy_ej zdania z Sumy
logicznej Ockhama mo_na by za pomocV tej konwencji oraz funktora zapisac
krócej:
T14* ab x a bҍ b a T15a* Ңsolab x Ң a b
T15b* Ңsolab x Ң b a
T17* ob
ab x rb a
Oto sformuYowania sYowne pierwszej i drugiej z nich:
Je7eli ka7de a jest jedynym b, to ka7de a jest ka7dym b i ka7de b jest ka7dym a
oraz
Je7eli ka7de niejednostkowe a jest b, to nieprawda, 7e ka7de a jest ka7dym b.
MajVc na uwadze to, _e funktory ka7de ( ) i pewne (r) sV tu substytutami kwantyfikatorów (odpowiednio: ogólnego i szczegóYowego), powy_sza konwen-cja notacyjna jest podobna do tzw. kwantyfikacji o ograniczonym zakresie.
4. PEWNE KONSTRUKCJE POBREDNIE
BEZKWANTYFIKATOROWY RACHUNEK NAZW. Na sYownik bezkwantyfikatorowe-go rachunku nazw (BRN) skYadajV sid wyra_enia nale_Vce do listy typów wyra_es [a,b,c,f,g,h,i]. W typie (h) brak funktora jedynoRci. System ten jest zbudowany metodV zaYo_eniowV i posiada nastdpujVce reguYy17: Oex, Iex, Osol, Isol, OӨ, IӨ, O!, I!, R1, R2, R3, O , I , Or, I , O f, I f, Orf oraz I f.
Kolejne sformuYowania bezkwantyfikatorowego rachunku nazw:
Sformu?owanie 1. Jest to oryginalne sformuYowanie tego rachunku przez L.
Bor-kowskiego.
Sformu?owanie 2.1. To sformuYowanie tego rachunku polega na uRciRleniu
wa-runków budowy formuY typu w reguYach dla funktorów i r: formuYy sV formuYami atomowymi tego rachunku18 oraz zmienna z wystdpujVca w formule , pojawiajVca sid po lewej stronie reguY I i Ir, co jest wyra_one w formie (z), wystdpuje w formule tylko jeden raz19. ReguYa podstawiania jest tu ograniczona do terminów okreRlonych.
Sformu?owanie 2.2. Polega ono na dodaniu do systemu reguY opuszczania i
wpro-wadzania funktorów , r dla formuY atomowych poprzedzonych znakiem ne-gacji oraz uproszczeniu listy reguY w systemie przez wykorzystanie siYy deduk-cyjnej tych reguY – poprzez dopuszczenie prawostronnego pojawiania sid funk-torów kwantyfikujVcych w atomowych formuYach epsilonowych20.
Sformu?owanie 2.3. Wyeliminowanie reguYy R3 z reguY pierwotnych przez
po-kazanie, _e jest ona wtórna wobec R1,R2 i Dn21.
Sformu?owanie 3. Polego ono na dalszym uproszczeniu bazy reguY tego systemu,
przez wykorzystanie tzw. regu?y ekstensjonalno2ci dla funktora
epsilono-wego22.
17 Zob. L. B o r k o w s k i, Bezkwantyfikatorowy za?o7eniowy system rachunku nazw, „Roczniki
Filozoficzne” 28 (1980), z. 1, s. 133-148 (czdRc I) i 41 (1993), z. 1, s. 11-21 (czdRc II).
18 ZostaYo ono podane w: W o j c i e c h o w s k i, Pewien bezkwantyfikatorowy rachunek nazw,
s. 109-126).
19 Brak tego ograniczenia generowaYby pewnV niepo_VdanV konsekwencjd, mianowicie z tezy
zx x zz otrzymalibyRmy natychmiast (za pomocV I ) xz. Z równowa_nika tej tezy: zx x zV (tu formuYa zV speYnia ten warunek ograniczajVcy) otrzymujemy za pomocV tej reguYy akcepto-walny ju_ rezultat: xV. Ograniczenie to nie byYo expresis verbis wyra_one w pracach wy_ej cyto-wanych, choc byYo implicite tam obecne.
20 Tam_e. WczeRniej, w pierwszym sformuYowaniu tego rachunku (Borkowski), byYo
przyjmo-wane implicite lewostronne pojawianie sid tych funktorów w formuYach epsilonowch.
21 Pojawia sid ono w punkcie trzecim niniejszej pracy.
22 Zob. E. W o j c i e c h o w s k i, Bezkwantyfikatorowy rachunek nazw z regu?*
PE W N E R O Z S Z E R Z E N I E S Y L O G I S T Y K I. W pracy O pewnym
rozszerze-niu sylogistyki zostaY zaproponowany pewien rachunek nazw, zawierajVcy
sylo-gistykd z terminami negatywnymi, z równoRciV zakresowV (), funktorem nie-okreRlonoRci () i negacjV nazwowV (n) jako terminami pierwotnymi. Jego aksjo-matyka ma postac23:
AS1 xnnx AS2 Ңxnx
AS3 xy y xyҍyx
AS4 xny x ynx AS5 xyҍyz x xz
Funktor pewne (), stojVcy przed danV nazwV, tworzy nazwd, której zakres jest podzakresem zakresu tej nazwy lub pokrywa sid z nim. Z funktorem tym mamy do czynienia np. we frazach:
(1) pewne prostok*ty równoboczne s* (zakresowo-identyczne-z) kwadratami (gdzie pewne znaczy wszytkie),
(2) pewne czworoboki równoboczne s* kwadratami (pewne, to tyle, co nie
wszy-stkie) oraz
(3) pewien poeta jest autorem tego wiersza (sYówko pewien wystdpuje tu w zna-czeniu jaki2, dokYadnie jeden, choc bli_ej nieokreRlony).
Funktor ten () we frazie (3) pokrywa sid ze znaczeniem funktora pewien (r) z BRN.
Zmienne nazwowe oraz nazwy powstaYe przez poprzedzenie zmiennej nazwowej funktorem negacji nazwowej (n) sV tu tzw. terminami okre2lonymi. Poprzedzenie terminu okreRlonego funktorem nieokreRlonoRci () daje nam termin nieokre2lony. Funktory sylogistyczne a oraz e sV definiowane nastdpujVco:
Da xay y xy ka7de x jest y
De xey y xny 7adne x nie-jest y
PozostaYe funktory sylogistyczne sV zdefiniowane w standardowy sposób: Di xiy y Ңxey pewne x jest y
Do xoy y Ңxay pewne x nie-jest y
ReguYami perwotnymi sV tu reguYa podstawiania (ograniczona do terminów okreR-lonych) i reguYa odrywania.
Rachunek ten jest nadbudowany nad klasycznym rachunkiem zdas.
23 Zob. E. W o j c i e c h o w s k i, O pewnym rozszerzeniu sylogistyki, „Kwartalnik Filozoficzny”
PE W I E N F R A G M E N T B R N. Zbudujemy rachunek nazw (RIS) metodV zaYo-_eniowV, z funktorami = i r, bddVcymi wyra_eniami typu (h), jako funktorami pierwotnymi. Jego reguYami specyficznymi sV:
I1 x= ry / x = rx
I2 x= ryҍy = rz / x = rz
I3 x= ryҍy = rz / y = rx
ReguYami specyficznymi sV tu te_ regu?a ekspansji (EI) i regu?a redukcji (RI) dla identycznoRci:
EI x = y / x = ryҍy = rx
RI x= ryҍy = rx / x = y
Definicyjnie przyjmiemy funktor inkluzji jednostkowej: D xy y x = ry
Wybrane tezy. Do tez tego systemu nale_V:
TI1 x = y x x = x Dem. Hp(1) x (2) x = ryҍy = rx [1×EI] (3) x = rx [2×I2] (4) T [3×RI] TI2 x= y x y = x [EI,RI]
TI3 x= yҍy = z x x = z [EI,I2,RI]
Funktor tego rachunku posiada charakterystyczne wYasnoRci funktora epsilono-wego z BRN, okreRlone przez reguYy R1,R2 i R3 – wynikajV one natychmiast z I1,I2,I3 i D.
BE Z K W A N T Y F I K A T O R O W Y O D P O W I E D N I K L I D. Wzbogacimy po-wy_szV konstrukcjd (RIS) o funktory reprezentujVce determinujVce zaimki funk-torowe typu (d) oraz staYe reprezentujVce te funktory o typie (e). Przyjmiemy te_ dwa funktory typu (h): jedyno2ci (sol) oraz jedyne (). ReguYami specyficznymi, tak rozszerzonego systemu (RID) sV reguYy opuszczania (Osol) i wprowadzania (Isol) oraz reguYy opuszczania (O) i wprowadzania (I) dla funktora jedyne, sfor-muYowane tak samo jak w BRND.
TI4a a= b x a = ra [EI]
TI4b a= bҍx = bҍy = b x x = y [TI2,TI3]
TI4c a= bҍx = a x x = b [TI3]
ID1 a= b / a = raҍ(x = bҍy = b x x = y)ҍ(x = a x x = b) [TI4a,TI4b,TI4c]
ID2 a= a / a = Da Dem.
(1) a=a [z]
(2) a=ra [1×EI]
(3) T [2×ID]
ID3 ab / a=Db [D,ID]
OD2 a=Xb / ab [OD,D]
TI5 xa x Xa=Xa [ID]
TI6 xa x xra [D,EI]
TI7 a=ra x a=a [O,RI]
SYabszym odpowiednikiem AI (a = b y |x(x = a)ҍ{xy(x = bҍy=b x x = y)ҍ {x(x = a x x = b)) jest ID1. ID2 jest z kolei sYabszym odpowiednikiem AD1 (a = a x a = Xa). Odpowiednikiem D1 (ab y |X(a = Xb) jest ID3 i OD2. Z ko-lei drugi czYon ID jest odpowiednikiem AD2 (xa x Xa = Xa). Teza TI7 jest odpowiednikiem AD3 ({XY(Xa = Ya) xa=a).
To, _e TI7 jest odpowiednikiem AD3, widac po prostych jej przeksztaYceniach. Mianowicie z AD3 na gruncie LID mamy równowa_nV formuYd:
|XY(Xa=Ya x a = a),
która jest konsekwencjV (na gruncie LID) tezy TI7. atwo pokazac, _e zachodzi twierdzenie:
Twierdzenie 1. System RID zawiera si: inferencyjnie w BRND
W dowodzie tego twierdzenia wystarczy pokazac, _e reguYy specyficzne systemu RID, poza reguYami OD i ID, sV reguYami wtórnymi systemu BRND, a jedyna definicja (D) jest jego tezV. Ma to istotnie miejsce:
T22a xy x x = ry
Dem.
(2) xx [1×R1] (3) x = x [2,D=] (4) T [1,3×Ir] T22b x = ry x xy Dem. Hp(1) x (2) Ayҍx = A [1×Or] (3) xAҍAy [2,D=] (4) T [3×R2] T22 xy y x = ry (= D) [T22a,T22b]
Teza T22 jest zgodna z analizami Ockhama zdas jednostkowych24.
I1 x= ry / x = rx [R1,T22]
I2 x= ryҍy = rz / x = rz [R2,T22]
I3 x= ryҍy = rz / y = rx [R3,T22]
EI x = y / x = ryҍy = rx [D=,T22]
RI x= ryҍy = rx / x = y [T22,D=]
Dowód tego twierdzenia zostaY zatem zakosczony.
DE S K R Y P C J E O K R E B L O N E. Ludwik Borkowski w jednej ze swoich prac25 zaproponowaY wprowadzenie do ontologii LeRniewskiego operatora deskrypcji
okre2lonych () przez nastdpujVcV definicjd:
DD ax(x) y aaҍ(a)ҍ{x((x) x xa)
Dowodzi nastdpnie szeregu tez z tym operatorem, charakterystycznych dla teorii deskrypcji. Nale_V do nich w szczególnoRci:
DD1 {zu(zx(x)ҍux(x) x zu)
24 Zob. O c k h a m, Suma logiczna, rozdz. II.2. ZwróciY mi na to uwagd, w prywatnej
kores-pondencji, Toshiharu Waragai. Prof. Waragai przeczytaY wczeRniejszV wersjd tej pracy i uwa_a, _e rozwijany tu rachunek jest pomocny w analizie prac logicznych autorów Rredniowiecznych. Jego zdaniem na szczególnV uwagd zasYuguje tu maYo znany XI-wieczny Garlandus Compotista z tekstem Dialectica. Na tego logika zwraca równie_ uwagd D.P. Henry w That most subtle Question (Manchester 1984, s. 79 nn.).
25 Zob. L. B o r k o w s k i, O operatorze deskrypcyjnym w ontologii Le2niewskiego, „Roczniki
DD2 x(x)a y |x((x)ҍ{z((z) x zx)ҍxa) DD3 ax(x) x a = x(x)
DD4 (x(x))ҍx(x)V y |y((y)ҍ(y)ҍ{x((x) x xy)) Zdanie elementarne:
ax(x) – czytane – „a jest jedynym x takim, 7e (x)”,
z wy_ej przedstawionego ujdcia Borkowskiego, proponujemy zastVpic formuYV:
astsf// – czytanV – „a jest jedynym spe?nieniem ”
Odpowiednikiem definicji DD (ax(x) y aaҍ(a)ҍ{x((x) x xa)), nieco sYabszym co do formy26, jest u nas teza:
TD astsf// y aaҍ(a)ҍ stsf//a [TDa,TDb]
gdzie
TDa astsf// x aaҍ(a)ҍ stsf//a
Dem. Hp(1) x (2) astsf//ҍsol(stsf//) [1×O] (3) astsf// [2] (4) sol(stsf//) [2] (5) aaҍ(a) [3,Dstsf] (6a) xstsf// [zd1] (6b) xstsf// x stsf//x [4×Osol] (6c) stsf//x [6a,6b×MP] (6d) ax [3,6c×R2]
(6e) xa [6a,6d×R3]
(6) xstsf// x xa [6a x 6e]
(7) stsf//a [6×I ] (8) T [5,7] TDb aaҍ(a)ҍ stsf//a x astsf// Dem. Hp(3) x (4) astsf// [1,2,Dstsf] (5a) xstsf//ҍystsf// [zd1]
26 Proponowana ni_ej przez nas teza jest dokYadnie odpowiednikiem sYabszej formuYy od DD:
(5b) xstsf// x xa [3×O ]
(5c) ystsf// x ya [3×O ]
(5d) xaҍya [5a,5b,5c]
(5d) xaҍay [4,5d×R3]
(5e) xy [5d×R2]
(5) xstsf//ҍystsf// x xy [5a x 5e]
(6) sol(stsf//) [5×Isol] (7) T [4,6×I] TD1 xstsf//ҍystsf// x xy Dem. Hp(2) x (3) sol(stsf//) [1×O] (4) xstsf// [1×O] (5) ystsf// [2×O]
(6) ystsf// x stsf//y [3×Osol]
(7) stsf//y [5,6×MP]
(8) T [4,7×R2]
O2 stsf//a / (A)ҍ stsf//AҍAa [O,Dstsf,Osol,R2,R3,I ] I2 (x)ҍ stsf//xҍxa / stsf//a [Dstsf,O ,R3,R2,Isol,I] TD3 astsf// x a=stsf//
Dem.
Hp(1) x
(2) astsf// [1×O]
(3) sol(stsf//) [1×O]
(4) astsf/q/ x stsf//a [3×Osol]
(5) stsf//a [2,4×MP] (6) a=stsf// [2,5,D=] (7) T [3,6×I] O4 (stsf//)ҍstsf//V / AAҍ(A)ҍ(A)ҍ stsf//A Dem. (1) (stsf//)ҍstsf//V [z] (2) (stsf//) [1] (3) stsf//V [1] (4) ex(stsf//) [3,BRN] (5) Astsf// [4×Oex] (6) A=stsf// [5,TD3]
(7) (A) [2,6×RE]
(8) Astsf// [5×O]
(9) sol(stsf//) [5×O]
(10) AAҍ(A) [8,Dstsf]
(10a) xstsf// [zd1]
(10b) Astsf// x stsf//A [9×Osol]
(10c) stsf//A [8,10b×MP] (10d) xA [10a,10c×R2] (10) xstsf// x xA [10a x 10d] (11) xstsf//A [10×I ] (12) T [7,10,11] I4 xxҍ(x)ҍ(x)ҍ stsf//x / (stsf//)ҍstsf//V Dem. (1) xx [z] (2) (x) [z] (3) (x) [z] (4) stsf//x [z] (5) xstsf// [1,3,Dstsf] (6a) zstsf//ҍustsf// [zd1] (6b) zstsf// x zx [4×O ]
(6c) ustsf// x ux [4×O ]
(6d) zxҍux [6a,6b,6c]
(6e) zxҍxu [1,6d×R3]
(6f) zu [6e×R2]
(6) zstsf//ҍustsf// x zu [6a x 6f]
(7) sol(stsf//) [6×Isol] (8) xstsf// [5,7×I] (9) x=stsf// [8,TD3] (10) (stsf//) [2,9×RE] (11) stsf//V [9,D=,R1,DV] (12) T [10,11]
Jak widac, definicja i tezy powy_szego ujdcia teorii deskrypcji, tj. DD, DD1, DD2, DD3 i DD4 majV swoje równowa_niki odpowiednio w tezach lub ukYadach reguY: TD, TD1, (O2,I2), TD3 oraz (O4,I4)27.
27 Podobnie jak w przypadku TD, reguYy O4 i I4 majV czYon typu stsf//, który jest
odpo-wiednikiem formuYy {x(xxҍ(x) x xa). FormuYa ta jest sYabszym odpoodpo-wiednikiem formuYy {x((x) x xa).
5. UWAGI KOCOWE
W pracy zostaY zaproponowany pewien rachunek logiczny, bddVcy rozszerze-niem bezkwantyfikatorowego rachunku nazw o funktory zaimkowe typu
demon-strativa oraz funktor jedyne (). PrzykYadem zastosowania tego narzddzia jest
analiza pewnych fragmentów Sumy logicznej Ockhama28. Jednym z funktorów tego rachunku jest funktor jedyny (), który – jak pokazano – pozwoli na prostsze ujdcie deskrypcji okreRlonych na gruncie rachunków nazwowych29.
PO D Z I K O W A N I A. Profesorowi Toshiharu Waragai winienem wdzidcz-noRc za inspiracjd i cenne wskazówki, których mi udzieliY przy pierwszej wersji tej pracy. Dzidkujd równie_ anonimowym recenzentom, których uwagi (meryto-ryczne i redakcyjne) pozwoliYy mi na jej udoskonalenie.
BIBLIOGRAFIA
B o r k o w s k i L.: Bezkwantyfikatorowy zaYo_eniowy system rachunku nazw. CzdRc I, „Roczniki Filozoficzne” 28 (1980), z. 1, s. 133-148.
B o r k o w s k i L.: Bezkwantyfikatorowy zaYo_eniowy system rachunku nazw. CzdRc II, „Roczniki Filozoficzne” 41 (1993), z. 1, s. 11-21.
B o r k o w s k i L.: O operatorze deskrypcyjnym w ontologii LeRniewskiego, „Roczniki Filozo-ficzne”, 26 (1978), z. 1, s. 145-152.
B ü h l e r K.: Teoria jdzyka, Kraków: Universitas 2004.
G u i l l e l m u s d e O c k h a m: Summa Logicae, ed. Gedeon Gal & Stephanus Brown, St. Bona-ventura, NY 1974. Cytaty polskie z: O c k h a m W.: Suma logiczna, przeY. T. WYodarczyk, Warszawa: PWN 1971.
H e n r y D.P.: That most subtle Question, Manchester: University Press 1984.
D o r o s z e w s k i W.: O zaimku ‘ten’ jako o haRle sYownikowymi, [w:] t e n _ e, Jdzyk – MyRlenie – DziaYanie, Warszawa: PWN 1982, s. 253-257.
S Y u p e c k i J.: St. LeRniewski’s calculus of names, „Studia Logica” 3 (1955), s. 7-70.
W a r a g a i T.: Basic Construction of a System of Logic Based on Identity and Demonstratives, „Philosophy” 74 (1982), s. 65-78.
W o j c i e c h o w s k i E.: O pewnym rozszerzeniu sylogistyki, „Kwartalnik Filozoficzny” 22 (1994), s. 165-179.
W o j c i e c h o w s k i E.: Zwischen der Syllogistik und den Systemen von LeRniewski: Eine Rekonstruktion der Idee der Quantifizierung der Prädikate, „Grazer Philosophische Studien” 48 (1994), s. 165-200.
28 Jest to tylko próba. Rzecz wymaga dalszych badas, które pozwoliYyby ocenic to narzddzie
w analizach tego typu klasycznycznych tekstów logicznych.
29 Jest to fragment, z formalnego punktu widzenia, najbardziej techniczny. Zaproponowane tu
ujdcie deskrypcji okreRlonych dotyczy zarówno ontologii LeRniewskiego, jak i jej fragmentów: ontologii elementarnej i bezkwantyfikatorowego rachunku nazw.
W o j c i e c h o w s k i E.: Pewien bezkwantyfikatorowy rachunek nazw, [w:] Logika & Filozofia Logiczna. FLFL 1996-1998, red. J. Perzanowski i A. Pietruszczak, ToruW: Wydawnictwo UMK 2000, s. 109-126.
W o j c i e c h o w s k i E.: Bezkwantyfikatorowy rachunek nazw z regu[\ ekstensjonalno]ci, „Rocz-niki Filozoficzne” 56 (2008), nr 1, s. 417-429.
IDENTITY, CERTAIN FUNCTOR PRONOUNS AND DESCRIPTION S u m m a r y
From the logical point of view, the most interesting among the pronouns are demonstrative pronouns (especially: this/that), indefinite pronouns (a/an), definite pronoun (the) and quantifying pronouns (every, all, some). Unlike personal pronouns (e.g. I/you/he) they are in fact functors (of the n/n category).
The differentiation between personal pronouns (n) and functor pronouns (n/n) is vital here. This differentiation does not exist in traditional grammar.
The study is limited to determining functor pronouns with the use of logical properties of quantifying expressions, which are functor pronouns themselves – all (k) and some (l) – formally expressed in the quantifier-less calculus of names (BRN). The calculus is properly enriched with demonstrative pronouns (demonstrativa), in connection to certain studies by Toshiharu Waragai (LID). An attempt to employ this system (BRND) in the analysis of some fragments of Ockham’s Summa Logicae is shown here. The work is concluded with the analysis of a functor pronoun the only (n), being a special case of a definite pronoun, which is characterised here by means of rules. The work reveals the connection between this pronoun and the operator of definite descriptions (marked in the same way) in relation to a certain Ludwik Borkowski’s conception.
Summarized by Eugeniusz Wojciechowski
S'owa kluczowe: identyczno]o, zaimki funktorowe, zaimki wskazuj\ce, bezkwantyfikatorowy
rachunek nazw, logika Ockhama, logika ]redniowieczna, deskrypcje okre]lone.
Key words: identity, functor pronouns, demonstrative pronouns, quantifier-less calculus of
names, Ockham’s logic, medieval logic, definite descriptions.
Information about Author: Dr. hab. EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI, Prof. of UR – Division of
Philosophy of Nature at the Hugo Ko[[\taj Agriculture University of Cracow; address for correspondence: al. 29 Listopada 46, PL 31-425 Kraków; e-mail: rlwojcie@cyf-kr.edu.pl
