Mówimy, że a modulo n jest resztą kwadratową modulo n, jeśli kongruencja x2≡ a(mod n) ma rozwiązanie całkowite x

14.1.2020, kl 2b Reszty kwadratowe

Niech n ∈ Z. Przypomnijmy, zbiór reszt modulo n oznaczamy przez Zⁿ. Każda reszta modulo n ma wielu reprezentantów, na przykład reszta 1 modu- lo 5 jest reprezentowana przez każdą z liczb 1, 6, −19, 11, . . ..

Definicja. Niech a ∈ Z, (a, n) = 1. Mówimy, że a modulo n jest resztą kwadratową modulo n, jeśli kongruencja

x²≡ a(mod n)

ma rozwiązanie całkowite x. W przeciwnym przypadku, a nazywamy nieresztą kwadratową modulo n.

Na przykład, 2 jest resztą kwadratową modulo 7, ale już 3 nie jest.

Twierdzenie. Niech p > 2 będzie liczbą pierwszą. Reszt i niereszt kwadrato- wych modulo p jest tyle samo, czyli ^p−1₂ .

Zadanie 1. Wyznacz wszystkie reszty i niereszty modulo 8 i 15.

Zadanie 2. Rozwiąż kongruencje (a) x²≡ 9(mod 35),

(b) x²≡ 1(mod 2024),

(c) 2x²+ 7x ≡ −10(mod 143),

(d) x³ ≡ −1(modp) dla p = 7, 47.

Zadanie 3. Niech p > 2 będzie liczbą pierwszą, niech a, a⁰ będą resztami, a b, b⁰ nieresztami kwadratowymi modulo p. Udowodnij, że aa⁰ oraz bb⁰ są resztami, a ab i a⁰b⁰ — nieresztami kwadratowymi modulo p.

Zadanie 4. Niech p > 2 będzie liczbą pierwszą, (a, p) = 1. Udowodnij, że a jest resztą kwadratową modulo p wtedy i tylko wtedy, gdy

a^p−12 ≡ 1(mod p).

Wskazówka: Zastosuj twierdzenie Lagrange’a do wielomianu x^p−12 − 1.

Zadanie 5. Udowodnij, że −1 jest resztą kwadratową modulo p wtedy i tylko wtedy, gdy p ≡ 1(mod 4).

Zadanie 6. Sprawdź, że

(a) 2 · 26! ≡ −1(mod 29), (b) 18! ≡ −1(mod 437).

Zadanie 7. Niech p > 2 będzie liczbą pierwszą, 1 ¬ k ¬ p − 1. Udowodnij, że

(a) p| ^p_k
, (b) ^p−1_k
≡ (−1)^k(mod p).

Zadanie 8. Niech p > 2 będzie liczbą pierwszą oraz a + b = p − 1. Udowodnij, że p|a!b! + (−1)^a.

Definicja. p—liczba pierwsza, n ∈ Z. νp(n) oznacza największą liczbę całko- witą k taką, że p^k|n.

Twierdzenie.

νp(n) = n p

 + n

p²

 + n

p³

 + . . .

Zadanie 9. Udowodnij, że 2ⁿ nie dzieli n!, ale 2ⁿ dzieli ^(2n)!_n! .

Zadanie 10. Znajdź wszystkie liczby naturalne n, że zapis dziesiętny n! koń- czy się dokładnie 1000 zer.

Zadanie 11. Udowodnij, że liczba ²ⁿ_n
jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy n nie jest potęgą liczby 2.

Zadania na powtórzenie przed sprawdzianem Zadanie 1. Znajdź cyfrę jedności i dzisiątek liczb 9⁹⁹ i 7⁹⁹⁹.

Zadanie 2. Znajdź ostatnią cyfrę różną od zera w zapisie dziesiętnym liczby 2020!.

Zadanie 3. Niech p ­ 5. Udowodnij, że p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

6 · (p − 4)! ≡ 1(mod p).

Zadanie 4. Niech p–liczba pierwsza. Z pomocą wielomianu f (x) = (1−x)(2−

x) · . . . · (p − 1 − x) + 1 − x^p−1udowodnij twierdzenie Wilsona, korzystając z małego twierdzenia Fermata.

Zadanie 5. Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania 15x + 10y + 6z = 61.

Zadanie 6. Niech p 6= 2 będzie dzielnikiem pierwszym liczby x²+ y², gdzie x, y ∈ Z. Udowodnij, że p ≡ 1(mod 4).

Zadanie 7. Liczba p jest pierwsza i a

b = 1 + 1 2+1

3+ . . . + 1 p − 1, gdzie (a, b) = 1.

(a) Udowodnij, że p|a.

(b) Udowodnij, że gdy p ­ 3, to p²|a.

Zadanie 8. Udowodnij, że dla nieparzystych n mamy φ(2n) = φ(n).

Zadanie 9. Znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równań (a) x²+ y²+ z²= x²y²,

(b) x²− 3y²= 17,

(c) x²− y²= 2xyz, (d) x²+ xy + y²= x²y².

Zadanie 10. Udowodnij, że równania nie mają rozwiązań całkowitych

(a) x²+ (x − 1)²= y⁴+ (y + 1)⁴, (b) x²+ 3 = 4y(y + 1).

Zadanie 11. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie 3^x+ 4^y= 5^z. Zadanie 12. Udowodnij, że dla dowolnych n, m ∈ N liczba n!m!(n+m)! dzieli

(2n)!(2m)!.

Zadanie 13. Niech p–liczba pierwsza, n ∈ N. Udowodnij, że

np p



≡ n(mod p²).

Powodzenia !

2