Zadanie: Wyznacz charakterystyki przekroju cienkościennego i wartość siły
krytycznej przy obciążeniu : w środku ciężkości, biegunie, punkcie k0.
Przyjęcie charakterystycznych punktów, osi pomocniczych i podział na elementy:
δ=1,8 cm
Definicja podstawowych danych i współrzędnych y1 i z1 punktów w
Mathcadzie :
za1
0
ya1
20
L1
18
zb1
18
yb1
20
L2
40
zc1
18
yc1
0
L3
36
zd1
18
yd1
0
L4
20
L5
18
ze1
18
ye1
20
1.8
zf1
0
yf1
20
A
L1 L2
(
L3
L4
L5
)
237.6
yg1
20
zg1
18
Wyznaczenie położenia środka ciężkości:
zcc
L4
L5
L5
L5
2
L2
L1
L1
L1
2
A
2.727
ycc
L1
L2
2
L5
L4
L4
L4
2
A
1.515
Wyznaczenie położenia środka ciężkości:
zcc
L4
L5
L5
L5
2
L2
L1
L1
L1
2
A
2.727
ycc
L1
L2
2
L5
L4
L4
L4
2
A
1.515
Współrzędne punktów w układzie osi centralnych y0z0:
za0
za1
zcc
2.7 27
zb0
zb1
zcc
15 .273
zc0
zc1
zcc
15 .273
zd0
zd1
zcc
20 .727
ze0
ze1
zcc
20 .727
zf0
zf1
zcc
2.7 27
zg0
zg1
zcc
15 .273
ya 0
ya 1
yc c
21 .515
yb0
yb1
yc c
21 .515
yc 0
yc 1
yc c
1.5 15
yd0
yd1
yc c
1.5 15
ye 0
ye 1
yc c
18 .485
yf0
yf1
yc c
18 .485
yg0
yg1
yc c
18 .485
Wyznaczenie współrzędnej wycinkowej ω liczonej dla środka ciężkości
jako bieguna
c
zcc
L3
2
yc c
23 .14
d
c
L3 yc c
31 .405
b
c
L2
2
zcc
L3
2
28 2.31 4
a
b
L1 yc c
L2
2
66 9.58 7
e
d
L4
zcc
L3
2
44 5.95
f
e
L5 L4
(
yc c
)
77 8.67 8
g
c
zcc
L3
2
L2
2
32 8.59 5
Definiowanie funkcji zmienności współrzędnych na poszczególnych prętach:
fz1 x
( )
za0
(
za0
zb0
)
x
L1
fz2 x
( )
zb0
(
zb0
zg0
)
x
L2
fz3 x
( )
zc0
(
zc0
zd0
)
x
L3
fz4 x
( )
zd0
(
zd0
ze0
)
x
L4
fz5 x
( )
ze0
(
ze0
zf0
)
x
L5
fy1 x
( )
ya 0
(
ya 0
yb0
)
x
L1
fy2 x
( )
yb0
(
yb0
yg0
)
x
L2
fy3 x
( )
yc 0
(
yc 0
yd0
)
x
L3
fy4 x
( )
yd0
(
yd0
ye 0
)
x
L4
fy5 x
( )
ye 0
(
ye 0
yf0
)
x
L5
Wyznaczenie momentów bezwładności względem osi centralnych:
Jy0 0 L1 x fz1 x( )2 d 0 L2 x fz2 x( )2 d 0 L3 x fz3 x( )2 d 0 L4 x fz4 x( )2 d 0 L5 x fz5 x( )2 d
Jz0 0 L1 x fy1 x( )2 d 0 L2 x fy2 x( )2 d 0 L3 x fy3 x( )2 d 0 L4 x fy4 x( )2 d 0 L5 x fy5 x( )2 d
Jy0z0 0 L1 x fy1 x( ) fz1 x ( ) d 0 L2 x fy2 x( ) fz2 x ( ) d 0 L3 x fy3 x( ) fz3 x ( ) d 0 L4 x fy4 x( ) fz4 x ( ) d 0 L5 x fy5 x( ) fz5 x ( ) d
Jy0
4.722
10
4Jz0
3.977
10
4Jy0z0
1.913
10
4Wyznaczenie kąta obrotu:
1
0.5 at an
2
Jy0 z0
Jy0
Jz0
0.6 89
Transformacja współrzędnych punktów do układu osi głównych centralnych:
za
co s 1
(
) za0
sin 1
(
) ya 0
11 .578
zb
co s 1
(
) zb0
sin 1
(
) yb0
25 .469
zc
co s 1
(
) zc0
sin 1
(
) yc 0
12 .75
zd
co s 1
(
) zd0
sin 1
(
) yd0
15 .032
ze
co s 1
(
) ze0
sin 1
(
) ye 0
27 .751
zf
co s 1
(
) zf0
sin 1
(
) yf0
13 .86
zg
co s 1
(
) zg0
sin 1
(
) yg0
0.0 31
ya
co s 1
(
) ya 0
sin 1
(
) za0
18 .338
yb
co s 1
(
) yb0
sin 1
(
) zb0
6.8 91
yc
co s 1
(
) yc 0
sin 1
(
) zc0
8.5 44
yd
co s 1
(
) yd0
sin 1
(
) zd0
14 .351
ye
co s 1
(
) ye 0
sin 1
(
) ze0
1.0 83
yf
co s 1
(
) yf0
sin 1
(
) zf0
12 .531
yg
co s 1
(
) yg0
sin 1
(
) zg0
23 .978
Przedefiniowanie funkcji zmienności współrzędnych na prętach:
fz1 x
( )
za
(
za
zb
)
x
L1
fz2 x
( )
zb
(
zb
zg
)
x
L2
fz3 x
( )
zc
(
zc
zd
)
x
L3
fz4 x
( )
zd
(
zd
ze
)
x
L4
fz5 x
( )
ze
(
ze
zf
)
x
L5
Momenty bezw ³adnoœci w zglêdem os i g³ów nyc h centralnyc h
fy1 x
( )
ya
(
ya
yb
)
x
L1
fy2 x
( )
yb
(
yb
yg
)
x
L2
fy3 x
( )
yc
(
yc
yd
)
x
L3
fy4 x
( )
yd
(
yd
ye
)
x
L4
fy5 x
( )
ye
(
ye
yf
)
x
L5
Momenty bez w ³adnoœc i w z glêdem os i g³ów nyc h centralny ch
Momenty bezwładności względem osi głównych centralnych:
Jy
0 L1x
fz1 x
( )
2
d
0 L2x
fz2 x
( )
2
d
0 L3x
fz3 x
( )
2
d
0 L4x
fz4 x
( )
2
d
0 L5x
fz5 x
( )
2
d
6.298
10
4
Jz
0 L1x
fy1 x
( )
2
d
0 L2x
fy2 x
( )
2
d
0 L3x
fy3 x
( )
2
d
0 L4x
fy4 x
( )
2
d
0 L5x
fy5 x
( )
2
d
2.401
10
4
Przedefiniowanie funkcji zmienności współrzędnych na prętach:
fz1 x
( )
za
(
za
zb
)
x
L1
fz2 x
( )
zb
(
zb
zg
)
x
L2
fz3 x
( )
zc
(
zc
zd
)
x
L3
fz4 x
( )
zd
(
zd
ze
)
x
L4
fz5 x
( )
ze
(
ze
zf
)
x
L5
Momenty bezw ³adnoœci w zglêdem os i g³ów nyc h centralnyc h
fy1 x
( )
ya
(
ya
yb
)
x
L1
fy2 x
( )
yb
(
yb
yg
)
x
L2
fy3 x
( )
yc
(
yc
yd
)
x
L3
fy4 x
( )
yd
(
yd
ye
)
x
L4
fy5 x
( )
ye
(
ye
yf
)
x
L5
Momenty bez w ³adnoœc i w z glêdem os i g³ów nyc h centralny ch
Moment dewiacyjny – sprawdzenie poprawności wyznaczenia współrzędnych:
Jz 0 L1 x fy1 x( )2 d 0 L2 x fy2 x( )2 d 0 L3 x fy3 x( )2 d 0 L4 x fy4 x( )2 d 0 L5 x fy5 x( )2 d
2.401 104 Jyz 0 L1 x fy1 x( ) fz1 x ( ) d 0 L2 x fy2 x( ) fz2 x ( ) d 0 L3 x fy3 x( ) fz3 x ( ) d 0 L4 x fy4 x( ) fz4 x ( ) d 0 L5 x fy5 x( ) fz5 x ( ) d
Jyz
6.548
10
12~0
Definiowanie funkcji zmienności współrzędnych wycinkowych na prętach:
Wyznaczenie bieguna:
f1 x
( )
a
(
a
b
)
x
L1
f2 x
( )
b
(
b
g
)
x
L2
f3 x
( )
c
(
c
d
)
x
L3
f4 x
( )
d
(
d
e
)
x
L4
f5 x
( )
e
(
e
f
)
x
L5
Jy 0 L1 x fy1 x( ) f1 x ( ) d 0 L2 x fy2 x( ) f2 x ( ) d 0 L3 x fy3 x( ) f3 x ( ) d 0 L4 x fy4 x( ) f4 x ( ) d 0 L5 x fy5 x( ) f5 x ( ) d
Jz 0 L1 x fz1 x( ) f1 x ( ) d 0 L2 x fz2 x( ) f2 x ( ) d 0 L3 x fz3 x( ) f3 x ( ) d 0 L4 x fz4 x( ) f4 x ( ) d 0 L5 x fz5 x( ) f5 x ( ) d
Wyznaczenie bieguna:
Współrzędne bieguna w układzie osi głównych centralnych:
Jy
2.339
10
5Jz
2.653
10
5J
2.505
10
7zA'
0
Jy
Jz
9.7 4
yA'
0
Jz
Jy
4.2 12
Tranf ormacja w s pó³rz êdnyc h bieguna do uk³adu osi y0z 0:
Transformacja współrzędnych bieguna do układu osi centralnych y0z0:
zA0'
zA' co s 1
(
)
yA' sin 1
(
)
4.8 38
yA0 '
zA'
sin 1
(
)
yA' co s 1
(
)
9.4 44
Wyznaczenie wartości ω’ dla bieguna:
n
18
zcc
zA0 '
10 .435
m
yA0 '
ycc
7.9 29
k
6.22 00 077 399 38
c'
k n
64 .9 07
b'
c'
L2 n
2
14 3.7 96
a'
b'
L1
m
L2
2
36 1.0 7
b'
c'
L2 n
2
14 3.79 6
a'
b'
L1
m
L2
2
36 1.07
g'
c'
n
L2
2
27 3.60 9
a'
b'
L1
m
L2
2
36 1.0 7
g'
c'
n
L2
2
27 3.6 09
d'
c'
L3 m
35 0.3 58
e'
d'
L4 L3
(
n
)
16 0.93 9
f'
e' L5 m L4
(
)
66 3.66 5
Przedefiniowanie funkcji zmienności ω’ dla prętów:
f1 x
( )
a'
(
a' b'
)
x
L1
f2 x
( )
b'
(
b'
g'
)
x
L2
f3 x
( )
c'
(
c' d'
)
x
L3
f4 x
( )
d'
(
d'
e'
)
x
L4
f5 x
( )
e'
(
e' f'
)
x
L5
J'y 0 L1 x fy1 x( ) f1 x ( ) d 0 L2 x fy2 x( ) f2 x ( ) d 0 L3 x fy3 x( ) f3 x ( ) d 0 L4 x fy4 x( ) f4 x ( ) d 0 L5 x fy5 x( ) f5 x ( ) d
6.548 10 11 J'z 0 L1 x fz1 x( ) f1 x ( ) d 0 L2 x fz2 x( ) f2 x ( ) d 0 L3 x fz3 x( ) f3 x ( ) d 0 L4 x fz4 x( ) f4 x ( ) d 0 L5 x fz5 x( ) f5 x ( ) d
1.048 10 10 J' 0 L1 x f1 x( )2 d 0 L2 x f2 x( )2 d 0 L3 x f3 x( )2 d 0 L4 x f4 x( )2 d 0 L5 x f5 x( )2 d
1.407 107 J'y
6.548
10
11
J'z
1.048
10
10
Sprawdzenie poprawności lokalizacji bieguna:
Sprawdzenie prawidłowej lokalizacji punktu k0:
S' 0 L1 x f1 x( ) d 0 L2 x f2 x( ) d 0 L3 x f3 x( ) d 0 L4 x f4 x( ) d 0 L5 x f5 x( ) d
2.046 1010 S'
2.046
10
10
J'z 0 L1 x fz1 x( ) f1 x ( ) d 0 L2 x fz2 x( ) f2 x ( ) d 0 L3 x fz3 x( ) f3 x ( ) d 0 L4 x fz4 x( ) f4 x ( ) d 0 L5 x fz5 x( ) f5 x ( ) d
1.048 10 10 J' 0 L1 x f1 x( )2 d 0 L2 x f2 x( )2 d 0 L3 x f3 x( )2 d 0 L4 x f4 x( )2 d 0 L5 x f5 x( )2 d
1.407 107 J'
1.407
10
7
Momenty wyższego rzędu:
Jz3 0 L1 x fz1 x( )3 d 0 L2 x fz2 x( )3 d 0 L3 x fz3 x( )3 d 0 L4 x fz4 x( )3 d 0 L5 x fz5 x( )3 d
Jy3 0 L1 x fy1 x( )3 d 0 L2 x fy2 x( )3 d 0 L3 x fy3 x( )3 d 0 L4 x fy4 x( )3 d 0 L5 x fy5 x( )3 d
Jy2z 0 L1 x fy1 x( )2fz1 x( ) d 0 L2 x fy2 x( )2fz2 x( ) d 0 L3 x fy3 x( )2fz3 x( ) d 0 L4 x fy4 x( )2fz4 x( ) d 0 L5 x fy5 x( )2fz5 x( ) d
5.27 104 Jy3 0 L1 x fy1 x( )3 d 0 L2 x fy2 x( )3 d 0 L3 x fy3 x( )3 d 0 L4 x fy4 x( )3 d 0 L5 x fy5 x( )3 d
Jy2z 0 L1 x fy1 x( )2fz1 x( ) d 0 L2 x fy2 x( )2fz2 x( ) d 0 L3 x fy3 x( )2fz3 x( ) d 0 L4 x fy4 x( )2fz4 x( ) d 0 L5 x fy5 x( )2fz5 x( ) d
5.27 104 Jyz2 0 L1 x fy1 x( ) fz1 x ( )2 d 0 L2 x fy2 x( ) fz2 x ( )2 d 0 L3 x fy3 x( ) fz3 x ( )2 d 0 L4 x fy4 x( ) fz4 x ( )2 d 0 L5 x fy5 x( ) fz5 x ( )2 d
1.442 105 Jy2z 0 L1 x fy1 x( )2fz1 x( ) d 0 L2 x fy2 x( )2fz2 x( ) d 0 L3 x fy3 x( )2fz3 x( ) d 0 L4 x fy4 x( )2fz4 x( ) d 0 L5 x fy5 x( )2fz5 x( ) d
5.27 104 Jyz2 0 L1 x fy1 x( ) fz1 x ( )2 d 0 L2 x fy2 x( ) fz2 x ( )2 d 0 L3 x fy3 x( ) fz3 x ( )2 d 0 L4 x fy4 x( ) fz4 x ( )2 d 0 L5 x fy5 x( ) fz5 x ( )2 d
1.442 105 Jz3
1.896
10
5
Jy3
7.948
10
4
Jy2z
5.27
10
4
Jyz2
1.442
10
5
Wyznaczenie sił krytycznych przy obciążeniu siłą ściskającą w środku ciężkości:
yA
yA'
zA
zA'
Cy
(
Jy3
2 yA
Jz
Jyz 2
)
2Jz
2.8 64
Cz
(
Jz3
2 zA
Jy
Jy2 z
)
2Jy
10 .826
r2
yA
2
zA
2
(
Jy
Jz
)
A
47 8.74 3
zp
0
y p
0
Współrzędne punktu przyłożenia siły
Schemat- belka w olnopodparta d³.4m
n 1
1
Schemat – belka wolnopodparta długości 400cm
L
4 00
a
1
n1
a L
(
)
7.854 10
3
E
20 000
n1
a L
(
)
7.8 54 10
3
G
80 00
n1
a L
(
)
7.8 54 10
3
Wyznaczenie sił krytycznych przy obciążeniu siłą ściskającą w środku ciężkości:
P z
E Jz
2
2.96 3 10
4
P y
E Jy
2
7.77 10
4
P
G K0
E J'
2
r2
4.05 5 10
4
w
P
Pz
0
P zA
(
zp
)
0
P
Py
P yp
(
yA
)
P zA
(
zp
)
P yp
(
yA
)
P
P
(
) r2
2 Cy
yp
P
2 Cz
zp
P
P
w 366.1450872359962889P 3 6.2899038563153150106e7P 2 3.1855889148311077064e12P 4.46876260810941732e16
Pkryt w solve P 90695.762755060238235 23275.545011487434813 57815.890138997373689
Pmin Py Pz P Pkryt 0 Pkryt 1 Pkryt 2
7.77 104 2.963 104 4.055 104 9.07 104 2.328 104 5.782 104
Pkryt w solve P 90695.762755060238235 23275.545011487434813 57815.890138997373689
Pmin Py Pz P Pkryt 0 Pkryt 1 Pkryt 2
7.77 104 2.963 104 4.055 104 9.07 104 2.328 104 5.782 104
P kry t yczn a P min
4
2.3 28 10
4
Wyznaczenie sił krytycznych przy obciążeniu siłą ściskającą w biegunie:
w
P
Pz
0
P zA
(
zp
)
0
P
Py
P yp
(
yA
)
P zA
(
zp
)
P yp
(
yA
)
P
P
(
) r2
2 Cy
yp
P
2 Cz
zp
P
P
zp
zA'
9.74
yp
yA'
4.212
w 243.72847065789973603P 3 4.5571818818054700486e7P 2 2.6446017989589370042e12P 4.46876260810941732e16
Pkryt w solve P 77702.082533901099981 79650.720099010521098 29625.020249421494
Pmin Py Pz P Pkryt 0 Pkryt 1 Pkryt 2
7.77 104 2.963 104 4.055 104 7.77 104 7.965 104 4
P kry t yczn a P min
5
2.9 63 10
4
Wyznaczenie sił krytycznych przy obciążeniu siłą ściskającą w punkcie k0:
w
P
Pz
0
P zA
(
zp
)
0
P
Py
P yp
(
yA
)
P zA
(
zp
)
P yp
(
yA
)
P
P
(
) r2
2 Cy
yp
P
2 Cz
zp
P
P
zp0
(
18
zcc
k
)
9.053
yp0
(
ycc
)
1.515
yp
co s 1
(
) yp 0
sin 1
(
) zp 0
4.5 88
zp
co s 1
(
) zp 0
sin 1
(
) yp 0
7.9 5
w 252.24728542555688235P 3 5.2597983228464785657e7P 2 2.8498382217465359483e12P 4.46876260810941732e16
Pkryt w solve P 134138.59994280919622 45085.546276751763767 29293.392986970883385
