Wykad 2

(1)

PODSTAWY

MECHANIKI PŁYNÓW

Wykład Nr 2



_{Siły działające w płynie (siła masowa, siła}

powierzchniowa)



_{Równanie równowagi płynu}



_{Prawo Pascala,}



_{Podział ciśnień, prawo naczyń połączonych,}

(2)

1. Podział sił działających w płynie

masowe

powierzchniow

e

ciężkości

bezwładności

(d’Alamberta)

zewnętrzne

(np. nacisk tłoka)

Siły działające w płynach

wewnętrzne

(naprężenia,

napięcia)

odśrodkowa

(3)

Siły masowe działają na każdy element płynu o masie

m zawarty w objętości V i

znajdujący się w zewnętrznym polu sił. Przykładami sił masowych jest siła ciężkości siła

bezwładności, siła odśrodkowa. W mechanice płynów zamiast posługiwać się wektorem siły

głównej lepiej używać jednostkowej siły masowej odniesionej do masy płynu m.

Q





m



( )

A t

( )

V t

2. Siła masowa

Q



r

(4)

Jednostkową siłę masową definiujemy w postaci:

gdzie

:

q X Y Z



, ,



r

Q



r

-

_{wektor główny siły masowych (np. siła bezwładności, odśrodkowa, ciężar),}

[ ]

q

r



-

_{jednostkowa siła masowa o składowych X, Y, Z,}

- wersory jednostkowe.

, ,

i j k

r r

r

Jednostkowa siła masowa ma wymiar przyspieszenia, ale posiada wszystkie cechy

wektora siły.

(5)

Przykład: Obliczyć siłę masową działającą na masę o wielkości m=2 kg pochodząca od

następujących sił głównych,

1) Siły ciężkości tej masy

2) Siły odśrodkowej =10 rad/s, R=0,8 m

3) Siły bezwładności a=5 m/s

2

Ad.1.

Ad.2.

(6)

Siły powierzchniowe działają na powierzchnię dA każdego elementu płynu o objętości dV.

Siły powierzchniowe mogą być zewnętrzne lub wewnętrzne. Przykładem siły powierzchniowej zewnętrznej jest nacisk tłoka, natomiast wewnętrznej napięcie powierzchniowe.

Jednostkową siłą powierzchniową lub naprężeniem nazywamy wektor siły głównej P odniesiony do powierzchni na którą działa A.

3. Siła powierzchniowa

Naprężenie σ w płynie może przybierać w każdym punkcie płynu nieskończenie wiele

wartości (ponieważ przez dany punkt można przeprowadzić nieskończenie wiele

powierzchni).

Orientację w przestrzeni danej powierzchni określa jednostkowy wektor normalny

(prostopadły) do tej powierzchni o współrzędnych

n = n

_x

i + n

_y

j + n

_z

k, naprężenie w takim razie zależy od wybranego punktu w płynie,

(7)

4. Równania równowagi płynów

Siła masowa q(X,Y,Z) i powierzchniowa pA działająca na element płynu dxdydz

(8)

Siła powierzchniowa działająca na element płynu

1

2

2 p

p

dy dxdz

p

dy dxdz

y





















_





_











1

2

2 p

p

dz dxdy

p

dz dxdy

z





_



_



_



_



_





_











Na ścianki płynu wzdłuż osi x działają składowe x,y,x siły powierzchniowej związane z ciśnieniem wewnątrz płynu wynoszące odpowiednio

przez analogie wzdłuż osi y i z

(1)

(2)

(3)

(9)

 

7  

8  

9

Składowe siły masowej działające na płyn:

Bilans sił masowych i powierzchniowych ma się równoważyć

(4)

(5)

(6)

(10)

 

10  

11  

12

Równania (7-9) obustronnie dzielimy przez (dx, dy, dz), a następnie stronami mnożymy odpowiednio przez dx, dy, dz i sumujemy stronami

Xdx

Ydy

Zdz













 

13

Jeśli założymy, że w płynie ciśnienie jest stałe p=const to dp=0 to z równania (13) otrzymamy równanie powierzchni jednakowego ciśnienia (powierzchni ekwipotencjalnych)

 

14

Z równania (13) elementarny przyrost ciśnienia wynosi:

 

15

(11)

Równania (10-12) zapisane w formie wektorowej mają postać:

5. Równowaga przy braku sił masowych –

prawo Pascala

gdzie jest wektorem jednostkowej siły masowej o składowych X,Y,Z.

W przypadku, gdy na płyn nie działają siły masowe (q=0) równanie to przybiera postać:

q

 

19  

20 Blaise Pascal (1623-1662) – francuski matematyk,

fizyk i filozof religii.

(12)

Prawo Pascala – gdyby na płyn działały wyłącznie siły powierzchniowe

(brak sił masowych), to ciśnienie miało by jednakową wartość w każdym

punkcie płynu.

W warunkach ziemskich (w polu grawitacyjnym) warunek ten spełniony jest

w przybliżeniu dla gazów. Ze względu na małą gęstość/masę siły masowe

można pominąć.

Prawo Pascala stosuje się również dla cieczy, gdy płyn znajduje się pod

dużym ciśnieniem, np. w prasach hydraulicznych.

(13)

 

21  

22

(14)

Przykład: Obliczyć jaka powinna być średnica d mniejszego tłoka w prasie hydraulicznej, aby na dużym tłoku otrzymać siłę 100 razy większą niż na małym tłoku. Średnica większego tłoka wynosi D=200 mm. Ile wyniesie ciśnienie w prasie jeśli siła F₁ równa się 1000 N ?

(15)

6. Ciśnienie – podział ciśnień

Ciśnienie powstaje w wyniku zderzania się molekuł płynu powierzchnią ciała stałego.

Jeśli ciśnienie jest jednorodne.

[ ]

p



Jednostką ciśnienia w układzie SI jest paskal.

W próżni ciśnienie wynosi 0 Pa. Każde inne ciśnienie,

którego wartość podawana jest względem ciśnienia próżni

nazywa się ciśnieniem bezwzględnym lub absolutnym.

(16)

Przykładem ciśnienia bezwzględnego (absolutnego) jest ciśnienie otoczenia nazywane

ciśnieniem barometrycznym lub atmosferycznym (p

_b

). W fizyce jako wartość

ciśnienia normalnego przyjmuje się p

_b

=101 325 Pa.

Jeżeli wartość ciśnienia podamy nie względem ciśnienia próżni tylko innego ciśnienia

to ciśnienie takie nazywamy ciśnieniem względnym.

Ciśnienie względne dzieli się na nadciśnienie i podciśnienie.

Jeżeli wartość ciśnienia podamy nie względem ciśnienia próżni tylko innego ciśnienia

to ciśnienie takie nazywamy ciśnieniem względnym.

Ciśnienie względne dzieli się na nadciśnienie i podciśnienie.

Najczęściej wartość ciśnienia względnego podawana jest względem ciśnienia

barometrycznego.

(17)

Nadciśnienie (p

_n_n

), jest to nadwyżka ciśnienia absolutnego nad ciśnieniem względem,

którego jest podawane.

Podciśnienie (p

_d_d

), jest to różnica pomiędzy wartościami bezwględnymi ciśnieniami

odniesienia, a podawanej wartości ciśnienia.

(18)

Przeliczenie z ciśnienia względnego na bezwzględne

Przeliczenie z ciśnienia bezwzględne na względnego

(19)

Przykład 1: Zmierzono podciśnienie p

_d

=30 kPa, obliczyć ile wynosi ciśnienie bezwzględne

jeśli wysokość ciśnienia barometrycznego równa była h

_b

=10,2 mH

₂

O. Przykład 2: Które wartość ciśnienia jest wyższa, o wysokość nadciśnienie h

_n

=5 m czy

ciśnieniu bezwzględnym p

_a1

=1012 hPa? Wartość ciśnienia barometrycznego wynosi

p

_b

=101 325 Pa.

Przykład 3: Wysokość podciśnienia słupa wody wynosi h

_d

=8 mH

₂

O, obliczyć ile wynosi

wysokość podciśnienia słupa rtęci?

(20)

7. Równowaga cieczy w polu sił ciężkości

W polu sił ciężkości składowe jednostkowej siły masowej wynoszą:

 

23 q



Wyznaczyć ciśnienie w cieczy o gęstości  na głębokości h, gdy na powierzchni cieczy występuje ciśnienie bezwzględne p₀. W jaki sposób zmienia się ciśnienie z głębokością z?

(21)

Po podstawieniu do równania (14), równanie powierzchni jednakowego ciśnienia przyjmuje postać:

dp





gdz

0 gdz





z const



Stałą całkowania c wyznaczamy z warunku brzegowego:

zatem:

z=0 p=p

₀

to

C



p ,

₀

 

25  

26

po dwustronnym scałkowaniu równania otrzymamy

 

24  

27  

28

gz – nazywa się

Ciśnienie na głębokości z=h wynosi

 

29

Elementarny przyrost ciśnienia z (15):

Powierzchnie ekwipotencjalne w płynie w polu grawitacyjnym stanowią równoległe do siebie poziome płaszczyzny.

(22)

(23)

Jeśli w zbiorniku znajdują się 3 niemieszające się ciecze o gęstościach ₁ < ₂ < ₃i odpowiednio wysokościach h₁, h₂, h₃, to ciśnienie w ostatniej cieczy wynosi.

(24)

Przykład 1: W zbiorniku znajdują się dwie niemieszające się ciecze o gęstościach i wysokościach odpowiednio równych ₁=1000 kg/m3_h

1=1 m, 2=13 600 kg/m3 h2=1 m. Obliczyć ciśnienia bezwzględne

oraz hydrostatyczne w miejscu styku cieczy oraz na dnie zbiornika. Wyznaczyć kat pochylenia prostej ciśnienia hydrostatycznego. Ciśnienie barometryczne wynosi p_b = 1013 hPa.

Kąt pochylenia prostej zależy tylko od gęstości cieczy i jest bliski 90.

(25)

Przykład 2: Ciecz o gęstość =870 kg/m3_{znajduje się w zbiorniku otwartym. Obliczyć na jakiej}

głębokości x ciśnienie bezwględne będzie 5-cio krotnie wyższe niż na głębokości h=2 m. Ciśnienie barometryczne wynosi p_b = 1013 hPa.

Ile będzie wynosiło ciśnienie hydrostatyczne na głębokości h=2 m oraz głębokości x?

Ciśnienie hydrostatyczne na głębokości h=2 m

(26)

8. Paradoks Stevina

Simon Stevin (1548-1620) – flamandzki inżynier,

matematyk

Ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od

kształtu naczynia!

(27)

9. Prawo naczyń połączonych

Prawo naczyń połączonych: Cząstki cieczy należące do tej samej

ciągłej

masy

ciekłej i leżące na tej samej

płaszczyźnie poziomej

, podlegają działaniu

jednakowego ciśnienia.

Oznacza to, że w naczyniach połączonych w dwóch dowolnie wybranych przekrojach ciśnienia są takie same jeśli spełnione są dwa warunki:

1)przekroje leżą na tym samym poziomie,

2)w obu przekrojach jest ta sama nieprzerwana ciecz (o tej samej gęstości oraz nierozdzielona inną cieczą lub przegrodą).

Otwarte naczynia połączone z jednorodnym płynem

Zgodnie z prawem naczyń połączonych:

(28)

Zamknięte naczynia połączone z jednorodnym płynem

(29)

Zamknięte naczynia połączone z dwoma jednorodnymi płynami

(30)

Manometr U-rurkowy (zwykły)

Zgodnie z prawem naczyń połączonych: oraz

10. Manometry cieczowe

(31)

Manometr U-rurkowy odwrócony

(32)

Mikromanometr z rurką pochyłą

Z prawa naczyń połączonych:

z kąta pochylenia rurki: z bilansu objętości:

(33)

Przykład 1: Mikromanometrem z rurką pochyłą zmierzono podciśnienie o wartości 700 Pa. Obliczyć wychylenie manometru, jeśli przełożenie manometru wynosiło 0,3, gęstość cieczy manometrycznej 870 kg/m3_{, średnica zbiornika 120 mm, średnica rurki 5 mm. Jaki popełnimy błąd względny w pomiarze}

podciśnienia jeśli pominiemy bilans objętości?

Zmierzone podciśnienie z pominięciem bilansu objętości

(34)

Piezometr

(35)

Barometr Torricellego

Evangelista Torricelli (1608-1647) – włoski fizyk

i matematyk.

Dla rtęci h  760 mm Dla wody h  10 m

(36)

(37)

(38)

Manometr

Recknagla

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)