Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina

(1)

Pojęcie funkcji. Dziedzina i

przeciwdziedzina

Autorzy:

Anna Barbaszewska-Wiśniowska

(2)

Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina

Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

W otaczającej nas rzeczywistości zarówno fizycznej jak i społecznej, występuje wiele zależności pomiędzy różnymi zjawiskami, obiektami czy wielkościami. Na przykład, podczas jazdy samochodem długość przebytej drogi zależy od czasu podróży. Każdej chwili odpowiada, przebyta dotąd droga. W sytuacji, gdy jedziemy ze stałą prędkością dystans ten możemy bardzo łatwo obliczyć mnożąc prędkość przez czas.

W sytuacji realnej najczęściej prędkość jest zmienna, jedziemy raz szybciej raz wolniej, co parę godzin zatrzymujemy się, jednakże i wówczas każdej chwili podróży możemy przyporządkować liczbę przejechanych kilometrów. Jako przykłady z innej dziedziny zauważmy, że każdemu członkowi danej społeczności (np. każdemu obywatelowi Polski) odpowiada jego data urodzenia. Każdemu obywatelowi nadawany jest też numer identyfikacyjny PESEL, a każdemu studentowi danego wydziału AGH odpowiada numer jego indeksu (tzw. numer albumu). We wszystkich wspomnianych przykładach mamy do czynienia z odpowiedniością pomiędzy elementami dwóch zbiorów oraz .

W przypadku podróży oznacza przedział liczbowy określający czas jazdy od chwili początkowej, która może być przyjęta umownie, jako czas do końca podróży . Możemy wówczas zapisać ). to zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych wyrażających długość przebytej drogi (np. w kilometrach). W drugim i trzecim przykładzie jest zbiorem wszystkich obywateli RP, a w czwartym zbiorem wszystkich studentów wydziału.

Zauważmy, że we wszystkich tych przypadkach każdemu elementowi każdemu elementowi ze zbioru ze zbioru odpowiada tylko jeden element odpowiada tylko jeden elementyy ze zbioru ze zbioru .. Faktycznie, jeden człowiek nie może mieć dwóch różnych dat urodzenia, w każdej chwili podróży stwierdzamy, że przejechaliśmy konkretną liczbę kilometrów itd.Ta jedyność elementu Ta jedyność elementu odpowiadającego danemu elementowi odpowiadającego danemu elementowi xx ma kluczowe znaczenie w ma kluczowe znaczenie w pojęciu funkcji.

pojęciu funkcji.

DEFINICJA

Definicja 1: Funkcja

Niech będzą dane niepuste zbiory i . Funkcją odwzorowującą zbiór

Funkcją odwzorowującą zbiór w zbór w zbór (co zapisujemy ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru dokładnie jednego elementu ze zbioru . Element ze zbioru nazywamy argumentem funkcjiargumentem funkcji a jedyny element ze zbioru , który został przyporządkowany elementowi oznaczamy przez i nazywamy wartością funkcji wartością funkcji dla argumentu

dla argumentu .

Zbiór nazywamy dziedziną funkcji dziedziną funkcji i oznaczamy przez . Zbiór obrazów wszystkich argumentów czyli zbiór elementów nazywamy przeciwdziedzinąprzeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji zbiorem wartości funkcji i oznaczamy . Przeciwdziedzina jest zawsze podzbiorem zbioru . Rysunek 1: Funkcja

X

Y

X

t = 0

t = T

X = [0, T] Y

X

x

X

Y

y

X Y

X

Y

f : X → Y

x

X

y

Y

x

X

y

Y

x

f(x)

f

x

X

f

D

f

{f(x) : x ∈ X}

f

R

f

Y

f : X → Y

(3)

UWAGA

Uwaga 1: Oznaczenia i nazewnictwo

Gdy mówimy o jednej funkcji, oznaczamy ją pojedynczą literą (tu literą , natomiast gdy rozważamy więcej funkcji, możemy zastosować zapis indeksowany , , . itd. lub użyć innych liter np. , , , . Przez (co odczytujemy : „ od ”) oznaczamy wartość funkcji dla elementu . Często mówimy też, że jest wartością funkcji w punkcie w punkcie , chociaż w ogólnym przypadku element x z punktem w sensie geometrycznym może nie mieć nic wspólnego (tak właśnie jest w przykładzie z Peselem, gdzie oznacza człowieka). Czasami też na używa się określenia: „obraz elementu obraz elementu przez przez funkcję

funkcję ”.

Jeżeli zbiory i są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych to mówimy, że jest funkcją rzeczywistą jest funkcją rzeczywistą (myśląc o jej wartości ze zbioru liczb rzeczywistych) zmiennej rzeczywistejzmiennej rzeczywistej (myśląc o jej argumentach ze zbioru liczby rzeczywistych). Możemy, więc zanotować następującą definicję.

DEFINICJA

Definicja 2: Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej

Niech oraz będą niepustymi podzbiorami liczb rzeczywistych . Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej prowadzącą ze zbioru w zbiór (co zapisujemy ) nazywamy przyporządkowanie każdej liczby ze zbioru dokładnie jednej liczby ze zbioru .

Rysunek 2: Funkcja rzeczywista

UWAGA

Uwaga 2:

Definicje i określają funkcje w sposób dynamiczny. Zbiór możemy traktować jako zbiór wyjściowy, początkowy zbiórzbiór danych

danych a funkcję jako narzędzie do przetwarzania jego elementów w elementy zbioru końcowego .

f

1

f

2

f

3

g h u v

f(x)

f

x

f

x

f(x)

x

f(x)

x

f

X Y

R

f

X

Y

R

X

Y

f : X → Y

x

X

y

Y

f : X → Y

1 2

X

Y

(4)

UWAGA

Uwaga 3:

W obu przedstawionych powyżej definicjach występuje słowo przyporządkowanieprzyporządkowanie, które choć intuicyjnie jasne nie jest precyzyjnie określone. Nie ma tego mankamentu definicja wykorzystująca pojęcie pary uporządkowanej . Choć początkowo może ona wydawać się mniej intuicyjna, nie jest trudna i wyraźnie podkreśla zasadniczą własność każdej funkcji, jaką jest powiązanie każdego argumentu z dokładnie jedną wartością .

DEFINICJA

Definicja 3: Teoriomnogościowa definicja funkcji

Niech i będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Funkcją o dziedzinie

Funkcją o dziedzinie i wartościach ze zbioru i wartościach ze zbioru nazywamy zbiór par uporządkowanych takich, że pierwszy element pary należy do zbioru , a drugi do zbioru oraz zbiór par spełnia tzw. warunek prawostronnej jednoznacznościprawostronnej jednoznaczności tzn. dla każdego elementu ze zbioru w zbiorze par jest tylko jedna para mająca na pierwszym miejscu.

UWAGA

Uwaga 4:

Warunek prawostronnej jednoznacznościprawostronnej jednoznaczności oznacza, że jeżeli pary oraz należą do rozważanego zbioru par wówczas elementy , stojące po prawie stronie tych par muszą być równe.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 02:33:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=5e5661e99b3f855cd7c91f3b2daf8532