Wykład 3 Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Granica funkcji

Wykład 3

Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Granica funkcji

Podstawowe pojęcia

Jednym z ważniejszych pojęć w matematyce jest pojęcie funkcji. Funkcje służą do opisu różnych zjawisk fizycznych, ekonomicznych, biologicznych itd. Wielokrotnie jedną z dróg prowadzących do celu jest poznanie własności funkcji.

Przypomnijmy poznaną w szkole definicję funkcji.

Przyporządkowanie f elementom zbioru A elementów zbioru B w taki sposób, że każdemu elementowi zbioru A przypisany jest dokładnie jeden element zbioru B nazywamy funkcją ze zbioru A w zbiór B.

Jeśli a jest elementem zbioru A , symbolicznie a∈ A czyli argumentem funkcji ,, f to przypisany mu element zbioru B oznaczamy symbolem ( )f a i nazywamy wartością funkcji f w punkcie a. ( czasem będziemy mówić: ,, f – obrazem ”, choć to nie brzmi dobrze, ale czasem należy wyraźnie zaznaczyć o jaką funkcję chodzi ). Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f , zbiór B przeciwdziedziną, zbiór ( )f A złożony z wszystkich wartości funkcji

f , czyli elementów zbioru B postaci ( )f a , gdzie a∈ A nazywamy obrazem zbioru A ( przez funkcję f ) lub zbiorem wartości funkcji .f Jeśli f przekształca zbiór A w zbiór

B , to piszemy f :A→B . Jeśli zbiór ( )f A wartości funkcji f pokrywa się z przeciwdziedziną B funkcji f , to mówimy, że f przekształca zbiór A na zbiór B i piszemy czasem :f A→^na B .

Przykładem funkcji jest ciąg: jest to funkcja określona na zbiorze N={0,1, 2,...}. Innym przykładem dobrze znanym ze szkoły, jest funkcja liniowa: f x( )=ax b+ , gdzie ,a b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, x jest elementem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych

,

R na którym funkcja f jest określona, ( )f x jest elementem przeciwdziedziny ;R jeśli 0,

a≠ to funkcja f przekształca zbiór R na siebie; jeśli a=0, to jedyną wartością funkcji jest liczba b. Jeszcze innym przykładem jest funkcja kwadratowa: f x( )=ax²+bx c+ , gdzie , ,a b c są liczbami rzeczywistymi, przy czym a≠ funkcja ta określona jest na zbiorze 0, liczb rzeczywistych R. Przeciwdziedziną jest również ,R zbiorem wartości jest półprosta

4 2

4 ac b

a

 − 

 + ∞

  w przypadku a> zaś w przypadku 0, a<0 zbiorem wartości jest półprosta 4 2

, 4

ac b a

−∞ − 

 

 .

Inny przykład funkcji znany ze szkoły to permutacje zbioru n- elementowego, można je traktować jako funkcje przekształcające zbiór {1, 2,..., }n na dany zbiór złożony z

n- elementów: mamy ustawić elementy danego zbioru w kolejności, pierwszy w tym ustawieniu element to wartość permutacji w punkcie 1, drugi – wartość w punkcie 2, …, n-ty wartość w punkcie n. Zadanie na ile sposobów może 10 osób wsiąść do trzech wind: ile jest funkcji ze zbioru 10 elementowego w zbiór trójelementowy ( osobie przypisujemy windę do której ta osoba wsiada ). Przykłady można podawać ale nie będziemy tego robić teraz. Na razie będziemy zajmować się funkcjami rzeczywistymi jednej zmiennej rzeczywistej, co oznacza, że wartościami funkcji będą liczby rzeczywiste i dziedziną funkcji będzie jakiś zbiór złożony z liczb rzeczywistych. W rzeczywistości dziedzinami będą albo przedziały, albo sumy skończenie wielu lub nieskończenie wielu przedziałów, np. dziedziną funkcji tg jest zbiór złożony z tych wszystkich liczb rzeczywistych, które nie są postaci (2 1) ,

n₊ π2

czyli jest to suma przedziałów postaci ( (2 1) ,(2 1) ),

2 2

n π n π

− + + gdzie n oznacza dowolną liczbę całkowitą. Dziedziną funkcji zdefiniowanej wzorem

2

( ) ( 1)( 2) f x x

x x

= − + jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem -2 i 1, czyli zbiór (−∞ − ∪ −, 2) ( 2,1) (1,∪ +∞ Z ).

punktu widzenia formalnego dopóki nie powiemy na jakim zbiorze funkcja ma być zdefiniowana, to nie została ona określona. W szczególności z formalnego punktu widzenia zdania: ,, znaleźć dziedzinę funkcji określonej wzorem …’’, nie mają sensu. Pytanie o dziedzinę należy traktować jako pytanie o maksymalny zbiór, na którym można zdefiniować funkcję w sposób zaproponowany przez autora zadania. Nawet przy takiej interpretacji mogą powstawać wątpliwości: np. czy funkcja określona wzorem

2

( ) x

f x = x może tym wzorem być zdefiniowana na całej prostej, czy też w punkcie 0 tym akurat wzorem nie da się zdefiniować.

Wydaje się, że specjaliści od tak formułowanych zadań w większości przypadków uznają, ze ta definicja w punkcie 0 nie działa, ale czy ten problem wart jest dyskusji? Można po prostu takich zadań nie dawać, a jeśli się je daje to unikać wieloznaczności.

Będziemy jednak mówić np. o funkcji

2 3

4 13 167

( ) ,

4 3

x x

f x x x

− −

= − + zakładając przy tym, że jej dziedziną jest zbiór wszystkich tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik jest różny od 0. Funkcja ( )g x = 1−e^x będzie zdefiniowana na zbiorze złożonym z liczb rzeczywistych niedodatnich. W przypadku jakichkolwiek wieloznaczności będziemy wyraźnie określać dziedzinę. Czasem też dziedzina z jakiś przyczyn będzie mniejsza niż maksymalna, np. gdy zmienna będzie mieć jakieś poza matematyczne znaczenie i wtedy interpretacja będzie źródłem ograniczeń dziedziny. Np. pytanie o maksymalne pole prostokąta o obwodzie 4 prowadzi do rozpatrywania funkcji ( )P x =x x( − na przedziale otwartym (0, 2) : 2) x oznacza tu jeden wymiar prostokąta, a 2 x− - drugi. Funkcję ( )P x =x x( − można 2) rozpatrywać nie tylko na przedziale (0, 2), ale z punktu widzenia zadanego pytania nie ma to sensu.

W dalszej części zajmiemy się również funkcjami określonymi na podzbiorach płaszczyzny przestrzeni trójwymiarowej i ogólnie n- wymiarowej. Wartościami tych funkcji będą zazwyczaj liczby rzeczywiste, ale wystąpią również funkcje przekształcające pewne zbiory płaszczyzny na płaszczyznę.

Takie funkcje będą nazywane na ogół przekształceniami lub odwzorowaniami. Nie oznacza to, że funkcji z R na R określonej wzorem ( )f x = + nie można nazywać x 1 odwzorowaniem – często termin ten jest używany, zwłaszcza wtedy, gdy mówimy o geometrii związanej z tą funkcją – jej przesunięciem o 1 w lewo itp.

Funkcje różnowartościowe, funkcja odwrotna

Ważną klasą funkcji są funkcje różnowartościowe, tj. takie które różnym punktom dziedziny przypisują różne wartości: (x a≠ )⇒( ( )f x ≠ f a( )). Jeżeli f jest funkcją różnowartościową przekształcającą zbiór A na zbiór B , to można określić funkcję f⁻¹ odwrotną do danej funkcji :f f⁻¹( )b = ↔ =a b f a( ). Jeśli f x( )=x³ dla każdej liczby rzeczywistej ,x to funkcja f przekształca różnowartościowo zbiór R na siebie, więc można określić funkcję odwrotną : f⁻¹( )x = ³ x. Jeśli ( )f x = dla każdej liczby rzeczywistej ,e^x x to zbiorem wartości funkcji jest zbiór wszystkich liczb dodatnich i wobec tego f⁻¹( ) ln( )x = x dla każdej dodatniej liczby x. Jeśli f x( )=x² dla nieujemnych liczb ,x to f⁻¹( )x = x dla każdej liczby nieujemnej x. Jeśli f x( )=x² dla każdej liczby niedodatniej ,x to funkcja f przekształca zbiór wszystkich liczb niedodatnich na zbiór wszystkich liczb nieujemnych.

Funkcja odwrotna do niej dana jest wzorem f⁻¹( )x = − x. W ostatnich dwóch przykładach wzór był identyczny, ale dziedziny były różne. W związku z tym wzory na funkcje odwrotne też były różne.

W dalszym ciągu będziemy używać jeszcze dwu funkcji zdefiniowane jako odwrotne do funkcji sinus i tangens. Oczywiście funkcje sinus i tangens jako okresowe nie są różnowartościowe, więc nie mają funkcji odwrotnych. Można więc postąpić tak jak w przypadku pierwiastka kwadratowego, który jest zdefiniowany jako funkcja odwrotna do funkcji x rozpatrywanej nie na całej dziedzinie, lecz na zbiorze, na którym funkcja ²

( ) 2

f x =x jest różnowartościowa i to możliwie najprostszym o tej własności.( zbiorów, na których funkcja x jest różnowartościowa jest nieskończenie wiele, np.: (0,² +∞ (), −∞ − , , 2)

(−∞,0], [0,+∞ , zbiór złożony ze wszystkich liczb wymiernych dodatnich , wymiernych ) ujemnych liczb niewymiernych i wiele innych ) . Wybieramy możliwie naturalne dziedziny.

W przypadku sinusa ograniczamy się do przedziału , , 2 2

−π π

 

  a w przypadku tangensa – do przedziału , .

2 2

−π π

 

  Zbiory wartości, to odpowiednio przedział domknięty [ 1,1]− i cała prosta (−∞ +∞ Tradycyjnie zamiast pisać , ). sin⁻¹ piszemy arcsin, a zamiast tg⁻¹ piszemy arctg ( w niektórych krajach arctan ), co pozwala na uniknięcie dwuznaczności związanej z oznaczeniami. Podamy teraz definicję tych funkcji w jawny sposób.

Definicja funkcji arcsin i arctg

Jeżeli [ 1,1],x∈ − to arcsin( )x jest jedyną liczbą z przedziału [ , ] 2 2

−π π , dla której zachodzi równość sin(arcsin( ))x = x.

Jeśli x jest liczba rzeczywistą, to arc ( )tg x jest jedyną liczbą rzeczywistą, z przedziału 2 2,

−π π

 

 , dla której zachodzi równość (tg arctg x( ))= x. Przykłady: arcsin(1) ,

2

=π 1

arcsin( ) ,

2 6

=π 2

arcsin( ) ,

2 4

− = −π ( 3) ,

arctg ₌π3

( 1) ,

arctg _{− = −}π4

arctg(0) 0.=

Wprowadzimy oznaczenie: R= −∞ +∞[ , ] oznacza zbiór złożony z wszystkich liczb rzeczywistych uzupełniony symbolami nieskończonymi −∞ i +∞ Można myśleć, że R to . prosta z końcami . Podkreślić należy, że symboli nieskończonych nie traktujemy jak liczb, bo np. nie wszystkie działania z ich użyciem są wykonalne.

Punkt skupienia

Punkt p∈ R jest punktem skupienia zbioru ⊂A R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg ( )a punktów zbioru _n A , o wyrazach różnych od p zbieżnych do .p

+∞ jest punktem skupienia zbioru wszystkich liczb naturalnych N- by się o tym przekonać wystarczy przyjąć a_n = Innych punktów skupienia zbiór n. N nie ma. W grę mogłyby wchodzić jedynie liczby nieujemne, bo granica ciągu liczb naturalnych jest równa +∞, albo też jest liczbą nieujemną. Jeśli ciąg liczb naturalnych ma skończoną granicę, to ze względu na warunek Cauchy’ego odległości miedzy wyrazami tego ciągu, których numery są dostatecznie duże, są mniejsze niż 1, a ponieważ są to liczby całkowite, więc te odległości są równe 0. Wykazaliśmy, że ciąg liczb naturalnych, który ma skończoną granicę musi być od pewnego miejsca stały, więc granica jest równa pewnym wyrazom ciągu. Jest to niezgodne z definicją punktu skupienia.

Każda liczba z przedziału [0,1] jest punktem skupienia przedziału otwartego (0,1). Innych punktów skupienia przedział (0,1) nie ma. To drugie zdanie jest prawdziwe w oczywisty sposób – granica ciągu liczb z przedziału (0,1) musi się znajdować w przedziale [0,1]. Jest też jasne, że dla każdej liczby p z przedziału [0,1] istnieje ciąg ( )a liczb z przedziału (0,1), _n taki, że lim _n

p n a

= →∞ oraz a_n ≠ dla każdego n. p

Każda liczba rzeczywista i oba symbole nieskończone są punktami skupienia dziedziny funkcji tangens, tj. zbioru tych liczb rzeczywistych, które nie są nieparzystymi wielokrotnościami liczby .

2

π Uzasadnienie tego stwierdzenia pozostawiamy słuchaczom.

Teraz możemy zdefiniować granicę funkcji w punkcie.

Granica funkcji w punkcie. ( Ta definicja jest nazywana ciągowa lub definicja Heinego ) Henrich, Eduard Heine (16.3. 1821 - 21.10. 1881) – matematyk niemiecki – wykładowca Uniwersytetów Bonn i Halle . Współtwórca teorii funkcji zmiennej rzeczywistej.

Niech p oznacza dowolny punkt skupienia dziedziny funkcji f . Mówimy, że g∈ R jest granicą funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( )x zbieżnego _n do p, którego wyrazy są różne od ,p ma miejsce równość lim ( )_n .

n f x g

→∞ = Granicę funkcji f w punkcie p oznaczamy symbolem lim ( ).

x p f x

→

Zwrócić należy uwagę na to, że wśród wyrazów ciągu zbieżnego do ,p występującego w definicji granicy nie ma .p Oznacza to w szczególności, że nawet wtedy, gdy p jest argumentem funkcji ,f to wartość w tym punkcie nie ma wpływu na istnienie granicy w punkcie ,p ani na jej wartość – można dowolnie zmieniać wartość funkcji w punkcie p nie zmieniając granicy w tym punkcie. Oznacza to, że jeśli funkcja ma granicę w punkcie ,p to w dostatecznie bliskich punktach x wartość ( )f x jest bliska granicy ,g pod warunkiem jednak, że x≠ p. Ponieważ ciąg ma co najwyżej jedną granicę więc funkcja może mieć tylko jedną granicę w jednym punkcie. Pojęcie granicy funkcji jest bardzo ważne, jest rozszerzeniem pojęcia granicy ciągu. Podamy teraz kilka przykładów.

Przykłady granic.

1. 0

sin( )

lim 1

θ

θ θ

→ =

Dowód.

W dowodzie powyższej granicy posłużymy się rysunkiem jednostkowego koła C z którego:

/ ,

PT =PT OP tg= θ MP MP OP= / =sinθ , pAP= w radianach, gdzie 0θ . 2 θ π

< < Z konstrukcji geometrycznej ( rys. ) wynika, że MP AP PT<^p< i

sinθ θ< <tgθ. Dzieląc ostatnią nierówność przez sinθ otrzymujemy

1 1 ,

sin cos θ

θ θ

< < sin

cosθ θ 1.

< θ < Ponieważ cosθ _θ→0→ więc 1,

0

sin( )

lim x 1.

x

θ→ ⁺ =

Zauważmy, że sin(− = −θ) sin( )θ dla każdego ,θ stąd

0 0 0

sin sin( ) sin

lim lim lim 1.

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

− + +

→ → →

= − = =

− Czyli

0

limsin 1.

θ

θ θ

→ = Równość 1. została więc udowodniona.

Z 1. otrzymujemy ważną nierówność, którą będziemy wykorzystywać w dalszej nauce Analizy: sinθ ≤θ , θ∈ R.

2. 0

ln(1 )

lim 1

x

x x

→

+ =

Dowód.

Niech ciąg ( )x_n _n→∞→ , wykażemy, że 0 ln(1 )

lim ⁿ 1

n n

x x

→∞

+ = . Kładąc np. 1 xn

= otrzymujemy n

1

ln(1 1) 1 1 1

lim ln(1 ) lim ln(1 ) ln(lim(1 ) ) ln 1

( )1

n n

n n n

n n e

n n n

n

→∞ − →∞ →∞

+ = ⋅ + = + = + = = .

Równość 2. została udowodniona.

3. 0

lim 1 1

x x

e x

→

− =

Dowód.

Niech ciąg 1 ( ) ( )x_n

= n gdy n→ ∞. Stąd mamy pokazać, że 1 lim ⁿ 1.

x

n n

e x

→∞

− = . Podstawmy

1

xn

yn =e − gdy n→ ∞. Stąd x_n =ln(y_n+ i 1) 1 1

lim 1

ln( 1)

ln( 1) lim 1

n

n n n

n n

y y y

y

→∞

→∞

= + = =

+ .

Skorzystaliśmy w przedostatniej równości z granicy 2. Równość 3. została więc udowodniona.

4. 1

lim 1 .

x

x e

x

→∞

 +  =

 

 

Dowód.

Trzeba wykazać, że dla każdego ciągu ( )x , którego granicą jest _n ∞ zachodzi równość

lim 1 1 .

xn

n n

x e

→∞

 

+ =

 

  Wiemy, że tak jest w przypadku x_n = - z definicji liczby n e. Przypomnijmy też, że ciąg 1

1

n

n

 + 

 

  jest rosnący. Stąd wynika, że jeśli k n> jest liczbą naturalną, to 1 1

1 1 .

n k

n k e

 +  < +  <

   

    Stąd i z definicji granicy wynika, że jeśli lim _n ,

n k

→∞ = +∞

to 1

lim 1

kn

n n

k e

→∞

 

+ =

 

 

- jeśli bowiem m jest jakąkolwiek liczbą naturalną, to dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n, zachodzi nierówność k_n >m, zatem 1 1

1 1 .

kn

m

n

m k e

 

 +  < +  <

 

    Teraz

możemy przejść do właściwego dowodu. Niech lim _n .

n x

→∞ = +∞ Bez straty ogólności rozważań możemy przyjąć, ze dla każdego n zachodzi nierówność 1,x_n ≥ bo jest tak dla dostatecznie dużych n. Niech k będzie taką liczbą całkowitą, że _n k_n ≤x_n ≤k_n+ - taka liczba 1 k _n istnieje dokładnie jedna. Ponieważ k_n − < więc lim1 x_{n n} .

n k

→∞ = +∞ Stąd i z tego co wykazaliśmy poprzednio wynika, że

1 1 1

lim 1 lim 1 .

1

n n

k k

n n

n n

k e k

+

→∞ →∞

   

+ = = +

 +   

   

Mamy również

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 .

1 1

n n n n n

k x x x k

n n n n n

k k x k k

         +

+ ≤ + < + ≤ + < +

 +   +       

         

Z nierówności i twierdzenia o trzech ciągach wynika dowodzona przez nas teza. Równość 4.

została więc udowodniona.

5. Funkcja 1 ( ) ,

f x = x określona dla x≠ nie ma granicy w punkcie 0, bowiem 0, lim 1

1/

n^→∞ n = +∞ i jednocześnie 1

lim .

1/

n^→∞ n= −∞

− Udało się więc nam wskazać dwa ciągi argumentów zbieżne do 0, takie, że odpowiadające im ciągi wartości mają różne granice.

6. Funkcja 1

( ) sin

g x = x określona dla x≠ nie ma granicy w punkcie 0, bowiem 0,

sin 1 0

1/(2nπ)^{= oraz}

sin( 1 ) 1.

1/(2nπ π+ / 2) ⁼ Wskazaliśmy więc dwa ciągi argumentów, takie, że odpowiadające im ciągi wartości są stałe i różne.

Oprócz granicy funkcji rozpatrywane są granice jednostronne funkcji w punkcie.

Zdefiniujemy granicę lewostronną, definicja granicy prawostronnej jest analogiczna. Proszę ją sformułować.

Granica lewostronna

g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźć w dziedzinie ciąg ( )x o wyrazach mniejszych ( ściśle! ) niż p i gdy dla każdego takiego _n ciągu odpowiadający mu ciąg wartości

(

)

lim ( ).

x p₋ f x

→

W 5. i 6. funkcje ( )f x i ( )g x nie miały granicy w punkcie 0, bo wskazaliśmy dwa ciągi dodatnich argumentów tych funkcji zbieżne do 0, takie, że odpowiadające im ciągi wartości miały różne granice lewostronną i prawostronną.

Na zakończenie udowodnimy ,, funkcyjną ” wersję twierdzenia o scalaniu.

Twierdzenie o scalaniu

Funkcja f określona na zbiorze zawierającym ciąg liczb mniejszych niż ,p zbieżny do p oraz ciąg liczb większych niż p , zbieżny do ,p ma granicę w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy ma obie granice jednostronne i są one równe.

Dowód. Jest jasne, że z istnienia granicy wynika istnienie granic jednostronnych – zamiast wszystkich ciągów zbieżnych do p , których wyrazy są różne od p , rozpatrujemy jedynie ich część. Jeśli natomiast wiemy, że istnieją granice jednostronne, to ciąg o wyrazach różnych od p możemy rozbić na podciąg o wyrazach mniejszych od p i na podciąg o wyrazach większych niż p. Odpowiadające im ciągi wartości maja te same granice, więc ciąg wartości odpowiadający naszemu ciągowi ma granicę i to równą wspólnej wartości granic jednostronnych. Oczywiście jeśli ciąg argumentów zawiera jedynie skończenie wiele wyrazów większych niż p to nie możemy rozpatrywać granicy prawostronnej, ale to , niczemu nie przeszkadza, bo w tym przypadku możemy skorzystać z istnienia granicy lewostronnej.

Uwagi

Podana definicja szkolna funkcji jest nieścisła, ponieważ występuje w nim niezdefiniowane pojęcie jednoznacznego przyporządkowania elementom jednego zbioru –elementów zbioru drugiego.

Dlatego współczesne pojęcie funkcji opiera się na pojęciu relacji , która łączy w pary elementy dziedziny i przeciwdziedziny.

Funkcją nazwiemy zatem dowolny zbiór, którego elementami są wyłącznie pary uporządkowane i do którego nie należą żadne dwie pary , mające te same poprzedniki i różne następniki tzn. zbiór f jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu z∈ f istnieją ,x y takie, że ,z=<x y> oraz dla dowolnych x y y , z tego, że , ,_{1 2} <x y, ₁>∈ f i<x y, ₂ >∈ wynika, że f y₁ =y₂.

Jeżeli ,<x y>∈ , to f x jest argumentem funkcji f , a y wartością funkcji dla argumentu x i oznaczamy symbolem ( ).f x Zamiast pisać <x y, >∈ , piszemy najczęściej ( )f f x = y. W wykładzie tym nie omówiliśmy wszystkich funkcji elementarnych, licząc na to, że Państwo przypomnicie sobie ze szkoły średniej podstawowe definicje i własności tych funkcji, głównie potęgowych, logarytmicznych , wykładniczych, trygonometrycznych, wielomianowych, wymiernych (homograficznych).