Etude analytique de deux modeles d'interaction gaz-surface en regime moleculaire libre

INSTITUT

van KARMAN

DE DYNAl\1IQUE DES FLUIDES

. J.~ NO TE TECHNIQUE

36

ETUDE ANALYTIQUE DE DEUX MODELES D'INTERACTION GAZ - SURFACE EN REGIME MOLECULAIRE LIBRE

par

D. de HEERING

RHODE-SAINT -GENESE, BELGIQUE

INSTITUT von KARMAN DE DYNAMIQUE DES FLUIDES

NOTE TECHNIQUE

36

ETUDE ANALYTIQUE DE DEUX MODELES D'INTERACTION GAZ - SURFACE EN REGIME MOLECUr;AIRE LIBRE

par

D. de H]JERING

SOMMA,IRE

On considère deux modèles tri-dimensionnels dtinter-action entre une particule gazeuse et un atome du solide. Ie premier modèle est à sphères rigides, Ie second etant derive de celui propose par Trilling, Wachman et Scott.

Des expressions analytiques des cokfficients d'accom-modation d'energie et de quantite de mouvement tangentielle en

fonction de l'angle d'incidence et d'un paramètre propre à chacun des modèles, sont etablies et calP.ulees numerique-ment.

-ii-REMERCIEMENTS

L'~üteur tient particuli~rement l remer6ier Monsieur Ie Professeur J. Smolde:rJ;n. Directeur technique de l'Institut von Karman. qui a suggéré Ie travail entrepris et qui l'a guidé tout au long de son ach~vement.

Il remercie ég~~ement Madame Roels; du centre de calcj'ill de l ' Inst i tut. grace l qui les calculs numériques ont pu "être menés l bien.

Ce travail a été effectué grace l une bourse de recherche

1966-67

de l'Institut pour l'Encouragement de la Recherche Scientifique dans i'Industrie et l'Agriculture.

TABLE DES MATIERES

SOMMAIRE _{• • •}

_•

_•

_{• •}

_{• • • •}

_{• • • •}

_• i LISTE DES SYMBOLES _{• •}

_•

_•

_•

_•

_{• •}

_•

_{• • •} iv LISTE DES FIGURES _{• • • •}

_•

_•

_•

_{• • • •} v

INTRODUCTION

_•

_{• •}

_•

_{• • • • • • •} 1

1 LE PRINCIPE DU MODELE DE TRILLING, WACIlMAN ET SèOTT

-

MODELE "T.W.S. 11

3 • • •

•

•

•

•

2 MODEL:Et. A SPHERES RIGIDES, DERIVE DU

MODELE T.W.S. _•

_•

_{• •}

_•

.

.

_{• • • •} 5 3 MODELE TRIDIMENSIONNEL DE T.W.S. 0 0 •

•

15

4

COMPARAISON DES DEUX MODELES UTILISES _{• •} 21 5 CONCLUSION _{• • •} 0 0 0 0 0 0 0 0 • • 23 REFERENCES _{• • • •}

_{• •}

_{• • • • • • •} 25 APPENDICES ~ _{• •}

_{• •}

_{• • •} 0 •

•

•

• • •

27 2 _{• • •}

_•

_•

_•

_{• •}

_•

_•

_{• •}

29 3 _{• • •} 0

•

• • •

•

•

•

•

•

33

4

_{• •} 0 0

•

0 • • 0 0 0

• •

• • 35

a K m M n r t T v a 8 a H

-iv-LISTE DES SYMBOLES

1+K 2 1

=

-

= I

K2 èos 2 a

=

cotg ~

masse

quantite de mouvement non dimensionnelle

normale au plan ~e la surface fictive du cristal

probabilit~ qu'une particule gazeuse soit reemise,

suivant un angle compris entre al et al + dal

rayon de la sph~re (mod~le des sph~res rigi~es)

tga

temperature

-+ -+ -+

vitesse relative v

=

Vl V2

vitesse de la particule gazeuse, de l'atome de surface

coefficient d'accommodation d'energie

facteur de proportion'na.liLe._ entre les composantes

normales des vitessesde la particule gazeuse avant

et apt~s l'interaction (mod~le T.W..S.)

angle d'incidence local

angle forme par les vitesses vI et v~ (syst~me

de laboratoire)

angle forme par les vecteurs vl et v~ (si V2 = 0)

-(syst~me de laboratoire)

rapport de mas~e (~

=

ml/m2)

rapport .~on dimensionnel defini au paragraphe 2.2

coefficient d'accommodation de q~antite de mouvement

normale, tangentielle

plan fictif de la surface du cristal

angle d'incidence forme par la vitesse avec l~

4iormale à la surface

• -+~

az~muth de vI

concerne la particule de gaz, "la particule de surface"

LISTE DES FIGURES

1 .Lt"interaction suivant Ie ~od~le

a

sph~res rigides

2 Probabilité de dispersion des particules gazeuses suivent un angle compris entre 81 et 81+d81 (mod~le à sph~res rigides)

3 Les coefficients dtéchange de quantité de mouvement et dténergie basés sur Ie mod~le de Baule

4

Géométrie de l'interaction

5

Variation du coefficient d'accommodation de quantité de mouvement tangentielle en fonction de l'angle d'incidence

(mod~le à sph~res rigides)

6

Variation du coefficient d' accommodation d'énergie en fonction de l'angle d'incidence (mod~le à sph~res rigides )

7 L'interaction suivant Ie mod~le T.W.S. :tiidimensionnel

8

Probabilité de dispersion des particules gazeuses suivant un angle compris entre 81 et 81+d81 (mod~le T.W.So t r i -dimensionnel)

9 Variation du coefficient d' accommodation de quantité de mouve-ment tangentielle en foncti on de l'angle d'incidence

(mod~le T.W.S. t ii dimensionnel) .

10 Variation du coefficient d' accommodat~on d'éne~gie en fonct ion de l'angle d'incidence (mod~le T.W.S . tri dimensionnel)

11 Diagra~me (oT.a) - lieux des I et ~ constants (mod~le à

sph~res rigides)

12 Diagramme (oT.a) - lieux des l e t ~ constants (mod~le T.W.So

INTRODUCTION

Pour décrire les écoulements raréfiés. et en parti-culier le régime moléculaire libre. autour d'un corps solide. il est necessaire de connaître avec precision Ie mecanisme

Iocal de I'interaction entre les particules du gaz et l a surface.

On a l'habitu~e d'introduire à cet effet les

coeffi-dients d'accommodation a. oN. OT qui permettent de decrire d' une

manière globale les phénomènes d' echange d'energie et de

quan-tite de mouvement normale et tangentielleo La connaissance de

ces trois quantites permet de determiner en régime moleculaire libre et pour des corps complètement convexes. des grandeurs

telles que le transfert de chaleur. la portance et

1,

trai néë

d'un engin en vol.

Pour ce travail. l~hypothèse de base sera que

l'inter-action entre ~ particule gazeuse et ~ atome de la surface

permet de caracteriser le phenomène global. la temperature de

la surface sera sup~6sée ~tre voisine de OOKo

Il ~xiste plusieurs modèles pour le calcul des

coef-ficients d'acdom~odation ,

.

d'energie. On pourra trouver une revue

de ceux-ci dans (1). Cependant. à notre connaissance, il

n'existe qu'un seul modèle. dû à Trilling. Wachman et Scott (2)

qui permette de calculer. sous forme finie, l e coefficient

d'accommodation tangentielle.

Après avoir exposé l'essentiel du modèle original. nous developperons celui-ci. en suivant deux directions:

1) applicatidn au cas de sphères elastiques rigides (analogue

-2-2) extension tridimensionnelle d~ mod~le ~bidimensionnel de Trilling et al.

Les mod~les proposés qui sont traités d'une mani~re

compl~tement classique. nous permettent de tenir compte de

l'effet de l'angle d'incidence et du rapport de masse sur les coefficients d'accommodation.

Nous comparerons les deux mod~les en éliminant un de leurs paramètres et en dressant ainsi des courbes reliant Ie coefficient d'accommodation tangentielle et Ie coefficient d'accommodation d'énergie. pour des angles d'incidence varia-bles.

1. LE PRINCIPE DU MODELE DE ~TRILLING.WACHMAN ET SCOTT MODELE "T.W.S."

Après avo~r calcule le ~oefficient d'accommodation d'epergie a pour une incidence normale. les auteurs utilisent celui-ci pour estimer le coefficient d'accommodation tangen-tielle. la particule gazeuse approchant la sUrface solide sui~ vant un angle d'incidence arbitraire~ La surface' est constituee d'atomes de masse m2 independants les uns des autres.

Par hypothèse. les atomes du reseau cristallin sont espaces de telle sorte que l'interaction est limitee à un atome du gaz et à un seul atome de la su~face:

Chaque atome de la sur,ace est ensuite entoure par une zone spherique (cas tridimensionnel) ou cylindrique (cas

"

bidimensionnel traite par les auteurs). de rayon

no:

c'est la "zone d'interaction effective". Lorsque l ' particule gazeuse se trouve à l'exterieu~ de la coquet elle n'eprou~é aucun effet

<~

dû à la presence du reseau cristallin. Lorsque sa trajectoire rencontre celle-ci. la particule gazeuse est immediatement soumise à l ' act ion d' un champ de force central<-qui "accommode" la composante de vitesse dirigee suivant la ligne des centres. selon une loi qui peut immediatement être deduite du coeffi-cient a. laissant la composante tangentielle inaltereeo

-4-s

=

{1_a)1/2, a et

e

étant des constantes si le

solide est isotropique.

Les particules gazeuses do nt la composante normale

à la surface de la vitesse est négative (dirigée vers l' inté~ieur

du solide) peuvent être considérées comme réémises, en étant complètement accommodées. (C'est cette conditionlqui permet de

faire intervenir explicitement l'angle d' incidence ~ - angle

formé par l~. normale à la surface macroscopique du cristal et

la vitesse des particules gazeuses - dans un modèle qui est

essentiellement à symétrie sphérique). Cette condition permet

de trouver un intervalle pour les angles d'incidence locale

(angle formé par la normale à la surface macroscopique du cristal

et la ligne des centres) pour lesquelles une accommodation par-tielle a lieu; hors de eet intervalle, l'aeeommodation est

totale: la particule ;gazeuse est réémise sans quantité de

mou-vement moyenne tangente à la sutface.

Le coefficient d'aceommodation de quantité de mouve-ment tangentielle est ensuite déterminé dans l'hypothèse que

l'entièreté de la eoque est disponible pour l ' interaction (pas

d'effet écran dG· aux eoques voi sines) et qu' il n'y a pas de

"fuite" de partieules gazeuses en travers de la première rangée du réseau.

2. MODELE A SPHERES RIGIDES, DERIVE DU MODELE ToW.S.

2.1 Objet de l'êtude

Nous dêterminerons la loi de variation des coeff

i-cients OT et a en fonction de 19ang l e dtincidence ~, le rapport de masse ~ êtant pris comme paramètre.

202 Description du modèle

Les atomes de surface sont des sphères rigides, immo-biles avant l'interaction - ceci correspond à l 'hypothèse

T ~ OOK - mais libres de se mouvoir sous l'action des par-sur

ticules gazeuses, êgalement constituêes de sphères rigidesG m mI

On suppose que ~

=

gaz = c le msol m2

Les particules gazeuses font partie d'un jet monoci nê-tique, dont l'angle d' incidence est ~o Les particules dont la composante de vitesse normale à la surface est dirigêe vers l'intêrieur de celle-ci seront supposêes ~tre r~êmises après un certain temps, complètement accommodêes avec la surface.

(T~

=

T _{sur ace} f

=

O.

IDïV!

=

0)

L'interaction ne fait intervenir qu'une seule parti-cule de gaz et qu'un seul atDme de la surface

r

( gaz + r sol a

2.3 Calcul de la probabil~tê de dispersion

ae

la particule gazeuse entre les ang~es 91 et 91 + dèl du systèse de laboratoire

-6-de mouvement bas€ s~r la "~ersistance des vitesses" apr~s

collision.

Soient dans un système C.M •• 61 et 6z l'angle de d€-flexion de la trajectoire de la particule gazeuse et de ltangl e

de recul de ltatome de surface initialement au repos (fig. 1)0

On sait que dans le système C.M. Cl)

=

0

11

pour 0

.1

6 z .,.!

'2

11

pour

'2

!.

6 z !. 11

6Z ne pouvant ·~tre compris qu'entre 0 et 90°.

On a la relation suivante qui lie les angles 61 et

tg6 1

=

sin26z ll-cos26z

La probabilit€ de dispersion de la particule gazeuse entre les

angles 61 et 61+d61 ~'obtient ~ partir de ces deux relations

(voir appendice

1).

On trouve

2 [t

i

(l+ll ) + l ,j; (1- ( 112 -1) t

~

)

~J

[:t

(i- (

~

z

-:Ut

~

)

zJ

. (2~2.3)

avec t l

=

tg 8 1 • le signe + (-) correspondant ~ 0 < 81 <

i

( i

< &1 < 11). Cette expression est €videmment proport~onnelle

~ la section efficace diff€rentielle de collision des sphères

rigides (voir

{1dJ.

(Fig. 2).

p(61) d9 1 2) l.I

=

0 p(el ) d9 1 11' On a

J

P(Sl)d61

=

l . a

=

=

=

sin2eld61 0 sinèl

--r

del 0 < e 1 <

_'2

'Ir

-'Ir el

'2

< < 'Ir

Nous pouvons ensuite calculer . Un coefficient non dimensionnel. rapport de la quantité de mouvement résiduelle moyenne après collision - qui. on le sait. est dirigée suivant la vitesse incidente. si la particule-cible est initialement au repos - l la quantité de mouvement initiale.

Dans le modèle utilisé ce coefficient ne sera fonction que du paramètre l.I.

On sait que

(4)

si VI

=

v (V2

=

0)

v~ ~

v

~~.

00S6,

+

1;. (1-.2Sin261l:]

Pour une collision définie par un a~gle de déflexion 61. nous trouvons

iE

mVl-mvl mVl

Il faut ensuite calculer la moyenne de cette quantité pour toutes les collisions possibles. ce qui donne

-8-1T

J

.

(l_MH)p (61 ) de 1

o

1T =

f

a

₌

o

ou p(el) et (l_MH) sont donnés respectivement par les rela-tions (2.2.3) et (2.2.7) (f'ig. 3).

On obtient aisément, ~o~s f'orme analy~ique, les deux

~as particuliers ~

=

0 (0

=

1) et ~

=

1 (0

=

0.5). 2.3 Calcul de aT

Considérons la f'ig.

4,

ou ~ est un plan f'ictif' consi-déré comme 'le plan de la l1urf'ace (au repo's-) du cristal (ceci correspond à la notion de "macro-surf'ace" ut~lisée par R~G.

( »)

~

....

'"

. "

Barancer dans 5 , n et vl etant s~tues dans le plan de la

" , ~

f'eu~lle. Le plan H; est perpendiculaire a vl ; t' est l ' angle

~

dtincidence de vl.

C ons idérons encore le rabatt ement du plan 1T, ou cp

~ ]I "~H

est ltazimuth de vr • Le lieu des v~tesse vl f'aisant un angle

~

61 avec vl f'orme un cone, les vecteurs-vitesse situés sur la partie du cone "sous" le plan Lont une composante no~ale dirigée "vers la surf'ace" : ces vitesses caractérisent les particules dont la quantité de mouvement tangentielle moyenne "sortante" sera par hypoth~se nulle.

Grace à des considérations géométriques, on voit que ltangl e CPl" au delà duquel les ndécules sont "captu:rée.s'" est

~m

)

et

avec

cos~l' _l.m

=

cqtgel cotgt

,

~lim = ~rc cos(K COtgel ) K

=

cotg~

Il nous faut considerer trois regions distinctes Region I: toutes les particules sortantes sont dirigees vers ltintérieur de la surface: leur contribution à la quantité de mouvement tangentie~le sortant~ est nulle.

Région II: Seule ~ne partie des particules dont ltazimuth est compris ~ntre

-.1"

et +~l " contribue à la quantite de

mouve-I l.m l.m

~ent tansintielle sortante; les autres sont compl~tement accom-modees et leur ~ontribution est nulle.

Region III: toutes les particules sortantes ont une vitesse dont la composante normale "sort" de la surface ..

Region el I 0 < el < '11' -~~

2'

-

-II .!-~ < el < '11' +~

2'

2

-

-III '11' +~ _{e 1}

2'

-

<

-

< '11'

Sous forme non-dimensionnelle on a pour les différentes régions. en omettant ltindice 1 relatif à la particule g~zeuse

Région I _{: MI TG} iVà

₌

₀

•

~lim

+

2f

v~ sinel cos~ cos~d~)

.1

M~I.TG = ~ sin~(l~~

90S e l +

i:~{1_~2sin2ed2)

x

Région 111

11"

M~II.TG

=

2

.

!V(211"V~COSelSin~+2f v~sinelCOS~COS~d~)

o

...L

cos el 2

l+~ !(1-~2sin2el) )sin~

Nous avons. en pondérant par les probabilités p{el) 11"

f

p (e 1 ) de 1 = 1 Q +41

!..

-41 2

Nous avons enfin

puisque

p{el)M~I.TGde

~

+J11"

Les résultats sont portés à la figure

5.

(2.3

.

4)

Les cas particul~ers (~_. , =

.

0) et (~

=

1) ont été traités ana-lytiquement (voir appendice 2).

Remarques concernant le diagramme aT

=

aT(~).

1. Cas ~ .= Oi ce cas correspond à une indétermination tant

physique que mathématique. L'expression analytique de la' v~,ie

valeur de ~ +~ lim ~ 1

J2

*

p(el)del M11 •TG ~+O s~n. ~ -~

2

a été obtenue à l'appendice 3.

2. Notons l'allure généralement décroissante de l'accommodation

de quantité de mouvement tangentielle en fonction de l'angle d'incidence. Ceci correspond bien aux résultats expérimentaux

qui indiquent une diminution du coefficient aT pour les

inci-dences rasantes.

3. Notons les hau*es valeurs obtenues pour aTi on a 0.75~aT~1

pour 0 ~ ~ ~ 90° et 0 ~ ~ <1. Ceci peut être expliqué par le

caract~re du mod~le: celui-ci raccommode" compl~tement un cer-tain nombre de particules pour lesquelles le coefficient

d'échange de quabtité de mouvement tangentielle est égal à l'unité.

4.

On a les relations analytiques suivantes (Appendice 2)

pour ~

=

0

=

1

~

=

1

=

1

~

(l-cos~)

5. L'influence de l'angle d'incidence est d'autant plus variàble que le rapport de masses est élevé.

-12-l'accommodation tangentielle en fonction du rapport de masse (excepté pour ~

=

90°).

2.4

Calcul de a

Les données expérimentales étant plus nombreuses pour le coefficient d'accommodation d'énergie que pour Ie coefficient d'accommodation de quantité de mouvement tangentielle. il nous a paru intéressan~ de déter.iner a dans le mod~le proposéo

On trouve a sous forme non-dimensionnelle en consiq€-rant les mêmes régions que dans 2.3 et en omettant l'indice 1

Ë*= arc cos(Kcotg~l) x

1T +~

'2

P(Sl) étant défini par la relation (2.2.3). Finalement

a

=

=

1 -

E*

puisque E

=

1.

Les résultats sont portés à la figure

6.

Les cas particuliers

Remarques concernant le diagramme a

=

a(~).

1. L'allure des courbes est semblable à celle obtenue par Trilling. bien que celui-ci traite un modèle complètement

différent

(6).

Il considère en effet un réseau cubique semi-infini composé de masses ponctuelles reliées par des ressorts linéaires.

20 Nous avons trouvé les expressions analytiques suivantes (Appendice 3) ~

=

0

a

=

0.5

1 ' (1 1 (3-cos2~)) ~

=

~ a

=

-~ V

-

_~ cos~

0.75

+ 1 cos~ (3-cos2~)

=

_~

3. L'influence de ~'angle d'incidence est d'autant plus sensi-ble que le rapport de masse est élevé.

4.

On ne retrouve pas la limite a

=

0 pour ~

=

0 (modèle de Baule): ceci est dG' aux molécules captutées par le solide. Il y a toutefois une augmentation monotQne de a avec ~.

3. MODELE TRIDIMENSIONNEL DE T.W.S.

Ce modèle etant similaire au modèle precedent. en ce

qui concerne les developpements anal~tiques. nous nous

conten-terons d'inqiquer les etapes principales du calcu1.

Nbus montrerons que les cas limites B

=

0 (la compo~

sante radiale du gaz a complètement disparu) et B

=

1 (la

com-posante radiale du gaz change de signe mais non de norme)

cor-respondent respectivement aux cas ~

=

1 (les deux particules

sont de même masse) et ~

=

0 (la particule de gaz est moins

massive que l'~tome cristallin).

3.1 Description du modèle

Ce modèle à fait l'objet d'une description au

para-graphe 1. Nous etendons Ie concept de la, coque cylindrique

d'interaction effective, à celui de la sphère d'interaction

effective (cas tri-dimensionnel) de rayon

nO.

L'interaction sera caracterisee par un paramètre qui sera_~is~é libre dans l'analyse. La figure 7 illustre Ie mecanisme de l'interaction.

Nous chercherons une relation entre les angles 91 (angle compris entre les directions initiales et finales dé la vitesse de la particule gazeuse) et l'angle 9 (angle d'inci-dence local) (eet angle n'est autre que 92angle de recul de la particule solide dans Ie modèle des sphères elastiques

rigides. au cas ou celle-ci est initialement au repos).

-16-et i l appara!t clairem,nt sur la figure

7

que

61

=

~

-

6 + arc tg (Bcotg6)

3.2 Calcul de la probabilité de dispersion de la particule gazeuse entre les angles 61 et 6l+d6l du syst~me de laborat6ire.

Détermination d'un coefficient d'échange de quan-tité de mouv:.em'ent basé sur la persistanee des vitesses

On sait que si la particule gazeuse fait partie d'un faisceau monocinétique de composition uniforme dans Ie plan normal à l'axe OZ, la probabilité p( 6) d6 que l'impact se fasse avec un angle d'incidence local compris entre 6 et66+d6 est p(6)d6

=

sin26d6

=

0 pour 0 < 6 <

.!

2. 1T '[!o6 < 1T

-Calculons ensuite la fonction p(6l )d6l, probabilité que la particule gazeuse soit diffusée entre les ~ngles 61 et 6l+d6l .

Nous obtenons à partir de (3.1.2), la relation suivan-te liant les angles 61 et 6:

tg6l

=

Nous trouvons ensuite, d'une mani~re analogue au paragraphe 2.20 et à l'appendice 1 :

~G+S:I:{(1+S)2+4st~)B2

(1+tf)tl d9 1

p(91) d9 1=' .

(1+6!

~t

i

+1+6' ( 1+6

)2+46tt)~

2

G

(

1+6 )2+46t

f)~

(3.2.3) ou tI = tg91.

On a les deux cas particuliers-limites (fig. 8) 1)

e

=

0 p(9l) d9 1 = sin291 0

-

< ₉₁ < -'11' - 2 0 '11' ₉₁ (3.2.4) =

_'2

-

< < '11'

-2) S

=

1 p(9l) d9 1 = sin9l 2 (3.2.5 )

Ces deux cas correspondent au cas ~ = 1 et ~

=

0 du modèle des sphères rigides.

On voit d'autre part que

ou, en utilisant (3.2.2)

Pour une interaction, définie par un angle de déflexion 91,

nous trouvons 1

1 2

2 2

-1+S+2Stl:l:((1+S)2+4stl)2

I ..

I l faut ensuite calculer la moyenne de cette quantité pour toutes les collisions possibles, ce qui donne

a

~

Jn

ó:

p(el)del

o

-18-ou peel) et ÓMM sont respectivement donnés par les.···relations

(3.2.3) et (3.2.7).

On peut obtenir aisément, sous

deux cas particuliers B

=

0

(a

=

O.5) ·et

L'équation de la courbe obtenue est a _{T -}

-forme analytique,

B = 1 (a = 1).

B

1 -

2' •

les

11 suffira ici d'adapter les équations obtenues au

paragraphe 2.3 aux nouveIles relations peel), v~/v. On obtient

ainsi H MI TG

=

0

•

=

1 sin4> lT I 1+B+2Bt2±(1+B)2+4Btf)2 1 . v 1

2'

x 1 (arc coS(Kcot~el)COSel+Ksinel(1-K2cotg2eJ2) (3.3.1) H MIII TIG

=

sin4>

•

cos e l Comme :":'H +

M*

MII,TG I I I ,TG +4> JlT P (e I

)M~I

.TGde 1 + lT

2'

-4>

2'

lT +4>

Les resultats sont portes à la figure

9.

Comme dans ce modèle

P(Sl) et v~/v pour 8 = 0 et 8 = 1 sont respectivement identiques

à ces fonctions pour ~

=

1 et ~

=

0 dans le cas des sphères

rigides, on peut deduire que

8

=

0 8 = 1

3.4 Calcul de Ct

OT

=

1 -

i

(l-cos~)

OT

=

1

Nous obtenons dans ce cas-ei, l'equiyalent suivant de la relation (2.4.1) : 1 1T +~ 2 2 2

J!

1+8+28 t l±((1+S)2+4Stl) EH ₌

-

1 1T 1T -~

2"

.!

+~ 2 Finalement

arc cos (KcotgS 1 )

2 2 1+8+2 tl± ((1+8)2+4'8td I 2 2 2 1+/H2 8t I ± (( 1+f?) 2+4~t

d

2 ..L 1+8+.2 tI ± ((1+8 )2+48tI) 2 Ct

= 1 -

r

Les resultats sont portes à la figure 10.

-20-LeB caB part iculie~s

e

=

0,

e

=

1 corresponde.nt aux cas p

=

1, p

=

0 du mod~le dessph~res rigides. On a

e

=

0 a

= 0.75

+

i

cos~ (3-cos2~)

e

= 1 a

=

0.5 •

~. COMPARAISON DES DEUX MODELES UTILISES

La comparaison portera essentiellement sur les diagrammes (oT.a). Ces diagrammes obtenuB par elimination de

~ et de 8 s'avèrent être identiques pour les deux modèles.

~

-Ceci·montre que b,ien que le mecanisme d'interaction locale

soit diirerent. ces deux modèles sont très voisins du fait

~e la symetrie spherique et de la condition sur la capture

des molecules dont la vitesse après interaction est dirigee vers la surface.

L'imp9rtance de l'angle d'incidence sur la var~a­

tion des coefficients d'accommodation croît avec le rapport

de masse (modèle sphères rigides) et le paramètre 1 - 8

(modèle T.W.S.).

Pour les deux modèles. il existe une relation

monotone entre Ct et ~ (Ct et 1-8) - Ct croît avec ~ et (1-8) i .

la relation entre oT êt ces mêmes grandeurs n'est pas

monotone. oT pouvant être une fonction croissante ou de~

croissante de ~ ou de 1-8.

Notons que les limites inferieures obtenues pour

les coefficients d'accommodation sont elevees - 0.5 < a < 10 0

et 0.75 < oT < 1 - • C'est une consequence directe ~u

5. CONCLUSION

Nous avons ainsi examiné deux modeles simples per-mettant de tenir compte de l'influence de l'angle d'incidence

sur les coefficients d'accommodation d' énergie et de quantité de mouvement tangentielleo Les résultats obtenus possedent

certaines caractéristiques qui ont été confirmées par les résultats expérimentaux.

Il est possible, à partir de ces modeles, d'inter-action locale, d'étendre les investigations au cas des sur-faces rugueusesQ On considere (5) qu' une surface rugueuse

décrite par une certaine fonction aléatoire - la macrosur-face - est formée de microsurfaces ou s' applique Ie mode Ie simple considéré. Il est alors possible à partir de l ' échange local d'énergie et d'impulsion sur cette microsurface, d'ob-tenir des coefficients d'accommodation d' énergie et de quan-tité de mouvement pour des surfaces non ·monocristallines que l'on rencontre dans la plupart des ap~lications techniqueso

Ce mode Ie utilisé comme tel ne permet pas de

déterminer l'influence sur les coeffici ents d' accommodation de l'énergie de la particule incidente, ainsi que de la température de la surface (énergie de la particule-cible)o Nous croyons possible d' assigner aux particules gazeuses et solides des vitesses initiales "moyennes" dérivées des fonctions de distribution de celles-ci (8) et de considérer la collision résultante, soit de considérer la collision la plus probable, en faisant ainsi intervenir Ie produit des fonctions. de distribution des vitesses des particules gazeuses et solides

(8).

-24-Les e~~ets de la geometrie du reseau peuvent être pris en consideration en supposant que certaines particules gazeuses traversent librement la première couche superficielle - eventuellement composee d'atomes

dif~erents de ceux du solide - et ne reag~àsent qu'avec les couches plus profondes. d'autre part. certains angles

d'incidence locale sont interdits du fait de la ~resence

REFERENCES

1 F.C. Hur1but: Current developments in the study of gas-surface interactions. in RarefiedCGas Dynamics, 5th Symposium, vol. I, 1967, p. 1.

2 L. Trilling, H.Y. Wachman

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P.B. Scott: Qn accommodation coefficients. Proc. 6th Int. Symp. Fluid Mechanics, Pol. Acado SCo Zakopane. Po1and, Septo 1963.

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4 L. Landau

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E. Lifshitz: ·Fluid mechanics. Pergamon Press, 1959.

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7 l . S. Gradstein

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I .M. Ryzik: Tables d'intégra1es, sommes,

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8 R.M. Logan

&

R.E. Sticking:Simple classical model for the scattering of gas atoms from a solid s~rface. Jnl of Chemical Physics, vol. 44, pp 195-201, 19660

-26-9

.

F.0.

Goodman: On the theory of accommodation coefficients:

IV Simple distribution function theory of gas-solid

interaction systems. Jnl Phys. Chem. Solids. vol.

Enfin H H = 1 _ MII • TG + MIII.TG i= 1 sin~ b. C as ~ = 1 D an s ce cas ( 2 • 2 •

4 ")

=

0

On a les re1at ions

ti MI TG =

•

i i MII,TG = et ~ MII,TG = = On trouve '11' 0 < 9 1 < -- 2 • suivantes 0 1 _{sin~cos91(arc} cos(Kcotg91)COS91 1T I + Ksin91(1-K2cotg291)2) '11'

I

'2

sin291 _MII,TG ti d91 '11' -4>

'2

2 sin4>(I + K II)

-

1T (A-2.4) "-A-2 .5 )

=

=

De llême

!.

-4> 2 'Ir 1

r

4'

'Ir

'2

-4> 1

(~

-'Ir

'Ir -32-'C'Os4de 1 sinel la2sin2el-l 'Ir _(3a2_{-1) )}

'2

• 2a3 1

r

2 11 = sin2elcOs2el(I-K~otg2el) de 1 'Ir -4> ~ K 'Ir =

-

(l_a 2 ) 16a3 (A-2.5) deviellt Comme -H _MIII.TG

₌

₀ 2 1 -

1

(l-cos4»

4

Soit On a 1T + eI>

J2

1T -eI> '2 APPENDICE 3

1.

Modèle a .... .... calculer a 1T

r

lim 1 s~neI> .:eI>-lo-O 1T '2

PARTICULARIT~S DU CAS DE L'INCIDENCE

NORMALE (~ = 0) DANS LE PROBLEME DE L'ACCOMMODATION DE QUANTITE DE MOUVEMENT TANGENTIELLE sphères rigides + eI> 'H MII,TG p(el)del -eI> 1T + eI> I

r

M~I

,

TGP(el)del

=

-

1 1T ₍

l~lJ

cose l +

1;~(1-lJ2sin2e

l)2)

.!

-eI>

2

I (arc cos(Kcotgel)cosel+Ksinel(1-Kfcotg2el)2)

I 2

~±(1-(lJ2_1)t~)~

(1+lJ)2tl

(l+t~

)del 1 l+lJ cotgeI>

J

i

+eI>

.!

-~ 2 x I 2

(1-cotg 2 eI>cotg 2 el) de l

1 cotg~ '"

l'

et 1f +~

-34-r

lim

M~I

_{TG P (9l) d9 1}

=

_21f(1+\l) 1_\l2 t ... O

•

1f -~ .

2

et enfin lim ~~o 1 - \l

4

On obtient donc le résultat suivant

~ l-p

r

p(9l) 11 d9l MTG = - + ₄ MIII.TG 1f

2

'

'11'

2

f+~

1 (1- a2

l'

-)da _~2 - t

2. Pour le modèle T.W.S tri-dimensionnel. on a la relation suivante lim ~~o '11'

2'

.

-~ 2(1+6)

APPENDICE 4 CALCVL ANALYTIQUE DE a POUR

l.J

=

0 et l.J = 1

a. Cas l.J = O.

Ltexpression (2.4.1) devient dans ce cas-ei

fi

+~

sin61

f

sin61

h(Ii+'lrI2)

E*

₌

1.

_{'Ir '} arc eos(Kcotg61) ₂ + _-2 d6 =

.!

-~

2 .!. 2 +~

On trouve, suivant des méthodes ana10gues à celles de (A-3)

11

=

'Ir S in~ a =

0.5

(A-4.,1) b. Cas l.J = 1 'Ir

r

1

r

=

_'i

arc

.!

-~ 2 'fT 2

r

=

-

arc 'Ir 'Ir -~

'2

On trouve finalement,l'intégrale étant identique à eelle qui intervient dansle ca1eu1 de oT

:"Il 1 1 2

E

=

~

-

8

eos~(3-cos ~)

CD

_'"

>

...

> 11

..

> ,",

-

c:

"'

>

.-::J

'"

c:

o

-

c:

-

_Ol

u..

1.0 ~---r---~...----'r---r---'r---r---I

p

Q9

~---~~~~~~---~---~~---~---~ 0.8 ~ ____ --I~ _ _ _ _ _ ---lj~ _ _ _ _ ~ _ _ _ _ _ _ ~~_---~---~ 0.7 1--- --I-I---+-- - ---jf.--4'--- - - - _ + _ - - - -- - i -- - -- t -- - - ---___t

o~ ~

--

_4~~~~

---

~~

----~---~r----

~---~

O~~-~-~

--

---

~-~~~~~--~r_

---

~

---~

0.3 ~--#--I---+-~----I---++_+_--____lI.,..__---~-"---___i

Jl=1.0

0.2 1----4J-1---+---+---jf---+--f\---l~---_+_~----___t

O~

______

~----

__

L---~---~======~--

__

~

o

30 60 90 120 150

el

180

...

~ ex:> <.D ~ N

o·

d d

o·

E

_•

11 ~ \Il :1. CII "C

--eo

Ol • ~ \Il CII cq ~ 'CII

.r:.

0-\Il ~ 1t1J

·

CII ,CII N "C

·

0 ~

..

('Y) q ex:>

_~

~. . 0

.

'0

o·

N Ol

-

0 O· 0 U.

r

I I / I I I I I I I I I I

n

I I I I I

rrt

I

Fig.4:

Géométrie de

t'intéraction

<1Tr---_L

0.1

0.2

Q8~

__

~

____

-+ ____ -+_

o

JO 20 30 40 50 60 70 ₈₀

₀

1.0

r=:::~-=====::;:::~:::J

=-

-

T

-

I

I

-

T

-

-I

-I

-~

a.

r---+-~

Q9~----~=--=~----~--~~ 0.7 ~---+---+---+----+---+---+--~-f---...,...~--t 0.6!-_ _ ~_~~_~~_~~_~~_~~_~~...;;~~_~

o

10 20 30 80

IJ

90

Fi

g

.

6

Modèl

e

a

.

!

(

sphères rigides

.

~

_.

.-q" ... (1) "U

_•

0

-E

-q"

-

c

c

_C t'd ₀

>

_(/'I

.-e:( ::J C cJl (I)

E

c

_"C 0 u

-U ~ t'd I-~ .. 'q"

-

--

c

" _...J

r....

.

Ol

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1.0 r---r---,_._____~----_r__---_.---_.---_____t

pee)

0.9 I--- - --+l-- - --\-I-- - - -+--- - --+-- - -- + -- -- j 0.8 1--_ _ ---1-+-+-_ _ ~_\__---+---+---+---_ 0.7 1-- --+--1+-- - --+--\--\-- - -+--- - --+-- - --+- - ----1

Op

1----+~-+----~-4_--+_---~----+---1 0,4 1---l--I---A---~~--__\_\__+_~--~~---+---1 0.3 I---I-I-_I--+--/----+----\----.lv---::ltl---~r+----I 0.2 1--I!l---1'----+-+---+---+-~\_---+-~---+~---1

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