1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degr´ e n sur le corps Q des nombres rationnels de discriminant D = D

XCII.3 (2000)

Symboles des restes quadratiques des discriminants dans les extensions mod´ er´ ement ramifi´ ees

par

A. Movahhedi et M. Zahidi (Limoges)

1. Introduction. Soit L un corps de nombres de degr´ e n sur le corps Q des nombres rationnels de discriminant D = D

_L/Q

. Si l’entier D n’est pas un carr´ e, on note d le discriminant du corps quadratique Q( √

D), sinon on pose d = 1. Soit p un nombre premier non-ramifi´ e dans L de sorte que le symbole des restes quadratiques

^D_p

soit non-nul. Un th´eor`eme d´ej`a ancien dˆ u ` a A. Pellet ([3, page 245]), L. Stickelberger et G. Vorono¨ı montre que la parit´ e du nombre g d’id´ eaux premiers de L au-dessus de p est d´ etermin´ ee par ce symbole

^D_p

. En effet, nous avons

^D_p

= (−1)

^n−g

.

Plus g´ en´ eralement, mˆ eme si p est ramifi´ e dans L, on aimerait pouvoir relier le symbole

^d_p

`a la d´ecomposition (p) = P

^e₁¹

. . . P

^eg^g

de p en produit d’id´ eaux premiers P

i

de L.

Supposons que p n’est pas sauvagement ramifi´ e dans L. Si f

i

d´ esigne le degr´ e r´ esiduel de P

i

dans l’extension L/Q, alors la valuation p-adique du discriminant D est donn´ ee par v

p

(D) = P

g

i=1

(e

i

− 1)f

_i

[9, Chap. 3, Prop. 13]. Donc le symbole

^d_p

est non-nul d` es que tous les indices de ramification e

i

sont impairs. Dans ce dernier cas, g´ en´ eralisant une s´ erie de r´ esultats (Wahlin [10], Hasse [5], Buhler [2], Dribin [4], Kientega [6], . . .), P. Barrucand et F. Laubie ont ´ etabli la formule suivante (´ egalement valable dans le cas relatif) [1] :

 d p



= (−1)

^F

 p E



avec E = Y

2

-

^fi

e

i

et F = X

2|fi

1.

Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypoth` ese sur la parit´ e des indices de ramification e

i

. Cet article s’inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspir´ e.

2. ´ Enonc´ es des r´ esultats. Soient K un corps de nombres et L une extension finie de K de degr´ e n. Soit {b

1

, . . . , b

n

} une base du K-espace

2000 Mathematics Subject Classification: 11A15, 11R29, 11S15.

[239]

vectoriel L. Le discriminant D = D

L/K

= det(Tr

L/K

(b

i

b

j

)) est un ´ el´ ement non-nul de K : D ∈ K

^·

. La classe δ = δ

L/K

de D modulo les carr´ es K

^·2

est ind´ ependante du choix de la base, c’est donc un invariant de l’extension L/K; elle d´ etermine une extension quadratique (ou triviale) K( √

δ).

Soit p un id´ eal premier de K. Notons K

p

le compl´ et´ e de K en la place p.

On va s’int´ eresser au symbole des restes quadratique

^δ_p

: ´ etant donn´ e a ∈ K

_p^·

, le symbole des restes quadratiques

^a_p

est d´efini par

 a p



=







1 si K

p

( √

a) = K

p

,

−1 si K

p

( √

a)/K

p

est une extension quadratique non-ramifi´ ee, 0 si K

p

( √

a)/K

p

est une extension quadratique ramifi´ ee.

En particulier

^a_p

ne d´epend que de la classe de a modulo les carr´es. Soit p = P

^e₁¹

. . . P

^eg^g

la d´ ecomposition de l’id´ eal p en produit d’id´ eaux premiers deux ` a deux distincts P

i

de L. On note f

i

le degr´ e r´ esiduel de P

i

de sorte que n = e

1

f

1

+ . . . + e

g

f

g

. On d´ esigne par π ∈ p une uniformisante du corps local K

p

.

Proposition 2.1. On suppose que l’id´ eal premier p de K est non 2- adique. Si P

2|ei

f

i

est un entier pair , alors le produit Q

2|ei

π

Pi

est non-nul et est ind´ ependant du choix de l’uniformisante π.

Cette proposition sugg` ere

D´ efinition 2.2. Pour tout id´ eal premier non 2-adique p du corps de nombres K, on pose

ε(p) = ε

_L/K

(p) =



 

 

 

 

0 si X

2|ei

f

i

est impair, Y

2|ei

 π P

i



sinon,

o` u π d´ esigne une uniformisante quelconque du corps local K

p

. Si tous les e

i

sont impairs, on convient que ε(p) = 1. En particulier ε(p) = 1 d` es que l’id´ eal premier p est non-ramifi´ e dans L.

Remarque 2.3. Le symbole ε peut ˆ etre interpr´ et´ e par l’application de r´ eciprocit´ e d’Artin de la mani` ere suivante. Notons A l’id´ eal Q

2|ei

P

_i

de L.

Soit (A, L( √

π)/L) l’´ el´ ement du groupe de Galois G(L( √

π)/L) d´ efini par le symbole d’Artin. Lorsque ε

_L/K

(p) est non-nul, il est ´ egal ` a 1 si et seulement si le symbole d’Artin (A, L( √

π)/L) est l’identit´ e [8, Chap. IV, §8]. Nous utiliserons fr´ equemment cette caract´ erisation de ε

L/K

(p).

A l’aide des propri´ et´ es fonctorielles du symbole d’Artin, nous pouvons

´

etablir une formule de transitivit´ e pour ε :

Proposition 2.4. Soit K ⊂ M ⊂ L une tour d’extensions de corps de nombres. Soit p un id´ eal premier de K. Supposons que ε

L/K

(p), ε

M/K

(p) ainsi que les ε

_L/M

(P) pour P | p sont non-nuls. Alors nous avons

ε

L/K

(p) = ε

M/K

(p)

^{[L:M ]}

Y

P|p 2

-

^e(P/p)

ε

L/M

(P).

Le th´ eor` eme suivant est le r´ esultat principal de cet article qui relie les deux symboles

^δL/K_p

et ε

L/K

(p).

Th´ eor` eme 2.5. Soit p un id´ eal premier non 2-adique du corps de nom- bres K. On suppose que p n’est pas sauvagement ramifi´ e dans L. Alors les symboles

^δL/K_p

et ε

_L/K

(p) sont reli´ es par la formule

 δ

_L/K

p



= (−1)

F +(q−1)G/2

 q E



ε

L/K

(p)

o` u q est la norme absolue de p et les trois entiers E, F et G sont d´ efinis par

E = Y

2

-

^eifi

e

i

, F = X

2|fi

2

-

^ei

1, G = X

4|ei

2

-

^fi

1.

La d´ emonstration de ce th´ eor` eme se fait essentiellement en trois ´ etapes : compl´ etion, d´ evissage et globalisation.

Remarque 2.6. (i) Lorsque tous les indices de ramification e

i

sont impairs, alors G = 0, ε

L/K

(p) = 1 et on retrouve le th´ eor` eme principal de Barrucand–Laubie [1, Th´ eor` eme 2].

(ii) Pour les id´ eaux premiers 2-adiques p qui ne sont pas sauvagement ramifi´ es dans L, nous avons encore

 δ

L/K

p



= (−1)

^F

 q E

 .

N´ eanmoins, ils ont ´ et´ e exclu de l’´ enonc´ e du th´ eor` eme pr´ ec´ edent car pour ces id´ eaux ε n’est pas d´ efini.

Supposons maintenant que l’extension L/K est galoisienne de groupe de Galois G. Soit, comme d’habitude,

e = l’indice de ramification de p dans L/K, f = le degr´ e r´ esiduel de p dans L/K,

g = le nombre d’id´ eaux premiers de L au-dessus de p.

Alors pour chaque uniformisante π ∈ p − p

²

, le symbole % :=

_P^π

est

ind´ ependant du choix de la place P au-dessus de p de sorte que ε

L/K

(p) = %

^g

est une puissance g-i` eme.

Avec les notations ci-dessus, le th´ eor` eme 2.5 montre facilement que la valeur du symbole

^δL/K_p

est donn´ee par

Corollaire 2.7. Supposons que L est une extension galoisienne de K.

Pour tout id´ eal premier p de K qui n’est pas sauvagement ramifi´ e dans L, nous avons

 δ

L/K

p



=



 



 



0 si 2 | e et 2 - f g,

%

^g

si 2 | e et 2 | f g, (−1)

^g

si 2 - e et 2 | f g,

q e

si 2 - n.

Dans la situation de ce dernier corollaire, le cas o` u 2 | e, 2 | f et 2 - g est le seul o` u la connaissance des entiers e, f et g ne suffit pas pour d´ eterminer la valeur de

^δL/K_p

. Dans ce dernier cas, nous avons

^δL/K_p

= ε

_L/K

(p) =

π P

6= 0. La valeur de % =

_P^π

est alors li´ ee ` a la structure du groupe de d´ ecomposition D = D(P/p) de la place P dans l’extension L/K. Plus pr´ ecis´ ement, nous avons

Proposition 2.8. Soit L/K une extension galoisienne de corps de nom- bres. Soient p un id´ eal premier non 2-adique de K et P un id´ eal premier de L au-dessus de p. Supposons que le degr´ e r´ esiduel f de p dans L/K est pair. Soit π une uniformisante de K

p

. Alors

_P^π

= 1 si et seulement si le 2-sous-groupe de Sylow du groupe de d´ ecomposition D(P/p) n’est pas cyclique.

Notons que dans la mˆ eme extension L/K, il est possible que ε prenne les trois valeurs −1, 0 et 1 en trois places ramifi´ ees : Prenons, par exemple, K = Q et soit L := Q(

p 210 + 21 √

10). Alors L/Q est une extension cyclique de degr´ e 4 o` u ` a part 2, se ramifient uniquement les nombres premiers 3, 5 et 7.

Plus pr´ ecis´ ement, le discriminant de L est donn´ e par D = 2

¹¹

· 3

²

· 5

³

· 7

²

. Puisque 3 est d´ ecompos´ e dans Q( √

10), il se d´ ecompose dans L sous la forme 3 = p

²₁

p

²₂

, donc d’apr` es le corollaire 2.7 on a ε

_L/Q

(3) = 1. Vu la valuation 5-adique du discriminant, 5 se ramifie totalement dans L, donc toujours d’apr` es le corollaire 2.7 on a ε

_L/Q

(5) = 0. Quant au premier 7, puisqu’il est inerte dans Q( √

10), on a dans L : 7 = p

²

, donc ε

_L/Q

(7) = −1 grˆ ace au corollaire 2.7 et la proposition 2.8.

Comme cons´ equence imm´ ediate du corollaire 2.7, citons la proposition suivante qui est ` a rapprocher au th´ eor` eme de Pellet–Stickelberger–Vorono¨ı.

Proposition 2.9. Soit K un corps de nombres, L une extension galoi-

sienne de K et p un id´ eal premier de K qui n’est pas sauvagement ramifi´ e

dans L. Si

^δL/K_p

6= 1, alors le nombre d’id´eaux premiers de L au-dessus

de p est impair.

Il n’est pas difficile de voir que la r´ eciproque de la proposition pr´ ec´ edente est inexacte : en effet, il suffit de prendre K = Q, L = Q( √

2, √

3) et p = 3Z.

Alors p = P

²

dans L et nous avons

^δL/K_p

= 1.

3. ´ Etude locale. Dans cette section, nous ne consid´ erons que des corps locaux, c’est-` a-dire complets pour une valuation discr` ete et ayant un corps r´ esiduel fini. ´ Etant donn´ e un corps local E, nous notons

π

E

= π = une uniformisante de E;

A

E

= l’anneau de valuation de E;

p

E

= πA

E

l’id´ eal de valuation de E;

q = q

E

= le cardinal du corps r´ esiduel A

E

/p

E

.

Lorsque F est une extension finie s´ eparable du corps local E, on d´ esignera comme dans le cas global δ

_{F /E}

la classe modulo les carr´ es du discriminant d’une E-base de F .

Supposons que F/E est une extension mod´ er´ ement ramifi´ ee d’indice de ramification e. Si l’on suppose que e est pair, alors l’extension F ( √

π)/F est non-ramifi´ ee de sorte que

_p^π

F

6= 0 bien que

_p^π

E

= 0.

Lemme 3.1. On suppose que l’extension locale F/E est totalement et mod´ er´ ement ramifi´ ee de degr´ e pair e. Alors pour toute uniformisante π de E, il existe une unit´ e u

π

de E telle que

(i) δ

F /E

= u

π

π mod E

^·2

; (ii)  u

π

p

_E



=  −1 q

E



e/2+1

 π p

_F

 .

D ´ e m o n s t r a t i o n. La valuation p

E

-adique de l’id´ eal discriminant de l’extension F/E est ´ egale ` a (e − 1). Comme e est suppos´ e pair, on en d´ eduit qu’il existe une unit´ e u

π

de E telle que δ

F /E

= u

π

π mod E

^·2

.

L’extension F/E ´ etant mod´ er´ ee, il existe une uniformisante π

⁰

de E telle que F = E( √

^e

π

⁰

) [11, Chap. 3, Prop. 3.4.3]. En particulier π

⁰

est un carr´ e dans F.

Le discriminant du polynˆ ome X

^e

− π

⁰

´ etant

(−1)

^e(e−1)/2

e

^e

(−π

⁰

)

^e−1

= (−1)

^e/2+1

e

^e

π

^0e−1

, on voit que δ

F /E

= (−1)

^e/2+1

π

⁰

mod E

^·2

. Il en r´ esulte que

 u

π

p

E



=  δ

_{F /E}

π

⁻¹

p

E



=  (−1)

^e/2+1

π

⁰

π

⁻¹

p

E



=  −1 p

_E



e/2+1

 π

⁰

π

⁻¹

p

_E



=  −1 q

E



e/2+1

 π

⁰

π

⁻¹

p

_E



.

Comme F/E est totalement ramifi´ ee, les deux extensions non-ramifi´ ees E( √

π

⁰

π

⁻¹

)/E et F ( √

π

⁰

π

⁻¹

)/F sont de mˆ eme degr´ e et nous avons

 π

⁰

π

⁻¹

p

_E



=  π

⁰

π

⁻¹

p

_F

 . Or π

⁰

est un carr´ e de F , donc

 π

⁰

π

⁻¹

p

_E



=  π

⁻¹

p

_F



=  π p

_F



d’o` u le lemme.

Lorsque l’extension locale F/E n’est pas totalement ramifi´ ee, par un d´ evissage on peut g´ en´ eraliser le lemme pr´ ec´ edent de la fa¸ con suivante :

Lemme 3.2. On suppose que l’extension locale F/E est mod´ er´ ement rami- fi´ ee d’indice de ramification pair e et de degr´ e r´ esiduel f. Pour toute uni- formisante π de E, il existe une unit´ e u

π

de E telle que

(i) δ

_{F /E}

= π

^f

u

π

mod E

^·2

; (ii)  u

π

p

_E



=  −1 q

E



f (e/2+1)

 π p

_F

 .

D ´ e m o n s t r a t i o n. La d´ emonstration imite celle du lemme 4 de [1].

Soit E

⁰

le corps d’inertie de l’extension F/E. Par la formule de transitivit´ e des discriminants [9, Chap. 3, Prop. 8], nous avons

δ

F /E

= δ

_E^e0/E

N

E⁰/E

(δ

F /E⁰

) mod E

^·2

= N

E⁰/E

(δ

F /E⁰

) mod E

^·2

. L’extension E

⁰

/E ´ etant non-ramifi´ ee, π reste une uniformisante de E

⁰

, donc d’apr` es le lemme pr´ ec´ edent il existe une unit´ e u

⁰_π

de E

⁰

telle que

δ

_{F /E}⁰

= πu

⁰_π

mod E

^0·2

et

 u

⁰_π

p

_E0



=  −1 q

E⁰



e/2+1

 π p

_F



=  −1 q

E



f (e/2+1)

 π p

_F

 . Par ailleurs,

_p^u0π

E0

peut ˆ etre vu comme le symbole de Hilbert

^π,u_p ^0π

E0

[8, Chap. III, §5], d’o` u

 u

⁰_π

p

_E0



= (u

⁰_π

, E

⁰

( √

π)/E

⁰

)( √ π)/ √

π

= (N

E⁰/E

(u

⁰_π

), E( √

π)/E)( √ π)/ √

π

(fonctorialit´ e du symbole d’Artin)

=  π, N

_E⁰_/E

(u

⁰_π

) p

_E



=  N

_E⁰_/E

(u

⁰_π

) p

_E



.

Maintenant si on pose u

π

= N

E⁰/E

(u

⁰_π

), on obtient ` a la fois les deux propri´ et´ es (i) et (ii) de l’´ enonc´ e.

Le cas o` u l’indice de ramification e de l’extension locale F/E est impair a ´ et´ e trait´ e dans [1] :

Lemme 3.3. On suppose que l’indice de ramification e de F/E est impair.

Soit f le degr´ e r´ esiduel de F/E. Alors nous avons

 δ

_{F /E}

p

_E



= (−1)

^{f +1}

 q

_E

e



f

. D ´ e m o n s t r a t i o n. C’est le lemme 4 de [1].

4. Globalisation

D´ emonstration de la proposition 2.1. Soient π et π

⁰

deux uniformisantes de K

p

. Posons u = π/π

⁰

.

Soit P

i

une des places de L au-dessus de p. D´ esignons par K

p

et L

Pi

les compl´ et´ es de K et L en les places p et P

i

respectivement.

L’id´ eal premier p ´ etant suppos´ e non 2-adique, l’extension K

p

( √

u)/K

p

est non-ramifi´ ee. On en d´ eduit aussitˆ ot que si le degr´ e r´ esiduel correspondant f

i

est pair, alors K

p

( √

u) est contenu dans L

Pi

de sorte que

_P^u

i

= 1; et que si au contraire f

i

est impair, alors [K

p

( √

u) : K

p

] = [L

Pi

( √

u) : L

Pi

] de sorte que

^u_p

=

_P^u

i

.

On ne s’int´ eresse dans cette proposition qu’aux id´ eaux premiers P

i

avec e

i

pair. Pour un tel id´ eal premier P

i

, le lemme d’Abhyankar [7, Chap. 5,

§2, Cor. 4 au Th. 5.11] garantit la non-nullit´ e de

_P^π

i

puisqu’il affirme que l’extension K

Pi

( √

π)/K

Pi

est non-ramifi´ ee.

Supposons maintenant qu’il y a un nombre pair d’id´ eaux P

i

avec e

i

pair et f

i

impair. Alors d’apr` es ce qui pr´ ec` ede

Y

2|ei

 u P

_i



= Y

2

-

^fi

2|ei

 u P

_i



= Y

2

-

^fi

2|ei

 u p



= 1

de sorte que

Y

2|ei

 π P

_i



= Y

2|ei

 π

⁰

P

_i

 . La proposition est donc d´ emontr´ ee.

D´ emonstration de la proposition 2.4. Fixons-nous provisoirement un

id´ eal premier P de M au-dessus de p. Notons e = e(P/p) l’indice de rami-

fication de P dans l’extension M/K. Choisissons une uniformisante π du

corps local K

p

appartenant ` a K. Nous allons ´ evaluer le produit de symboles d’Artin

Y

P|P 2|e(P/P)

(P, L( √ π)/L)

suivant la parit´ e de e.

Si e est pair, alors M ( √

π)/M est non-ramifi´ ee en P, et nous avons Y

P|P 2|e(P/P)

(P, L( √

π)/L) = Y

P|P 2|e(P/P)

(P

^{f (P/P)}

, M ( √ π)/M )

= (P, M ( √

π)/M )

^PP|P, 2|e(P/P)f (P/P)

. Comme par hypoth` ese ε

L/M

(P) est non-nul, la somme en exposant est paire de sorte que

Y

P|P, 2|e(P/P)

(P, L( √

π)/L) = 1.

Supposons maintenant que l’indice de ramification e est impair. Soit w une uniformisante de M

P

. Il existe une unit´ e de M

P

telle que π = w

^e

u. Puisque P

P|P, 2|e(P/P)

f (P/P) est pair, nous voyons, comme dans la d´ emonstration de la proposition pr´ ec´ edente (prop. 2.1), que

Y

P|P 2|e(P/P)

 u P



= 1

de sorte que Y

P|P 2|e(P/P)

(P, L( √

π)/L) = Y

P|P 2|e(P/P)

 π P



= Y

P|P 2|e(P/P)

 w P



= ε

L/M

(P).

Ainsi lorsque P parcourt les id´ eaux premiers de M au-dessus de p, on a Y

P|p

Y

P|P 2|e(P/P)

(P, L( √

π)/L) = Y

P|p 2

-

^e(P/p)

ε

L/M

(P).

Pour obtenir la formule de la proposition, il nous faut ´ egalement calculer le produit

Y

P|P 2

-

^e(P/P)

(P, L( √ π)/L)

pour chaque id´ eal premier P de M tel que l’indice de ramification e = e(P/p) est pair. Comme pr´ ec´ edemment, puisque M ( √

π)/M est non-ramifi´ e en P,

nous avons

Y

P|P 2

-

^e(P/P)

(P, L( √

π)/L) = Y

P|P 2

-

^e(P/P)

(P

^{f (P/P)}

, M ( √ π)/M )

= (P, M ( √ π)/M )

P

P|P, 2

-

^{e(P/P)f (P/P)}

= (P, M ( √

π)/M )

^PP|Pe(P/P)f (P/P)

= (P, M ( √

π)/M )

^{[L:M ]}

et ensuite

Y

P|p 2|e(P/p)

Y

P|P 2

-

^e(P/P)

(P, L( √

π)/L) = ε

M/K

(p)

^{[L:M ]}

.

La formule de la proposition se d´ eduit alors sans difficult´ e des consid´ erations pr´ ec´ edentes.

Tous les ingr´ edients sont maintenant r´ eunis pour obtenir le th´ eor` eme principal. Nous utiliserons les r´ esultats locaux ´ etablis dans la section pr´ ec´ e- dente, en rempla¸ cant E et F par les corps locaux K

p

et L

Pi

respectivement.

D´ emonstration du th´ eor` eme 2.5. L’id´ eal premier p ´ etant mod´ er´ ement ra- mifi´ e dans L, la valuation p-adique du discriminant δ

L/K

satisfait ` a la con- gruence

v

p

(δ

_L/K

) ≡

g

X

i=1

(e

i

− 1)f

_i

mod 2 ≡ X

2|ei

f

i

mod 2.

Donc si P

2|ei

f

i

est impair, alors le symbole

^δL/K_p

est nul comme l’est ε

L/K

(p).

Pla¸ cons-nous d´ esormais dans la situation o` u P

2|ei

f

i

est pair : Pour tout i = 1, . . . , g, notons δ

i

= δ

_L

Pi/Kp

. Fixons-nous une uniformisante π de K

p

. Pour chaque i tel que e

i

est pair, notons u

i

l’unit´ e u

π

de K

p

intervenant dans le lemme 3.2. Alors, modulo les carr´ es de K

_p^·

, nous avons

δ

L/K

=

g

Y

i=1

δ

i

= Y

2

-

^ei

δ

i

Y

2|ei

δ

i

= Y

2

-

^ei

δ

i

Y

2|ei

u

i

de sorte que

 δ

L/K

p



= Y

2

-

^ei

(−1)

^1+fi

 q e

i



fi

Y

2|ei

 −1 q



fi(ei/2+1)

 π P

_i



= (−1)

^F

 q E



(−1)

^((q−1)/2)

P

2|eifi(ei/2+1)

ε

L/K

(p)

= (−1)

F +(q−1)G/2

 q E



ε

L/K

(p).

D´ emonstration de la proposition 2.8. Soient K

p

et L

P

les compl´ et´ es de K et L en les places p et P respectivement. Notons E le sous-corps de L

P

laiss´ e fixe par le 2-sous-groupe de Sylow de G(L

P

/K

p

) ' D

P

(L/K).

Comme f est suppos´ e pair, l’extension quadratique non-ramifi´ ee M de E est contenue dans L

P

. Puisque [E : K

p

] est un entier impair, l’extension E( √

π)/E est non-triviale et ramifi´ ee de sorte que l’extension M ( √

π)/E est galoisienne de groupe de Galois Z/2Z × Z/2Z.

Ceci ´ etant, si

_P^π

= 1, alors M ( √

π) ⊂ L

P

et le groupe de Galois G(L

P

/E) se surjecte dans Z/2Z×Z/2Z. Il n’est donc pas cyclique. R´ecipro- quement, si le 2-groupe G(L

P

/E) n’est pas cyclique, alors il existe un corps F entre E et L

P

qui poss` ede deux extensions quadratiques distinctes con- tenues dans L

P

. Comme le corps local F n’est pas 2-adique, cela entraˆıne que toutes les extensions quadratiques de F sont contenues dans L

P

. En particulier, l’uniformisante π ∈ K

p

⊆ F est un carr´ e dans L

P

, autrement dit

_P^π

= 1.

Nous remarquons que la parit´ e du degr´ e r´ esiduel f n’est en fait utilis´ ee que dans un sens de l’´ equivalence de la proposition pr´ ec´ edente. En effet, lorsque le 2-sous-groupe de Sylow de G(L

P

/K

p

) n’est pas cyclique alors, comme on vient de voir au cours de la d´ emonstration pr´ ec´ edente,

_P^π

= 1 sans aucune hypoth` ese sur f .

5. Exemples. Nous terminons avec deux familles d’exemples. Rap- pelons qu’on est toujours dans le cas o` u la ramification est mod´ er´ ee.

1. Pla¸ cons-nous dans la situation o` u il existe un corps interm´ ediaire M entre K et L, et o` u l’id´ eal premier p de K ne se d´ ecompose pas dans M . Notons P l’id´ eal premier de M au-dessus de p, alors p = P

^e(P/p)

.

Supposons que l’indice de ramification e = e(P/p) est pair tandis que le degr´ e r´ esiduel f = f (P/p) est impair; autrement dit ε

_M/K

(p) = 0. Soient P

₁

, . . . , P

g

les id´ eaux premiers de L au-dessus de p et f

1

, . . . , f

g

leurs degr´ es r´ esiduels respectifs.

Si P

g

i=1

f

i

est impair, alors ε

L/K

(p) =

^δL/K_p

= 0. Si, au contraire, P

g

i=1

f

i

est pair, alors

ε

_L/K

(p) = 1 et  δ

_L/K

p



= (−1)

^(q−1)G/2

o` u G = X

4|ei

2

-

^fi

1.

En effet, soit π ∈ p une uniformisante de K

p

. Par le lemme d’Abhyankar, l’extension M ( √

π)/M est non-ramifi´ ee en P de sorte que le symbole d’Artin (P, M ( √

π)/M ) est bien d´ efini. Comme f est suppos´ e impair, nous avons

´

egalement P

g

i=1

f (P

i

/P) est pair. D’o` u (P, M ( √

π)/M )

^{Pgi=1f (Pi/P)}

= Id.

On en d´ eduit, par la fonctorialit´ e du symbole d’Artin, que la restriction ` a M ( √

π) de ( Q

g

i=1

P

_i

, L( √

π)/L) est l’identit´ e. Donc

 Y

^g

i=1

P

_i

, L( √ π)/L



= Id,

ce qui signifie bien que ε

_L/K

(p) = 1. La formule

^δL/K_p

= (−1)

^(q−1)G/2

en est alors une cons´ equence imm´ ediate.

2. Pla¸ cons-nous dans la situation o` u il existe une extension cyclique M de K contenue dans L, et o` u l’id´ eal premier p de K ne se d´ ecompose pas dans M . Notons P l’id´ eal premier de M au-dessus de p, alors p = P

^e(P/p)

. Supposons que l’indice de ramification e = e(P/p) et le degr´ e r´ esiduel f = f (P/p) sont pairs. Soient P

1

, . . . , P

g

les id´ eaux premiers de L au-dessus de p et f

1

, . . . , f

g

leurs degr´ es r´ esiduels respectifs. Si maintenant la somme des degr´ es r´ esiduels P

g

i=1

f (P

i

/P) est impaire, alors ε

_L/K

(p) =  δ

_L/K

p



= −1.

En effet, soit π ∈ p une uniformisante de K

p

. D’apr` es la proposition 2.8, nous avons ε

_M/K

(p) =

_P^π

= −1; autrement dit l’image de P par le symbole d’Artin ( , M ( √

π)/M ) n’est pas l’identit´ e : (P, M ( √

π)/M ) 6= Id . Comme P

g

i=1

f (P

i

/P) est impair, nous avons ´ egalement (P, M ( √

π)/M )

^{Pgi=1f (Pi/P)}

6= Id .

Toujours par la fonctorialit´ e du symbole d’Artin, ceci entraˆıne Res

_{M (}^√_π)



g

Y

i=1

P

_i

, L( √ π)/L 

6= Id . D’o` u ´ evidemment ( Q

g

i=1

P

i

, L( √

π)/L) 6= Id, ce qui signifie bien que ε

L/K

(p)

= −1. L’´ egalit´ e

^δL/K_p

= −1 en est alors une cons´equence imm´ediate.

Remerciement. Les auteurs tiennent ` a remercier le professeur Fran- cisco Diaz y Diaz qui leur a fourni des exemples de calcul de ε

L/K

(p).

Bibliographie

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[9] J.-P. S e r r e, Corps locaux , troisi` eme ´ edition, Hermann, Paris, 1968.

[10] G. E. W a h l i n, The factorisation of the rational primes in a cubic domain, Amer.

J. Math. 44 (1922), 191–203.

[11] E. W e i s s, Algebraic Number Theory , reprinted by Chelsea, 1963.

LACO (UPRESA 6090 CNRS) D´ epartement de math´ ematiques Universit´ e de Limoges

123 Avenue Albert Thomas 87060 Limoges Cedex, France E-mail: mova@unilim.fr

zahidi@unilim.fr

Re¸ cu le 26.2.1999

et r´ evis´ e le 6.9.1999 (3562)