l’anneau des entiers de K. On notera K une clˆ oture alg´ ebrique de K et D

VOL. LXVI 1993 FASC. 1

POINTS ENTIERS SUR LES COURBES DE GENRE 0

PAR

DIMITRIOS P O U L A K I S (THESSALONIQUE)

1. Introduction. Soient K un corps de nombres de degr´ e d et O

l’anneau des entiers de K. On notera K une clˆ oture alg´ ebrique de K et D

le discriminant de K. Consid´ erons un polynˆ ome F (X, Y ) ∈ K[X, Y ], absolument irr´ eductible, tel que la courbe alg´ ebrique C d´ efinie par l’´ equation F (X, Y ) = 0 soit de genre 0. Notons Σ l’ensemble des anneaux de valuation discr` ete V , dans le corps des fonctions K(C) de C, qui contiennent le corps K, et Σ

l’ensemble des ´ el´ ements de Σ qui se trouvent au-dessus de l’anneau de valuation discr` ete de K(X) qui est d´ efinie par 1/X. On sait d’apr` es Siegel ([12]) que si Σ

contient au moins trois ´ el´ ements distincts, la courbe F (X, Y ) = 0 n’a qu’un nombre fini de points entiers sur K. Toutefois, bien qu’il est connu qu’on peut calculer un majorant explicite de la taille des points entiers de F (X, Y ) = 0 sur K ([5], [11]), il n’y a nulle trace dans la litt´ erature d’un tel majorant. Dans cette note nous calculons un majorant explicite de la taille des points S-entiers de F (X, Y ) = 0 sur K, en r´ eduisant ce probl` eme au probl` eme de d´ eterminer les solutions d’une ´ equation de Thue en S-entiers; puis en utilisant une majoration de la taille des solutions de l’´ equation de Thue en S-entiers, dˆ ue ` a Gy˝ ory ([2]), on d´ eduit notre r´ esultat.

Soit V (K) = {| |

: v ∈ M (K)} l’ensemble des valeurs absolues nor- malis´ ees de K ([4], chap. 2, §1). Soit S un sous-ensemble fini de V (K) qui contient les valeurs absolues archim´ ediennes. Rappelons que l’anneau des S-entiers de K est l’ensemble O

qui contient les ´ el´ ements x ∈ K tels que

|x|

≤ 1 pour tout | |

qui n’appartient pas ` a S. Si v ∈ M (K), on note d

le degr´ e local correspondant; alors si x = (x

: . . . : x

) est un point de l’espace projectif P

(K), posons

H

(x) = max Y

v∈M (K)

{|x

|

, . . . , |x

|

}

et H(x) = H

(x)

. On appelle les quantit´ es H

(x) et H(x) hauteur de x (relativement ` a K) et hauteur absolue de x respectivement. Lorsque x ∈ K, on note H

(x) =

1991 Mathematics Subject Classification: 11D57.

Key words and phrases: point S-entier, courbe alg´ ebrique, hauteur.

H

((1 : x)). Soit f ∈ K[X

, . . . , X

] − {0}. Par hauteur H

(f ) et hauteur absolue H(f ) de f nous entendrons respectivement la hauteur et la hauteur absolue du point projectif d´ efini par les coefficients de f .

Soit C : F (X, Y ) = 0 une courbe de genre 0 telle que l’ensemble Σ

contient au moins trois anneaux. Notons N le degr´ e total de F , s le nombre des ´ el´ ements de l’ensemble S et P (S) un entier positif tel que la norme de tout id´ eal premier (entier) ℘ de K qui correspond ` a une valeur absolue non-archim´ edienne de S satisfait N

(℘) < P (S). Alors nous montrons le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme. Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes la courbe C poss` ede un nombre fini de points S-entiers. De plus, si x, y ∈ O

avec F (x, y) = 0, on a

max{H

(x), H

(y)}

< exp{N

P (S)

|D

|

H

(F )

}.

R e m a r q u e s. 1. Dans le cas o` u le corps K contient les racines de l’´ equation F (1, Y ) = 0, on a une majoration plus pr´ ecise :

max{H

(x), H

(y)}

< exp{N

P (S)

|D

|

H

(F )

} . 2. Supposons que F ∈ Q[X, Y ]; alors si x, y ∈ Z avec F (x, y) = 0, le th´ eor` eme entraˆıne

max{|x|, |y|} < exp{N

H

(F )

} .

2. Construction d’une fonction qui param´ etrise C. Consid´ erons F (X, Y ) comme polynˆ ome en Y et notons D(X) son discriminant; on a deg D < 2N

. Alors il existe une place finie X = x

, o` u x

est un entier avec 1 ≤ x

≤ 2N

, qui est non-ramifi´ ee dans K(C). Par cons´ equent pour tout V ∈ Σ, au-dessus de X = x

, le d´ eveloppement de Puiseux d’une fonction Θ (dans une clˆ oture alg´ ebrique de K(X)) avec F (X, Θ) = 0 est

Θ =

∞

X

s=s0

a

X

, o` u X

= X − x

et s

≥ 0. Comme

F 

X

+ x

,

∞

X

s=s0

a

X



= 0 ,

le th´ eor` eme d’Eisenstein ([8], [10]) entraˆıne qu’il existe un corps de nom-

bres K

, avec [K

: K] ≤ n, tel que a

∈ K

(s = s

, s

, . . .) et son

discriminant D

v´ erifie l’in´ egalit´ e

(2.1) |D

| ≤ N

|D

|

H

(F )

.

Comme a

∈ K

(s = s

, s

, . . .), il en r´ esulte que pour tout V ∈ Σ, au-dessus de X = x

, le diviseur V est d´ efini sur K

([9], page 186).

Si U ∈ Σ et f ∈ K(C) notons ord

(f ) l’ordre de la fonction f en U . Soit W un anneau de Σ au-dessus de X = x

. Consid´ erons le K-espace L(W ) des fonctions f ∈ K(C) telles que ord

(f ) ≥ −1 et ord

(f ) ≥ 0, pour tout

´

el´ ement U de Σ autre que W . La dimension de L(W ) est 2. D’apr` es [9], th´ eor` eme A2, il existe des polynˆ omes

q(X) = X

i

q

X

et c

(X, Y ) = X

i,j

c

X

Y

(i = 1, 2) avec

(2.2) deg q < 2N

, deg

c

< 5N

, deg

c

< n , et

(2.3) H(c

) < N

H(F )

, H(q

) < N

H(F )

, tels que les fractions

(2.4) c

(X, Y )/q(X) (i = 1, 2)

repr´ esentent une base de l’espace L(W ). Le diviseur W est rationnel sur K

. Alors le th´ eor` eme B2 de [9] entraˆıne que les coefficients des polynˆ omes q(X) et c

(X, Y ) se trouvent dans K

. Comme la dimension de L(W ) est 2, une des fractions (2.4) repr´ esente une fonction T ∈ K

(C) non constante;

on a donc ord

T = −1. Ceci entraˆıne K

(C) = K

(T ).

3. Les z´ eros et les pˆ oles de X. Comme X∈K

(T ), il existe des

´

el´ ements a, a

, . . . , a

, b

, . . . , b

de K tels que

X = a(T − a

) . . . (T − a

)/(T − b

) . . . (T − b

) .

Alors on a ord

X = s − t. D’autre part, la fonction X n’a ni z´ ero ni pˆ ole en W . Il en r´ esulte que s = t. D’apr` es nos hypoth` eses, Σ

contient au moins trois anneaux distincts; alors s = t = n ≥ 3 et au moins trois des nombres b

, . . . , b

sont deux-` a-deux distincts. Consid´ erons des coor- donn´ ees homog` enes (x : y : z) et notons T

et F

les homog´ enis´ es des T et F . Les z´ eros de la fonction X sont les couples (0, y), o` u F (0, y) = 0 et

´

eventuellement quelques points ` a l’infini, (x : y : 0) avec F

(x : y : 0) = 0.

On d´ eduit donc que les nombres a

, . . . , a

, b

, . . . , b

sont parmi les nombres T (0, y) avec F (0, y) = 0 et T

(x : y : 0) avec F (x : y : 0) = 0. En utilisant (2.2) et (2.3) on trouve

(3.1) H(a

), H(b

) < N

H(F )

(i = 1, . . . , n) .

Posons f (T ) = (T − a

) . . . (T − a

) et g(T ) = (T − b

) . . . (T − b

). Alors l’in´ egalit´ e (3.1) et le th´ eor` eme 5.9, page 211 de [14], entraˆınent

(3.2) H(f ), H(g) < N

H(F )

.

Comme K

(C) = K

(T ), les coefficients des af (T ) et g(T ) se trouvent dans K

. Soit z tel que F (1, z) = 0; alors on a a = g(T (1, z))/f (T (1, z)).

On en d´ eduit que

(3.3) H(a) < N

H(F )

.

4. Calcul d’un discriminant. Soient %

, . . . , %

les diff´ erentes racines de F

(1, Y, 0) = 0. Posons L = K

(%

, . . . , %

). Dans cette section nous allons calculer une majoration pour le discriminant D

de L, que nous allons utiliser dans la section suivante. Soit δ le plus petit entier positif tel que les nombres δ%

, . . . , δ%

soient des entiers de L. Posons

F

(Y ) = (Y − δ%

) . . . (Y − δ%

)

et notons D(F

) le discriminant de F

(Y ). La formule de transitivit´ e des discriminants entraˆıne

|D

| ≤ |D

|

|N

(D(F

))|

. D’autre part, on a

|N

(D(F

))| ≤ H

(D(F

)) ≤ N

H

(F

)

. Il en r´ esulte que

(4.1) |D

| ≤ N

|D

|

H

(F

)

. Consid´ erons le polynˆ ome

F

(Y ) = (Y − δ%

) . . . (Y − δ%

) ,

o` u %

, . . . , %

sont les racines de F

(1, Y, 0) = 0 avec multiplicit´ e. En utili- sant le th´ eor` eme 5.9, page 211 de [12], on d´ eduit

δ < 2

( max

1≤i≤µ

{H(%

)})

≤ N

H

(F )

. Il en r´ esulte que

H

(F

) < δ

H

(F ) < N

H

(F )

. Alors la proposition 2.4, page 57 de [4], donne

(4.2) H

(F

) ≤ 4

H

(F

) ≤ N

H

(F )

. Les in´ egalit´ es (2.1), (4.1) et (4.2) entraˆınent donc

(4.3) |D

| ≤ N

|D

|

H

(F )

.

5. D´ emonstration du th´ eor` eme. Notons O

l’anneau des entiers de K

et S

l’ensemble des valeurs absolues de K

qui prolongent les ´ el´ ements de S. Consid´ erons les homog´ enis´ es f

(X, Y ) et g

(X, Y ) des polynˆ omes f (T ) et g(T ) respectivement. Soit δ le plus petit entier positif tel que δf

, δg

∈O

[X, Y ]. Le th´ eor` eme 5.9, page 211 de [14], et les in´ egalit´ es (3.2) et (3.3) donnent

(5.1) δ < N

H

(F )

.

Les polynˆ omes f

et g

n’ont pas de facteur commun; alors leur seul z´ ero commun est (0, 0). Le th´ eor` eme IV de [6] et les in´ egalit´ es (3.2) entraˆınent qu’il existe des polynˆ omes P

, P

, P

, P

dans O

[X, Y ], des entiers positifs ε, ζ et u, v dans O

tels que

(5.2) P

(X, Y )δaf

(X, Y ) + P

(X, Y )δg

(X, Y ) = X

u et

(5.3) P

(X, Y )δaf

(X, Y ) + P

(X, Y )δg

(X, Y ) = Y

v, avec

ε, ζ ≤ (8n)

et H

(u), H

(v) < Ω o` u

Ω = N

H

(F )

.

Soit x, y ∈ O

avec F (x, y) = 0. Alors il existe t ∈ K

tel que x = af (t)/g(t). On peut ´ ecrire t = ξ/η, o` u ξ, η ∈ O

et le plus grand commun diviseur des ξ, η divise un entier Φ de O

, avec

N

(Φ) ≤ |D

|

,

o` u h

est le nombre des classes de K

. Alors on a x = af

(ξ, η)/g

(ξ, η).

On d´ eduit de (5.2) et (5.3) que δg

(ξ, η) | ξ

u et δg

(ξ, η) | η

v; il en r´ esulte que

δg

(ξ, η) | Φ

uv .

Soit s

le nombre des ´ el´ ements de S

. On sait, d’apr` es [1], qu’il existe une base ε

, . . . , ε

de la partie sans torsion du groupe des S

-unit´ es de K

avec

(5.4) H(ε

) < exp{(sN

|D

|

H

(F )

log P (S))

} .

Alors il existe une S

-unit´ e ε telle que la couple (ξε, ηε) est une solution de l’´ equation

δg

(Ξ, H) = A = ε

. . . ε

B , avec 0 ≤ r

, . . . , r

≤ n − 1 et B∈O

tel que

N

(B) < Ω

|D

|

.

Soit kBk la plus grande des valeurs absolues des conjugu´ es de B. En vertu du lemme 3 de [3], on peut supposer, sans restreindre la g´ en´ eralit´ e, que

kBk < N

(B)

exp{dn(25d

n

)

R

} , o` u R

est le r´ egulateur de K

; il en r´ esulte que

(5.5) H(B) < N

(B)

exp{dn(25d

n

)

R

} .

D’apr` es le §3, le polynˆ ome g(T ) a au moins trois racines distinctes. Sup- posons que K contient les racines de l’´ equation F (1, Y ) = 0; par cons´ equent, g(T ) se d´ ecompose dans K. Le corollaire 1.1 de [2] entraˆıne donc

(5.6) max{H

(ξε), H

(ηε)} < exp{(25dsN

)

(R

h

)

× P (S)

(1 + log dH(g)H(A))} . On sait, d’apr` es [13], que

(5.7) R

< 3

(dn)

|D

|

max{1, log |D

|}

; aussi les r´ esultats de [7] impliquent que

(5.8) h

< 3|D

|

.

Alors les in´ egalit´ es (3.2), (5.1) et (5.4)–(5.8) entraˆınent (5.9) max{H

(ξε), H

(ηε)}

< exp{N

P (S)

|D

|

H

(F )

} . Comme x = af

(ξε, ηε)/g

(ξε, ηε), (5.9), (3.2) et (3.3) entraˆınent

(5.10) max{H

(x), H

(y)}

< exp{N

P (S)

|D

|

H

(F )

} , ce qui d´ emontre la remarque 1. Supposons que K ne contient pas les racines de g(T ). Alors en consid´ erant L ` a la place de K et en utilisant les majora- tions (4.3) et (5.10) nous d´ eduisons le r´ esultat.

R ´ EF ´ ERENCES

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D ´EPARTEMENT DE MATH ´EMATIQUES UNIVERSIT ´E DE THESSALONIQUE 54006 THESSALONIQUE, GR `ECE

Re¸ cu par la R´ edaction le 1.7.1992