Methode voor het oplossen van n vergelijkingen met n of n+1 onbekenden voor een variabel of constant rechterlid, waarbij rechterlid een numerieke waarde of een functie voorstelt

( T E C H N I S C H E H O G E S C H O O L DELFT A F D E L I N G DER S C H E E P S B O U W - EN S C H E E P V A A R T K U N D E C E N T R A L E W E R K G R O E P W I S K U N D E R a p p o r t N o . C W W - 4 J'

METHODE VOOR HET OPLOSSEN VAN n VERGELIJKINGEN

MET n OF n+1 ONBEKENDEN VOOR EEN VARIABEL OF

KONSTANT RECHTERLID, WAARBIJ HET RECHTERLID

EEN NUMERIEKE WAARDE OF EEN FUNKTIE VOORSTELT.

I n g . A.P.de Zv/aan a u g u s t u s 19 77 D e l f l U n i v e r s i t y ot T e c h n o l o g y Ship H y d r o m e c h a n i c s Laboratory M e k e l w e g 2 D e l f t 2 2 0 8 Netherlands

INHOUD. 2.3.3 I n v o e r 2.4 L i s t i n g s van de p r o c e d u r e s 3 b l z Algemeen 2 1.1 I n l e i d i n g 2 1.2 Opzet 2 1.3 Formules B e s c h r i j v i n g van h e t programma 8 2.1 Algemeen 8 2.1.1 Programma gegevens 8 2.1.2 Doel 8 2.1.3 Opzet 2.2 De o r g a n i s a t i e v a n h e t programma 8 2.2.1 G e b r u i k t e methoden 8 2.2.2 Formules 8 2.2.3 Benodigde r a n d a p p a r a t u u r 8 2.2.4 V e r k l a r i n g van de v a r i a b e l e n 9 2.3 B e s t a n d s o r g a n i s a t i e 2.3.1 G e b r u i k v a n de p r o c e d u r e s 2.3.2 G e b r u i k s m o g e l i j k h e d e n 12 8 1 1 1 1 12 1

2

-1. ALGEMEEN, J__^2_ I n l e i d ing_^

I n d i t r a p p o r t i s een berekeningsmethode gegeven v o o r h e t o p l o s s e n v a n s t e l s e l s v a n de v o l g e n d e gedaante: a) Ax = f ( x ) met n n X = X ) , X2, X = X ] , X2; X f ( x ) = f , ( x ) , f 2 ( x ) , , O p l o s s i n g : X = Og(x) met O en ^ ( x ) = g ] ( x ) , g 2 ( ^ ) , b) Ax = y met n •"1,1. c ) Ax = y met A X 1 I . J J N Jn n+1 O p l o s s i n g : x ^ ] l ^— b = b ] , b2, . . en y Y i 'n+1 e n c = C l , c 1' ^2' . c n+1

De methode i s u i t e r m a t e g e s c h i k t v o o r h e t o p l o s s e n v a n s t e l s e l s met een v a r i a b e l o f een k o n s t a n t r e c h t e r l i d .

M o t i v e r i n g .

ad a ) Het r e k e n c e n t r u m h e e f t een s t a n d a a r d p r o c e d u r e "RUNNER" v o o r h e t o p l o s s e n van d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n .

De i n v o e r v o o r "RUNNER" moet gegeven worden i n de vorm v a n x = g ( x ) . I s h e t s t e l s e l gegeven i n de vorm v a n Ax = f_(x) en moet x o p g e l o s t worden i n "RUNNER", dan k a n deze methode g e b r u i k t worden om h e t i n de v o o r "RUNNER" n o o d z a k e l i j k e vorm t e k r i j g e n ,

ad b ) Het r e k e n c e n t r u m h e e f t de p r o c e d u r e "LINORT" v o o r h e t o p l o s s e n v a n n v e r g e l i j k i n g e n met n onbekenden.

I n deze methode w o r d t g e t e s t op s i n g u l a r i t e i t door de P i v o t t e v e r g e -l i j k e n met een waarde EPS.

G e s t e l d w o r d t , a l s de P i v o t < EPS dan i s b e t s t e l s e l S i n g u l i e r . D i t i s w e l k o r r e k t maar t e g e v o e l i g . k

G e s t e l d zou moeten worden: a l s P i v o t x II a^j^ < EPS en de P i v o t < EPS, dan w o r d t h e t s t e l s e l s i n g u l i e r v e r e n - i = l - d e r s t e l d .

ad c ) Er b e s t a a t geen p r o c e d u r e , d i e de o p l o s s i n g g e e f t i n de vorm v a n een l i j n .

ij.2_Q2zet_,

Gegeven i s h e t systeem Ax = y met A = A en y z i j n bekend; x i s onbekend.

De m a t r i x Aq^ _ | ) word"t l i n k s v e r m e n i g v u l d i g d met een m a t r i x M]^ z o d a n i g d a t ; ^ k ^k-1 " •'^k v o o r k = 1 , 2, Mk m I , J ( k ) Jn met m,- i ( k - 1 ) / , . . ( k - 1 ) _{V A J ^ J ^ " a l s i > j en j = k} a l s i = j e l d e r s met a i j ( ^ ) = O a l s i > j en j « a i , j ( o ) n

A l v o r e n s A ^ _ j l i n k s t e v e r m e n i g v u l d i g e n met w o r d t h e t i n a b s o l u t e waarde g r o o t s t e element a-j^ ^ j O , met k < i 4 n en k < j < n, o p g e z o c h t .

k«: i < n e n k < j < n h e e t de De m a t r i x met de elementen a ^ ^ j ^ ^ '^, met

"Rest m a t r i x " . S t e l

's,p i s h e t g r o o t s t e element i n de r e s t m a t r i x .

Ry s w o r d t v e r w i s s e l d met r i j k en kolom p w o r d t v e r w i s s e l d met k o l o m k. Het i n a b s o l u t e waarde g r o o t s t e element van de r e s t m a t r i x komt dus t e s t a a n op de k-de r i j en i n de k-de kolom.

Na deze r i j en k o l o m v e r w i s s e l i n g w o r d t Mj^ b e p a a l d .

Op deze w i j z e houden we de m u l t i p l i k a t o r e n m^ j ^^"^ » v o o r i > j en j = k, k l e i n e r dan 1, wat u i t n a u w k e u r i g h e i d s o v e r w e g i n g e n v a n b e l a n g i s .

De m u l t i p l i k a t o r e n worden bewaard, om h e t s t e l s e l l a t e r v o o r êên o f meer r e c h t e r l e d e n t e kunnen o p l o s s e n .

Tevens moet e r b i j g e h o u d e n worden w e l k e v e r w i s s e l i n g e n er gepleegd z i j n . 3_Formules_^ Gegeven i s h e t s t e l s e l Ax = y met: A = y = X = y i A l v o r e n s M] t e b e p a l e n v o o r de e e r s t e b e w e r k i n g MjAq = A\ w o r d t met b e h u l p van r i j en k o l o m v e r w i s s e l i n g h e t a b s o l u u t g r o o t s t e element u i t de m a t r i x A g e p l a a t s t op de 1-ste r i j en i n de 1-ste kolom.

R i j v e r w i s s e l i n g ( i n A) houdt i n r i j v e r w i s s e l i n g i n h e t r e c h t e r l i d y.

K o l o m v e r w i s s e l i n g i n A h o u d t i n r i j v e r w i s s e l i n g van de elementen van de onbekende v e k t o r X. Er worden k b e w e r k i n g e n u i t g e v o e r d : V e r k r e g e n w o r d t h e t s t e l s e l : Mk Mk-l Mi,_2 M2 M] Ax = Mk M^-] M^_2 M2 M, y ( l . Z . l j met Mk Mk_, Mk-2 M2 Mj A = A^

M]^_l Mk_2 M2 M] y = y^^^^ met Mj y = y'-*

\kx

M2 y*"' = y*"^"* enz.

( 1 . 2 . 2 )

I n v l o e d v a n r i j en k o l o m v e r w i s s e l i n g e n .

A l v o r e n s A]^ l i n k s t e v e r m e n i g v u l d i g e n met M]^+1 worden r i j e n en kolommen v e r w i s s e l d i n de m a t r i x Ak z o a l s v o o r g e s c h r e v e n i n h o o f d s t u k 1 . 1 .

Nagegaan w o r d t wat de i n v l o e d i s op de v o l g e n d e v a n de elementen xj^ van de v e k t o r x en de e l e m e n t e n v.- ( k ) v a n h e t r e c h t e r l i d y*-'^'' . Het s t e l s e l na de k-de s t a p i s : v . ( k ) = " a ( l ^ ) r -y i ^ a L , j ^ ' j j = l a) K o l o m v e r w i s s e l i n g .

I n de m a t r i x A]^ w o r d t kolom k+1 v e r w i s s e l d met kolom s (k+1 ^ s < n ) . Gevolg: Element x k + i moet worden v e r w i s s e l d met h e t element Xg w i l de

v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 2 ) o f ( 1 . 2 . 2 a ) o n v e r a n d e r d b l i j v e n . b) R i j v e r w i s s e l i n g .

I n de m a t r i x Ak w o r d t de k + l - d e r i j v e r w i s s e l d met r i j s (k+1 < s < n ) . Gevolg: Element y j ^ ^ j ^ - ^ ^ moet worden v e r w i s s e l d met h e t element ys^'^-* '^ü

de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 2 ) o f ( 1 . 2 . 2 a ) o n v e r a n d e r d b l i j v e n .

4

-De v e r m e n i g v i l d i g i n g van Mj^ Mk-1 M2 Mx i n h e t r e c h t e r l i d w o r d t om zeer s p e c i a l e r e d e n , d i e l a t e r i n d i t h o o f d s t u k d u i d e l i j k w o r d t , n i e t u i t g e v o e r d .

Bekeken w o r d t , wat de i n v l o e d i s , v a n de v e r w i s s e l i n g van y^+j^^^) met yg^^'', op de elementen van Mk, M j ^ - i , M2, Mj en y a f z o n d e r l i j k z o d a t de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 2 ) o n v e r a n d e r d b l i j f t . Voor Yj ^^•^ g e l d t de v o l g e n d e r e k u r s i e v e b e t r e k k i n g : y j ( k ) = m j ^ j , ( k ) y ^ ( k - l ) + y j ( k - l ) = m^^^(^) Yk^'^"') + y j ( k - l ) v o o r j > k ( 1 . 2 . 3 ) Die v e r g e l i j k i n g i s ook t e s c h r i j v e n a l s : . ( k ) = ,.(k) , , _ ( k - l ) j , k - ' ^ Yk- + m j , k - l ( k - 1 ) (k-2) + ( k - 2 ) o f Yk ( k ) rk^ ( k - 1 ) . ( k - 1 ) ^^-2) ( k - 2 ) ( k - 3 )

y^W = m j , k ( k ) y^i^ n + mj^i^_, y j , _ , + m^ ^^_2 yk-2

( 1 . 2 . 4 )

U i t v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 4 ) v o l g t door v e r w i s s e l e n v a n Yj^+i^^'' en y 1) De elementen m|(.+ i ^ p ( p ) worden v e r w i s s e l d met de elementen

m 2 ) yp w o r d t v e r w i s s e l d met yg v o o r p = k+1 ( k ) ^s,p^P^ v o o r m d ) , „,(2), Nadat e r n-1 b e w e r k i n g e n z i j n u i t g e v o e r d i s h e t v o l g e n d e s t e l s e l v e r k r e g e n : An-1 £ = Mn-i Mn-2 M2 Mi y ( 1 . 2 . 5 ) met V i = a i l a ] 2 3 , 4 (1) ( 1 ) ( 1 ) ^22 ^23 a24 ( 2 ) ( 2 ) ^33 ^34

4V

O

41'

41'

0 O 1 O O 1 I O O O O O O O O 1 O O O O O O O O O O - m-( k) x k+1 ,k % - 2 , k ™n-l,k ( k ) nin.k 1 O O O O O O O u i t de v e r g e l i j k i n g (1.2.5) moet x o p g e l o s t worden ^ 1 - 1 £ = Mn-1 Mn-2 . . . . Mj y (Mn_l Mn-2 M, ' M 1 M -1 . M2 M ] ) A ^ - i X = y -1 -1 Mn-2 Mn-i An-i x = Y ( 1 . 2 . 6 ) Mk -1 O O O . O . 0 0 0 O O 0 0 0 O O O O 1 I ( k ) l " k + l , k ( k ) ™n-2,k

K^ï!k

Het e n i g e v e r s c h i l t u s s e n M(]^) en M^^j i s , d a t de elementen | m i j | v o o r i > k en j = k van t e k e n v e r s c h i l l e n . M = M,-l M2~' M^-2~' M ^ - r ' met M 1 ( 1 ) ( 2 ) ™3,1 "'3,2 P ) | l„(2) ( 3 ) ™4,1 ^4 ,2 ^4,3 O ^ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) " ^ , 1 "n,2 ™n,3 % , 4 ( n - 1 ) ™n,n-l ( 1 . 2 . 7 )

I n woorden: "De elementen m^^j van M b e s t a a n u i t de a b s o l u t e waarden van de m u l t i p l i k a t o r e n van Mj u i t de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 5 ) . De v e r g e l i j k i n g (1.2.6) gaat o v e r i n MA-n-l X = M B X = y M = B = n>i,j met n i i , j a ^ j ^ /a- • O bn 4 " met b-i = O a l s i > j . 0 . 2 . 8 ) a l s i > j a l s i = j e l d e r s De v e k t o r x i s e e n v o u d i g op t e l o s s e n u i t de v e r g e l i j k i n g (1.2.8) S t e l B x = z - > M z = y I - J ï, m i , j z j v o o r i = 1, 2, j = l Z i = Y i U i t de v e r g e l i j k i n g Bx = z v o l g t : ( 1 . 2 . 9 ) n X i = ( z i - E b i j x j ) / b i , i v o o r i = n , n- 1 , 1 (1.2.10) j = i+ l I n de v e r g e l i j k i n g e n (1.2.8) t/m (1.2.10) z i j n de elementen van de v e k t o r y numerieke waarden.

Z i j n de e l e m e n t e n van de v e k t o r y geen numerieke waarden, maar f u n k t i e s , dan w o r d t v o o r de o p l o s s i n g van x a l s v o l g t t e werk gegaan:

gegeven h e t s t e l s e l Ax = f ( x ) met

A = _{n ; X = x ] , X2, . . . .}

£ = x ] , X2, X n .

O p l o s s i n g : De v e k t o r x a l s een f u n k t i e van x

De v e k t o r , d i e de f u n k t i e £(x) v o o r s t e l t , i s t e s c h r i j v e n a l s : c i l g l ( x i , X 2 , . . Xn) + c i 2 g 2 ( x i , X 2 , . . x ^ ) . . . + c ] 5 g s ( x i , x 2 , Hx) = C 2 i g ] ( x | ,X23 . . . Xn) + C 2 2 g 2 ( x i , X 2 , . . Xf^) . . . + C 2 5 g g ( x i , X 2 , I I Cni'g] ( x ] ,X2, . . Xn) + c j 2 g 2 ( x i , X 2 , . . x ^ ) . . . + C r i s g s ( x i , X 2 , •Xn) • Xn) •Xn) f ( x ) = C l l C ] 2 ? 2 1 C 2 2 c i 5 C25 I - n l C n 2 _-ns g l ( x ] , X 2 , § 2 ( ^ 1 ' ^ 2 ' Xn) X n ) g s ( x i , X 2 , _Xn) Het s t e l s e l A x = f_(x) i s dus a l s v o l g t v o o r t e s t e l l e n ; A X = C y_ met A = a-^^j ^'^ ; x = x ] , X2, . . . . x^ en y = g l ( x i , X 2 , . . .Xn) , g 2 ( x ] ,X2, . • x^^) , g s ( x i , X 2 , . . . Xn) De o p l o s s i n g van de v e k t o r x g a a t a l s v o l g t : MB X = C y S t e l B x = z_ ^- M z _ = C y £ = Q y i - 1 q i , j = c i , j - S m i ^ i , q ^ ^ j v o o r i = 1, 2, . . k= 1 j = 1, 2, . . U i t de v e r g e l i j k i n g B jc = £ v o l g t B x = Q y X = O y met n °i,2 " ^ ' l i J " ^ O k , j ) / t i i , i v o o r i = n, n-1 k = i + l - 1 0 1 = 1 , 2 , ( 1 . 2 . 1 1 ) ( 1 . 2 . 1 1 ) ( 1 . 2 . 1 2 ) ( 1 . 2 . 1 3 )

8 -2. BESCHRIJVING VAN HET PROGRAmiA.

2_^j__Algemeen_^

Het programma l o s t op n v e r g e l i j k i n g e n met n onbekenden o f n v e r g e l i j k i n g e n met n+1 onbekenden, 2.1.1 Programma gegevens. a) T a a l : A l g o l - 6 0 . b ) Geheugen: s Ax = Hx^) ^ (n2 + n ( 3 + s ) ) x 8/JOOO k b y t e x Ax = y -> ( n ^ + 3 n ) K 8/1000 k b y t e x c ) R e k e n t i j d : 1/3 x ( n ^ + 30n2 - 5n - 27) x 0.00025 sec K d ) Naam v a n de p r o c e d u r e s : a ) PIVLU b) HTSUB c ) HTSUBF d) HÏSUBL e) LU K Voor n en s z i e h o o f d s t u k 2.2.4 e.v. 1 .2 D o e l . Het o p l o s s e n v a n x o f x u i t de v e r g e l i j k i n g e n : a) A X = £(x) d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n b ) A X = y_ y v a r i a b e l o f k o n s t a n t . ,3 Opzet. De programma's z i j n i n p r o c e d u r e vorm g e s c h r e v e n . Er z i j n 5 p r o c e d u r e ' s : 1) Procedure PIVLU 2) Procedure HTSUB 3) Procedure HTSUBF 4) Procedure LU 5) Procedure HTSUBL

Ad. J : De p r o c e d u r e PIVLU b e r e k e n t de m a t r i x An-1 v a n de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 5 ) en de m a t r i x M v a n de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) .

Ad. 2: De p r o c e d u r e HTSUB b e r e k e n t x v o l g e n s de v e r g e l i j k i n g e n ( 1 . 2 . 9 ) en ( 1 . 2 . 1 0 ) .

Ad. 3: De p r o c e d u r e HTSUBF b e r e k e n t de m a t r i x O, v o l g e n s de v e r g e -l i j k i n g e n (-l . 2 . 1 2) en ( ] . 2 . 1 3 ) , waarvoor g e -l d t x = O y, Ad. 4: Z e l f d e a l s 1 ) maar v o o r n-J v e r g e l i j k i n g e n met n onbekenden. Ad. 5: De p r o c e d u r e HTSUBL g e n e r e e r t de o p l o s s i n g x = s j + ASj2 • 2_j^2_De_organisatie van_het_grograinma_^

2.2.1 G e b r u i k t e methoden.

I n de p r o c e d u r e s PIVLU en LU i s g e b r u i k gemaakt v a n de methode CROUT. 2.2.2 F o r m u l e s .

Voor de f o r m u l e s g e b r u i k t i n de p r o c e d u r e s PIVLU, HTSUB, LU, HTSUBL en HTSUBF z i e h o o f d s t u k J.

2.2,3 Benodigde r a n d a p p a r a t u u r . Geen,

2.2.4 V e r k l a r i n g v a n de v a r i a b e l e n .

a) Procedure PIVLU (A,PK,PR,N,LAB). Symbool Eenheid O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g A = n n A = [ a i , j t o t rege n n 1 22Ö - De m a t r i x A v a n de v e r g e -l i j k i n g A x = f ( x ) o f Ax=y M = n n A = [ a i , j _ i = 2,3, j = 1,2, v a n a f r e . . . n ... i - 1 g e l 230 De m a t r i x M v o l g e n s de v e r g e l i j k i n g (1.2.8) B = j = 1,2,... n j = i , i + l . . n v a n a f r e g e l 230 De m a t r i x B v o l g e n s de v e r g e l i j k i n g (1.2.8) PK(1:N) Plaatsnummers v a n de kolommen na e v e n t u e l e k o l o m v e r w i s s e l i n g PR(1:N) Plaatsnummers v a n de r i j e n na e v e n t u e l e r i j v e r w i s s e l i n g n N - Formaat v a n de gegeven m a t r i x A

LAB L a b e l waarheen h e t programma

s p r i n g t , i n d i e n de m a t r i x a l s s i n g u l i e r w o r d t be-schouwd .

b) Procedure HTSUB (A,Y,PK,PR,N,X) Symbool Eenheid O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g M = m i . j _ _n n A = [ a i , j ] i = 1,2, . . n j = 1,2, .. i - 1 De berekende m a t r i x M v a n de v e r g e l i j k i n g (1.2.8) U i t v o e r v a n de p r o c e d u r e "PIVLU" B = i = 1,2, . . n j = i , i + l . . n De berekende m a t r i x B=A(-jj_]-) van de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) . U i t v o e r v a n de p r o c e d u r e "PIVLU" y = ' ' 1 Y ( l : N ) - Gegeven r e c h t e r l i d v a n de v e r g e l i j k i n g A x = y PK(1:N) - Plaatsnummers v a n de k o l o m men. U i t v o e r v a n de p r o c e -dure "PIVLU" PR(1:N) Plaatsnummers v a n de r i j e n . U i t v o e r v a n de p r o c e d u r e "PIVLU"

10

-b ) Procedure HTSUB (A,Y,PK,PR,N,X) v e r v o l g Symbool O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g n N - Formaat v a n de m a t r i x A X = r 1 1 X ( l : N ) - De gevraagde v e k t o r x v a n de v e r g e l i j k i n g A x = y ) Procedure HTSUBF (A,C,PK,PR,N,S,0)

Symbool Eenheid O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g M = n n i = 2,3, . . n j = 1,2, .. i - 1 De berekende m a t r i x M v a n de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) U i t v o e r v a n de p r o c e d u r e "PIVLU" B = n n i = 1,2, .. n j = i , i + l , . n — _{De berekende m a t r i x B = A ( n - l )} van de v e r g e l i j k i n g (1.2.8) C = s n C = s n - De m a t r i x C v a n de v e r g e -l i j k i n g (1.2.11) PK(1:N) Plaatsnummers v a n de k o l o m men. U i t v o e r v a n de p r o c e -d u r e : PIVLU" PR(1:N) Plaatsnummers v a n de r i j e n . U i t v o e r v a n de p r o c e d u r e "PIVLU" n N - Formaat v a n de m a t r i x A. s S - A a n t a l kolommen v a n de m a t r i x C. 0 = °i i _n s 0 = s n De gevraagde m a t r i x 0 v a n de v e r g e l i j k i n g Ax = f ( x i , X 2 , ... x ^ ) , waarvoor g e l d t X = 0 £ ( x i , X 2 , . . . X n ) P r o c e d u r e LU (A,PK,PR,N,K) Symbool Eenheid O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g A = n+1 n A = t o t reeë] • k n 220 - De m a t r i x A v a n de v e r g e -l i j k i n g A X = y M = n+1 n i = 1,2, .. n j = 1,2, .. i - I v a n a f r e g e l 230 De m a t r i x M v o l g e n s de v e r g e l i j k i n g (1.2.8) B = n+1 n i = j = 1,2, i , i + 1 . . n , ..n+1 - De m a t r i x B v o l g e n s de v e r g e l i j k i n g (1.2.8)

d) Procedure LU (A,PK,PR,N,K) v e r v o l g Symbool Eenheid O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g PK(1:N) - Plaatsnummers v a n de kolom-men . PR(1:N) - Plaatsnummers v a n de r i j e n . n N - A a n t a l r i j e n v a n de m a t r i x A K - A a n t a l kolommen v a n de m a t r i x A e) Procedure HTSUBL (A,Y,PK,PR,N,K,X1,X2)

Symbool Eenheid O m s c h r i j v i n g M a t h e m a t i s c h Programma Eenheid O m s c h r i j v i n g M = n + j n i = 1,2, . . n j = 1,2, . . i - 1 - _{De berekende m a t r i x M v a n de} v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) B = b i i _n n+1 i = 1,2, .. n j = i , i + l , . . n + 1 — _{De berekende m a t r i x B v a n} de v e r g e l i j k i n g (1.2.8) PK(1:N) - Plaatsnummers v a n de kolommen. U i t v o e r v a n de p r o c e -d u r e "LU" PR(1:N) - _{Plaatsnummers v a n de r i j e n .} U i t v o e r van de p r o c e d u r e "LU" n N - _{Z i e p r o c e d u r e "LU"} K - _{Z i e p r o c e d u r e "LU"} b _Xl - _{De s t e u n v e k t o r v a n de} op-l o s s i n g X = b ] + Ac] c _X2 - _{De r i c h t i n g s v e k t o r v a n de} o p l o s s i n g X = b [ + X C2 2 ^ 3 _ B e s t a n d s o r g a n i s a t i e _ ^ 2.3.1 G e b r u i k v a n de p r o c e d u r e s .

Aan de d e k l a r a t i e s v a n h e t programma moet, a f h a n k e l i j k v a n w e l k e p r o c e d u r e s men w i l g e b r u i k e n , worden t o e g e v o e g d :

'PROCEDURE' PIVLU; 'CODE'; 'PROCEDURE' LU; 'CODE' ; 'PROCEDURE' HTSUB; 'CODE'; 'PROCEDURE' HTSUBF; 'CODE'; 'PROCEDURE' HTSUBL; 'CODE';

De p r o c e d u r e s s t a a n i n de s t a n d a a r d b i b l i o t h e e k SBAL.LIBCW v a n de " C e n t r a l e Werkgroep Wiskunde" v a n de a f d e l i n g d e r Scheepsbouw- en Scheepvaartkunde.

12

-2.3.2 G e b r u i k s m o g e l i j k h e d e n . K o m b i n a t i e :

1 ) PIVLU en HTSUB v o o r h e t o p l o s s e n v a n h e t s t e l s e l Ax = y ( n v e r g e -l i j k i n g e n met n onbekenden) . i€ ~ ~

2) PIVLU en HTSUBF v o o r h e t o p l o s s e n v a n h e t s t e l s e l Ax = f ( x i , X 2 , . . . x ^ ) (n v e r g e l i j k i n g e n met n onbekenden) K 3) LU en HTSUBL v o o r h e t o p l o s s e n v a n h e t s t e l s e l Ax = y ( n v e r g e -l i j k i n g e n met n+1 onbekenden: -l i j n o p -l o s s i n g ) . a~ K Opmerking: De p r o c e d u r e PIVLU o f LU w o r d t v o o r e e n z e l f d e s t e l s e l Ax = y o f Ax = f _ ( x i , x 2 , . . . .x^) eenmaal opgeroepen, t e r w i j l HTSUB, HTSUBF ö"f HTSUBL meerdere k e r e n a c h t e r e l k a a r kunnen worden opgeroepen, a l s h e t r e c h t e r l i d v a r i a b e l i s . 2.3.3 I n v o e r . 1 ) Procedure PIVLU z i e 2.2.4 p u n t a. I n v o e r : A(/1:N,1:N/) N U i t v o e r : A(/1:N,1:N/) w a a r i n A ( / i , j / ) = m i j u i t de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) v o o r i = 2 , 3 , . . . . N e n j = l , 2 , A ( / i , j / ) = b i , j u i t de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) v o o r i = l , 2 , . . . . N e n j = i , i + 1 , PK(/1 :N/) \ -r , , P R ( / l : N / ) ] ^ ' " ^ ^ g ^ ^ ^ ^ ^ ^ y 2) Procedure HTSUB z i e 2.2.4 p u n t b. I n v o e r : De berekende m a t r i x A u i t de p r o c e d u r e PIVLU Y(/1:N/) PK(/1 :N/) \ ^ ^ PR(/l:N/) H'^teger A r r a y PR(/1:N/) N U i t v o e r : X ( / l : N / ) 3 ) Procedure HTSUBF z i e 2.2.4 p u n t c. I n v o e r : De berekende m a t r i x A u i t de p r o c e d u r e PIVLU C(/l:N,1:S/) PK(/1:N/) } ^ ^ PR(/l:N/) [ I n t e g e r A r r a y N S U i t v o e r : 0 ( / l : N , 1 : S / ) 4 ) P r o c e d u r e LU z i e 2.2.4 p u n t d. I n v o e r : A(/1:N, 1:N+1/) N K(=N+1) U i t v o e r : A(/1:N,1:N+1/) w a a r i n : A ( / i , j / ) = m i , j u i t de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) v o o r i = 2 , 3 , . . . N e n j = 1,2, . . . i - 1 A ( / i , j / ) = b i j u i t de v e r g e l i j k i n g ( 1 . 2 . 8 ) v o o r i = 1,2, . . . N en j = i , i + l , . . N + 1 5 ) Procedure HTSUBL z i e 2.2.4 p u n t e. I n v o e r : De berekende m a t r i x A u i t de p r o c e d u r e LU. Y(/1:K/) P R( / ! ; N ^ ) } ^ " ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ N K U i t v o e r : x j = X I ( / l :K/) en X2 = X 2 ( / l : K / ) O p l o s s i n g : £ = X] + A X2

2.4 L i s t i n g s van de p r o c e d u r e s . ' P R O C E D U R E • P I V L U ( A , P K , P R , N , L A B ) ; • V A L U E ' N ; ' I N T E G E R ' N ; ' I N T E G E R ' ' A R R A Y ' P K , P R ; ' A R R A Y ' A ; ' L A B E L ' L A B ; • B E G I N " I N T E G E R ' l , J , K , C , D ; ' R E A L ' G , E , D E T ; ' F O R ' I := 1' S T E P '1' U N T I L ' N ' D O ' P R ( / I / ) : = P K ( / I / ) : = l ; D E T: = 1 ; ' F O R ' K : = l ' S T E P '1' U N T I L ' N- 1' D O ' ' B E G ! N ' G : = A ( / K , K / ) ; C : = D : = K ; ' F O R ' I : = K ' S T E P '1' U N T I L ' N ' D O ' • F0R ' J : = K' S T E P '1' U N T I L ' N ' D O ' ' I F ' A B S ( A ( / I , J / ) ) > A B S ( G ) ' T H E N ' ' B E G I N ' G : = A ( / I , J / ) ; C : = I ; D : = J ; ' E N D ' ; • I F ' C ^ = K ' T H E N ' ' B E G IN " C O M M E N T ' R I J V E R W I S S E L I N G ; ' F O R ' I: = 1' S T E P' 1' U N T I L ' N ' D O ' ' B E G ! N ' E : = A ( / K , l / ) ; A ( / K , l / ) : = A ( / C , I / ) ; A ( / C , I / ) : = E ; ' E N D ' ; E : = P R ( / K / ) ; P R ( / K / ) : = P R ( / C / ) ; P R ( / C / ) : = E ; ' E N D ' ; ' I F ' D ^ = K ' T i - I E N ' ' B E G I N " C O M M E N T ' K O L O M V E R W I S S E L I N G ; ' F O R ' I: = 1' S T E P' 1' U N T I L ' N ' D O ' ' B E G I N ' E : = A ( / I , K / ) ; A ( / I , K / ) : = A ( / I , D / ) ; A ( / I , D / ) : = E ; ' E N D ' ; E : = P K ( / K / ) ; P K ( / K / ) : = P K ( / D / ) ; P K ( / D / ) : = E ; ' E N D ' ; ' F O R ' I : = K+ 1' S T E P '1' U N T I L ' N ' D O ' ' B E G I N ' A ( / l , K / ) : = A ( / l , K / ) / A ( / K , K / ) ; ' F O R ' J : = K+ 1 'S T E P '1' U N T I L ' N ' D O ' A ( / l , J / ) : = A ( / I , J / ) - A ( / l , K / ) * A ( / K , J / ) ; ' E N D ' ; ' I F ' A B S ( A ( / K , K / ) ) < ' - 3 0 ' T H E N ' ' B E G I N " I N T E G E R ' K K ; ' F O R ' K K : = K ' S T E P '- 1' U N T I L '1' D O ' D E T : = D E T * A ( / K K , K K / ) ; ' I F ' A B S ( D E T X ' - 3 0 ' T H E N ' ' G O T O ' L A B ; ' E N D ' ; ' E N D ' ; ' I F ' A B S ( A ( / K , K / ) ) < ' - 3 0 ' T H E N ' ' B E G I N ' ' I N T E G E R ' K K ; ' F O R ' K K : = K ' S T E P' - 1' U N T I L ' l ' D O ' D E T : = D E T * A ( / K K , K K / ) ; ' I F ' A B S ( D E T X ' - 3 0 ' T H E N " G O T O ' L A B ; ' E N D ' ;

14 -' r p . n r E n i i R [ : -' i i T s i i B ( A , Y , P -' c , p p , r ! , y ) ; ' V A L U E ' M ; ' APNRAY ' A , X , Y ; ' I M T E n F R ' ' A P R A Y ' P ! ' , Pr^; ' I f ' T E G E P ' ? ' ; ' B E G I U ' ' | M T F G E R M , P ; ' A R R A Y ' Z ( / 1 : | I / ) ; ' R E A L ' ' P R O C E n i l R r ' I f T P O P ( ^ , A , X , Y ) ; ' V A I l ' F ' A , n ; ' I " T E G F R ' P, A , R ; ' R E A L ' y , Y ; ' R F G I I " ' R F A L ' R ; R : = 0 ; ' F O R ' R: = A ' . ^ T F R ' 1 ' ü f ' T I I ' R ' R O ' R : = r * Y + R ; i : ' P R n r " : = ^ ; ' F I I P ' P P n r F P I ' R F I M P R O P ; ' F n R ' , ' : = l " ^ T F P ' l ' i ' r ' T I ' I ' ' p n ' Z ( / . J / ) : - Y ( / P R ( / . ! / ) / ) - I M P R O n C P , ! , .1- 1 , A ( / . . l , r ^ / ) , 7 . ( / P / ) ) ; ' F 0 R ' . l : = M ' S T F P ' - 1 ' I ' t i T I L ' 1 ' P O ' X ( / p : ' . ( / ' ) / ) / ) : = ( Z ( / . ! / ) - I M P P O P ( P , , l + l , ^ ' , ^ ( / . l , P / ) , X ( / P ! C ( / ^ / ) / ) ) ) / M / . l , . ' / ) ' E M P ' P P n r F P M P F l I E E r ! Ff' T F R U n r . l ' R . R T I T I ' T I F ;

0 0 0 5 0 OOOGO 0 0 0 7 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 OOlhO 0 0 1 5 0 OOIGO 0 0 1 7 0 ' P R O C E n i I R E ' !1TSUBF( A , r , PK, PP, V., S , n ) ; ' V A L U E ' r ! , S ; ' APPAY ' A , P , 0; ' r' T E G E P ' ' APR AY ' P I ' , Pr^; ' 1 ' ' T F C E R ' U , • ' B E G I U ' ' I M T E G E P ' l , J , P ; ' A P ^ A Y ' n ( / i : i ; .'^Z ) ; ' R E A L ' ' P P O r r n U R E ' I U P P n P ( P, A , n , X , Y ) ; ' V A L I ' P ' A^ R . ; ' I " T E r P R ' P, A , R; ' R E A L ' > ' , Y ;

' P E n I • ! ' ' REAL ' P ; R : = 0; ' FOP ' P : = A ' R T E ' 1' UUT ! ' ' R ' ' n . = V.;,Y + R; l vpr^np : = R

' FfiP ' P R O r E P U R F I.^'PRGP; ' F 0 R ' > ! : = 1' . R T E P' 1' L ' I ' T I L' R ' P n ' ' R F G I ' i ' ' F P R ' I : = 1' RTEP ' 1' U'IT ! L ' : " PO ' n ( / | , , , ! / ) : r.r ( / n n ( / , / ) ^ , , / ) _ I f'PROP ( P, 1 , I - 1 , A ( / ! , P/ ), n ( / R, , 1 / ) ) ; ' F O R ' I : = r i ' S T E P ' - l ' U M T I ! . ' 1' P O ' n( / r^ r , ( / l / ) , l / ) : = ( " ( / 1 , , ! / ) -I U P R O P C P , l + l , i ' , A ( / l , P / ) , n ( / R r ( / R / ) , , l / ) ) ) / A ( / -I , -I / ) ; I [" f I p ' • ' F U P ' P P O C E P U P F U T R U R F ; (

16 -0 -0 -0 1 -0 ' P R O C E D L ' R E ' I . r C A , P K , P P , I ' , K ) ; 0 0 0 2 0 ' V A L I ' E ' N , K ; ' I f ' T E C E P ' N , K; ' I f T E O E R ' ' A R R A Y ' P K , P R ; ' A R R ^ Y ' A ; 0 0 0 3 0 ' R E n n : ' ' I Ï ' T E G E R ' I , J , K ! ' , , r , n ; ' R r - , / \ L ' r , E ; OOOftO ' P O R ' 1 : = l ' 5 T E P ' l ' U N T I ! . ' r i ' P 0 ' P R ( / ! / ) : - ! ; 0 0 0 5 0 ' P O R ' I : = l ' S T E P ' l ' l i r i T I I . ' l ' . ' p n ' n K . ( / l / ) : r . | ; 0 0 0 6 0 ' P O R ' K K : = 1 ' R T E P ' 1 ' l I N T I L ' ü - 1 ' P n ' 0 0 0 7 0 ' R E G I N ' G : = A ( / K K , K K / ) ; G : = P : = K K ; 0 0 0 8 0 ' F O R ' I : = K K ' S T E P ' I M ' M T I I . ' r ' ' ' P n ' 0 0 0 9 0 ' F O R ' J : = K K ' RTEP ' 1 ' l i r i T I I . ' K ' p n ' ' I F ' ARR (A ( / i , , ! / ) ) > A n P( G ) ' T I I F M ' 0 0 1 0 0 ' R . F G i r " G : = A ( / l , J / ) ; G : = l ; P : = . i ; 0 0 1 1 0 ' E f l P ' ; 0 0 1 2 0 • I F ' r - = K K ' T l ! E M ' ^ ]. 3 O • P. F O I r " ' r O f 1 f. 1F r! T ' R I >! V F R V,' I R R F L. I M G ; l.AkO ' F O P ' I : = l ' R T F P ' l ' l ) r i T I ! . ' K ' P O ' 0 0 1 5 0 ' B E G i r i ' F : = A ( / K K , l / ) ; A ( / K K , ! / ) : - A ( / r , I / ) ; A ( / r , l / ) : = F ; 0 0 1 6 0 ' EMP ' ; E : = PR ( / K K / ) ; PR ( / K K / ) : = P P ( / r / ) ; R ' ' ( / r / ) : - F ; 0 0 1 7 0 ' F f l P ' ; ' I F ' p - ^ - K K ' T Ü F I ' ! ' 0 0 1 8 0 ' B E G I r i " COMMENT' K O i n M V E R K ' l R R E l . | ! ' G ; 0 0 1 9 0 ' P O R ' I : = l ' R T E P ' l ' n r ! T I L ' f i ' P O ' 0 0 2 0 0 ' BEG I f " E : = A ( / I , K K / ) ; A ( / I , K I ' / ) : = A ( / I , P / ) ; A ( / I , P / ) : - E ; 0 0 2 1 0 ' E N P ' ; E : = P K ( / K K / ) ; P K ( / K K / ) : = P K ( / n / ) ; P K ( / P / ) : = F ; 0 0 2 2 0 ' E N P ' ; 0 0 2 3 0 ' F O R ' I : = K K + l ' S T E P ' l ' U f ! T ! L ' N ' P O ' 0 0 2 U 0 ' B E G I 1 ' ' A ( / I , K ! 7 ) : = A ( / I , K K / ) / A ( / K K , K K / ) ; ' FOR • , ! : = K ' ' + 1 ' R T F P ' 1 ' HMT I I ' K 0 0 2 5 0 ' PO ' A ( / I , . ! / ) : = A ( / I , . ! / ) - A ( / I , K K / ) -.vA ( / K K , . ! / ) ; 0 0 2 6 0 ' E N P ' ; 0 0 2 7 0 ' F N P ' ; 0 0 2 8 0 ' E N P ' P R O C E P U R E H ' ;

1—» l-> 1—' I-' 1-» 1—' H-* O O O O O O O Cl 4^ ro 1-» O oo _CT ro o O O O O O O O O O o O O ^ -- n ca -3 - < X O O - rs5 i-i — "3 T >< r s — i - " 2 -Q - u ^ II "3 i _ ^ - 3 C_ '-^ r ^ > -" n !—' - n 3 3 ::3 c 73 - " 3 ^ — 7"; "u — II ^ ^ II co ^ '-^ „ •) rn - j m -3 •• ^ -3 II ^ -I O l - l : — I N • ^ • ^ r:i ro rz rz H -1 ^ — — 3 r -C3 m — 3 "•3 ,r: m rn > > ru • 3 -3 ro •3 r 73 3 -T ::r3 •• r r i II > " 3 r -73 ro O -.< ~ - -j -< -3 3 3 3 2 .5 C3 < -a m > 73 ' O !— O — - O r;: m m - - 73 - "O — ?- ra :7: rn H T I -n ;.-3 — 3^ H m 10 ;3 > — - 7"; C3 3 3 73 -73 3 Ir> II ^ > 33 > - ^ -3 > > - 3 -< > >" 3 -< 3 :.3 - 7-:

> >^

-

-

-

>