Wpływ sprężenia cięgna zewnętrznego na ugięcia i naprężenia dwutrapezowych dźwigarów z drewna i płyt pilśniowych o przekroju skrzynkowym

Seria: B U D O W N IC T W O z. 93 N r kol. 1514

K rzysztof ŚLIW KA*

P olitechnika S zczecińska

W PŁYW SPRĘŻENIA CIĘGNA ZEWNĘTRZNEGO NA UGIĘCIA I NAPRĘŻENIA DWUTRAPEZOWYCH DŹWIGARÓW Z DREWNA I PŁYT PILŚNIOWYCH O PRZEKROJU SKRZYNKOWYM

S treszczen ie. W referacie wyprowadzono w zory na naprężenia normalne i ugięcia dwutrapezowych dźwiga­

rów o przekroju skrzynkowym (z pasami z drewna i ściankami z płyt pilśniowych) w yw ołane wstępnym spręże­

niem poprzez układ zewnętrznych cięgien stalowych. Wzory wyprowadzono metodami wariacyjnymi opierając się na funkcjonale Lagrange’a. Przeprowadzono analizę porównawczą w ielkości naprężeń i ugięć dźwigarów uzyskanych na drodze teoretycznej i badań doświadczalnych.

EFFECT OF THE STRING’S COMPRESSION ON THE DEFLECTION AND STRESS OF THE BITRAPEZE GIRDERS OF THE BOX CONSTRUCTED OF WOOD AND FIBREBOARD

S u m m ary. The formulae were derivated in the lecture the for the calculation o f the normal stresses and de­

flections o f the bitrapeze girders (with wooden flanges and fibreboard sheeting) induced by precompression through the outer steel strings. The formulae were derivated by the variational methods basing on the Lagrange’s functional. Comparative analysis o f the stress value and deflection o f a girder calculated theoretically and ob­

tained experimentally has been performed.

1. W prowadzenie

W e w spółczesnych konstrukcjach drew nianych dąży się w coraz w iększym stopniu do za­

stępow ania drew na naturalnego czy klejonego w arstw ow o tw orzyw am i zam iennym i, najczę­

ściej m ateriałam i drew nopochodnym i takim i, ja k sklejka, płyty w iórow e o ukierunkow anych w łóknach OSB , tw ardym i i bardzo tw ardym i płytam i pilśniow ym i, płytam i M D F i innymi.

N ależy przy tym je d n a k pam iętać, że m ateriały te charakteryzują się mniej korzystnym i pa­

ram etram i sprężysto-w ytrzym ałościow ym i, co pow oduje, że należy je stosować w mniej w y­

tężonych strefach przekroju poprzecznego.

* O piekun naukow y: Prof. dr hab. inż. Zbigniew M ielczarek.

długości o kształcie trapezow ym dw uspadow ym . Pasy przekrojów skrzynkow ych zostały wy­

konane z drew na jednolitego, a ścianki z tw ardych płyt pilśniow ych. D źw igary zostały w zm ocnione układem zew nętrznych cięgien stalow ych z dw om a słupkami.

2. Cel i program pracy

B ezpośrednim celem pracy było określenie na drodze teoretycznej w pływ u sprężenia m ontażow ego cięgna na w ielkość naprężeń i odkształceń dźw igara, a następnie dokonanie w eryfikacji dośw iadczalnej w yprow adzonych wzorów. W ykonując tego typu konstrukcje w prow adza się bow iem w stępne sprężenie konstrukcji, które pow oduje, że w gotowym , ale jeszcze nie obciążonym dźw igarze w ystępują naprężenia w ew nętrzne, które zm ieniają rozkład i w ielkość naprężeń pow stałych na skutek obciążenia dźwigara. Istnieje zatem potrzeba po­

znania rzeczyw istego rozkładu naprężeń norm alnych w przekrojach dźw igara oraz je g o de­

form acji, w yw ołanych wstępnym , nawet niewielkim , sprężeniem.

3. Wyprowadzenie wzorów teoretycznych z twierdzenia Lagrange’a

W fazie sprężania dźw igar pracuje ja k o belka w olnopodparta obciążona siłą w yw ołującą ściskanie z w yboczeniem oraz siłami poprzecznym i przekazyw anym i przez słupki pow odują­

cymi zginanie. Jest to przypadek statycznie w yznaczalny. Znając siłę ściskającą w dowolnym przedziale cięgna m ożna z rów nań równowagi w ęzłów (m iejsc połączeń cięgna ze słupkam i) obliczyć pozostałe wartości sił w słupkach oraz siłę ściskającą belkę. Schem at analizow anego ustroju przedstaw ia ry s.l.

Rys. 1.

Fig. I.

O bliczenia w ykonano m etodam i w ariacyjnym i opierając się na funkcjonale L agrange’a, który dla analizow anego przypadku m a postać

n

P ierw szy człon w zoru (1) określa energię p o tencjalną układu, drugi pracę sił zew nętrznych.

Po przekształceniach funkcjonał m a postać:

2>EJ

~2

21 pT 21 p

n = J — i [ w "(x)]2d x - ^ Q kw (x k ) - J - [ w ' ( x ) ] 2dx

(2)

w którym pierw sze w yrażenie, ja k i we w zorze (1), określa energię potencjalną układu J j j O d Y , która przy uw zględnieniu naprężeń a x od zginania [3] [4] oraz po podstaw ieniu

M (x ) = E J yw " (x )m a postać:

2E

M (x) ^{21 P T}

dV = J — -[w " (x )]2 dx

Drugi człon w zoru (2) określa pracę sił poprzecznych (od sił skupionych) L, = X Q kw (x J

k trzeci pracę siły podłużnej

L 2 = J ^ [ w ' ( x ) r d x o ^

Siły Qk = f(S) i P = f(S) w yrażam y w funkcji siły sprężającej w cięgnie S w g r y s .l .

(3)

(4)

(5)

gdzie: b a 3 p 12 E„ 12- + ab

f , \2

h P a

2 2 ⁽⁹⁾

g E :

A = —— tg a —

6 E J„

(

)

( 11)

(12) Rys. 2.

Fig. 2.

B = (f l ^ 3hptg a + ^ abtg2a)' r

C = ( - — 3 h 2 tg 2 a + abh t g a - a 2b t g a ) —

6 E d p J p

Ed - m oduł sprężystości d r e w n a , E s - m oduł sprężystości m ateriału drew nopochodnego h p-w y so k o ść dźw igara na podporze, a - k ą t pochylenia pasa górnego

oraz przyjm ując, że funkcja f(n) w yraża się w zorem

f (n ) = ■“ [(“ l)n+' f n( n ) + f " ( n ) ] + [ ( - l ) " f p( n ) + f p(n)]

w którym

f P(n ) = 1

— + — + — + :

2 4 6

- + •— + ---+ -

2 4 6

A l3 1 i Cl B I2 3Al --- + —^ + —— + -

8 / \u n 2 n

A ln f B I2 3A13 !

_j_ 1

8 TC2 2k2 n 2

1 6A1 1

(13)

(14)

(15)

a funkcja f(n,m ) w zorem

f (n ,m ) = 412 (n + m ) 2 J t2

n + m / \

( - \)~1~ (3 A l2 + 2B1 + C j - C 41

161 (n + m )4jt 4

( - l ) 2 6A - 6 A 161 (n - m )47t4

(n - m ) 2 J t2

' n - m

( - l ) T 6 A - 6 A

/ V n - m / \

( - l ) ~ ( 3 A l 2 +2B1 + C) - C

(16)

gdzie: m, n num ery w spółczynników funkcji linii ugięcia

otrzym ujem y funkcjonał w postaci

1614 n * m

(17)

Qk> X k , P wg rys. 1.

W spółczynniki aj, a2,...a j,...a „ funkcji linii ugięcia belki obliczam y m etodą R itza z równań

W ten sposób m ożem y ułożyć n równań z n niew iadom ym i, z których w yznaczam y po­

szczególne w artości aj.

W zapisie m acierzow ym układ rów nań m a postać

gdzie [A] je s t m acierzą w spółczynników w ystępujących przy poszczególnych am plitudach aj funkcji linii ugięcia, [a] m acierzą am plitud aj, [Aw] m acierzą w yrazów wolnych. Znając linię ugięcia belki m ożem y obliczyć m om enty zginające w dow olnym przekroju belki. Znając m om enty zginające oraz siłę norm alną w belce m ożem y określić naprężenia norm alne w bel­

ce. W yrażając siły poprzeczne Q k; siłę podłużną P w funkcji siły sprężającej S w cięgnie ukośnym , w yprow adzono w zory n a m aksym alne naprężenie norm alne f(S) w drew nie i w płycie pilśniow ej oraz ugięcie y(S) w przekroju położonym w środku rozpiętości belki:

- naprężenia w drew nie w M P a , S w kN

sin — x

(19) (18)

[A ][a]=[A w] (20)

f(s ) = 9.58— + 392.526

v ’ 137

- naprężenia w płycie pilśniow ej w M P a , S w kN

S (21)

932.090- S

f(S )= 9.58— +87.228

v ’ 616

ugięcie w cm , S w kN

S (22)

932.090- S

(23)

B adaniom poddano dźw igar klejony o przekroju skrzynkow ym zm iennym na długości o pasach z drew na i ściankach z płyt pilśniow ych tw ardych. G eom etria ustroju i w ym iary prze­

kroju poprzecznego dźw igara podano na rys. 3. Dźw igar został w zm ocniony cięgnem stalo­

wym, przekazującym obciążenie za pośrednictw em dwóch słupków . N aprężenie cięgna wy­

w oływ ano poprzez dokręcanie nakrętek um ieszczonych przy czole dźwigara. W ielkość siły kontrolow ano za pom ocą tensom etrów elektrooporow ych połączonych z m ostkiem typu Hot- tingera. U gięcia dźw igara m ierzone były za pom ocą czujników zegarow ych o dokładności 1/100 mm, a deform acje liniowe za pom ocą czujników tensom etrycznych typu M ayes Demec przykładanych do czopików naklejonych w środku rozpiętości dźwigara.

Poniżej podano w ykresy zależności pom iędzy m aksym alnym i naprężeniam i w drew nie i w płycie pilśniow ej oraz ugięciem belki w środku rozpiętości a siłą sprężającą w cięgnie uko­

śnym.

N a rysunku 4 a podano 2 w ykresy zależności pom iędzy naprężeniam i w drew nie a siłą sprężającą w ynikające z badań dośw iadczalnych. Jeden przy przyjęciu norm ow ego modułu sprężystości drew na Em, drugi Eexp przy przyjęciu modułu sprężystości uzyskanego z badań pasów przekroju w ykonanych przed zespoleniem belki. Poniew aż przy sile S = 22,90 kN stal w chodzi w obszar plastyczny, to w badaniach dośw iadczalnych obszar powyżej tej wielkości pom inięto, gdyż w prow adzenie większej siły prow adziłoby do rozerw ania pręta lub zniszcze­

nia belki w w yniku zbyt dużego naciągu i spow odow anego tym naprężenia w drewnie prze­

kraczającego dopuszczalne w ytrzym ałości obliczeniow e tego m ateriału. Stąd w ykresy na rys.

4a,b,c o bejm ują tylko zakres naciągu cięgna do 24 kN.

Rys. 4.

Fig. 4.

Teoretyczny i doświadczalny wykres zależności pomiędzy siłą sprężającą a maksymalnymi naprężęniami normalnymi f(S) w drewnie w przekroju położonym w środku rozpiętości belki

b A «S)MPo

I I I 1 I I I---

0 3 6 S 12 15 18 21 24 S ^

Teoretyczny i doświadczalny wykres zależności pomiędzy siłą sprężającą a maksymalnymi naprężęniami normalnymi f(S) w płycie pilśniowej w przekroju położonym w środku rozpiętości belki

Teoretyczny i doświadczalny wykres zależności pomiędzy siłą sprężającą a ugięciem belki w środku rozpiętości belki

5. Wnioski

N a podstaw ie zrealizow anej pracy m ożna w yciągnąć następujące wnioski:

1. W artości ugięć w środku rozpiętości dźw igara uzyskane z obliczeń teoretycznych i badań dośw iadczalnych ró żn ią się średnio o 10%. Różnice za w ierająsię w granicach od 3-5-19%.

2. W artości naprężeń w drew nie w przekroju położonym w środku rozpiętości belki uzyska­

ne z obliczeń teoretycznych i badań dośw iadczalnych przy przyjęciu norm owej wartości

kroju położonym w środku rozpiętości dźw igara, naprężenie rów ne w ytrzym ałości obli­

czeniow ej drew na na ściskanie (RdC = 11,5 MPa).

5. Siła sprężająca o w ielkości S = 26,17 kN w yw ołuje ugięcie (odw rotnego znaku) o wielko­

ści 1/300.

6. U zyskane w yniki są zbliżone do rezultatów badań dźw igarów o analogicznej konstrukcji ze ściankam i ze sklejki [2]. W tam tych badaniach różnice m iędzy w ielkościam i uzyska­

nym i z badań dośw iadczalnych i obliczeń teoretycznych w ynosiły odpow iednio dla ugięć średnio 4,6% i zaw ierały się w granicach od 1,6+13%, a dla naprężeń w drewnie przy m odule sprężystości z badań średnio 14% i w granicach od 6+23%.

7. W yprow adzone w zory teoretyczne odniesione do konstrukcji drew nianych pozw alają na analizę statyczną belek drew nianych o stałym przekroju, belek drew nianych o zm ien­

nym przekroju, belek z drew na i m ateriałów drew nopochodnych o przekroju skrzyn­

kow ym lub dw uteow ym stałym i zm iennym na długości.

8. W chwili obecnej prowadzone są badania pod obciążeniem zewnętrznym .

LITER A TU R A

1. M ielczarek Z.: Budow nictw o drewniane. Arkady, W arszaw a 1994.

2. M ielczarek Z. Śliw ka K. A naliza stanu naprężeń i odkształceń dźw igarów o zm iennym przekroju zespolonych z drew na i sklejki sprężonych układem zew nętrznych cięgien sta­

lowych. B udow nictw o i Inżynieria Środowiska. M iędzynarodow a V K onferencja N auko­

w a - R zeszów 2000.

3. Piechnik S.: W ytrzym ałość m ateriałów. PW N, W arszaw a - K raków 1978.

4. T im oshenko S.: T eoria stateczności sprężystej. A rkady, W arszaw a 1963.

5. N orm a PN -81/B -03150. K onstrukcje z drew na i m ateriałów drew nopochodnych. O blicze­

nia statyczne i projektowanie.

Recenzent: Prof, dr hab. inż. R om uald Switka

A b s tr a c t

The form ulae w ere derivated in the lecture the for the calculation o f the norm al stresses and deflections o f the bitrapeze girders (with wooden flanges and fibreboard sheeting) in­

duced by precom pression through the outer steel strings. The form ulae were derivated by the variational m ethods basing on the L agrange’s functional. Com parative analysis o f the stress value and deflection o f a girder calculated theoretically and obtained experim entally has been perform ed.