ZESZYTY NAUKOWE P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J Seria: A UT O M A TY KA 2 . 1 1 0
____________ 1 9 9 3 N r k o l . 1 1 7 6
Jerzy Z a j ą c
P o l i t e c h n i k a K r a k o w s k a
PEWIEN A L G O R Y TM G E N E R O W A N IA WZORÓW R O Z K R O J U E LE M E N TÓ W P Ł A S K IC H AN APPROACH T O T H E S I N G L E S H E E T C U T T I N G S T O C K P R O B LE M
EIN A L G O R IT H M U S DER S C H N IT T M U S T E R - G E N E R IE R U N G VON F LA C H E L E M E N T E N
S t r e s z c z e n i e : W r e f e r a c i e z a p r e z e n t o w a n o a l g o r y t m g e n e r o w a n i a w zo r ó w r o z k r o j u d l a z a d a n i a r o z k r o j u r e g u l a r n y c h e l e m e n t ó w p ł a s k i c h , p r z y b r a k u o g r a n i c z e ń c o d o l i c z b y w y c i n a n y c h e l e m e n t ó w o r a z s p o s o b u r e a l i z o w a n i a p r o c e s u c i ę c i a . C e le m J e s t o p r a c o w a n i e t a k i e g o w z o r u r o z k r o j u , k t ó r y z a p e w n i m a k s y m a ln e w y k o r z y s t a n i e m a t e r i a ł u . Z a p r e z e n t o w a n o m e t o d ę m i e s z a n a C h e u r y s t y c z n o - d e t e r m i n i s t y c z n a J , n a b a z i e k t ó r e j o p r a c o w a n o e f e k t y w n y a l g o r y t m r e k u r e n c y j n y .
Summar v : T h e p a p e r d e a l s w i t h a s i n g l e s h e e t n o n - g u i 1 l o t i n e c u t t i n g s to c k u n b o u n d e d p r o b l e m . T h e o b j e c t i v e i s t o c u t a n u n l i m i t e d number o f r e c t a n g u l a r p i e c e s o u t o f r e c t a n g u l a r s t o c k s h e e t i n s u c h a w a y a s t o mi ni mi z e t h e w a s t e . A n e w m e t h o d t o s o l v e t h e p r o b l e m i s p r e s e n t e d . T h e m ethod i s a c o m b i n a t i o n o f h e u r i s t i c a n d e x a c t t e c h n i q u e s . A f a s t r e c u r s i v e a l g o r i t h m i s p r e s e n t e d .
Zu s a m m e n f a s s u n g ; D a s H a u p t z i e l b e im A u s s c h n e i d e n d e r r e g u l ä r e n F l a c h e l e m e n t e n i s t d i e m a x i m a le A u s n u t z u n g d e r W e r k s t o f f O b e r f l ä c h e . Um s o l c h e s Z i e l zu e r r e i c h e n , w i r d i n d i e s e m B e r i c h t d e n A l g o r i t h m u s d e r S c h n i t t m u s t e r - G e n e r i e r u n g v o r g e s t e l l t , o h n e d i e E i n s c h r ä n k u n g e n a u f d i e Zahl d e r E l e m e n t e n u n d A u s s c h n e i d e m e t h o d e zu b e r ü c k s i c h t i g e n . E s w i r d e i n e g e m i s c h t e , h e u r i s t i s c h - d e t e r m i n i s t i s c h e , M e t h o d e a n g e w a n d t und nach d i e s e r M e t h o d e w i r d e i n e f e k t i v e r , r e k u r r e n t e r A l g o r i t h m u s b e a r b e i t e t .
1. W stęp
P r o b l e m a t y k a o p t y m a l n e g o r o z k r o j u e l e m e n t ó w p ł a s k i c h s t a n o w i i n t e r e s u j ą c e w y z w a n i e d l a b a d a c z y p r a c u j ą c y c h w r ó ż n y c h d z i e d z i n a c h wiedzy. D u ż a l i c z b a m o ż l i w y c h z a s t o s o w a ń ^ a t a k ż e p o t e n c j a l n i e b a r d z o d u ż e ko rzy ści w y n i k a j ą c e z w ł a ś c i w i e r e a l i z o w a n e g o p r o c e s u r o z k r o j u s t a n o w i ą is t o t n y c z y n n i k p o t ę g u j ą c y z a i n t e r e s o w a n i e t ą p r o b l e m a t y k ą . W p r z e m y s ł a c h : p a p ie r n ic z y m , t e k s t y l n y m , o b u w n i c z y m , s z k l a r s k i m o r a z w w i e l u g a ł ę z i a c h przem ysłu m e t a l o w e g o , J a k n p .I s t o c z n i o w y , s a m o c h o d o w y c z y l o t n i c z y - p rocesy r o z k r o j u s t a n o w i ą p o d s t a w o w e o p e r a c j e t e c h n o l o g i c z n e . Z m n i e j s z e n i e zu ż y c ia m a t e r i a ł ó w p o p r z e z o p t y m a l n e p r o j e k t o w a n i e w z o r ó w r o z k r o j u stanowi p o d s t a w o w y c e l p r a c y t e c h n o l o g a . W e d ł u g d a n y c h z r o k u 1 9 8 3 z m n i e j s z e n i e w S t a n a c h Z j e d n o c z o n y c h o d p a d ó w p r z y r o z k r o j u b l a c h C p r z y z a ł o ż e n i u , ż e t y l k o p o ł o w a p r o d u k o w a n y c h b l a c h p o d l e g a p r o c e s o w i ro zk r o ju D j e d y n i e o 1 V* p o w o d o w a ł o b y o s z c z ę d n o ś c i p r z e k r a c z a j ą c e 1 0 0 b i l o n ó w d o l a r ó w .
I s t n i e j e w i e l e r ó ż n y c h s f o r m u ł o w a ń p r o b l e m u r o z k r o j u J e d n e g o p r o s t o k ą t n e g o e l e m e n t u d u ż e g o C a r k u s z a J n a s z e r e g e l e m e n t ó w m a łyc h C c z ę ś c i D . N a j i s t o t n i e j s z y m i c z y n n i k a m i o k r e ś l a j ą c y m i s f o r m u ł o w a n i e problemu s ą : k s z t a ł t i l i c z b a p o s z c z e g ó l n y c h t y p ó w c z ę ś c i C c h a r a k t e r y z u j ą c y c h s i ę t ą s a m ą g e o m e t r i ą D . s p o s ó b p r o w a d z e n i a p r o c e s u c ię c ia o r a z k r y t e r i a o c e n y u z y s k i w a n y c h r o z w i ą z a ń .
J e ż e l i c h o d z i o k s z t a ł t , t o w y r ó ż n i ć m o żna d w i e z a s a d n i c z e g r u p y c z ę S c i : - r e g u l a r n e C p r o s t o k ą t y 1>.
- n i e r e g u l a r n e C o k s z t a ł c i e d o w o ln y m D .
L i c z b a c z es. c i p o s z c z e g ć l n y c h t y p ó w m o że b y ć n a t o m i a s t : - o g r a n i c z o n a .
- n i e o g r a n i c z o n a .
D l a e l e m e n t ó w r e g u l a r n y c h i s t n i e j ą d w a z a s a d n i c z e s p o s o b y r e a l i z o w a n i a p r o c e s u r o z k r o j u :
- c i ę c i e g i l o t y n o w e C o d k r a w ę d z i d o k r a w ę d z i D . - c i ę c i e m e g i l o t y n o w e C s w o b o d n e J .
N a j c z ę ś c i e j w y k o r z y s t y w a n y m k r y t e r i u m , s ł u ż ą c y m d o o c e n y w z o r ó w r o z k r o j u , J e s t w i e l k o ś ć o d p a d u C w s p ó ł c z y n n i k w y k o r z y s t a n i a m a t e r i a ł u p o d l e g a j ą c y m a k s y m a l i z a c j i D. N i e j e s t t o k r y t e r i u m b e z w a d . g d y ż t r u d n o j e d n o z n a c z n i e o k r e S l i ć c o J u ż j e s t o d p a d e m a c o J e s z c z e n i e . N i e w y k o r z y s t a n a p o w i e r z c h n i a p ł y t y m o że b y ć b o w ie m z ł o ż o n a z w i e l u d r o b n y c h e l e m e n t ó w lub t e ż z k i l k u e l e m e n t ó w w i ę k s z y c h . R ó w n o c z e ś n i e u w z g l ę d n i e n i e i nnych a s p e k t ó w p r o c e s u c i ę c i a [ 2 3 ] p r o w a d z i ć m o że d o b a r d z i e j r a c j o n a l n e g o
2
p u n k t u w i d z e n i a e k o n o m ii k r y t e r i u m k o s z t o w e g o .
W l i t e r a t u r z e a n g l o j ę z y c z n e j i s t n i e j e k i l k a w y r a ż e ń o k r e ś l a j ą c y c h p r o b l e m a t y k ę r o z k r o j u , t j . exit t i n g s t o c k , p a r t s n e s t i n g , t r i m l o s s i layout p r o b l e m . L i t e r a t u r a z t e g o z a k r e s u . J a k k o l w i e k s t o s u n k o w o l i c z n a , r o z p a t r u j e z a g a d n i e n i e r o z k r o j u g ł o w n i e z t e o r e t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a . Z e w z g l ę d u n a z n a c z e n i e k o m e r c y j n e b a r d z o r z a d k o m o żna s p o t k a ć e f e k t y w n e i s k u t e c z n e a l g o r y t m y s ł u ż ą c e d o r o z w i ą z a n i a r z e c z y w i s t y c h problem ów o p t y m a l n e g o r o z k r o j u . W s z c z e g ó l n o ś c i d o t y c z y t o z a g a d n i e ń z elem entam i n i e r e g u l a r n y m i . S p o ś r ó d n a j b a r d z i e j z n a c z ą c y c h a r t y k u ł ó w pr z e g l ądcwych wymi e n i ć m o ż n a p r a c e C 83 i 93 C1 0 ] 1 1 7 ] £ 1 8 3 12 0 3 . I s t n i e j e b a r d z o s c is ł y z w i ą z e k p o m i ę d z y p r o c e s a m i r o z k r o j u a z a g a d n i e n i e m p a k o w a n i a . Proces p a k o w a n i a s t a n o w i b o w ie m z a g a d n i e n i e o d w r o t n e d o p r o c e s u r o z k r o j u . J e d n o c z e ś n i e p e w n e m e t o d y o p r a c o w a n e d l a r o z w i ą z a n i a z a d a n i a s z e r e g o w a n i a p r a c y p r o c e s o r ó w s t a n o w i ą b a z ę d o r c z w i ą z y w a n i a z a d a ń r o z k r o j u elem entów r e c u i a r n y c h .
2 p u n k t u w i d z e n i a z ł o ż o n o ś c i o b l i c z e n i o w e j p r o b l e m r o z k r o j u elem entów p ł a s k i c h J e s t p r o b l e m e m N P - z u p e ł n y m . D o J e g o r o z w i ą z a n i a s t o s u j e sl z z a r ó w n o m e t o d y dok ł a d n e f J a k i p r z y b l i ż o n e . D l a z a c a c n i e ć z elem entam i r e g u ł a r n y m i o p r a c o w a n o s z e r e g m et o d d o k ł a d n y c h . D o m i n u j ą metody o p t y m a l i z a c j i l i n i o w e j C p rog r a m o w a n ie l i n i o w e . c a l i ~ v i l e l i c z b o w e , z a g a d n i e n i e t r a n s p o r t o w e . f u n k c j e p l e c a k o w e , m e t c e v pr oęram owarua d y n a m i c z n e g o , p r z e s z u k i w a n i e d r z e w o r a z m e t o d y k o m b i n a t o r -;:zr>e. M e t o d v te s ą s k u t e c z n e j e d n a k g ł ó w n i e d l a p r o s t y c h s f o r m u ł o w a ń p r o c e s u r o z k r o ju C c i e c i e g i l o t y n o w e , n i e o g r a n i c z o n a l i c z b a c z e s c i p o s z c z e g ó l n y c h typ ó w Z n a c z n a w i e k s z c S ć m et o d d o k ł a d n y c h c h a r a k t e r y z u j e s i ę m a ł a e f e k t y w n o ś c i ą , a i c h z a s t o s o w a n i e d o p r o b l e m ó w p r a k t y c z n y c h j e s t o g r a n i c z o n e . P r z y dużej l i c z b i e e l e m e n t ó w l u b w p r z y p a d k u e l e m e n t ó w n i e r e g u l a r n y c h jedynyn-
Pewien a l g o r y t m g e n e r o w a n i a 1 7 1
skutecznym Ś r o d k i e m s ą m e t o d y h e u r y s t y c z n e l u b b a z u j ą c e n a h e u r y s t y c z n y m p r ze s zu k iw a n iu m e t o d y s z t u c z n e j i n t e l i g e n c j i .
V r e f e r a c i e p r z e d s t a w i o n o m e t o d ą g e n e r o w a n i a w z o r ó w r o z k r o j u d l a zadania r o z k r o j u z e l e m e n t a m i r e g u l a r n y m i C p r o s t o k ą t n y m i D p r z y z a ł o ż e n i u prostokątnego k s z t a ł t u a r k u s z a p o d l e g a j ą c e g o r o z k r o j o w i o r a z b r a k u ograniczeń c o d o l i c z b y c z ę ś c i p o s z c z e g ó l n y c h t y p ó w i s p o s o b u p r o w a d z e n i a procesu c i ę c i a . J a k o k r y t e r i u m o c e n y r o z w i ą z a ń p r z y j ę t o w i e l k o ś ć o d p a d u powstałego w p r o c e s i e r o z k r o j u , k t ó r y p o d l e g a ł b ę d z i e m i n i m a l i z a c j i . Zastosowano p o d e j S c i e m i e s z a n e d e t e r m i n i s t y c z n o - h e u r y s t y c z n e , n a b a z i e którego o p r a c o w a n o e f e k t y w n y a l g o r y t m r e k u r e n c y j n y .
2. P r z e g l ą d d o t y c h c z a s o w y c h r o z w i ą z a ń
A n a l i z u j ą c p r o b l e m a t y k ą o p t y m a l n e g o r o z k r o j u m a t e r i a ł ó w n a p o t k a ć m o żna kilka i s t o t n y c h p r o b l e m ó w , k t ó r e n a l e ż y r o z w i ą z a ć . J e d n y m z t a k i c h problemów j e s t z a g a d n i e n i e g e n e r o w a n i a w z o r ó w r o z k r o j u . P r o b l e m a t y k a generowania w z o r ó w r o z k r o j u , pom im o d u ż e j l i c z b y o c z y w i s t y c h z w i ą z k ó w z ogólnym z a g a d n i e n i e m r o z k r o j u , s t a n o w i sa m a w s o b i e o d r ą b n e z a g a d n i e n i e . Wśród m eto d s ł u ż ą c y c h d o g e n e r o w a n i a w z o r ó w r o z k r o j u w y r ó ż n i ć możemy metody d o k ł a d n e i p r z y b l i ż o n e . M e t o d y d o k ł a d n e u m o ż l i w i a j ą u z y s k a n i e r o zw ią zan ia o p t y m a l n e g o C r o z w i ą z a n i a c h a r a k t e r y z u j ą c e g o s i ą m a ksym a lny m w y ko rzystan iem m a t e r i a ł u J . M o ż l i w o S ć z a s t o s o w a n i a t y c h m e t o d d o ro zw ią zy w a n ia p r o b l e m ó w p r a k t y c z n y c h j e s t J e d n a k o g r a n i c z o n a z J e d n e j strony p r z e z s t o s o w a n i e w z a d a n i a c h p r a k t y c z n y c h d o d a t k o w y c h w a r u n k ó w c z y też k r y t e r i ó w o c e n y a z d r u g i e j s t r o n y p r z e z d u ż ą l i c z b ą c z ę ś c i w ystęp ują cych w w i ę k s z o ś c i p r a k t y c z n y c h z a d a ń . M e t o d y p r z y b l i ż o n e , c h o ć nie g w a r a n t u j ą u z y s k a n i a r o z w i ą z a n i a o p t y m a l n e g o , s ą J e d n a k ż e m n ie j wrażliwe n a m o d y f i k a c j e w m o d e l u o b l i c z e n i o w y m o r a z c h a r a k t e r y z u j ą s i ą większą s z y b k o S c i ą i m n i e j s z ą w r a ż l i w o ś c i ą n a l i c z b ą c z ą S c i w y s t ę p u j ą c y c h w p rob lem a c h p r a k t y c z n y c h .
Z a g a d n i e n i e a u t o m a t y c z e g o g e n e r o w a n i a w z o r ó w r o z k r o j u z e le m e n t a m i prostokątnymi b y ł o p r z e d m i o t e m z a i n t e r e s o w a n i a w i e l u a u t o r ó w . S z c z e g ó l n y wzrost z a i n t e r e s o w a n i a t ą p r o b l e m a t y k ą z a u w a ż y ć m o żn a p o o p u b l i k o w a n i u Pnąc G i i m o r e * a i G o m o r y ’ e g o C1 2 ] C1 3 3 C 14.3 C1 5 1 . W p r a c y C 153 z a p r o p o n o w a l i oni d w ie m e t o d y d o k ł a d n e , o p a r t e n a z a s a d z i e p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o , um o ż liw ia ją c e u z y s k a n i e o p t y m a l n y c h w z o r ó w r o z k r o j u p r z y z a ł o ż e n i u G ilo tyno w ego s p o s o b u p r o w a d z e n i a c i ą c i a o r a z b r a k u o g r a n i c z e ń c o d o l i c z b y części p o s z c z e g ć l n y c h t y p ó w . T o sa m o z a g a d n i e n i e r o z w a ż a ł H e r z w p r a c y 1163. Z a p r o p o n o w a ł o n b a r d z i e j e f e k t y w n y o d a l g o r y t m u i t e r a c y j n e g o algorytm r e k u r e n c y j n y o p a r t y n a m e t o d z i e p r z e s z u k i w a n i a d r z e w o r a z w y k a z a ł n ie s k u t e c z n o ś ć w n i e k t ó r y c h p r z y p a d k a c h d r u g i e g o a l g o r y t m u G i l m orę* a i Gomory ’ e g o . R ó w n i e ż B e a s i e y [ 3 1 z a p r o p o n o w a ł k i l k a a l g o r y t m ó w o p a r t y c h na z a s a d z i e p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o . J e d e n z a l g o r y t m ó w b ę d ą c y zm odyfikowaną C h e u r y s t y c z n a J w e r s j ą a l g o r y t m u o p t y m a l n e g o u m o ż l i w i a r° z w ią z y w a n i e w i ę k s z y c h p r o b l e m ó w r o z k r o j u n i ż r e a l i z u j ą t o a l g o r y t m y
o p ty m a i n e.
P r o b l e m b a r d z i e j z ł o ż o n y , w k t ó r y m c i e c i e o d b y w a s i ą d a l e j w sposób g i l o t y n o w y , a l e l i c z b a c z y ś c i p o s z c z e g ó l n y c h t y p O w j e s t o g r a n i c z o n a , r o z p a t r y w a l i C h r i s t o f i d e s i W h i t l o c k 163 o r a z W a ng C2 3 1 . C h r i s t o f i d e s i W h i t l o c k z a s t o s o w a l i a l g o r y t m o p a r t y n a m e t o d z i e p o d z i a ł u i o szaco w ań.
A l g o r y t m s k ł a d a s i ą z d w ó c h e t a p ó w : g e n e r a c j i d r z e w a m o ż l i w y c h c i ę ć oraz J e g o p r z e s z u k i w a n i a w c e l u z n a l e z i e n i a n a j l e p s z e g o r o z w i ą z a n i a . Do o k r e ś l a n i a o s z a c o w a ń a u t o r z y z a s t o s o w a l i a l g o r y t m t r a n s p o r t o w y oraz p r o g r a m o w a n ie d y n a m i c z n e . I n n e p o d e j ś c i e z a p r o p o n o w a ł a W ang w p r a c y [223.
P r z e d s t a w i ł a o n a d w a a l g o r y t m y ko m bi n a t or y c z n e p o l e g a j ą c e n a budowaniu w zo r ó w r o z k r o j u p o p r z e z s u k c e s y w n e d o k ł a d a n i e p o j e d y n c z y c h c z ę ś c i lub o t r z y m a n y c h w c z e S n i e J r o z w i ą z a ń c z ę ś c i o w y c h d o u z y s k a n y c h n a etapach p o p r z e d n i c h r o z w i ą z a ń . M e t o d a t a J e s t J e d n a k b a r d z o c z a s o c h ł o n n a i nadaje s i ę J e d y n i e d o r o z w i ą z y w a n i a m a ł y c h z a d a ń . A l g o r y t m o p r a c o w a n y p r z e z Wang z o s t a ł z m o d y f i k o w a n y p r z e z O l i v e i r a i F e r r e i r ę [ 1 9 3 o r a z V a s k o [ 2 1 3 , dzięki c z e m u c z a s o c z e k i w a n i a n a u z y s k a n i e r o z w i ą z a n i a u l e g ł z n a c z n e m u s k r ó c e n iu . O l i v e i r a i F e r r e i r a w y k o r z y s t a l i a l g o r y t m G i l m o r e ’ a i G o m o ry* e g o , a Vasko s w ó j w ł a s n y h e u r y s t y c z n y a l g o r y t m d l a o k r e ś l e n i a o s z a c o w a ń górnych, u m o ż l i w i a j ą c y c h o d r z u c e n i e - n a e t a p i e b u d o w y w z o r u r o z k r o j u - r o zw iązań c z ę ś c i o w y c h , k t ó r e n i e m oga p r o w a d z i ć d o u z y s k a n i a r o z w ią z a n ia o p t y m a l n e g o .
O p r ó c z w y ż e j w y m i e n i o n y c h p u b l i k a c j i d o t y c z ą c y c h c i ę c i a b e z s t o p n io w e g c o p r a c o w a n o s z e r e g a l g o r y t m ó w u m o ż l i w i a j ą c y c h g e n e r o w a n i e w z o r ó w ro zk ro ju p r z y p r z y j ę c i u z a s a d y c i ę c i a s t o p n i o w e g o . Z a g a d n i e n i e t o b y ł o przedm iotem s z e r e g u p r a c . G i i m o r e i G o m o ry E 143 z a p r o p o n o w a l i a l g o r y t m o p a r t y na z a s a d z i e p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o . F a r l e y w p r a c y C l i 3 zapro p o no w ał d w u e t a p o w ą m e t o d ę g e n e r o w a n i a w z o r u r o z k r o j u d l a c i ę c i a t r z y s t o p n i o w e g o . W. e t a p i e p i e r w s z y m g e n e r o w a n e s ą o p t y m a l n e p a s k i C s z e r e g c z ę ś c i ułożonych J e d n a z a d r u g a D a w e t a p i e d r u g i m d o k o n y w a n y j e s t w y b ó r k o m b i n a c j i p a s k ó w
d a j ą c y c h w e f e k c i e m a k s y m a ln e w y k o r z y s t a n i e m a t e r i a ł u . D o r o z w ią z a n ia m o d e l i o p t y m a l i z a c y j n y c h p o w s t a j ą c y c h n a o b u e t a p a c h a u t o r w y k o r zy s t u je a l g o r y t m p l e c a k o w y . R ó ż n e w e r s j e a l g o r y t m u b a z u j ą c e g o n a deko m po zy cji d u ż e g o p r o b l e m u C r o z k r a w a n e j p ł y t y n a z b i ó r e l e m e n t ó w m n i e j s z y c h D oraz w y p e ł n i a n i e t y c h e l e m e n t ó w p r z y u ż y c i u w c z e ś n i e j z b u d o w a n y c h g r u p części C p a s k ó w D z o s t a ł y z a p r o p o n o w a n e w p r a c a c h [ 1 3 [ 2 3 . T a k ż e B e a s l e y w pracy [3 3 p r z e d s t a w i ł o p a r t e n a z a s a d z i e p r o g r a m o w a n i a d y n a m i c z n e g o algorytmy d l a c i ę c i a s t o p n i o w e g o , s t a n o w i ą c e z m o d y f i k o w a n a w e r s j ę algorytmów G i 1 mor e * a i Gomor v * e g o [ 1 4 3 .
Z n a c z n a w i ę k s z o ś ć l i t e r a t u r y r o z p a t r u j e z a d a n i a r o z k r o j u przy z a l e ż e n i u , ż e c i ę c i e o d b y w a s i ę w s p o s ó b g i l o t y n o w y . J e d y n i e n i e l i c z n e p u b l i k a c j e [ 4 3 [ 5 3 [ 7 3 a n a l i z u j ą p r o b l e m z u w z a i ę d n i e n i e m c i ę c i a s w o b o d n e « ' .
P r o j e k t o w a n i e w z o r ó w r o z k r o j u J e s t w tym p r z y p a d k u b a r d zie j s k o m p l i k o w a n e n i ż w p r z y p a d k u c i ę c i a g i l o t y n o w e g o . B e n g s t o n [5*
z a p r o p o n o w a ł m e t o d ę o p a r t a n a h e u r y s t y c z n y m p r z e s z u k i w a n i u , u m o ż liw ia ją c ą
Pewien a l g o r y t m g e n e r o w a n i a 1 7 3
uzyskanie " d o b r y c h " a i e n i e o p t y m a l n y c h r o z w i ą z a ń n a w e t d l a z a d a ń r o z k r o j u z dużą l i c z b ą c z ę ś c i . M e t o d ę p r o w a d z ą c ą d o r o z w i ą z a n i a o p t y m a l n e g o p rze d s ta w ił B e a s l e y w p r a c y C4.3. M e t o d a o p a r t a J e s t n a z a s a d z i e p r z e s z u k iw a n i a d r z e w , p r z y c zy m d o o k r e ś l e n i a o s z a c o w a ń g ó r n y c h u ż y t o r e la k s a c ji L a g r a n g e a b i n a r n e g o p r o b l e m u p r o g r a m o w a n i a c a ł k o w i t o l i c z b o w e g o . Proponowany a l g o r y t m m oże b y ć J e d n a k u ż y t y t y l k o d o r o z w i ą z y w a n i a m a ły c h zadań. P r z y p a d e k p r o j e k t o w a n i a w z o r ó w r o z k r o j u d l a c i ę c i a s w o b o d n e g o z Jednym r o d z a j e m c z ę ś c i w y c i n a n e j r o z w a ż a l i D a n i e l s i G h a n d f o r o u s h w p r a c y 173. O p r a c o w a l i o n i a l g o r y t m h e u r y s t y c z n y , k t ó r y d o p r o w a d z i ł d o u z y s k a n i a rozwiązań o p t y m a l n y c h d l a w i ę k s z o ś c i z r o z p a t r y w a n y c h z a d a ń t e s t o w y c h
3. P r o p o n o w a n e p o d e j ś c i e
Z a g a d n i e n i e p o s z u k i w a n i a r o z w i ą z a n i a o p t y m a l n e g o d l a p r o b l e m u kombi n a t o r y c z n e g o C o i l e p r a k t y c z n i e r e a l i z o w a l n e D ł ą c z y s i ę z k o n i e c z n o ś c i ą a n a l i z o w a n i a w i e l u m o ż l i w y c h r o z w i ą z a ń , c o z w y k l e p r o w a d z i do d ł u g o t r w a ł y c h o b l i c z e ń . W z a s t o s o w a n i a c h p r a k t y c z n y c h n a l e ż y b r a ć p o d uwagę r ó w n i e ż c z a s o c z e k i w a n i a n a u z y s k a n i e r o z w i ą z a n i a . O c z y w i ś c i e , sk ra ca n ie c z a s u p r o w a d z i n a j c z ę ś c i e j d o u z y s k i w a n i a m n ie j k o r z y s t n y c h r ezu lta tó w . J e d n a k r e z y g n a c j a z w y m a g a n i a ,a b y o t r z y m y w a n e r o z w i ą z a n i e b y ł y ro zw ią zan ia m i o p t y m a l n y m i , u m o ż l i w i a z a s t o s o w a n i e b a r d z i e j e f e k t y w n y c h Algorytmów h e u r y s t y c z n y c h .
P o n iż e j p r z e d s t a w i o n o m e t o d ę g e n e r o w a n i a w z o r ó w r o z k r o j u d l a z a d a n i a rozkroju r e g u l a r n y c h e l e m e n t ó w p ł a s k i c h , p r z y b r a k u o g r a n i c z e ń c o do lic zb y w y c i n a n y c h e l e m e n t ó w o r a z s p o s o b u r e a l i z o w a n i a p r o c e s u c i ę c i a . Celem n a d r z ę d n y m J e s t o p r a c o w a n i e t a k i e g o w z o r u r o z k r o j u , k t ó r y z a p e w n i aaksym alne w y k o r z y s t a n i e m a t e r i a ł u . D l a o s i ą g n i ę c i a t e g o c e l u o p r a c o w a n o netcdę m i e s z a n ą h e u r y s t y c z n o - d e t e r mi n i s t y c z n ą .
P r z y j m i j m y , ż e i s t n i e j e p r o s t o k ą t n y a r k u s z m a t e r i a ł u o w y m ia r a c h h * 1 oraz z b i ó r P , z a w i e r a j ą c y p r o s t o k ą t n e c z ę ś c i p^, i = 1 n , o w y m ia r a c h d^* s^ i p o l u p o w i e r z c h n i f = d ^ * s ^ , k t ó r e n a l e ż y w y c i ą ć z a r k u s z a . Zakładamy, ż e l i c z b a p o s z c z e g ó l n y c h c z ę ś c i n i e j e s t l i m i t o w a n a , a w zór rozkroju n i e m usi b a z o w a ć n a z a s a d z i e c i ę c i a g i l o t y n o w e g o . P r z y z a ł o ż e n i u jed n o ro d n o ś ci m a t e r i a ł u r o z k r a w a n e g o a r k u s z a o r i e n t a c j a c z ę ś c i p rosto ką tn y ch p m o że b y ć d * s l u b s * d , c o d a j e z b i ó r
2
n - e l e m e n t o w y .i L Ł V I .
Zbiór t e n m o żna z a p i s a ć w p o s t a c i P = < C d , s , f ) , C d . s . f 3 ...
r i 1 1 2 2 2
Cd ,s , f ) , Cs , d , f C s . d , f 5 C s , d , f D>.
nr * r » l i ł 2 2 2 n n n
P ro p o n o w a na h e u r y s t y k a b a z u j e n a n a s t ę p u j ą c e j o b s e r w a c j i . W y c i n a n e części d a j ą c e m a k s y m a l n e w y k o r z y s t a n i e m a t e r i a ł u d l a w y b r a n e g o w y m ia r u rozkraw anego a r k u s z a ^ t z n . d a j ą c e o p t y m a l n y w zó r r o z k r o j u d l a z a d a n i a z drugim w y m ia rem n i e o g r a n i c z o n y m , n a l e ż y w y k o r z y s t a ć w s p o s ó b m a k s y m a ln y . W celu z n a l e z i e n i a c z ę ś c i d a j a c y c h m a k s y m a ln e w y k o r z y s t a n i e m a t e r i a ł u d l a
^ b r a n e g o w y m ia r u r o z k r a w a n e g o a r k u s z a n a l e ż y r o z w i ą z a ć n a s t ę p u j ą c y model cpt-ymal i z a c y j n y :
c . * x
i L
i = Z n
p r z y w a r u n k a c h a . * x . < B
i s
2
/x > O : c a ł k o w i t o l i c z b o w e d l a i
V 2 n
g d z i e l i c z b a p r o s t o k ą t n y c h c z ę S c i i - t e g o t y p u
c . = 1 d l a i = l 2 n
i
s . . n < i < 2 n d.i
V
ł < i < n
}
B - w y b r a n y w y m ia r a r k u s z a .
M odel o p t y m a i i z a c y j n y o k r e ś l o n y p r z e z f u n k c j e c e l u / I / i o g r a n i c z e n i a / Z / z n a n y j e s t w o b s z a r z e b a d a ń o p e r a c y j n y c h p o d n a z w ą z a g a d n i e n i a za ład un ku l u b p r o b l e m u p l e c a k o w e g o C a n g . k n a p s a c k p r o b l e m
A l g o r y t m r e k u r e n c y j n y u m o ż l i w i a j ą c y z a s t o s o w a n i e p r z y j et e j heu r y s ty k i d c g e n e r o w a n i a w z o r ó w r o z k r o j u r e g u l a r n y c h e l e m e n t ó w p ł a s k i c h s k ł a d a s i ę z s z e S c i u n a s t ę p u j ą c y c h p o s o b i e e t a p ó w :
1 . W y b i e r z b a z o w y w y m ia r a r k u s z a - 8 e < h . l > •
2 . O p r a c u j i r o z w i ą ż m odel o p t y m a l i z a c y j n y o k r e S l o n y p r z e z f u n k c j e celu f l j i o g r a n i c z e n i a £ 2 / C W w y n i k u r o zw ie s za n ia , t e g o m o d e l u o t r z y m u je n y z b i ó r p r o s t o k ą t n y c h c z ę ś c i d a j ą c y c h m i n i m a l n y o d p a d d l a wybranego w y m ia r u a r k u s z a J .
3 . P o w i e l o t r z y m a n e r o z w i ą z a n i e w k i e r u n k u p r o s t o p a d ł y m d o wybranego b a z o w e g o w y m ia r u a r k u s z a w t a k i s p o s ó b , b y n i e p r z e k r o c z y ć d rugiego w y m ia r u a j e d n o c z e ś n i e d o t r z y m a ć w a r u n k u c a ł k o w i t e j w i e l o k r o t n o ś c i w y s t ę p u j ą c y c h c z ę S c i .
4 . P o s o r t u j o t r z y m a n e " s ł u p k i * ’ , z ł o ż o n e z t y c h s a m y c h c z e S c i , według r o s n ą c e j i c h d ł u g o S c i .
5 . P o d z i e l p o w s t a ł e w w y n i k u s o r t o w a n i a n i e z a j ę t e p r z e z c z e S c i pole a r k u s z a n a p o k r y w a j ą c e s i ą c z ę ś c i o w o p r o s t o k ą t y .
6 . P r z e j d ź d o i » e t a p u a l g o r y t m u r o z p a t r u j ą c k o l e j n o o t r z y m a n e n a etapie 5 p r o s t o k ą t y o r a z p r z y j m u j ą c j a k o w y m i a r y b a z o w e C w y s t ę p u j ą c e p°
p r a w e j s t r o n i e o g r a n i c z e n i a /<LS I) w y m ia r y k r a w ę d z i p r o s t o p a d ł y c h -- w y b r a n e g o w s t ę p n i e w y m ia r u ' a r k u s z a B. N i e w y k o r z y s t a n e p o l e p o w i e r z c h n i
d a n e g o p r o s t o k ą t a n a l e ż ą c e d o c z e S c i w s p ó l n e j z k o l e j n y m p r o s t o k ą te m j e s t u w z g l ę d n i a n e w m o m e n c ie r o z p a t r y w a n i a . n a s t ę p n e g o p r o s t o k ą t a .
Pewien a l g o r y t m g e n e r o w a n i a . 1 7 5
P r z e d s t a w i o n y a l g o r y t m m o że b y ć w y k o r z y s t a n y d o g e n e r o w a n i a w zo r ó w r o z k r o ju p r o s t o k ą t n e g o a r k u s z a n a c z ę ś c i p r o s t o k ą t n e p r z y b r a k u o g r a n i c z e ń co d c l i c z b y c z ę ś c i p o s z c z e g ó l n y c h t y p ó w i s p o s o b u p r o w a d z e n i a p r o c e s u c i ę c i a . P o p r z e z z m i a n ę w y b r a n e j k r a w ę d z i a r k u s z a o r a z u w z g l ę d n i e n i e l u b n i e u w z g l ę d n i e n i e p o s z c z e g ó l n y c h c z ę ś c i w p r o c e s i e o b l i c z e n i o w y m u z y s k a ć można r ó ż n e r o z w i ą z a n i a . O t r z y m a n e w t e n s p o s ó b w z o r y r o z k r o j u s t a n o w i ć mogą r ó w n i e ż d a n e d l a o g ó l n e g o z a d a n i a r o z k r o j u , t z n . d o b o r u r o d z a j u i l i c z b y a r k u s z y m a t e r i a ł u d l a w y k o n a n i a o k r e ś l o n e j l i c z b y p o s z c z e g ó l n y c h c z ę ś c i .
4. U w a g i k o ń c o w e
O p r a c o w a n y a l g o r y t m n i e p r e t e n d u j e d o z n a j d o w a n i a r o z w i ą z a ń o p ty m aln y ch . Z a s t o s o w a n e p o d e j ś c i e z a p e w n i a n i e z b ę d n y k o m p r o m is p o m ię d z y dwoma g łó w n y m i w y m a g a n ia m i, t j . m a k s y m a l i z a c j ą w s p ó ł c z y n n i k a w y k o r z y s t a n i a m a te r ia ł u i m i n i m a l i z a c j ą c z a s u w y m a g a n e g o d o o t r z y m a n i a r o z w i ą z a n i a . O trzym yw ane r o z w i ą z a n i a w w i e l u p r z y p a d k a c h s ą w y s t a r c z a j ą c e , a b y s p e ł n i ć wymagania s t a w i a n e p r z e z p r z e m y s ł . J e d n o c z e ś n i e s t a n o w i ć mogą r o z w i ą z a n i e w y jś c io w e , b ę d ą c e b a z ą d l a k o r e k t d o k o n y w a n y c h k o n w e r s a c y j n i e p r z e z te c h n o lo g a .
Na b a z i e z a p r o p o n o w a n e g o p o w y ż e j a l g o r y t m u z o s t a ł o p r a c o w a n y k o n w e r s a c y jn y p r o g r a m k o m p u t e r o w y . P r o g r a m w y p o s a ż o n y j e s t w e d y t o r g r a f i c z n y u m o ż l i w i a j ą c y w p r o w a d z a n i e i m o dy f i k o w a n i e d a n y c h d o t y c z ą c y c h p o s z c z e g ó l n y c h c z ę ś c i o r a z a r k u s z a p o d l e g a j ą c e g o r o z k r o j o w i . P r o g r a m n a p is a n y w j ę z y k u C z o s t a ł u r u c h o m i o n y i w y t e s t o w a n y n a m i k r o k o m p u t e r z e typu IB M PC .
Wnioski w y n i k a j ą c e z u ż y w a n i a p r o g r a m u :
- s k u t e c z n o ś ć a l g o r y t m u C m a k s y m a l i z a c j a w s p ó ł c z y n n i k a w y k o r z y s t a n i a m a t e r i a ł u J r o ś n i e w r a z z e w z r o s t e m l i c z b y c z ę ś c i , a z w ł a s z c z a z e z w i ę k s z e n i e m l i c z b y m a ł y c h c z ę ś c i ,
“ a lg o r y t m o p t y m a l i z a c y j n y c h a r a k t e r y z u j e s i ę b a r d z o d u ż ą e f e k t y w n o ś c i ą - c za s o b l i c z e ń o p t y m a l i z a c y j n y c h J e s t w i e l o k r o t n i e k r ó t s z y o d c z a s u p o ś w i ę c o n e g o n a k o n w e r s a c y jn e w p r o w a d z e n i e d a n y c h .
l i t e r a t u r a.
£13 A d a m o w ic z M. a n d A l b a n o A . : A s o l u t i o n o f t h e r e c t a n g u l a r c u t t i n g - s t o c k p r o b l e m . I E E E T r a n s a c t i o n s o n S y s t e m s , Man a n d C y b e r n e t i c s 6 . 3 0 2 - 3 1 0 , 1 9 7 6 .
£23 A l b a n o A . a n d O r s i n i R. : A h e u r i s t i c s o l u t i o n o f t h e r e c t a n g u l a r c u t t i n g s t o c k p r o b l e m . T h e C o m p uter J o u r n a l 2 3 / 4 , 3 3 8 - 3 4 3 , 1 9 8 0 .
£3] B e a s l e y J . E . : A l g o r i t h m s f o r u n c o n s t r a i n e d t w o - d im e n s io n a l g u i l l o t i n e c u t t i n g . J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h S o c i e t y 3 6 / 4 . 2 9 7 - 3 0 6 , 1 9 0 5 .
£42 B e a s l e y J . E . : En e x a c t t w o - d i m e n s i o n a l n o n - g u i l l o t i n e c u t t i n g t r e e s e a r c h p r o c e d u r e . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 3 3 / 1 . 4 9 - 6 4 . 1 9 8 5 .
£52 B e n g s t o n B . E . : P a c k i n g r e c t a n g u l a r p i e c e s - a h e u r i s t i c a p p r o a c h . T h e
C om puter J o u r n a l 2 5 / 3 , 3 5 3 - 3 5 7 , 1 9 6 2 .
[ 5 3 C h r i s t o f i d e s N. a n d W h i t l o c k C. : An a l g o r i t h m f o r t w o - d im e n s io n a l c u t t i n g p r o b l e m . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 2 5 / 1 , 33-410, 1 9 7 7 .
[7 3 D a n i e l s J . J . a n d G h a n d f o r o u s h P . : An i m p r o v e d a l g o r i t h m f o r the n o n - g u i l l o t i n e c o n s t r a i n e d c u t t i n g - s t o c k p r o b l e m . J o u r n a l o f the O p e r a t i o n a l R e s e a r c h S o c i e t y 4 1 1 /2 , 1 4 1 - 1 4 9 , 1 9 9 0 .
[63 D o w s l a n d W. B. : Tw o a n d t h r e e d i m e n s i o n a l p a c k i n g p r o b l e m s and s o l u t i o n m e t h o d s . N e w Z e a l a n d J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 1 3 , 1 - 1 8 , 1 9 8 5 .
[9 3 D y c k h o f f H. , K r u s e H .- J . , A b e l D. a n d G a l T . : T r i m l o s s a n d r e l a t e d p r o b l e m s . O m ega 1 3 / 1 , 5 9 - 7 2 , 1 9 8 5 .
[ 1 0 3 D y c k h o f f H. : A t y p o l o g y o f c u t t i n g a n d p a c k i n g p r o b l e m s . E u r o p ea n J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 4 4 , Num ber 2 , 1 4 5 - 1 5 9 , 1 9 9 0 .
[ 1 1 3 F a r l e y A . A . : P r a c t i c a l a d a p t a t i o n s o f t h e G il m o r e - G o m o r y a p p r o a c h to c u t t i n g s t o c k p r o b l e m . O R - S p e k t ru m 1 0 , 1 1 3 - 1 2 3 , 1 9 8 6 .
[ 1 2 3 G i l m o r e P. C. a n d G o m o r y R. E . : A l i n e a r p r o g r a m m in g a p p r o a c h t o the c u t t i n g s t o c k p r o b l e m . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 9 , 8 4 9 - 8 5 9 , 1 9 6 1 .
[1 3 3 G i l m o r e P. C. a n d G o m o ry R. E . : A l i n e a r p r o g r a m m in g a p p r o a c h t o the c u t t i n g s t o c k p r o b l e m . P a r t I I . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 1 1 , 8 5 3 - 8 8 8 , 1 9 6 3 .
[1 4 3 G i l m o r e P. C. a n d G o m o ry R. E. : M u l t i s t a g e c u t t i n g s t o c k p r o b l e m s of tw o a n d m o re d i m e n s i o n s . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 1 3 , 9 4 - 1 2 0 , 1 9 5 5 .
[1 5 3 G i l m o r e P. C . a n d G o m o ry R. E . : T h e t h e o r y a n d c o m p u t a t i o n o f kn ap sack f u n c t i o n . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 1 4 , 1 0 4 5 - 1 0 7 4 , 1 9 6 5 .
[ 1 6 3 H e r r J . : R e c u r s i v e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e f o r t w o - d i m e n s i o n a l stock c u t t i n g . I B M J o u r n a l o f R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t 1 6 . 4 6 2 - 4 6 9 , 1 9 7 2 . [ 1 7 3 H in x m a n A . I . : T h e t r i m l o s s a n d a s s o r t m e n t p r o b l e m s : A su r v e y .
E u r o p e a n J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 5 , 8 - 1 8 , 1 9 8 0 .
[1 8 3 I s r a n i S . a n d S a n d e r s J . L . : T w o - d i m e n s i o n a l c u t t i n g s t o c k problem r e s e a r c h : A r e v i e w a n d a n e w r e c t a n g u l a r l a y o u t a l g o r i t h m . J o u r n a l of M a n u f a c t u r i n g S y s t e m s 1 / 2 , 1 6 9 - 1 8 2 , 1 9 8 2 .
[ 1 9 3 O l i v e i r a J . F . a n d F e r r e i r a J . S . : A n im p r o v e d v e r s i o n o f W a n g ’ s a l g o r i t h m f o r t w o - d i m e n s i o n a l c u t t i n g p r o b l e m s . E u r o p e a n J o u r n a l of O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 4 4 / 2 , 2 5 5 - 2 6 5 , 1 9 9 0 .
[2 0 3 R o d e M. a n d R o s e n b e r g O . : An a n a l y s i s o f h e u r i s t i c t r i m loss a l g o r i t h m s . E n g i n e e r i n g C o s t a n d P r o d u c t i o n E c o n o m i c s 1 2 , 71- 78, 1 9 8 7 .
[2 1 3 V a s k o F. J . : C o m p u t a t i o n a l im p r o v e m e n t t o W a n g ’ s t w o - d im en sio n al c u t t i n g s t o c k a l g o r i t h m . C o m p u t e r s I n d . E n g . 1 6 / 1 , 1 0 9 - 1 1 5 , 1 9 6 9 . [ 2 2 3 Wang P . Y . : T w o a l g o r i t h m s f o r c o n s t r a i n e d t w o - d i m e n s i o n a l c u t t in g
s t o c k p r o b l e m s . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 3 1 . 5 7 3 - 5 8 6 , 1 9 6 3 .
[ 2 3 3 W a s c h e r G. : An L P - b a s e d a p p r o a c h t o c u t t i n g s t o c k p r o b l e m s with m u l t i p l e o b j e c t i v e s . E u r o p e a n J o u r n a l o f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h 4 4 / 2 ,
1 7 5 - 1 8 4 , 1 9 9 0 . ,
R e c e n z e n t : P r o f . d r h . i n ż . F r a n c i s z e k M a r e c k i W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i do 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r .
Pewien .a lg o r y tm g e n e r o w a n i a 1 7 7
T he p r o b l e m o f a l l o c a t i n g p l a n e f i g u r e s i s a n i n t e r e s t i n g c h a l l e n g e f o r r e s e a r c h e r s w o r k i n g n o t o n l y i n t h e f i e l d o f t e c h n o l o g y . M an y p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s a n d g r e a t p o t e n t i a l b e n e f i t s w h i c h r e s u l t f r o m p r o p e r l y planned c u t t i n g o p e r a t i o n , i n c r e a s e t h e i n t e r e s t i n t h i s s u b j e c t . T h e major g o a l f o r a g o o d n e s t i n g a r r a n g e m e n t i s t o r e d u c e t h e q u a n t i t y o f scrap C i e t o m a x i m i z e t h e s t o c k s h e e t u t i l i z a t i o n } . A n e w m et h o d f o r autom atic n e s t i n g o f r e c t a n g u l a r p a r t s o n t h e r e c t a n g u l a r s t o c k s h e e t i s p r e s e n te d . T h e r e a r e n o c o n s t r a i n t s f o r t h e num b er o f p a r t s t o b e c u t a n d no r e s t r i c t i o n s o n t h e c u t t i n g p a t t e r n . T h e m e t h o d i s a c o m b i n a t i o n o f h e u r i s t i c a n d e x a c t t e c h n i q u e s . T h e m a in o b j e c t i v e f u n c t i o n i s f o r m u l a t e d as a w aste- m i n i mi z a t i o n f u n c t i o n . F u r t h e r p r i m a r y g o a l i s t h a t t h e s o l u t io n s h o u l d b e e f f i c i e n t i n t e r m s o f c o m p u t a t i o n a l t im e .
The p r o p o s e d h e u r i s t i c i s b a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n t h a t m axim al m a t e r i a l u t i l i z a t i o n o b t a i n e d o n t h e s e l e c t e d d i m e n s i o n o f t h e s t o c k s h e e t s h o u l d be e x t e n d e d a s f a r a s p o s s i b l e i n o r d e r t o a c h i e v e t h e m a in g o a l f o r a good n e s t i n g a r r a n g e m e n t . T o m a x i m i z e t h e m a t e r i a l u t i l i z a t i o n a i n t e g e r program m ing o p t i m i z a t i o n m odel h a s b e e n b u i l t . S o l v i n g t h e m o d e l , a s e t o f parts w h i c h g i v e s a l o w e s t t r i m l o s s o n t h e s e l e c t e d d i m e n s i o n o f t h e stock s h e e t i s o b t a i n e d . T o e x t e n d t h i s s i t u a t i o n , r e c t a n g l e s a r e r e p e a t e d p e r p e n d i c u l a r l y t o t h e s e l e c t e d d i m e n s i o n o f t h e s t o c k s h e e t , u n t i l t h e y exceed t h e s e c o n d d i m e n s i o n o f t h e s t o c k s h e e t . T h e g e n e r a t e d p a t t e r n i s then s o r t e d a c c o r d i n g t o t h e sum o f l e n g t h o f e q u a l r e c t a n g l e s . T h e re m a in in g u n - n e s t e d s h e e t a r e a i s d i v i d e d i n t o a s e t o f o v e r l a p p i n g r e c t a n g l e s . T h e s e r e c t a n g l e s a r e n e s t e d u s i n g a l g o r i t h m d e s c r i b e d a b o v e . A r e c u r s i v e a l g o r i t h m i s i m p l e m e n t e d t o g i v e h i g h c o m p u t a t i o n a l s p e e d a n d compact p r o g r a m c o d e . O n t h e b a s i s o f t h e m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e a computer p r o g r a m f o r C o m p u t e r A i d e d N e s t i n g h a s b e e n d e v e l o p e d .
The a l g o r i t h m i s n o t i n t e n d e d t o g i v e t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f t h e g e n e r a l c u t t in g s t o c k p r o b l e m . T h e o b t a i n e d t r i m l o s s i s a n a c c e p t a b l e c o m p r o m is e between t h e t w o m a in r e q u i r e m e n t s , t h a t i s m a x i m i z a t i o n o f u t i l i z a t i o n r a tio a n d m i n i m i z a t i o n o f c o m p u t e r t i m e r e q u i r e d . T h e g e n e r a l t r e n d s h o w s that i n c r e a s i n g p e r f o r m a n c e m ay b e e x p e c t e d i f s m a l l e r e l e m e n t s a r e c o n s i d e r e d .
