ALGORYTM SZACOWANIA BŁĘDÓW W ADAPTACYJNEJ ANALIZIE PROBLEMÓW ELEKTRYCZNYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

(1)

ALGORYTM SZACOWANIA BŁĘDÓW

W ADAPTACYJNEJ ANALIZIE PROBLEMÓW ELEKTRYCZNYCH

METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Grzegorz Zboiński

^1,2

1Instytut Maszyn Przepływowych Polskiej Akademii Nauk, Gdańsk

2Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie zboi@imp.gda.pl

Streszczenie

Przedstawione rezultaty badań dotyczą szacowania błędów aproksymacji metodą elementów skończonych (MES) w problemach elektrycznych ośrodków dielektrycznych. Dotychczasowe badania autora nad szacowaniem błędów do- tyczyły struktur sprężystych analizowanych z wykorzystaniem modelowania hierarchicznego i adaptacyjnej MES.

Zaprezentowane wyniki stanowią etap pośredni zmierzający do opracowania metod szacowania błędów w ośrodkach piezoelektrycznych, innymi słowy w sprzężonych problemach elektro-mechanicznych. Uzyskane rezultaty przedstawione są w kontekście analogii do problemów sprężystych.

Słowa kluczowe: dielektryki, ośrodki sprężyste, metoda elementów skończonych, podejście adaptacyjne, szacowa- nie błędów

AN ALGORITHM OF ERROR ESTIMATION FOR ADAPTIVE ANALYSIS OF ELECTRIC PROBLEMS WITH THE FINITE ELEMENT METHOD

Summary

The presented results of the research concern approximation error estimation of the solutions obtained with the finite element method (FEM) in electric problems of dielectrics. The hitherto research of the author were focused on purely elastic structures. These structures were analysed with the hierarchical modelling and adaptive FEM. The presented outcome constitutes an intermediate stage of the research directed towards elaboration of error estimation methods for piezoelectric media, in other words, for coupled electro-mechanical problems. The obtained results are presented in the context of analogy to purely elastic problems.

Keywords: dielectrics, elastic media, finite element method, adaptive approach, error estimation

1. WSTĘP

Niniejsza praca przedstawia nowe zastosowanie metody wyrównoważonych residuów elementowych [1, 2] do szacowania błędów modelowania i aproksymacji oraz błędu całkowitego w problemach dielektryków. Z doko- nanego przeglądu literatury wynika, że metoda ta nie była do tej pory stosowana w kontekście problemów elektrycznych.

Punktem wyjścia do badań jest sformułowanie lokalne problemu dielektryków, składające się z równania konstytutywnego dielektryka, prawa Gaussa opisującego gęstość ładunków objętościowych oraz definicji wektora (natężenia) pola elektrycznego. Uzupełniają je warunki brzegowe skalarnego potencjału elektrycznego i skalarnej gęstości ładunków powierzchniowych. Powyższe równa- nia lokalne odpowiadają związkom konstytutywnym

(2)

liniowej teorii sprężystości, równaniu równowagi oraz definicji tensora odkształcenia. Z kolei warunki brzegowe dielektryka mają postać analogiczną do przemieszcze- niowych i naprężeniowych warunków brzegowych ośrod- ka sprężystego.

Sformułowanie wariacyjne odpowiada minimalizacji energii potencjalnej dielektryka, na którą składa się energia elektryczna oraz praca zewnętrznych ładunków elektrycznych. Wymienione składniki posiadają swoje odpowiedniki mechaniczne w postaci mechanicznej energii potencjalnej, energii odkształcenia i pracy sił zewnętrznych. Ze sformułowania wariacyjnego dielektryka wynikają równania MES, w których niewiadomymi są węzłowe wartości skalarnego pola potencjału elektrycznego, podczas gdy w przypadku ciała sprężystego globalny wektor niewiadomych zawiera przemieszczenia węzłowe w trzech kierunkach.

Podsumowując, w problemach: mechanicznym i elektrycznym, wektor przemieszczenia pola mechanicznego zastąpiony jest skalarnym potencjałem elektrycznym , tensor odkształcenia – wektorem (natężenia) pola elektrycznego , a tensor naprężenia – wektorem przemiesz- czeń elektrycznych . Z kolei tensor stałych sprężystych zastąpiony jest tensorem stałych dielektrycznych .

Energii odkształcenia sprężystego odpowiada energia elektryczna , natomiast pracy sił zewnętrznych – praca ładunków zewnętrznych .

Szacowanie błędu aproksymacji pola potencjałów metodą wyrównoważonych residuów elementowych, przebiega analogicznie jak w przypadku szacowania błędu pola przemieszczeń ośrodka sprężystego. Podobnie jak w przypadku pola mechanicznego wykazać można, iż oszacowana wartość błędu w normie energii elektrycznej stanowi jego górne oszacowanie.

Tak jak w przypadku mechanicznym, gdzie poszuku- je się współczynników rozkładu naprężeń międzyelemen- towych, algorytm szacowania błędów zawiera etap poszukiwania współczynników rozkładu gęstości ładun- ków międzyelementowych. Współczynniki te są tak dobrane, że gwarantują równoważenie się ładunków w węzłach narożnych sąsiadujących elementów, podobnie jak w przypadku mechanicznym, gdzie ma się do czynienia z równowagą sił w węzłach narożnych.

Problemy lokalne metody wyrównoważonych residu- ów, opisujące równowagę mechaniczną elementów, są w problemie elektrycznym zastąpione poprzez lokalne problemy równowagi elektrycznej. Rozwiązanie tych ostatnich problemów prowadzi do uzyskania elementowych udziałów w globalnym oszacowaniu błędu rozwią- zania numerycznego w problemie dielektryka.

Wszystkie związki zamieszczone w kolejnych rozdzia- łach niniejszej pracy, dotyczące hierarchii modeli elek- trycznych oraz szacowania a posteriori błędów modelo- wania, aproksymacji i całkowitego w analizie dielektry- ków, posiadają swoje odpowiedniki mechaniczne. Odpo-

wiedniki te znaleźć można w pracy [3], której układ powtórzono w tym artykule ku wygodzie czytelnika.

2. HIERARCHIA

KOMPATYBILNYCH MODELI ELEKTRYCZNYCH

Przyjęta w pracy definicja modelowania hierarchicznego wychodzi ze znanych pojęć modeli hierarchicznych, hierarchicznych przestrzeni aproksymujących oraz hierarchicznych funkcji kształtu. Pojęcia te omówiono dokładnie w pracach [4, 5] w kontekście ośrodków sprę- żystych. Ich uogólnienie na dielektryczne ośrodki elektryczne zostało zaproponowane w pracy [6].

Przedstawione w ostatniej z zacytowanych prac ory- ginalne zadanie polegało na objęciu modelowaniem hierarchicznym wszystkich części struktury dielektrycznej, tj. części rozbudowanych przestrzenie, części grubo- lub cienkościennych i ewentualnie części przejściowych pomiędzy nimi wszystkimi. Wymagało to objęcia modelowaniem hierarchicznym dwóch klas modeli podstawo- wych dielektryków: modelu trójwymiarowego 3, odpowiadającego trójwymiarowej teorii dielektryków oraz modeli , odpowiadających hierarchicznym mode- lom dielektrycznym

∈ , 3. (1) Modele hierarchiczne różnią się pomiędzy sobą rzę- dem teorii dielektryków. Teorie te charakteryzuje narzucenie więzów stopnia (o charakterze wielomiano- wym) w kierunku porzecznym, tożsamym z kierunkiem polaryzacji dielektryka, przy czym ≡ . Zastosowane podejście umożliwia zbudowanie zgodnej energetycznie, kompatybilnej (wyposażonej w te same skalarne stopnie swobody potencjału elektrycznego) hierarchii modeli, opartych na podejściu trójwymiarowym.

Hierarchiczny charakter powyższego zbioru modeli wynika ze zmiennej wartości poprzecznego stopnia aproksymacji = () odpowiadającego poszczególnym modelom E, tzn.

= ⇒ ≡ , = 1,2, ,3, … ≤ ,

= 3 ⇒ ≡ , (2) gdzie reprezentuje wzdłużny stopień aproksymacji teorii trójwymiarowej, tożsamy ze stopniem poprzecznym. Cechą hierarchii jest to, iż jej uporządkowanie prowadzi do następującej własności:

lim→_,=‖‖,. (3) Powyższy związek wyraża fakt, że kolejne rozwiąza- nia ⁽⁾ odpowiadające kolejnym modelom hierarchicznym dążą w granicy do rozwiązania korespondują- cego z najwyższym modelem w hierarchii tj. modelem trójwymiarowej teorii dielektryków. Globalną miarą kolejnych rozwiązań jest energia elektryczna ciała o objętości , obejmującego strukturę dielektryczną.

(3)

Każdemu modelowi elektrycznemu przypisać można odpowiednią, kompatybilną przestrzeń aproksymującą [3] MES. Posiadać ona może charakter adaptacyjny. W przypadku modelu trójwymiarowego jest nią przestrzeń typu 3ℎ (ℎ) lub ℎ (ℎ), gdzie ℎ i to odpowiednio uśredniony wymiar elementu skończonego i stopień aproksymacji, taki sam w kierunkach wzdłuż- nych i poprzecznym. Oznaczenie rozwinięte (zapisane w nawiasach) tych aproksymacji zawiera wykładniki potęg, wskazujące na liczbę kierunków, w których doko- nywana być może adaptacja. Pierwszy wariant aproksymacji odpowiada strukturze o charakterze bryłowym, podczas gdy drugi strukturze o charakterze cienko- lub grubościennym. Z kolei w modelach hierarchicznych dielektryka, stosowanych w przypadku wydłużonego kształtu dielektryka, stosuje się przestrzeń typu ℎ (ℎ ), gdzie oznacza stopień aproksymacji po- przecznej elementu skończonego, niezależny od stopnia wzdłużnego. Zgodnie z powyższym proponuje się nastę- pujący formalny zapis:

= ⇒ , ℎ ≡ ℎ ; = 1,2, ,3, … ≤ ,

= 3 ⇒ , ℎ ≡ ℎ ; = , (4) gdzie znak równoważności oznacza tożsamość zastoso- wanych oznaczeń, a nie tożsamościową równość określo- nych wielkości.

W ten sposób dla każdego hierarchicznego modelu dielektrycznego można wprowadzić odpowiednie aprok- symacje hierarchiczne, które charakteryzuje następująca własność:

→lim^,_,∑

೐

=_,∑

೐

=_,

(5) gdzie e oznacza numer elementu tworzącego strukturę dielektryczną. Powyższa własność odzwierciedla fakt, iż kolejne przybliżone rozwiązania ^,, uzyskane w ramach kolejnych przestrzeni aproksymujących i mie- rzone w normie energii elektrycznej W, dążą w granicy do rozwiązania dokładnego , które odpowiada wybranemu hierarchicznemu modelowi elektrycznemu , o rzędzie ≡ .

3. SZACOWANIE BŁĘDÓW A POSTERIORI

Szacowanie błędów a posteriori, jakie zaproponowa- no w niniejszym artykule do adaptacyjnego modelowania i adaptacyjnej analizy dielektryków, opiera się na meto- dzie wyrównoważania residuów (REM – residual equili- bration method) wykorzystaną m.in. w [4, 7]. Jej prze- znaczeniem było modelowanie i analiza złożonych struktur sprężystych z wykorzystaniem hierarchii modeli numerycznych, opartych na podejściu trójwymiarowym.

Prace te brały za punkt wyjścia wcześniejsze rozważania Odena i innych, dotyczące problemów eliptycznych drugiego rzędu [1, 2], w tym trójwymiarowej teorii

sprężystości [8] i konwencjonalnych modeli hierarchicznych płyt i powłok [9].

Autor niniejszego artykułu wykorzystuje podejście z pracy [7] do dwóch modeli dielektryków, przywołanych w poprzednim podpunkcie. Przyjęta metoda składać się będzie z trzech głównych etapów.

1. Obliczenie wewnętrznych ładunków powierzchnio- wych ℎ elementu na podstawie rozwiązania nume- rycznego ^, problemu globalnego (całej struktury) z uwzględnieniem lokalnych (w ogólności róż- nych w każdym elemencie) wartości parametrów dyskretyzacji ℎ,  i oraz lokalnego modelu E.

2. Rozwiązanie elementowych problemów lokalnych odpowiadających wybranemu modelowi E i przyję- tym parametrom dyskretyzacji ℎ, i , z warunkami brzegowymi obliczonymi w poprzednim etapie, w ce- lu uzyskania przybliżenia rozwiązania dokładnego

oraz .

3. Określenie elementowych indykatorów oraz globalnego estymatorów: błędu aproksymacji

()=−

^, oraz błędu całkowitego

()=−

^,, na podstawie różnic pomiędzy rozwiązaniem globalnym ^, i aproksymowanymi wartościami rozwiązań dokładnych i uzyskanymi z rozwiązań problemów lokalnych.

Analogiczne trzy etapy występują także w przypadku zastosowania metody do szacowania błędów w ośrodkach sprężystych, modelowanych w sposób hierarchiczny, z wykorzystaniem podejścia trójwymiarowego. Szczegóły znaleźć można w pracy [3].

Odnosząc się do etapu drugiego i trzeciego, można zauważyć, że w przypadku wykorzystywanych hierarchicznych modeli dielektryka powyższa metoda jest stosowana dwukrotnie. Po raz pierwszy do oszacowania wartości dokładnej rozwiązania , odpowiadającego wybranemu modelowi hierarchicznemu, a następnie wartości dokładnej rozwiązania trójwymiarowego , korespondującego z najwyższym modelem w hierarchii.

Te dwie wartości dokładne są następnie wykorzystane do oszacowania odpowiednio błędu aproksymacji i błędu całkowitego. Lokalne indykatory błędu modelowania mogą być wówczas zdefiniowane jako różnice pomiędzy oszacowanymi wartościami błędu całkowitego i oszacowanymi wartościami błędu aproksymacji.

Poniżej omówiono definicje globalnych i lokalnych miar oraz globalnych i lokalnych estymatorów (lub indykatorów) błędów aproksymacji, całkowitego i modelowania odpowiadających teoriom hierarchicznym i trójwymiarowej teorii dielektryków. Następnie przedstawiono algorytm wyznaczania wyrównoważonych funkcji rozkładu ładunków międzyelementowych oraz definicje problemów lokalnych dielektryków, zwracając uwagę na podobieństwo ich wszystkich do przypadku sprężystego.

(4)

3.1 OSZACOWANIA BŁĘDÓW APRO- KSYMACJI I MODELOWANIA ORAZ BŁĘDU CAŁKOWITEGO

Relację pomiędzy globalną normą błędu aproksymacji i jej estymatorem przedstawia poniższa zależność, z której wynika, że norma ta może być oszacowana z góry przez kwadrat globalnego estymatora błędu

()

^,= −2Π + 2Π^,

≤ −2Π − ^,,^,

+ 〈ℎ^,〉

_೐\(∪) !

= −2Π − ^,,^,!

= "_೐

#

="

#. (6)

Interpretacja fizyczna powyższej zależności jest na- stępująca. Błąd globalny (całego ciała dielektrycznego), określony jako różnica energii potencjalnych (elektrycznych) nieznanego rozwiązania dokładnego i rozwiązania numerycznego, które gwarantują równowagę elektrycz- ną, jest zawsze mniejszy niż oszacowanie błędu zdefiniowane jako suma po elementach z różnic energii potencjalnej rozprzężonego problemu lokalnego, zapewniają- cego równowagę elektryczną elementu skończonego ciała, i elementowej części globalnej energii potencjalnej.

Analogiczna interpretacja obowiązuje także w przypadku problemu mechanicznego ciała sprężystego. Wówczas jednak ma się do czynienia z mechaniczną energią po- tencjalną i równowagą mechaniczną (równowagą sił) ciała sprężystego i jego elementów skończonych. Dowód matematyczny powyższej nierówności w przypadku ośrodka sprężystego znaleźć można w pracach [1, 2, 7].

Dowód w przypadku dielektryków przebiegać może w sposób analogiczny.

Wracając do zależności (6), zauważyć należy, iż elektryczna energia potencjalna, elektrostatyczna energia elektryczna i praca objętościowych i powierzchniowych ładunków zewnętrznych dielektryka są zdefiniowane w sposób standardowy, tzn.:

Π^, =1

2^,,^,

−

^, ,

^,,^, =

_೐ ^,$^, ,

^, = ^,∙ 0

_೐ + ^,%

_೐ . (7) Powyżej forma kwadratowa i liniowa reprezentu- ją energię elektryczną i pracę powierzchniowych ładun- ków zewnętrznych. Ładunki objętościowe pomija się,

przyjmując ich gęstość jako równą zero. Należy przypo- mnieć, że macierz reprezentuje pole elektryczne a macierz to macierz stałych dielektrycznych. Z kolei wielkość % to skalarna funkcja gęstości ładunków powierzchniowych.

W hierarchicznych modelach powłokowych związek pomiędzy globalną normą błędu całkowitego oraz jej estymatorem

() jest następujący:

^,= −2Π + 2Π^,,

≤ "_೐

#

="

#. (8)

Szczegółową postać powyższej zależności uzyskać można, zastępując rozwiązanie rozwiązaniem w związkach (6) i (7). Należy zwrócić uwagę, że w modelu trójwymiarowym błąd całkowity jest równy błędowi aproksymacji – oba wymienione rozwiązania są tożsame i nie ma potrzeby ich rozróżniania.

Globalne miary błędu modelowania oraz ich indykatory

() przedstawia poniższa relacja. W hierarchicznych modelach elektrycznych obowiązuje

^,= −2Π + 2Π,

≈ "_೐

#

="

#, (9) podczas gdy w przypadku trójwymiarowego modelu dielektryka błąd modelowania jest równy zeru. Wspo- mnieć należy, że górne oszacowanie błędu modelowania nie jest możliwe – stąd nieokreślony znak nierówności w powyższym związku.

Zauważono, że wszystkie powyższe związki posiadają swoje odpowiedniki mechaniczne. Znaleźć je można w pracach [3, 4, 7], dotyczących ośrodków sprężystych.

Oszacowane wartości globalne błędów z zależności (6), (8) i (9) wykorzystywane są w procesie adaptacji do sprawdzenia czy globalne błędy modelowania, aproksymacji i całkowity są dostatecznie małe. Rolę, jaką spełniać mogą elementowe indykatory tych błędów w kontroli procesu adaptacji, wyjaśniają prace [4, 7]

w kontekście problemów sprężystych. W przypadku problemów dielektryków indykatory elementowe wykorzystuje się w sposób analogiczny.

3.2 WYRÓWNOWAŻONE, LINIOWE FUNKCJE ROZKŁADU GĘSTOŚCI ŁADUNKÓW MIĘDZYELEMENTO- WYCH

W związkach opisujących estymatory lub indykatory błędów występują wyrażenia (ujęte w nawiasy trójkątne) reprezentujące wyrównoważone gęstości ładunków międzyelementowych:

(5)

〈ℎ^,〉 = &^,'+&^,'

=&ℎ^, + &ℎ^,

=1

2ℎ^, + ℎ^,!

−&− 1ℎ^, − ℎ^,! , (10) gdzie wektory i ' oznaczają przemieszczenia elektryczne i składowe normalnej do powierzchni elementu lub (, natomiast ℎ to gęstości ładunków na ścianach pomiędzy elementami.

Pojawiające się w wyrażeniach po prawej stronie za- leżności (10) współczynniki & rozkładu ładunków w sąsiednich elementach i (, gdzie:

&= 1 −&, (11) są wyznaczane zgodnie z następującą procedurą.

1. Obliczenie w węźle narożnym elementu ładunków pochodzących od macierzy elektrycznej, ładunków od obciążeń ładunkami zewnętrznymi i ładunkami średnimi pomiędzy elementami i (.

2. Obliczenie w węźle narożnym współczynników od różnicy ładunków na ścianach elementów i (.

3. Utworzenie układu równań obejmującego wszystkie elementy stykające się w węźle struktury z niewiadomymi wartościami współczynników rozkładu.

4. Rozwiązanie układu równań równowagi elektrycznej węzła narożnego struktury (wyznaczenie współczyn- ników rozkładu ładunków dla elementów stykają- cych się w węźle narożnym struktury).

Powyższe etapy zostały zaproponowane w analogii do problemu sprężystego, opisanego w pracy [3]. Rów- nowadze elektrycznej ładunków w węzłach narożnych odpowiada tam równowagą sił w takich węzłach, macierzy dielektrycznej macierz sztywności, wektorom sił zewnętrznych i międzyelementowych wektory ładunków powierzchniowych i międzyelementowych, gęstości ładunków wektory naprężenia a wektorom przemieszczeń elektrycznych tensory naprężenia.

3.3 ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW LOKALNYCH

Teoretyczne estymatory błędów mają postać, którą pokazano poniżej:

^ሺ^ሻ

² ⁼

݁

ሺሻ

²

=

^−2Π

^ሺ^ሻ

⁻

^ሺ^ሻ^,ℎ,^ሺ^ሻ^,ℎ

+

₂

^ሺ^ሻ

〈

^ℎ

^ሺ^ሻ^,ℎ

〉

_݁\(∪)

. (12) Postać ta odpowiada błędowi aproksymacji i jest zgodna z zależnością (6).

Ze względu na to, że wartości rozwiązania dokładne- go nie są znane, dokonano tutaj dyskretyzacji procesu ich poszukiwania. Uzyskane za pomocą dyskretyzacji wartości pełnić będą rolę rozwiązań dokładnych i wykorzystane zostaną w szacowaniu błędów. Dyskrety- zacja polegać będzie na wprowadzeniu w każdym elemencie lokalnych wartości R(), ) i Π zamiast parame- trów: (), i ℎ, które w rozwiązaniu ścisłym są równe (dążą do) nieskończoności. Zdyskretyzowana zależność (12) przyjmie zatem postać:

Rሺሻ, Π

² ⁼

_݁

Rሺሻ, Π

²

=

^−2Π

^R^ሺ^ሻ^{, Π}

⁻

^ሺ^ሻ^,ℎ,^ሺ^ሻ^,ℎ

+

²

^R^ሺ^ሻ^{, Π}

〈

^ℎ

^ሺ^ሻ^,ℎ

〉

_݁\(∪)

. (13) w której poszukiwane rozwiązanie zdyskretyzowane oznaczono jako !,"#. Minimalizacja prawej strony związku (13) jest równoważna rozwiązaniu elementowych problemów lokalnych uzyskanych poprzez minima- lizację elementowych udziałów w prawej stronie zależno- ści (13). Minimalizacje elementowe wymagają uprzed- niego wyrażenia elektrycznej energii potencjalnej Π jako sumy energii elektrycznej b i pracy ładunków zewnętrz- nych l, zgodnie z pierwszą definicją (7). Obliczenie pierwszej wariacji z elementowej kontrybucji prowadzi do równania:

^R^ሺ^ሻ^{, Π},*^R^ሺ^ሻ^{, Π}

−

*^R^ሺ^ሻ^{, Π}

−

^*^R^ሺ^ሻ^{, Π}

〈

^ℎ

^ሺ^ሻ^,ℎ

〉

_݁\(∪)

,

(14) w którym *!,"# oznacza wariację poszukiwanego

rozwiązania problemu lokalnego. Zależność (14) zapisać można także w języku MES

+,

!,"#

=- +-" . (15) Powyżej k to macierz dielektryczna elementu, podczas gdy fQ oraz fH to wektory ładunków węzłowych od zewnętrznych ładunków powierzchniowych oraz wektor ładunków węzłowych od wyrównoważonych ładunków międzyelementowych. Z kolei , to poszukiwany wektor potencjałów węzłowych elementu. Analogiczna zależność w przypadku ośrodka sprężystego zawiera macierz sztywności elementu oraz elementowe wektory sił wę- złowych od obciążeń masowych i powierzchniowych oraz od wyrównoważonych reakcji międzyelementowych [3].

(6)

4. PRZYKŁAD NUMERYCZNY

Przykłady numeryczne zastosowania zaproponowanej metody szacowania błędów w adaptacyjnej analizie złożonych struktur sprężystych znaleźć można w pracach [5] i [6]. Tutaj zaprezentowano wyniki porównawcze dotyczące ośrodków sprężystych i dielektrycznych.

Przedstawiony przykład pokazuje płytkę kwadrato- wą wykonaną z materiału sprężystego o module Younga i współczynniku Poissona równych 0,5

·

10¹¹ N/m² i 0,294, o stałej dielektrycznej równej 0,1593

·

¹⁰^-7 F/m. Stosunek grubości do długości płyty jest równy 0,1. Zastosowana jest siatka o podziale 4 4 elementy, natomiast wzdłużny i poprzeczny stopień aproksymacji jest równy 4 i 2.

Rozpatrzono dwa niezależne zadania trójwymiarowe.

W pierwszym dokonano oszacowania błędów modelowania, aproksymacji i całkowitego w przypadku spręży- stym, gdzie stosuje się utwierdzenie płyty na obwodzie oraz działające pionowo w dół obciążenie powierzchnio- we o wartości -4

·

¹⁰⁶^N/m², przyłożone do górnej powierzchni. W zadaniu drugim, dielektrycznym, na górnej powierzchni przyłożono ładunki elektryczne o gęstości równej 2

·

10^-1 C/m², płytę uziemiono na całym obwodzie, a następnie szacowano błędy.

Należy zauważyć, że oba zadania wykazują jakościo- we podobieństwo, widoczne na rys. 1 i rys. 2, gdzie przedstawiono odpowiednio ugięcie i potencjał elektryczny. Podobieństwo widoczne jest także na rysunkach 3 i 4 w przypadku naprężeń efektywnych i długość wektora natężenia pola elektrycznego.

Rys. 1. Ugięcie płyty w zadaniu sprężystym

Rys. 2. Potencjał elektryczny w problemie dielektrycznym

Rys. 3. Naprężenia efektywne w zadaniu mechanicznym

Rys. 4. Długość wektora przemieszczeń elektrycznych Względne wartości błędów trzech rodzajów w przypadku mechanicznym pokazano na kolejnych rysunkach.

Rys. 5 przedstawia rozkład elementowych błędów modelowania. Z kolei rys. 5 ilustruje analogiczny rozkład błędów aproksymacji. Natomiast na rys. 7 znaleźć można lokalne błędy całkowite.

Analogiczne rozkłady błędów elementowych w przypadku elektrycznym pokazano na rys. rys. 8-10. Pierw- szy z nich dotyczy błędów modelowania, dwa następne zaś błędów aproksymacji i błędów całkowitych. Oba zestawy powyższych rysunków zawierają także wartość średnią błędu (uśredniony błąd względny całej struktu- ry) oznaczoną symbolem avr.

Rys. 5. Oszacowany błąd modelowania – problem sprężysty

(7)

Rys. 6. Oszacowany błąd aproksymacji – problem sprężysty

Rys. 7. Oszacowany błąd całkowity – problem sprężysty

Rys. 8. Oszacowany błąd modelowania – problem dielektryka

Rys. 9. Oszacowany błąd aproksymacji – problem dielektryka

Rys. 10. Oszacowany błąd całkowity – problem dielektryka Podsumowując powyższe rozkłady, stwierdzić można, że pomimo jakościowego podobieństwa rozwiązań numerycznych w obu problemach, wszystkie błędy w zadaniu mechanicznym są o rząd większe niż w zadaniu elektrycznym. Błąd modelowania jest istotniejszy niż błąd aproksymacji w przypadku sprężystym, podczas gdy w zadaniu dielektrycznym jest odwrotnie.

5. WNIOSKI

Zaproponowany sposób szacowania błędów uogólnia metodę wyrównoważania residuów, zastosowaną z sukcesem w przypadków ośrodków sprężystych, na błędy aproksymacji i modelowania oraz błąd całkowity w problemach dielektrycznych. Przedstawiony sposób obejmuje wszystkie modele hierarchiczne, oparte na podejściu trójwymiarowym, zastosowane do opisu struktur dielektrycznych.

Testy numeryczne wykazują praktyczną efektywność zaproponowanych procedur szacowania błędów. Oznacza to potencjalną możliwość wykorzystania tych procedur do sterowania procesem adaptacyjnego modelowania i analizy dielektryków.

Praca została w części sfinansowana ze środków Narodowego Centrum Nauki przyznanych w ramach umowy nr 5153/B/T02/2011/50 dotyczącej projektu N N504 5153 40.

(8)

Literatura

1. Ainsworth M., Oden J. T.:. A posteriori error estimators for second order eliptic systems. Part 1:Theoretical foundations and a posteriori error analysis. „Computers and Mathematics with Applications”, 1993, 25, p. 101- 113.

2. Ainsworth M., Oden J. T.:. A posteriori error estimators for second order eliptic systems. Part 2: An optimal order process for calculating self-equilibrating fluxes. „Computers and Mathematics with Applications” 1993, 26, p.75-87.

3. Zboiński G.: Adaptacyjna analiza struktur złożonych: szacowanie błędów a posteriori. ZN KMS Pol. Śl., 2004, 23, s. 501-506.

4. Zboiński G.: Modelowanie hierarchiczne i metoda elementów skończonych do adaptacyjnej analizy struktur złożonych. Gdańsk: IMP PAN, 2001. Zeszyty Naukowe IMP PAN w Gdańsku. Studia i materiały. 520/1479/01.

5. Zboiński G. Adaptive hpq finite element methods for the analysis of 3D-based models of complex structures.

Part 1. Hierarchical modeling and approximations. „Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering”

2010,199, p. 2913-2940.

6. Zboinski G.: Hierarchical models for adaptive modelling and analysis of coupled electro-mechanical systems. [W:]

Recent Advances in Computational Mechanics, (red. red. T. Łodygowski, J. Rakowski, P. Litewka). CRC Press, Londyn 2014, p. 339-334.

7. Zboiński G.: Adaptive hpq finite element methods for the analysis of 3D-based models of complex structures.

Part 2. A posteriori error estimation. „Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering” 2013, 267, p.

531-565.

8. Ainsworth, M., Oden, J. T., Wu, W.: A posteriori error estimation for hp approximation in elastostatics. „Appl.

Numer. Math.” 1994, 14, p. 23-55.

9. Cho J. R., Oden J. T.: A priori error estimations of hp-finite element approximations for hierarchical models of plate- and shell-like structures. „Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering” 1996, 132, p. 135- 177.

ALGORYTM SZACOWANIA BŁĘDÓW W ADAPTACYJNEJ ANALIZIE PROBLEMÓW ELEKTRYCZNYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH